Upload
erlin-boolindt-kencanawati
View
124
Download
11
Embed Size (px)
DESCRIPTION
PEMODELAN MATEMATIKA 1
Citation preview
i
PEMODELAN
MATEMATIKA
(BAGIAN 1)
Oleh :
Dr. Ir. Andang Widi Harto, M. T.
Jurusan Teknik Fisika
Fakultas Teknik
Universitas Gadjah Mada
ii
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah, puji syukur kita panjatkan ke hadlirat Allah SWT atas
terselesaikannya buku ini. Shalawat beserta salam semoga terlimpah kepada Rasulullah
Muhammad saw.
Buku ini disusun untuk dapat digunakan sebagai bahan bagi kuliah Matematika
Teknik 2 yang merupakan mata kuliah wajib yang diselenggarakan oleh Program Studi
Teknik Nuklir yang terdapat pada Jurusan Teknik Nuklir, Fakultas Teknik Universitas
Gadjah Mada.
Buku ini menjelaskan pengertian pemodelan matematika dan metode-metode untuk
mendapatkan persamaan umum bagi berbagai proses fisis. Penyusunan persamaan proses
dengan pendekatan lumped parameter dijelaskan pada bagian awal buku ini. Vektor dan tensor merupakan hal yang penting untuk dipahami dalam penyusunan
model matematika. Oleh karena itu, pembahasan tentang vektor dan tensor diberi porsi
cukup detail. Pembahasan vektor dan tensor meliputi penulisan komponen vektor dan
tensor pada berbagai sistem koordinat yang banyak digunakan, yaitu sistem koordinat
Cartesian, Silinder dan Bola. Di samping itu, dibahas juga aljabar yang melibatkan vektor
dan tensor (perkalian dan penjumlahan) serta kalkulus yang melibatkan vektor dan tensor
(diferensiasi dan integrasi).
Selanjutnya buku ini membahas penurunan berbagai persamaan proses umum
seperti persamaan kontinuitas, persamaan tranport (energi, massa dan berbagai proses) dan
persamaan transport momentum.
Walaupun demikian tetap masih banyak aspek potensial yang belum tersentuh
untuk dibahas dalam buku ini. Oleh karena itu, pembaca yang kreatif diharapkan mampu
untuk menemukan aspek-aspek tersebut. Jika diinginkan, maka pembaca dapat mendalami
lebih lanjut untuk melakukan penelaahan secara lebih detail, yaitu melakukan perhitungan-
perhitungan secara lebih rinci dalam rangka untuk mendapatkan gambaran desain dari
sistem kogenersai nuklir.
Yogyakarta, 10 Oktober 2011
Penulis,
Dr. Ir. Andang Widi Harto, M.T.
iii
DAFTAR ISI
Halaman Judul i
Kata Pengantar ii
Daftar Isi iii
PENDAHULUAN 1
A Pemodelan matematika 1
B Proses-proses Fisis Dasar 1
1 Proses Reaksi 1
2 Proses Transport 2
3 Rangkumam Proses-proses Fisis Dasar 3
C Berbagai Jenis Proses Transport 4
1 Proses Transport Difusif 4
2 Proses Transport Advektif 5
3 Proses Transport Antar Muka 5
4 Proses Transport Non Kontinum 6
D Berbagai Jenis Medium 6
E Berbagai Jenis Pemodelan Matematis 7
1 Sistem Ruang Waktu Empirik 7
2 Dimensi 7
3 Pemodelan Lumped Parameter dan Distributed Parameter 8
4 Pemodelan Tunak (Steady State) dan Transient 8
5 Bentuk Persamaan Matematika Hasil Pemodelan 8
BAB I PEMODELAN LUMPED PARAMETER 10
A Penjelasan Umum Pemodelan Lumped Parameter 10
B Penurunan Persamaan Proses Umum dengan Pemodelan Lumped
Parameter
11
1 Penyusunan Persamaan Kontinuitas Medium 12
2 Penyusunan Persamaan Proses Secara Umum 14
3 Penyusunan Persamaan Proses Transfer Massa atau Reaksi Kimia 16
4 Penyusunan Persamaan Energi Total 17
5 Penyusunan Persamaan Energi Mekanik 19
6 Penyusunan Persamaan Energi Termal 20
C Sistem dengan Gaya Pengembali (Restoring Force) 24
1 Penyusunan Persamaan Gerak Sistem Elastis dengan Gaya Pengembali 25
iv
2 Perilaku Sistem Kekanik Elastis 26
BAB II KALKULUS VEKTOR DAN TENSOR 30
A Pengertian 30
1 Pengertian skalar 30
2 Pengertian vektor 30
3 Pengertian tensor 30
B Sistem Koordinat dan Elemen Volume 30
1 Sistem Koordinat Cartesian 30
2 Sistem Koordinat Silinder 31
3 Sistem Koordinat Bola 32
C Notasi atau Penulisan Vektor dan Transformasi Koordinat 33
1 Notasi atau Penulisan Vektor 33
2 Transformasi komponen vektor dari sistem koordinat Cartesian ke
sistem koordinat Silinder atau sebaliknya
36
3 Transformasi vektor satuan dari sistem koordinat Cartesian ke sistem
koordinat Silinder atau sebaliknya
39
4 Transformasi komponen vektor dari sistem koordinat Cartesian ke
sistem koordinat Bola atau sebaliknya
39
5 Transformasi vektor satuan dari sistem koordinat Bola ke sistem
koordinat Cartesian atau sebaliknya
43
D Metrik dan Transformasi Sistem Koordinat Secara Umum 43
1 Transformasi Sistem Koordinat Secara Umum untuk Ruang Empirik 3D 43
2 Metrik 45
E Notasi atau Penulisan Tensor dan Transformasi Koordinat
Komponen Tensor
60
1 Notasi atau Penulisan Tensor 60
2 Operasi Transpose 61
3 Tensor Simetris 62
4 Transformasi komponen tensor antara sistem koordinat Cartesian dan
sistem koordinat Silinder
62
5 Transformasi komponen tensor simetris antara sistem koordinat
Cartesian dan sistem koordinat Silinder
65
6 Transformasi komponen tensor antara sistem koordinat Cartesian dan
sistem koordinat Bola
66
7 Transformasi komponen tensor simetris antara sistem koordinat
Cartesian dan sistem koordinat Bola
71
F Aljabar Vektor dan Tensor 72
1 Operasi Penjumlahan dan Pengurangan 72
2 Order besaran 74
3 Operasi perkalian dua besaran 74
v
4 Operasi dyad antara skalar dengan skalar dengan hasil skalar 74
5 Operasi perkalian dyad antara skalar dengan vektor dengan hasil vektor 75
6 Operasi perkalian dyad antara scalar dengan tensor dengan hasil tensor 75
7 Operasi perkalian dyad antara vektor dengan vektor dengan hasil tensor 75
8 Operasi perkalian dot () antara vektor dengan vektor dengan hasil skalar 76
9 Operasi perkalian dot () antara vektor dengan tensor dengan hasil
vektor
77
10 Operasi perkalian dot () antara tensor dengan tensor dengan hasil tensor 77
11 Operasi perkalian cross () antara vektor dengan vektor dengan hasil
vektor
78
12 Operasi perkalian dobel dot (:) antara tensor dengan tensor dengan hasil
skalar
79
G Transformasi Koordinat Komponen Hasil Perkalian Dyad Vektor 79
1 Transformasi komponen hasil perkalian dyad dua vektor antara sistem
koordinat Silinder dengan sistem koordinat Cartesian
79
2 Transformasi komponen hasil perkalian dyad vektor yang sama antara
sistem koordinat Cartesian dan sistem koordinat Silinder
80
3 Transformasi komponen hasil perkalian dyad dua vektor antara sistem
koordinat Bola dengan sistem koordinat Cartesian
81
4 Transformasi komponen hasil perkalian dyad vektor yang sama antara
sistem koordinat Cartesian dan sistem koordinat Bola
83
H Kalkulus Diferensiasi 84
1 Diferensiasi Skalar, Vektor Dan Tensor Terhadap Variabel Skalar (t) 84
2 Operator Diferensial vektor (Operator Del = Operator Grad = ) 84
3 Transformasi Koordinat komponen operator Grad 88
4 Operator Atau Operator Div 95
5 Operator atau Operator Curl 102
6 Operator 2 atau Laplacian 103
7 Operator diferensial order 2 lainnya 105
I Integrasi 105
1 Integrasi terhadap variabel skalar 105
2 Integrasi terhadap variable vektor 108
J Fluks Transport Diffusif dengan Parameter Transport Skalar 115
1 Perhitungan fluks transport difusif pada system koordinat Cartesian 116
2 Perhitungan fluks transport difusif pada system koordinat Silinder 118
3 Perhitungan fluks transport difusif pada system koordinat Bola 119
4 Rangkuman fluks transport difusif 120
K Fluks Transport Advektif dengan Parameter Transport Skalar 121
BAB III PENURUNAN PERSAMAAN KONTINUITAS 122
A Persamaan Kontinuitas Medium Secara Umum (Medium Fluida 122
vi
Kompresibel)
1 Penyusunan persamaan kontinuitas medium pada sistem Koordinat
Cartesian
122
2 Penyusunan persamaan kontinuitas medium pada sistem Koordinat
Silinder
124
3 Penyusunan persamaan kontinuitas medium pada sistem Koordinat Bola 127
4 Rangkuman Bentuk persamaan kontinuitas medium secara umum 129
B Persamaan Kontinuitas Medium Fluida Non Kompresibel 130
C Persamaan Kontinuitas Medium Solid 131
BAB IV PENURUNAN PERSAMAAN TRANSPORT VARIABEL
SKALAR
132
A Persamaan Transport Secara Umum (Medium Fluida Kompresibel) 132
1 Penyusunan persamaan transport umum pada sistem Koordinat
Cartesian
132
2 Penyusunan persamaan transport umum pada sistem Koordinat Silinder 135
3 Penyusunan persamaan transport umum pada sistem Koordinat Bola 139
4 Rangkuman Bentuk persamaan persamaan transport umum 143
B Persamaan Transport pada Medium Fluida Non Kompresibel 144
C Persamaan Transport pada Medium Solid (Padatan) 146
D Aplikasi untuk Proses Transfer Kalor pada Medium Satu Fasa 147
1 Persamaan transfer kalor untuk medium fluida kompresibel 147
2 Persamaan transfer kalor untuk medium fluida non kompresibel 149
3 Persamaan transfer kalor untuk medium solid (padatan) isotropis 150
E Aplikasi untuk Proses Transfer Massa Komponen Terlarut pada
Larutan atau Campuran Encer (Dilute Solution) pada Medium Satu
Fasa
150
1 Persamaan transfer massa komponen terlarut ke-i pada larutan encer
untuk medium fluida kompresibel
151
2 Persamaan transfer massa komponen terlarut ke-i pada larutan encer
untuk medium fluida non kompresibel
152
3 Persamaan transfer massa komponen terlarut ke-i pada larutan encer
untuk medium solid isotropis
