Poglavlje 18

Poglavlje 18Poglavlje 18

TehnologijaTehnologija

TehnologijaTehnologija

Tehnologija je proces pomoću koga inpute Tehnologija je proces pomoću koga inpute proizvodnje transformišemo u autput.proizvodnje transformišemo u autput.

Npr.Npr. radrad, , kompjuterkompjuter, , projektorprojektor, , strujastruja, , ii softversoftver kombinuju se da bi se dobilo ovo kombinuju se da bi se dobilo ovo predavanjepredavanje..

Obično više tehnologija daju isti proizvodObično više tehnologija daju isti proizvod –– tabla i kredatabla i kreda mogu se upotrebiti umesto mogu se upotrebiti umesto kompjutera i projektora.kompjutera i projektora.

Koja tehnologija je “najbolja”?Koja tehnologija je “najbolja”?

Kako poredimo tehnologijeKako poredimo tehnologije??

Korpa inputaKorpa inputa

xxii označava upotrebljenu količinu inputaoznačava upotrebljenu količinu inputa ii; ;

tj.tj. nivo inputanivo inputa ii..

Korpa inputaKorpa inputa predstavlja vektor nivoa predstavlja vektor nivoa inputa:inputa: (x(x11, x, x22, … , x, … , xnn).).

Npr.,Npr., (x(x11, x, x22, x, x33) = (6, 0, 9) = (6, 0, 93).3).

Proizvodna funkcijaProizvodna funkcija

yy označava nivo autputaoznačava nivo autputa..

Proizvodna funkcijaProizvodna funkcija tehnologije opisuje tehnologije opisuje maksimalnumaksimalnu količinu autputa koja je dostižna količinu autputa koja je dostižna upotrebom neke korpe inputa:upotrebom neke korpe inputa:

1( , , )ny f x x

y = f(x) je proizvodnafunkcija

x’ xNivo inputa

Nivo autputa

y’y’ = f(x’) je maksimalan obim proizvodnje dostižan sa x’ jedinica inputa.

Jedan input, jedan autput

Tehnološki skupTehnološki skup

Proizvodni planProizvodni plan je korpa inputa i nekog je korpa inputa i nekog nivoa autputa:nivoa autputa: (x(x11, … , x, … , xnn, y)., y).

Proizvodni plan jeProizvodni plan je ostvarljivostvarljiv ako jeako je

Kolekcija svih ostvarljivih proizvodnih Kolekcija svih ostvarljivih proizvodnih

planova predstavlja planova predstavlja tehnološki (ili tehnološki (ili

proizvodni) skupproizvodni) skup..

1( , , )ny f x x

y = f(x) je proizvodnafunkcija

x’ x

y’

y”

y’ = f(x’) je maksimalan obim proizvodnje dostižan sa x’ jedinica inputa.

y” = f(x’) je nivo autputa koji je ostvarljiv sa x’ jedinica inputa.

Nivo inputa

Nivo autputa

Proizvodni skup je

1 1

1

{( , , , ) | ( , , )

0, , 0}.n n

n

T x x y y f x x i

x x

x’ x

y’

y”

tehnološkiskup

Nivo inputa

Nivo autputa

x’ x

y’

y”

tehnološkiskup

tehničkineefikasniplanovi

tehnički efikasni planovi

Nivo inputa

Nivo autputa

Tehnologije sa više inputaTehnologije sa više inputa

Kako izgleda tehnologija koja ima više Kako izgleda tehnologija koja ima više proizvodnih inputaproizvodnih inputa??

Slučaj sa dva proizvodna inputaSlučaj sa dva proizvodna inputa: : nivoi nivoi inputa suinputa su xx11 ii xx22;; nivo autputa jenivo autputa je yy..

