Upload
others
View
18
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
POLA FRIEZE DAN POLA KRISTALOGRAFI PADA KESENIAN KAIN
TAPIS LAMPUNG
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh:
Brigita Dian Sintauri
NIM: 161414075
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2020
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
POLA FRIEZE DAN POLA KRISTALOGRAFI PADA KESENIAN KAIN
TAPIS LAMPUNG
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh:
Brigita Dian Sintauri
NIM: 161414075
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2020
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Puji dan Syukur kepada Tuhan bahwa saya dapat menyelesaikan skripsi ini
dengan baik. Saya berterimakasih kepada:
1. Tuhan Yesus Kristus atas anugerah yang telah diberikan kepada saya.
2. Bapak, Ibu, Eyang dan Mas Jatu yang telah mendoakan dan mendukung
saya.
3. Romo Eko Budi Santoso, S.J. S.Pd., Ph.D. selaku dosen pembimbing yang
telah membimbing saya dari awal hingga akhir.
4. Theonando Dwi Prasetyo, terimakasih atas kesabarannya dan segala saran
yang membangun.
5. Vani, Vina, Dita, Octa Matmur, Dev, dan Rani Tobu yang tidak henti –
hentinya memberi saya semangat.
6. Anggota Transformation Dance Crew yang telah menjadi rekan dalam
mengembangkan bakat saya.
7. Teman – teman kelas C angkatan 2016 Pendidikan Matematika, yang
sudah menjadi teman terbaik selama empat tahun kuliah.
8. Teman – teman satu bimbingan yang telah memberikan saya semangat dan
tempat bertukar pikiran sehingga membantu saya dalam mengerjakan
skripsi ini.
9. Semua orang yang telah memberikan semangat, doa dan dukungan kepada
saya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
MOTTO
Cerdas dangan hati dan otak
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRAK
Brigita Dian Sintauri. 2020. Pola Frieze dan Pola Kristalografi pada
Kesenian Kain Tapis Lampung. Skripsi. Program Studi Pendidikan
Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma.
Kain Tapis adalah kain tenun tradisional daerah Lampung. Kain tapis
memiliki beragama motif yang bisa diselidiki secara matematis. Penelitian ini
menganalisis pola Frieze dan pola Kristalografi yang terdapat dalam kain tapis
Lampung.Tujuan Penelitian ini adalah (1) memahami tujuh pola Frieze dan tujuh
belas pola kristalografi dua dimensi dan (2) menganalisis pola Frieze dan pola
kristalografi yang terdapat pada kain tapis Lampung. Penelitian ini merupakan
sebuah studi pustaka. Data diperoleh dari buku katalog yang diterbitkan oleh
Museum Negeri Provinsi Lampung Ruwai Jurai.
Hasil Penelitian ini adalah sebagai berikut. (1) Pola Frieze adalah pola
pada bidang berdimensi satu yang dibangkitkan (generate) oleh grup simetri. Pola
Frieze memiliki tujuh jenis pola yang dibangkitkan oleh translasi, rotasi, refleksi
dan pantul geser. Pola kristalografi adalah pola pada bidang datar (berdimensi
dua) yang dibangkitkan oleh grup simetri. Pola kristalografi memiliki tujuh belas
jenis pola yang dibangkitkan oleh translasi dua arah, rotasi, refleksi, dan pantul
geser. (2) Penelitian ini menganalisis tujuh belas jenis kain tapis Lampung.
Berdasarkan hasil analisis terhadap motif yang terdapat pada ketujuh belas kain
tapis tersebut, ditemukan empat pola frieze yang termuat di dalamnya. Pola p1
terdapat dalam Tapis Akheng Pesisir, Tapis Sungkai, Tapis Cucuk Andak, Tapis
Raja Tunggal, Tapis Ratu Tulang Bawang, dan Tapis Raja Medal. Pola p1m1
terdapat dalam Tapis Kaca, Tapis Laut Linau, Tapis Ratu Tulang Bawang, Tapis
Binatang, Tapis Bintang Perak, Tapis Kuning, dan Tapis Limar Sekebar. Pola
p2mg terdapat pada Tapis Jung Sarat, Tapis Pucuk Rebung, Tapis Sungkai, Tapis
Laut Linau, Tapis Raja Tunggal, Tapis Ratu Tulang Bawang, Tapis Raja Medal,
dan Tapis Binatang. Pola p2mm ditemukan dalam Tapis Kaca Bekandang, Tapis
Pucuk Rebung, Tapis Sasab Mata Kibau, Tapis Raja Medal, Tapis Binatang,
Tapis Bintang Perak, Tapis Kuning, dan Tapis Limar Sekebar. Pola kristalografi
hanya ditemukan pada dua jenis kain, yaitukain Tapis Bintang Perak yang
memiliki pola kristalografi p4m dan kain Tapis Kaca yang memiliki pola
kristalografi p4g.
Kata kunci : Pola Frieze, Pola Kristalografi, Kain Tapis Lampung
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
ABSTRACT
Brigita Dian Sintauri. 2020. Frieze and Crystallographic Pattern on Tapis
Lampung. Undergraduate Thesis. Mathematics Education Study Program,
Department of Mathematics and Sciences Education, Faculty of Teacher
Training and Education, Sanata Dharma University.
Tapis Lampung is a traditional fabric made by hand originally from
Lampung Province, South Sumatera. It contains several motives that can be
investigated mathematically. The research analyzed Frieze and Crystallographic
pattern found in the Tapis Lampung. The objectives of the study are (1) to
understand the seven Frieze pattern and the seventeen crystallographic patterns
and (2) to analyze the Frieze and crystallographic pattern found on the Tapis
Lampung. This research is a literature study. The data were obtained from a
catalog published by Lampung Ruwai Jurai Museum.
The result of the study are as follows. (1) Frieze pattern is a pattern in a
one-dimensional space generated by the symmetry group. It has seven types that
are generated by one direction translation, rotation, reflection, and glide
reflection. A crystallographic pattern are patterns found on a plane generated by
the symmetry group. There are seventeen types of crystallographic pattern that
are generated by two directions translations, rotation, reflection, and glide
reflection. (2) The study analyzed seventeen Tapis Lampung. Based on the
analysis, of the motifs contained in the seventeen traditional fiber, it was found
that there were four types of frieze patterns found in them. The pattern p1is found
in the Tapis AkhengPesisir, Tapis Sungkai, Tapis Cucuk Andak, Tapis Raja
Tunggal, Tapis Ratu Tulang Bawang, and Tapis Raja Medal. The pattern p1m1is
found in Tapis Kaca, Tapis Laut Linau, Tapis Ratu Tulang Bawang, Tapis
Binatang, Tapis Bintang Perak, Tapis Kuning, and Tapis Limar Sekebar. The
p2mg pattern is found in Tapis Jung Sarat, Tapis Pucuk Rebung, Tapis Sungkai,
Tapis Laut Linau, Tapis Raja Tunggal, Tapis Ratu Tulang Bawang, Tapis Raja
Medal, and Tapis Binatang. The p2mm pattern is found in Tapis Kaca
Bekandang, Tapis Pucuk Rebung, Tapis Sasab Mata Kibau, Tapis Raja Medal,
Tapis Binatang, Tapis Bintang Perak, Tapis Kuning, and Tapis Limar Sekebar.
Crystallographic patterns are found on two types of fabric, namely Tapis Bintang
Perak which has a p4m crystallographic pattern and Tapis Kaca which has a
crystallographic pattern p4g.
Keywords: FriezePattern, Crystallographic Pattern, Tapis Lampung
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .......................................................................................................... ii
LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................................... iii
LEMBAR PENGESAHAAN ............................................ Error! Bookmark not defined.
HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................................... v
MOTTO ............................................................................................................................. vi
LEMBAR PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .......................................................... vii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ........................... viii
ABSTRAK ......................................................................................................................... ix
ABSTRACT ........................................................................................................................ x
KATA PENGANTAR ....................................................................................................... xi
DAFTAR ISI .................................................................................................................... xiii
DAFTAR TABEL ............................................................................................................. xv
DAFTAR GAMBAR ....................................................................................................... xvi
DAFTAR SIMBOL .......................................................................................................... xx
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................................... 1
A. Latar Belakang Masalah ........................................................................................ 1
B. Rumusan Masalah .................................................................................................. 4
C. Batasan Masalah .................................................................................................... 5
D. Tujuan Penelitian ................................................................................................... 5
E. Manfaat Penelitian ................................................................................................. 5
F. Metode Penelitian .................................................................................................. 6
G. Sistematika Penulisan ............................................................................................ 6
BAB II KAJIAN PUSTAKA .............................................................................................. 8
A. Etnomatematika ..................................................................................................... 8
B. Kain Tapis Lampung............................................................................................ 10
C. Teori Grup ............................................................................................................ 18
D. Geometri Transformasi ........................................................................................ 31
BAB III POLA FRIEZE DAN KRISTALOGRAFI ......................................................... 36
A. Pengertian Pola Frieze ......................................................................................... 36
B. Pengertian Pola Kristalografi ............................................................................... 40
BAB IV PEMBAHASAN ................................................................................................. 54
A. Pola Frieze Kain Tapis Lampung ........................................................................ 54
B. Pola Kristalografi Kain Tapis Lampung .............................................................. 79
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
C. Keterbatasan Penelitian ........................................................................................ 81
BAB V PENUTUP ........................................................................................................... 82
A. Kesimpulan .......................................................................................................... 82
B. Saran .................................................................................................................... 84
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................................... 86
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Beberapa Jenis Kain Tapis Lampung.................................................... 16
Tabel 3.1 Pola Frieze dan Grup yang Isomorfis dengan pola tersebut ................. 38
Tabel 4.1 Ringkasan Pola Frieze dalam Kain Tapis Lampung ............................. 78
Tabel 4.2 Pola Kristalografi yang terdapat pada tapis Lampung .......................... 81
Tabel 5.1 Pola Frieze dalam Kain Tapis Lampung ............................................... 83
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Ilustrasi alat penyusun benang sesang ................................... 13
Gambar 2.2 Ilustrasi alat tenun mettakh ................................................... 14
Gambar 2.3 Ilustrasi Ibu-ibu dari Negeri Katon, Pesawaran, Lampung
yang sedang melakukan aktivitas menenun kain tapis dengan
menggunakan alat tenun tekang ................................................................ 15
Gambar 2.4 Representasi Geometris Permutasi 𝑆3 .................................. 26
Gambar 2.5. Ilustrasi isomorfisma grup 𝐺 ke grup 𝐺 ............................... 29
Gambar 2.6 Ilustrasi grup dihedral 𝐷4 ..................................................... 30
Gambar 2.7 Ilustrasi sebuah isometric f. ................................................... 32
Gambar 2.8 Ilustrasi Transformasi Translasi ............................................ 33
Gambar 2.9 Ilustrasi Transformasi Refleksi ............................................. 34
Gambar 2.10 Ilustrasi Transformasi Refleksi ........................................... 35
Gambar 2.11 Ilustrasi pantul geser ........................................................... 35
Gambar 3.1 Ilustrasi Pola p1 dalam Pola Frieze ....................................... 36
Gambar 3.2 Ilustrasi Pola p11g dalam Pola Frieze ................................... 37
Gambar 3.3 Ilustrasi pola p1m1 dalam Pola Frieze .................................. 37
Gambar 3.4 Ilustrasi p2 dalam Pola Frieze ............................................... 37
Gambar 3.5. Ilustrasi pola p2mg dalam Pola Frieze ................................. 37
Gambar 3.6 Ilustrasi pola p11m dalam Pola Frieze. ................................. 38
Gambar 3.7 Ilustrasi pola p2mm dalam Pola Frieze. ................................ 38
Gambar 3.8 Diagram Alur Pola Frieze ..................................................... 40
Gambar 3.9 Lima kisi yang terdapat dalam pola kristalografi .................. 41
Gambar 3.10 pola kristalografi tipe p1 ..................................................... 42
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvii
Gambar 3.11 pola kristalografi tipe p2 ..................................................... 43
Gambar 3.12 pola kristalografi tipe pm .................................................... 43
Gambar 3.13 pola kristalografi tipe pm .................................................... 44
Gambar 3.14 pola kristalografi tipe pgg ................................................... 45
Gambar 3.15 pola kristalografi tipe cmm ................................................. 45
Gambar 3.16 pola kristalografi tipe p3 ..................................................... 46
Gambar 3.17 pola kristalografi tipe p3m1 ................................................ 46
Gambar 3.18 pola kristalografi tipe p31m ................................................ 47
Gambar 3.19 pola kristalografi tipe pg ..................................................... 48
Gambar 3.20 pola kristalografi tipe cm..................................................... 48
Gambar 3.21 pola kristalografi tipe pmm ................................................. 49
Gambar 3.22 pola kristalografi tipe p4 ..................................................... 50
Gambar 3.23 pola kristalografi tipe p4m .................................................. 50
Gambar 3.24 pola kristalografi tipe p4g ................................................... 51
Gambar 3.25 pola kristalografi tipe p6 ..................................................... 51
Gambar 3.26 pola kristalografi tipe p6m .................................................. 52
Gambar 3.27 Diagram Alur Pola Kristalografi ......................................... 53
Gambar 4.1 Pola dasar kain tapis .............................................................. 55
Gambar 4.2 Kain Tapis Jung Sarat ........................................................... 56
Gambar 4.3 Analisis Pola Frieze pada Tapis Jung Sarat .......................... 57
Gambar 4.4 Tapis Kaca Bekandang .......................................................... 57
Gambar 4.5 Analisis Pola Frieze pada Tapis Kaca Bekandang ................ 58
Gambar 4.6 Tapis Kaca ............................................................................. 59
Gambar 4.7 Analisis Pola Frieze pada Tapis Kaca ................................... 59
Gambar 4.8 Tapis Akheng Pesisir ............................................................. 60
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xviii
Gambar 4.9 Pola Frieze pada Tapis Akheng Pesisir ................................. 60
Gambar 4.10 Tapis Pucuk Rebung............................................................ 61
Gambar 4.11 Analisis Pola Frieze pada Tapis Pucuk Rebung .................. 62
Gambar 4.12 Tapis Sungkai ...................................................................... 62
Gambar 4.13 Pola Frieze pada Tapis Sungkai .......................................... 63
Gambar 4.14 Tapis Cucuk Andak ............................................................. 64
Gambar 4.15 Pola Frieze pada Tapis Cucuk Andak ................................. 64
Gambar 4.16 Tapis Laut Linau ................................................................. 65
Gambar 4.17 Pola Frieze pada Tapis Laut Linau ...................................... 66
Gambar 4.18Tapis Sasab Mata Kibau ....................................................... 66
Gambar 4.19 Pola Frieze pada Tapis Sasab Mata Kibau .......................... 67
Gambar 4.20Tapis Raja Tunggal .............................................................. 67
Gambar 4.21 Pola Freize pada Tapis Raja Tunggal .................................. 68
Gambar 4.21Tapis Ratu Tulang Bawang .................................................. 69
Gambar 4.22 Pola Frieze Tapis Ratu Tulang Bawang .............................. 70
Gambar 4.23Tapis Raja Medal ................................................................. 71
Gambar 4.24 Pola Frieze pada Tapis Raja Medal ..................................... 72
Gambar 4.25Tapis Binatang...................................................................... 72
Gambar 4.26 Pola Frieze pada Tapis Binatang ......................................... 73
Gambar 4.27 Pola Frieze Tapis Binatang bagian atas............................... 73
Gambar 4.28 Bintang Perak ...................................................................... 74
Gambar 4.29 Pola Frieze Bintang Perak ................................................... 75
Gambar 4.30 Tapis Kuning ....................................................................... 75
Gambar 4.31 Pola Frieze pada Tapis Kuning ........................................... 76
Gambar 4.32 Kain Tapis Limar Sekelebar ................................................ 77
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xix
Gambar 4.33 Pola Frieze pada kain Tapis Limar Sekebar ........................ 78
Gambar 4.34 Pola Kristalografi pada Tapis Bintang Perak ...................... 79
Gambar 4.35Pola Kristalografi pada Tapis Kaca ...................................... 80
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xx
DAFTAR SIMBOL
1. + Penjumlahan
2. − Pengurangan, negatif
3. ∗ Asterik
4. = Sama dengan
5. ≠ Tidak sama dengan
6. ∘ Bundaran/Komposisi
7. ∙ Perkalian titik (dot)
8. ⨂ Hasil kali luar produk
9. ∈ Elemen dari
10. × Perkalian
11. 𝛼 Alfa
12. 𝛽 Beta
13. 𝛾 Gama
14. 𝛿 Delta
15. 휀 Epsilon
16. 𝜎 Sigma
17. 𝜙 Phi
18. ∞ Tak hingga
19. → Dari ... ke…
20. ≤ Subgrup
21. ∀ Untuk setiap
22. {} Tanda kurung kurawal
23. ( ) Tanda kurung
24. ℝ Bilangan real
25. ℤ Bilangan bulat
26. 𝔻 Dihedral
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Indonesia memiliki banyak ragam kebudayaan. Menurut KBBI,
kebudayaan memiliki pengertian hasil kegiatan dan penciptaan batin (akal
budi) manusia seperti kepercayaan, kesenian, dan adat istiadat (KBBI, 2020).
