PENENTUAN NILAI EIGEN TAK DOMINAN

SUATU MATRIKS DEFINIT NEGATIF

MENGGUNAKAN METODE KUASA INVERS DENGAN SHIFT

Skripsi

untuk memenuhi sebagian persyaratan

mencapai derajat Sarjana S-1

Program Studi Matematika

diajukan oleh

Hanifah Nurlatifah

08610042

Kepada

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UIN SUNAN KALIJAGA

YOGYAKARTA

2012

ii

iii

iv

v

KATA PENGANTAR

Puji Syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah

melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat melaksanakan dan

menyusun skripsi ini dengan baik. Salawat dan salam semoga selalu tercurahkan

kepada pahlawan sepanjang masa, Nabi Muhammad Saw yang begitu banyak

berjasa bukan hanya untuk umatnya di zamannya, namun juga pengikutnya hingga

saat ini.

Penyusunan skripsi ini dimaksudkan untuk memenuhi sebagian persyaratan

guna memperoleh gelar Sarjana Program Studi Matematika. Skripsi ini berisi

mengenai pembahasan cara menentukan nilai eigen tak dominan suatu matriks

definit negatif menggunakan Metode Kuasa Invers dengan shift. Penulis

menyadari bahwa tanpa bantuan, bimbingan dan motivasi dari berbagai pihak,

laporan skripsi ini tidak dapat selesai dengan baik. Oleh karena itu ucapan terima

kasih disampaikan sebesar-besarnya kepada :

1. Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan

Kalijaga Yogyakarta.

2. Ketua Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta.

3. M.Wakhid Musthofa, M.Si selaku pembimbing yang telah meluangkan

waktu untuk membantu, memotivasi dan mengarahkan sehingga skripsi ini

dapat terselesaikan.

vi

4. Mochammad Farhan Qudratullah, M.Si selalu Penasihat Akademik yang

telah meluangkan waku untuk membantu dan mengarahkan selama

menempuh studi juga segenap dosen dan karyawan Fakultas Sains dan

Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta.

5. Teman-teman Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri

Sunan Kalijaga Yogyakarta terutama teman-teman seperjuangan

”Matematika 2008” yang selalu mmberikan semangat dan motivasi.

6. Kepada yang tak akan terlupakan Apa, Mamah (Almh.) dan kakak-kakak

sebagai sumber inspirasi serta menjadi menjaga agar tetap semangat.

7. Nabiel Karamy, yang tak bosan menemani dan menjadi alasan

terselesaikannya skripsi ini juga tak lelah membantu untuk bangkit

kembali, jangan pernah lelah dan putus asa.

Semoga Allah SWT berkenan membalas kebaikan dengan segala pahala

yang berlipat ganda. Hanya kepada Allah penulis menyembah dan memohon

ampunan atas segala kekurangan dan kekhilafan. Semoga skripsi ini bermanfaat

bagi pembaca pada umumnya dan penulis khususnya.

Yogyakarta, 7 Mei 2012

Penulis

vii

PERSEMBAHAN

Skripsi ini penulis persembahkan untuk :

1. Apa dan Mamah (Almh.) yang telah membesarkan,

mendidik dan selalu mendoakanku.

2. Kakak-kakakku yang selalu memberi motivasi dan

semangat.

3. Dosen-dosen yang telah memberikan ilmu dan

pengetahuan kepadaku.

4. Almamater seperjuangan Prodi Matematika Fakultas

Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan

Kalijaga Yogykarta.

viii

MOTTO

“Nuun, demi pena dan apa yang mereka tuliskan”

(Q.S. Al-Qalam : 1)

