DISKRETNE MATEMATIKE STRUKTURE
KVANTIFIKATORSKI RAUN PRVOG REDAProf. dr Esad Jakupovi5.1.
PREDIKATI, RELACIJE I ISKAZNE FUNKCIJEU uvodnom odjeljku 1.1.
predikat duine n smo definisali kao afirmativnu reenicu koja ima
smisla, koja sadri n promjenljivih parametara i koja postaje sud
uvek kada parametri iz reenice dobiju konkretne vrijednosti, tj.
zamjene se sa konkretnim objektima. Ovo je opisna definicija
predikata. Istom pojmu pristupamo sada na formalan nain.Posmatrajmo
predikat duine n. Podrazumjeva se da je zadat jedan skup D pri emu
se parametri predikata smatraju elementima skupa D. Za izvjesne
n-torke predikat P( ) postaje taan sud dok za ostale n-torke
predikat postaje netaan sud. Skup n-torki za koje predikat postaje
taan sud definie jednu n-arnu relaciju u skupu D. Obrnuto, ako je
zadata jedna n-arna relacija u skupu D postoji predikat duine n
(shvaen kao reenica sa n parametara koja opisuje osobine n-torki iz
te relacije) koji je taan ba za n-torke iz te relacije. Stoga je
opravdano predikat, izjednaiti sa relacijom.
Definicija 1. Predikat duine n skupa D je svaka n-arna relacija
skupa D.n-arna relacija u skupu D odreuje i jedno preslikavanje
Definiimo
Funkcija naziva se iskazna funkcija. Predikat se moe definisati
i kao iskazna funkcija.U okviru matematike logike razvijena je
teorija predikata koja se naziva predikatski ili kvantifikatorski
raun. Objekti ove teorije su formule kvantifikatorskog rauna ili
kvantifikatorske formule koje predstavljaju predikate. U verziji
kvantifikatorskog rauna koji izlaemo u ovoj knjizi, kvantifikatori
u formulama deluju samo na tzv. promjenljive a ne na funkcijska ili
relacijska slova. Zbog toga se ovakav kvantifikatorski raun naziva
kvantifikatorski raun prvog reda.
Formule kvantifikatorskog rauna definiemo najprije kao izvjesne
nizove simbola.Formule kvantifikatorskog rauna se grade po odreenim
pravilima od tzv. osnovnih simbola kvantifikatorskog
rauna.Definicija 1. Osnovni simboli kvantifikatorskog rauna su:1.
promjenljive :
2. konstante:
3. operacijska ili funkcijska slova:
4. relacijska slova:
5. operacijski simboli:
6. zagrade i zarezi.Kod operacijskih i relacijskih slova gornji
indeks j se naziva duina slova.
5.2. FORMULE KVANTIFIKATORSKOG RAUNA
Definicija 2. 1 Svaku promenljivu i svaku konstantu nazivamo
termom.2 Ako su , t2, . . . , tn termi, onda je za svako i niz
simbola ( , t2, . . . , tn) term.3 Termi se dobijaju samo pomou
konano mnogo primjena odredbi 1 i 2 ove definicije.
Primjer 3. Nizovi simbola su termi.
Naprotiv , nizovi simbola nisu termi.
Pomou terma i relacijskih slova obrazuju se nizovi simbola koje
nazivamo elementarnim formulama kvantifikatorskog rauna.
Definicija 3. Ako su , t2, . . . , tn termi, onda je, za svako
i, niz simbola elementarna formula kvantifikatorskog rauna.Na kraju
smo u situaciji da definiemo i formule kvantifikatorskog rauna
(kratko, formule).
Definicija 4. 1 Elementarna formula kvantifikatorskog rauna je
formula.2 Ako su nizovi simbola A i B formule i ako je u
promenljiva, onda su i nizovi simbola formule.3 Formule se dobijaju
samo pomou konano mnogo primjena odredbi 1 i 2 ove definicije.
Primjer 2. Nizovi simbola predstavljaju formule od kojih su prve
dve elementarne.
Interpretacija formule kvantifikatorskog rauna je sloen pojam
koji najprije objanjavamo opisno a zatim formalno definiemo.Za
domen interpretacije usvaja se neki neprazni skup D. Promjenljive
se interpretiraju kao promjenljive koje variraju u skupu
D.Konstante se interpretiraju kao odreeni elementi skupa D.
