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Cálculo Diferencial e Integral i

Cálculo Diferencial e Integralpor Kely Diana Villacorta e Felipe Garcia

Ed. v1.0

Cálculo Diferencial e Integral ii

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Cálculo Diferencial e Integral iii

COLLABORATORS

TITLE :

Cálculo Diferencial e Integral

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WRITTEN BY Kely DianaVillacorta e

Felipe Garcia

29 de julho de 2013

REVISION HISTORY

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v1.0 Maio 2013 Primeira versão do livro Kely D. V. V.,Felipe G. M.

Cálculo Diferencial e Integral iv

Sumário

1 Números Reais 11.1 Sistema dos Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Adição e Multiplicação de Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Subtração e Divisão de Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 Relação de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Desigualdades e Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Axioma do Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Relações e Funções 192.1 Relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Domínio, imagem e gráfico de uma relação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Relação inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 Relações entre o gráfico de uma relação e gráfico de sua inversa . . . . . . . 23

2.3 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.1 Translações e reflexões de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.2 Funções comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.3 Função par e função ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.4 Função periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.5 Função crescente e função decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.6 Função definida por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4 Função injetiva, sobrejetiva e bijetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.1 Operações com funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5 Composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.6 Função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.7 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.8 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Cálculo Diferencial e Integral v

3 Limites 493.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Vizinhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 Limite de uma funcão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4 Propriedades dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.5 Leis do limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.6 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.7 Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.8 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.9 Limites infinitos no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.10 Assíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.11 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.12 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 Continuidade 824.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.2 Noção intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3 Definição precisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.4 Tipos de descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.5 Continuidade de funções em intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.6 Teorema de valor intermediário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.7 Funções inversas e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.8 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.9 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5 A Derivada 1005.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.2 A derivada e a reta tangente de uma função em um ponto. . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.3 A derivada como função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.4 Derivadas laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.5 Reta normal a uma curva em um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.6 Regras de derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.7 A derivada da composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.8 Teorema da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.9 Derivadas de funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.10 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.11 Derivação Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.12 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.13 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Cálculo Diferencial e Integral vi

Prefácio

texto

Público alvo

estudantes

Método de Elaboração

Financiamento da capes.

Contribuição

Erros e etc.

Cálculo Diferencial e Integral 1 / 127

Capítulo 1

Números Reais

OBJETIVOS DO CAPÍTULO

Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de:

• Entender o conceito do sistema dos números reais e saber diferenciar os subconjuntosque o integram: naturais, inteiros, racionais e irracionais;

• Dados dois números reais, reconhecer a relação de ordem estabelecida entre eles;

• Dada uma desigualdade, establecer a que intervalo ela esta relacionada;

• Determinar o conjunto solução de uma inequação dada;

• Dominar o conceito de valor absoluto;

• Familiarizar-se com o Axioma do supremo.

O sistema dos números reais que conhecemos atualmente foi obtido depois de muitas reflexões porparte do homem. Desde o início de nossa civilização, já se conheciam os números inteiros positivos,ou seja, 1,2,3, . . . Os números inteiros tão grandes quanto 100000 já eram utilizados no Egito emépocas como 300 a. C.

Na aritmética de números inteiros positivos que desarrolhou os antigos Egípcios e Babilônicos podiamefetuar-se as operações de adição e multiplicação, embora esta última não tenha sido desenvolvida porcompleto. Além disso, naquela época já se conheciam certas frações, isto é, os números racionais.Por outro lado, os Babilônicos tiveram maior êxito no desenvolvimento da aritmética e da álgebra, anotação que eles usavam era superior à dos egípcios, com a diferença que eles trabalhavam na base60 e não na 10.

Nosso sistema decimal foi criado pelos Hindus e introduzido na Europa Ocidental no século XIImediante a tradução de textos árabes. Porém, esta notação demorou para ter uma aceitação geral, emuito depois disto veio a aceitação dos números negativos, a qual aconteceu apenas no final do séculoXVI, época na qual eram descartadas as raízes negativas das equações.

Ainda que a necessidade do número irracional, tais como√

2 e π , tivesse se apresentado já aos mate-máticos da antiga Grécia no seus estudos geométricos, não foram introduzidos métodos satisfatóriosde construção dos números reais a partir dos racionais até finais do século XIX, quando os matemá-ticos conseguiram propor um ponto de partida para a construção total dos números reais, abordagemesta que ainda é usada até hoje.


O ponto de vista adotado aqui não é construtivo, pois assume-se que existam certos objetos, chamadosde números reais, que verificam os 11 axiomas a serem enunciados neste capítulo. Todas as proprie-dades dos números reais que serão apresentadas neste livro, ou estão entre estes axiomas, ou podemser deduzidos a partir destes.

Portanto, neste capítulo revisaremos o sistema dos números reais, desigualdades e intervalos, inequa-ções, valor absoluto, Axioma do Supremo, e resolveremos alguns problemas usando a teoria apresen-tada.

1.1 Sistema dos Números Reais

Um conjunto não vazio de suma importância é o conjunto dos números reais, que é representado porR. O sistema dos números reais é o conjunto R fornecido de duas operações: adição (+) e multipli-cação (·), de uma relação de ordem (<), que se lê menor que e de um axioma chamado Axioma dosupremo. O sistema dos números reais é denotado por (R;+; ·;<), porém por simplicidade usamosa notação R. Cada elemento x ∈ R é chamado de número real.

1.1.1 Adição e Multiplicação de Números Reais

A adição e multiplicação de números reais são duas operações internas em R e se definem comosegue:

Adiçãodados a e b ∈ R se associa um único c ∈ R, chamado de soma de a e b, e se escreve c = a+b.

A adição de números reais satisfaz os seguintes axiomas:

Axioma 1: a+b = b+a, ∀a,b ∈ R.

Axioma 2: (a+b)+ c = a+(b+ c), ∀a,b,c ∈ R.

Axioma 3: Existe o número real zero, denotado por 0, tal que a+0 = a, ∀a ∈ R.

Axioma 4: Para cada número real a existe um real chamado de oposto de a e é representado por −a,tal que a+(−a) = 0.

Multiplicaçãodados a e b∈R se associa um único d ∈R, chamado de produto de a e b, e se escreve d = a ·b.

A multiplicação de números reais satisfaz os seguintes axiomas:

Axioma 5: a ·b = b ·a, ∀a,b ∈ R.

• A1 a+b = b+a, ∀a,b ∈ R(comutativa)

• A2 (a+b)+ c = a+(b+ c), ∀a,b,c ∈ R(associativa)

• A3 Existe o número real zero, denotado por 0, tal que a+0 = a, ∀a ∈ R.

• A4 Para cada número realaexiste um real chamado de oposto de a e é representado por −a, tal quea+(−a) = 0.


• M1 a ·b = b ·a, ∀a,b ∈ R(comutativa)

• M2 (a ·b) · c = a · (b · c), ∀a,b,c ∈ R(associativa)

• M3 Existe o número real um, denotado por1, tal que a ·1 = a, ∀a ∈ R.

• M4 Para cada número real a, diferente de zero, existe um real chamado de inverso de a e é repre-

sentado por a−1 ou1a

, tal que a ·a−1 = a · 1a= 1.

• M5 a(b+ c) = a ·b+a · c, ∀a,b,c ∈ R(Distributiva)

Os seguintes teoremas enunciam as propriedades destas duas operações..

Axioma 6: (a ·b) · c = a · (b · c), ∀a,b,c ∈ R.

Axioma 7: Existe o número real um, denotado por 1, tal que a ·1 = a, ∀a ∈ R.

Axioma 8: Para cada número real a, diferente de zero, existe um real chamado de inverso de a e é

representado por a−1 ou1a

, tal que a ·a−1 = a · 1a= 1.

O axioma distributivo relaciona a adição e multiplicação de números reais

Axioma 9: a(b+ c) = a ·b+a · c, ∀a,b,c ∈ R

Nota

a. Os axiomas 1 e 5 são conhecidos como axiomas comutativos para a soma e multi-plicação, respectivamente.

b. Os axiomas 2 e 6 são conhecidos como axiomas associativos para a soma e multi-plicação, respectivamente.

O seguinte teorema enuncia as propriedades destas duas operações.

TEOREMA 1

a. Os números 0, 1, −a e a−1 são únicos;

b. a =−(−a), ∀a ∈ R;

c. Se a 6= 0, então a = (a−1)−1;

d. a ·0 = 0, ∀a ∈ R;

e. −a = (−1) ·a, ∀a ∈ R;

f. a · (−b) = (−a) ·b, ∀a, b ∈ R;

g. (−a) · (−b) = a ·b, ∀a, b ∈ R;

h. Se a+ c = b+ c, então a = b;

i. Se a · c = b · c e c 6= 0, então a = b;

j. a ·b = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0;

k. a ·b 6= 0 ⇔ a 6= 0 e b 6= 0;

l. a2 = b2 ⇔ a = b ou a =−b.


1.1.2 Subtração e Divisão de Números Reais

Subtraçãodados a e b ∈ R, a diferença de a e b é a−b = a+(−b).

Divisão ou quocientedados a e b ∈ R, com b 6= 0, o quociente de a e b é

ab= a · (b−1).

Teorema 2

a. a−b =−(b−a);

b. a−b = c ⇔ a = b+ c;

c. Se b 6= 0, então c =ab⇔ b · c = a;

d. a · (b− c) = a ·b−a · c;

e. Se b 6= 0 e d 6= 0, entãoab± d

c=

a ·d±b · cb ·d

.

1.1.3 Relação de Ordem

Axioma 10: Em R existe um subconjunto chamado de reais positivos, denotado por R+, que satisfazas seguintes propriedades:

a. Se a ∈ R, então a ∈ R+ ou −a ∈ R+ou a = 0;

b. Se a ∈ R+ e b ∈ R+, então a+b ∈ R+ e a ·b ∈ R+.

DefiniçãoSejam a, b ∈ R. Diz-se que:

c. a é menor que b e se denota por a < b, ⇔ b−a ∈ R+;

d. a é menor ou igual que b e se escreve a≤ b, ⇔ a a e se lê “b é maior que a”;

b. Da mesma forma, se diz que b é maior ou igual que a e se escreve b≥ a.

O seguinte teorema enuncia as propriedades associadas à relação de ordem.

Teorema 3

a. Lei da tricotomia: Dados a, b ∈ R, então a = b ou a b;

b. a2 ≥ 0. ∀a ∈ R. Se a 6= 0, então a2 > 0;

c. Lei transitiva: Se a 0, então a · c b · c;

h. Se a 0, então a−1 > 0,2. Se a < 0, então a−1 < 0;

j. Se 0 < a < b, então a−1 > b−1 > 0. Se 0 > b > a, então a−1 > b−1;

k. a ·b > 0 ⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 ou b < 0) ;

l. a ·b≥ 0 ⇔ (a≥ 0 e b≥ 0) ou (a≤ 0 ou b≤ 0)

m. a ·b < 0 ⇔ (a < 0 e b > 0) ou (a > 0 ou b < 0) ;

n. a ·b≥ 0 ⇔ (a≤ 0 e b≥ 0) ou (a≥ 0 ou b≤ 0)

o. Se a≥ 0 e b≥ 0, então a < b ⇔ a2 < b2;

p. a2 +b2 = 0 ⇔ a = 0 e b = 0.

Nota

1. Se a e b são dois números tais que a2 = b, dizemos que a é a raiz quadrada de b e seescreve a=

√b. Por exemplo, 2 e−2 são raízes quadradas de 4, pois (−2)2 = 22 = 4.

No decorrer deste livro, a notação√

b denotará a raiz quadrada positiva e −√

b, laraiz quadrada negativa.

2. Se b < 0, pelo Teorema 3.b não existe a ∈ R tal que a2 = b. Em outras palavras, nãoexiste raiz quadrada de números negativos.

3. Se a2 = 0, então se deduz que a = 0, Portanto,√

0 = 0.

No decorrer deste livro, entenderemos que resolver a equação E(x) = 0, onde E(x) é uma expressãoalgébrica, significa determinar todos os números reais que satisfazem a dita equação.

a. x2 +1 = 0;

b. 5x+5 = 1−3x;

c. 4x2− x−3 = 0.

Exemplo 1.1 Resolvamos as seguintes equações

a. 5x+6 = 8

Solução

5x+6 = 8 ⇔ x =25

, pois 5 · 25+6 = 8.

b. x2 +1 = 0


SoluçãoEsta equação não tem solução, em R, pois x2 +1 > 0, ∀x ∈ R.

c. 5x+5 = 1−3x

Solução

5x+5 = 1−3x ⇔ 8x =−4 ⇔ x =−12

.

d. 4x2− x−3 = 0

Solução

4x2− x− 3 = 0 ⇔ (4x+ 3)(x− 1) = 0 ⇔ 4x+ 3 = 0 ou x− 1 = 0 ⇔ x = −34

oux = 1.

Outro método (Completando quadrados)

4x2− x−3 = 0 ⇔ (2x)2− x+(−1

4

)2

=4916⇔

(2x− 1

4

)2

=4916⇔ 2x− 1

4=

−74

ou 2x− 14=

74⇔ 2x =−3

2ou 2x = 2 ⇔ x =−3

4ou x = 1.

1.2 Desigualdades e Intervalos

Os números reais são identificados por pontos numa reta. Esta identificação é da seguinte maneira:

Figura 1.1: Reta Real

Dada uma reta L (por conveniência horizontal) e uma unidade de medida arbitrária, fixamos o ponto0 da reta, logo, a cada número real x se identifica com o ponto que está situado a x unidades à direitado 0, se x > 0 e com o ponto situado a −x unidades à esquerda do 0, se x < 0.

Esta correspondência entre os números reais e os pontos da reta é biunívoca, isto é, a cada númeroreal lhe corresponde um único ponto na reta, e a cada ponto na reta lhe corresponde um único númeroreal. No decorrer deste livro, não faremos nenhuma diferença entre ambos elementos.

Se x, y e z ∈ R tais que x < y < z, então x esta à esquerda de y, a uma distância de y− x unidades e zesta à direita de y, a uma distância de z− y unidades.

zyx

y-x z-y

Figura 1.2: Distância entre x e y, e distância entre y e z

Uma expressão que contém relações como <, ≤, >, ≥ é chamada de desigualdade. Assim:


• x < y < z significa que x < y e y < z;

• x < y≤ z significa que x < y e y≤ z;

• x≤ y < z significa que x≤ y e y < z;

• x≤ y≤ z significa que x≤ y e y≤ z.

DefiniçãoDados os números reais a e b com a < b, os intervalos são subconjuntos de R e podem serclasificados em:

Intervalos Limitados1. Intervalo Aberto: (a,b) = {x ∈ R : a < x < b}

a b

2. Intervalo Fechado: [a,b] = {x ∈ R : a≤ x≤ b}

a b

3. Intervalo Semi-aberto pela Direita: [a,b) = {x ∈ R : a≤ x < b}

a b

4. Intervalo Semi-aberto pela Esquerda: (a,b] = {x ∈ R : a < x≤ b}

a b

Intervalos Ilimitados1. Intervalo Aberto:

a. (a,+∞) = {x ∈ R : a < x}

a

b. (−∞,a) = {x ∈ R : x < a}

a

2. Intervalo Fechado:a. [a,+∞) = {x ∈ R : a≤ x}

a

b. (−∞,a] = {x ∈ R : x≤ a}

a

3. A Reta Real: (−∞,+∞) = R

Notaos intervalos semi-abertos [a,b) e (a,b] também podem ser referenciados comointervalos semi-fechados pela esquerda e pela direita, respectivamente.


Exemplo 1.2

Dados os intervalosA = [−5,2], B = (−2,3] e C = (2,6)

-5A

2

-2B

3

6C

2

Então,

a. A∩B = [−2,2]

-2 2

b. A∩C = /0

c. B∩C = (2,3]

32

d. A∪B = [−5,3]

-5 3

e. A∪C = [−5,6)

6-5

f. B∪C = (−2,6)

-2 6

Exemplo 1.3Se x ∈ (1,2], provemos que x2−2x ∈ (−1,0].

SoluçãoDesde que x2−2x é equivalente a (x−1)2−1, trabalharemos com esta última expressão.x ∈ (1,2] ⇔ 1 < x ≤ 2 ⇔ 0 < x−1 ≤ 1 ⇔ 0 < (x−1)2 ≤ 1 ⇔ −1 < (x−1)2−1 ≤ 0⇔ −1 < x2−2x≤ 0. Portanto, x2−2x ∈ (−1,0].


Exemplo 1.4

Se x ∈ (0,2), encontremos m e M ∈ R tais que m <x+2x+5

< M.

Solução

Desde quex+2x+5

é equivalente a 1− 3x+5

, trabalharemos com este último.

x ∈ (0,2) ⇔ 0 < x < 2 ⇔ 5 < x+5 < 7 ⇔ 17<

1x+5

<15⇔ −3

5<− 3

x+5<−3

7⇔

1− 35< 1− 3

x+5< 1− 3

7⇔ 2

5<

x+2x+5

<47

. Portanto, m =25

e M =47

.

1.3 Inequações

DefiniçãoUma inequação é uma expressão algébrica que contém alguma das relações <, ≤, >, ≥.

Exemplo 1.5

• Inequação de Primeiro grau

3x−4 < 2− x

• Inequação de Segundo grau

3x2−4x−5 < 0

• Inequação de Racional

x2−5x+4x2−4

≥ x+2

DefiniçãoDiz-se que um número real a satisfaz uma inequação, ou é solução da inequação, se aosubstituir a variável da equação por a, a desigualdade se faz verdadeira.

Exemplo 1.6

• O número real 2 satisfaz a inequação de segundo grau acima, pois 3(2)2−4(2)−5≤ 0;

• porém o número real 4 não a satisfaz, pois 3(4)2−4(4)−5 > 0.

DefiniçãoO conjunto de todos os números que satisfazem uma inequação é chamado de conjunto solu-ção, denotado por C. S., e resolver uma inequação significa encontrar seu conjunto solução.


Exemplo 1.7 Encontremos o conjunto solução das seguintes inequações

a. 3x−4 < 2+ x

Solução3x−4 < 2+ x ⇔ 2x < 6 ⇔ x < 3. Portanto, C. S.= (−∞,3).

b. x2−2 < 3x+2

SoluçãoPrimeiro método (Decompondo)

x2−2< 3x+2 ⇔ x2−3x−4< 0 ⇔ (x−4)(x+1)< 0 ⇔ (x−4< 0 e x+1> 0)ou (x−4 > 0 e x+1 < 0) ⇔ (x < 4 e x >−1) ou (x > 4 e x <−1) ⇔ −1 < x < 4⇔ x ∈ (−1,4).

Segundo método (Completando Quadrados)

x2−2 < 3x+2 ⇔ x2−3x < 4 ⇔ x2−3x+94< 4+

94⇔

(x− 3

2

)2

<254⇔

−52< x− 3

2<

52⇔ −1 < x < 4 ⇔ x ∈ (−1,4).

Terceiro método (Encontrando o quadro de sinais)x2−2 < 3x+2 ⇔ x2−3x−4 < 0 ⇔ (x+1)(x−4)< 0. Os valores de x para osque (x+1)(x−4) = 0 são x =−1 e x = 4 (raízes de cada fator). Logo,

-1 4

- - - - - -

- - - - - -

+ + + + +

- - - - - -

- - - - - - + + + + + +

+ + + + + +

+ + + + + ++ + + + +

sinal de (x+1)(x-4)

sinal de x-4

sinal de x+1

Figura 1.3: Quadro de sinais

Na Figura 1.3 observamos que (x+1)(x−4)< 0, se x ∈ (−1,4).Portanto, C. S.= (−1,4).

Regra para determinar o sinal de um produto ou quociente

a. Para determinar o sinal de x−a, temos que considerar:

i. O sinal de x−a é + ⇔ x−a > 0 ⇔ x > a ⇔ x está à direita de a.ii. O sinal de x−a é − ⇔ x−a < 0 ⇔ x < a ⇔ x está à esquerda de a.

b. Para determinar o sinal de um produto, se consideram as seguintes regras:

(+)(+) = +; (−)(−) = +; (+)(−) =−; (+)(−) =−.

c. O sinal de quocientes é obtido de forma análoga.


Exemplo 1.8 Resolver a seguinte inequação

a.x−2x−4

>x+2

x

Soluçãox−2x−4

>x+2

x⇔ x+2

x− x−2

x−4< 0 ⇔ (x+2)(x−4)− x(x−2)

x(x−4)< 0 ⇔ −8

x(x−4)< 0

⇔ 1x(x−4)

> 0.

As raízes dos fatores são os valores de x que fazem zero o numerador e o denominador,isto é, x = 0 e x = 4.

0 4

- - - - - - -

- - - - - - -

+ + + + + +

- - - -

- - - - + + + + + +

+ + + + + +

+ + + + + ++ + + +

sinal de x(x-4)

sinal de x-4

sinal de x

Logo, C. S.= (0,4).

NotaPara evitar o trabalho de determinar o sinal de cada fator, será suficiente considerar um pontoem cada intervalo e determinar o sinal de E(x) em dito ponto. Este sinal será, por sua vez, osinal de E(x) em todo o intervalo.

1.4 Valor absoluto

DefiniçãoO valor absoluto de um número real, denotado por |a|, se define como:

|a|={

a, se a≥ 0−a, se a < 0.

Desde o ponto de vista geométrico, |a| representa a distância entre o ponto da reta real a e o origem0.

0 a

|a|

Da mesma forma, |a−b|= |b−a| se interpreta como a distância entre os pontos a e b.

a b

|b-a|=|a-b|


Exemplo 1.9

a. |7|= 7;

b. |0|= 0;

c. |−4|= 4;

d. |− |a||= |a|.

Teorema 4Se a e b ∈ R, então:

a. |a| ≥ 0, ∀a ∈ R e |a|= 0 ⇔ a = 0;

b. |ab|= |a||b|;c. |a+b| ≤ |a|+ |b|.

A seguir enunciamos outras propriedades adicionais que o valor absoluto verifica.

Teorema 5Se a, b e x ∈ R, então:

a. |a|2 = a2;

b. Se b≥ 0, |a|= b ⇔ a = b ou a =−b;

c. |a|= |b| ⇔ a = b ou a =−b;

d. |−a|= |a|=√

a2;

e.∣∣∣ab

∣∣∣= |a||b| , b 6= 0;

f. Se a < x < b⇒ |x|< max{|a|, |b|};g. Se b > 0, |x| b ⇔ x > b ou x <−b;

j. Se |x| ≥ b ⇔ x≥ b ou x≤−b;

k. ||a|− |b|| ≤ |a−b| ≤ |a|+ |b|.

Exemplo 1.10 Resolvamos as seguintes equações com valor absoluto:

a. |3x−5|= 4

Solução|3x−5|= 4 ⇔ 3x−5 = 4 ou 3x−5 =−4 ⇔ x = 3 ou x = 1

3 .

Portanto, C. S.= {13,3}.

b. ||7−4x|−3|= 9


Solução||7−4x|−3|= 9 ⇔ |7−4x|−3= 9 ou |7−4x|−3=−9 ⇔ |7−4x|= 12 ou |7−4x|=−6, porém |7−4x| ≥ 0 e −6 < 0. Então, só devemos analisar |7−4x|= 12.

Assim, |7−4x|= 12 ⇔ 7−4x = 12 ou 7−4x =−12 ⇔ x =−54

ou x =194

.

Portanto, C. S.= {54,194}.

c. |x−2|+3|x−4|= 5|x+1|

SoluçãoDenotemos por E(x) a equação |x−2|+3|x−4| = 5|x+1|. Neste caso, consideramos adefinição de cada valor absoluto. Igualando cada valor absoluto a zero, obtemos os pontosx = 2, x = 4 e x =−1 e podemos analisar os 4 casos a seguir:

Caso 1Se x <−1, então• x+1 < 0 ⇒ |x+1|=−x−1• x−2 <−3 ⇒ |x−2|=−x+2• x−4 <−5 ⇒ |x−4|=−x+4

Logo, E(x) é equivalente a −x+2−3x+12 =−5x−5. Assim, x =−19 e −19 ∈(−∞,−1).

Caso 2Se −1≤ x < 2, então• 0≤ x+1 < 3 ⇒ |x+1|= x+1• −3≤ x−2 < 0 ⇒ |x−2|=−x+2• −5≤ x−4 <−2 ⇒ |x−4|=−x+4

Logo, E(x) é equivalente a −x+2−3x+12 = 5x+5. Assim, x = 1 e 1 ∈ [−1,2).Caso 3

Se 2≤ x < 4, então• 3≤ x+1 < 4 ⇒ |x+1|= x+1• 0≤ x−2 < 2 ⇒ |x−2|= x−2• −2≤ x−4 < 0 ⇒ |x−4|=−x+4

Logo, E(x) é equivalente a x−2−3x+12= 5x+5. Assim, x=57

, porém576∈ [2,4).

Caso 4Se 4≤ x, então• 5≤ x+1 ⇒ |x+1|= x+1• 2≤ x−2 ⇒ |x−2|= x−2• 0≤ x−4 ⇒ |x−4|= x−4

Logo, E(x) é equivalente a x− 2 + 3x− 12 = 5x + 5. Assim, x = −19, porém−19 6∈ [4,+∞).

Portanto, o C. S. é obtido dos casos 1 e 2, isto é, C. S.= {−19,1}.

1.5 Axioma do Supremo

Antes de começar a falar sobre os limitantes de um conjunto A ⊂ R, vejamos alguns conjuntosimportantes em R:


a. O conjunto dos números naturais, denotado por N, é o conjunto

N= {1,2,3,4, . . . ,n,n+1, . . .}Se n ∈ N, então n é dito de número natural.

b. O conjunto dos números inteiros, denotado por Z, é o conjunto

Z= {. . . ,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4, . . .}Se z ∈ Z, então z é dito de número inteiro.

c. O conjunto dos números racionais, denotado por Q, é o conjunto

Q= {ab

: a ∈ Z e b ∈ Z, com b 6= 0}

Se q ∈Q, então q é dito de número racional.

d. O conjunto dos números irracionais, denotado por I, é o conjunto

I= {x ∈ R : x 6∈Q}Se x ∈ I, então x é dito de número irracional.

Nota

• Entre os números irracionais temos:

–√

2,√

3, 7√

4, −√

7, . . .

– π = 3,141592 . . .

– e = 2,71828182 . . .

• Uma propriedade importante dos números racionais e irracionais é que:

– Entre dois números racionais existe um número infinito de números irracionais.

– Entre dois números irracionais existe um número finito de números racionais.

• Verifica-se que:

N⊂ Z⊂Q⊂ R, R=Q∪ I e Q∩ I= /0.

DefiniçãoSeja A um subconjunto não vazio de R. Diz-se que:

a. A é limitado superiormente se existe M ∈ R tal que

x≤M, ∀x ∈ A.

O número M é chamado de limitante superior de A.


b. A é limitado inferiormente se existe m ∈ R tal que

m≤ x, ∀x ∈ A.

O número m é chamado de limitante inferior de A.

c. A é limitado se existe k > 0 tal que

|x| ≤ k, ∀x ∈ A.

Um conjunto é limitado se é limitado superiormente e inferiormente.

Exemplo 1.11

• Os conjuntos N e (−1,+∞) são limitados inferiormente e um limitante inferior destes conjuntos é−2, porém não são limitados superiormente.

• Os conjuntos (−∞,4] e −N são conjuntos limitados superiormente e um limitante superior destesconjuntos é 7, porém não são limitados inferiormente.

• Os conjuntos{

23z

: z ∈ Z\{0}}

e {x ∈ R : 2x− x2 ≥−7} são limitados por 4.

