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Universidade Federal de Rio de Janeiro Instituto de
Matematica
Calculo 4EXERCICIOS PARA PROVA 2Prof. Marianty Ionel
Material dos livros Boyce& diPrima para Prova 2:
Capitulo 6 (Boyce): Sec. 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6: A
transformada de Laplace:definicao, propriedades; solucoes de
problemas de valores iniciais, funcao degrau, euqcoesdiferenciais
com forcamentos discontinuos, funcao de Dirac; transformada de
Laplace in-versa; a convolucao de duas funcoes.
Capitulo 2 (Boyce): Sec. 10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 10.6,
10.7, 10.8: Seriesde Fourier; formulas de Euler-Fourier para os
coeficientes da serie de Fourier; teorema deconvergencia de
Fourier, estensao par e impar de uma funcao; series de senos e
cosenosde uma funcao; o metodo de separacao de variaveis para
resolver a equacao de calor, aequacao da onda e a equacao de
Laplace.
Questao 1: Mostre que o problema de autovalores y + y = 0, y(0)
= y(L) = 0 temsolucoes nao-zero so para > 0. Nesse caso,
determine as solucoes fundamentais daequacao (i.e. as
autofuncoes).
Questao 2: Suponha que a trasformada Laplace F (s) = L{f(t)}
existe para s > a 0.Mostre que, se c e uma constante positiva,
entao
L{f(ct)} = 1cF(sa
), s > ca
Questao 3: Encontre a transformada de Laplace das seguintes
funcoes:(a) f(t) = t sin(at)(b) f(t) = teat
(c) f(t) = cosh(4t)(d)
f(x) =
0, pi x < pi
2
1, pi2 x < pi
2
0, pi2 x < pi
Questao 4: Encontre a trasformada de Laplace inversa das
funcoes:(a) F (s) = 2e
2ss24
(b) F (s) = 1(s+1)2(s2+4)
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Questao 5: Use a definicao da transformada Laplce para demostrar
que:
L{uc(t)} = ecs
s, s > 0
onde uc(t) denota a funcao degrau unitario.
Questao 6: Define a funcao de Dirac e calcule a sua transformada
de Laplace.
Questao 7: Encontre a solucao das seguintes problemas de valor
inicial:(a)
y + 2y + 3y = sin t+ (t 3pi), y(0) = 0, y(0) = 0(b)
y + y ={
t2, 0 t < 6
3, t 6 , y(0) = 0, y(0) = 1
Questao 8: Encontre a serie de Fourie da seguinte funcao
estendida periodicamente, forado interval original:
f(x) =
{0, 1 x < 0x2, 0 x < 1
Encontre os pontos onde a serie de Fourier de f(x) converge para
f(x).
Questao 9:Encontre a serie em senos da extensao impar da funcao
f(x) = 2 x2, x (0, 2),estendida por periodicidade, de periodo 4;
esboce a extencao de f(x) por imparidade eperiodocidade, no
intervalo [6, 6].Questao 10:Encontre a serie em cosenos da extensao
par da funcao f(x) = x2 2x, x (0, 4),estendida por periodicidade,
de periodo 8; esboce a estencao de f(x) por paridade
eperiodocidade, no intervalo [16, 16].Questao 11: Usando o metodo
de separacoes das variaveis, resolve o problema deconducao de calor
em uma barra de comprimento 1 metro e difusivitate termica = 1,com
extremidades isoladas:
uxx = ut, 0 < x < 1, t > 0
ux(0, t) = 0, ux(1, t) = 0, t > 0
u(x, 0) = x, 0 < x < 1
Questao 12: Considere uma corda elastica de comprimento L cujas
extremidades saomantidas fixas. A corda e colocada em movimento a
partir da sua posicao de equilbrio
com velocidade inicial ut(x, 0) =8x(Lx)2
L3. Encontre o deslocamento u(x, t).
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Questao 13: Vamos encontrar uma solucao u(x, y) da equacao de
Laplace u = 0 norectangulo 0 < x < a, 0 < y < b, que
satisfaz as condicoes de contorno:
ux(0, y) = 0, ux(a, y) = f(y), 0 < y < b
uy(x, 0) = 0, uy(x, b) = 0, 0 < x < a
onde f e uma funcao com a propriedade que b0f(y)dy = 0. Esse e
um exemplo de um
problema de Neumann.(a) Mostre que a equacao de Laplace e as
condicoes de contorno homogeneas determinamo conjunto fundamental
de solucoes
u0(x, y) = c0, un(x, y) = cn cosh(npix
a
)cosh
(npiyb
), n = 1, 2, 3, . . .
(b) Atraves da superposicao das solucoes fundamentais do item
(a), determine, formal-mente, uma funcao u(x, t) que satisfaz
tambem a condicao de contorno nao-homogeneaux(a, y) = f(y). Note
que o termo c0 permanece arbitrario e portanto a solucao e
de-terminada a menos uma constante aditiva c0. Explique porque
precisamos a condicao b0f(y)dy = 0.
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