153
F Aplikasi untuk Aliran Fluida dalam Medium Berpori Isotropis 154
1 Persamaan aliran fluida kompresibel dalam medium solid berpori yang
bersifat isotropis
154
2 Persamaan aliran fluida non kompresibel dalam medium solid berpori
yang bersifat isotropis
155
vii
G Aplikasi dalam Fisika Reaktor Nuklir 156
H Syarat Batas 127
BAB V PENURUNAN PERSAMAAN GERAK MEDIUM (PERSAMAAN
TRANSPORT MOMENTUM)
159
A Persamaan Gerak Medium untuk Aliran Laminar 159
1 Penyusunan persamaan gerak medium pada sistem Koordinat Cartesian 159
2 Penyusunan persamaan gerak medium pada sistem koordinat Silinder 164
3 Penyusunan persamaan gerak medium pada sistem koordinat Bola 176
4 Rangkuman persamaan gerak medium secara umum 177
B Persamaan Gerak pada Medium Fluida Non Kompresibel Aliran
Laminar
179
1 Penjelasan umum untuk semua sistem koordinat 179
2 Persamaan gerak pada medium fluida non kompresibel pada sistem
koordinat Cartesian
179
3 Persamaan gerak pada medium fluida non kompresibel pada sistem
koordinat Silinder
180
4 Penyusunan persamaan gerak medium pada sistem koordinat Bola 192
5 Rangkuman persamaan gerak medium fluida non kompresibel 193
C Transfer Momentum Difusif Dalam Fluida Newtonian Aliran
Laminar
194
1 Fluks Transfer momentum difusif pada sistem koordinat Cartesian 195
2 Fluks Transfer momentum difusif pada sistem koordinat Silinder 197
3 Fluks Transfer momentum difusif pada sistem koordinat Bola 198
4 Rangkuman persamaan gerak untuk medium fluida Newtonian non
kompresibel dengan viskositas kontan
200
D Rangkuman Persamaan Gerak Medium Fluida Aliran Laminar
dalam Notasi Umum
201
E Fluida Newtonian Aliran Turbulen 202
G Syarat Batas Persamaan Gerak Medium 203
1 Batas permukaan bebas 203
2 Batas antar muka dengan medium padatan 203
3 Batas antar muka antar medium fluida 204
BAB VI FENOMENA TRANSPORT LANJUT 205
A Proses Transport Difusif pada Medium Padatan Anisotropis 205
1 Proses transport difusif pada mdium anisotrop 205
2 Proses transport difusif pada mdium ortotrop 207
viii
B Proses Transport Massa Sistem Multikomponen Non Encer 208
1 Medium fluida campuran non encer 208
2 Medium padatan campuran non encer isotrop 209
3 Medium padatan campuran non encer anisotrop dan ortotrop 209
C Aplikasi Fisika Reaktor Nuklir dengan Memperhitungkan Energi
Neutron
210
D Proses Transport pada Medium Multifasa Koeksis 211
1 Pendekatan non setimbang 211
2 Pendekatan setimbang 213
E Penjalaran Gelombang pada Medium 214
1 Penjalaran gelombang pada medium padatan elastis 214
2 Penjalaran gelombang pada medium fluida 215
1
PENDAHULUAN
A. PEMODELAN MATEMATIKA
Pemodelan matematika adalah perumusan proses-proses fisis (empiris) yang
disebet sebagai problem fisik dalam bentuk persamaan matematika. Persamaan yang
diperoleh pada dasarnya masih merupakan persamaan diferensial sehingga diperlukan
penyelesaian persamaan diferensial tersebut. Penyelesaian persamaan ini selanjutnya
diinterpretasikan dan digunakan untuk memahami proses fisik yang bersangkutan sebagai
penyelesaian dari problem fisik yang bersangkutan.
Secara skematik alur berfikir dalam membuat model matematikan serta
menyelesaikannya dalam rangka menyelesaikan problem fisik dapat dilihat pada Gambar
1.1
EMPIRICAL DOMAIN MIND DOMAIN
REAL
(PHYSICAL)
PROBLEM
GOVERNING
MATHEMATICAL
EQUATION
MATHEMATICAL
SOLUTION
INTERPRETATION SOLVING THE
REAL PROBLEM
Gambar 0.1. Diagram skematik pemodelan matematika
B. PROSES-PROSES FISIS DASAR
Proses-proses fisis dasar secara umum dapat dibagi menjadi dua macam, yaitu
proses reaksi dan proses transport.
1. Proses Reaksi
Proses reaksi adalah semua proses yang membentuk atau menghilangkan suatu
variabel proses. Sebagai contoh, reaksi endotermik (fisika, kimia maupun nuklir) adalah
reaksi yang menghilangkan variabel proses berupa kalor sedangkan reaksi eksotermik
(fisika, kimia maupun nuklir) adalah reaksi yang membentuk variabel proses berupa kalor.
Reaksi kimia adalah reaksi yang menghilangkan variabel proses berupa massa
ataumol reaktan dan membentuk variabel proses berupa massa atau mol produk reaksi.
Secara umum proses reaksi mengikuti persamaan dasar sebagai berikut :
2
N
RkR ''' (0.1)
Dalam hal ini :
Rk : Koefisien kecepatan reaksi
N : Order reaksi
'''R : Laju reaksi (jumlah reaksi per satuan volume per satuan waktu) : Variabel Proses
Tanda minus pada persamaan (0.1) berlaku pada reaksi yang menghilangkan suatu variabel
proses sedabgkan tanda plus pada persamaan (0.1) berlaku untuk reaksi yang membentuk
variabel proses.
2. Proses Transport
Proses transport adalah perpindahan suatu variabel proses. Misalnya proses trasfer
kalor adalah proses perpindahan variabel proses berupa kalor. Proses transfer massa adalah
proses perpindahan variabel proses berupa massa atau mol dari suatu spesies kimia. Proses
transfer momentum adalah proses perpindahan variabel proses berupa momentum atau
gerakan suatu medium (fluida) dan masih banyak lagi.
Secara garis besar, proses transport dibedakan menjadi dua macam, yaitu :
- proses transport yang secara empirik tampak berlangsung melalui medium, yang selanjutnya disebut sebagai proses transport kontinuum
- proses transport yang secara empirik tampak berlangsung tanpa melalui medium, yang selanjutnya disebut sebagai proses transport non kontinuum
Proses transport kontinuum dapat dibedakan lagi menjadi tiga macam, yaitu :
- proses transport difusif - proses transport advektif - proses transport antar muka
a. Proses transport difusif
Proses transport difusif adalah proses transport yang secara empirik berlangsung
melalui medium tanpa ada gerakan makro dari medium yang dilaluinya. Dalam hal ini,
proses transport secara empirik tampak terjadi dengan adanya gradien suatu parameter
transport (misalnya suhu pada proses transfer kalor, konsentrasi pada proses transfer
massa, kecepatan pada proses transfer momentum). Proses akan terjadi mengarah ke posisi
di mana nilai parameter transport lebih rendah. Proses transport difusif dapat terjadi pada
medium yang dapat mengalir (fluida) maupun medium yang tidak dapat mengalir (solid /
padatan). Persamaan dasar untuk proses transfer difusif adalah :
Dj (0.2)
Dalam hal ini :
Dj : Fluks transfer diffusif (besaran per satuan luas per satuan waktu)
: Koefisien transport diffusif : Parameter transport
3
: Operator diferensiasi terhadap vektor posisi (operator grad)
b. Proses transport advektif
Proses transport advektif adalah proses transport yang terjadi akibat gerakan
(aliran) dari medium. Dengan demikian, proses transport advektif hanya dapat terjadi pada
medium yang dapat mengalir (fluida). Pada proses transport advektif, arah proses transport
adalah sama dengan aran aliran medium fluida tersebut. Dengan demikian, persamaan
dasar untuk proses transport advektif adalah :
vjA (0.3)
Dalam hal ini :
Aj : Fluks transfer advektif (besaran per satuan luas per satuan waktu)
v : Kecepatan linier aliran medium (jarak per satuan waktu)
: Variabel Proses
c. Proses transport antar muka
Proses transport antar muka terjadi pada batas antara dua medium yang memiliki
sifat-sifat fisik (koefisiem transport) yang berbeda. Kedua medium tersebut bisa keduanya
solid atau salah satu solid dan yang lainnya fluida.
Arah proses ini adalah menuju ke medium yang memiliki nilai parameter transport
lebih rendah dan selalu mengikuti arah vektor permukaan pada batas kedua medium yang
bersangkutan.
Persamaan dasar untuk proses transport antar muka adalah :
22,1121,, Kj nnI (0.4)
Dalam hal ini :
Ij : Fluks transfer antar muka dari medium 1 ke medium 2 (besaran per satuan luas
per satuan waktu)
n : Vektor normal permukaan
n : Koefisien transfer antar muka dari medium 1 ke medium 2
2,1K : Koefisien kesetimbangan antara medium 1 dan medium 2
1 : Nilai parameter transport pada medium 1
2 : Nilai parameter transport pada medium 2
d. Proses transport non kontinuum
Proses transport non kontinuum adalah proses transport yang secara empirik terjadi
tanpa melalui medium. Tidak ada persamaan umum yang berlaku untuk proses ini. Salah
satu contoh proses transport non kontinum adalah proses transfer kalor radiasi.
3. Rangkuman Proses-Proses Fisik Dasar
Berdasarkan uraian di atas, berbagai proses fisik dasar dapat dirangkum dalam
Gambar 0.2.
4
REAL
(PHYSICAL)
PROBLEM
PROSES REAKSI
N
RkR '''
PROSES
TRANSPORT
NON
CONTINUUM
CONTINUUM
DIFUSSIF
Dj
ADVEKTIF
vjA
INTERFACE
22,1121,, Kj nnI
Gambar 0.2. Klasifikasi umum proses-proses fisik
C. BERBAGAI JENIS PROSES TRANSPORT
Berbagai jenis proses transport dasar (difusif, advektif, antar muka dan non
kontinuum) dapat terjadi pada berbagai macam proses transport (transfer kalor, transfer
massa, transfer momentum dan sebagainya). Parameter transport, fluks variable transport,
koefisien transport harus diformulasikan sesuai dengan proses yang bersangkutan.
1. Proses transport difusif
Berbagai jenis proses transport difusif dapat dilihat rangkumannya pada Tabel 0.1.