DefiniçãoSeja A um subconjunto não vazio de R. Diz-se que:

a. s ∈ R é o supremo de A, denotado por Sup(A) se:

i. s é limitante superior de A, isto é, x≤ s, ∀x ∈ A.ii. Se b ∈ R e b < s, então existe x ∈ A tal que b < x≤ s.

b. r ∈ R é o ínfimo de A, denotado por Inf(A) se:

i. r é limitante inferior de A, isto é, r ≤ x, ∀x ∈ A.ii. Se c ∈ R e r < c, então existe x ∈ A tal que r ≤ x < c.

Nota

• O supremo de um conjunto é o menor limitante superior e o ínfimo é o maior limitanteinferior.

• Se o supremo e o ínfimo de um conjunto A pertencem ao conjunto, estes elementos sãochamados máximo de A, denotado por max(A) e mínimo de A, denotado por min(A),respectivamente.


Exemplo 1.12Dados os conjuntos

A = (−1,94], B =

{1k

: k ∈ N}

e C = {x ∈Q :−20≤ x}

temos que:

a. Inf(A) =−1, Sup(A) =94= max(A). Portanto, A é limitado.

b. Inf(B) = 0, Sup(B) = 1 = max(B). Portanto, B é limitado.

c. Inf(C) = −20 = min(C). Porém, C não tem supremo, logo, não tem ínfimo. Portanto, não élimitado.

O axioma a seguir completa os axiomas que definem o sistema dos números reais.

Axioma 11 (Axioma do Supremo): Todo subconjunto não vazio, limitado superiormente, B ⊂ Rpossui um supremo s = Sup(B) ∈ R.

Teorema 6Seja A⊂ R com A 6= /0. Se A é limitado inferiormente, então este possui ínfimo.

Para finalizar, embora o princípio da boa ordem seja muito importante, somente o enunciaremos.

Teorema 7 (Princípio da boa ordem)Todo subconjunto não vazio de Z, limitado inferiormente, possui ínfimo.

Este princípio é usado para demonstrar o Princípio da Indução Finita e muito usado para provar váriaspropriedades referentes aos números inteiros.

1.6 Recapitulando

Neste capítulo, apresentamos as noções básicas sobre os Números Reais com o intuito de fazer comque o aluno tenha um melhor entendimento dos próximos capítulos.

Desta forma, apresentamos o sistema dos números reais, e nele os axiomas que regem a adição emultiplicação, seguindo este raciocínio apresentamos, dois teoremas que mostram, as propriedadesda substração e divisão.

Desde que em matemática é importantíssimo entender qual é a relação de ordem entre dois ele-mentos quaisquer, visando lidar com desigualdades, intervalos, inequações, etc., este conceito e suasprincipais propriedades foram revisadas.

Nas seções subsequentes, trabalhamos os conceitos de desigualdades, intervalos, inequações e valorabsoluto, e foram apresentados exemplos ilustrativos.

Por último, e não menos importantes, o axioma do supremo e o princípio da boa ordem foramapresentados, estabelecendo-se os conceitos de conjuntos limitados inferiormente, superiormente,supremo, ínfimo, máximo e mínimo.

No proxímo capítulo, apresentaremos as noções básicas sobre relações e funções, já que esta teoria éfundamental para, por exemplo, determinar com precisão o domínio e a imagem das funções reais.


1.7 Atividades

1. Encontrar M tal que ∀x ∈ R se verifique:

a. 2x− x2 ≤M

b. −(x2 +4x+13

)≤M

c. 2− x13 − x

23 ≤M

2. Encontrar M tal que:

a.∣∣∣∣ x+62x+1

−3∣∣∣∣< M, ∀x ∈ (0,4)

b.∣∣∣∣2x+7

x2 − 12

∣∣∣∣< M, ∀x ∈ (2,5)

c.∣∣∣∣3x+4

x−1−2∣∣∣∣< M, ∀x ∈ (3,7)

d.∣∣∣∣ x−2x2 +4x−5

∣∣∣∣< M, se |x−2|< 12

e.∣∣∣∣ x2−5xx2 + x+10

∣∣∣∣< M, se |x+1|< 1

3. Encontre as raízes reais das seguintes equações:

a. 12x−4 = 3x+9

b. 2x2−11x−4 = 0

c. x4−2x2−8 = 0

d.∣∣x2−4x

∣∣= 3x+4

e. |2x−1|= x−1

4. Encontre o conjunto solução das seguintes inequações:

a. 3x−8 < 5x−2

b. 3x2−5x−2 > 0

c. (x2 + x−6)(4x−4− x2)≤ 0

d.x−2x+4

≤ x+5x+3

e.x2−2x+3x2−4x+3

>−2

f.32

x2−4≥ x

x−2− 4

x+2g.√

x2−2x−15 > x+1

h.√

x2−11x+30 > 6− x

i.

√x2 +3x−4

4−√

x2 +6x> x−2


j.∣∣∣∣x2 +3x−2

x2−1

∣∣∣∣< 1

k. 3(|x+1|− 1

6

)2

≥ 1−2∣∣∣∣|x+1|− 1

6

∣∣∣∣


Capítulo 2

Relações e Funções



• Determinar com precisão o domínio e a imagem de funções reais;

• Dado o gráfico de uma relação, estabelecer se esta relação é funcional;

• Dada uma função, saber estabelecer se ela é injetora, sobrejetora ou bijetora;

• Realizar operações com funções, isto é, soma, substração, produto, divisão e composi-ção de funções;

• Relacionar-se cada vez mais com a linguagem e simbolismo matemático relativo àsfunções definidas no conjunto dos números reais;

• Encontrar a inversa de uma função, se ela existir.

No nosso dia a dia, ao lermos um jornal, ao assistirmos televisão, nos deparamos com gráficos, tabelase ilustrações, pois estes são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto comilustrações é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jor-nais ou revistas que encontramos gráficos, eles também estão presentes nos exames laboratoriais, nosrótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de cosméticos, nas bulasde remédios, enfim, em todos os lugares. Ao interpretarmos estes gráficos, verificamos a necessidadedos conceitos necessários para o bom entendimento dos mesmos.

Ao relacionarmos espaço em função do tempo, intensidade da fotossíntese realizada por uma plantaem função da intensidade de luz a que ela é exposta, ou pessoa em função da impressão digital,percebemos quão importantes são os conceitos de funções para compreendermos as relações entre osfenômenos físicos, biológicos e sociais.

Observamos então que as aplicações das relações e funções estão presentes no nosso cotidiano. Por-tanto, neste capítulo revisaremos um dos conceitos mais importante da Matemática: a função. Inicia-remos o capítulo dando as definições gerais de relação. Em seguida, definiremos as funções reais devariável real, pois são estas funções o objetivo de estudo deste capítulo e de todos os outros.

2.1 Relações

Na matemática, como em outras ciências, muitas vezes se deseja estabelecer uma relação ou corres-pondência entre dois conjuntos. Suponhamos que temos os conjuntos A = {18,20,21,33} e


B = {Joao, Maria, Pedro, Brenda} e queremos estabelecer uma relação entre estes conjuntos, demodo que a cada número do conjunto A associamo-lhes o nome de uma pessoa do conjunto B. As-sim, podemos estabelecer o seguinte esquema conforme a figura abaixo:

18

20

21

33

João

Maria

Pedro

Brenda

A B

No entanto, este esquema pode ser representado mediante pares ordenados, isto é:

(18,João), (20,Maria), (21,Pedro), (33,Brenda).

Esta correspondência determina um subconjunto do conjunto A×B, e denotaremos este conjunto por:

R = {(18,João), (20,Maria), (21,Pedro), (33,Brenda)} .

É claro que a relação estabelecida não é única, pois é possível estabelecer outras relações entre estesdois conjuntos. Abaixo apresentamos a definição formal de uma relação.

DefiniçãoSejam A e B dois conjuntos. Uma relação de A em B é um subconjunto de A× B, isto é,R⊂ A×B, e é denotada por R : A→ B.

DefiniçãoSeja a relação R : A→ B. Então:

a. Diz-se que o conjunto A é o conjunto de partida e o conjunto B é o conjunto de chegada;

b. Se (x,y) ∈ R, diz-se que x esta em relação com y mediante R, e é denotado por xRy;

c. Desde que /0⊂ A×B, /0 é uma relação de A em B, é chamada de relação nula;

d. Se R⊂ A×A, diz-se que R é uma relação em A.

Exemplo 2.1Sejam A = {1,2,3,4,5} e B = {2,4,6,8,10}, determinemos por extenso as relações R e S definidaspor:

R = {(x,y) ∈ A×B : y = 2x} , S = {(x,y) ∈ A×B : y≥ 3x+1}

SoluçãoDas definições das relações R e S, temos que:

R= {(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),(5,10)} , S= {(1,4),(1,6),(1,8),(1,10),(2,8),(2,10),(3,10)} .

Na figura a seguir são ilustradas estas relações.


2

4

6

8

10

R

2

4

6

8

10

SA B A B

2.1.1 Domínio, imagem e gráfico de uma relação

DefiniçãoSeja a relação R : A→ B, com R 6= /0. Então:

a. O domínio da relação R é o conjunto {x ∈ A : (x,y) ∈ A×B}, e é denotado por Dom(R);isto é, o domínio de R é o subconjunto de A cujos elementos são os primeiros componentesde todos os pares ordenados que pertencem à relação R.

b. A imagem da relação R é o conjunto {y ∈ B : (x,y) ∈ A×B}, e é denotado por Im(R); istoé, a imagem de R é o subconjunto de B cujos elementos são os segundos componentes detodos os pares ordenados que pertencem à relação R.

c. Se A e B são subconjuntos de R, o gráfico da relação R é o conjunto{(x,y) ∈ R×R : (x,y) ∈ R}, e é denotado por Graf(R).

NotaNo momento de esboçar o gráfico de uma relação R, é usual posicionar o domínio no eixo x(horizontal) e a imagem no eixo y (vertical).

Exemplo 2.2Das relações R e S, definidas no Exemplo 2.1 [20], temos que:

Dom(R) = {1,2,3,4,5} , Im(R) = {2,4,6,8,10} ;

Dom(S) = {1,2,3} , Im(S) = {4,6,8,10} ;

Os gráficos de R e S são apresentados nas figuras a seguir:

1 2 3 4 5

10

8

6

4

2

9

7

5

3

1

6

-

-

-

-

- - - - - -

-

-

-

-

-

-

Graf( )S

1 2 3 4 5

10

8

6

4

2

9

7

5

3

1

6

-

-

-

-

- - - - - -

-

-

-

-

-

-

Graf( )R


Exemplo 2.3Sejam as relações:

R ={(x,y) ∈ N×N : x2 + y2 ≤ 16

}, S =

{(x,y) ∈ R×R : x2 + y2 ≤ 16

}.

Encontremos os domínios e as imagens delas e esboçemos seus gráficos.

Solução

• Da definição de R temos que:

R = {(1,1),(1,2)(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)} , Dom(R) = {1,2,3,4}= Im(R).

• Da definição de S temos que x2+y2 = 16 representa uma circunferência com centro na origeme raio 4, concluímos que o gráfico de S está formado por todos os pontos da circunferência etambém por todos os pontos interiores a esta. Além disso, Dom(S) = [−4,4] = Im(S).

• Os gráficos de R e S são apresentados nas figuras a seguir:

Graf( )S

1 2

3

1

4

2

3

- - --

-

-

-

Graf( )R

4

-

0

-2 1 1 2

3

1

1

3

4

2

2

4

3

-

-

-

- - - -

-

-

-

-

-

4

-

3

-

4

-

5

-

0

5

5

-

5-

-

- -- - -

-

-

-

-

-

2.2 Relação inversa

DefiniçãoSeja uma relação R : A→ B, R 6= /0. A relação inversa de R, denotada por R−1, é o conjunto

R−1 = {(y,x) ∈ B×A : (x,y) ∈ R} .

NotaA partir da definição, é possível deduzir que R−1 é uma relação de B em A, isto é, R−1 : B→A, e é obtida a partir da relação R, interligando os componentes dos pares ordenados quepertencem a R.


Exemplo 2.4Sejam as relações R e S estabelecidas no Exemplo 2.1 [20]. Então

R−1 = {(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)} ;

S−1 = {(4,1),(6,1),(8,1),(10,1),(8,2),(10,2),(10,3)} .

PropriedadeDa definição de R−1, temos que:

a. (y,x) ∈ R−1⇔ (x,y) ∈ R;

b. Dom(R−1) = Im(R) e Im(R−1) = Dom(R);

c. (R−1)−1 = R; isto é, a relação inversa de R−1 é a própria R.

2.2.1 Relações entre o gráfico de uma relação e gráfico de sua inversa

Se R : R→ R, então, da propriedade acima, temos que:

(a,b) ∈ R⇔ (b,a) ∈ R−1.

Logo, os pontos (a,b) e (b,a) são simétricos com respeito à reta L : y = x; veja o item (a) da figuraa seguir. Isto implica que, os gráficos de R e R−1 são simétricos com respeito à reta L : y = x; veja oitem (b) da figura a seguir.

b-

b

-

0

a-

a

-

L: x=y

x

y

(b,a)

(a,b)

Graf(R)

Graf(R-1)

0

L: x=y

x

y

(a) (b)

Exemplo 2.5Sejam as relações

R ={(x,y) ∈ R×R : x2 + y2 = 2x

}e S = {(x,y) ∈ R×R : 2x≤ y} .

Determinemos as relações inversas e esbocemos seus respectivos gráficos.

Solução

a. Da definição de relação inversa temos que:

R−1 ={(y,x) ∈ R×R : x2 + y2 = 2x

}Porém, é convenção escrever x como primeiro componente de um par ordenado, e y comoo segundo componente, fazendo esta troca obtemos

R−1 ={(x,y) ∈ R×R : x2 + y2 = 2y

}={(x,y) ∈ R×R : x2 +(y−1)2 = 1

}Os gráficos de R e R−1 são apresentados no item (a) da figura a seguir.


(a) (b)

x

y

01

1

x

Graf(R)

Graf(R -1)

Graf(S -1)

b. De forma análoga, para a relação S, obtemos que:

S−1 = {(x,y) ∈ R×R : 2y≤ x}Os gráficos de S e S−1 são apresentados no item (b) da figura acima.

2.3 Funções

Nesta seção definiremos e desenvolveremos o conceito de função, que é objeto matemático básicoutilizado para descrever o mundo real em termos matématicos.

DefiniçãoSejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B, com domínio Dom( f ).Diz-se que f é uma função de A em B, se para cada elemento x ∈ Dom( f ) existe um únicoelemento y ∈ B tal que (x,y) ∈ f . Ou equivalentemente,

f : A→ B é função, se (x,y) ∈ f e (x,z) ∈ f implica que y = z.

NotaDesta definição temos que, em uma função não existem dois pares ordenados com primeiroscomponentes iguais e segundos componentes diferentes.

Exemplo 2.6Sejam os conjuntos A = {1,2,3,4} e B = {a,b,c,d,e}. Então:

a. A relação f1 : A→ B, definida por f1 = {(1,a),(2,b),(3,c),(4,d)}, é uma função de A em B.Veja o item (a) da figura abaixo;

b. A relação f2 : A→ B, definida por f2 = {(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(1,e)}, não é uma funçãode A em B, pois ao elemento 1 lhe corresponde a dois elementos do conjunto B (isto é, (1,a) e(1,e)). Veja o item (b) da figura abaixo;

c. A relação f3 : A→ B, definida por f3 = {(1,a),(2,a)}, é uma função de A em B. Veja o item(c) da figura abaixo;

d. A relação f4 : A→ B, definida por f4 = {(1,a),(2,a),(3,a),(4,e)}, é uma função de A em B.Veja o item (d) da figura abaixo.


a

b

c

d

e

f1 f2

a

b

c

d

e

f3

a

b

c

d

e

(a) (c)(b) (d)

f4

NotaSeja uma função f : A→ B.

a. Se (x,y) ∈ f , se escreve y = f (x) (leia-se “y é igual a f de x”) e diz-se que y é ovalor de f em x, neste caso, x é denominada variável independente e y variáveldependente.

b. Desde que f é também uma relação, as definições de domínio, imagem e gráfico de fsão os mesmos estabelecidos na seção anterior.

c. Se Dom( f ) = A, diz-se que f é uma aplicação de A em B. Além disso, se Im( f ) = B,diz-se que f é uma aplicação de A sobre B.

d. Se A e B são subconjuntos de R, então f é chamada de função real de variável real.

e. Se f é uma função real de variável real, definida pela regra de correspondência y =f (x), então:

i. Quando Dom( f ) não é especificado, considera-se que este é o maior subcon-junto de R para os quais a regra de correspondência tenha sentido e resulte emvalores reais. Isso é denominado domínio natural da função.

ii. Os valores de x para os quais f (x) = 0 são as coordenadas x para os quais ográfico de f intersecta o eixo x. Estes valores são denominados zeros de f ,raízes de f (x) = 0 ou pontos de corte de y = f (x) com o eixo x.

f. Os gráficos podem fornecer uma informação visual importante sobre uma função. Porexemplo, como o gráfico de uma função f no plano xy é o grafico da equação y = f (x),os pontos do gráfico são da forma (x, f (x)), ou seja, a coordenada y de um ponto dográfico de f é o valor de f na coordenada x correspondente.

Exemplo 2.7Determinemos o domínio, a imagem e o gráfico de f , das funções a seguir:

a. Sejam A = {1,2,3,4}, B = {5,6,7,8,9} e f : A→ B definida por f (x) = x+2.

SoluçãoDesde que f (1) = 1+ 2 = 3, f (2) = 2+ 2 = 4, f (3) = 3+ 2 = 5, f (4) = 4+ 2 = 6,verificamos que os únicos valores de A que tem um correspondente no conjunto B são3, 4. Portanto, Dom( f ) = {3,4} e Im( f ) = {5,6} e o gráfico de f é apresentado no item(a) da figura abaixo


b. Seja f : R→ R definida por f (x) =1x

.

SoluçãoA função f dada esta definida para todo x ∈ R, exceto x = 0; assim Dom( f ) = R\{0}.Para determinar Im( f ) é conveniente introduzir uma variável dependente y:

y =1x.

Embora para muitos o conjunto dos possíveis valores de y não seja evidente nessa equação,o gráfico de f . Veja o item (b) da figura abaixo, que sugere que Im( f ) = R \ {0}. Paraprovar isto resolvamos a equação acima para x em termos de y:

x 6= 0 ⇒ xy = 1 ⇔ x =1y.

Agora está evidente que essa expressão está definida para todo y ∈ R, exceto y = 0. Por-tanto, Im( f ) = R\{0}.

0

Graf( )f

1 2 3 4

8

6

9

7

5

- - - -

-

-

-

-

-

Graf( )f

x

y

x

y

1 2 3 4

8

6

9

7

5

- - - -

-

-

-

x

y

5

-

6

-

10-

-

-

4

3

-

-

2

1

-

-

0

Dom( )f

Im( )f

(a) (b) (c)

Graf( )f

c. Seja f : (0,5]→ [1,10) definida por f (x) = (x−3)2 +1.

SoluçãoDa definição de f temos que Dom( f ) = (0,5]. Por outro lado, à medida que x varia sobreo intervalo (0,5], o valor de (x− 3)2 varia sobre o intervalo [0,9); assim o valor de f (x)varia sobre o intervalo [1,10). Portanto, Im( f ) = [1,10).Nesse caso, f é uma aplicação de (0,5] sobre [1,10) e Im( f ) pode ser escrita comof ((0,5]) = [1,10). Veja o item (c) da figura acima.

A próxima nota nos diz que nem toda curva no plano pode ser gráfico de uma função.


Teste da Reta VerticalUma relação f : R→R com domínio localizado no eixo horizontal e a imagem localizada noeixo vertical, é uma função se, e somente se, toda reta vertical intersecta o seu gráfico nomáximo uma vez. O item (a) da figura a seguir corresponde a uma função, enquanto que oitem (b) não corresponde a uma função.

x

y

0

y = f (x)

Graf( f ) x

y

0

L

P

Q

R

S

TGraf( f )

(a) (b)

2.3.1 Translações e reflexões de uma função

Esta parte se dedicará a considerar o efeito geométrico de efetuar operações básicas com funções.Isso nos permitirá usar gráficos de funções conhecidas para visualizar ou esboçar gráficos de funçõesrelacionadas.

Teorema (Testes de simetria)

a. Uma curva plana é simétrica em relação ao eixo y se, e somente se, subtituindo-se x por−x em sua equação obtém-se uma equação equivalente;

b. Uma curva plana é simétrica em relação ao eixo x se, e somente se, subtituindo-se y por−y em sua equação obtém-se uma equação equivalente;

c. Uma curva plana é simétrica em relação à origem se, e somente se, subtituindo-se x por−x e y por −y em sua equação obtém-se uma equação equivalente.

Para esboçar o gráfico de uma função é importante considerar a relação entre ela e uma outra funçãojá conhecida, y = f (x).

Seja o gráfico de y = f (x) apresentado no item (a) da figura abaixo. Então o gráfico de:

• y =− f (x) é a função simétrica ao gráfico original com respeito ao eixo x. Veja o item (b) da figuraabaixo;

• y = f (−x) é a curva simétrica ao gráfico original com respeito ao eixo y. Veja o item (c) da figuraabaixo;

• y = | f (x)| se obtém transladando a parte do gráfico original que se encontra abaixo do eixo x (f (x)< 0) de forma simétrica a este último e mantendo a parte do gráfico que está por cima do eixox ( f (x)≥ 0). Veja o item (d) da figura abaixo;


x

y

0

y = f (x)

x

f(x)

(a)

x

y

0

y = f (x)

y = - f (x)

(b) (d)

x

y

0

y = f (x) y = f (- x)

x

y

0

y = |f (x)|

y = f (x)

(c)

Sejam k > 0 e h > 0. Então o gráfico de:

• y = f (x)+ k se obtém transladando verticalmente o gráfico original k unidades para cima. Veja oitem (a) da figura abaixo;

• y = f (x)− k se obtém transladando verticalmente o gráfico original k unidades para baixo. Veja oitem (a) da figura abaixo;.

• y = f (x+h) se obtém transladando horizontalmente o gráfico original h unidades para a esquerda.Veja o item (b) da figura abaixo;

• y = f (x− h) se obtém transladando horizontalmente o gráfico original h unidades para a direita.Veja o item (b) da figura abaixo;

• y= f (x−h)+k se obtém efetuando uma dupla translação, h unidades para a direita horizontalmentee k unidades para cima verticalmente. Veja o item (c) da figura abaixo.

x

y

0

y = f (x)

(c)

y = f (x - h) + k

k

h

x

y

0

y = f (x)

x

y

0

y = f (x)

(a) (b)

y = f (x) + k

y = f (x) - k

y = f (x+h) y = f (x-h)

k

k

h h

Exemplo 2.8Dadas as seguintes funções:

a. f (x) = x2;

b. g(x) =−x2;

c. h(x) = x2 +1;

d. i(x) = (x+1)2;

e. j(x) = (x−1)2−2;

f. k(x) = |x2−2|.


Nas figuras abaixo encontramos, na sua respectiva letra, o esboço do gráfico de cada uma delas.

(b)

x

y

0

(a)

x

y

0

y = - x2

x

y

0

y = x2

y = x2 + 1

y = x2y = x21

(c)

(f)

x

y

0

(e)

x

y

0

y = x2

y = (x -1)2 - 2

1

y = |x 2 - 2|

y = x 2 - 2

x

y

0

y = (x +1)2

1

-2

(d)

y = x2

2.3.2 Funções comuns

Agora apresentaremos algumas funções reais de variável real que são de uso frequente em cálculo.

Função linearÉ a função definida por f (x) = mx+b, onde m e b são constantes. O domínio da função linearé Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = R. Seu gráfico é a reta dependente m que intersecta oeixo x em (0,b); veja o item (a) da figura abaixo.

Casos particularesa. Quando b= 0, a função f (x) =mx passa pela origem; veja o item (b) da figura abaixo.b. Quando m = 1 e b = 0, a função f (x) = x é chamada de função identidade, também

denotada por Id(x), e seu gráfico é a reta diagonal do primeiro e terceiro quadrantes;veja o item (c) da figura abaixo.

c. Quando m = 0, a função f (x) = b é chamada de função constante, e nesse casoIm( f ) = {b}; veja o item (d) da figura abaixo.

x

y

0

y = mx + b

Dom( ) = f

Im( ) = f R

R

x

y

0

y = b

Im( ) = {b}f

Dom( ) = f R

x

y

0

y = x

(a) (b) (c) (d)

y

y = x

y = - x

y = - 4x

3

2

5

2

y = 2x

y = x

b


Função valor absolutoÉ a função definida por f (x) = |x|, x ∈ R. Da definição de valor absoluto temos:

|x|=√

x2 =

{x, se x≥ 0;−x, se x < 0.

O domínio da função valor absoluto é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = [0,+∞); veja oitem (a) da figura abaixo.

Função raiz quadradaÉ a função definida por f (x) =

√x, x ≥ 0. O domínio da função raiz quadrada é Dom( f ) =

[0,+∞) e sua imagem é Im( f ) = [0,+∞); veja o item (b) da figura abaixo.

Função raiz cúbicaÉ a função definida por f (x) = 3

√x, x ∈ R. O domínio da função raiz cúbica é Dom( f ) = R e

sua imagem é Im( f ) = R; veja o item (c) da figura abaixo.

x

y

0

y = |x|

Im( ) = [0, + )f 8

Dom( ) = f R Dom( ) =

x0

f

Im( ) = f

y = 3 x

R

R

y

x

y

0

y = x

f

Im( ) = [0, + )f 88Dom( ) = [0, + )

(a) (b) (c)

Função polinomial de grau nÉ a função definida por f (x)= a0xn+a1xn−1+ · · ·+an, onde x∈R, a0,a1, . . . ,an são constantesreais, a0 6= 0 e n∈N∪{0}. O domínio da função polinomial é Dom( f )=R, porém, sua imagemdepende de n.

Casos particularesa. f (x) = xn, n ∈ N:

i. Se n é par, sua imagem é Im( f ) = [0,+∞), seu gráfico é simétrico em relação aoeixo y com formato geral de uma parábola, y = x2, embora não sejam realmenteconsideradas assim quando n > 2, e cada gráfico passa pelos pontos (−1,1) e(1,1); veja o item (a) da figura abaixo.

ii. Se n é impar, sua imagem é Im( f ) = R, seu gráfico é simétrico à origem comformato geral de uma cúbica y = x3, e cada gráfico passa pelos pontos (−1,−1)e (1,1), veja o item (b) da figura abaixo.

iii. Quando n cresce, no intervalo (−1,1) os gráficos ficam mais achatados e nosintervalos (−∞,−1) e (1,+∞) cada vez mais próximos ao eixo y;

b. Função quadrática ou função polinomial de 2◦ grau: f (x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0. O

gráfico desta função é uma parábola de vértice(− b

2a,c− b2

4a

).


i. Se a > 0, a parábola se abre para cima e Im( f ) =[

c− b2

4a,+∞

); veja o item (c)

da figura abaixo.

ii. se a < 0, a parábola se abre para abaixo e Im( f ) =(−∞,c− b2

4a

]; veja o item

(d) da figura abaixo.

iii. O valor máximo ou mínimo da função ocorre no vértice, isto é, f(− b

2a

)=

c− b2

4aé o valor máximo ou mínimo da função.

