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Universidad Nacional Experimental “Francisco de Miranda” Practica de topografía Prof. Vicfred López
PRACTICA 5: POLIGONALES.
R2
R3
V1
V2
V3
N:680E:750
N:500E:700
AZ R2
R3
Ø1
Ø2
Ø3
Ø4
Ø5
AZ R3
V1
AZ V1
V2
AZ V2
V3
AZ V3
V1
Universidad Nacional Experimental “Francisco de Miranda” Practica de topografía Prof. Vicfred López
OBJETIVOS
General:
Aplicar el método de poligonales abiertas y cerradas en la determinación de
la posición de los puntos sobre el terreno.
Específicos:
Materializar correctamente los puntos sobre el terreno.
Conocer las formas de medir los ángulos horizontales en el método de
poligonales.
Determinar las distancias entre los vértices de la poligonal.
Calcular las coordenadas de los vértices de la poligonal.
MATERIALES UTILIZADOS
CINTA MÉTRICA.
ESTADÍA.
TEODOLITO (WILD T2).
TRÍPODE.
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Jalones
METODOLOGÍA:
El método de poligonales es muy usado dentro de la topografía, para
establecer el control horizontal de puntos sobre el terreno (Planimetría), en el
replanteo de obras civiles para el establecimiento de los linderos y el cálculo de
área de la propiedad privada.
Las poligonales son figuras formadas por series de líneas rectas
conectadas entre si en los vértices, en donde, para calcular la posición
(coordenadas) de los vértices es necesario conocer el ángulo que se forma entre
los segmentos de rectas y la distancia entre los vértices. Las poligonales se
clasifican en dos tipos, las abiertas y las cerradas.
POLIGONALES ABIERTAS:
Las poligonales abiertas se pueden clasificar en dos tipos, con control y sin
control, las poligonales con control son aquellas que parten generalmente de dos
puntos con coordenadas conocidas como un BM o coordenadas asignadas con un
GPS (preferiblemente en sistema diferencial, porque las Mediciones GPS en
sistema de navegación pueden tener cómo mínimo, 3 metros de error) y al termino
de la poligonal también existe otro punto con coordenadas conocidas que es quien
permitirá controlar los posibles errores. (Ver figura5.1), por el contrario las
poligonales sin control son aquellas que, generalmente comienzan en dos puntos
conocidos y no cuentan con ningún otro punto conocido al terminar la poligonal,
que permita establecer el control, es por esta razón que las mediciones en campo
y los cálculos deber hacerse con mucha precisión (ver figura 5.2).
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Figura 5.1
Figura 5.2
La fase del trabajo en campo consiste en primer lugar, en materializar los
puntos en el terreno de manera que cada punto tenga una clara visión con, el
punto próximo hacia adelante y el punto próximo hacia atrás.
El siguiente propósito será la medición de los ángulos horizontales que se
forman entre los segmentos de recta, para ello se debe estacionar el teodolito en
cada vértice, (siendo la primera estación uno de los puntos con coordenadas
conocidas) se estaciona el teodolito y se hará vista atrás en el otro punto de
P1
P2
P3
P4
P5
P6
Coordenadas conocidas.
P1
P2
P3
P4
P5
P6
Coordenadas conocidas.
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coordenados conocidas, luego se gira la visual hacia el primer vértice desconocido
y se realiza la medición del ángulo horizontal aplicando los procedimientos vistos
en las practicas 2 y 3, y así se gira en cada estación en el sentido se los vértices
desconocido en secuencia hasta medir los ángulos en cada vértice de la misma
manera.
Finalmente se medirán las distancias entre cada uno de los vértices
utilizando los métodos de medición común con cinta métrica aplicados en la
practica 1.
POLIGONALES CERRADAS:
Las poligonales cerradas son aquellas que inician el recorrido en un punto y
terminan en el mismo punto, es por esto que son cerradas geométrica y
analíticamente, siempre que sea posible es recomendable usar las poligonales
cerradas debido a que estas si proporcionar controles en las mediciones angulares
y de distancias.
Las poligonales cerradas son utilizadas comúnmente en el control horizontal
de puntos donde es difícil utilizar las triangulaciones, también en el
establecimiento de los linderos de propiedades privadas. (Ver figura 5.3)
Figura 5.3
P2
P5
P1
Coordenadas conocidas
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Al igual que las poligonales abiertas, en el campo se debe seguir las
especificaciones antes de comenzar, lo primero es que al materializar los puntos
deben quedar visibles unos con otros como se explico en las abiertas.
Los datos necesarios para calcular las coordenadas de los vértices serán
los ángulos horizontales de cada vértice y las distancias entre cada vértice.