Indonesia memiliki 735 bahasa daerah, 1351 peralatan kesenian, 766
permainan tradisional, 1087 jenis makanan tradisional. Indonesia tidak hanya
kaya akan bahasa, permainan, dan makanan tetapi juga kaya akan jenis kain
tradisionalnya. Menurut Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, Indonesia
memiliki 261 jenis kain tradisional (Kemdikbud, 2018).
Salah satu jenis kain tradisional adalah kain Tapis Lampung. Kain
tapis ini dibuat dengan benang katun dan benang emas. Benang katun adalah
benang yang dibuat dengan bahan kapas. Benang ini digunakan sebagai bahan
dasar dalam pembuatan kain tapis.Benang emas sendiri dahulu terbuat dari
emas murni, namun seiring berjalannya waktu benang emas juga dapat dibuat
dengan bahan sintesis yang memiliki warna emas. Benang emas dipakai untuk
membuat ragam hias pada kain tapis Lampung dengan sistem sulam
(Kemdikbud, 2010). Kain tapis Lampung biasanya dipergunakan untuk
upacara-upacara adat di Lampung. Upacara adat yang diselenggarakan antara
lain, upacara kematian, upacara pernikahan, dan upacara cakak pepadun atau
pemberian gelar. Namun, seiring perkembangan budaya, kain ini mulai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
digunakan sebagai bahan pakaian sehari-hari. Kain tapis tertentu juga
melambangkan status gelar seseorang.
Dengan semakin berkembangnya zaman yang ditandai oleh budaya
digital dan internet, banyak masyarakat yang mulai melupakan atau tidak
berminat untuk mengembangkan budaya asli Indonesia, termasuk di antaranya
kain Tapis. Hal ini terjadi di berbagai kalangan, dari pelajar sampai orang
dewasa. Dalam pendidikan formal di sekolah, sudah jarang dijumpai
pembelajaran untuk menapis. Mengamati situasi ini, peneliti berpendapat
bahwa perlu ada upaya mempertahankan dan melestarikan keberadaan kain
Tapis. Sebagai salah satu upaya, pemerintah provinsi Lampung telah memiliki
sebuah museum yang memiliki koleksi kain-kain tapis Lampung. Museum
Lampung juga telah menerbitkan sebuah katalog kain Tapis, Koleksi Museum
Negeri Provinsi Lampung “Ruwa Jurai” (Wahyuningsih, dkk, 2015).
Cara lain yang perlu ditempuh untuk melestarikan kain tapis Lampung
adalah memperkenalkannya melalui pendidikan formal di sekolah. Sekolah
bisa memperkenalkan budaya kain tapis dalam pembelajaran seni rupa:
kerajinan tangan, menenun, atau melukis. Siswa juga bisa melakukan study
tour ke museum yang memiliki koleksi kain tapis Lampung atau mengunjungi
sentra pengrajin kain tapis. Cara lain yang bisa dilakukan dalam pembelajaran
di sekolah adalah mengaitkan budaya kain Tapis dengan matematika. Kain
tapis Lampung bisa dipergunakan sebagai sarana pembelajaran matematika
dikelas, dengan mengamati simetri-simetri yang terdapat dalam kain tapis
Lampung tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
Kain tapis memiliki pola yang beragam yang dapat dilihat dari segi
matematis. Hubungan antara pola pada kain tapis dan matematika ini
merupakan penerapan etnomatematika. Istilah etnomatematika pertama kali
diperkenalkan oleh D’Ambrosio untuk mendeskripsikan praktek matematis
pada sebuah kelompok adat dan dianggap sebagai kajian dari pemikiran
matematis yang terdapat pada sebuah budaya (Rosa &Orey, 2011). Penerapan
etnomatematika di Indonesia sendiri dapat dilihat pada kesenian daerah,
rumah adat, kebiasaan atau adat istiadat dan sebagainya.
Beberapa penelitian telah menganalisis ragam kebudayaan Indonesia
dalam konteks etnomatematika. Salah satu contoh penelitian adalah yang
dilakukan oleh Garnadi (2012), yaitu menganalisis pola kristalografi pada
ragam batik tradisional. Berdasarkan hasil penelitian, Garnadi menemukan ada
10 pola kristalografi pada 272 ragam batik tradisional nusantara. Selain itu,
ada pula hasil penelitian oleh Maure dan Ningsi (2018) yaitu penerapan
etnomatematika pada tarian Caci masyarakat Manggarai NTT. Hasil dari
penelitian adalah tarian Caci ternyata memiliki beberapa aspek matematis
yaitu himpunan, geometris, fungsi serta aktifitas membilang.
Studi Etnomatematika pada kain tapis Lampungini akan melihat pola-
pola perulangan yang terdapat pada tapis Lampung. Pola yang terbentuk dari
hasil tenun kain tapis memiliki kesinambungan dengan prinsip matematika
yaitu simetri grup pada bidang datar, atau disebut dengan pola kristalografi
dua dimensi. Pola-pola pada kain tapis dianalisis dengan menggunakan 17
pola kristalografi pada bidang dua dimensi. Ketujuh belas jenis pola tersebut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
terbentuk dari hasil pencerminan, rotasi, perpindahan, dan pantul geser
(Garnadi, 2012). Selain itu, peneliti juga menganalisis pola kain tapis
Lampung menggunakan 7 pola frieze. Pola frieze ini terbentuk dari hasil
translasi, refleksi, pantul geser serta rotasi 180° pada bidang satu dimensi.
Pola frieze dan pola kristalografi dua dimensi telah banyak dipakai
untuk menganalisis pola-pola berulang yang dijumpai dalam hidup sehari-hari.
Analisis tersebut tidak hanya untuk mengenali pola-pola dalam kehidupan
sehari-hari secara matematis, tetapi lebih dari itu, yaitu untuk membantu
membuat suatu pola tertentu dari pola yang sudah atau yang belum tersedia.
Misalnya, ketika akan membuat desain ubin rumah dengan motif tertentu atau
ketika membuat suatu lukisan, analisis matematis bisa dipakai untuk membuat
desain baru berdasar pola-pola yang sudah ada. Tentu saja, proses ini bisa
dilakukan untuk mendesain suatu motif kain yang nantinya dapat
dipergunakan untuk membuat pakaian, tas atau kerajinan tangan.
Berdasarkan latar belakang diatas, peneliti akan membuat penelitian
yang berjudul “Pola Frieze dan Pola Kristalografi pada Kesenian Kain Tapis
Lampung”.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, peneliti merumuskan permasalahan
sebagai berikut:
1. Apakah yang dimaksud dengan pola Frieze dan pola kristalografi pada
bidang dua dimensi?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
2. Bagaimana pola Frieze dan pola kristalografi dua dimensi untuk kain tapis
Lampung?
C. Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah analisis pola frieze dan pola
kristalografi pada kain tapis Lampung, berdasarkan 7 pola frieze dan 17 pola
kristalografi menurut Crowe.
D. Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian yang dilakukan adalah
1. Untuk memahami tujuh pola Frieze dan tujuh belas pola kristalografi dua
dimensi.
2. Untuk menganalisis pola Frieze dan pola kristalografi yang terdapat pada
kain tapis Lampung.
E. Manfaat Penelitian
Peneliti berharap agar penelitian ini dapat bermanfaat bagi pembaca
dan peneliti sendiri
1. Bagi Pembaca
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan informasi kepada pembaca
terkait etnomatematika, terutama kerajinan kain tapis Lampung dan
hubungannya dengan pola frieze dan pola kristalografi. Kedepannya,
diharapkan penelitian ini dapat membantu pula untuk peneliti lain dalam
mengkaji lebih lanjut tentang etnomatematika.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
2. Bagi Peneliti Sendiri
Peneliti mengetahui dan mendalami tentang pola frieze dan pola
kristalografi pada motif kain tapis Lampung. Peneliti juga mengetahui
tentang pentingnya mempelajari hubungan matematika dalam
kebudayaan.
F. Metode Penelitian
Penelitian ini merupakan penelitian pustaka. Untuk langkah pertama,
peneliti melakukan studi pustaka berkaitan dengan pola frieze dan pola
kristalografi pada bidang datar dua dimensi. Pada tahap kedua, selain
melakukan studi pustaka untuk mengumpulkan data-data jenis dan corak kain
Tapis Lampung. Pada langkah ketiga, peneliti melakukan analisis pola frieze
dan pola kristalografi yang terdapat pada kain-kain Tapis Lampung yang
datanya telah dikumpulkan.
G. Sistematika Penulisan
Skripsi ini terdiri dari lima bab. Bab I pendahuluan terdiri dari latar
belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat
penelitian, metode penelitian, serta sistematika penulisan. Bab 2 kajian
pustaka berisi pembahasan tentang konsep yang mendasari topik skripsi,
antara lain etnomatematika, kain tapis Lampung, teori grup, dan geometri
transformasi. Bab 3 pola frieze dan pola kristalografi yaitu pembahasan lebih
dalam tentang pola frieze dan pola kristalografi yang dipakai untuk
menganalisis kain tapis Lampung. Bab 4 pembahasan yaitu membahas hasil
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
analisis pola kain tapis Lampung dengan pola frieze dan pola kristalografi.
Bab 5 adalah kesimpulan dan saran dari penelitian yang dibuat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
A. Etnomatematika
a. Pengertian Etnomatematika
Etnomatematika pertama kali diperkenalkan oleh
UbiratanD’Ambrosio pada tahun 1977, beliau merupakan seorang
matematikawan yang berasal dari Brasil (Huda, 2018). Belum ada definisi
etnomatematika dalam kamus, dengan demikian, kata tersebut belum
terstandarisasi (Zhang & Zhang, 2010). Walau demikian, para ahli sepakat
bahwa kata etnomatematika merupakan gabungan dua kata dasar, yaitu
etno yang berarti budaya dan matematika. Menurut Kamus Besar Bahasa
Indonesia (KBBI, 2020) budaya adalah pikiran, akal budi, sedangkan
kebudayaan adalah hasil kegiatan dan penciptaan batin (akal budi)
manusia seperti kepercayaan, kesenian, dan adat istiadat. Selain itu,
menurut Koentjaraningrat, budaya (kebudayaan) adalah keseluruhan
gagasan dan karya manusia yang harus dibiasakannya dengan belajar;
beserta keseluruhan dari hasil budi dan karyanya itu (Suwarsono, 2015).