Funkcijska slova oznaavaju izvesne konkretne operacije skupa D
odgovarajuih duina. Zbog toga termi predstavljaju algebarske izraze
promenljivih skupa D.Ako se zamisli da promjenljive za momenat
postanu konkretni objekti iz D tada term oznaava takoe jedan
konkretni objekt iz D.
Primjer 1. Term moe se interpretirati u skupu realnih brojeva R
kao izraz x+5y gdje je konstanta interpretirana kao broj 5 i
operacijska slova redom kao operacije sabiranja i mnoenja. x i y su
onda realne promjenljive. Isti term se u skupu djelova nekog skupa
moe interpretirati kao skupovni izraz gdje je interpretirano kao
prazan skup a operacijski simboli kao unija i simetrina
diferencija. x i y oznaavaju tada skupovne promjenljive.
5.3. INTERPRETACIJE FORMULA KVANTIFIKATORSKOG RAUNA
Relacijsko slovo duine n interpretira se kao n-arna relacija
skupa D, odnosno kao predikat duine n. Elementarna formula oznaava
stoga reenicu: , t2, . . . , tn su u relacijiSimboli interpretiraju
se kao implikacija, negacija i univerzalni kvantifikator,
respektivno. Stoga, proizvoljna formula kvantifikatorskog rauna
predstavlja sloenu reenicu komponovanu po pravilima opisanim u
odjeljku 1.1 od reenica koje odgovaraju elementarnim formulama od
kojih je posmatrana formula sastavljena. Sloena reenica koja se na
opisani nain dobija kao interpretacija kvantifkatorske formule je
predikat ija duina, zavisi od broja promjenljivih u formuli ali i
od prisustva i rasporeda kvantifikatora to e biti objanjeno
kasnije.Primjer 2. Formuli moguno je dati sledeu
interpretaciju.Neka je domen interpretacije skup realnih brojeva R,
neka , oznaava sabiranje realnih brojeva i neka je Rt relacija
jednakosti. Tada je interpretacija formule sledea reenica: Za sve
realne brojeve x i y vai x+y=y+x.
Definicija 1. Interpretacija I formule F kvantifikatorskog rauna
je definisana pomou ,gdje je D neprazan skup a preslikavanje iji je
domen skup konstanti, operacijskih slova i relacijskih slova
formule F, pri emu je slika konstante element skupa D, slika
funkcijskog slova operacija skupa D odgovarajue duine i slika
relacijskog slova relacija skupa D odgovarajue duine.Interpretacija
formule F odreuje tri meusobno ekvivalentna objekta u vezi sa
skupom D od kojih svaki moemo po potrebi uzeti za opisnu
interpretaciju formule F:1 jednu reenicu (predikat) koja govorio
elementima skupa D..2 jednu relaciju odreene duine u D, definisanu
predikatom 1,3 odgovarajuu iskaznu funkciju.
Vrijednost formule F definie se pomou odgovarajue iskazne
funkcije, vrijednost formule zavisi od parametara odgovarajueg
predikata koji se pojavljuju kao argumenti iskazne funkcije.
Vrijednost formule je po definiciji jednaka vrijednosti odgovarajue
iskazne funkcije.
Definicija 2. Formula F je tana pri interpretaciji I ako pri toj
interpretaciji ima, uvek vrednost 1 (nezavisno od parametara
odgovarajueg predikata).
Primjer 3. Naveemo dve interpretacije formule .1 Domen
interpretacije je skup cjelih brojeva Z a , se interpretira kao
relacija kongruencije po modulu m. Stoga formula oznaava
reenicu:
Ova reenica je tana za svako x, y Z. Stoga je navedena formula
tana pri interpretaciji .2 Neka je interpretacija kod koje je domen
skup prirodnih brojeva N a relacija djeljivosti |. Pri formula
predstavlja reenicu koja je tana, na primjer, za x=3, y=5 a netana,
na primjer, za x= 3, y=6.
Uopte, formula je tana za sve interpretacije u kojima se
interpretira kao simetrina binarna relacija.Postoje, meutim, i
formule koje su tane pri svim interpretacijama.