Pretpostavimo da proizvodna funkcija ima Pretpostavimo da proizvodna funkcija ima oblikoblik

1/3 1/31 2 1 2( , ) 2 .y f x x x x

Npr.,Npr., maksimalan nivo autputa koji je maksimalan nivo autputa koji je dostižan sa korpom inputa dostižan sa korpom inputa (x(x11, x, x22) = (1, 8)) = (1, 8)

jeje

... a maksimalan nivo autputa koji je ... a maksimalan nivo autputa koji je dostižan sa korpom inputa dostižan sa korpom inputa (x(x11, x, x22) = () = (88, 8), 8)

jeje

1/3 1/3 1/3 1/31 22 2 1 8 2 1 2 4.y x x

1/3 1/3 1/3 1/31 22 2 8 8 2 2 2 8.y x x

autput y

x1

x2

(8,1)(8,8)

IzokvantaIzokvanta za nivo autputa odza nivo autputa od yy jedinicajedinica predstavlja skup svih korpi inputa koje daju predstavlja skup svih korpi inputa koje daju isti nivo autputa isti nivo autputa yy..

y

y x1

x2

Izokvante sa dva varijabilna Izokvante sa dva varijabilna inputainputa

Izokvante mogu biti nacrtane i u Izokvante mogu biti nacrtane i u trodimenzionalnom prostoru tako što trodimenzionalnom prostoru tako što ćemo dodati osu na kojoj je označen nivo ćemo dodati osu na kojoj je označen nivo autputa pa će svaka izokvanta označavati i autputa pa će svaka izokvanta označavati i nivo autputa.nivo autputa.

autput y

x1

x2

y

y

Što je veći broj izokvanti, to je naše znanje o Što je veći broj izokvanti, to je naše znanje o tehnologiji većetehnologiji veće..

y

y

x1

x2

y

y

autput y

x1

x2

y

y

y

y

Kompletna kolekcija izokvanti predstavljaKompletna kolekcija izokvanti predstavlja mapu izokvantimapu izokvanti..

Mapa izokvanti ekvivalentna je Mapa izokvanti ekvivalentna je proizvodnoj funkcijiproizvodnoj funkciji –– svaka od njih svaka od njih predstavljena je onom drugompredstavljena je onom drugom..

Npr.,Npr.,

1/3 1/31 2 1 2( , ) 2y f x x x x

x1

x2

y

x1

x2

y

x1

x2

y

x1

x2

y

x1

x2

y

x1

x2

y

x1

y

x1

y

x1

y

x1

y

x1

y

x1

y

x1

y

x1

y

x1

y

x1

y

Kob-Daglasove tehnologijeKob-Daglasove tehnologije

Kob-Daglasova proizvodna funkcija ima Kob-Daglasova proizvodna funkcija ima oblikoblik

Npr.,Npr.,

1 21 2 .naa a

ny Ax x x

1/3 1/31 2y x x

1 2

1 12, 1, .

3 3n A a i a

x2

x1

Svaka izokvanta je hiperbola,koja aimptotski teži koordinatnimosama ali ih nikada ne dodiruje.

1 21 2a ay x x

x2

x1


1 21 2 "a ax x y

1 21 2a ay x x

x2

x1


1 21 2 'a ax x y

1 21 2 "a ax x y

1 21 2a ay x x

x2

x1


1 21 2 'a ax x y

1 21 2 "a ax x y

"y 'y>1 2

1 2a ay x x

Tehnologije sa fiksnim Tehnologije sa fiksnim proporcijmaproporcijma

Proizvodna funkcija sa fiksnim proporcijama Proizvodna funkcija sa fiksnim proporcijama ima oblikima oblik

Npr.,Npr.,1 1 2 2min{ , , , }.n ny a x a x a x

1 2min{ ,2 }y x x

1 22, 1 2.n a i a

x2

x1

min{x1,2x2} = 14

4 8 14

247

min{x1,2x2} = 8min{x1,2x2} = 4

x1 = 2x2

1 2min{ ,2 }y x x

Tehnologije sa savršenim Tehnologije sa savršenim supstitutimasupstitutima

Proizvodna funkcija kada su proizvodni Proizvodna funkcija kada su proizvodni činioci savršeni supstituti ima oblikčinioci savršeni supstituti ima oblik