Ada pula menurut Heron dan Barta (2009: 26-27) budaya dipandang
sebagai dialek suatu kelompok atau pribadi, lokasi geografis, atau
pandangan dunia daripada pandangan terbatas yang semata – mata
terfokus pada artefak kelompok atau etnis seseorang. Berdasarkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
pengertian – pengertian tersebut dapat disimpulkan bahwa budaya adalah
suatu hasil gagasan yang dilakukan oleh suatu kelompok atau pribadi yang
dilakukan dan dikembangkan dalam bentuk kebiasaan, serta menghasilkan
sebuah karya. Sedangkan, matematika adalah ilmu tentang bilangan,
hubungan antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan
dalam penyelesaian masalah mengenai bilangan (KBBI, 2020).
Pengertian etnomatematika sendiri adalah matematika yang
dipraktekkan di antara kelompok budaya yang diidentifikasikan seperti
masyarakat nasional, suku, kelompok buruh, anak–anak dari kelompok
usia tertentu dan kelas profesional (D’Ambrosio, 2006). Selain itu,
etnomatematika juga dapat diartikan sebagai penelitian yang
menghubungkan antara pendidikan matematika atau matematika dan
hubungannya dengan bidang sosial dan latar belakang budaya, yaitu
penelitian yang menunjukan bagaimana matematika dihasilkan,
ditransferkan, disebarkan, dan dikhususkan dalam berbagai macam sistem
budaya (Zhang & Zhang, 2010)
b. Pentingnya Mempelajari Etnomatematika
Pentingnya etnomatematika dipelajari adalah agar keterkaitan
antara budaya dan matematika dapat mudah dipahami, sehingga persepsi
siswa tentang matematika dapat lebih tepat dan matematika menjadi lebih
mudah dipahami karena penerapannya dekat dengan kehidupan sehari –
hari. Selain itu, agar siswa mendapatkan manfaat yang optimal dalam
mempelajari matematika (Suwarsono, 2015). Menurut D’Ambrosio (2001)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
etnomatematika bertujuan untuk memberi kontribusi baik untuk
memahami budaya dan pemahaman matematika, tetapi terutama untuk
menghargai hubungan antara matematika dan budaya. Dengan demikian
muncul kebutuhan dalam rangka meningkatkan kualitas pendidikan
matematika.
B. Kain Tapis Lampung
Bagian ini akan mendiskusikan pengertian, cara pembuatan, dan jenis-
jeniskain tapis Lampung. Pembahasan tentang pengertian kain tapis dan fungsi
dalam masyarakat merujuk pada buku “Mengenal Sulaman Tapis Lampung”
yang ditulis oleh J. Firmansyah, R.A. Zubaidah, dan Suprihatin (1996).
Pembahasan tentang cara pembuatan kain tapis Lampung merujuk pada buku
“Mengenal Ragam Sulaman Tapis lampung” yang ditulis oleh H. Banon Eko
Susetyo (2012). Pembahasan perihal jenis-jenis kain tapis Lampung merujuk
pada buku “Katalog Kain Tapis Koleksi Museum Negeri Provinsi Lampung
Ruwa Jurai” yang ditulis oleh Eko Wahyuningsih, Rosniar, Dadyo Wibowo,
dan Rasunah (2016).
a. Pengertian Kain Tapis
Kain tapis lampung adalah kain tradisional masyarakat Lampung
yang dibuat dari hasil tenun benang kapas dan motif yang dibuat dari
benang perak, emas atau benang sugi/suji. Kain dasar dibuat dari bahan
dasar benang kapas yang dipintal. Benang tenun yang berupa benang emas
dan perak dihasilkan dari proses pemintalan kepompong ulat sutera.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Sebagai produk budaya serta mengingat rumit dan lama
pembuatannya, kain tapis tidak bisa dipakai secara sembarangan. Biasanya
kain ini digunakan pada acara-acara istimewa dalam keluarga dan
masyarakat, misalnya seperti pada acara perkawinan. Kain tapis biasanya
dikenakan pada bagian pinggang kebawah sebagai sarung. Selain itu, kain
tapis juga bisa digunakan sebagai dekorasi.
Ada beberapa motif dasar yang digunakan dalam pembuatan kain
tapis Lampung. Namun, secara garis besar ada tiga kelompok motif yang
digunakan yaitu kelompok motif geometris, kelompok motif naturalis dan
kelompok motif ragam lain. Motif-motif tersebut tidak hanya untuk
kepentingan keindahan semata, melainkan juga sebagai cerminan
kehidupan manusia, alam, dan kepercayaan hidup dalam budaya Lampung.
Seperti telah dibahas di depan, kain tapis Lampung merupakan
sebuah produk budaya. Oleh karena itu, kain tapis Lampung tidak hanya
memiliki fungsi praktis melainkan lebih dari itu, kain tapis memiliki
fungsi yang bersifat simbolis. Beberapa fungsi kain tapis Lampung adalah
sebagai berikut.
1. Fungsi Sosial
Secara sosial, kain tapis Lampung berfungsi untuk
menunjukkan status sosial pemakainya. Ada kain tapis tertentu yang
hanya boleh dipakai oleh pemangku adat atau pemimpin suku dan ada
pula kain tapis yang dipakai oleh kalangan masyarakat biasa. Jika
seseorang atau kelompok masyarakat tertentu melanggar aturan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
pemakaian tapis maka akan dikenai sanksi adat. Namun, pada saat ini
aturan pemakaian kain tapis sudah tidak seketat dulu.
2. Fungsi Ekonomis
Pada awalnya, kain tapis dibuat untuk kepentingan suatu
kelompok adat sendiri. Dengan demikian, tidak terlalu memiliki nilai
ekonomis. Kain tapis lebih berhubungan dengan status sosial
kelompok tersebut. Pada saat ini, pembuatan kain tapis juga digunakan
sebagai pemenuhan kebutuhan ekonomi atau diperjualbelikan. Kain
tapis Lampung memiliki nilai jual yang cukup tinggi.
3. Fungsi Religi
Secara religi, kain tapis dibuat sebagai wujud kepercayaan yang
melambangkan kebesaran pencipta alam semesta. Dengan demikian,
fungsi religi kain tapis Lampung berhubungan dengan kepercayaan,
perasaan sakral, dan wujud syukur akan keindahan alam atau anugerah
yang diterima dari yang mahakuasa. Sebagai contoh, bentuk spiral
yang terlukis dalam kain tapis Lampung memiliki makna pemujaan
kepada matahari dan alam semesta.
4. Fungsi Estetika
Sebagai sebuah produk budaya, kain tapis Lampung merupakan
sebuah produk yang memiliki nilai keindahan (estetika). Kain tapis
Lampung dihiasi oleh lukisan-lukisan indah sebagai hasil dari proses
panjang dengan ketelitian tinggi dari proses pemilihan bahan dasar dan
benang, hingga proses penenunan. Kain tapis Lampung merupakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
buah karya keterampilan dan ketekunan yang dimiliki oleh
penenunnya. Oleh karena itu, kain tapis merupakan sebuah barang
pusaka atau koleksi yang memiliki nilai budaya dan estetikabagi
masyarakat.
Gambar 2.1 Ilustrasi alat penyusun benang sesang (Gambar diambil
dari Banon,2012: 9)
b. Cara Pembuatan
Proses pembuatan kain tapis memiliki beberapa tahapan. Tahap
pertama adalah pembuatan bahan dasar. Bahan dasar kain tapis dibagi
kembali yaitu tahap penyiapan benang, tahap penyusunan benang, serta
tahap penenunan. Tahap penyiapan benang tenun adalah proses pemintalan
benang kapas yang menjadi benang katun serta pemintalan kepompong
ulat sutra untuk menjadi benang sutra. Setelah dipintal benang akan
diwarnai dengan bahan yang berasal dari alam. Misalnya, penenun
menggunakan daun pacar untuk warna merah. Warna hitam didapat dari
rebusan kulit kayu salam atau rambutan, sedangkan warna cokelat didapat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
dari rebusan kulit mahoni. Warna biru didapat dari daun talom atau buah
deduku. Warna kuning dari daun kunyit atau kapur sirih. Kemudian
benang akan direndam air daun sirih agar warna tidak luntur dan terakhir
adalah perebusan benang ke larutan lilin sarang lebah agar benang tidak
renggang dan mudah diatur.
Tahap kedua adalah penyusunan benang. Banyaknya dan warna
yang digunakan dalam menyusun benang tergantung dengan kehendak
penenun. Alat penyusun yang digunakan bernama sesang. Tahap terakhir
adalah menenun, kain yang sudah disusun akan ditenun pada papan terikan
yang merupakan bagian alat tenun atau disebut mettakh.
Gambar 2.2 Ilustrasi alat tenun mettakh(gambar diambil dari
https://1.bp.blogspot.com/-
gyzNU5XdUJo/VlQCr7kELuI/AAAAAAAABBo/mFR8KPq3SAc/s1600/
2012-08-04-15-15-03.jpg)
Tahap kedua dari proses pembuatan tapis adalah membuat pola.
Pola yang akan digunakan atau disulam pada kain dasar dibuat terlebih
dahulu pada kertas dengan cara menggambar motif/pola yang diinginkan.
Setelah itu, pola yang sudah dibuat digambarkan pada kain dasar tapis.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Namun, ada kalanya pola yang dibuat dapat dibuat langsung pada kain
dasar.
Gambar 2.3 Ilustrasi Ibu-ibu dari Negeri Katon, Pesawaran, Lampung
yang sedang melakukan aktivitas menenun kain tapis dengan
menggunakan alat tenun tekang. (Gambar diambil dari
https://www.antarafoto.com/asian-games-2018/v1511702401/perajin-kain-
tapis-binaan-bi)
Tahap ketiga adalah menyulam pola pada kain tapis. Setelah pola
digambarkan pada kain dasar, proses selanjutnya adalah menyulam pola
dengan benang emas, benang sutra dan benang katun. Benang emas sendiri
tidak diproduksi langsung oleh masyarakat Lampung melainkan dari hasil
impor, khususnya India dan Singapura. Alat yang digunakan dalam
menyulam disebut tekang. Proses ini dilakukan dengan cara mengikat
benang pada benang penyawat.
c. Jenis-jenis Kain Tapis
Seperti telah dibahas di depan, pembahasan dalam bagian ini
merujuk pada buku “Katalog Kain Tapis Koleksi Museum Negeri Provinsi
Lampung Ruwa Jurai” yang ditulis oleh Eko Wahyuningsih, Rosniar,
Dadyo Wibowo, dan Rasunah (2015). Kain tapis Lampung memiliki jenis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
yang sangat beragam. Berikut ini adalah sebagian jenis kain tapis
Lampung yang berada pada Museum Lampung Ruwa Jurai, Bandar
lampung.
Tabel 2.1 Beberapa Jenis Kain Tapis Lampung
No Gambar Kain Tapis Keterangan
1
Dasar kain tapis
Bahan dasar : benang kapas
Asal : Desa Tulung Huyut, kecamatan
Hulu Selatan, Lampung Utara
P : 57 cm
L : 65 cm
No inv : 195
2
Dasar Kain tapis
Bahan Dasar: benang kapas
Asal: Tanjungkarang, Bandar Lampung
P: 123,5 cm
L: 63 cm
No inv: 725
3
`
Tapis Jung Sarat
Bahan Dasar: Benang kapas dan benang
emas
Asal: Telukbetung, Bandar Lampung
P: 110 cm
L: 65 cm
No inv: 210
Kain dipakai oleh pengantin wanita atau
kelompok istri kerabat paling tua saat
upacara pengambilan gelar, pengantin serta
muli cangget pada upacara adat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
4
Tapis Kaca
Bahan Dasar: Benang kapas, serat nanas,
dan kaca
Asal: Tanjungkarang, Bandar Lampung
P: 114 cm
L: 58 cm
No inv: 2078
Dipakai wanita suku Lampung saat upacara
adat
5
Tapis Akheng
Bahan Dasar: Benang kapas
Asal: Tanjungkarang, Bandar Lampung
P: 107 cm
L: 66 cm
No inv: 979
Dipakai oleh wanita yang suaminya sudah
mendapatkan gelar sultan pada upacara
cakak pepadun
6
Tapis Pucuk Rebung
Bahan Dasar: Benang kapas dan benang
emas
Asal: Desa Gedong Batin,
BelambanganUmpu, Way Kanan
P: 215 cm
L: 62 cm
No inv: 1397.1
7
Tapis Balak
Bahan Dasar: Benang kapas dan benang
emas
Asal: Kecamatan Tegineneng, Pesawaran
P: 114 cm
L: 60 cm
No inv: 3039
Kain ini dipakai wanita pada upacara
perkawinan adat Lampung Pubian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
8
Tapis Tuho
Bahan Dasar: Benang Kapas, benang emas,
moci dan kaca
Asal: Desa Simpang, kecamatan Kalianda,
Lampung Selatan
P: 110 cm
L: 73 cm
No inv: 1941
Kain ini digunakan oleh wanita yang sudah
menikah saat mengiringi pengantin pada
upacara adat lampung
C. Teori Grup
Pada subbab ini akan dibahas konsep-konsep matematika yang
menjadi dasar dalam penelitian ini. Dasar matematis untuk Pola Frieze dan
Pola Kristalografi adalah geometri transformasi dan teori grup.
Definisi 2.1 Operasi Biner (Fraleigh, 2003:20)
Diberikan himpunan tidak kosong 𝑆. Operasi biner ∘ dalam 𝑆 adalah sebuah
fungsi yang memetakan 𝑆 × 𝑆 ke 𝑆. Untuk setiap (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑆 × 𝑆 yang akan
dinyatakan dengan ∘ ((𝑎, 𝑏)) dari 𝑆 dilambangkan dengan 𝑎 ∘ 𝑏.
Contoh 2. 1 (Fraleigh, 2003:21)
Operasi penjumlahan atau perkalian biasa dalam himpunan bilangan bulat atau
bilangan real merupakan sebuah operasi biner.