Primjer 4. Formula je tana pri svakoj interpretaciji.
Posmatrajmo proizvoljnu interpretaciju. Podformula moe pri datoj
interpretaciji biti ili netana ili tana (moe da predstavlja
neistinit ili istinit sud). Ako je ona netana, formula (l)je tana
jer implikacija ima vrijednost 1 bez obzira na vrijednost Ako je
pak tano, onda za svako x iz domena vai pa mora da vai i za x =.y
Stoga (1) opet ima vrednost 1.
Definicija 3. Formula koja je tana pri svim interpretacijama
naziva se valjana formula.injenicu daje formul F valjana
obiljeavamo sa |=F a to itamo: F jc valjana formula. Simbol |=ne
pripada skupu simbola kvantifikalorskog rauna.Valjane formule su od
posebnog znaaja. One u kvantifikatorskom raunu igraju onu ulogu
koju tautologije igraju u iskaznoj algebri.
Valjane formule predstavljaju, kao i tautologije, modele uvek
istinitih reenica, te stoga izraavaju zakone ispravnog
zakljuivanja. Kvantifikatorske formule su u odnosu na iskazne
formule izraajnije jer se pomou predikata i kvantifikatora mogu da
izraze i analiziraju unutranja svojstva reenica to nije moguno
pomou sudova.S obzirom na znaaj valjanih formula od interesa su
postupci za utvrivanje da li je zadata formula valjana. U iskaznoj
algebri postoji efektivan postupak (tablice istinitosti) za
analogan problem (utvrivanje da li je zadata iskazna formula
(antologija) jer se ispitivanje svodi na proveravanje konano mnogo
sluajeva.U kvantifikatorskom raunu valjanost formule zavisi od
vrijednosti formule pri beskonano mnogo moguih interpretacija a i
pri jednoj jedinoj interpretaciji, ako je domen interpretacije
beskonaan, problem utvrivanja tanosti formule moe da bude veoma
teak. Stoga nije iznenaujue da opti i efektivan postupak za
utvrivanje valjanosti formule kvantifikatorskog rauna ne
postoji.
Meu osnovnim simbolima kvantifikatorskog rauna nalaze se simboli
samo dve operacije iskazne algebre: .No uzimajui u obzir injenicu
daje ( , =>) baza iskazne algebre sve druge logike operacije se
mogu ipak izraziti. S obzirom na sledee jednakosti u iskaznoj
algebri
- sledeom definicijom se uvode neki novi simboli
kvantifikatorskog rauna koji predstavljaju skraenice za izvjesne
nizove osnovnih simbola.
Definicija 4. Ako su A i B formule kvantifikatorskog rauna, onda
se
1 niz ( ) zamjenjuje sa (A\/B),
2 niz zamjenjuje sa ( ),
3 niz zamjenjuje sa (AB).
Pri pisanju formula kvantifikatorskog rauna sluimo se
konvencijama o izostavljanju zagrada kao u iskaznoj
algebri.Egzistencijalni kvantifikator takoe nije predvien u skupu
osnovnih simbola kvantifikatorskog rauna. Meutim, i on se moe na
pogodan nain izraziti pomou drugih simbola.Ako je P proizvoljna
reenica, onda reenice:
1 Postoji x takvo da vai P;2 Nije tano da za svako x ne vai P;
oigledno imaju isto znaenje. Stoga se uvodi sleea definicija.
Definicija 5. Ako je A formula kvantifikatorskog rauna i u
promjenljiva, onda se niz simbolu zamjenjuje sa ( u) A.Novouvedeni
simbol interpretira se na isti nain kako je to objanjeno u
odjeljeku 1.1.