Tabel 0.1. Berbagai macam proses transport transport difusif
Proses Bentuk
persamaan
Parameter
transport
Koefisien
transport
Fluks
transport
Nama
khusus
Bentuk
umum
Dj
Dj
Konduksi
kalor Tkq D
''
T (suhu)
k
(konduktifitas)
Dq '' Hukum
Fourier
Difusi massa CDjD
C
(konsentrasi)
D (koefisien
difusi massa)
Dj Hukum
Fick
Transfer
momentum
difusif
vD
v
(kecepatan)
(viskositas)
D Hukum
Newton
Difusi
neutron
Dj
(fluks
neutron)
D (koefisien
difusi neutron)
j Hukum
Fick
Aliran dalam
medium
berpori pm
''
p
(tekanan
total)
(permeabilitas
medium)
''m
(fluks aliran
massa)
Hukum
D Arcy
5
2. Proses transport advektif
Berbagai jenis proses transport advektif dapat dilihat rangkumannya pada Tabel
0.2.
Tabel 0.2. Berbagai macam proses transport transport advektif
Proses Bentuk persamaan Parameter transport Fluks transport
Bentuk umum
vjA
Aj
Transfer kalor
advektif Tcvq pA
''
Tc p
( = denitas massa medium,
pc = kalor jenis medium,
T = suhu)
Aq ''
(fluks transfer
kalor advektif)
Transfer massa
advektif CvjA
C
(konsentrasi)
Aj
(fluks transfer
massa advektif)
Transfer
momentum
advektif
vvA
v
( = denitas massa medium,
v = kecepatan)
A
(fluks transfer
momentum
advektif)
3. Proses transport antar muka
Berbagai jenis proses transport antar muka dapat dirangkum pada Tabel 0.3.
Tabel 0.3. Berbagai macam proses transport transport antar muka
Proses Bentuk persamaan
Para-
meter
transport
Koefisien
Transport
Koe-
fisien
kesetim-
bangan
Fluks
transport
Nama
khusus
Bentuk
Umum 22,1121,, Kj nnI 2,1K 21,, nIj
Transfer
kalor
antar
muka
2121,,'' TThq nI T
(suhu)
h
(koefisien
transfer
kalor
antar
muka)
1
21,,'' nIq
(fluks
transfer
kalor
antar
muka)
Hukum
Newton
Transfer
massa
antar
muka
22,1121,, CKCkj ynI C
(konsen-
trasi)
yk
(koefisien
transfer
massa
antar
muka)
2,1K
(koe-
fisien
distribusi
massa)
21,, nIj
(fluks
transfer
massa
antar
muka)
6
4. Proses transport non kontinuum (transfer kalor radiasi)
Tidak ada persamaan dasar yang berlaku umum untuk proses transport non
kontinuum. Salah satu contoh proses ini adalah proses transfer kalor radiasi. Persamaan
dasar untuk proses transfer kalor radiasi dari benda 1 ke benda 2 adalah :
4241'' TTq R
(0.5)
Dalam hal ini :
Rq '' : Fluks transfer kalor radiasi dari benda 1 ke benda 2 (besaran per satuan luas per
satuan waktu)
: Konstanta Stefan Boltzmann : Emisivitas permukaan benda 1
1T : Suhu permukaan benda 1
2T : Suhu permukaan benda 2
D. BERBAGAI JENIS MEDIUM
Medium untuk proses transport dibedakan dari kemampuan untuk mengalir serta
perubahan densitas akibat perubahan tekanan. Medium yang tidak dapat mengalir disedut
sebagai medium padatan (solid) sedangkan medium yang mampu mengalir disebut sebagai
medium fluida.
Medium fluida yang mengalami perubahan densitas ketika menerima perubahan
tekanan disebut sebagai medium fluida kompresibel sedangkan medium fluida yang tidak
mengalami perubahan densitas ketika menerima perubahan tekanan disebut sebagai
medium fluida non kompresibel.
Medium padatan yang mengalami perubahan densitas ketika menerima perubahan
tekanan disebut sebagai medium padatan elastis sedangkan medium padatan yang tidak
mengalami perubahan densitas ketika menerima perubahan tekanan disebut sebagai
medium padatan rigid.
MEDIUM
PROSES
TRANSPORT
DAPAT
MENGALIR
(FLUIDA)
TIDAK DAPAT
MENGALIR
(SOLID)
ELASTIS
(densitas berubah akibat
perubahan tekanan)
KOMPRESIBEL
(densitas berubah akibat
perubahan tekanan)
Contoh : GAS
RIGID
(densitas tidak berubah
akibat perubahan tekanan)
NON KOMPRESIBEL
(densitas tidak berubah
akibat perubahan tekanan)
Contoh : CAIRAN
Gambar 0.3. Klasifikasi medium untuk proses-proses transport
7
E. BERBAGAI JENIS PEMODELAN MATEMATIS
1. Sistem ruang-waktu empirik
Proses-proses fisik, yaitu proses transport dan proses reaksi secara matematika pada
dasarnya adalah proses perubahan suatu besaran fisik terhadap variable ruang dan variable
waktu. Ruang empiric secara matematika dibentuk oleh tiga sumbu koordinat yang garis-
garis sejajar ketiga sumbu tersebut saling bertemu secara tegak lurus pada suatu titik posisi
tertentu. Oleh sebab itu, terdapat tiga variable ruang yang menyatakan posisi suatu titik
relative terhadap suatu titik referensi pada ketiga arah sumbu ruang. Jika ditambahkan
variable waktu, maka sistem ruang waktu empiric memiliki 4 variabel bebas, yaitu 1 (satu)
variable waktu dan tiga variable ruang.
2. Dimensi
Dalam pembahasan terkait dengan ilmu-ilmu Fisika dan Teknik (engineering),
istilah dimensi digunakan dalam 2 pengertian, yaitu :
- dimensi dalam arti keterlibatan besaran fisik dasar terhadap suatu besaran fisik - dimensi dalam arti jumlah sumbu ruang yang diperlukan untuk mendeskripsikan
suatu posisi tertentu
a. dimensi dalam arti keterlibatan besaran fisik dasar terhadap suatu besaran fisik
Besaran-besaran fisik dianggap terbagi menjadi dua, yaitu besaran dasar dan
besaran turunan. Besaran dasar adalah besaran-besaran yang dipandang tidak melibatkan
besaran lainnya. Besaran turunan adalah besaran yang bisa diuraikan terdiri dari beberapa
besaran dasar yang dikombinasikan dengan kombinasi multiplikasi (perkalian atau
pembagian). Hal ini pada akhirnya menyangkut pada penggunaan satuan.
Penentuan besaran mana yang dianggap sebagai besaran dasar adalah bersifat
arbitrari. Hanya saja, besaran dasar ditentukan didasarkan pada kemudahan dalam
penggunaannya.
Dalam sistem satuan SI (Standart Internasional) besaran dasar yang digunakan
dalam sistem mekanik adalah waktu, panjang dan massa. Dalam sistem termal, ditambah
lagi dengan suhu. Dalam sistem ruang, ditambah lagu dengan sudut. Dalam sistem listrik
ditambah lagi dengan arus listrik. Dalam sistem kimia, ditambah lagi dengan jumlah mol.
Besaran yang dipandang sebagai besaran turunan dalam sistem SI misalnya adalah
kecepatan, percepatan, gaya, luas area, volume, energi, tekanan, viskositas, difusifitas,
konduktivitas, kalor jenis, densitas, entalpi, entropi, dan sebagainya.
Dalam operasi penambahan dan pengurangan, suatu besaran hanya dapat
ditambahkan atau dikurangkan dengan besaran lain yang memiliki dimensi yang sama.
Besaran yang menjadi argumen suatu fungsi matematika (sinus, cosinus, logaritma,
eksponensial dan sebagainya) harus tidak berdimensi, yaitu kombinasi multiplikasi dari
berbagai besaran fisik sedemikian rupa sehingga dimensinya saling meniadakan.
b. dimensi dalam arti jumlah sumbu ruang yang diperlukan untuk mendeskripsikan suatu posisi tertentu
Sistem ruang empirik dideskripsikan dengan tiga sumbu ruang yang saling tekan
lurus pada suatu titik. Posisi suatu titik dinyatakan dengan nilai suatu variabel posisi yang
dapat ditentukan secara bebas pada ketiga sumbu ruang tersebut. Ruang semacam ini
disebut sebagai ruang 3 (tiga) dimensi, atau sering ditulis sebagai ruang 3-D. Proses-proses
fisik secara empirik pada dasarnya melibatkan perubahan atau pergerakan dalam ruang
empirik 3-D ini.
8
Dalam pemodelan matematika, seringkali dilakukan penyederhanaan dengan
mengabaikan proses yang dianggap tidak signifikan. Demikian juga terhadap penggunaan
variabel ruang. Jika suatu proses fisik dipandang tidak menghasilkan perubahan signifikan
pada 1 (satu) sumbu ruang tertentu, maka penggunaan sumbu ruang yang bersangkutan
diabaikan. Sistem ruang signifikan dalam hal ini menjadi terdiri dari dua sumbu ruang.
Ruang semacam ini disebut sebagai ruang 2 (dua) dimensi, atau sering ditulis sebagai
ruang 2-D. Demikian juga jika tidak terjadi perubahan signifikan pada 2 (dua) sumbu
ruang, maka sistem ruang signifikan hanya terdiri dari 1 (satu) sumbu ruang. Ruang
semacam ini disebut sebagai ruang 1 (satu) dimensi, atau sering ditulis sebagai ruang 1-D.
3. Pemodelan lumped parameter (parameter tergumpal) dan distributed parameter
(parameter terdistribusi)
Pemodelan lumped parameter atau sering disebut sebagai pemodelan titik adalah
suatu pemodelan matematika atas suatu proses fisis di mana distribusi suatu variabel proses
atau parameter proses menurut posisi pada suatu sistem fisik yang ditinjau dianggap bukan
suatu yang penting untuk diperhatikan. Pada umumnya, dalam pemodelan semacam ini,
nilai variabel proses atau parameter proses (suhu, tekanan, kecepatan yang bersangkutan
diperhitungkan sebagai nilai rerata volumetris pada sisuem yang bersangkutan.
Pemodelan distributed parameter, sebaliknya, digunakan jika distribusi nilai suatu
parameter proses atau variable proses merupakan hal yang sangat penting untuk
diperhatikan. Pemodelan distributed parameter terbagi menjadi pemodelan 1-D (satu
dimensi), 2-D (2 dimensi) atau 3-D (tiga dimensi), tergantung dari jumlah sumbu arah di
mana distribusi nilai paramater atau variabel proses pada arah yang bersangkutan
dipandang signifikan.
4. Pemodelan tunak (steady state) dan transient
Pemodelan tunak (steady state) adalah pemodelan matematika atas suatu proses
fisis di mana perubahan nilai variable proses atau parameter proses terhadap waktu
dianggap tidak signifikan. Pemodelan ini digunakan pada proses-proses yang mengalami
kondisi kesetimbangan. Kesetimbangan yang dimaksud dalam hal ini adalah jika terjadi
kesamaan antara pembentukan dan penghilangan suatu variable proses atau jika terjadi
kesamaan antara perpindahan masuk dan perpindahan keluar suatu variable proses pada
suatu sistem yang ditinjau.