Dom( ) =

x

y

0

f

Im( ) = f

y = x5

R

R

y = x3

Dom( ) =

x

y

0

f

f

y = x4

Ry = x2

8

(a) (b)

x

y

0 b2a

b2

4ac

x

y

0 b2a

b2

4ac

Im( ) = [0, + )

(c) (d)

y = x6

y = x7

Função racionalÉ a função definida por

f (x) =a0xn +a1xn−1 + · · ·+an

b0xm +b1xm−1 + · · ·+bm, x ∈ R.

Esta função é o quociente dos polinômios P(x) = a0xn+a1xn−1+ · · ·+an e Q(x) = b0xm+b1xm−1+· · ·+bm, onde a0,a1, . . . ,an,b0,b1, . . . ,bm são constantes reais, a0,b0 6= 0 e n,m∈N∪{0}. O domínioda função racional é Dom( f ) = {x ∈ R : Q(x) 6= 0} ≡ R\{x ∈ R : Q(x) = 0}.

Casos particulares

a. f (x) =1xn , n ∈ N:

i. Se n é impar, o domínio da função é Dom( f ) = R \ {0}, sua imagem é Im( f ) =

R \ {0} e seu gráfico é semelhante ao gráfico de y =1x

e cada gráfico passa pelos

pontos (−1,−1) e (1,1); veja o item (a) da figura abaixo;ii. Se n é par, o domínio da função é Dom( f ) =R\{0}, sua imagem é Im( f ) = [0,+∞)

e seu gráfico é semelhante ao gráfico de y =1x2 , e cada gráfico passa pelos pontos

(−1,1) e (1,1); veja o item (b) da figura abaixo;iii. O fato de x /∈ Dom( f ) implica que o gráfico tem uma quebra na origem. Por esse

motivo, zero é denominado ponto de descontinuidade. Esse conceito será visto nopróximo capítulo;

iv. Quando n cresce, nos intervalos (−∞,−1) e (1,+∞) os gráficos ficam mais achatadose nos intervalos (−1,0) e (0,1) cada vez mais próximos ao eixo y.

b. f (x) =1

1+ xn , n ∈ N:


i. Se n é impar, o domínio da função é Dom( f ) = R \ {−1}, sua imagem é Im( f ) =R \ {0} e seu gráfico tem um comportamento semelhante à curva mostrada no item(c) da figura abaixo;

ii. Se n é par, o domínio da função é Dom( f ) = R, sua imagem é Im( f ) = (0,1] e seugráfico tem um comportamento semelhante à curva mostrada no item (d) da figuraabaixo.

x

y

0

y =

Dom( ) = - {0} f

Im( ) = - {0} f R

R

1x

(a)

x

y

0

y =

Dom( ) = - {0} f

Im( ) = [0, + )f

R

8

1x2

(b) (c) (d)

x

y

0

Dom( ) = - { - 1} f

Im( ) = - {0} f R

R

-1

Dom( ) =f

Im( ) = (0, 1]f

R

x

y

0

1

Função algébricaÉ qualquer função construída a partir de polinômios por meio de operações algébricas (adição,subtração, multiplicação, divisão ou extração de raízes). Todas as funções racionais são algébri-cas, porém existem outras funções mais complexas inclusas nesse conjunto. Os gráficos dessetipo de função variam amplamente, e assim sendo, é difícil fazer afirmações sobre elas.

x

y

0

Dom( ) = f

Im( ) = [0, + )f

R

1 2 3

1

2

-3 -2 -1

-1

y = x2/3(x+2)2

(c)

3

4

8

x

y

0

Dom( ) = f

Im( ) = f

R

1 2 3

1

2

-3 -2 -1

-1

y = x(1 - x)2/5

R

x

y

0

Dom( ) = f

Im( ) = - 3 4, +f

R

1 2 3

5

10

-3 -2 -1

-5

y = 3x1/3(2+ x)

(b)

15

20

8

(a)

94[ )

Função trigonométicaExistem 6 funções básicas trigonométricas, sen(x), cos(x), tg(x), sec(x), cossec(x) e cotg(x).Os gráficos das funções seno e cosseno são mostrados na figura abaixo nos itens (a) e (b),respectivamente.

x

y

0 π

1

-1

y = sen(x)

(b)(a)

2π

π2

3

2π

π2

π2

3

π2

π x

y

0 π

1

-1

y = cos(x)

2

π

π2

3 2ππ2

π2

3π2

π

Dom( ) = f R Im( ) = [-1, 1]f


Função exponencialÉ da forma f (x) = ax, onde a base a > 0 é uma constante positiva e a 6= 1. Em todos os casos odomínio é Dom( f ) =R e sua imagem é Im( f ) = (0,+∞). Os gráficos para as bases 2, 3, 5, 70são apresentados nos itens (a) e (b) da figura abaixo.

Dom( ) = (0,+ )f 8

(a)

x

y

0

Dom( ) = f

Im( ) = (0,+ )f

R

1

y = 7-x

y = 5-x

y = 3-x

y = 2-x

8

x

y

0

Im( ) = f R

1

y = log2 x

x

y

0

1

(b)

y = 7x

y = 5x

y = 3x

y = 2x

(c)

y = log3 x

y = log5 x

y = log7 x

Função logarítmicaÉ da forma f (x) = logax, onde a base a > 0 é uma constante positiva e a 6= 1. Esta função éa inversa das funções exponenciais. Em todos os casos o domínio é Dom( f ) = (0,+∞) e suaimagem é Im( f ) =R. O item (c) da figura acima mostra os gráficos da função logarítmica paraa = 2, 3, 5, 7.

Função sinalÉ denotada por sgn(x), x ∈ R, leia-se sinal de x e está definida por

sgn(x) =

−1, se x < 0;0, se x = 0;1, se x > 0.

O domínio da função sinal é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = {−1,0,1}. Seu gráfico éapresentado no item (a) da figura abaixo.

x

y

0

Dom( ) = f

Im( ) = f

R

1 2 3

1

2

-3 -2 -1

-1

-2

-3

y = x

x

y

0

Dom( ) = f

Im( ) = {-1, 0, 1} f

R

y = sgn(x)

(a) (b)

Função maior inteiroÉ denotada por bxc, x ∈ R, leia-se maior inteiro de x e está definida por


bxc= n se, e somente se, n≤ x < n+1, n ∈ Z

Isto é, bxc representa o maior número inteiro que não supera a x. O domínio da função maiorinteiro é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = Z. Seu gráfico é apresentado no item (b) dafigura acima.

Propriedades da função maior inteiroa. x−1 < bxc ≤ x, ∀x ∈ R;b. Se n ∈ Z ⇒ bx+nc= bxc+n, ∀x ∈ R;c. Se f (x) = baxc, com a 6= 0, a longitude do intervalo onde a função permanece cons-

tante é `=1|a|

, desde que

baxc= n⇔ n≤ ax < n+1

na≤ x <

na+

1a, se a > 0;

na≥ x >

na+

1a, se a < 0.

Em ambos casos, `=∣∣∣∣na +

1a− n

a

∣∣∣∣= 1|a|

.

Exemplo 2.9Dada a função maior inteiro bxc. .. Se x = 3,1415 ⇒ bxc = 3; .. Se x = 3 ⇒ bxc = 3; .. Sex = −1,25⇒ bxc = −2; .. Se x ∈ [−2,−1)⇒ bxc = −2; .. Se x ∈ [−1,0)⇒ bxc = −1; .. Sex ∈ [0,1)⇒ bxc= 0; .. Se x ∈ [1,2)⇒ bxc= 1.

Exemplo 2.10Esbocemos os gráficos das seguintes funções:

a. f (x) = b3xc

Solução

Pela definição, b3xc = n⇔ n ≤ 3x < n+ 1⇔ n3≤ x <

n3+

13

. O gráfico desta função éapresentado no item (a) da figura abaixo. A amplitude do intervalo onde a função perma-

nece constante é `=13

.

b. f (x) =⌊−x

3

⌋Solução

Pela definição,⌊−x

3

⌋= n⇔ n ≤ −x

3< n+ 1⇔ −3n− 3 < x ≤ −3n. O gráfico desta

função é apresentado no item (a) da figura abaixo. A amplitude do intervalo onde a função

é constante é `=1∣∣∣∣−13

∣∣∣∣ = 3.


x

y

-1 3 3

0 1 2 1

-1

-2

-3

3 3

2 1

y = 3x

x

y

0

1

2

-9

-1

-2

-3

3 6

y =

9

-6 -3

x3

(a) (b)

1

2

2.3.3 Função par e função ímpar

Definição

a. Uma função f : R→R é chamada par se para todo x ∈Dom( f ) se verifica−x ∈Dom( f )e f (−x) = f (x).

x

y

0

y = xn

x

y

0

y = |x|

Im( ) = [0, + )f 8

Dom( ) = f R

x

y

0

y =

Dom( ) = - {0} f

Im( ) = [0, + )f

R

81xn

Dom( ) =f

Im( ) = (0, 1]f

R

x

y

0

1

y = 1

xn+1

Figura 2.1: Gráficos de funções pares, em todos eles n é par.

b. Uma função f : R→ R é chamada ímpar se para todo x ∈ Dom( f ) se verifica −x ∈Dom( f ) e f (−x) =− f (x).

x

y

0

y = x

Dom( ) = f

Im( ) = f R

R

x

y

0

y = n x

Dom( ) =

x

y

0

f

Im( ) = f

y = xn

R

R

x

y

0

y =

Dom( ) = - {0} f

Im( ) = - {0} f R

R

1xn

Figura 2.2: Gráficos de funções ímpares, em todos eles n é ímpar.


Nota

a. O gráfico de toda função par é simétrico em relação ao eixo y, uma vez que f (−x) =f (x), um ponto (x,y) estará no gráfico se, e somente se, o ponto (−x,y) estiver nográfico. Uma reflexão através do eixo y não altera o gráfico.

b. O gráfico de toda função ímpar é simétrico em relação à origem, uma vez que f (−x) =− f (x), um ponto (x,y) estará no gráfico se, e somente se, o ponto (−x,−y) estiver nográfico.

c. Um gráfico é simétrico em relação à origem se uma rotação de 180◦ em relação àorigem não altera o gráfico.

2.3.4 Função periódica

DefiniçãoUma função f : R→ R é dita periódica se existe um número real t 6= 0 tal que para todox ∈ Dom( f ) se verifica:

a. x+ t ∈ Dom( f )

b. f (x+ t) = f (x).

c. O menor valor de t é o período de f .

Exemplo 2.11As seguintes funções são periódicas:

a. f (x) = x−bxc , x∈R Notamos que f (x+1) = (x+1)−bx+1c= x+1−(bxc+1) = x−bxc=f (x) e desde que não existe outro número real t tal que 0 < t < 1 e que seja o período de f ,assim f é de período 1; veja o item (a) da figura abaixo.

x

y

1

-1

f(x) = |sen(2x)|

π π-π2

-π2

x

y

0

1

-3 1 2

f(x) = x x

3-2 -1-4 4

(a) (b)

-1

Dom( ) = f Im( ) = [0, 1] fR

a. f (x) = |sen(x)|, x ∈R O período de f é t = π . De fato, f (x+π) = |sen(x+π)|= |− sen(x)|=|sen(x)|= f (x); veja o item (b) da figura acima.

2.3.5 Função crescente e função decrescente

DefiniçãoSeja f uma função definida em um intervalo I e x1 e x2 dois pontos em I.


a. Se f (x2)> f (x1) sempre que x1 < x2, então dizemos que f é crescente em I; veja o item(a) da figura abaixo.

x

y

a bx1 x2

f(x1)

f(x2)

0

Ix

y

a bx1 x2

f(x2)

f(x1)

0

I

b. Se f (x2) < f (x1) sempre que x1 < x2, então dizemos que f é decrescente em I; veja oitem (b) da figura acima.

NotaUma função é crescente se seu gráfico é ascendente e é decrescente se seu gráfico é des-cendente, em ambos casos da esquerda para a direita.

Exemplo 2.12A função f (x)= |x2−4|, veja gráfico abaixo, é crecente nos intervalos [−2,0] e [2,+∞), e decrescentenos intervalos (−∞,−2] e [0,2].

x

y

f(x) = | x2- 4 |

-2 2

4

2.3.6 Função definida por partes

DefiniçãoUma função f : R→R é definida por partes se ela é descrita por funções diferentes em partesdiferentes de seu domínio.

f (x) =

f1(x), se x ∈ I1;f2(x), se x ∈ I2;

......

fn(x), se x ∈ In;

onde Ii ⊆ Dom( fi), ∀ i, Dom( f ) =⋃n

i=1 Ii e Ii∩ I j = /0, ∀ i, j ∈ {1,2, . . . ,n}, i 6= j.


Exemplo 2.13A função

f (x) =

(x+1)2 +1, se x ∈ (−∞,−1);|x|, se x ∈ [−1,1);1, se x ∈ [1,π);

−cos(x), se x ∈ [π,+∞);é definida por partes, e na figura abaixo podemos ver seu gráfico.

x

y

1

-1

f(x)

π-1 1

2.4 Função injetiva, sobrejetiva e bijetiva

Nesta seção apresentamos três conceitos muito importantes para funções: injetividade, sobrejetivi-dade e bijetividade.

DefiniçãoSeja f : A→ B uma função. Diz-se que:

a. f é injetiva se f (x1) = f (x2) implica que x1 = x2 para todo x1,x2 ∈ Dom( f ). Ou equiva-lentemente, ∀x1,x2 ∈ Dom( f ), com x1 6= x2, temos que f (x1) 6= f (x2).

b. f é sobrejetiva ou sobre se para todo y ∈ B existe x ∈ A tal que f (x) = y. Em outraspalavras, f : A→ B é sobrejetiva se Im( f ) = B.

c. f é bijetiva se, e somente se, f é injetiva e sobrejetiva.

Nota

• A função injetiva também é conhecida como função univalente ou um a um, já que existeuma correspondência um para um entre os elementos do domínio e a imagem.

• Geometricamente, uma função definida por y = f (x) é injetiva se ao traçar retas paralelasao eixo x, essas intersectam o seu gráfico em não mais um ponto.

x

y

0

y


Exemplo 2.14

a. A função f : R→ R definida por f (x) = 3x+ 2, é injetiva. De fato, se f (x1) = f (x2) ⇒3x1 + 2 = 3x2 + 2 ⇒ 3x1 = 3x2 ⇒ x1 = x2. Além disso, f é sobrejetiva desde que se

y ∈R, existe x =y−2

3tal que f (x) = f

(y−2

3

)= 3

(y−2

3

)+2 = y, assim f é sobrejetiva e

concluimos que f é bijetiva.

b. A função f : R→ [0,+∞) definida por f (x) = x2, é sobrejetiva pois Im( f ) = [0,+∞). Porém,x1 =−2 e x2 = 2 geram a mesma imagem, isto é, f (−2) = 4 = f (2). Portanto, f não é bijetiva.

2.4.1 Operações com funções

Da mesma forma que fazemos operações aritméticas com números, podemos realizar este tipo deoperações entre funções, produzindo outras novas.

DefiniçãoSejam f e g duas funções reais de variáveis reais com domínios Dom( f ) e Dom(g), respectiva-mente. Define-se:

A função soma

( f +g)(x) := f (x)+g(x), x ∈ Dom( f +g) = Dom( f )∩Dom(g).

A função diferença

( f −g)(x) := f (x)−g(x), x ∈ Dom( f −g) = Dom( f )∩Dom(g).

A função produto

( f ·g)(x) := f (x) ·g(x), x ∈ Dom( f ·g) = Dom( f )∩Dom(g).

A função quociente(fg

)(x) :=

f (x)g(x)

, x ∈ Dom(

fg

)= Dom( f )∩ (Dom(g)\{x : g(x) = 0}) .

A função valor absoluto

| f |(x) := | f (x)|, x ∈ Dom(| f |) = Dom( f ).

A função produto de uma constante por uma função

(c f )(x) := c f (x), x ∈ Dom(c f ) = Dom( f ),

onde c ∈ R é uma constante real .


Exemplo 2.15As funções

a. f (x) = 4x3−6 e g(x) =−(6−4x3) são iguais desde que Dom( f ) =Dom(g) =R e f (x) = g(x).

b. f (x) =√

(x−2)(x−5) e g(x) =√

x−2√

x−5 são diferentes, sendo Dom( f ) = (−∞,2]∪[5,+∞) e Dom(g) = [5,+∞) ou seja Dom( f ) 6= Dom(g).

Exemplo 2.16

Sejam f (x) =√

9− x2 e g(x) =√

x2− 14 . Encontremos as regras de correspondência das funções:

f +g, f −g, f ·g, −8g,(

fg

), |g|.

SoluçãoCaculemos os domínios:

Dom( f ) ={

x ∈ R : 9− x2 ≥ 0}= [−3,3];

Dom(g) ={

x ∈ R : x2− 14≥ 0}=

(−∞,−1

2

]∪[

12,+∞

);

Dom( f )∩Dom(g) =[−3,−1

2

]∪[

12,3]

a. ( f +g)(x) = f (x)+g(x) =√

9− x2 +√

x2− 14 , x ∈ [−3,−1

2 ]∪ [12 ,3];

b. ( f −g)(x) = f (x)−g(x) =√

9− x2−√

x2− 14 , x ∈ [−3,−1

2 ]∪ [12 ,3];

c. ( f ·g)(x) = f (x) ·g(x) =√

9− x2 ·√

x2− 14 , x ∈ [−3,−1

2 ]∪ [12 ,3];

d. (−8g)(x) =−8g(x) =−8√

x2− 14 , x ∈ [−3,3];

e.(

fg

)(x) =

f (x)g(x)

=

√9− x2√x2− 1

4

, x ∈ [−3,−12)∪ (

12 ,3];

f. |g|(x) = |g(x)|=∣∣∣∣√x2− 1

4

∣∣∣∣=√x2− 14 , x ∈ [−1

2 ,12 ].

2.5 Composição de funções

A composição é outra forma de combinar funções, esta operação não tem analógo direto na aritméticausual.


DefiniçãoSejam f : A→ B e g : B→C duas funções reais tais que Im( f )∩Dom(g) 6= /0. A composiçãode g com f , denotada por g◦ f , é a função g◦ f : A→C definida por:

(g◦ f )(x) := g( f (x))

O domínio da função composta g◦ f é dado por

Dom(g◦ f ) = {x ∈ R : x ∈ Dom( f ) e f (x) ∈ Dom(g)}

Na seguinte figura ilustramos a função composta g◦ f

A B C

Dom( f )

g f °

Dom( g )

f (g(x))

f g

NotaFalando de forma informal, a operação de composição de duas funções é a operação desubstituir a variável dependente da sua definição pela função que a precede.

Exemplo 2.17Sejam as funções f (x) = 2x−6 e g(x) =

√x. Encontremos g◦ f e f ◦g

Solução

a. (g◦ f )(x) = g( f (x)) = g(2x−6) =√

2x−6,logo, o domínio da g◦ f é

Dom(g◦ f ) = {x ∈ R : x ∈ Dom( f ) e f (x) ∈ Dom(g)}= {x ∈ R : x ∈ R e 2x−6≥ 0}= [3,+∞)

b. ( f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (√

x) = 2√

x−6,logo, o domínio da f ◦g é

Dom( f ◦g) = {x ∈ R : x ∈ Dom(g) e g(x) ∈ Dom( f )}= {x ∈ R : x≥ 0 e

√x ∈ R}

= [0,+∞)

A seguinte figura ilustra cada uma destas composições.


x

y

0

-4

-6

-2

1 5 6 9

x

(g f )(x) = 2x-6

y

3 540

°

(f g )(x) = 2 x - 6°

2

2

NotaDeste exemplo, podemos concluir que a composição de funções não é comutativa, isto é,g◦ f e f ◦g em geral são diferentes.

Exemplo 2.18Sejam as funções+

f (x) ={

x2 se x < 1;−x3 se x≥ 2;

g(x) ={−x se x < 2;2x se x≥ 4.

+ Encontremos f ◦g. Solução::Neste caso cada uma das funções é definida por partes:+

f (x) ={

f1(x) se x ∈ Dom( f1);f2(x) se x ∈ Dom( f2);

g(x) ={

g1(x) se x ∈ Dom(g1);g2(x) se x ∈ Dom(g2).

+ Logo, o domínio de f ◦g será obtido analisando todas as combinações possíveis de f1, f2, g1 e g2,isto é:

a. f1 ◦g1:

Dom( f1 ◦g1) = {x ∈ R : x ∈ Dom(g1) e g1(x) ∈ Dom( f1)}= {x ∈ R : x ∈ (−∞,2) e − x ∈ (−∞,1)}= {x ∈ R : x ∈ (−∞,2) e x ∈ (−1,+∞)}= (−1,2)

Então, ( f ◦g)(x) = f1(g1(x)) = f1(−x) = x2, ∀x ∈ (−1,2).

b. f1 ◦g2:

Dom( f1 ◦g2) = {x ∈ R : x ∈ Dom(g2) e g2(x) ∈ Dom( f1)}= {x ∈ R : x ∈ [4,+∞) e 2x ∈ (−∞,1)}

=

{x ∈ R : x ∈ [4,+∞) e x ∈ (−∞,

12)

}= /0

c. f2 ◦g1:


Dom( f2 ◦g1) = {x ∈ R : x ∈ Dom(g1) e g1(x) ∈ Dom( f2)}= {x ∈ R : x ∈ (−∞,2) e − x ∈ [2,+∞)}= {x ∈ R : x ∈ (−∞,2) e x ∈ (−∞,−2]}= (−∞,−2)

Então, ( f ◦g)(x) = f2(g1(x)) = f2(−x) = x3, ∀x ∈ (−∞,−2).

d. f2 ◦g2:

Dom( f2 ◦g2) = {x ∈ R : x ∈ Dom(g2) e g2(x) ∈ Dom( f2)}= {x ∈ R : x ∈ [4,+∞) e 2x ∈ [2,+∞)}= {x ∈ R : x ∈ [4,+∞) e x ∈ [1,+∞)}= [4,+∞)

Então, ( f ◦g)(x) = f2(g2(x)) = f1(2x) =−8x3, ∀x ∈ [4,+∞). Portanto,

( f ◦g)(x) =

x2, se x ∈ (−∞,−2);x3, se x ∈ (−1,2);−8x3, se x ∈ [4,+∞).

Propriedades da composição de funçõesSejam f ,g e h funções reais com domínios Dom( f ), Dom(g) e Dom(h), respectivamente. Entãose verifica que:

a. ( f ◦g)◦h = f ◦ (g◦h)

b. f ◦ Id = f = Id◦ f

c. ( f +g)◦h = f ◦h+g◦h

d. ( f −g)◦h = f ◦h−g◦h

e. ( f ·g)◦h = ( f ◦h) · (g◦h)

f.(

fg

)◦h =

f ◦hg◦h

2.6 Função inversa

Dada uma função f : A→ B, sempre temos alguma das duas possibilidades: f é injetiva ou f não éinjetiva.

a. Se f não é injetiva, existem pelo menos dois elementos x1,x2 ∈ A tais como:

(x1,y) ∈ f e (x2,y) ∈ f .

Portanto, a (relação) inversa de f , f−1, não é uma função de B em A.

a. Se f : A→ B é injetiva, então a inversa f−1 : B→ A é uma função injetiva e é chamada defunção inversa de f


Ambos casos são apresentados nos itens (a) e (b) da figura abaixo, respectivamente. No item (c) éapresentada a interpretação da função inversa.

f

(a) (b)

y

f -1

A Bf

x1

x2

f -1

A B

y1

y2

(c)

Bf

f -1(y) = x

f -1

A B

y = f(x)

Propriedades da função inversaSeja uma função f . Então:

a. f tem inversa se, e somente se, f for injetiva;

b. Se f−1, a inversa de f , existe. Então:

i. Dom( f−1) = Im( f );ii. Im( f−1) = Dom( f );

iii. ( f−1 ◦ f )(x) = x, ∀x ∈ Dom( f );iv. ( f ◦ f−1)(y) = y, ∀y ∈ Dom( f−1);v. os gráficos de y = f (x) e y = f−1(x) são simétricos com respeito à reta L : y = x;

veja o item (a) da figura abaixo.

c. Sejam as funções f , g injetivas. Se existe g◦ f , então (g◦ f )−1 = f−1 ◦g−1.

y = f -1(x)

y = f (x)0

L: x=y

x

y

y = f -1(x)

y = f (x)

0

L: x=y

x

y

(a) (b)

NotaSeja f uma função real definida por y = f (x) a qual tem função inversa. Para encontrar aregra de correspondência da f−1, colocamos x em evidência em termos da variável y. Assimobtemos x = f−1(y); porém a convenção de representar a variável independente por x avariável dependente por y, faz com que escrevamos f−1 em função de x, isto é, trocando asvariáveis x e y em x = f−1(y), para obter y = f−1(x).


Exemplo 2.19Encontremos a função inversa da função f (x) = 5x−3, se x ∈ [0,6].

SoluçãoVerificamos que f (x1) = f (x2)⇒ 5x1− 3 = 5x2− 3⇒ x1 = x2, assim f é injetiva. por outrolado, desde que y = f (x), então y = 5x−3, x ∈ [0,6]. Pondo em evidência a variável x obtemos

que x =y+3

5, para x ∈ [0,6], logo determinamos a variação da variável y

x =y+3

5∈ [0,6]⇒ 0≤ y+3

5≤ 6⇒ 0≤ y+3≤ 30⇒−3≤ y≤ 27⇒ y ∈ [−3,27]

Assim x =y+3

5, para y ∈ [−3,27], permutamos x por y, isto é, y =

x+35

, para x ∈ [−3,27].

Portanto, f−1(x) =x+3

5, para x ∈ [−3,27].

Na no item (b) da figura acima podemos ver os gráficos de f e f−1.

2.7 Recapitulando

Neste capítulo, apresentamos o conceito de Relações entre conjuntos, além de importantes definiçõesrelativas a este. Também foi apresentado o conceito de Função com o intuito de fazer com que oaluno determine com precisão o domínio, a imagem e o gráfico de uma função real dada; foramapresentados diversos exemplos ilustrando esses tópicos.

Da mesma forma que é importante ter noção sobre domínios, imagens e gráficos de funções, devemoster noção sobre os conceitos de injetividade, sobrejetividade e bijetividade. Portanto, estes conceitostambém foram abordados.

Nas seções subsequentes, apresentamos alguns casos partirculares de funções, com as quais vamos alidar no decorrer deste livro, assim como as operações aritméticas e composições que as envolvem.

Por último, e não menos importante, a teoria sobre a inversa de uma função foi apresentada.

No próximo capítulo, apresentaremos as noções básicas sobre limites e continuidade, uma das ideiasmais importantes e mais fascinates de toda a matemática, pois apesar da palavra contínua pareçaintuitivamente clara, não é fácil imaginar uma boa definição desta ideia.

2.8 Atividades

1. Sejam os conjuntos A = {1,3,5,7} e B = {3,5,8,9} e a relação R : A→ B:

a. R = {(x,y) ∈ A×B : x < y};b. R = {(x,y) ∈ A×B : x é divisor de y;

c. R = {(x,y) ∈ A×B : y = x+4}.

Em cada caso, determine R por extensão, Dom(R) e Im(R); esboce o gráfico e encontre arelação inversa.


2. Seja a relação R : R→ R:

a. R = {(x,y) ∈ R×R : x = 3 e y > 0};b. R = {(x,y) ∈ R×R : y = 2x e x ∈ [−2,1)};c. R = {(x,y) ∈ R×R : 4x2 +9y2−36≤ 0}.

Em cada caso, determine Dom(R) e Im(R); esboce o gráfico e encontre a relação inversa.