“Anything is Possible if You Really Want to “

ix

DAFTAR ISI

Halaman Judul ……………………………………………………………. i

Halaman Pengesahan Skripsi/Tugas Akhir ……………………………….. ii

Surat Persetujuan Skripsi/Tugas Akhir …………………………………… iii

Surat Pernyataan Keaslian Skripsi ………………………………………... iv

Kata Pengantar ……………………………………………………….…… v

Persembahan ……………………………………………………………… vii

Motto ……………………………………………………………………… viii

Daftar Isi ………………………………………………………………….. ix

Daftar Bagan ……………………………………………………………… xiii

Daftar Lambang dan Singkatan …………………………………………... xiv

Abstraksi ………………………………………………………………….. xvi

BAB I Pendahuluan ………………………………………………………. 1

1.1. Latar Belakang ……………………………………………………. 1

1.2. Batasan Masalah …………………………………………………... 3

1.3. Rumusan Masalah ………………………………………………… 3

1.4. Tujuan Penelitian ………………………………………………….. 4

1.5. Manfaat Penelitian ………………………………………………… 4

1.6. Tinjauan Pustaka ………………………………………………….. 4

1.7. Metode Penelitian ……………………………………………….… 5

BAB II Dasar Teori ……………………………………………………….. 6

2.1. Matriks dan Operasi Matriks ……………………………………… 6

x

Definisi 1.1. Matriks ……………….…….………………………... 6

Definisi 1.2. Penjumlahan Matriks ..………………………………. 6

Definisi 1.3. Perkalian Matriks dengan Skalar …..……...……........ 6

Definisi 1.4. Perkalian Dua Matriks ……..……………………....... 7

Definisi 1.5. Transpose Suatu Matriks ……………………………. 8

Definisi 1.6. Matriks Persegi ………………...…….……………... 8

Definisi 1.7. Matriks Simetri …………….……...………………… 8

Definisi 1.8. Matriks Segitiga Atas ……………………………….. 9

Definisi 1.9. Matriks Segitiga Bawah …………………………….. 9

Definisi 1.10. Matriks Identitas …………………………………… 9

Definisi 1.11. Invers Suatu Matriks ……...……………………...... 9

Definisi 1.12. Matriks Kolom …………………..………………… 10

2.2. Operasi Baris Elementer …………………….…………………….. 11

2.3. Matriks Elementer dan Metode untuk Mencari A-1

……………….. 13

Definisi 3.1. Matriks Elementer ………….……………………...... 13

Metode 3.2. Mencari A-1

…………………………………………... 13

Teorema 3.3..…………………………...………………………….. 14

Teorema 3.4.…………………………...…………………….…….. 16

2.4. Vektor ……………………………………………………………... 16

Definisi 4.1. Vektor ………...……………..………………………. 16

Definisi 4.2. Vektor Kolom...……………………………………… 17

Definisi 4.3. Vektor Hampiran Awal …..…………………………. 17

2.5. Ruang Vektor ……………………………………………………... 17

xi

Definisi 5.1. Ruang Vektor .. ……………………………………... 17

2.6. Ruang-n Euclidis ………………………………………………….. 18

Definisi 6.1. Ruang-n Euclidis ……………………………………. 18

Definisi 6.2. Hasil Kali Dalam Euclidisn …………………………. 19

2.7. Ruang Hasil Kali Dalam ………………………………………….. 19

Definisi 7.1. Ruang Hasil Kali Dalam ….…………………………. 19

Definisi 7.2. Panjang Vektor di Ruang Hasil Kali Dalam ………… 21

2.8. Nilai Eigen dan Vektor Eigen …………………………………….. 21

Definisi 8.1. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ……..………………... 21