Pemodelan transient adalah pemodelan matematika atas suatu proses fisis di mana
perubahan nilai variable atau parameter proses terhadap waktu merupakan hal yang
penting untuk diperhatikan. Pemodelan ini perlu dilakukan untuk suatu proses yang belum
atau tidak mencapai kondisi setimbang.
5. Bentuk persamaan matematika hasil pemodelan
Persamaan matematika yang dihasilkan dari pemodelam matematika dapat berupa
persamaan aljabar, persamaan diferensial ordiner atau persamaan diferensial parsial. Pada
dasarnya persamaan diferensial muncul jika proses fisis yang dimodelkan merupakan
proses yang mengalami perubahan terhadap waktu atau perubahan (distribusi) terhadap
ruang. Persamaan aljabar hanya muncul pada pemodelan matematis atas suatu proses fisis
dimana perubahan baik terhapad ruang dan terhadap waktu dianggap tidak signifikan.
Tabel 0.4 menunjukkan bentuk-bentuk persamaan matematika yang diperoleh dari
suatu pemodelan matematika terhadap suatu proses fisis.
9
Tabel 0.4. Bentuk persamaan matematika hasil pemodelam matematika atas suatu proses
fisis
Jenis pemodelan matematika Steady state (tunak) Transient
Lumped parameter Persamaan aljabar
Persamaan diferensial
ordiner
(terhadap waktu)
Distributed
parameter
1-D
Persamaan diferensial
ordiner
(terhadap 1 variabel ruang)
Persamaan diferensial
parsial
(terhadap waktu dan 1
variabel ruang)
2-D
Persamaan diferensial
parsial
(terhadap 2 variabel ruang)
Persamaan diferensial
parsial
(terhadap waktu dan 2
variabel ruang)
3-D
Persamaan diferensial
parsial
(terhadap 3 variabel ruang)
Persamaan diferensial
parsial
(terhadap waktu dan 3
variabel ruang)
10
BAB I. PEMODELAN LUMPED PARAMETER
A. PENJELASAN UMUM PEMODELAN LUMPED PARAMETER
Pemodelan lumped parameter atau sering disebut sebagai pemodelan titik adalah
suatu pemodelan matematika atas suatu proses fisis di mana distribusi suatu variabel proses
atau parameter proses menurut posisi pada suatu sistem fisik yang ditinjau dianggap bukan
suatu yang penting untuk diperhatikan. Pada umumnya, dalam pemodelan semacam ini,
nilai variabel proses atau parameter proses (suhu, tekanan, kecepatan yang bersangkutan
diperhitungkan sebagai nilai rerata volumetris pada sistem yang bersangkutan.
Pada pemodelan lumped parameter, suatu proses fisis dianggap berlangsung pada
statu tempat atau wadah. Tempat atau wadah di mana suatu proses fisis berlangsung
disebut sebagai sistem. Segala sesuatu di luar sistem disebut sebagai lingkungan. Batas
fisik yang membatasi sistem terhadap lingkungan disebut sebagai batas sistem. Batas
sistem dapat merupakan batas yang tetap atau batas yang berubah (meluas / ekspansi
maupun menyempit / kompresi). Jika batas sistem berubah, maka volume sistem juga
berubah. Suatu sistem disebut mengalami ekspansi volumetrik jika volumenya bertambah
(batas sistemnya meluas). Suatu sistem disebut mengalami kompresi volumetrik jika
volumenya berkurang (batas sistemnya menyempit).
Zat (material) utama yang mengisi sistem disebut sebagai medium. Medium
tersebut dapat berupa medium padatan atau medium fluida. Suatu sistem disebut sebagai
sestem terbuka jika terdapat aliran medium keluar atau masuk sistem (aliran medium
antara sistem dan lingkungan atau aliran medium melintasi batas sistem). Sebaliknya jika
terdapat aliran medium antara sistem dan lingkungan (aliran medium melintasi batas
sistem), maka sistem disebut sebagai sistem tertutup. Sistem dengan medium padatan
selalu merupakan sistem tertutup. Sementara itu, sistem dengan medium fluida dapat
merupakan sistem terbuka ataupun tertutup.
Medium padatan dapat berupa padatan rigid atau elastis. Suatu sistem dengan
medium padatan hanya dapat mengalami ekspansi atau kompresi volumetris hanya jika
padatan tersebut bersifat elastis. Medium fluida dapat berupa fluida non kompresibel
maupun fluida kompresibel. Sistem terbuka dengan medium fluida dapat mengalami
ekspansi atau kompresi volumetris baik medium fluida tersebut merupakan fluida non
kompresibel maupun fluida kompresibel. Sementara itu, sistem tertutup dengan medium
fluida hanya dapat mengalami ekspansi atau kompresi volumetris hanya jika medium
fluidanya merupakan fluida kompresibel.
Dalam pendekatan lumped parameter, besaran proses (misalnya energi, momentum,
maupun massa dari konstituen yang terbawa oleh medium) dapat mengalami perpindahan
(yaitu keluar atau masuk) antara sistem dan lingkungan dengan dua cara, yaitu :
- perpindahan secara aliran - perpindahan antar muka
Pada perpindahan secara aliran, besaran proses melintasi batas sistem (keluar atau
masuk) bersamaan dengan aliran perpindahan medium antara sistem dan lingkungan
(keluar atau masuk) melintasi batas sistem. Perpindahan secara aliran hanya dapat terjadi
pada sistem terbuka (tentunya dengan medium fluida)
Pada perpindahan antar muka, besaran proses melintasi sistem bukan sebagai akibat
perpindahan medium melintasi batas sistem. Perpindahan antar muka dapat terjadi baik
pada sistem terbuka maupun pada sistem tertutup serta baik dengan medium padatan
maupun medium fluida.
Perpindahan antar muka terjadi akibat perbedaan gaya pendorong atau driving force yang terdapat pada batas sistem bagi perpindahan yang bersangkutan. Bentuk unum
11
dari perpindahan (proses transfer) anrat muka adalah sebagaimana yang ditunjukkan pada
Tabel 0.3. baris pertama.
Pada proses perpindahan kalor, gaya pendorong tersebut berupa perbedaan suhu.
Bentuk proses transfer kalor antar muka ditunjukkan pada Tabel 0.3 baris kedua. Pada
kondisi tertentu, proses transfer kalor antar muka dari permukaan sistem ke lingkungan
atau sebaliknya terjadi secara radiasi. Dalam hal ini persamaan perpindahan kalor secara
radiasi ditunjukkan oleh persamaan 0.5.
Pada proses perpindahan momentum, gaya dorong berupa perbedaan tekanan.
Dalam pendekatan lumped parameter, proses perpindahan momentum antar muka ditandai
dengan adanya ekspansi atau kompresi volumetris. Proses perpindahan momentum antar
muka (dengan akibat adanya kompresi atau ekspansi volumetrik) hanya dapat terjadi jika :
- medium berupa padatan elastis atau fluida - batas sistem bersifat elastis atau dapat bergerak (movable)
Dengan demikian, jika batas sistem bersifat rigid, maka tidak akan terjadi perpindahan
momentum antar muka yang berakibat kompresi atau ekspansi volumetrik).
Dalam pendekatan lumped parameter, perpindahan momentum antar muka
diperhitungkan setara dengan perpindahan energi dalam bentuk energi mekanik, yaitu
usaha. Suatu sistem disebut menerima usaha dari lingkungan jika sistem tersebut
mengalami kompresi volumetrik. Sebaliknya suatu sistem dikatakan melakukan usaha
terhadap lingkungan jika sistem tersebut mengalami ekspansi volumetrik.
Sementara itu perpindahan (proses transfer) massa antar muka ditunjukkan pada
Tabel 0.3 baris ketiga. Gaya dorong untuk proses transfer massa antar muka adalah
perbedaan aktivitas zat antara permukaan sistem dengan lingkungan. Perbedaan aktivitas
ini seringkali diwakili oleh perbedaan konsentrasi antara permukaan sistem dengan
lingkungan yang dikoreksi dengan mengunakan koefisien kesetimbangan massa.
B. PENURUNAN PERSAMAAN PROSES UMUM DENGAN PENDEKATAN
LUMPED PARAMETER Gambar 1.1 menunjukkan diagram skematik sebuah proses umum pada sebuah
sistem dengan menggunakan pendekatan lumped parameter.
1,1, iim
2,2, iim
NiiNiim ,,
1,1, oom
2,2, oom
NooNoom ,,
1,oJ 2,oJ LooJ ,
1,iJ
2,iJ LiiJ ,
'''R
R+
'''R
R+
Gambar 1.1. Diagram skematik proses secara umum dengan pendekatan lumped
parameter
12
Dalam gambar 1.4 ini, kotak besar menyatakan batas sistem. Sistem adalah segala
sesuatu yang berada di balam kotak besar sedangkan lingkungan adalah segala sesuatu
yang berada di luar kotak besar. Gambar saluran dengan panah di dalamnya menunjukkan
proses transfer (perpindahan) secara aliran sedangkan gambar panah besar menyatakan
proses transfer (perpindahan) antar muka. Arah panah menunjukkan arah perpindahan.
Selanjutnya m menyatakan laju aliran medium dalam proses transfer secara aliran,
J menyatakan laju transfer suatu besaran fisis yang dimaksud dengan proses transfer antar muka, menyatakan densitas suatu besaran fisis (besaran per satuan volume) yang
dimaksud, '''R menyatakan laju pembentukan besaran fisis yang dimaksud per satuan
volume dan '''R menyatakan laju penghilangan besaran fisis yang dimaksud per satuan
volume. Indeks i menyatakan masukan (input), indeks o menyatakan keluaran (output).
Indeks nomor menyatakan urutan masing-masing proses perpindahan. Ni menyatakan
jumlah masukan dengan perpindahan secara aliran, No menyatakan jumlah keluaran
dengan perpindahan secara aliran, Li menyatakan jumlah masukan dengan perpindahan
antar muka dan Lo menyatakan jumlah keluaran dengan perpindahan antar muka.
1. Penyusunan persamaan kontinuitas medium
Persamaan kontinuitas medium tidak lain adalah neraca massa medium keluar dan
masuk sistem. Dalam hal ini, dapat dibuat diagram neraca medium sebagaimana
ditunjukkan pada Gambar 1.2.