Misalkan ℤ adalah himpunan bilangan bulat. Operasi biner +
(penjumlahan) merupakan fungsi yang memetakan (3, 5) ∈ ℤ × ℤ ke
bilangan 8 ∈ ℤ.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Misalkan ℝ adalah himpunan bilangan real. Operasi biner ⋅ (perkalian)
merupakan fungsi yang memetakan (2
3, 4) ∈ ℝ × ℝ ke bilangan
8
3∈ ℝ.
Definisi 2.2 Grup (Sukirman, 2014: 71)
Diberikan G adalah himpunan yang tak kosong dan operasi ͦ pada G adalah
suatu operasi biner. Himpunan G dan operasi biner ͦ atau dapat ditulis (G, ͦ )
adalah suatu grup jika memenuhi aksioma – aksioma berikut.
i. Operasi ∘ pada 𝐺 bersifat asosiatif
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺, (𝑎 ∘ 𝑏) ∘ 𝑐 = 𝑎 ∘ (𝑏 ∘ 𝑐)
ii. 𝐺 memuat elemen identitas, misal e
∃𝑒 ∈ 𝐺, ∀𝑎 ∈ 𝐺 berlaku 𝑎 ∘ 𝑒 = 𝑒 ∘ 𝑎 = 𝑎
iii. Setiap unsur G mempunyai invers di dalam G pula
∀𝑎 ∈ 𝐺, ∃𝑎−1 ∈ 𝐺 sedemikian sehingga 𝑎 ∘ 𝑎−1 = 𝑎−1 ∘ 𝑎 = 𝑒.
𝑎−1adalah invers dari 𝑎
Jika (𝐺,∘) adalah suatu grup yang memenuhi sifat komutatif, yaitu maka
berlaku 𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑏 ∘ 𝑎, maka (G, ͦ ) disebut grup komutatif atau grup abelian.
Contoh 2. 2 (Sukirman,2014:74)
Himpunan bilangan bulat ℤ dengan operasi ∘ yang didefinisikan oleh 𝑎 ∘ 𝑏 =
𝑎 + 𝑏 − 5, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℤ adalah suatu grup abelian. Hal ini dapat ditunjukkan
dengan
i. Dengan memperhatikan definisi operasi ∘ pada ℤ, maka operasi ∘ pada
ℤ merupakan operasi biner.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
ii. Selanjutnya akan dibuktikan operasi ∘ pada ℤ bersifat asosiatif
Diberikan ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ maka (𝑎 ∘ 𝑏) ∘ 𝑐 = (𝑎 + 𝑏 − 5) ∘ 𝑐
= 𝑎 + 𝑏 − 5 + 𝑐 − 5
=𝑎 + (𝑏 + 𝑐 − 5) − 5
= 𝑎 + (𝑏 ∘ 𝑐) − 5
= 𝑎 ∘ (𝑏 ∘ 𝑐)
Jadi operasi ∘ pada ℤ bersifat asosiatif
iii. Diberikan elemen identitas dalam ℤ adalah 𝑦, maka untuk
sebarang 𝑎 dalam ℤ berlaku
𝑎 ∘ 𝑦 = 𝑎
𝑎 + 𝑦 − 5 = 𝑎
𝑦 = 5
dan 5 ∘ 𝑎 = 5 + 𝑎 − 5 = 𝑎
Jadi elemen identitas dalam ℤ terhadap operasi ∘ adalah 5
iv. Diberikan ∀𝑎 ∈ ℤ dan invers dari 𝑎 adalah 𝑡 , maka
𝑎 ∘ 𝑡 = 𝑡 ∘ 𝑎 = 5
𝑎 ∘ 𝑡 = 5
𝑎 + 𝑡 − 5 = 5
𝑡 = 10 − 𝑎
dan (10 − 𝑎) ∘ 𝑎 = 10 − 𝑎 + 𝑎 − 5 = 5
v. Akan dibuktikan operasi ∘ pada ℤ bersifat komutatif.
Diberikan ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℤ , maka 𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 − 5
= 𝑏 + 𝑎 − 5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
= 𝑏 ∘ 𝑎
Jadi operasi ∘ pada ℤ bersifat komutatif.
Berdasarkan hasil (i) – (v), dapat disimpulkan bahwa (ℤ,∘) adalah sebuah
grup komutatif atau grup abelian.
Definisi 2.3 Order (Sukirman, 2014:71)
Banyaknya elemen dari suatu grup disebut order. Jika order suatu grup adalah
berhingga maka grup tersebut dinamakan grup berhingga. Jika order suatu
grup adalah tak hingga maka grup tersebut disebut grup tak hingga.
Contoh 2.3 (Sukirman, 2014:72)
Grup bilangan bulat terhadap penjumlahan (ℤ, +) merupakan sebuah grup
abelian yang memiliki order tak hingga
Teorema 2. 1 (Rawuh, 1992:110)
Diberikan (G,∘) sebuah grup, maka grup G harus memenuhi syarat berikut:
a. Unsur identitas dalam G adalah tunggal
b. Setiap 𝑎 ∈ 𝐺 memiliki invers yang tunggal
c. Untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐺, (𝑎−1)−1 = 𝑎
d. Untuk ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, (𝑎𝑏)−1 = 𝑏−1𝑎−1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Bukti
a) Akan dibuktikan elemen identitas adalah tunggal
Misalkan elemen identitas dari (G,∘) adalah 𝑒 dan 휀, maka ∀𝑎 ∈ 𝐺 berlaku
𝑎 ∘ 𝑒 = 𝑒 ∘ 𝑎 = 𝑎 dan 𝑎 ∘ 휀 = 휀 ∘ 𝑎 = 𝑎. Karena 𝑒, 휀 ∈ 𝐺, maka 휀 ∘ 𝑒 =
𝑒 ∘ 휀 = 휀 dan 𝑒 ∘ 휀 = 휀 ∘ 𝑒 = 𝑒. Sehingga 𝑒 = 휀
Jadi elemen identitas dari (G,∘) adalah tunggal
b) Akan dibuktikan invers G adalah tunggal
Misal 𝑎 ∈ 𝐺 dan invers dari 𝑎adalah 𝑢 dan 𝑣, maka 𝑎 ∘ 𝑢 = 𝑢 ∘ 𝑎 = 𝑒 dan
𝑎 ∘ 𝑣 = 𝑣 ∘ 𝑎 = 𝑒. Perhatikan bahwa
𝑢 = 𝑢 ∘ 𝑒
= 𝑢 ∘ (𝑎 ∘ 𝑣)
= (𝑢 ∘ 𝑎) ∘ 𝑣
= 𝑒 ∘ 𝑣
𝑢 = 𝑣
Jadi invers dari 𝑎 ∈ 𝐺 adalah tunggal
c) Akan dibuktikan untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐺, (𝑎−1)−1 = 𝑎
Andaikan (G,∘) grup dan 𝑎 ∈ 𝐺
((𝑎−1)−1 ∘ 𝑎−1) = 𝑒, (karena invers 𝑎−1 adalah (𝑎−1)−1 dan ketunggalan
invers)
((𝑎−1)−1 ∘ 𝑎−1) ∘ 𝑎 = 𝑒 ∘ 𝑎
(𝑎−1)−1 ∘ (𝑎−1 ∘ 𝑎) = 𝑎
(𝑎−1)−1 ∘ 𝑒 = 𝑎
(𝑎−1)−1 = 𝑎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
d) Akan dibuktikan ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, (𝑎𝑏)−1 = 𝑏−1𝑎−1
Perhatikan bahwa (𝑎 ∘ 𝑏)−1 ∘ (𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑒. Sementara itu (𝑎 ∘ 𝑏) ∘ (𝑏−1 ∘
𝑎−1 = 𝑎 ∘ (𝑏 ∘ 𝑏−1) ∘ 𝑎−1 = 𝑎 ∘ 𝑒 ∘ 𝑎−1 = 𝑒. Mengingat ketunggalan
elemen invers. Maka terbukti (𝑎 ∘ 𝑏)−1 = 𝑏−1 ∘ 𝑎−1
Teorema 2. 2 (Rawuh, 1992:111)
Diketahui sebuah grup (G, ∘) . Jika 𝒂 ∈ 𝑮 , 𝒃 ∈ 𝑮, maka persamaan 𝒙𝒂 = 𝒃
dan 𝒂𝒚 = 𝒃 memiliki jawaban tunggal dalam G
Bukti
G suatu grup dan 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 dengan 𝑥𝑎 = 𝑏, karena 𝑎 ∈ 𝐺 dan G grup maka
𝑎−1 ∈ 𝐺, sehingga (𝑥𝑎)𝑎−1 = 𝑏𝑎−1
𝑥(𝑎𝑎−1) = 𝑏𝑎−1
𝑥𝑒 = 𝑏𝑎−1
𝑥 = 𝑏𝑎−1
Jadi 𝑏𝑎−1 adalah penyelesaian dari persamaan𝑥𝑎 = 𝑏. Selanjutnya akan
dibuktikan bahwa penyelesaiannya itu tunggal. Misalkan persamaan 𝑥𝑎 =
𝑏mempunyai penyelesaian 𝑢 dan 𝑣, maka berlaku bahwa 𝑢𝑎 = 𝑏 dan 𝑣𝑎 = 𝑏
sehingga diperoleh
𝑢𝑎 = 𝑣𝑎
(𝑢𝑎)𝑎−1 = (𝑣𝑎)𝑎−1
𝑢(𝑎𝑎−1) = 𝑣(𝑎𝑎−1)
𝑢𝑒 = 𝑣𝑒
𝑢 = 𝑣
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Jadi penyelesaian dari persamaan 𝑥𝑎 = 𝑏 adalah tunggal. Untuk persamaan
𝑎𝑦 = 𝑏 pembuktiannya adalah sebagai berikut.
G suatu grup dan 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 dengan 𝑎𝑦 = 𝑏, karena 𝑎 ∈ 𝐺 dan G grup maka
𝑎−1 ∈ 𝐺, sehingga 𝑎−1(𝑎𝑦) = 𝑎−1𝑏
(𝑎−1𝑎)𝑦 = 𝑎−1𝑏
𝑒𝑦 = 𝑎−1𝑏
𝑦 = 𝑎−1𝑏
Jadi 𝑎−1𝑏 adalah penyelesaian dari persamaan 𝑎𝑦 = 𝑏. Selanjutnya akan
dibuktikan bahwa penyelesaiannya itu tunggal. Misalkan persamaan 𝑎𝑦 =
𝑏mempunyai penyelesaian 𝑢 dan 𝑣, maka berlaku bahwa 𝑎𝑢 = 𝑏 dan 𝑎𝑣 = 𝑏
sehingga diperoleh
𝑎𝑢 = 𝑎𝑣
𝑎−1(𝑎𝑢) = 𝑎−1(𝑎𝑣)
(𝑎 𝑎−1)𝑢 = (𝑎 𝑎−1)𝑣
𝑒𝑢 = 𝑒𝑣
𝑢 = 𝑣
Jadi penyelesaian dari persamaan 𝑎𝑦 = 𝑏 adalah tunggal.
Akibat dari teorema ini adalah apabila 𝑥𝑎 = 𝑦𝑎 maka 𝑥 = 𝑦 dan apabila
𝑎𝑝 = 𝑎𝑞 maka 𝑝 = 𝑞. Sifat ini disebut dengan Hukum Peniadaan (Kanselasi).
Sifat Kanselasi ini selain memiliki peran dalam menyelesaikan persamaan,
berperan juga dalam menggantikan dua aksioma dalam grup yaitu adanya
elemen identitas dan setiap elemen memiliki invers.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Definisi 2.4 Permutasi (Sukirman,2014:115 )
Misalkan S adalah suatu himpunan berhingga. Permutasi adalah pemetaan
satu-satu dari S ke dirinya sendiri. Setiap permutasi adalah suatu pemetaan
bijektif.
Contoh 2. 4 (Sukirman,2014:118)
Misalnya 𝑆 = {1, 2, 3}, maka permutasi-permutasi dari elemen-elemen S
adalah
휀 = (1 2 31 2 3
) 𝛼 = (1 2 32 1 3
) 𝛽 = (1 2 33 2 1
)
𝛾 = (1 2 31 3 2
) 𝛿 = (1 2 32 3 1
) 𝜎 = (1 2 33 1 2
)
Secara geometris, permutasi tersebut dapat diilustrasikan dengan
menggunakan operasi pencerminan dan rotasi pada segitiga sama sisi. Bagian
휀 adalah hasil operasi yang menghasilkan. Bagian 𝛼 merupakan hasil dari
operasi penceriman anggota S terhadap sumbu refleksi yang terbentuk dari
sudut nomor 3 ke titik tengah antara sudut 1 dan 2. Bagian 𝛽 merupakan hasil
dari operasi pencerminan anggota S terhadap sumbu refleksi yang terbentuk
dari sudut nomor 2 ke titik tengah antara sudut 1 dan 3. Bagian 𝛾 merupakan
hasil dari operasi pencerminan anggota S terhadap sumbu refleksi yang
terbentuk dari sudut nomor 1 ke titik tengah antara sudut 2 dan 3. Bagian 𝛿
merupakan hasil dari operasi rotasi 180° searah jarum jam. Bagian 𝜎
merupakan hasil dari operasi rotasi 180° berbalik arah jarum jam.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
휀 𝛼 𝛽
𝛾 𝛿 𝜎
Gambar 2.4 Representasi Geometris Permutasi 𝑆3
Definisi 2.5 (Gallian, 2010:453)
Grup Simetri (F,*) dalam ruang ℝ𝑛 adalah semua isometri dalam ℝ𝑛 yang
memetakan ke dirinya sendiri. Grup operasi * adalah komposisi fungsi
Contoh 2. 5 (Sukirman, 2014:118)
Dapat dilihat dari contoh 2.3 misalkan A merupakan himpunan berhingga
{1,2,3}. Maka semua permutasi dari A merupakan grup simetri tingkat 3,
dengan lambang 𝑆3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Definisi 2.6 (Fraleigh, 2003: 50)
Diberikan dua buah group dengan operasi yang sama yaitu (𝐺,∘) dan (H,∘).