2.9. Nilai Eigen Tak Dominan ………………………………………… 22

Definisi 9.1. Nilai Eigen Tak Dominan …………………………… 22

2.10. Bentuk Kuadrat …………………………………………………… 23

Definisi 10.1. Bentuk Kuadrat …………………………………….. 23

2.11. Matriks Definit Negatif …………………………………………… 24

Definisi 11.1. Matriks Definit Negatif ….………………………… 24

Teorema 11.2. ………………………..……………………………. 24

2.12. Dekomposisi-LU ………………………………………………….. 25

Definisi 12.1. Dekomposisi-LU ………..…………………………. 25

Teorema 12.2. ………………………...…………………………… 32

BAB III Pembahasan ……………………………………………………... 34

3.1. Teorema Gerschgorin …………………………………………….. 34

3.2. Kuosien Rayleigh …………………………………………………. 37

3.3. Analisis Galat ……………………………..………………………. 37

xii

3.4. Metode Kuasa Invers dengan Shift ……………………………….. 38

Definisi 4.1. Metode Kuasa Invers dengan Shift ……..…………… 38

Algoritma 4.2. Metode Kuasa Invers dengan Shift ……..………… 39

3.5. Penentuan Nilai Eigen Tak Dominan Matriks Definit Negatif

Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift ………………... 40

BAB IV Penutup… …………………………………………………..…… 76

4.1. Kesimpulan ……………………………………………………….. 76

4.2. Saran ………………………………………………………………. 77

Daftar Pustaka ……………………………………………………………. 78

xiii

DAFTAR BAGAN

Bagan 3.1 ………………………………………………............................... 42

xiv

DAFTAR LAMBANG DAN SINGKATAN

ija = entri dari matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j

iia = entri dari matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-i

ri = radius/jari-jari dari matriks A pada baris ke-i

n x n = ukuran atau orde dari suatu matriks, yaitu n baris dan n kolom

m x n = ukuran atau orde dari suatu matriks, yaitu m baris dan n kolom

m x r = ukuran atau orde dari suatu matriks, yaitu r baris dan n kolom

I = matriks identitas

AT = transpose dari matriks A

A-1

= invers dari matriks A

= = sama dengan

= tidak sama dengan

= lebih besar sama dengan

= kurang dari sama dengan

= harga mutlak

= panjang vektor

1 = panjang vektor-1

= himpunan bilangan real

n = himpunan semua bentuk 1 2, ,..., nx x x dengan ,ix

1,2,...,i n

xv

= himpunan bilangan kompleks

= himpunan bilangan bulat

= nilai eigen

,u v = hasil kali dalam vektor u dan v

xT = transpose dari vektor x

k = rho digunakan untuk pendekatan nilai eigen tak dominan pada

iterasi ke-k

V = ruang vektor V

L = matriks segitiga bawah

U = matriks segitiga atas

Ri = baris ke-i dari suatu matriks, 1,2,...,i n

P = matriks permutasi yang dihasilkan karena pertukaran baris pada

operasi baris elementer

Rowi(A) = baris ke-i pada matriks A

ei = basis ke-i dari ruang vektor V

D = disk/cakram

= notasi sigma

= notasi gabungan

s = nilai shift

TOL = toleransi maksimal nilai galat

= nilai galat/error relatif

xvi

PENENTUAN NILAI EIGEN TAK DOMINAN

SUATU MATRIKS DEFINIT NEGATIF

MENGGUNAKAN METODE KUASA INVERS DENGAN SHIFT

ABSTRAKSI

Hanifah Nurlatifah

NIM. 08610042

Dalam matriks definit negatif A yang berukuran n x n dikenal istilah nilai

eigen tak dominan. Nilai eigen dari sebuah matriks definit negatif A dikatakan

nilai eigen tak dominan A jika nilai mutlaknya paling kecil dibandingkan dengan

nilai mutlak nilai-nilai eigen yang selebihnya. Penelitian ini membahas mengenai

matriks definit negatif yang berbentuk persegi n x n dengan entri-entri bilangan

real.

Dalam mencari nilai eigen tak dominan dari suatu matriks definit negatif A

yang berukuran n x n dapat menggunakan Metode Kuasa Invers dengan shift.

Nilai shift tersebut dapat diperoleh dari penerapan teorema Gerschgorin. Diakhir

penyelesaian akan didapatkan juga vektor eigen tak dominan. Adapun untuk

pendekatan nilai eigen tak dominannya dapat digunakan Kuosien Rayleigh.

Kata kunci : nilai eigen tak dominan, vektor eigen tak dominan, matriks definit

negatif, Metode Kuasa Invers dengan shift, teorema Gerschgorin, Kuosien

Rayleigh.