Entre los puntos materializados en el terreno, deben estar los puntos con
coordenadas conocidas los cuales servirán de referencia en las mediciones y
cálculos, estos pueden ser un BM o referencias arbitrarias asignados con un GPS.
La medición de los ángulos horizontales se puede hacer de dos maneras,
pueden ser por ángulos internos o por ángulos externos esto dependerá de la
manera en que se configure la medición en el campo.
Como sabemos y se vio en la practica 2 el teodolito mide los ángulos
horizontales en el sentido de las agujas del reloj (sentido Horario) es por esta
razón que, si se hace el recorrido de medición de la poligonal cerrada en el sentido
horario los ángulos medidos serán externos y si se hace en sentido anti horario
los ángulos resultaran ser internos.
En la figura 5.4 se ilustra una vista de planta de una poligonal que será
medida en el sentido horario es decir que el orden en las estaciones del teodolito
será primero en P2 luego P3, P4, P5, y finalmente P1, como se muestra en esta
ilustración. Los puntos referencia en la figura son P1 y P2, por lo que la medición
comenzara desde estos puntos.
La primera estación será entonces en P2 (primer punto de coordenadas
conocidas), en este punto se debe nivelar el teodolito y colocar la lectura
horizontal en 0°00´00´´ en la visual hacia P1 (segundo punto de coordenadas
conocidas) sobre un jalón o una estadía sostenida correctamente por uno de los
asistentes, luego se gira la visual hacia el punto P3 donde también debe estar un
asistente sosteniendo el jalón o estadía y se toma la lectura del ángulo tal como se
vio en la practica 3 (también puede aplicarse en método de las series si fuera
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necesario), de esta manera se obtiene el ángulo horizontal en el vértice P2
señalado en la figura con el semicírculo rojo.
La siguiente estación será en P3 siguiendo lo explicado anteriormente, se
estacionará el teodolito y la visual será ahora de P2 hacia P4 y se obtiene el
ángulo horizontal señalado por el semicírculo rojo.
Este proceso se cumplirá en la medición de los vértices P4, P5 y P1
Figura 5.4
En la Figura 5.5 se muestra una vista de planta de la misma poligonal solo
que esta vez la medición de los ángulos horizontales con el teodolito se hará en
sentido anti horario, la primera estación será en P1 luego en P5, P4, P3, y
finalmente P2.
Se estaciona el teodolito en el primer punto que es P1 (primer punto de
coordenadas conocidas) se precisa la visual sobre P2 (segundo punto de
coordenadas conocidas) donde estará un asistente con una estadía o jalón y se
P2
P3
P4P5
P1
Coordenadas conocidas
N
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coloca la lectura horizontal en 0°00´00´´ y se gira a P5 y se toma el ángulo como
se explicó anteriormente y se obtiene el primer ángulo horizontal interno señalado
con el semicírculo rojo.
La siguiente estación será P5 donde se estaciona el teodolito y se coloca en
0°00´00´´ en P1 y se gira Hacia P4 se toma nota del ángulo horizontal.
Este procedimiento se repite estacionado en P4, luego en P3 y en P2
obteniendo los ángulos internos de la poligonal representados en la figura con los
semicírculos rojos.
Figura 5.5
De esta manera se obtienen los ángulos horizontales de la poligonal bien
sea internos o externos.
Las distancias entre los vértices de la poligonal se obtienen aplicando los
métodos de medición con cinta métrica vistos en la practica 1 o también se puede
aplicar el método de taquimetría para determinarlas.
P2
P3
P4P5
P1
Coordenadas conocidas
N
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METODOLOGÍA DE CÁLCULO
El objetivo principal del cálculo de las poligonales es determinar las coordenadas
de cada vértice.
Teniendo los datos necesarios recolectados en campo como las mediciones
angulares, las distancias y conociendo las coordenadas de los puntos conocidos, se puede
iniciar el cálculo de la poligonal.
La mejor forma de desarrollar el procedimiento de cálculo de una poligonal es
resolver un ejercicio.
R2
R3
V1
V2
V3
N:680E:750
N:500E:700
Ø1
Ø2
Ø4
Ø5
Ø3EST. PTO. VISADO ANG. HORIZ.
R3R2 00° 00´00´´
V1 280° 15´ 36´´
V1R3
V2 190° 21´ 52´´
V1V3
V2 53° 01´ 01´´
V2V1
V3 83° 16´ 50´´
V3V2
V1 43° 41´ 50´´
00° 00´00´´
00° 00´00´´
00° 00´00´´
00° 00´00´´
Con los puntos de coordenadas conocidas se calculan delta norte, delta este el
cual formara un triangulo rectángulo y se calcula el azimut inicial.
