PEMBELAJARAN MATEMATIKA KELAS XII IPS SMA N 1 PTK
MATERI INTEGRAL1.Standar Kompetensi : Menggunakan Integral dalam
Pemecahan Masalah Sederhana 2. Kompetensi Dasar : Memahami konsep
Integral tak tentu dan integral tentu 3.Tujuan Pembelajaran
:Diharapkan siswa dapat : 1.Merancang aturan integral dari aturan
turunan 2. Menentukan integral taktentu dari fungsi aljabar
sederhana 3. Menentukan rumus dasar integral taktentu
Perhatikan tabel berikut:
Pendefrensialan F(x) Pengintegralan3x2 3x2 + 3 3x2 - 5 3x2 + 5
6x 6x 6x 6x
F(x)
Jika konstanta 3,-5 dan 5 adalah C ,maka fungsi F(x) = 3 x2 + C
, dengan notasi integral dapat di tulis maka 1.2. Integral dari
a.
f ( x ) dx ! F ( x ) C
6 xdx ! 3 x 2 C
4 xdx b. 3 x dx c.2
= = =
2x2 C
x3 Cx4
4 x 3 dx
Dengan mengamati keteraturan atau pola fungsi di atas ,jika
koefisien x adalah a dan pangkat dari x adalah n, maka secara umum
dapat di simpulkan
a n 1 ax dx ! n 1 x Cn
dengan n bilangan rasional dan n { 1
Tentukan hasil dari :
a.
2 x 2 dx
c.
2 x 3 dx
e.
2 dx
b.
4 x 5 dx
d.
xa n 1
x dx
Jawab : 2 a.
ax n dx = 2 x dx =
x n 1 C
= =
2 2 12 3
x 2 1 C
x3 C
b.
4 x 5 dx
=
ax n dx
=
a n 1
x n 1 C
= = =
4 5 1
x 51 C4 6
x6 C
2 3
x6 C
c.
2 x 3 dx
= =
2 3 1
x
3 1
C
x 2 C1 3 1 2
d.
x x dx
= =
x5 2
3 2
1
C
15 2
x
C
=
2 5
x
2
x C
e.
2 dx
! 2 x C
Tentukan integral-integral tak tentu dari :a. b.
4 xdx
f.3
xx5
2 3
dx 3 4
5
4 x dx
g. h.
dx
c.
x 7 dx
x 4 dx2 x2
d.
6x
11
dx
i.
7
dx
e.
3 dx 4 x
j.
3x
2 3
dx
Ingat Bilangan eksponen :
1.
1 a n1 x 3
!a
n
2.3
m
a !a
n
n m3 5
!x
5
x3
!x1
3. 3.a
am ! a mn an3 x 5
3.b5
3x 5 6 x 3 3x3
= 3 .3 =
1
x 5 . x 3 2 . 3 1. 3 1 x 3 . x 3
= 3x
x 2 2x 0 x2 2 =
4.
a p .a q ! a p qx23
4.a 4.b
x
2
!x x2 3
2 3 2 5
x3 5 x 2
!x x
! x ! x ! x 17 3 2 32 5 5 !x !x ! x52 2 3
22 3
8 3
Jawaban : a.
4 xdx
=
4x C=
e.
3 dx 4 x
= = =
3 x 4 dx
b.
4 x 3 dx7
x4 C
3 4 1
x 4 1 C
c.
x dx6 x 11 dx
x 3 C1 2 1 31
=
1 7 11 8
x 7 1 C8
=
x
C
f.
x
2 3
dx
=
x C12 3
2 1 3
= = =6 1116 12
d.
x111 C=3 5
5 3
x C
x 12 C
x3 x 2 C
=
1 2
x12 C
g.
53 x 4
dx
= = = =
5x dx3 4
h.
5
x dx
4
= = = =
x dx5 4 1 5
4 5
5 3 1 457 4
x13 4
3 1 4
C
x
4 1 5
C
x Cx4 x3 C2 7
59 5
x
14 5
C
20 7
25 9
x5 x 4 C3 2 1 3 31 3
i.
27
x
2
dx == = =
2x2 2 1 7 25 7
dxj.2 7 1
3x
2 3
dx
= =
x
2 1 3
C
x5 7
C
x Cx5 C
x C
1 3
14 7 5
=
93 x1 C
1.3. Menentukan Rumus Dasar Integral :Perhatikan kasus berikut :
= 2x + C Kasus.1 Jika 2 = a maka 1.a 1.b Kasus.2 2.a 2.b Kasus.33 4
x dx
= 2x + C dapat ditulis menjadi Jika a = 1 maka
dx
! xC
ax n dx !
a x n 1 C n 1 1 x n dx ! x n 1 C n 1
Jika a = 1 maka
!