Laju akumulasi
massa medium
dalam sistem
=
Total laju aliran
massa medium
masuk sistem -
Total laju aliran
massa medium
keluar sistem
Gambar 1.2. Diagram neraca medium pada sistem dengan pendekanan lumped parameter
Secara matematik, neraca tersebut dapat ditulis sebagai berikut :
No
j
jo
Ni
j
ji mmdt
dM
1
,
1
, (1.1)
Dalam hal ini, M adalah massa medium. Indeks j menyatakan urutan. Selanjutnya M dapat
dituliskan sebagai :
VM (1.2)
Di mana V adalah volume sistem sedangkan adalah densitas medium dalam sistem. Dengan mensubstitusikan persamaan (1.1) ke persamaan (1.2) maka diperoleh :
No
j
jo
Ni
j
ji mmdt
Vd
1
,
1
,
(1.3)
Persamaan (1.3) merupakan bentuk umum dari persamaan kontinuitas sistem dengan
pendekatan lumped parameter, yaitu medium berupa fluida kompresibel dan sistem dapat
mengalami perubahan volume. Jika medium merupakan fluida kompresibel tetapi volume
sistem tetap, maka persamaan (1.3) dapat disederhanakan menjadi :
13
No
j
jo
Ni
j
ji mmdt
dV
1
,
1
,
(1.4)
Sebaliknya jika medium merupakan fluida non kompresibel tetapi sistem dapat mengalami
perubahan volume, maka persamaan (1.3) dapat disederhanakan menjadi :
No
j
jo
Ni
j
ji mmdt
dV
1
,
1
, (1.5)
Sedangkan jika medium merupakan fluida non kompresibel sekaligus volume sistem tetap,
maka persamaan (1.3) dapat disederhanakan menjadi :
No
j
jo
Ni
j
ji mm1
,
1
,0 (1.6)
Atau :
No
j
jo
Ni
j
ji mm1
,
1
, (1.7)
Hal ini berarti jumlah total laju aliran fluida medium masuk sistem harus sama dengan
jumlah total fluida medium keluar sistem. Persamaan (1.7) juga berlaku untuk kondisi
tunak (steady state) baik medium berupa fluida kompresibel maupun non kompresibel.
Pada medium padatan, maka tidak terdapat aliran medium keluar dan masuk
sistem. Persamaan (1.3) menjadi :
0dt
Vd (1.8)
Dengan demikian, massa medium dalam sistem selalu konstan. Pada medium padatan
elastis, persamaan (1.8) dapat ditulis menjadi :
0dt
dV
dt
dV
(1.9)
Atau :
dt
dV
dt
dV
(1.10)
Persamaan (1.10) memberikan arti bahwa perubahan volume pada sistem dengan medium
padatan elastis berkebalikan dengan perubahan densitasnya. Kenaikan volume akan diikuti
dengan penurunan densitas sebaiknya penurunan volume akan diikuti dengan kenaikan
densitas. Sementara itu untuk sistem dengan medium padatan rigid, densitas medium dan
volume sistem selalu konstan. Dengan demikian, persamaan kontinuitas untuk medium
padatan rigid adalah :
0dt
d dan 0
dt
dV (1.11)
Tabel 1.2 menunjukkan rangkuman persamaan kontinuitas medium pada
pendekatan lumped parameter
14
Tabel 1.2 Persamaan kontinuitas medium pada pendekatan lumped parameter
Medium Volume sistem Persamaan kontinuitas medium
Fluida kompresibel
berubah
No
j
jo
Ni
j
ji mmdt
Vd
1
,
1
,
tetap
No
j
jo
Ni
j
ji mmdt
dV
1
,
1
,
Fluida non
kompresibel
berubah
No
j
jo
Ni
j
ji mmdt
dV
1
,
1
,
tetap
No
j
jo
Ni
j
ji mm1
,
1
,
Padatan elastis berubah dt
dV
dt
dV
Padatan rigid tetap 0dt
d dan 0
dt
dV
2. Penyusunan persamaan proses secara umum
Dalam penyusunan persamaan proses secara umum, terlebih dahulu disusun neraca
variabel proses yang ditunjukkan oleh Gambar 1.3 sebagai berikut :
Laju akumulasi
variabel proses
dalam sistem
=
Total laju
transfer variabel
proses masuk
sistem secara
aliran
-
Total laju
transfer variabel
proses keluar
sistem secara
aliran
+
Total laju
transfer antar
muka variabel
proses masuk
sistem
-
Total laju
transfer antar
muka variabel
proses keluar
sistem
+ Laju reaksi
pembentukan
variable proses
-
Laju reaksi
penghilangan
variable proses
Gambar 1.3. Diagram neraca variabel proses pada sistem dengan pendekanan lumped
parameter
Secara matematik, neraca tersebut dapat ditulis sebagai berikut :
''''''1
,
1
,
1 ,
,,
1 ,
,,VRVRJJ
mm
dt
dV Lo
j
jo
Li
j
ji
No
j jo
jojoNi
j ji
jiji
(1.12)
Atau :
''''''1
,
1
,
1 ,
,,
1 ,
,,RRVJJ
mm
dt
dV Lo
j
jo
Li
j
ji
No
j jo
jojoNi
j ji
jiji
(1.13)
Persamaan (1.13) berlaku untuk secara lebih umum yaitu untuk medium fluida
kompresibel dan volume sistem dapat berubah. Jika volume medium merupakan fluida
kompresibel dengan volume sistem tetap, maka persamaan (1.13) dapat disederhanakan
menjadi :
''''''1
,
1
,
1 ,
,,
1 ,
,,RRVJJ
mm
dt
dV
Lo
j
jo
Li
j
ji
No
j jo
jojoNi
j ji
jiji
(1.14)
15
Sebaliknya jika volume medium merupakan fluida non kompresibel dengan volume sistem
dapat berubah, maka persamaan (1.13) dapat disederhanakan menjadi :
''''''
1
1
,
1
,
1
,,
1
,, RRVJJmmdt
dV Lo
j
jo
Li
j
ji
No
j
jojo
Ni
j
jiji
(1.15)
Sedangkan jika medium merupakan fluida non kompresibel dan volume sistem tetap, maka
persamaan (1.13) dapat disederhanakan menjadi :
''''''
1
1
,
1
,
1
,,
1
,, RRVJJmmdt
dV
Lo
j
jo
Li
j
ji
No
j
jojo
Ni
j
jiji
(1.16)
Untuk medium padatan, proses transfer secara aliran tidak mungkin terjadi. Pada medium
padatan elastis, volume sistem dan densitas medium medium dapat berubah. Dengan
demikian persamaan neraca variabel proses menjadi :
''''''1
,
1
, RRVJJdt
dV Lo
j
jo
Li
j
ji
(1.17)
Sedangkan untuk medium padatan rigid, di mana volume sistem dan densitas medium
dapat berubah, maka persamaan (1.17) dapat disederhanakan menjadi :
''''''1
,
1
, RRVJJdt
dV
Lo
j
jo
Li
j
ji (1.18)
Tabel 1.3 menunjukkan persamaan proses umum pada pendekatan lumped parameter
Tabel 1.3 Rangkuman persamaan proses umum pada pendekatan lumped parameter
Medium Volume
sistem Persamaan proses umum
Fluida
kompre-
sibel
berubah
''''''1
,
1
,
1 ,
,,
1 ,
,,RRVJJ
mm
dt
dV Lo
j
jo
Li
j
ji
No
j jo
jojoNi
j ji
jiji
tetap
''''''1
,
1
,
1 ,
,,
1 ,
,,RRVJJ
mm
dt
dV
Lo
j
jo
Li
j
ji
No
j jo
jojoNi
j ji
jiji
Fluida
non
kompre-
sibel
berubah
''''''
1
1
,
1
,
1
,,
1
,, RRVJJmmdt
dV Lo
j
jo
Li
j
ji
No
j
jojo
Ni
j
jiji
tetap
''''''
1
1
,
1
,
1
,,
1
,, RRVJJmmdt
dV
Lo
j
jo
Li
j
ji
No
j
jojo
Ni
j
jiji
Padatan
elastis berubah
''''''1
,
1
, RRVJJdt
dV Lo
j
jo
Li
j
ji
Padatan
rigid tetap
''''''1
,
1
, RRVJJdt
dV
Lo
j
jo
Li
j
ji
16
3. Penyusunan persamaan proses transfer massa atau reaksi kimia
Pada proses transfer massa atau reaksi kimia, maka variabel proses yang
dimaksudkan adalah konsentrasi (yang dalam hal ini dinyatakan dengan simbol C) dari
suatu spesies yang menjadi interest untuk diperhitungkan.
Dalam hal ini, yang dimaksud dengan proses transfer adalah proses transfer (baik
secara aliran maupun antar muka) dari spesies yang dimaksud. Proses transfer antar muka
dalam hal ini dinyatakan dengan simbol J . Demikian juga yang dimaksud dengan reaksi adalah reaksi kimia yang berkaitan dengan spesies tersebut. Dalam hal ini, juga masih
digunakan simbol '''R untuk menyatakan densitas reaksi.
Proses transfer antar muka J dapat dinyatakan sebagai berikut :
Ljjyjj CKCkAJ ,
(1.19)
Dalam hal ini, jA menyatakan luas dari segmen permukaan ke-j, jyk , menyatakan
koefisien transfer massa pada segmen permukaan ke-j, jK adalah koefisien kesetimbangan
massa antara segmen permukaan ke-j dengan lingkungan LC adalah konsentrasi spesies
yang dimaksudkan pada lingkungan Arah transfer pada persamaan (1.19) tergantung pada
nilai C dan KCL. Jika C > KCL maka arah transfer adalah keluar dari sistem sedangkan jika
C < KCL maka arah transfer adalah masuk ke dalam sistem.
Tabel 1.4 menunjukkan rangkuman persamaan proses transfer massa atau reaksi
kimia pada pendekatan lumped parameter. Pada Tabel 14 tersebut, L menyatakan jumlah segmen permukaan transfer antar muka. Konsentrasi massa spesies keluar dari sistem
tentunya adalah sama dengan konsentrasi massa spesies pada medium di dalam sistem. Hal
ini karena pada saluran keluaran tidak terdapat reaksi yang mengubah konsentrasi spesies
yang menjadi interest untuk perhitungan.