Jika H adalah himpunan bagian dari G, maka himpunan H disebut subgroup
dari group G dan dinotasikan dengan 𝐻 ≤ 𝐺.
Contoh 2. 6 (Fraleigh, 2003:52)
Diketahui (ℤ, +) dan (ℝ, +) merupakan suatu grup, dan ℤ adalah himpunan
bagian dari ℝ dapat disimpulkan bahwa ℤ merupakan subgrup dari ℝ atau
dapat ditulis ℤ ≤ ℝ.
Definisi 2.7 (Fraleigh, 2003: 68)
Diberikan sebuah group (𝐺,∘). Himpunan S yang merupakan himpunan bagian
dari 𝐺 merupakan himpunan generator untuk 𝐺 jika setiap elemen 𝐺 dapat
dinyatakan dengan operasi berhingga (finite product) elemen-elemen S, ditulis
𝐺 = ⟨𝑆⟩
Contoh 2.7 (Gallian, 2010:72)
Generator untuk grup (ℤ, +) adalah 𝑆 = {1, −1}. Setiap anggota ℤ dapat
dinyatakan sebagai jumlahkan 1. Misalnya bilangan bulat 5 dapat terbentuk
dari 1 + 1 + 1 + 1 + 1. Kemudian bilangan bulat -3 dapat terbentuk dari (-1) +
(-1) + (-1)
Definisi 2.8 (Fraleigh, 2003: 59)
Grup G disebut grup siklik jika dan hanya jika ada elemen G sedemikian
sehingga setiap e elemen 𝑦 ∈ 𝐺, 𝑦 = 𝑎𝑚 dengan m bilangan bulat. Elemen
𝑎 ∈ 𝐺 disebut dengan generator.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Contoh 2.8
Grup (ℤ𝑛, +) merupakan suatu grup siklik dengan generatornya adalah 1 dan -
1. Setiap anggota ℤ𝑛dapat dinyatakan sebagai jumlahan 1 atau jumlahkan -1.
Definisi 2.9 (Sukirman, 2014:188)
Misalkan (𝐺,∘) dan (𝐺′,∗) dua grup, maka pemetaan 𝜙 ∶ 𝐺 ⟶ 𝐺′ adalah suatu
homomorpisme, apabila
𝜙(𝑎 ∘ 𝑏) = 𝜙(𝑎) ∗ 𝜙(𝑏), ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺
Dari hasil definisi tersebut maka homomorpisme adalah pemetaan yang
mengawetkan / melanggengkan operasi pada grup-grupnya.
Contoh 2.9 (Sukirman, 2014:189)
Jika (ℤ, +) adalah grup dengan operasi penjumlahan. Pemetaan 𝑓: ℤ → ℤ
didefinisikan oleh 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥, ∀𝑥 ∈ ℤ dan 𝑚 merupakan bilangan bulat, maka
𝑓 adalah homomorpisme. Sebab, jik 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, maka 𝑓(𝑎) = 𝑚𝑎, 𝑓(𝑏) = 𝑚𝑏,
dan (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ, sehingga
𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑚(𝑎 + 𝑏) = 𝑚𝑎 + 𝑚𝑏 = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)
Definisi 2.10 (Gallian, 2010: 123)
Sebuah isomorfisma 𝜙 dari grup (𝐺,∘) ke grup (�̅�,∗) adalah sebuah fungsi
satu-satu dari 𝐺 ke �̅� yang mempertahankan operasi grup. Hal itu berarti
bahwa
𝜙(𝑎 ∘ 𝑏) = 𝜙(𝑎) ∗ 𝜙(𝑏) untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Jika terdapat sebuah isomorfisma dari grup 𝐺ke grup �̅�, maka dikatakan
bahwa 𝐺ke �̅� adalah isomorfik dan ditulis 𝐺 ≈ �̅�.
Gambar berikut memberikan ilustrasi tentang konsep isomorfisma.
Gambar 2.5. Ilustrasi isomorfisma grup 𝐺 ke grup �̅�.
(Gambar diambil dari Gallian, 2010: 123)
Definisi 2.11 (Sukirman, 2014: 210)
Hasilkali langsung luar (external direct product) jika 𝐺1, 𝐺2, … , 𝐺𝑛 merupakan
n grup adalah 𝐺1⨂𝐺2⨂ … ⨂𝐺𝑛 = {(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛)|𝑎𝑖 ∈ 𝐺𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛} dan
operasi perkalian di dalam 𝐺1⨂𝐺2⨂ … ⨂𝐺𝑛didefinisikan oleh
(𝑗1, 𝑗2, … , 𝑗𝑛)(𝑘1, 𝑘`2, … , 𝑘𝑛) = (𝑗1𝑘1, 𝑗2𝑘2, … , 𝑗𝑛𝑘𝑛).
Perlu diperhatikan bahwa perkalian 𝑗𝑖𝑘𝑖 adalah hasil operasi dalam grup 𝐺𝑖.
Contoh 2.10 (Sukirman, 2014:211)
𝐺 = ℤ2⨂ℤ3 = {0,1}⨂{0,1,2} = {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), }.
Grup 𝐺 merupakan grup Abelian yang berorder 6.
Definisi 2.12 (Malik, Mordeson, dan Sen, 1997: 166)
Grup Dihedral 𝐷𝑛 adalah grup yang berorder 2n yang memiliki dua generator
dua elemen a dan b dan memenuhi kriteria
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
𝑎𝑛 = 𝑒, 𝑏2 = 𝑒, dan 𝑏𝑎𝑏 = 𝑎−1
Jika grup Dihedral tersebut adalah grup tak hingga, ditulis 𝐷∞, maka grup
tersebut memiliki dua generator a dan b dan memenuhi kriteria
𝑏2 = 𝑒, dan 𝑏𝑎𝑏 = 𝑎−1
Contoh 2.11 (Malik, Mordeson, dan Sen, 1997:166)
Grup Dihedral 𝐷4 = ⟨𝑎, 𝑏|𝑎4 = 𝑒, 𝑏2 = 𝑒, 𝑏𝑎𝑏 = 𝑎3⟩. Jika ditulis lengkap,
maka anggota-anggota grup 𝐷4 adalah 𝑒, 𝑎, 𝑎2, 𝑎3, 𝑏, 𝑎𝑏, 𝑎2𝑏𝑎3𝑏.
Ilustrasi geometri dari grup dihedral 𝐷4 adalah grup simetri yang terdapat
dalam sebuah persegi. Diberikan sebuah persegi, maka simetri dalam persegi
tersebut membentuk grup dengan generator 𝑎 yaitu rotasi 90∘ dan 𝑏 yaitu
pencerminan mendatar (Gambar 2.6).
Gambar 2.6 Ilustrasi grup dihedral 𝐷4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
D. Geometri Transformasi
Pada subbab ini akan dibahas konsep-konsep yang berhubungan
dengan geometri transformasi dalam bidang datar.
Definisi 2.13 (Moeharti, 1975)
Transformasi merupakan fungsi 𝑓 yang memetakan titik dari suatu himpunan
ke himpunan lain. Pemetaan yang terjadi pada transformasi merupakan sebuah
pemetaan korespondensi satu-satu antara dua himpunan.
Transformasi yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah transformasi dua
dimensi yaitu transformasi yang diterapkan pada bidang Kartesian dua
dimensi, dengan sumbu x dan sumbu y. Dengan demikian, fungsi 𝑓
memetakan titik dari himpunan titik dalam bidang Kartesius ke dirinya
sendiri. Berikut ini akan dibahas macam-macam transformasi dua dimensi.
Definisi 2.14
Diberikan dua titik 𝐴(𝑥1, 𝑦1) dan 𝐵(𝑥2, 𝑦2)dalam koordinat Kartesius. Jarak
kedua titik tersebut, dilambangkan dengan 𝐴𝐵, adalah
𝐴𝐵 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2.
Definisi 2.15 (Moeharti, 1975)
Isometri adalah transformasi yang tidak mengubah jarak. Jika 𝑃’ = 𝑓(𝑃) dan
𝑄′ = 𝑓(𝑄), maka 𝑃𝑄 = 𝑃’𝑄’. Jarak titik P dan Q sebelum transformasi sama
dengan jarak setelah transformasi, yaitu jarak antara bayangan-bayangan titik-
titik P dan Q.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Gambar 2.7 Ilustrasi sebuah isometric f. (Gambar: Pribadi)
Definisi 2.16 (Sartono, 2007)
Diberikan sebuah vektor �⃗� = ⟨𝑎, 𝑏⟩. Translasi adalah sebuah isometri yang
memetakan titik (𝑥, 𝑦) ke (𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏). Vektor �⃗� disebut vektor translasi
yang menentukan arah dan jarak pergeseran. Di dalam operasi translasi,
bangun bayangan yang terbentuk kongruen terhadap bangun aslinya.
Contoh 2. 12
Gambar di bawah ini memberikan ilustrasi gambar I ditranslasikan atau
digeser menurut vektor v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Gambar 2.8 Ilustrasi Transformasi Translasi (Gambar
diambil dari Crowe 2001:4)
Definisi 2.17 (Sartono, 2007)
Diberikan sebuah garis lurus 𝑙.Refleksi atau pencerminan adalah sebuah
isometric yang memetakan setiap titik pada 𝑙 ke dirinya sendiri, dan setiap
titik 𝐴 yang tidak terletak pada garis 𝑙 dipetakan ke titik 𝐴′ sedemikian
sehingga jarak 𝐴 ke 𝑙 sama dengan jarak 𝐴’ ke garis 𝑙. Garis l tersebut disebut
sebagai sumbu cermin atau sumbu simetri. Pada transformasi refleksi jarak
antara bangun bayangan ke sumbu simetri sama dengan jarak bangun asli ke
sumbu simetri.
Contoh 2. 13
Berikut adalah ilustrasi transformasi refleksi segitiga ABC terhadap sumbu l
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Gambar 2.9 Ilustrasi Transformasi Refleksi
(Gambar diambil dari Crowe 2001:4)
Definisi 2.18 (Sartono, 2007)
Rotasi atau perputaran adalah sebuah isometri dengan proses memutar sebuah
bangun geometri itu terhadap titik tertentu. Titik yang dimaksud adalah titik
pusat rotasi. Selain itu, suatu rotasi juga ditentukan oleh arah rotasi dan besar
sudut rotasinya.
Titik rotasi adalah suatu titik pusat yang digunakan sebagai acuan
dalam menentukan arah dan besar sudut rotasi. Titik rotasi ini dapat berada di
luar maupun pada bangun geometri yang akan dirotasi. Arah rotasi adalah
yang menentukan nilai rotasi positif atau negatif. Jika perputaran searah jarum
jam maka rotasi bernilai negatif, sedangkan jika perputaran berlawanan arah
jarum jam maka rotasi akan bernilai positif. Besar sudut rotasi menyatakan
jauhnya rotasi dilakukan, dan biasanya besar sudut ditentukan dengan ukuran
radian atau derajat.
Contoh 2. 14
Berikut adalah ilustrasi rotasi 90° terhadap titik pusat rotasi P.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Gambar 2.10 Ilustrasi Transformasi Refleksi (Gambar
diambil dari Crowe 2001:3)
Definisi 2.19 (Crowe, 2001:4)
Diberikan vektor �⃗� dan garis 𝑙 yang sejajar dengan �⃗�. Transformasi pantul
geser adalah sebuah isometri sedemikian sehingga setiap titik P dalam bidang
ditranslasikan oleh vektor 𝑣,⃗⃗⃗ ⃗kemudian dicerminkan terhadap garis 𝑙 Garis 𝑙
disebut sumbu pantul.
Contoh 2. 15
Berikut merupakan ilustrasi transformasi pantul geser oleh vektor �⃗� dan
sumbu pantul 𝑙.
Gambar 2.11Ilustrasi pantul geser(Gambar diambil dari Crowe 2001:5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
BAB III
POLA FRIEZE DAN KRISTALOGRAFI
A. Pengertian Pola Frieze
Pola Frieze adalah group diskret yang termasuk dalam grup simetri
bidang yang merupakan subgrup dari translasi yang isomorfis pada Z (Gallian,
2010:461). Grup simetri yang terdapat pada pola frieze adalah translasi, pantul
geser, refleksi dan rotasi 180°. Pola Frieze banyak ditemui dalam seni
dekorasi, arsitektur dan pola pada perhiasan. Pola friezeterdiri atas tujuh pola
yang diilustrasikan pada Gambar 3.1 sampai dengan Gambar 3.7 berikut.
Gambar diambil dari https://www.maa.org/sites/default/files/images/
upload_library/4/vol1/architecture/Math/seven.html
1. Pola pertama adalah p1. Pola ini dibangun dari hasil translasi saja. Contoh
pola ini dapat dilihat sebagai berikut.
Gambar 3.1 Ilustrasi Pola p1 dalam Pola Frieze
2. Pola kedua adalah p11g. Pola ini dibangun dari hasil pantul geser. Contoh
pola ini dapat dilihat sebagai berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Gambar 3.2 Ilustrasi Pola p11g dalam Pola Frieze
3. Pola ketiga adalah p1m1. Pola ini dibangun dari hasil translasi dan refleksi
vertikal. Contoh dapat dilihat pada gambar berikut.
Gambar 3.3 Ilustrasi pola p1m1 dalam Pola Frieze
4. Pola keempat adalah p2. Pola ini dibangun dari hasil translasi dan rotasi
180°. Contoh pola p2 dapat dilihat gambar berikut.