Diferencia de Norte: Diferencia de Este:
∆N = |NR3-NR2| ∆E = |ER3-ER2|
R2
R3
N:680E:750
N:500E:700
AZ R2
R3
E
N
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Ahora se debe calcular el resto de los azimut de la poligonal abierta, partiendo con
el azimut inicial y en función de los ángulos horizontales medidos con la siguiente
ecuación.
180)()( iAZjAZ
:)( jAZ Azimut del vértice que se va a calcular
:)(iAZ Azimut anterior el ya calculado.
Si la sumatoria entre el :)(iAZ y e ángulo que es el ángulo horizontal en ese vértice
es mayor que 180° entonces se le restan 180 grados, si el caso es lo contrario se le suma.
Por ejemplo para el 180´́36´15280)()( 3
2
1
3
R
R
V
R AZAZ
Se calcular las proyecciones en cada punto, teniendo los azimut y las
distancias
PN = COS (AZ)* DIST.
PE = SEN (AZ)* DIST.
En base a las proyecciones se calculan las coordenadas del punto
partiendo de los puntos conocidos.
Con los ángulos internos de la poligonal se calculan los azimut de la
poligonal cerrada, pero antes de iniciar el cálculo se deben corregir los
ángulos con la ecuación.
Sumatoria de ángulos internos o externos
Siendo n = numero de ángulos ó vértices de la poligonal
Seguidamente se hace una comparación del error angular de las
mediciones con las tolerancias.
Para levantamientos de precisión Para levantamientos de poca precisión:
n = numero vértices de la poligonal.
nKT nKT
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Si el error es por exceso se restara equitativamente a cada ángulo y si es por
defecto se le suma equitativamente a cada ángulo
Con los ángulos corregidos se calculan los azimut de la poligonal como se
explico para las abiertas.
R2
R3
V1
V2
V3
N:680E:750
N:500E:700
AZ R2
R3
Ø1
Ø2
Ø3
Ø4
Ø5
AZ R3
V1
AZ V1
V2
AZ V2
V3
AZ V3
V1
Se calculan las proyecciones de los vértices de la poligonal cerrada en
función a los azimut y distancias, para el cual se utilizara un formato tipo
tabla.
AZIMUT DISTANCIA
PROYECCIONES CALCULADAS PROYECCIONES
CORREGIDAS
N(+) N(-) E(+) E(-) N(+) N(-) E(+) E(-)
)( 2
1
V
VAZ
)( 3
2
V
VAZ
)( 1
3
V
VAZ
.DISTANCIA ).(N ).(N
).(E
).(E
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Se calculan las proyecciones para los puntos de la poligonal cerrada con
las ecuaciones vistas en las abiertas.
Se determina la sumatoria de las proyecciones N(+), N(-), E(+), E(-)
respectivamente y se determina la diferencia entre la sumatoria de
proyecciones norte y entre las proyecciones este respectivamente, si existe
diferencia entre los dos se deben corregir.
Antes de hacer la corrección, se debe chequear el error lineal y comparar
con una tolerancia, si el valor se cumple con dicha tolerancia se procede a
corregir, si no cumple entonces se debe repetir la medición.
Para ello se determina primero el error lineal, donde.
22FNFEErrortotal
FE : DIFERENCIA ENTRE ).(N y ).(N
FN : DIFERENCIA ENTRE ).(E y ).(E
Luego se calcula:
ERRORTOTAL
DISTANCIAP
.
PRE
1..
P : Precisión
RE. : Error Relativo.
Se compara el error relativo con la tolerancia, si cumple se puede continuar
si no cumple se debe repetir la medición, la tolerancia dependerá de la
precisión que se quera alcanzar en el levantamiento.
Luego se determina un factor de corrección norte (CN) y un factor de
corrección este (CE)
)(..NPROY
FNCN
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Donde.
CN : Corrección norte
)(..NPROY : Sumatoria de proyecciones norte, tanto positivas como negativas,
sin importar el signo.
Seguidamente calculado el factor de corrección, se multiplica por cada una de las
proyecciones norte, tanto positivas como negativas y luego con ese factor serán
corregidas cada una de las proyecciones.
De la misma forma se calcula las correcciones este (CE).
)(..EPROY
FECE
CE : Corrección este
)(..EPROY : Sumatoria de proyecciones este, tanto positivas como negativas,
sin importar el signo.
Seguidamente calculadas estas factores,
Ahora partiendo con las coordenadas de la poligonal abierta y en función de
las proyecciones NORTE Y ESTE corregidas, se calculan las coordenadas
de la poligonal cerrada.
Finalmente se calcula el área de la poligonal en función de las coordenadas
calculadas.
