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1
9 Rotation
Klausur zur VorlesungDienstag 10.2.2009
Alte Bibliothek
2
Bogenmaß und Raumwinkel
radrl 1=Θ⇒=
rad 0.1751rev 0.159rad 1
3.57 2
360rad 1
=°=
°≈°
=π
Eine Verschiebung entgegen dem Uhrzeigersinn ist positiv,
eine im Uhrzeigersinn negativ
Θr
dimensionslose Einheit Steradian (sr)
57.12²14²4gelEinheitskuder Oberfläche
=⋅= ππr
Zweidimensional l
Dreidimensional
3
Winkelgeschwindigkeit
mittlere Winkelgeschwindigkeit
00 , tΘ 0Θ−Θ=ΔΘ
t,Θ
tΔΔΘ
=ω
0ttt −=Δ
Θ=ΔΔΘ
=→Δ dt
dtt 0
limω
instantane Winkelgeschwindigkeit
Einheit der Winkelgeschwindigkeit[rad/s]
Da die Winkelgeschwindigkeit über die Änderung des Winkels bestimmt wird rotiert jeder Punkt auf dem Rad mit derselben Winkelgeschwindigkeit!ωFerrari = ωPink Panther
ΔΘ
4
WinkelgeschwindigkeitZusammenhang zur linearen Geschwindigkeit
P
xO
ωr
rdtdr
tr
dtdl
tr
tl
rl
t
=
Θ=Θ
→ΔΔΘ
==
ΔΔΘ
=ΔΔ
=
Θ=
→Δ
v
v
v
0&
lΔ
ΔΘ
r
vr
ωr
ω in Einheiten von rad
Θ=Θ
= &dtdω
Definition
Obwohl Winkelgeschwindigkeit für jeden Punkt auf dem Rad identisch ist, ändert sich
die lineare Geschwindigkeit mit dem Abstand zum Zentrum.
Das bestätigt unsere tägliche Erfahrung!
5
Graphische Darstellung
WinkelΘ(t)
Winkelgeschwindigkeitω(t)
ω>0Drehung im
Uhrzeigersinn
ω <0Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn
Zeit tZeit t
Rotation im Uhrzeigersinn
( ) ²25.06.00.1 ttt +−−=Θ
6
Winkelbeschleunigungkonstant
mittlere Winkelbeschleunigung
00 , tω0ωωω −=Δ
t,ω
tR ΔΔ
=ωα
0ttt −=Δ
ωωαdtd
ttR =ΔΔ
=→Δ 0
lim
instantane Winkelbeschleunigung
Einheit der Winkelbeschleunigung[rad/s²]
Da die Winkelbeschleunigung über die Änderung der Winkelgeschwindigkeit definiert ist, erfährt jeder
Punkt auf dem Rad derselbe Winkelbeschleunigung
7
Cargolifter
Justage des Schubs durch Änderung der Rotationsgeschwindigkeit der Rotoren
8
WinkelbeschleunigungZusammenhang zur linearen Beschleunigung
P
O
tana
Zentripedalbeschleunigungwächst mit dem Abstand r zur
Drehachse
R
t
ra
rdtdr
tr
ta
α
ωωω
=
=⇒ΔΔ
=ΔΔ
=→Δ
tan
0
tanv
&
tangentiale Komponente
radR aa rrr+= tanα
( ) rrrarad ²
rv² 2
ωω===
radiale Komponente Zentripedalbeschleunigung
Ra
Vektoraddition
Diese Gleichungen geben den Zusammenhang zwischen den Winkelgrößen und den linearen Größen an.
ωr=v Rra α=tanrarad ²ω=
ωω
ωω
&&&
&
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ
=Θ
=Θ
=
dtd
dtd
dtd
dtd
dtd
2
2
Definition
konstant Rα
Betrag der Geschwindigkeit ändert sich
Richtung des Geschwindigkeitsvektor ändert sich
9
Zusammenhang zu linearer Bewegunggilt nur für konstante Winkelbeschleunigung
( )
2
²21
212²
²21
0
0
00
20
00
0
ωωω
αω
ωω
αωω
αω
αωω
+=
−=Θ−Θ
+=Θ−Θ
Θ+=
+=Θ−Θ
+=
tt
t
tt
t
R
R
R
( )
( )
2vvv
²21v
vv212v²v
²21v
vv
0
0
00
020
00
0
+=
−=−
+=−
−+=
+=−
+=
attxx
txx
xxa
attxx
at
RotationsbewegungLineare Bewegung αω
⇔⇔
Θ⇔
avx
ωωωωω
==Θ=
t0
0
0=Rα
0Θ−Θ
ω
Rα
t
0ω
unbekannte Variable
0xx −
v
a
t
0v
unbekannte Variable
vvvvv
0
0
===
tx0=a
ohne Beweis
10
Anglerglück
Winkelbeschleunigung 100 rad/ s² für 2 Sekunden (Radius 50 mm)
( )s
rad 200s 2s²
rad 1000
thwindigkeiWinkelgesc
0
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
+=
ω
αωω tR
50 mm
( )sm 10
srad 200m 0.05v
vrAngelschnuder gkeit Geschwindi
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
= rω( )
rev 8.31rad 2
rev 1rad 200
rad 200s 2s²rad 100
210
21
Rolleder Drehungen der Anzahl
2
20
==Θ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=Θ
+=Θ
π
αω tt R
11
Diskuswurf
Diskobolos 450 v Chr.