Tabel 1.4 Rangkuman persamaan proses transfer massa atau reaksi kimia pada pendekatan
lumped parameter
Medi-
um
Volu-
me
sistem Persamaan proses transfer massa atau reaksi kimia
Fluida
kom-
pre-
sibel
ber-
ubah
''''''1
,
1 ,
,
1 ,
,,RRVCKCkA
CmCm
dt
CdV L
j
Ljjyj
No
j jo
joNi
j ji
jiji
tetap
''''''1
,
1 ,
,
1 ,
,,RRVCKCkA
CmCm
dt
CdV
L
j
Ljjyj
No
j jo
joNi
j ji
jiji
Fluida
non
kom-
pre-
sibel
ber-
ubah
''''''
1
1
,
1
,
1
,, RRVCKCkACmCmdt
dVC L
j
Ljjyj
No
j
jo
Ni
j
jiji
tetap
''''''
1
1
,
1
,
1
,, RRVCKCkACmCmdt
dCV
L
j
Ljjyj
No
j
jo
Ni
j
jiji
Padat-
an
elastis
ber-
ubah
''''''1
, RRVCKCkAdt
CdV L
j
Ljjyj
Padat-
an rigid tetap
''''''1
, RRVCKCkAdt
dCV
L
j
Ljjyj
17
4. Penyusunan persamaan energi total
Untuk menyusun persamaan energi total, terlebih dahulu disusun neraca energi
pada sistem. Dalam hal ini :
ss wwgzv
pue 2
2
1
(1.19)
WQJ (1.20)
''''''''' fqR (1.21)
Dan :
''''''''' fqR (1.22)
Dengan : e : Energi yang dikandung medium per satuan massa medium u : Energi dalam medium per satuan massa medium p : Tekanan medium : Densitas medium v : Kecepatan gerak medium g : Percepatan gravitasi
z : Posisi ketinggian
sw : Penambahan kerja pada aliran fluida (dengan adanya pompa atau kompresor)
sw : Pengurangan kerja pada aliran fluida (dengan adanya turbin atau ekspander)
Q : Laju transfer kalor antar muka
W : Laju transfer kerja antar muka
'''q : Laju pembangkitan kalor dalam medium per satuan volume medium
'''q : Laju penyerapan kalor dalam medium per satuan massa medium
'''f : Laju pembangkitan energi mekanik dalam medium (dengan adanya pengaduk,
percepatan gerak fluida akibat gaya gravitasi, elektomagnet) per satuan massa
medium
'''f : Laju pengurangan energi mekanik dalam medium (dengan adanya penghalang
aliran, perlambatan gerak fluida akibat gaya gravitasi, elektomagnet) per
satuan massa medium
Dengan mensubstitusikan persamaan (1.19) hingga persamaan (1.22) ke persamaan (1.13),
diperoleh :
''''''''''''
2
1
2
1
2
1
1
,
1
,
,
2
1 ,
,
1 ,
2
,
,2
ffqqV
WQWQ
wwgzvp
um
wwgzvp
um
gzvp
udt
dV
Lo
j
jo
Li
j
ji
jo
ss
No
j jo
jo
Ni
j ji
ss
ji
ji
(1.23)
18
Persamaan (1.23) menyatakan bentuk umum dari persamaan neraca energi total pada suatu
sistem dengan menggunakan pendekatan lumped parameter. Seringkali digunakan besaran entalpi (h) per satuan massa medium sebagai berikut :
puh (1.24)
Dengan menggunakan entalpi, persamaan umum neraca energi total dapat ditulis menjadi :
''''''''''''
2
1
2
1
2
1
1
,
1
,
,
2
1 ,
,
1 ,
2
,
,2
ffqqV
WQWQ
wwgzvhm
wwgzvhm
gzvhdt
dV
Lo
j
jo
Li
j
ji
jo
ss
No
j jo
jo
Ni
j ji
ss
ji
ji
(1.25)
Proses transfer kalor antar muka dapat terjadi secara konveksi antar muka atau secara
radiasi, sehingga :
RI QQQ (1.26)
Pada persamaan (1.26) ini, IQ menyatakan laju transfer kalor konveksi antar muka
sedangkan RQ menyatakan laju transfer kalor radiasi. Berdasarkan formulasi dasar transfer
kalor konveksi antar muka dan transfer kalor radiasi, maka :
LjjjI TTAQ , (1.27)
44, LjjjR TTAQ (1.28)
Dalam hal ini, jA menyatakan luas dari segmen permukaan ke-j, j menyatakan koefisien
transfer kalor konveksi antara muka dari segmen permukaan ke-j ke lingkungan, T
menyatakan suhu sistem, LT menytatakan suhu lingkungan, adalah koefisien Stefan
Botzmann, j adalah factor pandangan dari segmen permukaan ke-j terhadap lingkungan.
Dengan demikian persamaan neraca energi total sistem dengan term energi dalam
adalah :
''''''''''''
''
2
1
2
1
2
1
1
44
,
2
1 ,
,
1 ,
2
,
,2
ffqqV
WTTTTA
wwgzvp
um
wwgzvp
um
gzvp
udt
dV
L
j
LjLjj
jo
ss
No
j jo
jo
Ni
j ji
ss
ji
ji
(1.29)
19
Sedangkan persamaan neraca energi total sistem dengan term entalpi adalah :
''''''''''''
''
2
1
2
1
2
1
1
44
,
2
1 ,
,
1 ,
2
,
,2
ffqqV
WTTTTA
wwgzvhm
wwgzvhm
gzvhdt
dV
L
j
jLjLjj
jo
ss
No
j jo
jo
Ni
j ji
ss
ji
ji
(1.30)
Pada persamaan (1.29) dan persamaan (1.30), ''W menyatakan laju transfer kerja (baik masuk system maupun ke luar sistem) per satuan luasan permukaan sistem. Arah transfer kalor antar muka
adalah keluar sistem jika LTT dan masuk sistem jika LTT .
5. Penyusunan persamaan energi mekanik
Pada pendekatan lumped parameter, persamaan energi mekanik sering digunakan untuk mewakili neraca momentum. Persamaan energi mekanik digunakan untuk
menghitung dinamika mekanik sistem. Pada sistem dengan medium fluida, dinamika ini
meliputi aliran fluida keluar dan masuk sistem serta perilaku volumetrik sistem, yaitu
apakah sistem mengalami ekspansi atau kompresi volumetrik. Sedangkan pada sistem
dengan medium padatas elastis, dinamika mekanik hanya berkaitan dengan apakah sistem
mengalami ekspansi atau kompresi volumetrik.
Persamaan energi mekanik disusun dengan menghilangkan suku-suku yang
berkaitan dengan energi termal pada persamaan (1.29) atau persamaan (1.30). Satu hal
yang perlu diperhatikan adalah adanya rugi-rugi gerakan atau aliran fluida yang biasanya
terjadi akibat friksi. Rugi-rugi ini mengkonversi energi mekanik menjadi energi termal.
Pada persamaan neraca energi total, tidak terdapat suhu yang menyatakan rugi-rugi
aliran. Hal ini karena pengurangan energi mekanik akibat rugi-rugi aliran adalah tepat
sama dengan peningkatan energi termal yang ditimbulkan.
Pada persamaan neraca energi mekanik, maka friksi diperhitungkan sebagai salah
satu proses yang mengurangi energi mekanik. Dengan demikian, berdasarkan persamaan
(1.29) dan persamaan (1.30), dapat disusun persamaan neraca energi mekanik sistem
sebagai berikut :
''''''''
2
1
2
1
2
1
1
,
2
1 ,
,
1 ,
2
,
,2
ffVWA
wwgzvm
wwgzvm
gzvdt
dV
L
j
jj
jo
ss
No
j jo
joNi
j ji
ss
ji
ji
(1.31)
Dalam hal ini menyatakan pengurangan energi mekanik akibat rugi-rugi aliran fluida per satuan volume sistem. Persamaan (1.31) berlaku secara lebih umum, yaitu berlaku
untuk medium fluida kompresibel dan volume sistem dapat berubah.
Jika medium adalah fluida kompresibel tetapi volume sistem tetap, maka
persamaan (1.31) dapat disederhanakan menjadi persamaan (1.32). Sebaliknya, jika
medium adalah fluida non kompresibel tetapi volume sistem dapat berubah, maka
20
persamaan (1.31) dapat disederhanakan menjadi persamaan (1.33). Sedangkan jika
medium adalah fluida non kompresibel dan volume sistem tetap, maka persamaan (1.31)
dapat disederhanakan menjadi persamaan (1.34).
''''''''
2
1
2
1
2
1
1
,
2
1 ,
,
1 ,
2
,
,2
ffVWA
wwgzvm
wwgzvm
gzvdt
dV
L
j
jj
jo
ss
No
j jo
joNi
j ji
ss
ji
ji
(1.32)
''''''''
2
1
2
11
2
1
1
,
2
1
,
1 ,
2
,
2
ffVWA
wwgzvmwwgzvmgzvdt
dV
L
j
jj
jo
ss
No
j
jo
Ni
j ji
ssji
(1.33)
''''''''
2
1
2
110
1
,
2
1
,
1 ,
2
,
ffVWA
wwgzvmwwgzvm
L
j
jj
jo
ss
No
j
jo
Ni
j ji
ssji
(1.34)
Pada sistem dengan medium padatan elastis, tidak terjadi aliran atau gerakan fluida
secara makro. Dinamika mekanis hanya berkaitan dengan apakah sistem mengalami
ekspansi atau kompresi volumetrik. Dengan demikian, persamaan neraca energi mekanik
menjadi :
''''''''1
ffVWAdt
dVgz
L
j
jj (1.35)
Tabel 1.5 menunjukkan rangkuman persamaan neraca energi mekanik sistem pada
pendekatan lumped parameter.
5. Penyusunan persamaan energi termal
Persamaan energi termal pada sistem dengan pendekatan lumped parameter dapat disusun dengan menghilangkan suku-suku yang berkaitan dengan energi mekanik pada
persamaan neraca energi total. Rugi-rugi aliran akibat friksi harus diperhitungkan sebagai
suku sumber yang menambah energi termal.
Dengan demikian, persamaan neraca energi termal sistem pada pendekatan
lumped parameter dengan term energi dalam adalah :
''''''1
44
,1 ,
,
1 ,,
,
qqVTTTTA
pu
mpu
mpu
dt
dV
L
j
LjLjj
jo
No
j jo
joNi
j jiji
ji
(1.38)
Dengan demikian, persamaan neraca energi termal sistem pada pendekatan
lumped parameter dengan term entalpi adalah :
21
''''''1
44
1 ,
,
1 ,
,,
qqVTTTTA
hmhm
dt
hdV
L
j
LjLjj
No
j jo
joNi
j ji
jiji
(1.37)
Tabel 1.5 Rangkuman persamaan neraca energi mekanik sistem pada pendekatan lumped parameter
Medi-
um
Volu-
me
sistem Persamaan neraca energi mekanik
Fluida
kom-
pre-
sibel
ber-
ubah
''''''''
2
1
2
1
2
1
1
,
2
1 ,
,
1 ,
2
,
,2
ffVWA
wwgzvm
wwgzvm
gzvdt
dV
L
j
jj
jo
ss
No
j jo
joNi
j ji
ss
ji
ji
tetap
''''''''
2
1
2
1
2
1
1
,
2
1 ,
,
1 ,
2
,
,2
ffVWA
wwgzvm
wwgzvm
gzvdt
dV
L
j
jj
jo
ss
No
j jo
joNi
j ji
ss
ji
ji
Fluida
non
kom-
pre-
sibel
ber-
ubah
''''''''
2
1
2
11
2
1
1
,
2
1
,
1 ,
2
,
2
ffVWA
wwgzvmwwgzvmgzvdt
dV
L
j
jj
jo
ss
No
j
jo
Ni
j ji
ssji
tetap
''''''''
2
1
2
110
1
,
2
1
,
1 ,
2
,
ffVWA
wwgzvmwwgzvm
L
j
jj
jo
ss
No
j
jo
Ni
j ji
ssji
Padat-
an
elastis
her-
ubah
''''''''1
ffVWAdt
dVgz
L
j
jj
Pada persamaan (1.37), entalpi keluaran adalah sama dengan entalpi sistem karena
pada saluran keluaran tidak terjadi pembangkitan atau pengurangan kalor yang mengubah
entalpi. Persamaan (1.37) berlaku secara lebih umum, yaitu berlaku untuk medium fluida
kompresibel dan volume sistem dapat berubah.