Gambar 3.4 Ilustrasi p2 dalam Pola Frieze
5. Pola kelima adalah p2mg. Pola ini dibangun dari hasil pantul geser,
refleksi vertikal, dan rotasi 180°. Contoh pola ini dapat dilihat dalam
gambar berikut.
Gambar 3.5. Ilustrasi pola p2mg dalam Pola Frieze
6. Pola keenam adalah p11m. Pola ini dibangun dari hasil translasi dan
refleksi horizontal. Contoh dapat dilihat sebagai berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Gambar 3.6 Ilustrasi pola p11m dalam Pola Frieze.
7. Pola ketujuh adalah p2mm. Pola ini dibangun dari hasil translasi, refleksi
horizontal dan refleksi vertikal. Contoh dapat dilihat sebagai berikut
Gambar 3.7 Ilustrasi pola p2mm dalam Pola Frieze.
Secara matematis, setiap pola dalam pola Frieze berasosiasi dengan sebuah
grup. Tabel berikut memaparkan grup-grup yang isomorfis dengan setiap pola
dalam pola Frieze.
Tabel 3.1 Pola Frieze dan Grup yang Isomorfis dengan pola
tersebut
Jenis Pola Frieze Generator Grup yang isomorfis
p1 x : translasi ℤ
p11g x : pantul geser ℤ
p1m1 x : translasi
y : refleksi vertikal 𝐷∞
p2 x : translasi
y : rotasi 180° 𝐷∞
p2mg x : pantul geser
y : rotasi 180° 𝐷∞
p11m x : translasi
y : refleksi horizontal ℤ ⊗ ℤ2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
p2mm
x : translasi
y : refleksi horizontal
z : refleksi vertikal 𝐷∞ ⊗ ℤ2
Pada tabel 3.1 terdapat grup yang isomorfis dengan masing-masing pola.
Dimana pola p1 dan p11g mirip dengan grup ℤ, yaitu pola yang terbentuk
merupakan hasil satu operasi yaitu masing-masing translasi dan pantul geser,
sedangkan grup ℤ dapat di konstruksi dengan operasi penjumlahan. Pola p1m1,
p2, dan p2mg mirip dengan grup 𝔻∞ karena memiliki dua operasi yang
membangun grupnya. Pola p11m mirip dengan hasil dari operasi grup ℤ⨂ℤ2
dimana pola ditranslasikan maka akan mirip dengan grup ℤ kemudian karena
adanya refleksi horizontal maka terdapat bayangan yang mirip dengan ℤ2. Pola
p2mm mirip dengan grup 𝔻∞⨂ℤ2 karena memiliki tiga generator dimana untuk
𝔻∞ memiliki dua generator dan ℤ2 memiliki satu generator.
Berikut ini algoritma yang dapat dipergunakan untuk pola frieze sebuah motif
(Gallian,2010: 466).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Gambar 3.8 Diagram Alur Pola Frieze
B. Pengertian Pola Kristalografi
Telah dibahas dalam bagian sebelumnya transformasi satu dimensi
yang disebut dengan pola Frieze. Dalam bagian ini akan dibahas transformasi-
transformasi dua dimensi yang sebut dengan pola Kristalografi. Kristalografi
matematis adalah suatu studi tentang pola-pola (patterns) yang membuat pola-
pola tersebut dapat menjadi model untuk struktur kristal (Senechal,
1990).Kristal memiliki struktur yang sangat simetris. Oleh karena itu struktur
yang simetris sering disebut sebagai struktur yang memiliki pola kristalografi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Berbeda dengan pola Frieze yang hanya berdimensi satu, pola
kristalografi merupakan pola dalam bidang datar berdimensi dua. Oleh karena
itu, pola kristalografi memiliki kisi (Schattschneider, 1978:441). Setiap pola
perulangan memiliki pola dasar beberapa titik yang disebut dengan kisi.
Dengan kata lain, pola berulang dalam bidang datar merupakan himpunan
semua bayangan titik-titik yang diakibatkan oleh transformasi (translasi,
rotasi, refleksi, dan pantul geser) dan memiliki kisitertentu. Dalam pola
kristalografi terdapat lima jenis tipe kisi, yaitu jajargenjang, persegi panjang,
bujur sangkar, belah ketupat dan segitiga sama sisi. Pola perulangan yang
dipetakan tidak hanya berlaku untuk translasi namun dapat pula dipetakan
dengan rotasi, refleksi dan pantul geser. Berikut ini kelima tipe kisi yang
sedang dibahas.
Gambar 3.9 Lima kisi yang terdapat dalam pola kristalografi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
(Gambar diambil dari Gallian,2010: 475)
Pola Kristalografi dibangkitkan oleh transformasi dua arah, refleksi,
rotasi, translasi dan pantul geser. Dalam pola kristalografi, rotasi yang
digunakan hanyalah rotasi dengan sudut 180°, 120°, 90°dan 60°
(Crowe,2001:8). Translasi yang diterapkan adalah translasi dua arah.
Berdasarkan 5 tipe kisi yang ada, terdapat 17 pola kristalografi yang terbentuk.
Ketujuh belas pola tersebut diilustrasikan dalam Gambar 3.10 sampai dengan
Gambar 3.26 yang diambil dari Gallian (2010: 470-471)
1. Pola pertama adalah p1. Pola ini terbentuk dari hasil translasi dua arah.Kisi
yang terdapat dalam p1 adalah jajargenjang, persegi panjang, belah
ketupat, persegi, atau segitiga sama sisi. Contoh dapat dilihat sebagai
berikut. Kedua ruas garis berarah memperlihatkan kedua vektor translasi.
Gambar 3.10 pola kristalografi tipe p1
2. Pola kedua adalah p2. Pola ini terbentuk dari hasil rotasi 180° dan
translasi dua arah. Kisi yang terdapat dalam pola p2 adalah jajargenjang,
persegi panjang, belah ketupat, persegi, atau segitiga sama sisi. Contoh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
dapat dilihat sebagai berikut. Lingkaran-lingkaran kecil memperlihatkan
pusat-pusat rotasi.
Gambar 3.11 pola kristalografi tipe p2
3. Pola ketiga adalah pm. Pola ini terbentuk dari hasil refleksi dan translasi
dua arah. Kisi yang terdapat dalam pm adalah persegi panjang atau
persegi. Contoh dapat dilihat sebagai berikut. Garis lurus memperlihatkan
sumbu refleksi.
Gambar 3.12 pola kristalografi tipe pm
4. Pola keempat adalah pmg. Pola ini terbentuk dari hasil translasi dua arah,
pantul geser dan refleksi. Kisi yang terdapat dalam pola pmg adalah
persegi panjang atau persegi.Contoh dapat dilihat sebagai berikut. Garis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
lurus menyatakan sumbu refleksi sedangkan garis putus-putus menyatakan
sumbu pantul geser.
Gambar 3.13 pola kristalografi tipe pm
5. Pola kelima adalah pgg. Pola ini terbentuk dari hasil translasi dua arah dan
pantul geser. Pola pgg memiliki kisi persegi panjang atau persegi.Contoh
dapat dilihat sebagai berikut. Kedua garis putus-putus menyatakan sumbu
pantul geser.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Gambar 3.14 pola kristalografi tipe pgg
6. Pola keenam adalah cmm. Pola ini terbentuk dari hasil refleksi dua arah
dan translasi dua arah. Pola cmm memiliki kisi belah ketupat, persegi, atau
segitiga sama sisi. Contoh dapat dilihat sebagai berikut
Gambar 3.15 pola kristalografi tipe cmm
7. Pola ketujuh adalah p3. Pola ini terbentuk dari hasil rotasi 120° dan
translasi dua arah. Pola p3 memiliki kisi segitiga sama sisi. Contoh dapat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
dilihat sebagai berikut. Pusat rotasi 120° ditunjukkan dengan simbol
lingkaran kecil.
Gambar 3.16 pola kristalografi tipe p3
8. Pola kedelapan adalah p3m1. Pola ini terbentuk dari hasil refleksi, rotasi
120° dan translasi dua arah. Kisi yang terbentuk adalah segitiga sama sisi.
Contoh dapat dilihat sebagai berikut. Salah satu pusat rotasi disimbolkan
dengan lingkaran kecil.
Gambar 3.17 pola kristalografi tipe p3m1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
9. Pola kesembilan adalah p31m. Pola ini terbentuk dari hasil refleksi, rotasi
120° dan translasi dua arah namun sumbu putar tidak terdapat pada sumbu
refleksi. Kisi yang terbentuk adalah segitiga sama sisi. Contoh dapat
dilihat sebagai berikut.
Gambar 3.18 pola kristalografi tipe p31m
10. Pola kesepuluh adalah pg. Pola ini terbentuk dari hasil pantul geser dan
translasi dua arah. Kisi yang terbentuk adalah persegi panjang dan persegi.
Contoh dapat dilihat sebagai berikut. Garis putus-putus menyatakan
sumbu pantul geser.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Gambar 3.19 pola kristalografi tipe pg
11. Pola kesebelas adalah cm. Pola ini terbentuk dari hasil refleksi dan
translasi dua arah. Namun, ada pantul geser yang bukan pada sumbu
refleksi. Kisi-kisi yang terdapat dalam pola ini adalah belah ketupat,
persegi dan segitiga sama sisi. Contoh dapat dilihat sebagai berikut.
Gambar 3.20 pola kristalografi tipe cm
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
12. Pola kedua belas adalahpmm. Pola ini terbentuk dari hasil refleksi dua
arah dan translasi dua arah. Pola pmm memiliki kisi persegi panjang atau
persegi. Contoh dapat dilihat sebagai berikut.
Gambar 3.21 pola kristalografi tipe pmm
13. Pola ketiga belas adalah p4. Pola ini terbentuk dari hasil rotasi 90° dan
translasi dua arah. Kisi yang dimiliki oleh p4 adalah persegi. Contoh dapat
dilihat sebagai berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
Gambar 3.22 pola kristalografi tipe p4
14. Pola keempat belas adalah p4m. Pola ini terbentuk dari hasil refleksi,
rotasi 90° dan translasi dua arah. Kisi yang terdapat dalam pola ini adalah
persegi. Contoh dapat dilihat sebagai berikut.
Gambar 3.23 pola kristalografi tipe p4m
15. Pola kelimabelas adalah p4g. Pola ini terbentuk dari hasil pantul geser,
rotasi 90° dan translasi dua arah. Kisi yang terdapat dalam pola ini adalah
persegi. Contoh dapat dilihat sebagai berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Gambar 3.24 pola kristalografi tipe p4g
16. Pola keenam belas adalahp6. Pola ini terbentuk dari hasil rotasi 60° dan
translasi dua arah. Kisi yang terbentuk adalah segitiga sama sisi. Contoh
dapat dilihat sebagai berikut.
Gambar 3.25 pola kristalografi tipe p6
17. Pola ketujuh belas adalah p6m. Pola ini terbentuk dari hasil refleksi, rotasi
60° dan translasi dua arah. Kisi yang terbentuk adalah segitiga sama sisi.
Contoh dapat dilihat sebagai berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
Gambar 3.26 pola kristalografi tipe p6m
Berikut adalah algoritma menurut Crowe (Gallian 2010:474) yang dapat
digunakan untuk mengidentifikasi suatu polakristallografi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Gambar 3.27 Diagram Alur Pola Kristalografi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
BAB IV
PEMBAHASAN
Berdasarkan hasil kajian pustaka pada bab dua dan hasil kajian pola frieze
dan kristalografi pada bab tiga, peneliti melakukan analisis kecocokan pola frieze
dan pola kristalografi pada 17 pola kain tapis Lampung. Pola kain tapis ini
didapatkan dari buku Katalog Kain Tapis Museum Negeri Provinsi Lampung
(2015). Berikut adalah hasil analisis pola Frieze dan Pola Kristalografi pada kain
tapis Lampung tersebut.
A. Pola Frieze Kain Tapis Lampung
1. Dasar Kain Tapis
Dasar kain tapis ini digunakan sebagai kain awalan untuk
membentuk pola yang nanti akan dibuat diatasnya. Bahan dasar kain tapis
ini berasal dari benang kapas, yang biasanya memiliki warna merah, putih,
hijau dan kuning. Dasar kain tapis ini merupakan dasar kain tapis yang
biasanya digunakan oleh masyarakat desa Tulung Buyut, Kecamatan Hulu
Sungan, Kabupaten Lampung Utara.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Gambar 4.1 Pola dasar kain tapis
Karena dasar kain tapis ini belum memiliki pola di atasnya, sehingga dapat
disimpulkan bahwa tidak ada pola frieze maupun pola kristalografi yang
memenuhi
2. Tapis Jung Sarat
Kain tapis ini biasanya digunakanpada acara pernikahan yang
dipakai oleh pengantin wanita, dapat dipakai oleh istri kerabat yang paling
tua pada upacara pengambilan gelar, dan penari wanita saat upacara adat.
Bahan dasar kain ini adalah benang kapas, sedangkan motif kain dibuat
dari benang emas. Kain tapis Jung Sarat pada gambar 4.2 berasal dari
Bandar Sakti, kecamatan Terbanggi Besar, kabupaten Lampung Tengah.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Gambar 4.2 Kain Tapis Jung Sarat
Berdasarkan motif yang ada pada kain tapis ini ditemukan pola frieze. Pola
frieze yang memenuhi adalah p2mg, dimana pada Gambar 4.3 motif yang
menyerupai segi tiga, dan segi empat masing-masing diputar sejauh 180°
dengan pusat rotasi ditandai titik berwarna merah. Kemudian motif
tersebut juga memiliki sumbu refleksi vertikal, yang ditandai dengan garis
berwarna merah.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
3. Tapis KacaBekandang
Kain tapis Kaca Bekandang merupakan hasil kain tapis dari daerah
Tanjungkarang, Bandar Lampung. Tapis Kaca Bekandang memiliki bahan
dasar benang kapas, benang emas dan kaca. Kain ini biasanya dipakai oleh
wanita saat upacara adat.