Npr.,Npr.,1 1 2 2 .n ny a x a x a x

1 23y x x

1 22, 1 3.n a i a

9

3

18

6

24

8

x1

x2

x1 + 3x2 = 18

x1 + 3x2 = 36

x1 + 3x2 = 48

Izokvante su linearne i paralelne

1 23y x x

Granični fizički proizvodGranični fizički proizvod

Granični proizvod inputa jednak je stopi Granični proizvod inputa jednak je stopi nivoa autputa kada se menja nivo ulaganja nivoa autputa kada se menja nivo ulaganja tog inputa tog inputa , , pri čemu je nivo ulaganja svih pri čemu je nivo ulaganja svih drugih inputa nepromenjendrugih inputa nepromenjen..

Tj.,Tj.,

1( , , )ny f x x

ii

yGP

x

Npr., ako je1/3 2/3

1 2 1 2( , )y f x x x x

onda je granični proizvod inputa 1

2/3 2 /31 1 2

1

1

3

yGP x x

x

a granični proizvod inputa 2 biće

1/3 1/32 1 2

2

2.

3

yGP x x

x

Najčešće granični proizvod jednog inputa zavisi od upotrebljenih količina ostalih inputa. Npr., ako

2/3 2 /31 1 2

1

3GP x x tada,

2/3 2 /3 2 /31 1 1

1 48

3 3GP x x

a ako je x2 = 27 onda je

ako je x2 = 8,

2/3 2/3 2 /31 1 1

127 3 .

3GP x x

Granični proizvod inputaGranični proizvod inputa ii je je opadajuća opadajuća veličinaveličina ukoliko se on smanjuje sa porastom ukoliko se on smanjuje sa porastom nivoa inputa nivoa inputa ii.. Tj.,Tj., ako jeako je

2

20.i

i i i i

GP y y

x x x x

2/3 2 /31 1 2

1

3GP x x 1/3 1/3

2 1 2

2

3GP x xi

dakle,5/3 2 /31

1 21

20

9

GPx x

x

1/3 4 /321 2

2

20.

9

GPx x

x

i

Oba granična proizvoda su opadajuće veličine.

Npr, ako je1/3 2 /31 2y x x onda

Prinos na obim ulaganja Prinos na obim ulaganja

Granični proizvodi opisuju kako se menja Granični proizvodi opisuju kako se menja nivo autputa sa promenom nivo autputa sa promenom pojedinačnogpojedinačnog nivoa nekog inputa.nivoa nekog inputa.Prinos na obim ulaganjaPrinos na obim ulaganja opisuje kako se opisuje kako se menja nivo autputamenja nivo autputa kada se nivoikada se nivoi svih svih inputa inputa menjaju u istom smeru i u istoj menjaju u istom smeru i u istoj direktnoj direktnoj proporcijiproporciji ((npr.,npr., kada se nivoi svih inputa kada se nivoi svih inputa udvostruče ili prepoloveudvostruče ili prepolove).).

Ukoliko, za proizvoljnu korpu inputa (x1,…,xn), imamo

1 2 1 2( , , , ) ( , , , )n nf kx kx kx kf x x x

tada tehnologija koja je opisana proizvodnom funkcijom f pokazuje konstantne prinose na obim ulaganja.Npr., za (k = 2) dupliranje svih nivoa inputa udvostručuje nivo proizvodnje.

y = f(x)

x’ xnivo inputa

nivo autputa

y’

jedan input, jedan autput

2x’

2y’

konstantniprinosi


1 2 1 2( , , , ) ( , , , )n nf kx kx kx kf x x x

onda tehnologija pokazuje opadajućeprinose na obim ulaganja.