( )
( )
gaa
ra
ra
radR
rad
R
10s²m98
sm800.8m
srad10
sm40
srad500.8m
22tan
22
2tan
≈=+=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
α
ω
α
s²rad50
hleunigungWinkelbesc
=Rα
r=80 cm
srad10
thwindigkeiWinkelgesc gewählte
=ω
12
Air CanadaVince Carter‘s Windmill Slam Dunkies
270 Grad Rotation des Baseballs
Masse Baseball 0.624 kg
Armlänge 0.85 m
0.14 s für 3/4 Rotation
Zentripedalbeschleunigung des Baseballs
( )( )sm28.6
s 0.14m 0.8575.0 2v
Baseballs desRotation 270
2v
3/4 ==
°
=
π
tπ r
mittlere Geschwindigkeit des Baseballs
Kraft, die Vince Carter aufbringen muss, um den Baseball auf der Bahn zu halten
( ) N 600sm3.962kg 0.624 2 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=cF
gr
arad 10sm3.962
m 0.85sm28.6
v2
2
2
≈=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
==
13
14
Propellerdesign
Geschwindigkeit der Flügelspitzen maximal 300 m/s (90 % Schallgeschwindigkeit)
srad250
s 60min 1
revrad 2
minrev2400
=
=
ω
πω
m 1.16s
rad251
sm75
sm300vv
vvvv
max
2F
2res
max
22max
2F
2P
2F
2res
=
−=
−=
⇓
+=+=
r
r
r
ω
ω
Maximaler Radius des Propellers
Winkelgeschwindigkeit
Beide Geschwindigkeitskomponenten müssen vektoriell addiert werden
( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⋅=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
=
! s²m107.2
m 1.16s
rad250
4
2
2
mFa
a
ra
rad
rad
rad ω
Beschleunigungswerte an der Flügelspitze
leichtes, stark belastbares Material gefragtz.B. Aluminiumlegierung
15
Informationspeicher
srad 2
s rev 1 π
= ff πωπ
ω 22
=⇔= Einheit der Frequenz f [1 Hz=1 rev/s=1s-1 ]
Frequenz
Periodef
T 1=
Festplatte 3,5 Zoll (=88.9 mm)
7200 rev/sTransfer 100 MB/s
srad740
60s/minrev/min 7200
rev rad 22
=
==
ω
ππω fr=3 cm
( )
( )
nm 222bit/s10
22.2m/ss²m16430
srad7400.03m²
sm22.2
srad7400.03mv
8
2
<=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
Bit
rad
l
ra
r
ω
ω
Soviel Platz braucht eine Informationseinheit auf der
Festplatte
16
Rechte-Hand-Regel
Die Drehachse einer rotierenden Scheibe definiert einen Vektor ω, der den Geschwindigkeitsvektor der Drehbewegung repräsentiert
Rechte Hand Regel
Drehrichtung Zeigt der Daumen der rechten Hand in
Richtung von ω, dann zeigen die Finger die
Drehrichtung an.
Richtung des GeschwindigkeitsvektorsDie Länge von ω ist ein
Maß für die Größenordnung der
Winkelgeschwindigkeit
Der Vektor zeigt nicht in Richtung der Bewegung. Deshalb ist die Notation
etwas gewöhnungsbedürftig. Statt dessen rotiert der Körper um die Vektorachse.
diese Achse ist ausgezeichnet
17
Sind die Winkelgrößen Vektoren?
xO
Θr
Sowohl der Vektor der Winkelgeschwindigkeit (ω) als auch der der Winkelbeschleunigung (α) erfüllen die
Regeln der Vektoraddition.