3. Esboce o gráfico e calcule a área das regiões definidas pelas seguintes relações:

a. R = {(x,y) ∈ R×R : 1≤ x2 + y2 ≤ 9}b. R = {(x,y) ∈ R×R : 2|x|+ |y| ≤ 1}

4. Seja f a função definida por:

a. f (x) = x2−5x+3;

b. f (x) =√

2x2 +1;

c. f (x) =

{ |x|x, se x 6= 0

1, se x = 0;

d. f (x) =x3−3x2 + x−2

4x2− x−5.

Em cada caso, calcule f (0), f (−2), f(1

3

).

5. Sejam f e g funções definidas por:

f (x) ={

1, se 0≤ x≤ 1,2, se 1 < x≤ 2;

g(x) = f (2x)+ f (x−2).

Encontre Dom(g).

6. Sejam f e g funções definidas por:

f (x) ={

x2, se |x|< 1x, se |x| ≥ 1.

g(x) ={

1− x, se |x| ≥ 2x, se |x|< 2.

Encontre ( f +g)(x),(

fg

)(x) e esboce seus respectivos gráficos.

7. Seja f : Dom( f )→ [0,1] definida por:

a. f (x) =|x|x

b. f (x) = 2+ x− x2

c. f (x) =x−1x−3


Em cada caso, determine Dom( f ). . Seja f : Dom( f )→ (−2,6] definida por f (x) = x2−4x+1.Determine Dom( f ), e verifique se f é injetiva e sobrejetiva.

8. Determine Dom( f ) das seguintes funções:

a. f (x) =√

x− x3

b. f (x) = 3√

x−bxc

c. f (x) = 4√

x2 +4x−12+3x2

4√

20+ x− x2

9. Seja a função f definida por:

a. f (x) =

x4

x−2, se x 6= 2;

3, se x = 2.

b. f (x) ={|4− x2|, se |x|< 3;

5, se |x| ≥ 3.

c. f (x) =

(x−1)3, se 0≤ x < 2;10− x2, se 2≤ x≤ 3;−2, se x < 0oux > 3.

d. f (x) =x2 + sgn(2x−1)√

4−bxc2

Em cada caso esboce o gráfico de f , determine Dom( f ) e Im( f ).

10. Determine o período das seguintes funções:

a. f (x) =√b7xc−7bxc

b. f (x) = 8bxc−b8xc

11. Verifique se as seguintes funções são pares ou ímpares:

a. f (x) =−x3 + x

b. f (x) = |x|+4x2

c. f (x) =− x|x|

d. f (x) =−x3−2x2

12. Sejam f (x) = x3 +2 e g(x) = x+a, determine o valor de a tal que ( f ◦g)(3) = (g◦ f )(a−1).

13. . Sejam f e g duas funções, determine f (x) se:

a. g(x) = 1− x2 e f (g(x)) =√

1− x2

b. g(x) = 2x+3 e f (g(x)) = 4x2 +12x+9

14. Se f (x) = 2x+ c e f (c) = 2 f−1(c2), determine o valor de:

a. f (0) · f−1(0)


b.f (1)

f−1(1)

15. Dada a função f (x) =9− x2

4− x2 , x≥ 0.

a. Prove que f é injetiva;

b. Determine a função f−1;

c. Determine Dom( f−1).

16. Determine a função inversa, caso ela exista, das seguintes funções:

a. f (x) =√

x2−4, x ∈ (−∞,−2).

b. f (x) =√

2− x− x2, x ∈ [−2,1].

c. f (x) =−√

x2 +6x−7, x ∈ (−∞,−7).

17. Sejam as funções definidas por:

• f (x) =x4−1

16− x4 , se x≥ 0 e x 6= 2;

• g(x) = 4√

16− x2, se x ∈ [0,4];

• h(x) =√

x+1, se x ∈ [−1,+∞);

• i(x) =√

x2−1, se x ∈ [1,+∞).

a. Determine:

i. ( f ◦g)−1 e Dom(( f ◦g)−1).

ii. h · ( f ◦g)−1.iii. h−1 · ( f ◦g)−1 e Dom

(h−1 · ( f ◦g)−1).

iv. i · ( f ◦g)−1 e Dom(i · ( f ◦g)−1).

v. i◦ ( f ◦g)−1 e Dom(i◦ ( f ◦g)−1).

b. Verifique se h · ( f ◦g)−1 é injetiva.

c. Esboce o gráfico de ( f ◦g)−1.

18. Sejam f (x) =√

2− x+ b2− xc e g(x) =

√4− x2

2+ x. Determine:

a. ( f −g)(x), Dom( f −g) e Im( f −g);

b. ( f ◦g)−1(x), Dom(( f ◦g)−1) e Im

(( f ◦g)−1).


Capítulo 3

Limites



• Interpretar geometricamente a definição de limite de uma função;

• Interpretar adequadamente a propriedade de unicidade do limite;

• Avaliar limites de funções elementares;

• Conhecer as indeterminações da forma00

,∞

∞, entre outras;

• Aplicar os teoremas sobre limites de funções na resolução dos exercícios.

3.1 Introdução

Neste Capítulo trataremos a teoria dos limites de uma função, uma das ideias mais importantes efascinantes da Matemática, a qual é indispensável conhecer por ser um dos pilares dos conceitos decontinuidade, derivada, integral, etc.

Quando começou a se desenvolver o cálculo, a maioria das funções eram contínuas (intuitivamente,isto é, se o gráfico da função podia ser feito sem levantar o lápis do papel), e por tanto não se sentia anecessidade de se aprofundar quanto ao significado exato de continuidade. Foi em meados do séculoXVIII que s e apresentaram algumas funções descontínuas em conexão com os problemas da física,fato obrigou os matemáticos no início do século XIX a examinar cuidadosamente o significado dosconceitos de função e continuidade. A pesar de que o significado de “contínuo” parece claro paratodo mundo, não era fácil imaginar uma boa definição. Uma definição satisfatória de continuidade foiapresentada em 1821 usando o conceito de limite. Esta abordagem será exposta a seguir, mas antes,apresentaremos alguns conceitos básicos necessários para entender a definição de limite.

3.2 Vizinhança

Embora a definição de vizinhança, no sentido topológico, seja muito abstrata, é necessário ter al-guma noção sobre este conceito. Neste livro, o espaço em que trabalhamos é R, portanto, a seguintedefinição é suficiente para cumprir nossos objetivos.


DefiniçãoDados a, δ , δ1, δ2 ∈ R, com δ , δ1, δ2 > 0:

a. Chama-se vizinhança aberta do ponto a ao intervalo (a−δ1,a+δ2);

b. Chama-se bola aberta de centro a e raio δ ao intervalo (a−δ ,a+δ );

c. A bola aberta de centro a e raio δ é denotada por B(a;δ ), isto é, B(a;δ ) = (a−δ ,a+δ ).

O item (a) da figura a seguir ilustra uma vizinhança, enquanto que o item (b) ilustra uma bola decentro a e raio δ .

aδ1 δ2 δ δa

(a) (b)

B(a;δ)

Exemplo 3.1

a. Os intervalos seguintes são vizinhanças abertas do ponto a = 5:

(5−3,5+2) = (3,7),(

5− 13,5+4

)=

(143,9).

b. Os intervalos seguintes são bolas abertas do ponto a = 5:

B(5;2) = (5−2,5+2) = (3,7), B(

5;13

)=

(5− 1

3,5+

13

)=

(143,163

).

PropriedadesDados a, δ , δ1, δ2 ∈ R, com δ , δ1, δ2 > 0, verifica-se que:

a. B(a;δ ) = {x ∈ R : |x−a|< δ};b. A interseção de duas vizinhanças de centro a é uma vizinhança de centro a, ou seja:

B(a;δ1)∩B(a;δ2) = B(a;δ )

onde δ = min{δ1,δ2}.

3.3 Limite de uma funcão

Antes de definir o conceito de limite apresentaremos a noção intuitiva do mesmo no exemplo abaixo.


Exemplo 3.2Sejam as funções f e g definidas pelas regras de correspondências:

f (x) = x+1, x 6= 1 e g(x) ={

x2 +1 se x 6= 1;3 se x = 1.

Das, respectivas, definições observamos que para x = 1, f (x) não está definida, ou seja, f (1) nãoexiste, enquanto que g(1) = 3. Porém, o comportamento de ambas funções é exatamente o mesmoem uma vizinhança de 1, excluindo o ponto 1 dessa vizinhança, e pode ser descrito da seguinte forma:

• Para valores de x próximos a 1, com x 6= 1, os valores de f (x) e g(x) se aproximam do númeroL = 2.

• No caso da função f , dizemos que 2 é o limite de f (x) quando x tende (ou se aproxima) a 2;

• De forma semelhante, para a função g dizemos que 2 é o limite de g(x) quando x tende a 1.

Notamos que o limite de f quando x tende a 1 não depende de f (1), pois esse não existe, e sim osvalores que a função f toma quando x é próximo a 1.

DefiniçãoSejam f : R → R uma função, L ∈ R e a um ponto que não, necessariamente, pertence aDom( f ), porém, toda vizinhança de a contém pontos de Dom( f ). Se para cada ε > 0 é possívelencontrar um δ > 0 que depende de a e ε , tal que

x ∈ Dom( f ), x 6= a e 0 < |x−a|< δ ⇒ | f (x)−L|< ε,

diz-se que f se aproxima do limite L quando x se aproxima de a, e escreve-se:

limx→a

f (x) = L,

leia-se L é o limite de f (x) quando x tende a a ou o limite de f quando x tende a a é L.

Nota

• A definição acima pode ser reescrita usando a notação de vizinhanças:

limx→a

f (x)=L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que ∀x∈Dom( f )∩B(a;δ ), x 6= a⇒ f (x)∈B(L;ε).

• O conceito de limite implica na ideia de que f (x) poder ser tão próximo a L quanto quizer-mos, sempre que x for escolhido suficientemente próximo de a.

Exemplo 3.3Seja f (x) = 4x−5. Se lim

x→2f (x) = 3. Quão próximo de 2 deve estar x para que | f (x)−3|< 0,001?

SoluçãoFazendo ε = 0,001, queremos que | f (x)−3|< ε . Para encontrar um δ adequado, notamos que| f (x)−3|= |4x−5−3|= 4|x−2|< 0,001, dessa última desigualdade, obtemos que |x−2|<0,00025. Portanto, se x está distante de 2 em menos de 0,00025, então f (x) está distante de 3em menos de 0,001.


Nota

Passos para determinar um δ para dados f , L, a e ε > 0Os passos para determinar um δ tal que para todo x

0 < |x−a|< δ ⇒ | f (x)−L|< ε

podem ser organizados:

1. Decompondo o termo | f (x)−L| em uma expressão onde apareça o termo |x−a|,isto é,

| f (x)−L|= |x−a||g(x)|;

2. Encontrando um δ1 > 0, valor inicial para δ , com o intuito de limitar a expressão|g(x)|, isto é,

0 < |x−a|< δ1 ⇒ ∃ K > 0 : |g(x)|< K;

i. Se 0 < |x−a|< δ1, então

| f (x)−L|= |x−a||g(x)|< |x−a|K;

ii. Se |x−a|< ε

K, então

|x−a|K < ε ⇒ | f (x)−L|< ε;

3. Fazer δ = min{

δ1,ε

K

}.

4. Portanto, 0 < |x−a|< δ implica que | f (x)−L|= |x−a||g(x)|< ε , o que provaque

limx→a

f (x) = L.

Algumas recomendações

a. Ao considerar valores para δ1, tais que 0 < |x−a|< δ1:

i. podemos considerar δ1 = 1 ou números menores.

ii. devemos verificar a não existência de assíntotas verticais de g(x) no inter-valo (a−δ1,a+δ1).

b. Ao limitar g(x), dado δ1, devemos lembrar algumas propriedades de desigualda-des e valor absoluto:

i. Se 0 < |x−a|< δ1, então a−δ1 < x < a+δ1;

ii. Se a < y < b, então |y|< max{|a|, |b|};iii. Se a < y < b, então y2 < k2 onde k = max{|a|, |b|};

c. Dados 0 < δ < δ . Se δ verifica a definição de limite, então δ também verifica adefinição de limite.


Exemplo 3.4

a. Se f (x) = 2x2−5x+2, provemos que limx→3

f (x) = 5.

SoluçãoDado ε > 0, devemos encontrar um δ tal que

0 < |x−3|< δ ⇒ | f (x)−5|< ε.

Dos passos da nota anterior, temos que:

| f (x)−5|= |2x2−5x+2−5|= |2x2−5x−3|= |x−3||2x+1|.

Para δ1 = 1 e busquemos K > 0 : 0 < |x−3|< 1⇒ |2x+1|< K. De fato:

|x−3|< 1⇒ 2 < x < 4⇒ 4 < 2x < 8⇒ 5 < 2x+1 < 9⇒ |2x+1|< 9,

multiplicando ambos lados dessa desigualdade pela expressão |x−3| obtemos:

|x−3||2x+1|< 9|x−3|.

Logo, deduzimos que 9|x− 3| < ε quando |x− 3| < ε

9. Em resumo, dado ε > 0, ∃δ =

min{

1,ε

9

}tal que

0 < |x−3|< δ ⇒ | f (x)−5|= |x−3||2x+1|< 9|x−3|< ε

Portanto, limx→3

f (x) = 5.

b. Se f (x) =x+3x−3

, provemos que limx→5

f (x) = 4.

SoluçãoDado ε > 0, devemos encontrar um δ tal que:

0 < |x−5|< δ ⇒ | f (x)−4|< ε.

De forma análoga ao exemplo do item anterior, temos que

| f (x)−4|=∣∣∣∣x+3x−3

−4∣∣∣∣= ∣∣∣∣−3(x−5)

x−3

∣∣∣∣= 3|x−5||x−3|

.

Por outro lado, se consideramos δ1 = 1 obtemos

0 < |x−5|< 1⇒ 4 < x < 6⇒ 1 < x−3 < 3⇒ 13<

1x−3

< 1⇒ 1|x−3|

< 1

Multiplicando ambos lados dessa desigualdade pela expressão 3|x−5| obtemos:

3|x−5||x−3|

< 3|x−5|< ε ⇒ |x−5|< ε

3

Em resumo, dado ε > 0, ∃δ = min{

δ1 = 1,ε

3

}tal que

0 < |x−5|< δ ⇒ | f (x)−4|= 3|x−5||x−3|

< 3|x−5|< 3ε

3= ε

Portanto, limx→5

f (x) = 4.


3.4 Propriedades dos limites

A primeira propriedade que apresentamos é uma das mais utilizadas dos números reais.

PropriedadeSeja x ∈ R. Se |x|< ε para todo ε > 0, então x = 0.

Na sequência, os resultados apresentados são importantes para o domínio da teoria de limites.

Teorema 1 (Unicidade do limite)Se o limite de uma função existe, então este limite é único. Em outras palavras, se existem L1e L2 ∈ R tal que:

limx→a

f (x) = L1 e limx→a

f (x) = L2,

então L1 = L2.

É natural esperar que sejam verificados os seguites resultados:

Teorema 2 (Teorema da comparação)Sejam f e g duas funções tais que:

a. f (x)≤ g(x), ∀x ∈ B(a;r) com x 6= a;

b. limx→a

f (x) = L e limx→a

g(x) = M.

Então, L≤M, isto é limx→a

f (x)≤ limx→a

g(x).

O teorema seguinte, que também é chamado vulgarmente de Teorema do Sanduíche, é uma con-sequência do Teorema da Comparação.

Teorema 3 (Teorema do confronto)Sejam f , g e h três funções tais que:

a. f (x)≤ g(x)≤ h(x), ∀x ∈ B(a;r), com x 6= a;

b. limx→a

f (x) = limx→a

h(x) = L.

Então, limx→a

g(x) = L.

Teorema 4Sejam f e g duas funções tais que:

a. limx→a

f (x) = 0;

b. Existe M > 0 tal que |g(x)|< M, ∀x ∈ B(a;r), com x 6= a.

Então, limx→a

f (x)g(x) = 0.


3.5 Leis do limite

Para calcular limites de funções que são combinações aritméticas de funções que pussuem limitesconhecidos, podemos utilizar as seguintes regras simples.

Teorema 5Sejam c ∈ R uma constante, f e g duas funções tais que lim

x→af (x) = L e lim

x→ag(x) = M. Então:

a. limx→a

c = c;

b. Regra da soma:

limx→a

( f (x)+g(x)) = limx→a

f (x)± limx→a

g(x) = L+M;

c. Regra da diferença:

limx→a

( f (x)−g(x)) = limx→a

f (x)± limx→a

g(x) = L−M;

d. Regra da multiplicação por uma constante:

limx→a

(c f (x)) = c(

limx→a

f (x))= cL;

e. Regra do produto:

limx→a

( f (x) ·g(x)) = limx→a

f (x) · limx→a

g(x) = L ·M;

f. Regra do quociente: Se M 6= 0, então

limx→a

1g(x)

=1

limx→a

g(x)=

1M

;

limx→a

f (x)g(x)

=limx→a

f (x)

limx→a

g(x)=

LM.

Os seguintes corolários são consequências diretas do resultado anterior.

Corolário 1Se lim

x→afi(x) = Li, para i = 1,2, . . . ,n, então:

a. limx→a

( f1(x)+ f2(x)+ . . .+ fn(x)) = L1 +L2 + . . .+Ln;

b. limx→a

( f1(x) · f2(x) · . . . · fn(x)) = L1 ·L2 · . . . ·Ln.

Corolário 2Se lim

x→af (x) = L e n ∈ Z, então

limx→a

[ f (x)]n =[

limx→a

f (x)]n

= Ln.

Se n≤ 0, então para que limx→a

[ f (x)]n exista, L deve ser diferente de zero.


Corolário 3Se f (x) = a0xn +a1xn−1 + . . .+an, onde a0,a1, . . . ,an são constantes, então:

limx→b

(a0xn +a1xn−1 + . . .+an) = a0bn +a1bn−1 + . . .+bn = f (b).

Teorema 6Se lim

x→af (x) = L e uma das condições seguintes é verificada

a. L≥ 0 e n é qualquer inteiro positivo ou

b. L < 0 e n é qualquer inteiro positivo ímpar;

então limx→a

n√

f (x) = n√

limx→a

f (x) = n√

L.

Exemplo 3.5Calculemos os seguintes limites:

a. limx→2

(5x2−3x+4

);

b. limx→18

4√

x−2;

c. limx→2

3

√2x5−4x−2

x3−6.

Soluçãoa. Usando o Teorema 5 [??] temos que

limx→2

(5x2−3x+4

)= 5

(limx→2

x2)−3(

limx→2

x)+

(limx→2

4)= 5(4)−3(2)+4 = 18.

ou de forma alternativa, do Corolário 3 [??], temos que f (x) = 5x2−3x+4, x→ 2 ef (2) = 18. Logo

limx→2

f (x) = f (2) = 18.

b. Desde que limx→18

(x−2) = limx→18

x− limx→18

2 = 16 > 0 e n = 4 > 0, do Teorema 6 [??],temos que:

limx→18

4√

x−2 = 4√

limx→18

(x−2) = 4√

16 = 2.

c. Desde que limx→2

(2x5−4x−2) = 54, limx→2

(x3−6) = 2 e n= 3> 0, da regra do quociente

do Teorema 5 [??] e Teorema 6 [??], temos que:

limx→2

3

√2x5−4x−2

x3−6=

3

√limx→2

2x5−4x−2x3−6

= 3

√√√√√ limx→2

(2x5−4x−2)

limx→2

(x3−6)=

3

√542

=3√

27= 3.


Nota

a. Dado um limite da forma limx→a

f (x)g(x)

, com limx→a

f (x) = 0 e limx→a

g(x) = 0, isto é, não é pos-

sível aplicar a regra do quociente do Teorema 5 [??], diz-se que o limite é indetermi-

nado e é da forma00

. Nesse caso, devemos, fatorar no numerador e no denominador,

e se possível o termo (x− a), e também, simplificar o fator comum para calcular olimite.

b. Em geral, as formas indeterminadas são:

00,

∞

∞, ∞−∞, 0 ·∞, 00, 1∞ e ∞

0

c. Em todos esses casos, devemos usar alguns artifícios que permitam eliminar a inde-terminação.


a. limx→−4

x2−163x+12

SoluçãoAo analisar o numerador e o denominador desse quociente, observamos que temos uma

indeterminação da forma00

, pois limx→−4

(x2−16) = 0 e limx→−4

(3x+12) = 0.

Porém, observamos que o termo (x+4) pode ser fatorado de cada um deles, isto é,

x2−16 = (x+4)(x−4) e 3x+12 = 3(x+4).

Logo,

limx→−4

x2−163x+12

= limx→−4

��(x+4)(x−4)3��(x+4)

= limx→−4

x−43

=13

limx→−4

(x−4) =−83.

b. limx→0

√x+3−

√3

x

Solução

Da mesma forma que o item acima, esse limite tem uma indeterminação da forma00

,para resolver tal problema precisamos racionalizar o numerador, isto é, multipli tanto onumerador como o denominador por

√x+3+

√3:

limx→0

√x+3−

√3

x= lim

x→0

(√

x+3−√

3)(√

x+3+√

3)x(√

x+3+√

3)= lim

x→0

x+3−3x(√

x+3+√

3)=

limx→0

�x

�x(√

x+3+√

3)= lim

x→0

1√x+3+

√3=

1√3+√

3=

12√

3.


NotaPara racionalizar precisamos lembrar que:

(an−bn) = (a−b)(an−1 +an−2b+an−3b2 + . . .+abn−2 +bn−1)︸︷︷︸fator racionalizante

(an +bn) = (a+b)︷︸︸︷(an−1−an−2b+an−3b2− . . .−abn−2 +bn−1)


a. limx→4

3−√

5+ x1−√

5− x

Solução

Esse limite tem uma indeterminação da forma00

, nesse caso devemos fazer uma duplaracionalização:

limx→4

3−√

5+ x1−√

5− x= lim

x→4

(3−√

5+ x)(3+√

5+ x)(1+√

5− x)(1−√

5− x)(1+√

5− x)(3+√

5+ x)

= limx→4

−��(x−4)(1+√

5− x)(3+√

5+ x)��(x−4)=− lim

x→4

1+√

5− x3+√

5+ x

= −1+13+3

=−26=−1

3

b. limx→0

√1+ x2− 4

√1+ x4

x2

Solução

Aqui temos a indeterminação da forma00

, e observamos que

√1+ x2− 4

√1+ x4 = 4

√(1+ x2)2− 4

√1+ x4

=(1+ x2)− (1+ x4)√

(1+ x2)3 +(1+ x2)4√

1+ x4 +√

1+ x2√

1+ x4 + 4√(1+ x4)3

=2x2√

(1+ x2)3 +(1+ x2)4√

1+ x4 +√

1+ x2√

1+ x4 + 4√(1+ x4)3

.

Logo, calcular o limite acima é equivalente a calcular

limx→0

2��x2

��x2[√

(1+ x2)3 +(1+ x2)4√

1+ x4 +√

1+ x2√

1+ x4 + 4√(1+ x4)3

] =limx→0

2[√(1+ x2)3 +(1+ x2)

4√

1+ x4 +√

1+ x2√

1+ x4 + 4√

(1+ x4)3] =


21+1+1+1

=12.

Portanto,

limx→0

√1+ x2− 4

√1+ x4

x2 =12.

c. limx→64

√x−8

3√

x−4

Solução

Assim como nos casos anteriores, a indeterminação é da forma00

e poderíamos fazer umadupla racionalização, porém os cálculos se tornariam muito complicados. Por outro lado,observando as quantidades sub-radicais, notamos que elas são iguais, o que será útil sefizermos uma mudança de variável com o intuito de simplificar a expressão:Escolhe-se uma variável que seja igual à quantidate sub-radical e o expoente desta variávelé o minimo múltiplo comum dos índices dos radicais. Em nosso caso:Como m.c.m(2,3) = 6 fazemos y6 = x, notemos que x→ 64 implica que y→ 2, e quandosubstituímos no limite acima obtemos:

limx→64

√x−8

3√

x−4= lim

y→2

y3−8y2−4

= limx→2

(y−2)(y2 +2y+4)(y−2)(y+2)

= limx→2

y2 +2y+4y+2

=4+4+4

2+2= 3.

d. limx→0

x 3√

x+1+ 4√

x+1−1x2 3√

x+1+ 4√

x+1−1

Solução

Novamente, a indeterminação é00

e precisamos fazer uma mudança de variável para eli-

minar os radicais. Como m.c.m.(3,4) = 12 e desde que x + 1 ≥ 0, fazemos x + 1 =ym.c.m.(3,4) = y12, logo x→ 0 implica que y→ 1:

limx→0

x 3√

x+1+ 4√

x+1−1x2 3√

x+1+ 4√

x+1−1= lim

y→1

(y12−1)y4 + y3−1(y12−1)y4 + y3−1

= limy→1

(y−1)(y11 + y10 + . . .+1)y4 +(y−1)(y2 + y+1)(y−1)2(y11 + y10 + . . .+1)2y4 +(y−1)(y2 + y+1)

= limy→1

(y11 + y10 + . . .+1)y4 + y2 + y+1(y−1)(y11 + y10 + . . .+1)2y4 + y2 + y+1

=11+3

3=

143.

3.6 Limites laterais

Quando calculamos limx→a

f (x) = L, o problema real, é encontrar um número L para o qual os valores

de f (x) se aproximam, quando x tende a a. Em outras palavras, para encontrar um número L para oqual os valores de f (x) se aproximam, são necessários analisar dois casos:


• para valores menores que a, x tende a a pela esquerda; e

• para valores maiores que a, x tende a a pela esquerda.

Veja o item (a) da figura abaixo.

x

y

a

f(x)

f(x)

0 x

y

a

L1

0

y = f(x)

L

L2

a+ xax

(a) (b)

y = f(x)

Quando precisamos calcular os limites laterais o problema é mais simples, já que este depende docomportamento da função f (x) quando x se aproxima de a somente pela esquerda ou somente peladireita de x; veja o item (b) da figura acima.

DefiniçãoSeja f uma função definida no intervalo (c,a), com c < a. Diz-se que o número L1 é o limitelateral de f (x) quando x tende a a pela esquerda, denotado por lim

x→a−f (x) = L1, se

∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < a− x < δ ⇒ | f (x)−L1|< ε.

DefiniçãoSeja f uma função definida no intervalo (a,d), a < d. Diz-se que o número L2 é o limite lateralde f (x) quando x tende a a pela direita, denotado por lim

x→a+f (x) = L2, se

∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < x−a < δ ⇒ | f (x)−L2|< ε.

TeoremaSe f é uma função definida em uma vizinhança do ponto a, e L ∈ R, então

limx→a

f (x) = L ⇔ limx→a−

f (x) = L e limx→a+

f (x) = L.

Em outras palavras, o limite de uma função existe se, e somente se, os limites laterais existeme são iguais.

Nota

a. O limx→a

f (x) não existe nos seguintes casos:

i. algum dos limites laterais não existe;

ii. os limites laterais existem, porém são diferentes.

b. Se a função f é definida por partes para x < a e para x > a, para encontrar o limx→a

f (x)é necessário calcular os seus respectivos limites laterais.


Exemplo 3.8

a. Seja a função f definida por:

f (x) =

x2 se x < 2;4 se x = 2;

8−2x se x > 2.

Calculemos limx→2

f (x), caso exista.

SoluçãoComo f tem diferentes regras de correspondência para x < 2 e x > 2, precisamos calcularos limites laterais:

• Limite lateral quando x tende a 2 pela esquerda, isto é, 2 < x:

limx→2+

f (x) = limx→2+

8−2x = 8−4 = 4;

• Limite lateral quando x tende a 2 pela direita, isto é, x < 2:

limx→2−

f (x) = limx→2−

x2 = 22 = 4.