Npr., (k = 2) dupliranje svih nivoa inputa manje će nego udvostručiti nivo proizvodnje.

y = f(x)

x’ x

f(x’)

2x’

f(2x’)

2f(x’)

opadajućiprinosi

nivo inputa

nivo autputa


1 2 1 2( , , , ) ( , , , )n nf kx kx kx kf x x x

onda tehnologija pokazuje rastućeprinose na obim ulaganja.

Npr., (k = 2) dupliranje svih nivoa inputa više će nego udvostručiti nivo proizvodnje.

y = f(x)

x’ x

f(x’)

2x’

f(2x’)

2f(x’)

rastući prinosi

nivo inputa

nivo autputa

Pojedine tehnologije mogu “naPojedine tehnologije mogu “na lokalnom lokalnom nivou”nivou” da pokazuju različite prinose na obim da pokazuju različite prinose na obim ulaganja inputa.ulaganja inputa.

y = f(x)

x

opadajući prinosi

rastući prinosi

nivo inputa

nivo autputa

PrimeriPrimeri

1 1 2 2 .n ny a x a x a x

Proizvodna funkcija sa inputima koji susavršeni supstituti je

Proporcionalno povećajte nivoe svih inputa k puta. Nivo autputa postaje

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( ) ( )

( )

.

n n

n n

a kx a kx a kx

k a x a x a x

ky

inputi savršeni supstituti => konstantni prinosi

1 1 2 2min{ , , , }.n ny a x a x a x

1 1 2 2

1 1 2 2

min{ ( ), ( ), , ( )}

(min{ , , , })

.

n n

n n

a kx a kx a kx

k a x a x a x

ky

Proizvodna funkcija sa inputima koji susavršeni komplementi je


inputi savršeni komplementi => konstantni prinosi

1 21 2 .naa a

ny x x x Kob – Daglasova proizvodna funkcija je


1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1

1 2

1 2

( ) ( ) ( )

.

n

n n

n n

n

aa an

a aa a a a

a a a aa an

a a

kx kx kx

k k k x x x

k x x x

k y

1 21 2

naa any x x x

Dakle, za Kob – Daglasovu proizvodnu funkciju

11 21 2( ) ( ) ( ) .n na a aa a

nkx kx kx k y

Prinosi na obim ulaganja kod Kob – Daglasovetehnologije su

konstantni za a1+ … + an = 1rastući za a1+ … + an > 1opadajući za a1+ … + an < 1.

važi

PP: : Da li tehnologija može da pokazuje Da li tehnologija može da pokazuje rastuće prinose na obim ulaganja inputa a da rastuće prinose na obim ulaganja inputa a da su istovremeno svi njihovi granični proizvodi su istovremeno svi njihovi granični proizvodi opadajući?opadajući?

OO: : Da!Da!

Primer:Primer:2/3 2 /31 2 .y x x

1 22/3 2/31 2 1 2

a ay x x x x

1 2

41

3a a pa tehologija ima

rastuće prinose.

Ali, 1/3 2 /31 1 2

2

3GP x x opada sa porastom x1

2/3 1/32 1 2

2

3GP x x opada sa porastom x2

Dakle, tehnologija može da pokazuje Dakle, tehnologija može da pokazuje prisustvo rastućih prinosa čak i kada su svi prisustvo rastućih prinosa čak i kada su svi granični proizvodi opadajuće veličine. Zašto?granični proizvodi opadajuće veličine. Zašto?

Granični proizvod je stopa promene Granični proizvod je stopa promene autputa kada raste nivo ulaganja autputa kada raste nivo ulaganja jednogjednog inputa, dok su nivoi svih ostalih inputa inputa, dok su nivoi svih ostalih inputa fiksni.fiksni.

Granični proizvod opada upravo zato što Granični proizvod opada upravo zato što su nivoi ostalih inputa fiksni,su nivoi ostalih inputa fiksni, pa rastući pa rastući broj jedinica datog inputa ima relativno sve broj jedinica datog inputa ima relativno sve manje drugih inputa sa kojima u procesu manje drugih inputa sa kojima u procesu proizvodnje sarađuje.proizvodnje sarađuje.

Kada Kada svisvi nivoi inputa proporcionalno nivoi inputa proporcionalno rasturastu, , nema potrebe za smanjivanjem nema potrebe za smanjivanjem graničnih proizvoda pošto svaki input graničnih proizvoda pošto svaki input uvek ima istu reativnu količinu drugih uvek ima istu reativnu količinu drugih inputa sa kojima sarađuje.inputa sa kojima sarađuje. Produktivnost Produktivnost inputa ne opada pa možemo imati inputa ne opada pa možemo imati konstantne ili rastuće prinose na obim konstantne ili rastuće prinose na obim njihovog ulaganja.njihovog ulaganja.

Stopa tehničke supstitucijeStopa tehničke supstitucije

Po kojoj stopi će jedanPo kojoj stopi će jedan input zameniti drugi input zameniti drugi input a da se nivo autputa ne promeni?input a da se nivo autputa ne promeni?

x2

x1

y

x2'

x1'

x2

x1

y

Nagib predstavlja stopu po kojoj moramo da odustanemo od korišćenja inputa 2 ukoliko se povećava korišćenje inputa 1 a da se pri tome ne promeni nivo autputa. Nagib izokvante meri stopu tehničke supstitucije.

x2'

x1'

Kako se izračunava stopa tehničke Kako se izračunava stopa tehničke supstitucije supstitucije (STS)(STS)??

Proizvodna funkcija jeProizvodna funkcija je

Mala promenaMala promena (dx(dx11, dx, dx22)) u korpi inputau korpi inputa

dovodi do promene u nivou autputa oddovodi do promene u nivou autputa od

1 2( , ).y f x x

1 21 2

.y y

dy dx dxx x

1 21 2

.y y

dy dx dxx x

Ali, dy = 0 jer smo rekli da nivo autputaostaje pa promene dx1 i dx2 nivoa inputamoraju da zadovolje uslov

1 21 2

0 .y ydx dx

x x

1 21 2

0y ydx dx

x x

pa preuređenjem jednačine dobijamo

2 12 1

y ydx dx

x x

dakle,

2 1 1

1 2 2

/.

/ dx y x GP

STSdx y x GP

STS predstavlja stopu po kojoj moramo da odustanemo od korišćenja inputa 2 ukoliko se povećava korišćenje inputa 1 a da se pri tome ne promeni nivo autputa. To je nagib izokvante.

2 1 1

1 2 2

/.

/ dx y x GP

STSdx y x GP

Kob-Daglasove tehnologije Kob-Daglasove tehnologije

1 2 1 2( , ) a by f x x x x dakle

11 2

1

a byax x

x

11 2

2

.a bybx x

x

i

Stopa tehničke supstitucije jednaka je

12 1 1 2 2

11 2 1 2 1

/.

/

a b

a b

dx y x ax x ax

dx y x bx x bx

x2

x1

2 2 2

1 1 1

(1/3)

(2 /3) 2

ax x xSTS

bx x x

1/3 2 /31 2

1 2; i

3 3y x x a b

x2

x1

8

4

2

1

81

2 2 4

xSTS

x

2 2 2

1 1 1

(1/3)

(2 /3) 2

ax x xSTS

bx x x

1/3 2 /31 2

1 2; i

3 3y x x a b

x2

x1

6

12

2

1

6 1

2 2 12 4

xSTS

x

2 2 2

1 1 1

(1/3)

(2 /3) 2

ax x xSTS

bx x x

1/3 2 /31 2

1 2; i

3 3y x x a b

Normalne tehnologijeNormalne tehnologije

Normalne tehnologijeNormalne tehnologije su su

– monotonemonotone, , ii– konveksnekonveksne..

MonotonostMonotonost

MonotonostMonotonost:: Veća količinaVeća količina bilo kogbilo kog inputa inputa dovodi do povećanjadovodi do povećanja autputaautputa..

y

x

y

x

monotonost

nemonotonost

KonveksnostKonveksnost

KonveksnostKonveksnost: : Ako dve korpe inputa, Ako dve korpe inputa, x’ x’ ii x” x”,, daju isti broj jedinica autputadaju isti broj jedinica autputa yy , onda , onda njihova linearna kombinacijanjihova linearna kombinacija tx’ + (1-t)x”tx’ + (1-t)x” daje najmanjedaje najmanje yy jedinica autputajedinica autputa, , za svakoza svako

0 < t < 1. 0 < t < 1.

x2

x1

x2'

x1'

x2"

x1"

y

x2

x1

x2'

x1'

x2"

x1"

' " ' "1 1 2 2(1 ) , (1 )tx t x tx t x

y

x2

x1

x2'

x1'

x2"

x1"

' " ' "1 1 2 2(1 ) , (1 )tx t x tx t x

yy

x2

x1

x2'

x1'

x2"

x1"

Konveksnost implicira da STSraste (postaje manje negativna) sa porastom x1.

x2

x1

yy

y

veći autput

Dug rok i kratak rokDug rok i kratak rok

Dug rok –Dug rok – firma ničim nije ograničena kod firma ničim nije ograničena kod izboraizbora nivoa svakog inputanivoa svakog inputa..

Postoji mnoštvo kratkih rokovaPostoji mnoštvo kratkih rokova..

Kratak rok - firma je ograničena kod izbora Kratak rok - firma je ograničena kod izbora nivoa barem jednog inputa.nivoa barem jednog inputa.

Primeri ograničenja sa kojima je firma Primeri ograničenja sa kojima je firma suočena u kratkom rokusuočena u kratkom roku::– privremeno nije u stanju da instalira ili privremeno nije u stanju da instalira ili

ukloni mašineukloni mašine– suočena je sa zakonskom obavezomda suočena je sa zakonskom obavezomda

se pridržava kvota kod nabavke nekog se pridržava kvota kod nabavke nekog inputainputa

– mora da zadovolji zakonodavca u mora da zadovolji zakonodavca u pogledu sadržajapogledu sadržaja. .

Koristan način da se razmišlja o dugom roku Koristan način da se razmišlja o dugom roku jeste da se predpostavi da firma može da bira jeste da se predpostavi da firma može da bira po volji u kojim kratkoročnim okolnostima po volji u kojim kratkoročnim okolnostima želi da se nađe.želi da se nađe.

Šta kratkoročne restrikcije impliciraju za Šta kratkoročne restrikcije impliciraju za tehnologiju firme?tehnologiju firme?

Pretpostavimo da je kratkoročna Pretpostavimo da je kratkoročna restrikcija fiksiranja nivoa inputa restrikcija fiksiranja nivoa inputa 22. .

Input Input 22 jeje fiksiran inputfiksiran input na kratak rok.na kratak rok. Input Input 11 ostaje ostaje varijabilanvarijabilan..

x2

x1y

x2

x1y

x2

x1

y

x2

x1

y

x2

x1

y

x2

x1

y

x2

x1

y

x2

x1

y

x2

x1

y

x2 x1

y

x1

y

x1

y

x1

y

Za kratkoročne proizvodne funkcije

1/3 1/31 2y x x je dugoročna proizvodna funkcija

(i x1 i x2 su varijabilni).

Kratkoročna proizvodna funkcija gde jex2 1 glasi

1/3 1/3 1/31 11 .y x x

kratkoročna proizvodna funkcija gde je x2 10 glasi

1/3 1/3 1/31 110 2,15 .y x x

x1

y

Za kratkoročne proizvodne funkcije

3/13/11 10xy

3/13/11 5xy

3/13/11 2xy

3/13/11 1xy

Documents

Poglavlje 18