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian merupakan salah satu bagian

dari cabang ilmu matematika yaitu aljabar linear. Pembahasan nilai eigen dan

vektor eigen memegang peranan sangat penting dalam pengembangan teknologi

atau bahkan pengembangan teori dalam dunia keilmuan itu sendiri. Nilai eigen

dan vektor eigen banyak digunakan dalam permasalahan kehidupan. Namun

demikian, seringkali nilai eigen dan vektor eigen tersebut diabaikan dalam proses

pengembangan ilmu pengetahuan dan teknologi. Dengan demikian kualitas

pengembangan teknologi dan pengetahuan menjadi tidak dapat diperhitungkan

karena proses yang tidak memadai dalam pengembangan tersebut. Sehingga untuk

menemukan sebuah teori tanpa menyertakan nilai eigen dan vektor eigen

membutuhkan waktu yang lama yang membuat proses tersebut tidak efisien.

Dalam mencari nilai eigen dari suatu matriks n x n dapat digunakan

penyelesaian persamaan karakteristik. Penyelesaian persamaan karakteristik ini

akan menghasilkan nilai eigen dominan dengan vektor eigen yang bersesuaian dan

nilai eigen tak dominan dengan vektor eigen yang bersesuaian. Nilai eigen

dominan suatu matriks dapat ditentukan dengan menggunakan suatu metode yang

dikenal dengan metode pangkat atau metode kuasa, sedangkan untuk nilai eigen

tak dominan dapat ditentukan dengan menggunakan invers dari metode kuasa

2

tersebut, dimana matriks yang digunakan dicari inversnya. Metode ini disebut

Metode Kuasa Invers.

Selain Metode Kuasa Invers di atas, nilai eigen tak dominan dapat ditentukan

dengan menggunakan nilai shift yang diperoleh dari penerapan teorema

Gerschgorin. Nilai shift ini merupakan nilai pendekatan dari nilai eigen tak

dominan. Metode seperti ini disebut Metode Kuasa Invers dengan shift.

Perbedaan yang signifikan antara Metode Kuasa Invers dan Metode Kuasa

Invers dengan shift terletak pada banyaknya iterasi. Metode Kuasa Invers

memerlukan iterasi yang sangat banyak, seringkali enam atau tujuh iterasi atau

bahkan lebih dari tujuh iterasi, sedangkan Metode Kuasa Invers dengan shift

dikenal dengan metode yang sangat efisien, karena seringkali hanya tiga atau

empat iterasi. Terlepas dari perbedaan yang signifikan tersebut, antara Metode

Kuasa Invers dan Metode Kuasa Invers dengan shift sama-sama menghasilkan

hampiran nilai eigen tak dominan yang mendekati nilai eigen tak dominan eksak.

Metode Kuasa Invers dengan shift ini harus diketahui vektor eigen tak dominan

sehingga nilai eigen tak dominan dapat langsung ditentukan. Sedangkan dengan

perhitungan persamaan karakteristik nilai eigen tak dominan dan vektor eigen tak

dominan yang bersesuaian tidak dapat langsung ditentukan bersamaan, hanya nilai

eigen tak dominan yang dapat ditentukan. Oleh karena itu, maka untuk vektor

eigen tak dominan digunakan vektor hampiran awal. Melalui vektor hampiran

awal tersebut, pada akhir iterasi akan didapatkan nilai eigen tak dominan dan

vektor eigen tak dominan yang bersesuaian.

3

Meskipun dengan perhitungan persamaan karakteristik nilai eigen tak dominan

dan vektor eigen tak dominan yang bersesuaian tidak dapat langsung ditentukan

bersamaan, namun dengan adanya vektor hampiran awal, Metode Kuasa Invers

dengan shift ini dapat digunakan pada matriks definit positif. Dalam buku ”An

Introduction to Numerical Linear Algebra” (Charles G. Cullen, 1994) disajikan

beberapa contoh matriks definit positif beserta penggunaan Metode Kuasa Invers

dengan shift dalam menentukan nilai eigen tak dominan. Namun, tidak ada

satupun contoh matriks definit negatif. Hal ini membuat penulis tertarik untuk

menerapkan Metode Kuasa Invers dengan shift pada matriks definit negatif.

Bagaimana dengan matriks definit negatif, apakah masih dapat ditentukan nilai

eigennya bila menggunakan Metode Kuasa Invers dengan shift.