Gambar 4.4Tapis Kaca Bekandang
Gambar 4.3 Analisis Pola Frieze pada Tapis Jung Sarat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Berdasarkan pola pada kain tapis dapat dilihat bahwa pola frieze yang
terbentuk adalah p2mm. Dimana pada Gambar 4.5, motif kotak berwarna
putih dapat direfleksikan vertikal kemudian refleksi horizontal. Sumbu
refleksi ditandai dengan garis berwarna merah
Gambar 4.5 Analisis Pola Frieze pada Tapis Kaca
Bekandang
4. Tapis Kaca
Kain tapis ini berasal dari daerah Teluk Betung, Bandar Lampung.
Bahan benang yang digunakan adalah benang kapas, benang dari serat
nanas dan kaca atau manik – manik berbentuk persegi. Kain ini dipakai
oleh wanita pada saat upacara adat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Gambar 4.6 Tapis Kaca
Berdasarkan pola umum yang terbentuk, dapat dilihat ada satu pola
frieze. Pertama adalah pola p1m1 dimana motif persegi pada gambar 4.7
memiliki sumbu refleksi. Selain itu terdapat pula translasi.
Gambar 4.7 Analisis Pola Frieze pada Tapis Kaca
5. Tapis Akheng Pesisir
Tapis ini merupakan kain tapis yang berasal dari Belambangan
Pagar, kabupaten Lampung Utara. Bahan dasar kain ini adalah benang
kapas, benang emas, benang sutra dan kaca. Kain tapis Akheng Pesisir
dipakai oleh istri dari Penyimbang ( anak laki – laki tertua dari keturunan
tertua) saat upacara pengambilan gelar kerabat dekat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
Gambar 4.8 Tapis Akheng Pesisir
Berdasarkan pola kain tapis Akheng Pesisir, terdapat pola frieze yang
terbentuk yaitu p1. Dimana pada gambar 4.9 motif binatang dan bunga
mengalami translasi.
Gambar 4.9 Pola Frieze pada Tapis Akheng Pesisir
6. Tapis Pucuk Rebung
Salah satu tapis Pucuk Rebung yang berada di katalog adalah tapis
Pucuk Rebung yang berasal dari desa Gedong Batin, BelambanganUmpu,
Way Kanan. Bahan dasar tapis ini berasal dari benang kapas dan motif
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
berasal dari benang emas. Tapis Pucuk Rebung dipakai oleh ibu – ibu atau
para istri saat upacara adat.
Gambar 4.10Tapis Pucuk Rebung
Berdasarkan motif kain tapis Pucuk Rebung terdapat dua pola
frieze. pertama adalah pola p2mg dimana pusat rotasi pada gambar 4.11
ditandai dengan titik merah, motif segitiga hitamdirotasikan sejauh 1800
yang kemudian terdapat pula sumbu refleksi vertikal yang ditandai dengan
garis berwarna merah. Kedua pola p2mm dimana pada gambar 4.11
ditandai dengan adanya sumbu refleksi vertikal dan horizontal berwarna
merah.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Gambar 4.11 Analisis Pola Frieze pada Tapis Pucuk Rebung
7. Tapis Sungkai
Tapis ini berasal dari Kabupaten Pringsewu. Benang yang
digunakan dalam kain tapis ini adalah benang kapas, dan benang emas.
Kain tapis Sungkai biasa digunakan dalam acara adat dan dipakai oleh
pengantin wanita.
Gambar 4.12Tapis Sungkai
Pada kain tapis Sungkai pola frieze yang terbentuk adalah pola
p2mg. Dapat dilihat pada Gambar 4.13 motif yang menyerupai segitiga
dirotasi sejauh 180° dengan pusat rotasi ditandai dengan titik merah.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Kemudian terdapat pula sumbu refleksi vertikal berwarna merah. Pola lain
yang terbentuk adalah p1 yaitu motif A ditranslasikan menjadi motif A’.
Gambar 4.13 Pola Frieze pada Tapis Sungkai
8. Tapis Cucuk Andak
Kain tapis Cucuk Andak berasal dari Sukadana, Lampung Timur.
Bahan pembuat tapis ini adalah benang kapas, benang sutera dan benang
emas. Tapis Cucuk Andak biasa digunakan dalam acara perkawinan atau
pengambilan gelar dan dipakai oleh istri dari penyimbang, terutama daerah
Abung, Sungkai, Way Kanan dan Pubian.
`
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Gambar 4.14Tapis Cucuk Andak
Kain Tapis Cucuk Andak memiliki pola friezeyaitup1. Dimana
sebenarnya motif A ditranslasikan menjadi A’ hanya saja gambar pada
sumber memang terpotong. Kemudian motif B ditranslasikan menjadi
motif B’, dan motif C akan ditranslasikan menjadi motif C’ dimana pada
gambar 4.15 tidak termuat.
Gambar 4.15 Pola Frieze pada Tapis Cucuk Andak
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
9. Tapis Laut Linau
Kain Tapis Laut Linau berasal dari Pesawaran. Bahan yang dipakai
untuk membuat kain ini adalah benang kapas dan benang emas. Kain tapis
ini digunakan oleh kerabat jauh istri pada upacara adat, pengiring
pengantin, dan penari Cangget.
Gambar 4.16Tapis Laut Linau
Pada kain tapis Laut Linau terdapat dua pola frieze yang terbentuk.
Pola yang terbentuk adalah p2mg dan p1m1. Pola p2mg pada tapis ini
dapat dilihat pada Gambar 4.17 dengan pusat rotasinya adalah titik
berwarna merah, motif yang berbentuk segitiga dirotasikan sejauh 180°
dan memiliki sumbu refleksi vertikal berwarna merah. Kemudian pola
p1m1 yaitu proses refleksi ditandai dengan sumbu refleksi vertikal garis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
merah, motif persegi di refleksikan terhadap sumbu refleksi dan
ditranslasikan. Untuk motif bunga juga berlaku hal yang sama.
Gambar 4.17 Pola Frieze pada Tapis Laut Linau
10. Tapis Sasab Mata Kibau
Kain tapis ini berasal dari desa Pagar Dewa, Tulang Bawang Barat.
Tapis ini berbahan benang kapas dan motifnya ditenun dengan benang
emas. Tapis Sasab Mata Kibau biasanya digunakan oleh wanita saat
upacara adat Lampung.
Gambar 4.18Tapis Sasab Mata Kibau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
Pola frieze yang terbentuk dari motif tapis Sasab Mata Kibau
adalah p2mm. PadaGambar 4.19dapat dilihat motif kain ini memiliki
sumbu refleksi vertikal dan horizontal.
Gambar 4.19 Pola Frieze pada Tapis Sasab Mata Kibau
11. Tapis Raja Tunggal
Tapis Raja Tunggal berasal dari desa Mulang Maya, kecamatan
Kota Bumi Selatan, Lampung Utara. Bahan benang yang digunakan adalah
benang kapas dan benang emas. Kain ini dipakai oleh kerabat paling tua
pada upacara adat seperti perkawinan, dan pengambilan gelar.
Gambar 4.20Tapis Raja Tunggal
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Pola frieze yang terdapat pada tapis Raja Tunggal adalah p2mg dan
p1. Dapat dilihat pada Gambar 4.21, pola p2mg pada tapis ini ditandai
dengan titik rotasi sejauh 180° berwarna merah, dimana motif yang
menyerupai segitiga dirotasikan sejauh titik rotasi. Selain itu juga
direfleksikan terhadap sumbu refleksi vertikal berwarna merah. Kemudian
pola p1 pada tapis Raja Tunggal adalah motif kapal yang ditandai dengan
A ditranslasikan menjadi A’, dan motif manusia yang ditandai dengan B
ditranslasikan menjadi B’.
Gambar 4.21 Pola Freize pada Tapis Raja Tunggal
12. Tapis Ratu Tulang Bawang
Tapis Ratu Tulang Bawang berasal dari Tanjungkarang, Bandar
Lampung. Benang yang digunakan adalah benang kapas sebagai dasar dan
benang emas sebagai motif kain. Kainini dikenakan pada saat upacara adat
lampungPepadun yang dipakai oleh penyimbang.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
Gambar 4.21Tapis Ratu Tulang Bawang
Pola frieze yang sesuai dengan kain tapis ini adalah p1, p2mg dan
p1m1. Pola pertama adalah p1, dapat dilihat pada gambar 4.22 motif A dan
B masing – masing ditranslasikan menjadi A’ dan B’. Pola kedua adalah
p2mg, yang pada Gambar 4.22 bagian b dan c motif direfleksikan vertikal
terhadap sumbu refleksi berwarna merah, kemudian di rotasi sejauh 180°
dengan titik rotasi berwarna merah. Selanjutnya adalah pola p1m1, dimana
segitiga direfleksikan vertikal terhadap sumbu refleksi berwarna merah
kemudian ditranslasikan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
(a) p1 (b) p2mg
(c) p2mg (d) p1m1
Gambar 4.22 Pola Frieze Tapis Ratu Tulang Bawang
13. Tapis Raja Medal
Kain tapis berasal dari Pagar Dewa, Tulang Bawang Barat. Benang
yang digunakan dalam kain tapis ini adalah benang kapas dan benang
emas. Kain tapis Raja Medal biasa digunakan saat upacara adat
perkawinan dan naik gelar yang dikenakan oleh istri penyimbang.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
Gambar 4.23Tapis Raja Medal
Pola frieze yang terdapat pada tapis Raja Medal adalahp2mg, p1,
dan p2mm. Pola pertama adalah p2mg, dimana motif segitiga pada
Gambar 4.24 bagian a direfleksikan terhadap sumbu refleksi vertikal
berwarna merah, kemudian dirotasikan sejauh 180° dengan pusat rotasi
adalah titik merah. Pola kedua adalah p1 yaitu bagian b, motif A, B, dan C
masing – masing ditranslasikan menjadi A’, B’, dan C’. pola terakhir
adalah pola p2mm, dimana pada bagian c dan d motif direfleksikan dengan
sumbu refleksi vertikal dan horizontal berwarna merah.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
(a) p2mg (b) p1
(c) p2mm (d) p2mm
Gambar 4.24 Pola Frieze pada Tapis Raja Medal
14. Tapis Binatang
Tapis Binatang berasal dari Gunung Sugih, Lampung Tengah.
Benang yang digunakan pada kain ini adalah benang kapas dan benang
emas. Kain tapis ini dipakai oleh wanita saat upacara adat.
Gambar 4.25Tapis Binatang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
Pola frieze yang terdapat pada tapis binatang dapat dilihat pada
gambar 4.26 dan gambar 4.27. Pola yang terbentuk pada gambar 4.26
adalah p2mg dan p1m1. Pola p2mg dapat dilihat pada motif burung yang
memiliki sumbu refleksi vertikal berwarna merah yang kemudian dirotasi
sejauh 180° dengan pusat rotasi adalah titik merah. Pola pada Gambar
4.27 adalah p2mm, yaitu motif pada kain tapis tersebut memiliki sumbu
refleksi vertikal dan horizontal yang ditandai dengan garis berwarna
merah.
Gambar 4.26 Pola Frieze pada Tapis Binatang
Gambar 4.27 Pola Frieze Tapis Binatang bagian atas
15. Tapis Bintang Perak
Kain tapis Bintang Perak berasal dari desa Kibang, kecamatan
Menggala, Tulang Bawang. Benang yang digunakan pada tapis ini adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
benang kapas dan benang emas. Kain tapis ini digunakan oleh wanita pada
saat menghadiri upacara adat.
Gambar 4.28Bintang Perak
Pada tapis Bintang Perak, pola frieze yang memenuhi adalah p1m1
dan p2mm. Pada Gambar 4.29 pola p1m1 terdapat pada bagian a yang
ditandai dengan adanya refleksi vertikal pada motif, sumbu refleksi
ditandai dengan warna merah. Pola p2mm dapat dilihat pada bagian b
yaitu ditandai dengan adanya refleksi terhadap sumbu refleksi vertikal dan
horizontal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
(a) p1m1 (b) p2mm
Gambar 4.29 Pola Frieze Bintang Perak
16. Tapis Kuning
Kain tapis ini berasal dari Sukadana, Lampung Timur. Benang
yang digunakan pada kain tapis ini adalah benang kapas, serat nanas, dan
kaca. Kain tapis Kuning digunakan oleh istri penyimbang pada saat
menghadiri upacara adat.
Gambar 4.30 Tapis Kuning
Pada tapis Kuning, pola frieze yang memenuhi adalah p1m1 dan
p2mm. Pola p1m1 dapat dilihat pada Gambar 4.31 yang ditandai dengan
adanya refleksi vertikalterhadap sumbu refleksi berwarna merah.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
Kemudian pola p2mm pada kain tapis adalah adanya sumbu refleksi
vertikal dan sumbu refleksi horizontal pada motif kain terhadap sumbu
refleksi berwarna merah.
(a) p2mm (b) p1m1
Gambar 4.31 Pola Frieze pada Tapis Kuning
17. Tapis Limar Sekebar
Kain tapis Limar Sekebar berasal dari Tanjung Karang, Bandar
Lampung. Benang yang digunakan pada kain tapis ini adalah benang kapas
dan benang emas. Kain ini biasa dipakai oleh penyimbang beradat
pepadun pada saat menghadiri upacara adat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
Gambar 4.32 Kain Tapis Limar Sekelebar
Pola frieze yang memenuhi tapis Limar Sekebar adalah p1m1 dan
p2mm. Pola p1m1 dapat dilihat pada bagian a Gambar 4.33, dimana motif
direfleksikan terhadap sumbu refleksi vertikal berwarna merah. Pola kedua
adalah p2mm, yaitu motif kain direfleksikan terhadap sumbu refleksi
vertikal dan horizontal, dapat dilihat pada bagian b Gambar 4.33.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
(a) p1m1 (b) p2mm
Gambar 4.33 Pola Frieze pada kain Tapis Limar Sekebar
Mengakhiri diskusi pola Frieze pada kain tapis Lampung, berikut
adalah ringkasan pola-pola Frieze yang ditemukan dalam 17 kain tapis yang
dianalisa.