Jika medium adalah fluida kompresibel tetapi volume sistem tetap, maka
persamaan (1.37) dapat disederhanakan menjadi persamaan (1.38). Sebaliknya, jika
medium adalah fluida non kompresibel tetapi volume sistem dapat berubah, maka
persamaan (1.37) dapat disederhanakan menjadi persamaan (1.39). Sedangkan jika
medium adalah fluida non kompresibel dan volume sistem tetap, maka persamaan (1.37)
dapat disederhanakan menjadi persamaan (1.40). Pada sistem dengan medium padatan,
tidak terjadi aliran atau gerakan fluida secara makro. Untuk medium padatan elastis,
22
persamaan (1.37) dapat disederhanakan menjadi persamaan (1.41). Sedangkan untuk
medium padatan rigid, persamaan (1.37) dapat disederhanakan menjadi persamaan (1.42).
''''''1
44
1 ,
,
1 ,
,,
qqVTTTTA
hmhm
dt
hdV
L
j
LjLjj
No
j jo
joNi
j ji
jiji
(1.38)
''''''
1
1
44
1
,
1
,,
qqVTTTTA
hmhmdt
dVh
L
j
LjLjj
No
j
jo
Ni
j
jiji
(1.39)
''''''
1
1
44
1
,
1
,,
qqVTTTTA
hmhmdt
dhV
L
j
LjLjj
No
j
jo
Ni
j
jiji
(1.40)
''''''1
44 qqVTTTTAdt
hdV L
j
LjLjj
(1.41)
''''''1
44 qqVTTTTAdt
dhV
L
j
LjLjj (1.42)
Tabel 1.6 menunjukkan rangkuman persamaan neraca energi termal sistem pada
pendekatan lumped parameter. Pada Tabel 1.6, persamaan neraca energi termal dfinyatakan dalam term energi dalam, entalpi atau suhu. Term energi dalam lebih tepat
digunakan untuk medium yang mengalami perubahan densitas cukup signifikan, yaitu
fluida kompresibel dan padatan elastis. Sementara itu, term entalpi dapat digunakan secara
lebih umum untuk semua medium. Pada medium satu fasa, pesamaan neraca energi termal
dapat dinyatakan dalam term suhu berdasarkan hubungan antara entalpi dengan suhu
sebagai berikut :
Tch p (1.43)
Pada persamaan (1.43), pc menyatakan kalor spesifik medium pada tekanan tetap.
Tabel 1.6 Rangkuman persamaan neraca energi termal sistem pada pendekatan lumped parameter
Medi-
um
Volu-
me
sistem
dalam
term Persamaan neraca energi termal
Fluida
kom-
pre-
sibel
ber-
ubah
energi
dalam
''''''1
44
1 ,
,
1 ,,
,
qqVTTTTA
pu
mpu
mpu
dt
dV
L
j
LjLjj
No
j jo
joNi
j jiji
ji
23
Medi-
um
Volu-
me
sistem
dalam
term Persamaan neraca energi termal
entalpi
''''''1
44
1 ,
,
1 ,
,,
qqVTTTTA
hmhm
dt
hdV
L
j
LjLjj
No
j jo
joNi
j ji
jiji
suhu
''''''1
44
1 ,
,
1 ,
,,,,
qqVTTTTA
TcmTcm
dt
TcdV
L
j
LjLjj
No
j jo
pjoNi
j ji
jijipjip
tetap
energi
dalam
''''''1
44
1 ,
,
1 ,,
,
qqVTTTTA
pu
mpu
mpu
dt
dV
L
j
LjLjj
No
j jo
joNi
j jiji
ji
entalpi
''''''1
44
1 ,
,
1 ,
,,
qqVTTTTA
hmhm
dt
hdV
L
j
LjLjj
No
j jo
joNi
j ji
jiji
suhu
''''''1
44
1 ,
,
1 ,
,,,,
qqVTTTTA
TcmTcm
dt
TcdV
L
j
LjLjj
No
j jo
pjoNi
j ji
jijipjip
Fluida
non
kom-
pre-
sibel
ber-
ubah
entalpi
''''''
1
1
44
1
,
1
,,
qqVTTTTA
hmhmdt
dVh
L
j
LjLjj
No
j
jo
Ni
j
jiji
suhu
''''''
1
1
44
1
,
1
,,,,
qqVTTTTA
TcmTcmdt
TdVc
L
j
LjLjj
No
j
pjo
Ni
j
jijipji
p
tetap entalpi
''''''
1
1
44
1
,
1
,,
qqVTTTTA
hmhmdt
dhV
L
j
LjLjj
No
j
jo
Ni
j
jiji
24
Medi-
um
Volu-
me
sistem
dalam
term Persamaan neraca energi termal
suhu
''''''
1
1
44
1
,
1
,,,,
qqVTTTTA
TcmTcmdt
TdcV
L
j
LjLjj
No
j
pjo
Ni
j
jijipji
p
Padat-
an
elastis
her-
ubah
energi
dalam
''''''
1
44
qqV
TTTTAp
udt
dV L
j
LjLjj
entalpi
''''''1
44 qqVTTTTAdt
hdV L
j
LjLjj
suhu
''''''1
44 qqVTTTTAdt
TcdV L
j
LjLjj
p
Padat-
an rigid tetap
entalpi
''''''1
44 qqVTTTTAdt
dhV
L
j
LjLjj
suhu
''''''1
44 qqVTTTTAdt
TdcV
L
j
LjLjj
p
C. SISTEM DENGAN GAYA PENGEMBALI (RESTORING FORCE)
Penurunan persamaan proses dengan metoda lumped parameter yang diuraikan pada Sub Bab I.B. berlaku untuk proses-proses yang tidak memiliki restoring force (gaya pengembali). Proses-proses berkaitan dengan transfer dan pembangkitan kalor serta
transfer massa dan reaksi kimia serta aliran fluida termasuk dalam kelompok proses yang
tidak memiliki restoring force. Gaya pengembali (restoring force) adalah suatu sifat alamiah yang akan mengembalikan sistem ke keadaan (state) semula jika dikenai gangguan yang
menyimpangkan keadaan dari sistem tersebut. Gaya pengembali dijumpai dalam proses
mekanik pada sistem yang punya sifat elastis dan proses aliran listrik dengan adanya efek
induksi elektromagnetik.
Dalam sistem mekanik pada suatu benda elastis, dikenal hukum elastisitas Hooke
sebagai berikut :
kxFH (1.44)
Dalam hal ini F adalah gaya yang dikenakan pada sistem elastis yang bersangkutan yang
menghasilkan simpangan sebesar x dari posisi kedudukan semula (posisi kedudukan
kesetimbangan). Parameter k adalah koefisien Hooke. Gaya HF ini selanjutnya disebut
sebagai gaya Hooke. Tanda minus menunjukkan bahwa arah gaya Hooke selalu
berlawanan dengan arah simpangan. Dengan kata lain gaya Hooke selalu berusaha untuk
mengembalikan ke posisi kesetimbangan.
Selanjutnya akan dijelaskan salah satu contoh sistem dengan gaya pengembali.
Dalam hal ini sistem mekakin elastis diambil sebagai contoh tersebut.
25
1. Penurunan persamaan gerak sistem elastis dengan gaya pengembali
Gambar 1.2 menunjukkan diagram gaya yang bekerja pada suatu sistem mekanik
elastis. Pada Gambar 1.2, gaya HF menyatakan gaya Hooke, yaitu gaya yang berkaitan
dengan sifat elastis sistem. Gaya W menyatakan gaya gravitasi atau gaya berat, gaya FF
adalah gaya hambatan gerakan (terutama akibat gesekan antara system dengan medium
lingkungan). Sedangkan gaya EF adalah gaya yang berasal dari sebab-sebab eksternal
yang dikenakan ke sistem. Parameter menyatakan koefisien gesekan sedangkan g adalah percepatan gravitasi..
M
W
k
FS
FE
KETERANGAN
M : Massa total sistem
k : Konstanta Hooke
W : Gaya berat sistem
FS : Gaya gesekan
FI : Gaya eksternal
: Koefisien gesekan g : Percepatan gravitasi
x : Jarak simpangan
v : Kecepatan gerak
a : Percepatan
FH
MgW kxFH
dt
dxvFS
Gambar 1.2. Diagram gaya pada suatu sistem mekanik elastis
Gaya berat atau gaya gravitasi secara lebih umum dinyatakan sebagai :
. MgSinW (1.45)
Di mana adalah sudut kemiringan terhadap bidang horizontal. Pada Gambar 1.2, sistem
berposisi vertikal sehingga 1Sin . Gaya gesekan diasumsikan sebanding dan berlawanan arah dengan kecepatan gerak
sehingga :
vFS (1.46)
Di mana v adalah kecepatan gerak. Dalam hubungannya dengan simpangan ( x ) dan waktu (t), kecepatan gerak dapat dinyatakan sebagai :
dt
dxv (1.47)
Dengan demikian, persamaan (1.46) menjadi :
dt
dxFS (1.48)
Gaya total yang bekerja pada benda ( TF ) adalah :
26
EHST FWFFF (1.49)
Gaya ini akan memberikan percepatan gerak pada system sesuai dengan hukum gerak
Newton, yaitu :
MaFT (1.50)
Dalam hal ini a adalah percepatan sistem. Hubungan antara percepatan dengan kecepatan
dan simpangan serta waktu dapat dinyatakan sebagai :
2
2
dt
xd
dt
dva (1.51)
Sehingga persamaan (1.50) menjadi :
2
2
dt
xdMFT (1.52)
Dengan mensubstitusikan persamaan (1.52), persamaan (1.48), persamaan (1.45)
dan persamaan (1.44) ke persamaan (1.49), maka diperoleh :
EFMgSinkxdt
dx
dt
xdM
2
2
(1.53)
Atau :
EFMgSinkxdt
dx
dt
xdM
2
2
(1.54)
Atau :
M
FgSinx
M
k
dt
dx
Mdt
xd E
2
2
(1.55)
Persamaan (1.55) merupakan persamaan gerak system mekanik elastis.
2. Perilaku sistem mekanik elastis
Perilaku sistem mekanik elastis ditentukan pada saat sistem tersebut melakukan
gerakan bebas, yaitu setelah tidak berada pada suatu medan gaya dan sekaligus setelah
pengaruh gaya eksternal dihilangkan.