Comparando estes limites laterais, além deles existirem, ambos são iguais. Portanto, olimx→2

f (x) existe e

limx→2

f (x) = 4.

b. Seja a função f , definida por:

f (x) = x

√1

4x2 −16

Calculemos limx→0

f (x), caso exista.

SoluçãoAnalisando f temos que

f (x) = x

√1

4x2 −16 = x

√1−64x2

4x2 =x√

1−64x2

2|x|,

Logo, f pode ser reescrita por partes em 0 :

f (x) =

−√

1−64x2

2se x < 0;

√1−64x2

2se x≥ 0.

Então, para calcular limx→0

f (x), precisamos calcular os limites laterais:

• Limite lateral quando x tende a 0 pela esquerda, isto é, x < 0:

limx→0−

−√

1−64x2

2=−1

2;


• Limite lateral quando x tende a 0 pela direita, isto é, x > 0:

limx→0+

√1−64x2

2=

12.

Comparando estes limites laterais, observamos que embora eles existam, não são iguais.Portanto, o lim

x→2f (x) não existe.

c. Seja a função f , definida por:

f (x) =√|x|+ b3xc

Calculemos limx→ 7

3

f (x), caso exista.

SoluçãoDesde que o máximo inteiro forma parte desta função, precisamos analisar os limiteslaterais numa vizinhança do 7

3 , porém 2 < 73 < 3, então analisemos:

• Limite lateral quando x tende a 73 pela esquerda, e 2≥ x, ou seja, 2≥ x < 7

3 :Logo, 6≤ 3x < 7⇒ b3xc= 6 e

limx→ 7

3−

√|x|+ b3xc= lim

x→ 73−

√x+6 =

5√

33

• Limite lateral quando x tende a 73 pela direita, e x < 3, ou seja, com 7

3 ≤ x < 3:Logo, 7≤ 3x < 8⇒ b3xc= 7 e

limx→ 7

3+

√|x|+ b3xc= lim

x→ 73+

√x+7 =

√283.

Comparando esses limites laterais, observamos que embora eles existam, não são iguais.Portanto, o lim

x→ 73

f (x) não existe.

3.7 Limites no infinito

Antes de apresentar a definição exata desse conceito, consideremos a função f (x) = 1+1

x−2e seu

respectivo gráfico:

x

y

20

y = f(x)

1 3

1

2


Analisando essa função, notamos que quando x cresce ilimitadamente, denotado por x→+∞, o valorde f (x) se aproxima de 1, ou seja,

limx→+∞

f (x) = 1,

e quando x decresce ilimitadamente, denotado por x→+∞, o valor de f (x) se aproxima, também, de1, ou seja,

limx→−∞

f (x) = 1.

Esses limites são conhecidos como limites no infinito.

DefiniçãoSejam a, L ∈ R.

1. Se f : (a,+∞)→ R. Diz-se que L é o limite de f (x) quando x tende a +∞, denotado porlim

x→+∞f (x) = L, se

∀ε > 0, ∃N > 0 : x > N ⇒ | f (x)−L|< ε;

2. Se f : (−∞,a)→ R. Diz-se que L é o limite de f (x) quando x tende a −∞, denotado porlim

x→−∞f (x) = L, se

∀ε > 0, ∃M > 0 : x <−M ⇒ | f (x)−L|< ε.

A seguir apresentaremos propriedades aritméticas que nos ajudam com os cálculos de limites noinfinito. Teorema:: Seja n ∈ N. Então:

limx→+∞

1xn = 0 e lim

x→−∞

1xn = 0.

TeoremaSejam c ∈ R uma constante, f e g duas funções definidas nos intervalos (a,+∞) e (b,+∞),respectivamente, com a, b ∈ R. Se

limx→+∞

f (x) = L e limx→+∞

g(x) = M,

então:

a. limx→+∞

c = c;

b. limx→+∞

[c f (x)] = c[

limx→+∞

f (x)]= cL;

c. limx→+∞

f (x)+g(x) = limx→+∞

f (x)+ limx→+∞

g(x) = L+M;

d. limx→+∞

f (x)−g(x) = limx→+∞

f (x)− limx→+∞

g(x) = L−M;

e. limx→+∞

f (x) ·g(x) = limx→+∞

f (x) · limx→+∞

g(x) = L ·M;

f. Se M 6= 0, então:

limx→+∞

1g(x)

=1

limx→+∞

g(x)=

1M

;

limx→+∞

f (x)g(x)

=lim

x→+∞f (x)

limx→+∞

g(x)=

LM.


Nota

a. As propriedades quando x→−∞ são estabelecidas de forma análoga, às apresenta-das no resultado anterior.

b. Quando temos que calcular os limites no infinito de uma função racional, na práticapodemos dividir tanto o numerador como o denominador pela maior potência de x, dodenominador que aparecer na expressão dada. Logo, é aplicado o critério do primeiroteorema.

Exemplo 3.9Calculemos os seguintes limites no infinito:

a. limx→+∞

7x2−8x+25x2 +3x−3

SoluçãoPela observação anterior, dividimos o numerador e o denominador por x2 (maior potênciado denominador) e obtemos:

limx→+∞

7x2−8x+25x2 +3x−3

= limx→+∞

7− 8x+

2x2

5+3x− 3

x2

=

limx→+∞

(7− 8

x+

2x2

)lim

x→+∞

(5+

3x− 3

x2

) =7−0+05+0−0

=75.

b. limx→−∞

12−3x+6x4

1+ x6

SoluçãoNesse caso, dividimos o numerador e o denominador por x6 e obtemos:

limx→−∞

12−3x+6x4

1+ x6 = limx→−∞

12x6 −

3x5 +

6x2

1x6 +1

=

limx→−∞

(12x6 −

3x5 +

6x2

)lim

x→−∞

(1x6 +1

) =0−0+0

0+1= 0.

c. limx→+∞

12x+63−4x

SoluçãoDividimos o numerador e o denominador por x e obtemos:

limx→+∞

12x+63−4x

= limx→+∞

12+6x

3x−4

=

limx→+∞

(12+

6x

)lim

x→+∞

(3x−4) =

12+00−4

=−3.

d. limx→−∞

√x2−2x+4+ x


SoluçãoPara que possamos aplicar a metodologia dos exemplos anteriores, precisamos expressara função como um quociente e para isso devemos racionalizar, isto é:

limx→−∞

√x2−2x+4+ x = lim

x→−∞

(√x2−2x+4+ x

)(√x2−2x+4− x

)√

x2−2x+4− x

= limx→−∞

x2−2x+4− x2√

x2−2x+4− x= lim

x→−∞

−2x+4√x2−2x+4− x

Desde que, x considera valores negativos que tendem para −∞, podemos dividir por x =−√

x2, e obteremos:

limx→−∞

−2x+4√x2−2x+4− x

= limx→−∞

−2+4x

−√

1− 2x+

4x2 −1

=−2+0

−√

1−0+0−1= 1

Portanto, limx→−∞

√x2−2x+4+ x = 1.

e. limx→+∞

√x+√

x+√

x+3√

x+3

SoluçãoObservamos que x considera valores positivos, assim dividimos o numerador e o denomi-nador por

√x e obtemos:

limx→+∞

√x+√

x+√

x+3√

x+3= lim

x→+∞

√√√√1+

√1x+

√1x3 +

3x4√

1+3x

=

√1+√

0+√

0+0√

1+0= 1.

3.8 Limites infinitos

Antes de apresentar a definição exata desse conceito, consideremos, novamente, função f (x) = 1+1

x−2e seu respectivo com gráfico:

x

y

20

y = f(x)

1 3

1

2


Analisando essa função, notamos que quando x tende a 2, pela direita, f (x) cresce ilimitadamente, ouseja,

limx→2+

f (x) = +∞,

e quando x tende a 2, pela esquerda, f (x) decresce ilimitadamente, ou seja,

limx→2−

f (x) =−∞.

Esses tipos de limites são conhecidos como limites infinitos.

DefiniçãoSejam a ∈ R e uma função f :

1. Diz-se que, o limite de f (x) é +∞, quando x tende ao ponto a, denotado por limx→a

f (x) =+∞, se

∀K >> 0, ∃δ > 0 : 0 < |x−a|< δ ⇒ f (x)> K.

2. Diz-se que, o limite de f (x) é −∞, quando x tende ao ponto a, denotado por limx→a

f (x) =−∞, se

∀M >> 0, ∃δ > 0 : 0 < |x−a|< δ ⇒ f (x)<−M.

Neste caso, também são definidos os seguintes limites laterais:

limx→a+

f (x) = +∞, limx→a−

f (x) = +∞, limx→a−

f (x) =−∞, limx→a+

f (x) =−∞.

Nota

a. Desde que os símbolos +∞ e −∞ não são números reais, nenhum dos limites infini-tos existem.

b. O termo o limite existe será usado somente quando o limite é um número real.

TeoremaSeja n ∈ N. Então:

limx→0+

1xn =+∞ e lim

x→0−

1xn =

{−∞, se n é impar;+∞, se n é par.


Exemplo 3.10Alguns casos particulares do teorema anterior são:

limx→0+

1x5 =+∞, lim

x→0+

1x4 =+∞, lim

x→0−

1x3 =−∞, lim

x→0+

1x6 =+∞.

O seguinte resultado apresenta algumas propriedades que nos permitem calcular limites infinitos.

PropriedadesSejam a, M ∈ R, com M 6= 0, tal que:

limx→a

f (x) = 0 e limx→a

g(x) = M.

a. Se M > 0 e f (x)→ 0, através de valores positivos, então

limx→a

g(x)f (x)

= +∞

b. Se M > 0 e f (x)→ 0, através de valores negativos, então

limx→a

g(x)f (x)

=−∞;

c. Se M < 0 e f (x)→ 0, através de valores positivos, então

limx→a

g(x)f (x)

=−∞

d. Se M < 0 e f (x)→ 0, através de valores negativos, então

limx→a

g(x)f (x)

= +∞.

Exemplo 3.11Seja a função f definida por:

f (x) =4x3−1

2− x− x2 .

Calculemos limx→1−

f (x) e limx→1+

f (x).

Solução

Quando avaliamos f (x) para x = 1, observamos que f (1) =30

, das propriedades vistas acima,podemos concluir que os dois limites desejados são infinitos. Porém, precisamos estabelecer osinal de cada um deles. Para determinar isto, fatoramos o denominador e analisamos se f (x) seaproxima a 0 por valores positivos ou negativos. Assim:

• limx→1

(4x3−1) = 3 > 0.

• limx→1

(2− x− x2) = limx→1

(1− x)(x+2), porém:


i. Se x→ 1+ (muito próximo a 1): 1−x > 0 e x+2 > 0 então limx→1+

(1−x)(x+2) = 0+, ou

seja, (1− x)(x+2)→ 0 por valores positivos.ii. Se x→ 1− (muito próximo a 1): 1−x < 0 e x+2 > 0 então lim

x→1−(1−x)(x+2) = 0−, ou

seja, (1− x)(x+2)→ 0 por valores negativos. Portanto,

limx→1+

4x3−12− x− x2 =

30+

=+∞ e limx→1−

4x3−12− x− x2 =

30−

=−∞.


a. limx→2+

x+2x2−4

Solução

limx→2+

x+2x2−4

= limx→2+

��x+2(x−2)��(x+2)

= limx→2+

1x−2

=+∞

b. limx→4−

√16− x2

x−4

Solução

limx→4−

√16− x2

x−4= lim

x→4−

16− x2

(x−4)√

16− x2= lim

x→4−

(4− x)(4+ x)

(x−4)√

16− x2

= − limx→4−

4+ x√16− x2

=− 80+

=−∞

c. limx→4−

bxc−4x−4

SoluçãoDesde que x→ 4− temos x ∈ [3,4)⇒ bxc= 3 logo,

limx→4−

bxc−4x−4

= limx→4−

3−4x−4

= limx→4−

−1x−4

=− 10−

=+∞.

3.9 Limites infinitos no infinito

Da mesma forma que limites em números reais, os limites no infinito podem deixar de existir, porexemplo, quando valores de f (x) crescerem ou descrescerem ilimitadamente quando x→+∞ oux→−∞. Para formalizar esse conceito, temos a seguinte definição.

DefiniçãoSeja f uma função. Se Dom( f ) contém algum intervalo da forma (a,+∞), então:

a. limx→+∞

f (x) = +∞ ⇔ ∀K� 0, ∃M > 0 : x > M ⇒ f (x)> K;


b. limx→+∞

f (x) =−∞ ⇔ ∀K� 0, ∃M > 0 : x > M ⇒ f (x)<−K;

c. limx→−∞

f (x) = +∞ ⇔ ∀K� 0, ∃M > 0 : x <−M ⇒ f (x)> K;

d. limx→−∞

f (x) =−∞ ⇔ ∀K� 0, ∃M > 0 : x <−M ⇒ f (x)<−K.

O item (a), dessa definição, significa que para valores de x grandes suficiente (positivos), os valorescorrespondentes a f (x) também serão grandes (positivos). Os itens (b), (c) e (d) são interpretados deforma análoga.

Agora, apresentamos as seguintes propriedades de limites infinitos no infinito.

TeoremaSejam f e g duas funções, onde f verfica:

limx→±∞

f (x) =±∞

a. Se limx→±∞

g(x) =±∞, então

limx→±∞

( f (x)+g(x)) =±∞ e limx→±∞

( f (x) ·g(x)) =±∞;

b. Se limx→±∞

g(x) = L, então

limx→±∞

( f (x)+g(x)) =±∞;

c. Se limx→±∞

g(x) = L, L > 0, então

limx→±∞

( f (x) ·g(x)) =±∞ e limx→±∞

f (x)g(x)

=±∞;

d. Se limx→±∞

g(x) = L, L < 0, então

limx→±∞

( f (x) ·g(x)) =∓∞ e limx→±∞

f (x)g(x)

=∓∞;

e. Se limx→±∞

g(x) =∓∞, então

limx→±∞

( f (x) ·g(x)) =∓∞;


NotaO teorema anterior pode ser resumido da seguinte forma, dada uma constante k temos que:

• k+(+∞) = +∞

• k+(−∞) =−∞

• (+∞)+(+∞) = +∞

• (−∞)+(−∞) =−∞

• (+∞)(+∞) = +∞

• (−∞)(−∞) = +∞

• (+∞)(−∞) =−∞

•k±∞

= 0

• (−∞)n =

{+∞, se n é par positivo;−∞, se n é impar positivo;

• (+∞)n =+∞, n ∈ Z+

• k(+∞) =

{+∞, se k > 0;−∞, se k < 0;

• k(−∞) =

{−∞, se k > 0;+∞, se k < 0.

NotaSejam P(x) = a0xn + a1xn−1 + · · ·+ an e Q(x) = b0xm + b1xm−1 + · · ·+ bm dois polinômiosde grau n e m, respectivamente, então:

a. limx→±∞

P(x) = limx→±∞

(a0xn +a1xn−1 + · · ·+an) = limx→±∞

a0xn;

b. limx→±∞

P(x)Q(x)

= limx→±∞

a0xn +a1xn−1 + · · ·+an

b0xm +b1xm−1 + · · ·+bm=

∞ se n > m;

a0

b0se n = m;

0 se n < m.


a. limx→+∞

(−8x12 +5x7−5x3 +2x−67).

Soluçãolim

x→+∞(−8x12 +5x7−5x3 +2x−67) = lim

x→+∞(−8x12) =−∞.


b. limx→−∞

7x9−456x5−67001000x3−1

.

Solução

limx→−∞

7x9−456x5−67001000x3−1

= limx→−∞

7x9

1000x3 = limx→−∞

7x6

1000=+∞.

c. limx→+∞

√x2 +9x+4

SoluçãoO limite é da forma ∞/∞. Dividimos o numerador e o denominador por x =

√x2, x > 0 ,

obtemos limx→+∞

√x2 +9x+4

= limx→+∞

√x2 +9√

x2

x+4x

= limx→+∞

√1+

9x2

1+4x

= 1.

d. limx→−∞

√x2 +9x+4

SoluçãoEsse limite é da forma

∞

∞. Logo, precisamos dividir o numerador e o denominador por

x =−√

x2, x < 0, obtendo

limx→−∞

√x2 +9x+4

= limx→−∞

√x2 +9

−√

x2

x+4x

= limx→−∞

−√

1+9x2

1+4x

=−1.

e. limx→−∞

(√

4x2−3x−2x)

SoluçãoDevido ao fato que lim

x→−∞

√4x2−3x = lim

x→−∞4√

x2 =+∞ e limx→−∞

2x =−∞, temos que

limx→−∞

(√

4x2−3x−2x) = (+∞)− (−∞) = +∞.

f. limx→+∞

(√

4x2−3x−2x)

SoluçãoEsse limite é da forma ∞−∞, logo, precisamos racionalizá-lo

limx→+∞

(√

4x2−3x−2x) = limx→+∞

−3x√4x2−3x+2x

= limx→+∞

−3√4− 3

x+2

=−34.


3.10 Assíntotas

DefiniçãoDiz-se que a reta L é uma assíntota do gráfico y = f (x) se a distância entre a reta L e o pontoA, que se movimenta ao longo do gráfico y = f (x), tende a zero quando A tende ao infinito. Emoutras palavras,

limA→∞

Dist(L,A) = 0.

ProposiçãoA reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico y = f (x) se alguma das seguintes condições forverificada:

a. limx→a

f (x) =±∞;

x

y

y = f(x)

a

x

y

lim f(x) = + 8

x a

y = f(x)

a

lim f(x) = 8

x a

b. limx→a+

f (x) =±∞;

x

y

y = f(x)

a

x

y

lim f(x) = + 8

x a

y = f(x)

a

lim f(x) = 8

+ x a+

c. limx→a−

f (x) =±∞.

x

y

y = f(x)

a

x

y

lim f(x) = + 8

x a

y = f(x)

a

lim f(x) = 8

x a


ProposiçãoA reta y = c é uma assíntota horizontal do gráfico y = f (x) se uma das seguintes condições forverificada:

a. limx→+∞

f (x) = c;

b. limx→−∞

f (x) = c.

x

yy = f(x)

x

y

y = f(x)

cc

(a) (b)

ProposiçãoA reta y = mx+b, m 6= 0 é uma assíntota oblíqua do gráfico y = f (x) se, e somente se, uma dasseguintes condições for verificada:

a. limx→+∞

f (x)x

= m e limx→+∞

( f (x)−mx) = b;

b. limx→−∞

f (x)x

= m e limx→−∞

( f (x)−mx) = b.

x

y

y = f(x)

x

y

y = f(x)

Nota

a. Se ao calcular os valores de m e b (quando x→ +∞), um dos limites não existe, acurva não apresenta assíntotas obliquas à direita. De forma analoga, se m ou b nãoexiste, quando x→−∞, então a curva não apresenta assíntotas oblíquas à esquerda.

b. Se m = 0 e b finito, a assíntota é horizontal.

c. Se uma função f (x) é fracionária, as possíveis assíntotas verticais são obtidas nosvalores de x que anulam ao denominador de f (x). Se esses valores existem, devemoscomprovar se o seu limite é infinito.


Exemplo 3.14Encontremos as assíntotas, da função f definida por:

a. f (x) =x2 +9x−3

Soluçãoi. Assíntotas verticais: observamos que x = 3 é um zero do denominador, e

limx→3

x2 +9x−3

=±∞,

Logo, x = 3 é uma assíntota vertical.ii. Assíntotas horizontais: encontremos c ∈ R tal que c = lim

x→∞f (x).

limx→∞

x2 +9x−3

=+∞.

Porém, +∞ não é um número real, então não existem assíntotas horizontais.iii. Assíntotas oblíquas: dada a reta y = mx+b encontremos m e b definidos na proposi-

ção acima, ou seja,

m = limx→±∞

f (x)x

= limx→∞

x2 +9x2−3x

= 1

b = limx→±∞

( f (x)−mx) = limx→∞

x2 +9x−3

− x = limx→∞

3x+9x−3

= 3

Logo, a assíntota oblíqua é a reta y = x+3.

b. f (x) =x2 +1x−1

+ 3√

x

Soluçãoi. Assíntotas verticais: observamos que x = 1 é um zero do denominador, e

limx→1

x2 +1x−1

+ 3√

x = ∞.

Então, x = 1 é uma assíntota vertical.ii. Assíntota horizontal: y = c, onde

c = limx→±∞

x2 +1x−1

+ 3√

x =±∞.

Portanto, f não têm assíntotas horizontais.iii. Assíntotas oblíquas:

m = limx→±∞

f (x)x

= limx→±∞

x2 +1x2− x

+3√

xx

= 1

b = limx→±∞

( f (x)−mx) = limx→±∞

x2 +1x−1

+ 3√

x− x =±∞

Logo, não existe assíntota oblíqua.


Exemplo 3.15Encontremos as assíntotas e o gráfico, da função f definida por:

a. f (x) =2x2−5x−3

x−1

Soluçãoi. Interseção com os eixos:

1. Eixo y : x = 0 então f (0) = 3, assim (0,3) é um ponto de interseção.2. Eixo x : f (x) = 0 então x1 = −1

2 , x2 = 3, assim (−12 ,0), (3,0) são os pontos de

interseção.ii. Assíntotas verticais: x = 1 é um zero do denominador e

limx→1

2x2−5x−3x−1

= ∞.

Portanto, a reta x = 1 é assíntota vertical e Dom( f ) = R\{1}.Para obter o gráfico, precisamos determinar o sinal de ∞ quando x→ 1− e x→ 1+.Assim, obtemos que:

limx→1−

2x2−5x−3x−1

=+∞ e limx→1+

2x2−5x−3x−1

=−∞.

iii. Assíntotas horizontais: não existem, devido a

c = limx→±∞

2x2−5x−3x−1

=±∞.

iv. Assíntotas oblíquas:

m = limx→±∞

f (x)x

= limx→∞

2x2−5x−3x(x−1)

= 2

Por outro lado,

f (x)−mx =2x2−5x−3

x−1−2x =

2x2−5x−3−2x2−3x−1

=−3x−3

x−1.

Assim,

b = limx→±∞

( f (x)−mx) = limx→±∞

−3x−3x−1

=−3.

Portanto, a reta y = 2x−3 é uma assíntota oblíqua do gráfico de y = f (x). O gráficoé apresentado no item (a) da figura abaixo.

y = x-1

y =

2x-

3

x = 1y y

x x

(a) (b)


b. f (x) = 3√

x3−3x2−9x+27.

SoluçãoFatorando os termo dentro da raiz, temos que f (x) = 3

√(x−3)2(x+3). Logo, Dom( f ) =

R.

i. Interseções com os eixos:1. Eixo y : x = 0 então f (0) = 3, assim (0,3) é um ponto de interseção.2. Eixo x : f (x) = 0 então x1 = −3, x2 = 3, assim (−3,0), (3,0) são os pontos de

interseção.ii. Assíntotas verticais: desde que f não possui denominador, então não existem assín-

totas verticais.iii. Assíntotas horizontais:

c = limx→±∞

3√

x3−3x2−9x+27 =±∞.

Portanto, não existem assíntotas horizontais.iv. Assíntotas oblíquas:

m = limx→±∞

f (x)x

= limx→∞

3√

x3−3x2−9x+27x

= 1

b= limx→±∞

( f (x)−mx)= limx→±∞

3√

x3−3x2−9x+27−x= limx→±∞

3√−3x2−9x+27=−1.

Portanto, a reta y = x− 1 é uma assíntota oblíqua do gráfico y = f (x). O gráfico éapresentado no item (b) da figura acima.

3.11 Recapitulando

Nesse capítulo, apresentamos o conceito de limite com o intuito de fazer com que o aluno entendao por que esse assunto é importante, e assim, dar continuidade ao nosso estudo. Porém, para definirlimites é necessário antes conhecer a definição de vizinhanças e bolas abertas, por isso esse capítulofoi iniciado com esses conceitos.

Nas seções subsequentes, as principais propriedades e leis sobre limites foram apresentadas. Desdeque a obtenção de um limite, não é sempre direta, isto é, avaliando a função no ponto em questão, adefinição de limites laterais foi introduzida.

Dando continuidade ao nosso estudo, também foram considerados os casos onde o ponto em questãocresce ou decresce ilimitadamente, assunto esse que é conhecido como limites ao infinito. O conceitode limites infinitos foi apresentado, para definir o fato em que o limite solicitado tende a +∞, ou−∞,quanto mais próximo se esteja do ponto em questão.

Desde que essa teoria analisa os pontos onde a função estudada tem um comportamento crítico, é ne-cessário completá-la com a introdução e definição de assíntotas verticais, horiozontais e/ou oblíquas,já que esse conceito estabelece, caso elas existam, o comportamento da função próxima delas.

Diversos exemplos foram apresentados ilustrando todos esses conceitos.

No próximo capítulo, apresentaremos as noções básicas de continuidade, um teoria totalmente de-pendente do domínio de limites. Continuidade é uma das ideias mais importantes e mais fascinatesde toda a matemática, pois apesar da palavra contínua parecer intuitivamente clara, não é fácil ima-ginar uma boa definição para tal ideia.


3.12 Atividades

1. Aplicando a definição de limite, demonstre os seguintes limites:

a. limx→2

(3x2− x−2) = 8;

b. limx→3

4x−2

= 4;

c. limx→7

x+19x−60

=83

;

d. limx→1

x+1√x

= 2;

e. limx→−7

3xx+8

=−21;

f. limx→1

|2− x|3x−1

=12

;

g. limx→64

√x−1

3√

x+3= 1;

h. limx→ 1

2

bxcx+1

= 0;

i. limx→0

√4x2 +1 = 1;

j. limx→−1

4x2 +13x+2

=−5;

k. limx→−3

√−4x−3x+2

=−3;

l. limx→5

4xx+3

= 10.

2. Calcule os seguintes limites:

a. limx→4

3x2−17x+204x2−25x+36

;

b. limx→1

x5−1x6−1

;

c. limx→1

2x2n +1−3x−2n

3x2n−5+2x−2n ;

d. limx→2

3x−61−√

4x−7;

e. limx→4

3−√

5+ x1−√

5− x;

f. limx→64

√x−8

3√

x−4;

g. limx→8

√2+ 3√

x−2x−8

;


h. limx→5

2−√

x−1

1− 3√

3−√

x−1;

i. limx→20

2 4√

x−4−45√

x+12−2;

j. limx→2

x2 + 3√

x−2−43√

4− x√

3x−2;

k. limx→1

|x3−1||x−1|+ |x−1|2

;

l. limx→3

2x3−5x2−2x−34x3−13x2 +4x−3

;

m. limx→2

23x−6

− 22x2−5x+2

;

n. limx→−3

x3 +6x2 +9xx3 +5x2 +3x−9

;

o. limx→3

√x2−2x+6−

√x2 +2x−6

x2−4x+3;

p. limx→−3

√−x+6−3

x2−√−x−2− 3

√x2−1+2x

;

q. limx→1

3√

3x2 + x+4+√

x2 +5x+10−6x2

3√√

x+3+6+√

x+8−5x2;

r. limx→1

3√

(x2 +1)2−2 3√

2x2 +2+ 3√

4(x−1)2 ;

s. limx→1

√x3 +3

√x−3x−1

x+3 3√

x−3 3√x2−1.

3. Se f (x) =x2−mx+3x−3m

x−m, encontre os valores de m, de modo que lim

x→mf (x) = m2−17.

4. Se limx→1

f (x)1− x3 = 4 e lim

x→1

g(x)1− x2 =−6, calcule lim

x→1

f (x)g(x)

.