Jedna promenljiva u moe u izvesnoj formuli F kvantifikatorskog
rauna da se pojavi vie puta. Pojavljivanja promjenljivih djelimo na
vezana i slobodna.Pojavljivanje promjenljive u je vezano ako je ono
locirano neposredno iza kvantifikatora ili ako se nalazi u zoni
dejstva nekog kvantifikatora koji je spregnutDiskretne matematike
strukture sa u, drugim rijeima, vezano pojavljivanje promjenljive u
je oblika , gde je A formula u kojoj u ima pojavljivanje a formula
, odnosno , je podformula formule F.Sva pojavljivanja promjenljive
u u formuli F koja nisu vezana, nazivamo slobodna
pojavljivanja.Primjer 1. U formuli prvo i drugo pojavljivanje
promjenljive x i drugo i tree pojavljivanje promjenljive y su
vezana pojavljivanja. Ostala pojavljivanja promjenljivih su
slobodna.Promjenljive ija su sva pojavljivanja vezana (vezane
promenljive) ne pojavljuju se kao parametri predikata koji
predstavlja interpretaciju formule.Intepretacija formule je
predikat ija je duina jednaka broju promjenljivih koje imaju
slobodna pojavljivanja (slobodne promjenljive).
5.4. VEZANE I SLOBODNE PROMJENLJIVE
Primjer 2. Interpretacija formule (\/x) (x) je predikat duine 0,
tj. sud, jer je x vezana promjenIjiva. Formula odreuje jednu unarnu
relaciju, tj. predikat duine 1 (parametar je z).Ako formula F nema
slobodno pojavljivanje promenljive x, formula (V x)F ima u
interpretaciji isto znaenje kao formula F. Na primjer u formuli
,promjenljiva x je vezana a y slobodna. U interpretaciji dobijamo
predikat koji zavisi od parametra y sa istim znaenjem kao predikat
dobijen interpretacijom formule .U svim svojim vezanim
pojavljivanjima promjenljiva se moe oznaiti simbolom neke druge
promjenljive koja se ne pojavljuje u formuli . Pri tome se u
interpretacijama znaenje formule ne mjenja. Na primjer, formula ima
isto znaenje kao . Situacija je slina onima kod odreenog integrala
ili sumiranja lanova jednog niza. Poznato je, naime, da vrijednost
odreenog integrala ne zavisi od toga kojim simbolom je oznaena
integraciona promjenljiva. Isto tako vrijednost sume ne zavisi od
oznake za indeks sumiranja. Ove injenice se izraavaju formulama
Definicija 1. Formula u kojoj su sve promjenljive vezane naziva
se zatvorena formula.Zatvorena formula se interpretira kao predikat
duine 0, tj. kao sud.
Definicija 2. Ako je F formula u kojoj se pojavljuju slobodne
promjenljive (gdje navedeni redoslijed odgovara redosljedu navoenja
tih simbola u listi osnovnih simbola), onda je zatvorenje formule F
formula . Za zatvorene formule F vai F=F.Neka je t term ije su
promenljive . Neka je A{x) formula u kojoj se pojavljuje
promjenljiva x. A(t) se dobija od A(x) kada se svako slobodno
pojavljivanje promjenljive x zamjeni termom t.Term t je slobodan za
promjenljivu x u formuli A(x) ako se nijedno slobodno pojavljivanje
promjenljive x u A(x) ne nalazi u zoni dejstva nekog od
kvantifikatora kojise eventualno nalaze u A(x). Drugim rjeima,
nijedna promjenljiva terma t ne smije da se vee nekim od
kvantifikatora iz A(x) poslije zamjene x sa t.
1 Jednu klasu valjanih formula predstavljaju formule izvedene iz
tautologija iskazne algebre. Ako se u jednoj tautologiji svako
iskazno slovo zamjeni nekom formulom kvantifikatorskog rauna,
dobijena formula kvantifikatorskog rauna je valjana jer pri svakoj
interpretaciji ona ima vrijednost 1. Oigledno su interesantnije one
valjane formule koje se ne mogu izvesti iz tautologija.
2 Na osnovu definicije 5 iz odjeljka 5.3. oigledno su valjane
sljedee formule
(1)
gdje je A(x) formula koja sadri slobodnu promjenljivu x. Ove
formule pokazuju kako se mjenja karakter kvantifikatora kada on
zamjeni redoslijed sa znakom negacije. Na osnovu toga negacija
reenice glasi .
5.5. PRIMJERI VALJANIH FORMULA
Navedene formule predstavljaju u sutini generalizovane De
Morganove formule iz iskazne algebre (videti odjeljak 3.2.). U
stvari, ako je domen interpretacije D formula (1) konaan, one se i
svode na De Morganove formule. Zaista, ako je onda u interpretaciji
znai isto to i konjukcija a, ima znaenje kao disjunkcija .