1.2. Batasan Masalah

Pembatasan masalah sangat penting dilakukan dalam suatu penelitian untuk

memfokuskan objek yang diteliti. Pembahasan penelitian ini dibatasi pada

masalah nilai eigen tak dominan pada matriks definit negatif dan menyediakan

metode untuk memecahkan masalah yang terkait, yaitu suatu metode yang

dinamakan metode kuasa invers dengan shift. Selain itu, pembahasan penelitian

ini juga mencakup definisi, pembuktian teorema-teorema dan sifat-sifat dari topik.

1.3. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah yang telah dijabarkan, maka

dirumuskan permasalahan sebagai berikut :

1) Bagaimana konsep dasar nilai eigen tak dominan dan nilai shift?

2) Bagaimana konsep dasar metode kuasa invers dengan shift?

4

3) Bagaimana cara menentukan nilai shift berdasarkan teorema Gerschgorin?

4) Bagaimana penggunaan metode kuasa invers dengan shift pada penentuan

nilai eigen tak dominan matriks definit negatif?

1.4. Tujuan Penelitian

Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah :

1) Mengetahui konsep dasar nilai eigen tak dominan dan nilai shift.

2) Mengetahui konsep dasar metode kuasa invers dengan shift.

3) Mengetahui cara menentukan nilai shift berdasarkan teorema Gerschgorin.

4) Menerapkan penggunaan metode kuasa invers dengan shift pada penentuan

nilai eigen tak dominan matriks definit negatif.

1.5. Manfaat Penelitian

Manfaat penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut :

a. Memberikan pengetahuan tentang nilai eigen tak dominan dan nilai shift.

b. Memberikan pengetahuan tentang metode kuasa invers dengan shift.

c. Memberikan pengetahuan tentang cara menentukan nilai shift berdasarkan

teorema Gerschgorin.

d. Memberikan pengetahuan tentang penggunaan metode kuasa invers

dengan shift pada penentuan nilai eigen tak dominan matriks definit

negatif.

1.6. Tinjauan Pustaka

Penulisan skripsi ini terinspirasi dari jurnal yang berjudul “Menentukan Nilai

Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa

Invers dengan Shift” (Yuli Andriani, Januari 2011). Jurnal ini menjelaskan

5

penggunaan metode kuasa invers dengan shift pada penentuan nilai eigen tak

dominan suatu matriks definit negatif. Jurnal yang ditulis Yuli Andriyani juga

menjabarkan tentang penerapan Kuesien Rayleigh yang memberikan nilai eigen

tak dominan perkiraan dan iterasi berhenti ketika nilai galat mendekati nilai eigen

tak dominan. Buku penunjang yang dijadikan referensi menyusun landasan teori

diantaranya ”An Introduction to Numerical Linear Algebra” (Charles G. Cullen,

1994), ”Linear Lgebra and It’s Application” (Gilbert Strang, 1988), serta buku-

buku lainnya sebagai penunjang landasan teori tentang topik ini.

1.7. Metode Penelitian

Penelitian skripsi dilakukan dengan cara studi literatur, yaitu penulis

mempelajari beberapa sumber tentang metode kuasa invers dengan shift dan

penggunaannya pada penentuan nilai eigen tak dominan matriks definit negatif.

Sumber data yang penulis gunakan dalam penulisan tugas akhir ini berupa buku,

makalah, catatan-catatan kuliah online, artikel, dan hasil penelitian lain yang

berhubungan. Tidak semua sumber data yang telah disebutkan, penulis jadikan

sebagai acuan secara langsung. Hanya sumber data berupa buku yang penulis

jadikan sebagai bahan acuan secara langsung, terutama yang berkaitan dengan

definisi dan contoh. Walaupun begitu, sumber-sumber data lain memberikan

warna tersendiri dalam penulisan tugas akhir ini.

76

BAB IV

KESIMPULAN

4.1. Kesimpulan

Berdasarkan hasil studi literatur tentang cara menentukan nilai eigen tak

dominan suatu matriks definit negatif dengan menggunakan Metode Kuasa Invers

dengan shift yang dilakukan penulis dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut :

1. Nilai shift dan galat maksimal sangat berpengaruh terhadap nilai eigen tak

dominan yang dihasilkan. Semakin nilai shift mendekati nilai eigen tak

dominan dan galat awal kecil, maka hampiran nilai eigen tak dominan

semakin mendekati nilai eigen tak dominan yang eksak serta galat akhir

semakin kecil pula dan sebaliknya.