5. Se limx→−2

f (x+2)√−2x−2

= 8 e limx→−2

g(x+2)x2−4

= 3, calcule limx→0

f (x)g(x)

.

6. Se limx→1

k√

x−1x−1

= L 6= 0, encontrar limx→0

√x+1−1

k√

x+1−1.

7. Calcule os limites indicados, se existirem:

a. limx→2

f (x), onde

f (x) =

x2−4x−2

, se x 6= 2;

5, se x = 2;

b. limx→0

f (x) e limx→1

f (x), onde f (x) =x+ |1− x|

x2 +1.


c. limx→2

f (x), onde

f (x) ={

x2, se x≤ 2;8−2x, se x > 2.

d. limx→2

f (x), onde

f (x) =

6x− x2, se x < 2;

6, se x = 2;2x2− x−3, se x > 2.

e. limx→1+

( 36√

x−1− 9√

x−13x2−3+ 36

√x−1

)(x3/2−1+

√x−1√

x2−1

);

f. limx→ 5

3

√|x|+ b3xc+4;

g. limx→ 5

3

√b9+ x2c;

h. limx→1

x3− x2 +3x−3|x−1|

;

i. limx→√

x−

2bx2 +1c+ |x+2|−2b3x+2c

;

j. limx→√

x+

[2bx2− sgn(|x2−1|−1)

];

k. limx→6

x2−⌊x

3

⌋b2xc+10

;

l. limx→−1−

5 5√

x+2−4 4√−1−2x+3

√2+ x−2

√−1−2x+5x+3

x2 + x;

m. limx→−1+

√−9x+ 3

√x−2

x+1.

8. Calcule os seguintes limites no infinito:

a. limx→+∞

4x3 +2x2−5x+2−8x3 ;

b. limx→+∞

2x+3x+ 3√

x;

c. limx→+∞

√4+ x+ x2− x

x2 ;

d. limx→−∞

(√x2−2x+4+ x

);

e. limx→+∞

(√x2−5x+6− x

);

f. limx→+∞

(√16x2 +8x+6−

√16x2−8x−6

);

g. limn→+∞

1+2+3+ . . .+nn2 ;


h. limx→+∞

5

√(5−√

x)(√

x+3)243x−11

;

i. limx→−∞

(√x2 + x−

√x2 +5

);

j. limx→+∞

(√4x+

√4x+

√4x−2

√x)

;

k. limx→−∞

(3√

x3− x2 +1+ 3√

x4− x3 +1)

;

l. limx→+∞

3√

x3 +6x2−16− x√x2 +2x+1−

√x2− x

.

9. Calcule os seguintes limites infinitos:

a. limx→2+

x+2x2−4

;

b. limx→4−

√16− x2

x−4;

c. limx→−2−

3x2−7x+6x2 + x−6

;

d. limx→2

(1

x−2− 3

x2−4

);

e. limx→−∞

3x3 +2x2−12x2−3x+5

.

10. Calcule o limite indicado:

a. limx→1

[1

1− x− 1

x2−2x−1

];

b. limh→0

√h2 +2h+4+ 3

√h3 +3h2 +3h−8+6h

h√

h+1−h

c. limx→−∞

(x√

x2 +1− x2)

;

d. limx→2−

√4− x2

x2 +1;

e. limx→+∞

[x3 +1x2 +1

+√

x2 +2−2x]

;

11. Encontre as assíntotas do gráfico da função f , e trace o gráfico mostrando as assíntotas.

a. f (x) =√

1+ x2 +2x;

b. f (x) =1− x2

x2−4;

c. f (x) =x−5

x2−7x+10;

d. f (x) =√

x2 + x− x;

e. f (x) =

√9x2−6x−8

16x2 +4x−6;


f. f (x) = 4√

x4− x3−9x2 +9x;

g. f (x) =3x3 +3x+1x2 + x−6

+√

x2 +4;

h. f (x) =

x

√2+ x2− x

, se |x|< 2;

2x2

x2 + x, se |x| ≥ 2;

i. f (x) =

x2

√1− x2

, se |x|< 1;

3x2x+1

+3x, se |x| ≥ 1;

j. f (x) =

√

x2 + x− x, se |x| ≥ 9;x2−81x2−9x

, se |x|< 9 e x 6= 0;

12. Calcule as constantes a e b, de modo que se verifique a condição:

a. limx→+∞

(x2−3 3

√x2 +1+3

x−3−ax−b

)= 0 ;

b. limx→−∞

(x2 +3 3

√x2 +1+5

x+3−ax−b

)= 0 ;

c. limx→+∞

(5x3− 4

√x8 +1− 3

√x6 +1+1

x2−4−ax−b

)= 0 .


Capítulo 4

Continuidade



• Interpretar geometricamente a definição de continuidade de uma função;

• Compreender o conceito de continuidade de uma função em um ponto;

• Determinar a partir do gráfico de uma função se esta é contínua ou não.

4.1 Introdução

O conceito de continuidade em matemática é o que utilizamos no nosso cotidiano, isto é, continuidadeimplica em uma ligeira variação da função, sem saltos bruscos que desiquilibrem o gráfico. Geometri-camente, uma função f é contínua, no seu domínio, quando seu gráfico não tem quebras ou buracos,em nenhum ponto que pertença ao domínio. Isto é, seu gráfico pode ser traçado sem afastar o lápisdo papel.

4.2 Noção intuitiva

Consideremos uma função f . Intuitivamente, quando falamos de função contínua podemos entenderque o gráfico da função f pode ser descrito como una curva contínua que não apresentar quebrasou buracos. Para tornar esta ideia mais precisa, necessitamos compreender em que casos poderiamacontecer estas quebras ou buracos, na figura a seguir são apresentados estes cassos:

• A função f não esta definida em c, veja o item (a);

• O limite de f (x) não existe quando x tende a c, veja os itens (b) e (c);

• O valor da função e o valor do limite em c são diferentes, veja o item (d).


c c c c

y y y y

x x x x

(a) (b) (c) (d)

y = f(x)y = f(x) y = f(x) y = f(x)

Agora, apresentamos a definição formal deste conceito.

4.3 Definição precisa

DefiniçãoSeja f uma função definida no conjunto A ⊂ R e a ∈ A. Diz-se que f é contínua em x = a seas seguintes condições são verificas:

i. f (a) existe, ou seja, a ∈ Dom( f );

ii. limx→a

f (x) existe;

iii. limx→a

f (x) = f (a).

Diz-se que f é descontínua em a, se alguma destas condições não é verificada em x = a.

Nota

• Diz-se que f é contínua no ponto a ∈ Dom( f ) quando é possível tornar f (x) arbitraria-mente próximo de f (a) desde que se tome x suficientemente próximo de a.

• Ao contrário da definição de limite, só faz sentido indagar se f é contínua no ponto aquando a ∈ Dom( f ).

• Ao investigar a continuidade de uma função f em um ponto ou em um conjunto, é funda-mental ter sempre em conta o domínio de f .

Exemplo 4.1

a. Seja a função

f (x) ={

3x−4, se x 6= 3;5, se x = 3.

Determinemos se f é contínua em x = 3.

Soluçãoi. Da definição de f temos que f (3) = 5. Logo, f (3) existe;


ii. Lembremos que limx→3

f (x) existe, se, e somente se, limx→3−

f (x) = limx→3+

f (x). Então

analisemos estes limites laterais:

limx→3−

f (x) = limx→3−

(3x−4) = 5 e limx→3+

f (x) = limx→3+

(3x−4) = 5.

Assim, limx→3

f (x) existe e é igual a 5.

iii. Logo, limx→3

f (x) = 5 = f (3).

Portanto, f é contínua em x = 3; veja item (a) da seguinte figura.

y y y

x x x

(a) (b) (c)

y = f(x)y = f(x) y = f(x)

43 3

5

8

3

4

2

-2

b. Seja a função

f (x) =

2x2−32

x2−2x−8, se −1 < x < 10 e x 6= 4;

83, se x = 4.

Determinemos se f é contínua em x = 4.

Solução

i. Da definição de f temos que f (4) =83

. Então, f (4) existe;

ii. limx→4

f (x) = limx→4

2x2−32x2−2x−8

= limx→4

2(

x+4x+2

)=

83

iii. Assim, limx→4

f (x) =83= f (4).

Portanto, f é contínua em x = 4; veja item (b) da figura acima.

c. Dada a função

f (x) =

x2−2, se −2 < x≤ 1;

x+1, se 1 < x≤ 3;

2√

x−3+4, se 3 < x.

Determinemos se f é contínua em x = 1 e x = 3.

Solução• Analisemos para x = 1:

i. Da definição de f vemos que f (1) =−1. Assim, f (1) existe;


ii. Para afirmar que limx→1

f (x) existe, analisemos os limites laterais neste ponto:

limx→1−

f (x) = limx→1−

(x2−2) =−1 e limx→1+

f (x) = limx→1+

(x+1) = 2.

Embora estes limites laterais existam, eles não são iguais, logo, concluimos quelimx→1

f (x) não existe.

Portanto, f não é contínua em x = 1, ou em outras palavras, f é discontínua em x = 1.• Analisemos para x = 3:

i. Da definição de f vemos que f (3) = 4. Assim, f (3) existe;ii. Para afirmar que lim

x→3f (x) existe, analisemos os limites laterais:

limx→3−

f (x) = limx→3−

(x+1) = 4 e limx→3+

f (x) = limx→3+

(2√

x−3+4) = 4.

Desde que ambos limites laterais existem e são iguais, concluimos que limx→3

f (x) e é

igual a 4.iii. Dos resultados previos, concluímos que lim

x→3f (x) = 4 = f (3)

Portanto, a função f é contínua em x = 3; veja o item (c) da figura acima.

4.4 Tipos de descontinuidade

Descontinuidade evitável ou removívelDiz-se que a função f : R→ R tem descontinuidade evitável ou removível no ponto x = a se:

i. o número limx→a

f (x) existe;

ii. a 6∈ Dom( f ), veja o item (a) da figura a seguir, ou;

iii. a ∈ Dom( f ) porém limx→a

f (x) 6= f (a), veja o item (b) da figura a seguir.

Logo, podemos evitar ou remover a descontinuidade de f definindo a nova função:

F(x) =

{f (x), se x 6= a;

limx→a

f (x), se x = a.

Notemos que esta função esta definida em x = a e limx→a

F(x) = F(a). Portanto, ela é uma funçãocontínua. F é chamada de extensão contínua de f em x = a.

(a) (b)

x x

y y

a a

y = f(x) y = f(x)


Descontinuidade não evitável ou irremovível

Descontinuidade de primeira especieDiz-se que a função f : R→ R tem descontinuidade de primeira especie no ponto a se oslimites laterais

limx→a−

f (x) e limx→a+

f (x)

existem, ou seja, são finitos, porém são diferentes.

Descontinuidade de segunda especieDiz-se que a função f : R→ R tem descontinuidade de segunda especie no ponto a, selimx→a

f (x) não existe, ou seja, se algum dos limites laterais é ±∞.

Exemplo 4.2Determinemos os valores de x para os quais a função f é descontínua, e verifiquemos se nestes pontosa descontinuidade é removível ou não.

a. f (x) =x4−81x2−9

SoluçãoDa definição de f , observamos que ela pode ser reescrita como x2 +9, isto é,

f (x) =x4−81x2−9

=(x2 +9)(x+3)(x−3)

(x+3)(x−3)= x2 +9, com x 6=±3,

limx→−3

x2 +9 = 18 e limx→3

x2 +9 = 18.

Logo, os pontos x = −3 e x = 3 são pontos de descontinuidade evitável da função f .Portanto, podemos definir uma função contínua em todo ponto a partir da função f :

F(x) ={

x2 +9, se x 6=±3;18, se x =±3.

b. f (x) =x3−2x2−11x+12

x2−5x+4

SoluçãoNovamente, da definição de f notamos que ela pode ser reescrita como x+3, ou seja,

f (x) =x3−2x2−11x+12

x2−5x+4=

(x−4)(x−1)(x+3)(x−4)(x−1)

= x+3 com x 6= 1, x 6= 4,

limx→1

f (x) = limx→1

x+3 = 4 e limx→4

f (x) = limx→4

x+3 = 7

Então, os pontos x = 1 e x = 4 são pontos de descontinuidade evitável de f . Logo, pode-mos definir uma função contínua em todo ponto a partir da função f :

F(x) =

x+3, se x 6= 1,4;

4, se x = 1;7, se x = 4.


c. f (x) =

2x+3, se x≤ 1;8−3x, se 1 < x < 3;x+3, se x≥ 3.

SoluçãoDesde que, f é uma função definida por partes, e todas estas partes são funções lineares,os únicos possíveis pontos de descontinuidade são os pontos x = 1 e x = 3. Analisemos,se realmente f é descontínua em algum destes pontos, e o tipo de descontinuidade:

• Para x = 1:i. f (1) = 5;

ii. limx→1

f (x) = 5. De fato:

limx→1−

f (x) = limx→1−

2x+3 = 5 e limx→1+

f (x) = limx→1+

8−3x = 5.

• Para x = 3:i. f (3) = 6;

ii. limx→3

f (x) não existe. De fato, analisando os limites laterais:

limx→3−

f (x) = limx→3−

8−3x =−1 e limx→3+

f (x) = limx→3+

x+3 = 6.

notamos que, embora eles existam, são diferentes.

Portanto, a função f é contínua em x = 1 e tem descontinuidade de primeira especie noponto x = 3.

d. f (x) =

x3−27sgn(x−1)

x3 +3x2 +3x−9⌊x

9

⌋ , se −5 < x < 0 e x 6=−3;

x2−9x2−2x−3

, se 0≤ x < 5 e x 6= 3;

94, se x =−3;

32, se x = 3.

SoluçãoExaminando a função f (x) para −5 < x < 0 temos que:

⌊x9

⌋=−1 e sgn(x−1) =

1, se x > 1;0, se x = 1;−1, se x < 1;


podemos então reescrevê-la como:

f (x) =

x3 +27x3 +3x2 +3x+9

, se −5 < x < 0 e x 6=−3;

x2−9x2−2x−3

, se 0≤ x < 5 e x 6= 3;

94, se x =−3;

32, se x = 3.

Agora, analisemos a continuidade de f em x =−3, x = 0 e x = 3.

• Para x =−3:

i. f (−3) =94

;

ii. limx→−3

f (x) existe. De fato,

limx→−3

f (x) =x3 +27

x3 +3x2 +3x+9=

94.

• Para x = 0:i. f (0) = 3;

ii. limx→0


limx→0+

f (x) = limx→0+

x2−9x2−2x−3

= 3 e limx→0−

f (x) = limx→0−

x3 +27x3 +3x2 +3x+9

= 3

• Para x = 3:

i. f (3) =32

;

ii. limx→3


limx→3

f (x) =x2−9

x2−2x−3=

32

Portanto, f é contínua em cada x ∈ (−5,5).

Embora a definição anterior seja de fácil entendimento, devemos ressaltar que para demostrações deresultados teóricos, precisamos usar a definição de continuidade em relação de ε e δ , isto é:

DefiniçãoUma função f : D→ R, definida no conjunto D⊂ R, é contínua no ponto a ∈ D se:

∀ε > 0, ∃δ > 0 : x ∈ D, e |x−a|< δ ⇒ | f (x)− f (a)|< ε.

Além disso, a função f é contínua em um conjunto A⊂D quando f é contínua em a para todoa ∈ A.


Exemplo 4.3

a. Dada a função f : R→ R definida por f (x) = k, onde k é uma constante. Provemos que f écontínua em R.

SoluçãoConsideremos a ∈ R arbitrário e ε > 0. Para qualquer δ > 0 e x ∈ R se tem:

|x−a|< δ ⇒ | f (x)− f (a)|= |k− k|= 0 < ε

Logo, f é contínua no ponto a. Como a foi escolhido arbitrariamente, f é contínua em R.

b. Dada a função f : R→ R definida por f (x) = x2. Provemos que f é contínua em R.

SoluçãoConsideremos a ∈ R arbitrário e ε > 0. Precisamos resolver a desigualdade

| f (x)− f (a)|= |x2−a2|= |x−a||x+a| ≤ |x−a|(|x|+ |a|)< ε.

Considerando δ1 = 1, obtemos que |x−a|< δ1 = 1 implica que |x|< |a|+1, substituindona desigualdade acima obtemos

| f (x)− f (a)| ≤ |x−a|(|x|+ |a|)≤ |x−a|(2|a|+1)< ε

assim obtemos que |x−a|< ε

2|a|+1= δ2. Logo

dadoε > 0, existe δ = min{

1,ε

2|a|+1

}> 0 tal que |x−a|< δ ⇒ | f (x)− f (a)|= ε

Logo, f é contínua em R.

O calculo da continuidade pode ser simplificado com fequência usando o teorema seguinte, que pro-porciona regras básicas de operações aritméticas de funções contínuas.

TeoremaSejam f e g duas funções reais contínuas no ponto a. Então

a. k · f é contínua no ponto a, onde k é uma constante;

b. f ±g é contínua no ponto a;

c. f ·g é contínua no ponto a;

d.fg

é contínua no ponto a, sempre que g(a) 6= 0;

e.1g

é contínua no ponto a, sempre que g(a) 6= 0;

f. | f | é contínua no ponto a.


NotaDo Teorema anterior obtemos:

a. Toda função polinomial f (x) = a0xn +a1xn−1 + · · ·+an, a0 6= 0 é contínua em R.

b. Toda função racional g(x) =a0xn +a1xn−1 + · · ·+an

b0xm +b1xm−1 + · · ·+bmé contínua em Dom(g).

c. As afirmações recíprocas do teorema acima não necessariamente são verdadeiras.Por exemplo, pode acontecer que f +g seja contínua no ponto a, sem que as funçõesf e g o sejam. De fato, se consideramos as funções f ,g,h : R→ R definidas por:

f (x) ={

0, se x≤ 0;1, se x > 0; g(x) =

{1, se x≤ 0;0, se x > 0; h(x) =

{−1, se x≤ 0;1, se x > 0;

não é difícil provar que são descontínuas no ponto x = 0. Porém as funções

f (x)+g(x) = 1, f (x) ·g(x) = 0 |h(x)|= 1, ∀x ∈ R

são funções contínuas em R.

Os próximos teoremas dizem ao respeito de composição de funções contínuas.

TeoremaSejam as funções reais f : A→ B ⊆ R e g : B→ R. Se f é contínua no ponto a ∈ A e g écontínua no ponto b = f (a) ∈ B, então g◦ f é contínua em a.

TeoremaSejam as funções reais f : A→ B⊆ R e g : B→ R, com

a. Im( f )⊂ B;

b. limx→a

f (x) = b;

c. g é contínua no ponto b.

Então limx→a

g( f (x)) = g(

limx→a

f (x))= g(b).

Exemplo 4.4

a. Calculemos limx→3

√5x2 +4

SoluçãoConsiderando g(x) =

√x e f (x) = 5x2 + 4, temos que g( f (x)) =

√5x2 +4. Como

limx→3

f (x) = 49 e g é contínua no ponto x = 49, pelo Teorema anterior:

limx→3

√5x2 +4 = lim

x→3g( f (x)) = g

(limx→3

f (x))= g(49) =

√49 = 7.

b. Demostremos que, para todo n ∈ N, limx→±∞

1xn = 0.


Solução

Considerando f (x) =1x

e g(x) = xn, verificamos que limx→±∞

f (x) = 0. Além disso, g é

uma função contínua para todo n ∈ N e (g◦ f )(x) = g( f (x)) =1xn , então, pelo Teorema

anterior

limx→±∞

1xn = lim

x→±∞g( f (x)) = g

(lim

x→±∞f (x)

)= g(0) = 0.

4.5 Continuidade de funções em intervalos

DefiniçãoSeja a função f : (a,b)→ R. Diz-se que f é contínua em (a,b), se f é contínua em todox ∈ (a,b).

Para estabelecer as próximas definições, precisamos os conceitos de continuidade nos pontos da fron-teira.

Definição

• A função f é contínua pela direita em x = a, se limx→a+

f (x) = f (a);

• A função f é contínua pela esquerda em x = a, se limx→a−

f (x) = f (a).

DefiniçãoSeja a função f : (a,b]→ R. Diz-se que f é contínua em (a,b], se

• f é contínua em x ∈ (a,b);

• f é contínua pela esquerda em b.

DefiniçãoSeja a função f : [a,b]→ R. Diz-se que f é contínua em [a,b), se


• f é contínua pela direita em a.

DefiniçãoSeja a função f : [a,b]→ R. Diz-se que f é contínua em [a,b], se


• f é contínua pela direita em a;

• f é contínua pela esquerda em b.


Exemplo 4.5

a. Seja f (x) = bxc, x ∈ R. Demostremos que f é contínua pela direita em todo n ∈ Z e que nãoexiste lim

x→nf (x).

SoluçãoDa definição de f (x) = bxc, temos que, para todo x ∈ [n,n+1),

para x ∈ [n,n+1) : bxc= n e limx→n+

f (x) = limx→n+bxc= lim

x→n+n = n.

Além disso, f (n) = n, o que implica que f (x) = bxc é contínua pela direita em n. Poroutro lado, para x ∈ [n−1,n) temos que

bxc= n−1 e limx→n−

f (x) = limx→n−bxc= lim

x→n−(n−1) = n−1.

Notamos que, embora estes limites laterais existam no ponto n, eles são diferentes. Por-tanto, lim

x→nf (x) não existe.

b. Dada a função f (x) =

√9− x2

x2−4, determinemos os intervalos onde f é contínua.

SoluçãoDa definição de f temos que Dom( f ) = [−3,−2) ∪ (2,3], logo, f é contínua em(−3,−2)∪ (2,3). Agora, analizemos a continuidade nos pontos x =−3 e x = 3. Como

limx→−3+

f (x) = 0 = f (−3) e limx→3−

f (x) = 0 = f (3),

podemos concluir que f é contínua em Dom( f ).

c. Dada a função

f (x) =

√9− x2

x2−4, se 2 < |x| ≤ 3;

sgn(x2−16)√|x|−

⌊x2

⌋ , se |x| ≤ 2 e x 6= 0;

4

√x2−9|2− x|

, se |x|> 3;

determinemos os intervalos onde f é contínua.

SoluçãoDa definição de f temos que Dom( f ) = R \ {0} e como f é definida por partes, devemosanalisar a continuidade nos pontos x = −3, x = −2, x = 2 e x = 3. Nos outros pontos dodomínio, ou seja, nos intervalos (−∞,−3),(−3,−2),(−2,0),(0,2),(2,3) e (5,+∞), a funçãof é contínua.


i. Para x =−3, temos f (−3) = 0 e limx→−3

f (x) = 0, os limites laterais são iguais. Assim f é

contínua em x =−3. Portanto f é contínua em (−∞,−2).

ii. Para x =−2, temos f (−2) =− 1√3

, limx→−2−

f (x) = +∞ e limx→−2+

f (x) =− 1√3

, concluímos

que f não é contínua no ponto x =−2 pela esquerda, porém é contínua no ponto x =−2pela direita, portanto é contínua em [−2,0).

iii. Para x = 2, temos f (2) =−1, limx→2−

f (x) =−1 e limx→2+

f (x) =+∞, concluímos que f não é

contínua no ponto x =−2 pela direita, porém é contínua no ponto x =−2 pela esquerda,portanto é contínua em [2,3).

iv. Para x = 3, temos f (3) = 0, limx→3−

f (x) = 0 e limx→3+

f (x) = 0, concluímos que f é contínua

no ponto x = 3. Portanto f é contínua em (2,+∞).

Concluimos que f é contínua nos intervalos: (−∞,−2), [−2,0), (0,2] e (2,+∞).

4.6 Teorema de valor intermediário

As funções contínuas em intervalos possuem propriedades que as tornam particularmente úteis emmatemática e suas aplicações. A principal propriedade é conhecida como Teoremade Bolzano ou doValor Intermediário.

Teorema de Bolzano ( ou do Valor Intermediário)Se f : R→ R é uma função contínua em um intervalo fechado [a,b], com a < b, e se w équalquer valor estritamente compreendido entre f (a) e f (b), então existe, no mínimo, um c ∈(a,b) tal que f (c) = w.

Geometricamente, veja o item (a) da figura a seguir, este teorema diz que qualquer reta horizontaly = w, que atravessa o eixo y entre os valores f (a) e f (b) a atravessará a curva y = f (x) ao menosuma vez no intervalo [a,b], ou em outras palavras, uma função contínua em um intervalo não passade um valor a outro sem assumir todos os valores intermédios.

y

xbca

f(b)

w

f(a)

y = f(x)

xa

b

0

f(b) < 0

f(a) > 0

y = f(x)

y

(a)

0

f(a) < 0

f(b) > 0

x

a

b

y = f(x)

y

(b) (c)

c

c

CorolárioSe f : R→ R é uma função contínua em um intervalo fechado [a,b], e não se anula em algumponto de [a,b], então f (x) tem o mesmo sinal em todo x ∈ [a,b].


O item (a) da figura acima, também, ilustra este resultado, nesta figura podemos observar que f (x)> 0em todo x ∈ [a,b]. Porém, no item (b) podemos ver que f (x) > 0 em todo x ∈ [a,c) e f (x) < 0 emtodo x ∈ (c,b], e no item (c) temos que f (x)< 0 em todo x ∈ [a,c) e f (x)> 0 em todo x ∈ (c,b], istoé devido a que f (c) = 0, ou seja, existe um ponto em [a,b] no qual f se anula.

CorolárioSe f : R→ R é uma função contínua em um intervalo fechado [a,b], e se f (a) e f (b) sãodiferentes de zero com sinais opostos, então existe, no mínimo, uma solução para f (x) = 0 nointervalo (a,b).

Os itens (b) e (c) da figura acima, mostram a interpretação geometrica deste teorema nos casos emque f (a)> 0 e f (b)< 0, e f (a)< 0 e f (b)> 0, respectivamente.

Teorema de WeierstrassQualquer função contínua em um intervalo [a,b], fechado e limitado, tem máximo e mínimonesse intervalo.

NotaEm qualquer um destes resultados, as condições são apenas condições suficientes; não sãocondições necessárias.

4.7 Funções inversas e continuidade

Desde que o gráfico de qualquer função inversa, f−1, é a reflexão do gráfico de f ao longo da retay = x, e o gráfico de f , quando contínua, não pode possuir interrupções, então f−1 deve ser contínua.O seguinte teorema estabelece formalmente este resultado.

Teorema (continuidade da função inversa)Se f : R→R é uma função contínua e injetora em cada ponto de Dom( f ), então f−1 é contínuaem cada ponto de Dom( f−1); em outras palavras então f−1 é contínua em cada ponto de Im( f ).

Na figura seguinte podemos ver uma ilustração deste teorema.

y

x

y = f(x)

y = f -1(x)


CorolárioSe f : R→R é uma função contínua e estritamente crescente, ou decrescente, em um intervalo[a,b] então:

i. f é invertível em [a,b];

ii. f−1 é estritamente crescente, ou descrescente;

iii. f−1 é contínua.

Notaf estritamente crescente, ou decrescente, implica que f é injetora em [a,b].

4.8 Recapitulando

Neste capítulo, apresentámos o conceito de continuidade em etapas, procedendo de uma noção in-formal e intuitiva para uma definição matemática precisa. Percebemos que o conceito de limite éfundamental para o bom entendimento e desenvolvimento desta teoria. O conceito de descontinui-dade e os tipos de descontinuidade de uma função foram apresentados, pois é necessário saberreconocer, dada uma função, se esta é contínua ou descontínua. Também, aprendimos como evitar,ou remover, uma descontinuidade, caso seja possível.