4 31
x
31
C
=
x
4
Cx4
4 x 3 dx
! 4 ( 31 1 x 3 1 ) C ! 4 ( =
1 4
) C
x
4
C
Kesimpulan kasus 34 x 3 dx
=
4 x 3 dx
Jika 4 = k dan 3.a
x 3 ! f ( x)=
maka dapat disimpulkan
kf ( x ) dx
k f ( x) dx
Contoh : = 20 = 20 [( 41 1 ) x 4 1 ] C 5 = 20 [( 1 ) x ] C 5
=
4x5 C
3.b
( f ( x) s g ( x))dxContoh.1 :
= =
f ( x)dx s
g ( x)dxC = C1+C2++Cn
( x ) s G ( x) C
( 4 x 3 4)dx
= = = =
4 x 3 dx + 4 x 3 dx
4 dx4 dx
+
4[( 31 1 ) x 31 C1 ]
+
4( x C2 )
x 4 4C1 + 4 x 4C2
x 4 4 x + 4C1 4C 2 ==
x4 4x + C
Contoh.2 :
(3x 3 2 x)dx
= =
3 x 3 dx 3 4
x2
2 xdx+ C
x4
-
Contoh.3 :
( x 2) 2 dx
= =
( x 2 4 x 4)dx 1 3
x3 2x2 4x C
Contoh.4:
x2 2x dx x
=
( x 2)dx1 2
=
x 2 2x C
Tentukan hasil integral tak tentu berikut ! a. b. c.d.
(2 x 1)dx( 2 3 x ) 2 dx
x2 x
dx
( x 2) 2 x x
dx
e.
x(
x 2) dx
a.
(2 x 1)dx
=
2 xdx dxx2 x C(4 12 x 9 x 2 ) dx
= b.
(2 3 x)
2
dx
= =
4x 6x2 3x3 C
c.
x2 x
dx
= =
(x1 2
1 2
1
2 x )dx1
2
x dx 2 x2 3
2
dx
=
x x 4 x C
d.
( x 2) 2 x x
x2 4x 4 )dx dx = ( x x
= =
(x2 3
1 2
4x 4x
1 2
11 2
)dx
x x 8 x
8 C x
e.
x(
x 2) dx
= = =
(x
x 2 x )dx11 2
(x2 5
2 x)dx
x2 x x2 C
1.4. Integral substitusi Jika u = g(x) dengan g adalah fungsi
yang mempunyai turunan Maka f(u) = f(g(x)) Turunan u = du = =
Turunan g(x)= g(x)
f (u )duf ( u ) du
f ( g ( x)) g ' ( x)F (u ) C
f ( g ( x)) g ' ( x)
= F ( g ( x )) C
f (u )du
=
f ( g ( x)) g ' ( x)
=
F ( u ) C = F ( g ( x )) C
Contoh :2 6 Carilah hasil integral dari (2 x 5)( x 5 x 14)
dx
Jawab :
(2 x 5)( x
2
5 x 14 ) dx6
=
( x 2 5 x 14) 6 (2 x 5)dx ( 2
Missal
u! udu !2
maka turunan = = =
( 2 x 5) dx
(x
5 x 14)6 ( 2 x 5) dx
1 7
u 6 du
u7 C
2 7 = 1 ( x 5 x 14) C 7
Contoh : Tentukan integral dari Jawab :
x 3 4 .x 2 dx
x 3 4 .x 2 dx
Misal
u!
2 , maka du ! 3 x dx x 4
3
x 2 dx
=
1 3
du
Jadi,
x 3 4 .x 2 dx
u= =
1 3
du
u 1 du 3 1 1 u 2 du 3 1 32 32 9
=.
u C33 2
3 2
=
( x 4) C
=
2 9
( x 3 4) x 3 4 C
Contoh : Tentukan integral dari Jawab : Misal
( 3 x 2 4 ) dx ( x 3 4 x)3
u ! x 3 4 x du ! (3 x 2 4)dx(3x 2 4) ( x 4 x)3 3
dx !
!
du (3 x 2 4 )
dx
du (3x 2 4)
(3x 2 4) ( x 3 4 x)3
dx
du u3
!
(3 x 2 4) u3
!
du u3
! u
3 2
du
! ! ! !
1 3 1 2
u
3 1 2
C
2u
1 2
C
2 C u2 ( x 4 x)3
C
SILAHKAN DICOBA HALAMAN 19 NO. 1 SD 8 SUPAYA ANDA LEBIH PANDAI
AMIIIN
TERIMAKASIH ANDA TELAH BELAJAR