Stoga se formula (1) svede na
- a to su De Morganove formule.Redoslijed navoenja istorodnih
kvantifikatora oigledno nema posebaa znaaj. Na primjer, formula
znai isto to i formula pa je formula valjana. Nasuprot tome,
redoslijed navoenja raznorodnih kvantifikatora je bitan.Posmatrajmo
formule
Interpretirajmo ove formule na skupu prirodnih brojeva N i neka
oznaava relaciju F2 je valjana ako i samo ako u digrafu sa sl. 1
postoji put iz vora u vor F2.4 Formula , gde je t term slobodan za
protmjenljivu x u formuli A{x), je valjana.
5.6. SEMANTIKO IZVOENJEI u kvantifikatorskom raunu kao i u
iskaznoj algebri (vidjeti odjeljak 3.3) moguno je uvesti pojam
hipoteza i posljedica.
Definicija 1. Formula F kvantifikatorskog rauna je (semantika)
posledica kvantifikatorskih formula , F2, ... . , Fn ako je formula
F tana pri svakoj interpretaciji pri kojoj su sve formule , F2, . .
. , Fn tane.injenica da je F posljedica formula , F2, ..., Fn
obiljeava se sa , F2, . . . , Fn |=FModus ponens pojavljuje se kao
pravilo izvoenja i u kvantifikatorskom raunu jer oigledno vai , .U
kvantifikatorskom raunu veliku ulogu igra pravilo izvoenja izraeno
pomou . Ovo pravilo ne postoji u iskaznoj algebri. Ono se naziva
generalizacija.Na osnovu pravila generalizacije svaka formula F ima
za posljedicu svoje zatvorenje F. Takoe se lako uvia da vai F
F.
Jedna od primjena kvantifikatorskog rauna se sastoji u tome to
se reenice koje izraavaju matematike misli mogu predstavljati
formulama kvantifikatorskog rauna. To se postie na taj nain to se
reenice (predikati) koje elimo da predstavimo shvataju kao
interpretacije nekih kvantifikatorskih fomula koje se naknadno
konstruiu.Na primjer, posmatrajmo reenicu: Za svaki cjeli broj x
postoji cijeli broj y takav da je x+y=0. Jedna od kvantifikatorskih
formula za koju ova reenica moe da poslui kao interpretacija je .
Do navedene interpretacije se dolazi ako se za domen interpretacije
uzme skup cijelih brojeva Z, relacijsko slovo interpretira kao
jednakost, funkcijsko slovo kao operacija sabiranja + a konstanta
kao broj 0.U matematikoj praksi rjetko se reenice predstavljaju
kvantifikatorskim formulama u obliku u kome su ove striktno
definisane.
5.7. IZRAAVANJE MATEMATIKOG TEKSTA FORMULAMA KVANTITIKATORSKOG
RAUNA
Formule se modifikuju korienjem simbola iz svakodnevnog
matematikog jezika. Funkcijska slova se zamjenjuju odgovarajuim
simbolima operacija, relacijska slova se zamjenjuju oznakama za
relacije, koriste se slova koja se ne nalaze u spisku osnovnih
simbola kvantifikatorskog rauna a domen interpretacije se indicira
oznakom odgovarajueg skupa odmah iza kvantifikatora. Tako se
spomenuta reenica obino izraava u oblikuUmjerena upotreba
kvantifikatorskih ili modifikovanih kvantifikatorskih formula u
oznaavanju matematikog teksta doprinosi jasnosti , kratkoi i
elegantnosti formulacija.
Primjer 1. Po definiciji niz (an) (n = l, 2,. . .) je
konvergentan ako (i samo ako) postoji broj a takav da za svako
>0 postoji N tako da je kad god je n>N. Dakle, ( )je
konvergentan . Niz je divergentan ako nije konvergentan. Ako
negiramo reenicu na desnoj strani ekvivalencije pa znak negacije
smjestimo iza kvantifikatora, kvantifikatori mjenjaju karakter.Na
kraju reenicu moemo da zamjenimo da tj. . Stoga vai: ( ) je
divergentan