2. Penggunaan Metode Kuasa Invers dengan shift untuk menentukan nilai

eigen tak dominan suatu matriks definit negatif akan lebih baik jika nilai

shift yang diperkirakan sangat mendekati nilai eigen tak dominan eksak.

Hal ini pun mempengaruhi jumlah iterasi yang dilakukan.

3. Berdasarkan teorema Gerschgorin diketahui bahwa nilai eigen tak

dominan harus berada pada cakram Di, dengan menggunakan definisi

11

: ( )n

i ii i ik i ii i

kk i

D z z a r a Row A a e dapat ditentukan

daerah nilai eigen tak dominan dari suatu matriks A, sehingga dapat

diperoleh nilai shift(s).

77

4. Metode Kuasa Invers dengan shift tidak hanya bisa digunakan pada

matriks definit negatif yang simetri, namun juga bisa digunakan pada

matriks definit negatif yang non-simetri.

4.2. Saran

Berdasarkan pada proses penelitian yang dilakukan tentang cara menentukan

nilai eigen tak dominan suatu matriks definit negatif dengan menggunakan

Metode Kuasa Invers dengan shift, maka saran-saran yang ingin disampaikan

penulis adalah :

1. Pembahasan tentang matriks definit negatif dapat dikembangkan kembali

misalkan dengan entri-entrinya adalah bilangan kompleks.

2. Penelitian ini dapat dikembangkan kembali misalkan dengan sasaran objek

adalah matriks semidefinit positif, semidefinit negatif atau bahkan

indefinit.

3. Penelitian ini dapat dikembangkan pula dengan penyelesaian

menggunakan program komputer, misalkan dengan software MATLAB,

MathChad, dsb.

Demikian saran-saran yang dapat disampaikan penulis. Semoga skripsi ini

dapat menjadi inspirasi bagi pembaca untuk mengembangkan lebih lanjut tentang

menentukan nilai eigen tak dominan dengan menggunakan Metode Kuasa Invers

dengan shift.

78

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H. dan Pantur Silaban, 1987, Aljabar Linear Elementer, Edisi kelima,

Erlangga, Jakarta.

Anton, H., Elementary Linear Algebra, 2000, Anton Textbook Inc, Ottawa.

Antoh, H., Dasar-dasar Aljabar Linear, 2000, Interaksara, Batam.

Cullen, C.G., 1994, An Introduction Numerical Linear Algebra, PWS Publishing

Company, Boston.

Demmel, James W., Applied Numerical Linear Algebra, 1996, University of

California, Berkeley California.

Strang, G, 1988, Linear Algebra and It’s Applications, Harcourt Brace Jovanovich

Inc., New Jersey.

Hadley, G., 1983, Aljabar Linear, Erlangga, Jakarta.

Hager, W., 1988, Applied Numerical Linear Algebra, Prentice Hall International

Inc., Pennsylvania.

http://jpsmipaunsri.files.wordpress.com/2011/03/0308-12-a-yuli.pdf, diakses pada

tanggal 16 Oktober 2011 pukul 16:04 WIB.

Lipschutz, Seymour dan Marc Lars Lipson, 2005, Aljabar Linear , Erlangga,

Jakarta.

Lipschutz, Seymour dan Marc Lars Lipson, 2009, Linear Algebra , The McGraw-

Hill Companies, United States of America.

N. Trefethen, Lloyd dan David Bau, III, 1997, Numerical Linear Algebra, Society

for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia.

79

O’Nan, M., 1976, Linear Algebra, Harcourt Brace Jovanovich Inc., San Francisco.

Setiadji, 2008, Aljabar Linear, Graha Ilmu, Yogyakarta.

Soemantri, R., 1994, Fungsi Variabel Kompleks, Yogyakarta.

Susatio, Yerri., Metode Numerik Berbasis MathCad, 2005, Penerbit ANDI,

Yogyakarta.