A definição de continuidade em intervalos foi apresentanda, isto é, envolvendo intervalos da forma:(a,b), [a,b], [a,b) e (a,b]. Diversos teoremas foram vistos para nos ajudar a mostrar se uma funçãoé ou não contínua. E concluímos este capítulo mostrando como a continuidade de uma função estarelacionada com a sua inversa. Exemplos foram desenvolvidos tentando ilustrar todos estes itens.

Desde que, já estudamos limites e continuidade, podemos no proxímo capítulo, apresentar as noçõesbásicas sobre a derivada, conceito muito utilizado para resolver uma ampla gama de problemas queenvolvem tangentes e taxas de variação, entre outras aplicações.

4.9 Atividades

a. Demostre, usando ε e δ , que as seguintes funções são contínuas em a:

i. f (x) =−8x+7, a = 1.

ii. f (x) = x3, a =−1.

b. Determine se a função é contínua ou descontínua em a, caso for descontínua indique o tipo dedescontinuidade:

i. f (x) ={

5x−3, se x 6= 1;1, se x = 1; a = 1.

ii. f (x) ={

x2, se x≥−1;1−|x|, se x <−1;

a =−1.

iii. f (x) ={

x2, se x≥−1;1−|x|, se x <−1;

a =−1.


iv. f (x) =

x+2, se −2≤ x≤−1;

1, se −1 < x < 1;2− x, se 1≤ x≤ 2;

a =−1, a = 1.

v. f (x) =

−1, se −3 < x≤ 0;

x−1, se 0 < x < 2;5− x2, se 2≤ x≤ 2

√3;

a = 0, a = 2.

c. Encontre, se possível, um número L ∈R tal que a função f seja contínua no ponto a. Justitiquesua resposta.

i. f (x) =

x2−3x−4x−4

, se x 6= 4;

L, se x = 4;, a = 4.

ii. f (x) =

1− x2, se |x|< 1;|x|−1, se |x|> 1;

L, se |x|= 1;, a =±1.

iii. f (x) =

|x|−2, se |x|< 2;4− x2, se |x|> 2;

L, se |x|= 1;, a =±2.

iv. f (x) =

|x2−2x−3|

x−3, se x 6= 3;

L, se x = 3;, a = 3.

v. f (x) ={

4− x2, se |x|< 2;L, se x≥ 4;

, a =±2.

d. Sejam as funções f e g. Determine se as funções f , g, f +g, f −g, f ·g efg

são contínuas no

ponto x = 0:

i. f (x) =

1x

(1√

x+1−1), se x 6= 0;

−12, se x = 0;

g(x) =

√

2+ x−√

22x

, se x 6= 0;

14√

2, se x = 0.

ii. f (x) =

4√

x4 +1−√

x2 +1x

, se x 6= 0;

−12, se x = 0;

g(x) =

x√

1−4x−2, se x 6= 0;

2, se x = 0.

e. Determine os pontos de descontinuidade das seguintes funções:

i. f (x) =

x3−1x−1

, se x 6= 1;

8, se x = 1;

.

ii. f (x) =

−|x|+ x

2, se x < 0;

2, se x = 0;

.


iii. f (x) =2x−|x|3x+ |x|

.

iv. f (x) =

3x2−7x+2

x−2, se x 6= 0;

3, se x = 0;

.

v. f (x) =

x2−9, se x≤ 3;

x, se x > 2;.

vi. f (x) =

|x||x−1|

, se x >−1, x 6= 1;

sgn(|x2−1|−1), se x <−1;

.

vii. f (x) =

sgn(x2−3x−10), se x≤−3;

|x2−9|, se −3 < x≤≤ 2;

−x2 +4x+3, se 2 < x < 5;

− 2(x−4)2 , se x > 5;

,

viii. f (x) =

8− x3√

x−2, se x < 8;

3−2x, se x≥ 8;

,

ix. f (x) =

√

4− x4+ x

, se |x|< 4;

2x2−16

, se |x|> 4;

,

x. f (x) =

x√

1+4x−2, se x < 0;

2x−1, se x≥ 0;.

f. Determine a continuidade nos intervalos que se indicam:

i. f (x) =

|16− x4|4− x2 , se x 6=±2;

−8, se x =−2;

8, se x = 2;em (−∞,−2), (−∞,−2], (−2,2], [−2,2], [−2,2), [2,+∞) e (2,+∞).

ii. f (x) =

|x3 + x2− x−1|x2−3x+2

, se x 6= 1, 2;

−4, se x = 1;

4, se x = 2;


em (−∞,1), (−∞,1], (1,2), [1,2], [2,+∞) e (2,+∞).

iii. f (x) = (x−1)bxc em [0,2].

g. Indique se a função é ou não é contínua no intervalo onde tem sido definido.

i. f (x) =x+2

x2−3x−10, 2 < x < 4.

ii. f (x) =

x+4x2−16

, se −5 < x < 5x 6=±4;

−18, se x =−4;

2, se x = 4;

.

iii. f (x) =

(x−1)|x+2||x2−1|

, se 0 < x < 4x 6= 1;

12, se x = 1.

.

h. Determine os valores de a e b de forma que a função dada seja contínua no seu domínio.

i. f (x) =

x+2a, se x <−2;

3ax+b, se −2≤ x≤ 1;

6x−2b, se x > 1;

.

ii. f (x) =

3− 3√

3x+3a( 3√

x−2), se x < 8;

ab, se −2≤ x = 8;

2|2x−7|b

, se x > 8.

.

i. Determine os intervalos onde a função f é contínua.

i. f (x) =

√x2−16x−6

;

ii. f (x) = 3√

4−√

x−2;

iii. f (x) = 1− x+ bxc−b1− xc;

iv. f (x) =|4x−3|−1b3−4xc

;

v. f (x) =

x3 +3x+3, se x≤−1;

|x−2|, se −1 < x≤ 4;

8x− x2−15, se x > 4.


j. Analisar a continuidade da função h

i. h = f ·g−1 onde

f (x) =

√

16x2−17x+1, se x≥ 2;

√x2−3x+2, se x≤ 1;

g(x) =x2−1

x2−16, x≥ 0, x 6= 4.

ii. h = f ◦g e g◦ f onde

f (x) = sgn(x); g(x) = x− x3.

iii. h = f ◦g onde

f (x) =x+ |x|

2; g(x) =

x, se x < 0;

x2, se x≥ 0.

iv. h = g−1 ◦ f−1 onde

f (x) =

2x+1, se x≥ 1;

x2−2, se x≤ 0;g(x) =

3x+1, se x≤ 8;

2x3, se x > 10.


Capítulo 5

A Derivada



• Obter e interpretar geometricamente o incremento de uma função dada;

• Calcular a derivada de uma função como limite do quociente de incremento quando oincremento na variável independente tende a zero;

• Dada a lei de movimento de uma particula, encontrar sua velocidade instantanea emum tempo t, aplicando para isso o conceito da derivada;

• Interpretar geometricamente o conceito da derivada;

• Aplicar a derivada para obter a equação da reta tangente a uma curva em um ponto dacurva;

• Aplicar os teoremas, para encontrar as derivadas de funções polinomiais e radicais;

• Deduzir as formulas para encontrar as derivadas trigonométricas, logarítmicas, expo-nenciais e trigonometricas inversas.

5.1 Introdução

A derivada de uma função é mais um dos conceitos básicos do Calculo Diferencial e Integral. Aideia da derivada foi originada por um problema geometrico: o problema de encontrar a reta tangenteem um ponto de uma curva. Porém, o conceito da derivada somente foi formulado no seculo XVII,quando o matemático Fermat, estudou como determinar os máximos e mínimos de certas funções.

x1 x2

A ideia de Fermat, foi muito simples, e pode ser entendida com o auxilio da figura acima. Dada umacurva, suponha que em cada um de seus pontos, esta curva tem uma direção definida que pode ser


dada pela tangente. Cada uma de estas tangentes são indicadas na figura por um segmento de retatracejada. Fermat observou que nos pontos onde a curva alcança um máximo ou um minimo, x1 ex2 na figura, a reta tangente é uma reta horizontal. Portanto, o problema de encontrar estes valoresextremos se reduz a localizar tangentes horizontais.

Isto nos conduz à questão mais geral da determinação da direção da reta tangente em um pontoarbitrário da curva. A tentativa de resolver este problema foi o que levou a Fermat a descobrir algumasdas ideias primarias referentes à derivada.

A primeira vista parece que não existe conexão entre o problema de encontrar a área de uma regiãolimitada por uma curva e o problema de encontrar a tangente em um ponto de uma curva. O primeiroem ligar estas ideias foi Newton. No entanto, Newton e Leibniz, independentemente um do outro,foram os primeiros que compreenderam a verdadeira importância desta relação e a exploraram de talforma que desenvolveram as ideias básicas do calculo Diferencial e Integral até chegar a conseguirque problemas, na época sem solução, sejam resolvidos por novos métodos e de forma quase rotinária,inaugurando uma etapa sem precedente no desenvolvimento da matemática.

5.2 A derivada e a reta tangente de uma função em um ponto.

DefiniçãoSejam f : R→ R uma função e um ponto a ∈ Dom( f ). Diz-se que:

i. f é derivável ou diferenciável em a, se o limite

f ′(a) := limx→a

f (x)− f (a)x−a

existe;

ii. f ′(a) é a derivada de f em a.

iii. f é derivável (ou diferenciável) em A, se A ⊆ Dom( f ) e f é derivável em cada pontoa ∈ A.

Nota

a. Ao fazer a mudança de variável h = x−a, obtemos a forma equivalente de f ′(a):

f ′(a) = limh→0

f (a+h)− f (a)h

.

b. A notação f ′(a) deve-se ao matemático Lagrange, mas, também, são usadas as se-

guintes notações: Dx f (a),d f (x)

dx

∣∣∣∣x=a

, f (a) e estas se devem ao matemáticos Cauchy,

Leibniz e Newton, respectivamente.


Exemplo 5.1Encontremos a derivada das seguintes funções no ponto x = 9:

i. f (x) = x2;

SoluçãoDa definição da derivada e de f temos que

f ′(9) = limh→0

f (9+h)− f (9)h

= limh→0

(9+h)2−92

h= lim

h→0(18+h) = 18.

ii. f (x) =√

x


f ′(9)= limh→0

f (9+h)− f (9)h

= limh→0

√9+h−3

h= lim

h→0

√9+h2−32

h(√

9+h+3)= lim

h→0

1√9+h+3

=16.

iii. f (x) =1x


f ′(9) = limh→0

f (9+h)− f (9)h

= limh→0

19+h

− 19

h= lim

h→0

−h9h(9+h)

=− limh→0

19(9+h)

=− 181

.

DefiniçãoSejam f : R→ R uma função derivável em A⊆ Dom( f ) e um ponto a ∈ A. A reta tangente àcurva y = f (x) no ponto (a, f (a)) é a reta de equação:

LT : y− f (a) = f ′(a)(x−a).

De forma mais simples, diz-se que LT é a reta tangente a y = f (x) em a.

NotaA ideia básica para a obtenção da reta tangente, foi aproximar as retas secantes, veja figuraabaixo. É possível provar rigurosamente, que quando os pontos d0, d1, . . . ,dn vão se aproxi-

mando do ponto d, as fraçõesf (xi)− f (a)

xi−avariam cada vez menos, tendendo ao valor limite

constante f ′(a).

a


Exemplo 5.2Encontremos a equação da reta tangente LT à curva:

i. y = x2 no ponto (9,81)

SoluçãoDo exemplo anterior temos que a inclinação de LT em x = 9 é f ′(9) = 18. Assim, aequação de LT em (9,81) é

y−81 = 18(x−9) ou de forma equivalente y = 18x−81.

ii. y =√

x no ponto (9,3)

Solução

Do exemplo anterior temos que a inclinação de LT em x= 9 é f ′(9)=16

. Assim, a equação

de LT em (9,3) é

y−3 =16(x−9) ou de forma equivalente y =

16

x− 32.

iii. y =1x

no ponto(

9,19

)Solução

Do exemplo anterior temos que a inclinação de LT em x = 9 é f ′(9) = − 181

. Assim, a

equação de LT em(

9,19

)é

y− 19=− 1

81(x−9) ou de forma equivalente y =− 1

81x+

29.

5.3 A derivada como função

Na seção anterior vimos a derivada de y = f (x) no ponto x = a. Agora, definiremos a derivada comouma função deduzida de f .

DefiniçãoSeja f : R→ R uma função. A função f ′ definida por

limh→0

f (x+h)− f (x)h

,

se o limite existe, é denominada de função derivada de f . O domínio desta função é denotadopor Dom( f ′) e definido por {x ∈ Dom( f ) : f ′(x) existe}. Além disso, as notações mais comunspara a derivada de y = f (x) são:

f ′(x),d f (x)

dx,

dydx

, y′, Dx f (x), f (x).

O simbolod f (x)

dxlê-se derivada de f (x) com respeito a x.


Exemplo 5.3

i. Provemos que a função constante f (x) = c, onde c ∈ R, é derivável e f ′(x) = 0, ∀x ∈ R.

SoluçãoDa definição da derivada e de f temos que:

f ′(x) = limh→0

f (x+h)− f (x)h

= limh→0

c− ch

= limh→0

0 = 0,

Portanto, f é derivável e f ′(x) = 0, ∀x ∈ R.

ii. Seja a, b ∈ R, a 6= 0. Provemos que a derivada da função f (x) = ax+b é f ′(x) = a, ∀x ∈ R.

SoluçãoDa definição da derivada e de f temos que:

f ′(x) = limh→0

f (x+h)− f (x)h

= limh→0

a(x+h)+b− (ax+b)h

= limh→0

ahh

= a,

Portanto, f ′(x) = a, ∀x ∈ R.

iii. Seja n ∈ N. Provemos que a derivada da função f (x) = xn é f ′(x) = nxn−1, ∀x ∈ R.

SoluçãoPara n = 1, a prova é trivial. Assumamos que n≥ 2:

f ′(x) = limh→0

f (x+h)− f (x)h

= limh→0

(x+h)n− xn

h

= limh→0

[(x+h)− x][

n−vezes︷︸︸︷(x+h)n−1 +(x+h)n−2x+ · · ·+ xn−1]

h

= limh→0

[

n−vezes︷︸︸︷(x+h)n−1 +(x+h)n−2x+ · · ·+(x+h)xn−2 + xn−1] = nxn−1

Portanto, a derivada da função é f ′(x) = nxn−1, ∀x ∈ R.

iv. Provemos que a função f (x) = |x| não é derivável no ponto x = 0.

SoluçãoDa definição de f , e analisando o limite:

limx→0

f (x)− f (0)x−0

= limx→0

|x|x,

notamos que, este limite não existe, pois limx→0+

|x|x

= 1 e limx→0−

|x|x

=−1. Portanto, f não é

derivável no ponto x = 0.


5.4 Derivadas laterais

DefiniçãoSeja f : R→ R uma função e a ∈ Dom( f ).

i. A derivada pela esquerda de f no ponto a é definida por

limx→a−

f (x)− f (a)x−a

se o limite existe, e denotada por f ′−(a).ii. A derivada pela direita de f no ponto a é definida por

limx→a+

f (x)− f (a)x−a

se o limite existe, e denotada por f ′+(a).

NotaDe forma alternativa as derivadas laterais são definidas por:

f ′−(a) = limh→0−

f (a+h)− f (a)h

e f ′+(a) = limh→0+

f (a+h)− f (a)h

.

ProposiçãoA função f : R→ R é derivável no ponto a ∈ Dom( f ) se, e somente se, as derivadas lateraisf ′−(a) e f ′+(a) existem e são iguais.

ProposiçãoSe a função f : R→ R é derivável no ponto a ∈ Dom( f ), então f é contínua no ponto a.

Nota

a. A reciproca da ultima proposição não é necessariamente verdadeira. Consideremos afunção f (x) = |x| é contínua em x = 0, porém não é derivabilidade em x = 0, veja oitem (iv) do exemplo anterior.

b. Para encontrar as derivadas laterais das funções definidas por partes, nos pontos ondea função muda de regra de correspondência, é útil ter em consideração as seguintespropriedades:

i. Se f é derivável para todo x < a, limx→a−

f (x) = f (a) e limx→a−

f ′(x) = L existe, então

f ′−(a) = L.

ii. Se f é derivável para todo x > a, limx→a+

f (x) = f (a) e limx→a+

f ′(x) = L existe, então

f ′+(a) = L.


Exemplo 5.4

a. Seja a função f definida por:

f (x) ={

x2, se x < 1;ax+b, se x≥ 1.

Determinemos os valores de a e b para que f ′(1) exista.

SoluçãoConsiderando que f ′(1) existe, então f é contínua no ponto x = 1. Logo, obtemoslim

x→1−f (x) = lim

x→1+f (x), assim obtemos que 1 = a+b.

Por outro lado,

f ′(x) ={

2x, se x < 1;a, se x > 1.

Pela observação anterior, resulta que

f ′(1−) = limx→1−

f (x) = 2 e f ′(1+) = limx→1+

f (x) = a,

e como f ′(1) existe, então a = 2. Finalmente, da condição a+b = 1 obtemos que b =−1.

b. Determinemos se a função f definida por:

f (x) ={

x, se x≤ 0;x2, se x > 0;

é derivável no ponto x = 0.

SoluçãoDa definição de f temos que

f ′(0−) = limx→0−

f (x)− f (0)x−0

= limx→0−

xx= 1

f ′(0+) = limx→0+

f (x)− f (0)x−0

= limx→0+

x2

x= lim

x→0+x = 0.

Portanto, a função não é derivável no ponto x = 0, porém é contínua no ponto x = 0.

c. Seja a função f definida por:

f (x) ={

x2, se xé racional;0, se xé irracional.

Provemos que f é derivável no ponto x = 0.

SoluçãoDa definição da derivada no ponto x = 0, obtemos que

f ′(0) = limh→0

f (h)− f (0)h

= limh→0

f (h)−02

h= lim

h→0

f (h)h


Agora, analisemos f (h) ef (h)

h. Como

f (h) ={

h2, se hé racional;0, se hé irracional,

então,f (h)

h=

{h, se hé racional;0, se hé irracional,

Assim, em qualquer dos dois casos, limh→0

f (h)h

= 0. Portanto, f ′(0) = 0.

5.5 Reta normal a uma curva em um ponto

Ao considerar a interpretação geométrica da derivada num ponto, entendimos como a equação da retatangente, denotada por LT era obtida, agora vamos a analisar a reta perpendicular a esta.

DefiniçãoSeja f : R→ R uma função derivável no ponto x = a. A reta que passa pelo ponto (a, f (a))a qual é perpendicular à reta tangente da curva y = f (x) no ponto (a, f (a)) é chamada de retanormal da curva y = f (x) no ponto (a, f (a)), denotada por LN , e se:

a. f ′(a) 6= 0, então a equação da reta norma é

LN : y− f (a) =− 1f ′(a)

(x−a);

b. f ′(a) = 0, então a equação da reta normal é

LN : x−a = 0.

Exemplo 5.5

a. Seja f (x) = x2−2x+3, encontremos as equações da reta tangente, LT , e da reta normal, LN , àcurva y = f (x) no ponto (2,3).

SoluçãoDesde que as equações de LT e LN , no ponto (2,3), dependem de f ′(2), calculemos estevalor

f ′(2) = limh→0

f (2+h)− f (2)h

= limh→0

(h+2) = 2.

Assim, as equações das retas tangente e normal à curva y = f (x), no ponto (2,3), são:

LT : y−3 = 2(x−2) ⇔ LT : 2x− y−1 = 0

LN : y−3 =−12(x−2) ⇔ LN : x+2y−8 = 0


b. Determinemos (w, f (w)), e as equações das retas tangente e normal à curva y = f (x) = 2−x−x2, sendo que a reta tangente é paralela à reta x− y−4 = 0.

SoluçãoO nosso problema aqui é encontrar o ponto (w, f (w)) no qual a reta esta definida. Porém,a reta paralela x− y−4 = 0 vai-nos proporcionar essa informação.Calculando a derivada

f ′(w) = limh→0

f (w+h)− f (w)h

= limh→0

(−1−2w−h) =−1−2w.

Como as inclinações de x− y−4 = 0 e LT são iguais, então f ′(w) = 1, logo, destas duasequações obtemos que w =−1. Portanto, o ponto de tangencia é (−1, f (−1)) = (−1,2),e as equações das retas tangente e normal são:

LT : y = x+3 e LN : y =−x+1,

respectivamente.

c. Dada a reta LN , normal à curva y = f (x) = x2−4 no ponto (w, f (w)). Se LN passa pelo ponto(33,0), determinemos o valor de w e as equações de LT e LN .

SoluçãoComo f ′(x) = 2x, a inclinação de LT no ponto (w, f (w)) é f ′(w) = 2w. Por outro lado, ainclinação da reta LN que passa pelos pontos (33,0) e (w, f (w)) é

− 1f ′(w)

=f (w)−0w−33

=w2−4w−33

Logo,2w3−7w−33 = 0 ⇒ (w−3)(2w2 +6w+11) = 0

Em consequência, w = 3, pois é a única raiz real da equação acima, e as equações dasretas tangente e normal são:

LT : y = 6x−13 e LN : y =−16

x+112,

respectivamente.

5.6 Regras de derivação

TeoremaSejam f e g duas funções deriváveis em x e seja k uma constante. Então, as funções

k f , f ±g, f ·g, 1g

efg

são deriváveis em x. Além disso,

i. (k f )′(x) = k[ f ′(x)]


ii. ( f ±g)′(x) = f ′(x)±g′(x)

iii. ( f ·g)′(x) = f ′(x) ·g(x)+ f (x) ·g′(x)iv. Se g(x) 6= 0, então

a.(

1g

)′(x) =− g′(x)

[g(x)]2;

b.(

fg

)′(x) =− f ′(x) ·g(x)− f (x) ·g′(x)

[g(x)]2.

TeoremaSe f1, f2, . . . , fn são funções derivaveis em x então:

i. f1 + f2 + . . .+ fn é derivável em x e

( f1 + f2 + . . .+ fn)′(x) = f ′1(x)+ f ′2(x)+ . . .+ f ′n(x)

ii. f1 · f2 · . . . · fn é derivável em x e

( f1 · f2 · . . . · fn)′(x) = f ′1(x) f2(x) . . . fn(x)+ f1(x) f ′2(x) f3(x) . . . fn(x)+ . . .

. . .+ f1(x) f2(x) . . . f ′n−1(x) fn(x)+ f1(x) f2(x) . . . fn−1(x) f ′n(x).

Exemplo 5.6Calculemos f ′(x) da função f definida por:

a. f (x) = 6x5 + x4−3x3 +2

SoluçãoDo teorema acima, aplicando a propriedade da soma de derivadas temos que:

f ′(x) = (6x5 + x4−3x3 +2)′

= (6x5)′+(x4)′− (3x3)′+(2)′

= 6(x5)′+4x3−3(x3)′+0= 30x4 +4x3−9x2.

b. f (x) = (x2 + x+1)x3

SoluçãoDo teorema acima, aplicando a propriedade do produto de derivadas temos que:

f ′(x) = (x2 + x+1)′x3 +(x2 + x+1)(x3)′

= (2x+1)x3 +(x2 + x+1)3x2

= x2(5x2 +4x+3)

c. f (x) = x−n, com x 6= 0 e n ∈ N

Solução

Da definição de f notamos que ela pode ser reescrita como f (x) =1xn . Logo, do teorema

anterior temos que

f ′(x) =(

1xn

)′=−nxn−1

x2n =−nx−n−1, ∀x ∈ R\{0}


d. f (x) =x+32− x

, x 6= 2

SoluçãoAplicando a regra da derivada para a divisão obtemos que

f ′(x) =(x+3)′(2− x)− (x+3)(2− x)′

(2− x)2 =(1)(2− x)− (x+3)(−1)

(2− x)2 =5

(2− x)2 .

e. f (x) =ax5 +bx4 + c√

a2 +b2 + c2

SoluçãoDa definição de f observamos que ela pode ser reescrita como f (x) =

1√a2 +b2 + c2

(ax5 +bx4 + c), onde1√

a2 +b2 + c2é uma constante. Logo

f ′(x) =1√

a2 +b2 + c2(ax5 +bx4 + c)′ =

1√a2 +b2 + c2

(5ax4 +4bx3).

Nota

a. Se f (x) = xn, n ∈ Z obtemos que f ′(x) = nxn−1.

b. Se c é uma constante em R, e f (x) = xc, então f ′(x) = cxc−1. Por exemplo, se

f (x) = x2/3 então f ′(x) =23

x−1/3.

5.7 A derivada da composição de funções

Teorema (Regra da cadeia)Sejam f : A→ R e g : B→ R duas funções tais que Im( f ) ⊂ B. Se f é derivável no pontoa ∈ Dom( f ) e g é derivável no ponto b = f (a) ∈ B, então g◦ f é derivável em a e a derivada éda forma:

(g◦ f )′(a) = g′ ( f (a)) · f ′(a).

CorolárioSeja f uma função derivável em a e h(x) = [ f (x)]n, onde n é uma constante, então a função h éderivável em a e

h′(a) = n[ f (a)]n−1 f ′(a).


NotaEm particular, dos resultados anteriores obtemos que:

a. Se y = y(t) e t = t(x) são duas funções deriváveis, então

dydx

=dydt· dt

dx, onde

dydt

= y′(t) edtdx

= t ′(x).

b. Se y = f (x) é uma função derivável, comdydx6= 0, e possui inversa, x = f−1(y), então

dxdy

=1

dy/dx;

c. Se y = y(t) e x = x(t) são duas funções deriváveis, comdxdt6= 0, então

dydx

=dy/dtdx/dt

;

d. Se f (x) = [u(x)]n e u(x) é derivável, então

f ′(x) = n[u(x)]n−1 ·u′(x);

e. Se f (x) =√

u(x) e u(x) é derivável, com u(x)> 0, então

f ′(x) =u′(x)

2√

u(x);

f. Se f (x) = |u(x)| e u(x) é derivável, com u(x) 6= 0, então

f ′(x) =u(x)|u(x)|

·u′(x).

Exemplo 5.7

a. Encontremos f ′, usando o item (d) da observação acima, onde f é definida por:

i. f (x) = (x4 +1)3

Soluçãof ′(x) = 3(x4 +1)2(x4 +1)′ = 3(x4 +1)2(4x3) = 12x3(x4 +1)2

ii. f (x) = (x3 +12x−4)300

Soluçãog′(x) = 300(x3 +12x−4)299(x3 +12x−4)′ = 900(x2 +4)(x3 +12x−4)299

iii. f (x) =[

x+2x−2

]18

Solução

h′(x) = 18[

x+2x−2

]17(x+2x−2

)′= 18

[x+2x−2

]17[(x−2)− (x+2)(x−2)2

]=−72(x+2)15

(x−2)17 .


b. Sejam y = t4− t2 + t e t = (x2 +1)4, calculemosdydx

.

SoluçãoDo item (a) da observação anterior temos que:

dydx

=dydt· dt

dx= [4t3−2t +1][4(x2 +1)3][2x]

Substituindo t por (x2 +1)4, obtemos que

dydx

= [4(x2 +1)3−2(x2 +1)+1][8x(x2 +1)3] = 8x[(x2 +1)6−2(x2 +1)4 +(x2 +1)3].

c. Se f (x) = 7√

(5x2−3x+2)3, determinemos f ′(x).

SoluçãoObservamos que f (x) = (5x2−3x+2)3/7. Assim

f ′(x) =37(5x2−3x+2)−4/7(5x2−3x+2)′ =

3(10x−3)

7 7√(5x2−3x+2)4

.

d. Seja f (x) =√

5+ |3x2−8|, determinemos f ′(x).