Tabel 4.1 Ringkasan Pola Frieze dalam Kain Tapis Lampung
No Nama Pola Frieze yang ditemukan
1. Dasar Kain Tapis Tidak ada (tidak ada pola)
2. Tapis Jung Sarat p2mg
3. Tapis Kaca Bekandang p2mm
4. Tapis Kaca p1m1
5. Tapis Akheng Pesisir p1
6. Tapis Pucuk Rebung p2mg, p2mm
7. Tapis Sungkai p2mg, p1
8. Tapis Cucuk Andak p1
9. Tapis Laut Linau p2mg, p1m1
10. Tapis Sasab Mata Kibau p2mm
11. Tapis Raja Tunggal p2mg, p1
12. Tapis Ratu Tulang Bawang p1, p2mg, p1m1
13. Tapis Raja Medal p2mg, p1, p2mm
14. Tapis Binatang p2mg, p1m1, p2mm
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
15. Tapis Bintang Perak p1m1, p2mm
16. Tapis Kuning p1m1, p2mm
17. Tapis Limar Sekebar p1m1, p2mm
B. Pola Kristalografi Kain Tapis Lampung
Pada bagian ini akan dibahas pola-pola kristalografi yang terdapat
dalam kamin Tapis Lampung. Setelah mengamati dengan lebih seksama pola-
pola yang terdapat dalam kain tapis Lampung, peneliti hanya menemukan dua
pola berikut. Pola-pola berikut diselidiki berdasar diagram alur yang dibahas
pada Bab III
1. Tapis Bintang Perak
Gambar 4.34 Pola Kristalografi pada Tapis Bintang
Perak
Gambar 4.34 adalah bagian dari tapis Bintang Perak yang bisa
dianalisis pola kristalografi yang terdapat di dalamnya. Jika diperhatikan
maka rotasi terkecil yang mungkin adalah 90 derajat dengan salah satu
pusat rotasi merupakan perpotongan sumbu-sumbu refleksi. Sumbu-sumbu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
refleksi yang ditemukan dalam pola ini merupakan sumbu simetri empat
arah seperti diperlihatkan dalam Gambar 4.34. Dengan demikian,
disimpulkan bahwa pola kristalografi yang terdapat dalam motif kain tapis
Bintang Perak adalah p4m.
2. Tapis Kaca
Potongan kain yang ditampilkan pada Gambar 4.35 merupakan
potongan kain Tapis Kaca. Jika diselidiki, maka rotasi terkecil yang
terdapat pada pola tersebut adalah 90∘. Selanjutnya terdapat dua sumbu
pencerminan yang berpotongan pada pusat rotasi tersebut. Tidak ada
pencerminan untuk arah-arah yang lain. Jadi pola yang terdapat dalam kain
Tapis Kaca adalah p4g. Pada pola tersebut ditemukan sumbu-sumbu
pantul geser seperti diilustrasikan dengan garis putus-putus.
Gambar 4.35Pola Kristalografi pada Tapis Kaca
Berikut adalah ringkasan dari pembahasan tentang pola kristalografi pada
kain Tapis Lampung.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
Tabel 4.2 Pola Kristalografi yang terdapat pada tapis Lampung
No Nama Jenis Pola Kristalografi
1 Tapis Bintang Perak p4m
2 Tapis Kaca p4g
C. Keterbatasan Penelitian
Keterbatasan dalam penelitian ini adalah jumlah data Kain Tapis
Lampung yang dianalisis. Data yang dipergunakan dalam penelitian ini
merupakan data dari buku Katalog Kain Tapis Museum Negeri Provinsi
Lampung (2015). Buku tersebut hanya menyajikan 17 jenis kain tapis
Lampung. Firmansyah, Sitorus, Zubaidah, dan Suprihatin (1996: 6)
mengatakan bahwa setidaknya terdapat 58 jenis kain tapis Lampung. Dalam
penelitian ini, peneliti tidak memiliki akses untuk menemukan data kain-kain
tapis tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berikut adalah kesimpulan hasil penelitian yang sudah dilakukan untuk
mengetahui pola Frieze dan pola Kristalografi yang terdapat pada kain tapis
Lampung.
1. Pola Frieze dan Pola Kristalografi.
a. Pola Frieze
Pola Frieze adalah pola pada bidang berdimensi satu (garis
lurus) yang dibangkitkan (generate) oleh grup simetri. Terdapat tujuh
pola yang non isomorfis dalam pola Frieze. Ketujuh pola ini
dibangkitkan (generate) oleh satu arah translasi, refleksi180°, rotasi,
dan pantul geser.
b. Pola Kristalografi
Pola kristalografi adalah pola pada bidang datar (berdimensi
dua) yang dibangkitkan oleh grup simetri. Terdapat tujuh belas pola
non isomorfik dalam pola kristalografi.Ketujuh belas pola tersebut
dibangkitkan oleh translasi dua arah, rotasi60°, 90°, 120°, dan 180°,
refleksi, dan pantul geser.
2. Pola Frieze pada Motif Kain Tapis Lampung
Penelitian ini menyelidiki tujuh belas jenis kain tapis Lampung
yang dimuat dalam Katalog Kain Tapis Koleksi Museum Negeri Provinsi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
Lampung Ruwa Jurai (2015). Sebagian besar motif (dekorasi) dalam kain
tapis Lampung yang terdapat dalam katalog tersebut merupakan motif
garis, sehingga analisis dalam penelitian ini lebih banyak mengamati pola
Frieze yang terdapat dalam kain tapis Lampung tersebut. Berikut adalah
ringkasan temuan dalam penelitian ini berkaitan dengan pola Frieze dalam
ketujuh belas kain tapis Lampung.
Tabel 5.1 Pola Frieze dalam Kain Tapis Lampung
No Pola Ditemukan dalam
1. p1 Tapis Akheng Pesisir,
Tapis Sungkai,
Tapis Cucuk Andak,
Tapis Raja Tunggal,
Tapis Ratu Tulang Bawang
Tapis Raja Medal
2. p11g Tidak ditemukan
3. p1m1 Tapis Kaca
Tapis Laut Linau
Tapis Ratu Tulang Bawang
Tapis Binatang
Tapis Bintang Perak
Tapis Kuning
Tapis Limar Sekebar
4. p2 Tidak ditemukan
5. p2mg Tapis Jung Sarat
Tapis Pucuk Rebung
Tapis Sungkai
Tapis Laut Linau
Tapis Raja Tunggal
Tapis Ratu Tulang Bawang
Tapis Raja Medal
Tapis Binatang
6. p11m Tidak ditemukan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
7. p2mm Tapis Kaca Bekandang
Tapis Pucuk Rebung
Tapis Sasab Mata Kibau
Tapis Raja Medal
Tapis Binatang
Tapis Bintang Perak
Tapis Kuning
Tapis Limar Sekebar
Karena kain tapis dibuat melalui proses tenun dengan
menggunakan tangan, maka konsistensi motif dalam kain tapis tersebut
tidak selalu terjaga (tidak konsisten). Ada beberapa motif yang sulit
diidentifikasi polanya.
3. Pola Kristalografi pada Motif Kain Tapis Lampung
Dalampenelitian yang dilakukan pada ketujuh belas jenis kain tapis
Lampung yang ada, peneliti hanya menemukan dua jenis kain tapis yang
memiliki pola kristalografi. Kain tapis Bintang Perak memiliki pola
kristalografi p4m, sedangkan pola p4g ditemukan pada kain tapis
Kaca.Lima belas jenis kain tapis yang lain tidak memiliki pola
kristalografi karena motif yang ditemukan hanya merupakan motif satu
dimensi.
B. Saran
1. Bagi Pendidik
Para pendidik, khususnya di provinsi Lampung, dapat
menggunakan motif – motif kain tapis Lampung untuk mengajarkan materi
transformasi dalam geometri. Selain itu, kain tapis Lampung juga memuat
motif-motif yang bisa dipakai untuk memperkenalkan bentuk-bentuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
bangun geometri. Dalam motif kain tapis Lampung terdapat motif yang
merupakan bentuk persegi, segitiga, dan belah ketupat. Semoga hal ini
dapat menarik minat peserta didik dalam belajar matematika karena
berkaitan dengan kehidupan sehari – hari.
2. Bagi Peneliti Selanjutnya
Penelitian ini hanya mengamati tujuh belas jenis kain tapis
Lampung yang dimuat dalam buku Katalog Kain Tapis Koleksi Museum
Negeri Provinsi Lampung Ruwa Jurai (2015). Menurut sumber lain,
Lampung memiliki jenis kain tapis yang lebih banyak lagi. Oleh karena
itu, penelitian lanjut dapat dilakukan untuk meneliti kain-kain tapis yang
belum dibahas dalam penelitian ini. Penelitian lanjut sebaiknya mengambil
data dari sumber langsung di pusat pembuatan kain tapis Lampung. Selain
itu, penelitian ini menyimpulkan tidak semua pola Frieze ditemukan dalam
kain tapis Lampung. Penelitian lanjut bisa dilakukan untuk menjawab
pertanyaan mengapa ada pola yang tidak muncul.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
DAFTAR PUSTAKA
Crowe, D. W. (2001). Symetries of Culture.Bridges: Mathematical Connections
in Art, Music and Science. Diakses pada tanggal 11 Septembe 2019 dari
laman http://archive.bridgesmathart.org/2001/bridges2001-1.pdf
Burkhardt, H. (2008). D'Ambrosio, U. (2006). Ethnomathematics: Link between
Traditions and Modernity ( A Kepple Trans). ZDM Mathematics
Education. Vol. 40, Hal. 1033-1034. Diakses pada tanggal 17 September
2019 dari laman https://doi.org/10.1007/s11858-008-0163-3
Fraleigh. (2003). A First Course in Abstract Algebra.Diakses pada tanggal 28
September 2019 dari laman
https://www.academia.edu/26545062/A_First_Course_in_Abstract_Algebr
a-Jb_Fraleigh_7Ed_2003_?show_app_store_popup=true.
Gallian, J. A. (2010). Contemporary Abstract Algebra.Australia: Brooks/Cole
Publishing Co.
Garnadi, A.D., Guritman., S., Kusnanto, A. & Hanum, F. (2012). Survei Pola
Grup Kristalografi Bidang Ragam Batik Tradisional. Bogor: Jurnal
Matematika dan Aplikasinya. Diakses pada tanggal 11 September 2019 dari
laman https://jounal.ipb.ac.id/index.php/jmap/article/view/20521/14181.
Hadiwidjojo, M. (1975). Ilmu Ukur Vektor dan Transformasi. Yogyakarta:
Yayasan Pembina FKIE-IKIP.
Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI) Online. (2020). Diakes dari laman
https://kbbi.kemdikbud.go.id/entri/Budaya
Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan (Kemdikbud). (2018). Statistik
Kebudayaan.Diakses pada tanggal 28 September 2019 dari laman
http://publikasi.data.kemdikbud.go.id/uploadDir/isi_BE2D808C-AC9F-
4962-963A-12FCE0EA163E_.pdf.
Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan (Kemdikbud). (2010). Warisan
Budaya.Diakses padat tanggal 28 September 2019dari laman
https://warisanbudaya.kemdikbud.go.id/?newdetail&detailCatat=600.
Malik, D. S., Moderson, J. N.m & Sen, M. K. (1997). Fundamental of Abstract
Algebra. New York: McGraw-Hill
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
Maure, O. P.& Ningsi, G, P. (2018). Eksplorasi Etnomatematika pada Tarian Caci
Masyarakat Manggarai Nusa Tenggata Timur. Prosiding Seminar Nasional
Etnomatnesia . Diakses pada tanggal 30 Agustus 2019 dari laman
https://jurnal.ustjogja.ac.id/index.php/etnomatnesia/article/view/2345/1306.
Rawuh. (1993). Geometri Transformasi. Jakarta: Departemen Pendidikan dan
Kebudayaan.
Rosa, M. & Orey, D. C. (2011). Ethnomathematics: the cultural aspects of
mathematics. Revista
Latinoamericana de Etnomatemática, 4(2). 32-54
Schattschneider, D. (1978). The Plane Symmetry Groups: Their Recognition and
Notation. American Mathematical Monthly , Vol. 85. No. 6. Hal. 439-450.
Senechal, M. (1990). Crytalline Symmetries: an Informal Mathematical
Introduction. New York: IOP Publishing Ltd.
Sukirman. (2014). Teori Grup (Aljabar Abstrak 1). Yogyakarta: UNY Press.
Suwarsono, S. (2015). Etnomatematika.Materi Kuliah, tidak dipublikasikan.
Diakses pada tanggal 30 September 2019dari laman
https://www.usd.ac.id/fakultas/pendidikan/s2_pen_matematika/f1l3/Slides
%20ppt%20Etnomatematika.pdf.
Wahyuningsih, E., Rosniar, Wibowo, D., Sarimin, & Rasunah. (2015). Katalog
Kain Tapis Koleksi Museum Negeri Provinsi Lampung "Ruwa Jurai".
Bandar Lampung: Dinas Pendidikan dan Kebudayaan Provinsi Lampung.
Wirodikromo, S. (2007). Matematika 3A untuk SMA Kelas XII IPA Semester 1
Standar Isi KTSP 2006 . Jakarta: Erlangga.
Zhang, W., & Zhang, Q. (2010). Ethnomathematics and Its Integration within the
Mathematics Curriculum. Journal of Mathematics Educations , Vol 3. No
1. Hal 151-157.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI