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PRINCIPIOS DEPRINCIPIOS DEMMÁÁQUINAS Y QUINAS Y

CIRCUITOS ELCIRCUITOS ELÉÉCTRICOSCTRICOS

Grado en IngenierGrado en Ingenieríía Meca MecáánicanicaMarcos Marcos ÁÁlvarez Diezlvarez Diez

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TEMA 2TEMA 2

RÉGIMEN ESTACIONARIO SINUSOIDAL

Tema 2. NÚMEROS COMPLEJOS





Tema 2. RÉGIMEN ESTACIONARIO SINUSOIDAL

INTRODUCCIINTRODUCCIÓÓNN

Estudiamos el régimen estacionario de circuitos lineales que están excitados por fuentes sinusoidales de la misma frecuencia. Este régimen aparece cuando se extingue la respuesta natural o transitoria. Las respuestas entonces son sinusoidales también y de la misma frecuencia que las excitaciones.








ONDAS SINUSOIDALES Y FASORES.ONDAS SINUSOIDALES Y FASORES.

Representaremos una onda sinusoidal de pulsación ω :

F es el valor eficaz de f(t) y φ es el ángulo de fase respecto a un origen de fases arbitrario.

Una onda sinusoidal puede obtenerse haciendo girar un vector en el plano complejo, con una velocidad angular de ω rad/s y proyectando la trayectoria seguida por el extremo del vector sobre cualquiera de los dos ejes.

( )ϕω += tFtf cos2)(


…

Un vector de amplitud unidad y ángulo Φ, según la identidad de Euler, equivale en el plano complejo a la exponencial: e jΦ =cos Φ + j sen Φ.

Así, proyectando sobre el eje real se obtiene la función coseno y proyectando sobre el eje imaginario se obtiene la función seno.

Hacer que el vector gire a velocidad constante consiste en sustituir Φ= ωt+ φ, siendo φ el ángulo de fase inicial.


…

La onda sinusoidal se puede expresar en función de la exponencial compleja:

Siendo la función que devuelve la parte real de un número complejo.

El término exp(j ωt), que origina el giro en el plano complejo, es común a todas las ondas sinusoidales, ya sean excitaciones o respuestas, por lo que no aporta información útil. Separando este término de los demás en la expresión anterior se obtiene:

Siendo F F F F = F e j φ = F(cos φ + j sen φ) y se conoce como fasor asociado a la onda sinusoidal.

{ })(2)( ϕω +ℜ= tjFetf{ }ℜ

{ } { } { }tjtjjtj eeFeFetf ωωϕϕω ⋅ℜ=ℜ=ℜ= +F222)( )(


FasorFasor : es un número complejo ordinario cuyo módulo representa el valor eficaz de la onda sinusoidal y el argumento coincide con el desfase de la onda.

Se suele representar en forma de coordenadas polares como:

FFFF=Fφ

La utilidad de los fasores para el análisis de circuitos en corriente alterna proviene de dos propiedades básicas de la función :

• LinealidadLinealidad : dados dos números complejos Z1 Z2 y dos escalares a1 y a2 se cumple que:

•• IntercambiabilidadIntercambiabilidad con la función derivada: para un complejo Z que es función del tiempo se cumple que:

{ }ℜ

{ } { } { }21

ZZZZ ℜ+ℜ=+ℜ 212211 aaaa

{ } { }dtd

dt

d ZZ ℜ=ℜ


De la linealidad de la función RRRR( ) se deriva que las leyes de Kirchhoff se cumplen para las intensidades complejas (fasor) y para los voltajes complejos (fasor).

De la intercambiabilidad se concluye que el fasor asociado a la derivada de una onda sinusoidal se obtiene simplemente multiplicando por jω el fasor de la onda original. Esto es, las derivadas en el dominio del tiempo s convierten en multiplicaciones por jω cuando se trabaja con fasores.

∑ = 0kI ∑ = 0kV


RESPUESTA EN ALTERNA DE LOS ELEMENTOS BRESPUESTA EN ALTERNA DE LOS ELEMENTOS B ÁÁSICOS.SICOS.





LEY DE OHM EN ALTERNA: IMPEDANCIA Y ADMITANCIA COMP LEJAS.LEY DE OHM EN ALTERNA: IMPEDANCIA Y ADMITANCIA COMP LEJAS.

Estudiamos un circuito lineal monopuerta que no contiene en su interior fuentes independientes.

Al aplicar a este circuito una tensión (o una intensidad) sinusoidal, la respuesta en régimen permanente también será sinusoidal.

Si el circuito solo consta de elementos estáticos, el teorema de Thévenin nos dice que:

… que conocemos como resistencia.

Si intentamos aplicar la Ley de Ohm a circuitos con elementos dinámicos nos encontramos con problemas… carece de sentido aplicar la ley de Ohm en el dominio del tiempo a circuitos dinámicos.

Utilizando fasores se simplifican este tipo de cálculos. Generalizando la Ley de Ohm para circuitos en corriente alterna podemos decir que:

Rti

tv =)()(

)(ωZI

V =


Z será la Impedancia compleja, en función de ω.

Esta impedancia es una generalización de la resistencia y se expresa en ohmios.

La impedancia compleja para los distintos elementos es:

Resistencia: R

Inductancia: Lωj

Condensador: -j/Cω

Resulta útil ademas, sobre todo a la hora de asociar elementos, expresar las impedancias, y las admitancias, en forma de coordenadas rectangulares:

Z(ω)=R(ω) + j X(ω)

La parte real se denomina Resistencia y la parte imaginaria Reactancia .



IMPEDANCIAS Y ADMITANCIAS DE DIPOLOS PASIVOS BIMPEDANCIAS Y ADMITANCIAS DE DIPOLOS PASIVOS B ÁÁSICOSSICOS

RESISTENCIARESISTENCIA


BOBINABOBINA



CONDENSADORCONDENSADOR


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