Persamaan gerak sistem mekanik elastik dalam keadaan bebas menjadi :
02
2
xM
k
dt
dx
Mdt
xd (1.56)
Selanjutnya, diasumsikan bahwa nilai parameter dan k adalah konstant.
Didefinisikan operator diferensial D sebagai berikut :
dt
dD (1.57)
Sehingga persamaan (1.57) menjadi :
02 xM
kDx
MxD
(1.58)
27
Atau :
02
x
M
kD
MD
(1.59)
Persamaan karakteristik dari persamaan (1.59) adalah :
02 M
k
M
(1.60)
Persamaan karakteristik ini dapat difaktorkan menjadi :
021 (1.61)
Dalam hal ini 1 dan 2 masing-masing adalah akar pertama dan akar kedua dari
persamaan karakteristik. Kedua akar tersebut dapat dihitung sebagai :
M
k
M
k
MM 2
44
2
122
1
(1.62)
M
k
M
k
MM 2
44
2
122
2
(1.63)
Penyelesaian umum dari persamaan (1.59) adalah :
tCtCx 2211 expexp (1.64)
Bilangan C1 dan C2 adalah konstanta integrasi.
Dalam hal ini, terdapat 3 kondisi yaitu :
- 21 dan keduanya bilangan riil
- 21 dan merupakan bilangan riil
- 1 dan 2 merupakan sepasang bilangan komplek yang berkawanan (konjugate)
a. Kondisi 1, 21 dan keduanya bilangan riil
Kondisi ini terjadi ketika k42 . Dalam hal ini 1 dan 2 yang terdapat pada
persamaan (1.61) dan persamaan (1.62) keduanya merupakan bilangan riil yang berbeda,
yaitu :
M
k
2
42
1
(1.65)
M
k
2
42
2
(1.66)
Sehingga pada kondisi ini, penyelesaian dari persamaan gerak bebas, yaitu persamaan
(1.59) adalah :
28
t
M
kCt
M
kCx
2
4exp
2
4exp
2
2
2
1
(1.67)
Karena k42 , maka hal ini berarti k42 . Dengan demikian kedua
suku eksponensial pada persamaan (1.67) merupakan suku eksponensial dengan pangkat
negatif. Dengan demikian nilai simpangan (x) akan selalu menurun terhadap waktu (t).
Dengan kata lain nilai simpangan selalu teredam sempurna terhadap waktu.
Oleh karena ini, kondisi di mana k42 atau kondisi di mana 21 dan
keduanya bilangan riil dapat dikatakan sebagai kondisi teredam sempurna.
b. Kondisi 2, 21 dan merupakan bilangan riil
Kondisi ini terjadi ketika k42 . Dalam hal ini 1 dan 2 yang terdapat pada
persamaan (1.61) dan persamaan (1.62) keduanya menjadi bilangan riil yang sama, yaitu :
M221
(1.68)
Sehingga pada kondisi ini, penyelesaian dari persamaan gerak bebas, yaitu persamaan
(1.59) adalah :
M
ttC
M
tCx
2exp
2exp 21
(1.69)
Eksponensial pada kedua suku merupakan eksponensial yang bernilai negatif.
Dengan jelas dapat diketahui bahwa nilai suku pertama selalu menurun terhadap waktu.
Suku kedua dibentuk dengan mengalikan nilai eksponensial yang sama dengan suku
pertama dengan t. Penurunan akibat nilai eksponensial ini masih lebih besar daripada
kenaikan akibat perkalian dengan t. Dengan demikian dalam kondisi ini masih terjadi
redaman. Hanya saja redaman yang terjadi disebut sebagai redaman kritis.
Oleh karena ini, kondisi di mana k42 atau kondisi di mana 21 dan
keduanya bilangan riil dapat dikatakan sebagai kondisi teredam kritis.
c. Kondisi 3, 1 dan 2 merupakan sepasang bilangan komplek yang berkawanan
(konjugate)
Kondisi ini terjadi ketika k42 . Dalam hal ini 1 dan 2 yang terdapat pada
persamaan (1.61) dan persamaan (1.62) keduanya merupakan bilangan bilangan komples
yang berkawanan (konjugate), yaitu :
2
2
1 4222
4
k
M
i
MM
ki (1.70)
2
2
2 4222
4
k
M
i
MM
ki (1.71)
Dalam hal ini i adalah bilangan imajiner satuan, yaitu :
29
1i (1.72)
Sehingga pada kondisi ini, penyelesaian dari persamaan gerak bebas, yaitu persamaan
(1.59) adalah :
t
M
kiCt
M
kiCx
2
4exp
2
4exp
2
2
2
1
(1.73)
Atau :
t
M
ki
M
tCt
M
ki
M
tCx
2
4exp
2exp
2
4exp
2exp
2
2
2
1
(1.74)
Atau :
t
M
kiCt
M
kiC
M
tx
2
4exp
2
4exp
2exp
2
2
2
1
(1.75)
Atau :
M
ktSinC
M
ktCosC
M
tx
2
4
2
4
2exp
2
*
2
2
*
1
(1.76)
Suku eksponensial di depan tanda kurung pada persamaan (1.76) merupakan
eksponensial dengan pangkat negatif. Akan tetapi terdapat fungsi Sinus dan Cosinus yang
merupakan fungsi yang bersifat osilasi. Dengan demikian, dalam hal ini simpangan akan
teredam tetapi sempat mengalami osilasi.
Oleh karena ini, kondisi di mana k42 atau kondisi di mana 1 dan
2 merupakan sepasang bilangan komplek yang berkawanan (konjugate) dapat dikatakan
sebagai kondisi teredam osilasi.
d. Kesimpulan untuk perilaku sistem mekanik dengan gaya pengembali (restoring force) Dapat disimpulkan bahwa pada sistem mekanik dengan gaya pengembali
(restoring force) terdapat tiga kemungkinan perilaku, yaitu :
- perilaku teredam sempurna, jika k42
- perilaku teredam kritis, jika k42
- perilaku teredam osilasi, jika k42
30
BAB II. KALKULUS VEKTOR DAN TENSOR
A. PENGERTIAN
Besaran fisik dapat dikelompokkan berdasarkan nilai (magnitude) dan arahnya.
Dalam pengelompokan ini, besaran fisik dibedakan menjadi :
- scalar - vector - tensor
1. Pengertian skalar
Skalar adalah besaran fisis yang hanya memiliki nilai (magnitude) dan tanpa
memiliki arah. Contoh scalar adalah : panjang, massa, waktu, luas area, volume, energi,
tekanan hidrostatik, kelajuan (speed), densitas dan sebagainya.
2. Pengertian vector
Vektor adalah besaran fisik yang memiliki nilai (magnitude) dan satu arah (1 arah).
Contoh vector adalah : kecepatan (velocity), percepatan, gaya, momentum, fluks transfer
dari besaran scalar. Pada fluks transfer besaran scalar, arah yang timbul adalah arah dari
proses transfer.
3. Pengertian tensor
Tensor adalah besaran fisik yang memiliki nilai (magnitude) dan dua arah (2 arah)
Contoh tensor adalah fluks transfer dari besaran vector, misalnya fluks transfer
momentum. Dalam hal ini arah pertama adalah arah yang dimiliki oleh besaran yang
mengalami transfer (misalnya arah momentum atau kecepatan) sedangkan arah kedua
adalah arah dari proses transfernya
B. SISTEM KOORDINAT DAN ELEMEN VOLUME
Proses transport merupakan proses perpindahan variabel proses dalam suatu ruang.
Oleh sebab itu dalam perhitungan berbagai proses transport diperlukan spesifikasi sistem
koordinat ruang yang digunakan. Selanjutnya persamaan proses akan diusun pada suatu
unit volume kecil yang disebut elemen volume.
Ruang empiris melibatkan tiga sumbu ruang untuk dapat menspesifikasikan lokasi
suatu titik secara tertentu. Ruang dengan tiga sumbu semacam ini disebut sebagai ruang
tiga dimensi (ruang 3D).
Sistem koordinat yang sering dipakai untuk menspesifikasikan posisi dalam ruang
3D pada umumnya ada 3 macam, yaitu :
- sistem koordinat Cartesian - sistem koordinat Silinder - sistem koordinat Bola
1. Sistem koordinat Cartesian.
Sistem koordinat Cartesian dalam ruang 3 dimensi disusun menggunakan tiga (3)
sumbu arah berupa garis lurus yang berpotongan tegak lurus pada pangkal koordinat.
31
Ketiga sumbu tersebut berupa dua sumbu horizontal yang sering disebut sebagai sumbu
arah x dan sumbu arah y serta satu sumbu vertikal yang sering disebut sebagai sumbu arah
z. Elemen volume pada sistem koordinat Cartesian disusun dengan mengambil suatu
panjang inkremental pada masing-masing sumbu.
Ilustrasi sistem koordinat Cartesian serta diagram skematik elemen volume dan
besaran besaran yang terkait (panjang lintasan inkremental, luas diferensial dan volume
diferensial) dapat dilihat pada Gambar 2.1
x
y
z
P(x,y,z)
x
y
z
Volume diferensial :
zyxV
Luas Area Diferensial
yxA
zxA
zyA
z
y
x
Panjang lintasan incremental
zl
yl
xl
z
y
x
Gambar 2.1. Elemen volume, panjang lintasan incremental, luas diferensial dan volume
diferensial pada koordinat Cartesian
2. Sistem koordinat Silinder
Sistem koordinat Silinder dalam ruang 3 dimensi disusun menggunakan tiga (3)
sumbu arah yaitu sumbu arah radial pada bidang horizontal yang sering disebut sumbu r,
sumbu arah melingkar yang selalu tegak lurus dengan sumbu r yang sering disebut sebagai
sumbu arah serta satu sumbu vertikal yang sering disebut sebagai sumbu arah z. Elemen volume pada sistem koordinat Cartesian disusun dengan mengambil suatu panjang
inkremental pada masing-masing sumbu.
Ilustrasi sistem koordinat Cartesian serta diagram skematik elemen volume dan
besaran besaran yang terkait (panjang lintasan inkremental, luas diferensial dan volume
diferensial) dapat dilihat pada Gambar 2.2
32
z
x
y
z
P(r,,z)
r
Transformasi variabel posisi ruang
Cartesian ke Silinder Silinder ke Cartesian
22 yxr rCosx
xyarcTan rSiny z = z z = z
r
r
Volume diferensial :
zrrV
zrrV
Luas Area Diferensial
rrA
zrA
zrA
z
r
Panjang lintasan incremental
zl
rl
rl
z
r
Gambar 2.2. Elemen volume, panjang lintasan inkremental luas diferensial dan volume
diferensial pada koordinat Silinder
3. Sistem koordinat Bola
Sistem koordinat