SoluçãoDo item(f) da observação acima temos que:

f ′(x) =(5+ |3x2−8|)′√

5+ |3x2−8|=

1√5+ |3x2−8|

(3x2−8|3x2−8|

· (3x2−8)′)

=1√

5+ |3x2−8|

(3x2−8|3x2−8|

· (6x))=

3x(3x2−8)

|3x2−8|√

5+ |3x2−8|

e. Sejam f (x+1) = 2x2 +8 e g(x+1) = f (x−2), determinemos g′(4).

SoluçãoFazendo z = x+1, temos que x = z−1, f (z) = 2(z−1)2 +8 e g(z) = f (z−3). Logo,

f ′(z) = 4(z−1).

Aplicando a regra da cadeia, temos que

g′(z) = f ′(z−3)(z−3)′ = 4((z−3)−1) = 4(z−4)

Portanto, para z = 4( ou x = 3), obtemos que g′(4) = 4(4−4) = 0.

f. Sejam f ′(x) =x

x−1e y = f

(x−1x+1

), determinemos

dydx

.

Solução

Fazendo z =x−1x+1

, temos que y = f (z). Aplicando a regra da cadeia, obtemos que

dydx

=dydz· dz

dx= f ′(z) · 2

(x+1)2 =z

z−1· 2(x+1)2

Substituindo z porx−1x+1

, temos quedydx

=1− x

(x+1)2 .


5.8 Teorema da função inversa

No Capítulo II estudamos a função inversa, e como ela “inverte” o efeito da função daqual é inversa. Oseguinte resultado é um dos teoremas fundamentais na matemática, o qual garante, dada uma funçãoderivável, a existência da inversa e a derivabilidade desta, em outras palavras, o próximo teoremaanalisa a relação de reciprocidade entre as derivadas de f e f−1.

TeoremaSeja f definida e derivável em um intervalo aberto I. Se f ′(x) 6= 0 para todo x ∈ I, então fpussui inversa, f−1, derivável e

( f−1)′(x) =1

f ′( f−1(x)).

5.9 Derivadas de funções elementares

Função ExponencialSejam f ,g : R→ R, u(x) uma função derivável, e a ∈ R, com 0 < a 6= 1. Se f (x) = ax eg(x) = au(x), então

f ′(x) = ln(a)ax e g′(x) = ln(a)au(x)u′(x).

Função LogaritmicaSejam f ,g : R→ R, u(x) uma função derivável, e a ∈ R, com 0 < a 6= 1. Se f (x) = loga(x) eg(x) = loga(u(x)), então

f ′(x) =loga(e)

xe g′(x) =

loga(e)u′(x)

u(x).

Funções TrigonométricasSejam f ,g : R→ R, e u(x) uma função derivável.

Função SenoSe f (x) = sen(x) e g(x) = sen(u(x)), então

f ′(x) = cos(x) e g′(x) = cos(u(x))u′(x);

Função CosenoSe f (x) = cos(x) e g(x) = cos(u(x)), então

f ′(x) =−sen(x) e g′(x) =−sen(u(x))u′(x);

Função TangenteSe f (x) = tg(x) e g(x) = tg(u(x)), então

f ′(x) =−sec2(x) e g′(x) =−sec2(u(x))u′(x);


Função CotangenteSe f (x) = cotg(x) e f (x) = cotg(u(x)), então

f ′(x) =−cossec2(x) e g′(x) =−cossec2(u(x))u′(x);

Função SecanteSe f (x) = sec(x) e g(x) = sec(u(x)), então

f ′(x) = tg(x)sec(x) e g′(x) = tg(u(x))sec(u(x))u′(x);

Função CossecanteSe f (x) = cossec(x) e g(x) = cossec(u(x)), então

f ′(x) =−cotg(x)cossec2(x) e g′(x) =−cotg(u(x))cossec2(u(x))u′(x);

Funções Trigonométricas InversasSejam f ,g : R→ R, e u(x) uma função derivável.

Função Arco SenoSe f (x) = arcsen(x) e g(x) = arcsen(u(x)), então

f ′(x) =1√

1− x2, com |x|< 1, e g′(x) =

u′(x)√1−u2(x)

, com |u(x)|< 1;

Função Arco CosenoSe f (x) = arccos(x) e g(x) = arccos(u(x)), então

f ′(x) =− 1√1− x2

, com |x|< 1, e g′(x) =− u′(x)√1−u2(x)

, com |u(x)|< 1;

Função Arco TangenteSe f (x) = arctg(x) e g(x) = arctg(u(x)), então

f ′(x) =1

1+ x2 , com x 6= 1, e g′(x) =u′(x)

1+u2(x), com u(x) 6= 1;

Função Arco CotangenteSe f (x) = arccotg(x) e g(x) = arccotg(u(x)), então

f ′(x) =− 11+ x2 , com x 6= 1, e g′(x) =− u′(x)

1+u2(x), com u(x) 6= 1;

Função Arco SecanteSe f (x) = arcsec(x) e g(x) = arcsec(u(x)), então

f ′(x) =1

|x|√

x2−1, com |x|> 1, e g′(x) =

u′(x)

|u(x)|√

u2(x)−1, com |u(x)|> 1;

Função Arco CossecanteSe f (x) = arccossec(x) e g(x) = arccossec(u(x)), então

f ′(x) =− 1|x|√

x2−1, com |x|> 1, e g′(x) =− u′(x)

|u(x)|√

u2(x)−1, com |u(x)|> 1.


5.10 Derivadas de ordem superior

DefiniçãoSeja f : R→ R uma função derivável.

i. Se f ′ é uma função derivável, então sua derivada é chamada de derivada segunda de f e édenotada por

( f ′)′ = f ′′(x), D2x f (x),

d2 f (x)dx2 , f (x);

ii. Se f ′′ é uma função derivável, então sua derivada é chamada de derivada terceira de f e édenotada por

( f ′′)′ = f ′′′(x), D3x f (x),

d3 f (x)dx3 ,

...f (x);

iii. Desta forma, derivando sucessivamente a função f , se a derivada de ordem (n− 1) def é uma função derivável, então sua derivada é chamada de derivada n−ésima de f e édenotada por

( f (n−1))′ = f (n), Dnx f (x),

dn f (x)dxn .

Proposição (Formula de Leibniz)Suponhamos que as funções u(x) e v(x) têm derivada de ordem n no mesmo conjunto A ⊆ R.Então, y = u · v é derivável até a ordem n em A e

y(n) = (u · v)(n) =(

n0

)u(n) · v+

(n1

)u(n−1) · v′+ · · ·+

(nk

)u(n−k) · v(k)+ · · ·+

(nn

)u · v(n)

onde u(0) = u, v(0) = v, u(1) = u′, v(1) = v′, u(2) = u′′, v(2) = v′′, etc.

Exemplo 5.8Sejam as funções f ,g : R→ R e h : [4,+∞)→ R definidas por:

f (x) =√

x4 +1, g(x) =|x|

1+2x4 e h(x) = (3x5 + x2 +7)√

3x−12

Encontremos f ′′(x), g′′(x) e h′′(x).

Solução

a. f (x) =√

x4 +1 implica que f ′(x) =2x3√

x4 +1. Logo, f ′′(x) = ( f ′(x))′, isto é,

f ′′(x) =2x2(x4 +3)

(x4 +1)32.


b. g(x) =3|x|

1+2x4 implica que g′(x) =3x−18x5

|x|(1+2x4)2 , com x 6= 0. Logo g′′(x) = (g′(x))′, isto

é,

g′′(x) =6x3(−30x5 +54x4−11x−9)

|x|(1+ x4)3 , com x 6= 0.

c. h(x) = (3x5+x2+7)√

3x−12 implica que h′(x) =(93x5−360x4 +13x2−48x+7)

2√

3x−12, com

x > 4. Logo h′′(x) = (h′(x))′, isto é,

h′′(x) =2511x5−18720x 4+34560x3 +117x2−912x+1152

4(3x−12)32

, com x 6= 4.

Exemplo 5.9Sejam as funções f ,g : R→ R definidas por:

f (x) = |x|3 e g(x) ={

x4, se x≥ 0;−x4, se x < 0.

Encontremos

a. f ′(x), f ′′(x) e f ′′′(x);

b. g′(x), g′′(x) e g′′′(x);

se existem, para todo x ∈ R.

Solução

a. Da definição de f (x), podemos reescreve-la como:

f (x) ={

x3, se x≥ 0;−x3, se x < 0.

Logo,

f ′(x) ={

3x2, se x > 0;−3x2, se x < 0;

f ′′(x) ={

6x, se x > 0;−6x, se x < 0;

f ′′′(x) ={

6, se x > 0;−6, se x < 0;

Analisando as derivadas laterais, para x = 0, temos que:

f ′(0) = f ′′(0) = 0, f ′′′(0−) =−6 e f ′′′(0+) = 6.

Portanto, f ′′′(x) não existe para todo x ∈ R.


b. Usando o mesmo raciocínio do item acima, temos que:

g′(x) ={

4x3, se x≥ 0;−4x3, se x < 0;

g′′(x) ={

12x2, se x > 0;−12x2, se x < 0;

g′′′(x) ={

24x, se x > 0;−24x, se x < 0;

Analisando as derivadas laterais, para x = 0, temos que:

g′(0) = g′′(0) = g′′′(0) = 0

Portanto, g′′′(x) existe para todo x ∈ R.

Exemplo 5.10Calculemos a n−ésima derivada de f , definida por:

a. f (x) = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x+a0, com an 6= 0;

SoluçãoNotemos que f (x) é um polinômio de grau n. Logo

f ′(x) = annxn−1 +an−1(n−1)xn−2 + · · ·+2a2x+a1;f ′′(x) = ann(n−1)xn−2 +an−1(n−1)(n−2)xn−3 + · · ·+2a2;

...f (n)(x) = an n!.

Além disso,f (k)(x) = 0, ∀x ∈ R e k ≥ n+1.

b. f (x) =1

1+ x, com x 6=−1.

SoluçãoDa definição de f , podemos reescreve-la como (1+x)−1. Logo, derivando sucessivamentef temos que:

f ′(x) = −1(1+ x)−2 = − 1(1+ x)2 ;

f ′′(x) = (−1)(−2)(1+ x)−3 =(−1)22!(1+ x)3 ;

...

f (n)(x) =(−1)nn!(1+ x)n+1 .

c. f (x) =x

1+2x, com x 6=−1

2.


Solução

Da definição de f , podemos reescreve-la como x(2x+1)−1, com x 6=−12

. Logo, derivandosucessivamente f temos que:

f ′(x) = (2x+1)−2;

f ′′(x) = −2 ·2(2x+1)−3;

f ′′′(x) = 22 ·2 ·3(2x+1)−3;

...

f (n)(x) = (−1)n+1 2n−1n!(2x+1)n+1 .

d. f (x) =6x+5

x2 + x−6, com x 6= 2 e x 6=−3.

SoluçãoDa definição de f , podemos reescreve-la como a soma de frações:

175(x−2)−1 +

135(x+3)−1,

com x 6= 2 e x 6=−3. Logo, derivando sucessivamente f temos que:

f ′(x) =175(−(x−2)−2)+ 13

5(−(x+3)−2) ;

f ′′(x) =175(2(x−2)−3)+ 13

5(2(x+3)−3) ;

...

f (n)(x) =(−1)n

5

(17

(x−2)n+1 +13

(x+3)n+1

).

e. f (x) =√

1+ x, com x≥−1.

SoluçãoDa definição de f , podemos reescreve-la como (1+ x)

12 , para x > −1. Logo, derivando

sucessivamente f temos que:


f ′(x) =12(1+ x)−

12 =

12√

1+ x;

f ′′(x) = −12· 1

2(1+ x)

−32 =− 1

22√

(1+ x)3;

f ′′′(x) =323 (1+ x)

−52 =

3

23√

(1+ x)5;

f (4)(x) =3 ·524 (1+ x)

−72 =

3 ·524√

(1+ x)7;

...

f (n)(x) = (−1)n+1 3 ·5 . . .(2n−5) · (2n−3)

2n√

(1+ x)2n−1.

5.11 Derivação Implícita

Funções definidas explícita e implicitamenteAté agora, somente temos trabalhado com funções descritas pela equação y = f (x), este tipo defunções são denominadas funções explícitas, pois y é expressa explicitamente em termos de x. Porém,existem outras situações nas quais será necessário lidar com equações como

y2− x+1 = 0, y2 + x4−9 = 0 ou y7−3y5 +7y2− xcosx = 0,

a estas equações as denotaremos por E(x,y) = 0, e definem uma relação implícita entre as variáveis xe y. Em alguns casos, seremos capazes de expressar a variável y explicitamente em termos de x. Porexemplo, dada a equação

E(x,y) : y2− x+1 = 0

temos que E(x,y) = 0 define de forma implícita as funções f1 e f2 onde

f1(x) =√

x−1 e f2(x) =−√

x−1,

ou seja,y = f1(x) e y = f2(x).

Se nosso objetivo é derivá-la, então aplicamos as regras de derivação conhecidas. No entanto, dadauma equação E(x,y) = 0 muitas vezes não é simples encontrar as funções explicitamente definidaspor ela, por exemplo:

E(x,y) : y7−3y5 +7y2− xcosx = 0.

Contudo, ainda define y como uma função de x. Assim, Diz-se que E(x,y) = 0 define y implicita-mente como uma função de x, e para obter a derivada de forma usual, devemos determinar dy/dx porintermédio de Diferenciação Implícita, e nesta seção descreveremos esta técnica. Porém, existemcasos que E(x,y) = 0 não define nenhuma função, por exemplo:

y6 + x4 +5 = 0


Mais formalmente, temos a seguinte definição.

DefiniçãoDiz-se que E(x,y) = 0 define a função f implicitamente se o gráfico de y = f (x) coincide comalguma porção do gráfico da equação E(x,y) = 0.

Exemplo 5.11Seja E(x,y) : x = y4, ressaltemos que esta equação não define nenhuma função em y, pois uma retavertical corta em dois pontos o seua gráfico, veja item (a) da figura abaixo. No entanto, se resolvemosE(x,y) = 0 para y em termos de x, obtemos as equações

y = 4√

x e y =− 4√

x,

x

y

x

yE(x,y) = 0L Ly = f1(x)

y = f2(x)

(a) (b)

cujos gráficos são porções do gráfico de E(x,y) = 0, veja item (b) da figura acima. Assim, E(x,y) = 0define implicitamente as funções

f1(x) = 4√

x e f2(x) =− 4√

x.

Diferenciação Implícita

Felizmente, dada a equação E(x,y) = 0 não é necessário resolve-la, colocando y em termos de x afimde obter as derivadas das funções definidas implicitamente por ela.

Para ilustrar este fato, calcularemos as derivadas de f1 e f2, do exemplo anterior, de duas formas.

Exemplo 5.12

Primeira formaJá que do exemplo anterior temos que

f1(x) = 4√

x e f2(x) =− 4√

x.

Então,

f ′1(x) =1

4 4√x3e f ′2(x) =−

1

4 4√x3.

Segunda formausando derivação implícita, para obter a derivada podemos diferenciar ambos lados da equaçãoE(x,y) : x = y4, ou seja,

ddx

[x] =ddx

[y4]

1 = 4y3y′1

4y3 = y′


Logo, se nesta última expressão substituimos y =± 4√

x, obtemos

y′ =1

4 4√x3e y′ =− 1

4 4√x3.

o que está de acordo com as derivadas obtidas para f1 e f2.

Exemplo 5.13Usando diferenciação implícita encontremos y′ se:

i. y2− x+1 = 0

Solução

ddx

[y2− x+1

]=

ddx

[0]

2yy′−1+0 = 02yy′ = 1.

Logo,

y′ =12y

.

ii. y2 + x4−9 = 0.

Solução

ddx

[y2 + x4−9

]=

ddx

[0]

2yy′+4x3−0 = 02yy′ = −4x3.

Logo,

y′ =−2x3

y.

iii. y7−3y5 +7y2− xcos(x) = 0.

Solução

ddx

[y7−3y5 +7y2− xcos(x)

]=

ddx

[0]

7y6y′−15y4y′+14yy′− cos(x)+ xsen(x) = 0(7y6−15y4 +14y)y′ = cos(x)− xsen(x).

Logo,

y′ =cos(x)− xsen(x)7y6−15y4 +14y

.


NotaNeste último exemplo, as respostas apresentadas envolvem tanto x quanto y. A fim de obteruma solução que envolva somente x, teríamos de resolver a equação original, ou seja, obtery de forma explícita, e então substituir em cada uma das soluções dadas. Fazendo isto paraos itens (i) e (ii) temos que:

(i) y2− x+1 = 0 ⇒ y =±√

x−1 ⇒ y′ =± 12√

x−1.

(ii) y2 + x4−9 = 0 ⇒ y =±√

9− x4 ⇒ y′ =∓ 2x3√

9− x4

Porém, para o item (iii) isto é impossível ser feito; assim somos forçados a deixar a fórmulade y′ em termos de x.

5.12 Recapitulando

Neste capítulo, apresentámos o conceito da derivada. Novamente, percebemos que este conceito,assim como o de continuidade, depende da teoria de limites, e este limite é tão importante quepossui a notação especifica y′. As definições da derivada e da reta tangente foram estabelecidospara um ponto dado. De certa forma a derivada pode ser interpretada como a inclinação da retatangente à curva y = f (x) em um ponto dado. Além disso, a diferência do conceito de continuidade,podemos pensar na derivada como uma função.

Desde que a definição da derivada depende da obtenção de um limite, quando a variável se aproximaao ponto analisado, os conceitos de derivadas laterais são estabelecidos. Além disso, a definição dareta normal à curva dada é apresentada. Depois disto, apresentamos as regras de derivação para asoperações aritméticas, a derivada da composição de funções e o teorema da função inversa.

Tendo a teoria necessária para a obtenção da derivada, as derivadas de funções elementares sãoapresentadas. Como a derivada de uma função é uma outra função, podemos recorrer repetidamenteà obtenção da derivada destas novas funções, esta teoria é estudada como derivadas de ordem supe-rior, e como último assunto, neste capítulo, apresentámos a derivação implícita, teoria que lida coma obtenção da derivada de equações, na qual a função a ser derivada não, necessáriamente, tem umarepresentação explícita. Exemplos foram desenvolvidos tentando ilustrar todos estes assuntos.

No proxímo capítulo, apresentaremos algumas aplicações da derivada . Por exemplo, com ajuda daderivada de primeira e segunda ordem aprenderemos métodos para analisar o comportamento de umafunção em um conjunto dado, e obteremos com mais precisão o gráfico dela.

5.13 Atividades

a. Usando a definição, calcule a derivada no ponto indicado:

i. f (x) =√

1+9x, x = 7

ii. f (x) =1√

2x+3, x = 3

iii. f (x) =1x+ x+ x2, x = 3


iv. f (x) =1√

1−3x, x =−8

v. f (x) = |x−3|3, x = 3

vi. f (x) =2√x−1, x = 4

vii. f (x) = 3−√

5+ x, x = 4

viii. f (x) =√

x2−9, x = 5

ix. f (x) =x+32x−5

, x = 2

b. Encontre f ′(x) e indique seu domínio, da função definida por:

i. f (x) =2x+33x−2

ii. f (x) =1√

x+2

iii. f (x) = x√

x+1

iv. f (x) = 3√

2x+3

v. f (x) =√

3−2x

vi. f (x) =x2−1x2 +1

vii. f (x) =ax+bcx+d

viii. f (x) =√

ax+a√ax

ix. f (x) =

√a2 + x2

x

x. f (x) =x√

a2− x2

xi. f (x) =√

x+√

x+√

x

xii. f (x) = 3√

1+ 3√

1+ 3√

x

c. Determine a derivada de f definida por:

i. f (x) =arccos(x)

x2 +12

ln

(1−√

1− x2

1+√

1− x2

)ii. f (x) = ln(x+1−

√x2−1)− x

1−√

x2−1

iii. f (x) =120

sen(5x2)− 1

4sen(x2)

iv. f (x) = ln

(1−√

sen(x)

1+√

sen(x)

)+2arctg

√sen(x)

v. f (x) =sen(x)− cos(x)sen(x)+ cos(x)


vi. f (x) = (1+ ln(sen(x)))n

vii. f (x) =(

sen(x

2

)− cos

(x2

))viii. f (x) =

√x+1−

√x−1√

x+1+√

x−1

ix. f (x) = x6 (1− cos(2x))2

x. f (x) = ln

(√1− sen(x)1+ sen(x)

)

xi. f (x) = ln

(√x2 +a2 + x√x2 +a2− x

)

xii. f (x) = arctg(

sen(x)+ cos(x)sen(x)− cos(x)

)xiii. f (x) =

√arctg(x)− (arcsen(x))3

xiv. f (x) =x2

√x2 +a2 +

a2

2ln(

x+√

x2 +a2)

xv. f (x) = tg(

eln(arctg(x1/3)))

xvi. f (x) = 1√xe

x2arctg(x)+12

ln(x)+1

xvii. f (x) =14

ln(

1+ x1− x

)− 1

2arctg(x)

xviii. f (x) = ln(

x+√

x2 +1)

xix. f (x) = ln(√

2sen(x)+1+√

2sen(x)−1)

xx. f (x) = ln

(√4tg(x)+1−2

√tg(x)√

4tg(x)+1+2√

tg(x)

)

xxi. f (x) = ln(

2ln2(sen(x))+32ln2(sen(x))−3

)xxii. f (x) = sen

(cos2(x)

)cos(sen2(x)

)xxiii. f (x) = sen3 (sen2(sen(x))

)d. Determine se f , definida a seguir, é derivável no ponto dado:

i. f (x) =√|x|, x0 = 0

ii. f (x) = |x2−4|, x0 = 2, −2

iii. f (x) ={ √

1− x, x < 1;(1− x)2, x≥ 1.

, x0 = 1

iv. f (x) ={ √

|x|, x < 1;x2, x≥ 1.

, x0 = 1

v. f (x) =√|x|−bxc, x0 = 1,

32,

52


vi. f (x) ={

x2−4, x < 2;√x−2, x≥ 2.

, x0 = 2

vii. f (x) =

|x+2|, x < 0;2−2x2, 0≤ x < 2;x2−4x+2, x≥ 2.

, x0 = 0, 2

viii. f (x) = |x−3|3(x−3)+ x3⌊

x− 32

⌋, x0 = 3

ix. f (x) ={

x2, x <−1;−1−2x, x≥−1.

, x0 =−1

e. Encontrar os valores de a e b da função f para que a derivada exista no ponto dado.

i. f (x) ={−3x2, x≤ 2;ax+b, x > 2.

, x0 = 2

ii. f (x) ={

x2, x < 1;ax+b, x≥ 1.

, x0 =−1

iii. f (x) ={

ax+b, x < 2;2x2−1, x≥ 2.

, x0 = 2

iv. f (x) ={

x2 +ax+3, x≤ 1;−4ax+b, x > 1.

, x0 = 1

f. Encontrar os valores de a e b tal que a função f , definida a seguir, seja diferenciável em todoseu domínio.

i. f (x) ={

x2, x < 1;ax+b, x≥ 1.

ii. f (x) =

ax2 +b, x≤ 1;1|x|

, x > 1.

g. Obtenha a equação ou equações das retas tangentes à curva

i. y = x3 +3x2−5 e perpendicular à reta 2x−6y+1 = 0.

ii. y = (7x−6)−1/3 e perpendicular à reta 12x−7x+2 = 0

iii. 3√

xy = 14x+ y no ponto (2,−32).

iv. x2(x+ y) = a2(x− y) na origem de coordenadas.

v. y = x4−6x e perpendicular à reta x−2y+6 = 0.

vi. y = x− 1x

nos pontos onde esta curva se intersecta com o eixo x.

vii. y =x+9x+5

que passam pela origem de coordenadas.

viii.x2

2− y2

7= 1 e perpendiculares à reta 2x+4y−3 = 0.

ix. x2 +4y2−4x−8y+3 = 0 que passam pelo ponto (−1,3).

x. y2 +4x = 0 que passa pelo ponto (1,2).


h. Encontre a e b tal que:

i. a reta y = 2x seja tangente à curva y = x2 +ax+b, no ponto (2,4).

ii. a reta y = ax+b seja tangente à curva y = x− x3, com x ∈ [−2,2], no ponto (−1,0).

iii. as curvas y = x2 +ax+b e y = x2 +ax, tenham a mesma reta tangente no ponto (2,2).

iv. as curvas y = x2+ax+b e y = x3+a se intersectan e têm a mesma reta tangente no ponto(1,2).

i. Encontre a equação ou equações das retas normais à curva:

i. y = x ln(x) e paralela à reta 2x−2y+3 = 0.

ii. y = x√

16+ x2 na origem.

iii. 4x2− y2 = 36 paralelas à reta 2x+5y = 4.

iv. x− y =√

x+ y no ponto (3,1).

j. Obtenha o gráfico de f e determine f ′−(x0), f ′+(x0) e f ′(x0), se existem, onde f e x0 são defini-dos a seguir:

i. f (x) = (x−1)bxc, x ∈ [0,2], x0 = 1

ii. f (x) = (5− x)bxc, x ∈ [4,6], x0 = 5

k. Determinedydx

, usando derivação implícita:

i. ey = x+ y

ii. ln(y)+xy= k

iii. arctg(y

x

)=

12

ln(x2 + y2)

iv. y3 =x− yx+ y

v. xy = arctg(y

x

)vi. xsen(y)− cos(y)+ cos(2y) = 0

vii. ysen(x)− cos(x− y) = 0

viii. sen(xy)+ cos(xy) = tg(x+ y)

ix. x3 +ax2y+bxy2 + y3 = 0

x. x4 + y4 = x2y2

xi. x− y = arcsen(x)− arcsen(y)

xii. x2−a√

xy+ y2 = a

xiii. 2x4y2−4x2y4 + x2y2 = 6

xiv. y5−2x2y3 +3x4y− x5 = 5

xv.√

y+ 3√

y+ 4√

y3 = x

xvi.√

xy+2x =√

y

xvii. x− y = arcsen(x)− arcsen(y)


xviii. y = x+ arctg(y)

xix. x3 +2x2y− xy2 +2y3 = 2

xx. x3−3axy+ y3 = a3

xxi.x3

y2 +x2

y3 =78

xxii. (x+ y)3 +(x− y)3 = x4 + y4

xxiii. (x+ y)2 +(x− y)2 = x3 + y3

xxiv. (x+ y)y3 = x− y

xxv. yx = xy

l. Em cada um dos exercícios do item (k), item acima, determinedxdy

usando derivação implícita

em relação de y, ou seja, x = g(y).

m. Encontre a derivada de y = ( f (x))g(x) onde:

i. f (x) = x2 +1 g(x) = sen(x)

ii. f (x) = 1+ x2 g(x) = arctg(x)

iii. f (x) = ex g(x) = xxx

iv. f (x) = 2x g(x) =√

x

v. f (x) = x g(x) = sen(x)

vi. f (x) = x g(x) = ln(x)

vii. f (x) = ln(x) g(x) = x

viii. f (x) = sen(x), g(x) = cos(x)

ix. f (x) = cos(x), g(x) = x

x. f (x) = x, g(x) = x2

xi. f (x) = ex + ln(x)−8, g(x) =

√x+√

yx−√y

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por Kely Diana Villacorta e Felipe Garciaproducao.virtual.ufpb.br/books/paulojeronimo/calculo-diferencial-e... · muito depois disto veio a aceitação dos números negativos, a qual