Richtung OK
Betrag OK
Dies gilt nicht für den Winkel Θ!
barr
+ ab rr+
abba rrrr+=/+
18
Kinetische Energie der Rotation
∑=
=n
iiiL mKE
1
2v21
( ) 2
1
2
1
2
21
21 ωω ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛== ∑∑
==
n
iii
n
iiiR rmrmKE
Dieser Term gibt an, wie die Masse des Rotationskörpers verteilt ist
Definition
Trägheitsmoment
∑=
=n
iiirmI
1
2
2
21 ωIKER =
Rotationsenergie eines massiven Körpers
2riii mm ⇒
²v2i ω⇒
∫= dmrI ²
Kinetische Energie der Translationeines massiven Körpers
kontinuierliche Massenverteilungz.B. Bumerang
Zusammenhang zu den linearen Größen
Ansatz: Man ersetze die linearen Größen durch die entsprechenden Größen bei der Beschreibung der Rotation
rω=vRotation
etwas anders sortiert
System von Massenpunkten
19
Rotation
Masse in der Nähe der Rotationsachsegeringes Trägheitsmoment
leicht in Rotation zu versetzten
Masse weiter entfernt von Rotationsachsegrößeres Trägheitsmoment
schwerer in Rotation zu versetzten
20
Berechnung von Trägheitsmomenten
Homogener Ring mit Masse M auf dem Radius R
Drehachse z
Drehachse z
∫∫ === 22² MRdmRdmrI
Scheibe mit Masse M gleichmässig verteilt bis Radius RErwartung: das Trägheitsmoment is geringer
Wähle Ringe mit Masse dm auf dem Ring mit Radius r mit Dicke dr
Fläche eines Ringsegments
rdrdA π2=
Fläche der Scheibe2RA π=
rdrAMdA
AMdm π2==
242020 2
1412³22²² MRR
RMdrr
RMrdr
AMrdmrI
RR=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛==== ∫∫∫ π
ππ
!!!
21
TrägheitsmomenteRotation unterschiedlicher Körper
22
121
41 MLMRID +=
2
2
2
2
2
2
621
21121
2141
RL
MR
ML
MR
MR
II
C
D +=+=
LR
RL
RL
31
621
6211
2
2
2
2
=
=
+=
Gleiches Trägheitsmoment für beide DrehachsenWie ist dann das R/L Verhältnis ?
22
Noch mehr TrägheitsmomenteFliehkraftregler
Beim Fliehkraftregler nutzt man aus, dass durch die schnellere Drehung die Gegengewichte auf einen größeren
Radius gebracht werdenResultat: Das Trägheitsmoment vergrößert wird.
Beispiel Astrophysik
23
Kosmische Leuchttürme
( )m² kg 105.76
m10kg0144.152
52
m³kg10
km 01
37
2430
2
15
⋅=
⋅⋅=
=
=
=
NS
NS
NS
NS
NS
I
I
MRI
R
ρ
Pulsare sind schnell rotierende Neutronensterne 1.44 bis 3 Sonnenmassen
Durchmesser 10 km, 1000 rev/s
Durch Abstrahlung on Energie in Form von Licht verliert der Stern Rotationsenergie
Pulsar im Krebsnebel
vom Pulsar beleuchtetes Gas
24
JoJoMaxwellsches Rad
Maxwellsches RadPotentielle Energie
Translationsenergie und Rotationsenergie
Elastische EnergieTranslationsenergie und RotationsenergiePotentielle Energie... etc ...
2CM
2
CM22CM
22CM
v23
v21
21v
21
21v
21
MKE
RMRMKE
IMKE
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
+= ω
MghPE =
2
CM
21
Rv
MRI =
=ω
gh
MMgh
KEPE fi
34v
v43
CM
2CM
=
=
=Geschwindigkeit am tiefsten Punkt
Zum Vergleich fallender Stein
gh2vCM =
1/3 der potentiellen Energie wird in Rotationsenergie umgewandelt
25
Körper auf schiefer Ebene
Welche Beschleunigung erfahren die beiden Körper?
Θh
RD 2=
s
2
2222 v
21v
21
21v
21
RImImmgh +=+= ω
⇒+
=
⇓
²
2²v
RIm
mgh
( )020
2 2vv xxa −+=
²
sin
²
22
RIm
mga
RIm
mghas
+
Θ=
⇓
+=
Θ=
=
sin21
²
ga
mRI
R
R
Zylinder
Θ=
=
sin32
²21
ga
mRI
S
S
Rohr
Lösung unabhängig von Masse und Radius
geringere Beschleunigung, da Masse auf dem Mantel
Rv
=ω
Zylinder
26
Bremsen
Drehbewegung obwohl Reibungskräfte nur in der Ebene angreifen?