Apa itu Pemodelan Matematika?MenjelajahiGuru Calon 'Penggunaan Percobaan untukHubungkan Matematika untuk Studi Gerak Makalah ini berfokus pada pembangunan, pengembangan, dan penggunaan matematikaModel oleh ilmu pengetahuan dan calon guru matematika terdaftar di universitasfisika saja.Dengan mempelajari keterlibatan mereka dalam penyelidikan berbasis, eksperimentalpendekatan kinematika belajar, kita mengatasi pertanyaan mendasar tentangmakna dan peran abstraksi dalam pemodelan ketika pendekatan tersebut melibatkansiswa menghadapi dan menyelesaikan kesalahan eksperimental.Kami menggunakan "ketegangan"kerangka untuk mengeksplorasi kemampuan peserta didik untuk membuat koneksi yang diperlukanantara model matematika abstrak dan fenomena fisik.Dalam beberapa tahun terakhir penggunaan model dalam pengajaran dan pembelajaran ilmu pengetahuan telah diberikanserius dipertimbangkan oleh peneliti pendidikan sains (Halloun, 1996; Hestenes,1992, 1993; Wells, Hestenes, & Swackhamer, 1995).Demikian juga, penelitian tentang peranmodel dan pemodelan dalam matematika pendidikan juga muncul (Confrey &Doerr, 1994; Doerr & Inggris, 2003; Doerr & Tripp, 1999; Lesh & Doerr, 2003).Dukungan untuk penelitian pendidikan melibatkan pemodelan berjanji untuk melanjutkan(Blum, Galbraith, Henn, & Niss, 2007) dan kemungkinan akan menjawab pentingpertanyaan terkait dengan pembelajaran mahasiswa matematika dan ilmu pengetahuan melaluipenyelidikan.Sebagai contoh, beberapa penelitian saat ini difokuskan pada pemodelan yangmendukung belajar siswa statistik dalam cara yang sangat kontekstual dan bermakna(Lehrer & Schuble, 2002).Baru-baru ini, komunitas riset internasionaldisajikan studi pendekatan pemodelan di kelas matematika padaskala global dan menekankan dampaknya terhadap pembelajaran matematika (Blum,Galbraith, Henn, & Niss, 2007; Matos, Blum, Houston, & Carreira, 2001).Makalah ini berfokus pada apa yang kita sebut "model matematika"; merekapembangunan, pengembangan, dan penggunaan di kelas melalui penyelidikan berbasispendekatan untuk mengajar dan belajar kinematika.Kami bergantung pada pandangan bahwa suatumodel ilmiah menjadi suatu model matematis jika model menggambarkan ataumerupakan situasi dunia nyata dengan membangun matematika (atau konstruksi)melibatkan konsep-konsep matematika dan alat (Pollak, 2003).Sebuah model matematikamerupakan penduduk dalam domain tertentu matematika (seperti aljabar, geometri, danstatistik) karena algoritma dan formula, namun, matematikayang terlibat dalam model harus dibuat wajar dalam dua cara, tidak hanya dalam nyamatematika "kebenaran" yang berkaitan dengan domain di mana ia tinggal, tapijuga dalam situasi dunia nyata yang mewakili (Pollak, 2003).Transferdari ilmiah untuk model matematika juga melibatkan mengidentifikasi dan menggunakanmatematika konstruksi seperti ruang dan mengukur serta konstruksi lainnyayang membawa wawasan untuk memecahkan masalah atau pemahaman situasi (Lehrer & Schuble, 2000).Kami menyatakan bahwa pembelajaran dengan model matematik tidak hanya memilikiaplikasi praktis, tetapi juga memiliki relevansi filosofis dan historis dalamkonstruksi pengetahuan matematika dan ilmiah (Dear, 1995; Sepkoski,2005).Ketika membaca literatur tentang pemodelan, kita bisa bertanya apakah matematikapemodelan harus dianggap sebagai kemampuan atau kompetensi dalam pembelajaranmatematika.Ini adalah dua pandangan yang tampaknya berbeda dari subjek, masing-masing dengan nyasendiri terkait set pertanyaan penelitian (Komisi Internasional MatematikaInstruksi (ICMI), 2003) dan paradigma penelitian.Akibatnya, iniparadigma menyebabkan saran-saran yang berbeda untuk metode instruksional danrekonsiliasi dari metode-metode dengan tujuan instruksional didirikan.Kami berpendapatyang mendamaikan metode-metode menjadi lebih kompleks ketika seseorang menganggappanggilan nasional untuk mengintegrasikan matematika dan ilmu pengetahuan pada tingkat kelas melaluikegiatan otentik sehingga belajar satu domain subjek dapat meningkatkanbelajar dari yang lain (Dewan Riset Nasional, 1996, 2000).Dalam aktualmatematika dan ilmiah praktek, pengembangan dan penerimaanmodel matematis yang kompleks, namun, nasional standar panggilan bagi siswa untukmenghubungkan matematika dan ilmu pengetahuan untuk fenomena dunia nyata dan belajar baiksubyek melalui kegiatan otentik.Seperti pendekatan terpadu mengungkapkan kompleksitas matematikapemodelan didasarkan pada satu kunci (dan terkait) pertanyaan yang diajukan tentang matematikapemodelan "Apa arti dan peran abstraksi, formalisasi dangeneralisasi dalam aplikasi dan pemodelan "(ICMI, 2003, hal 11) Pertanyaan ini?alamat pertimbangan epistemologis mengapa matematika yang lebih tradisionaldan ilmu pengetahuan biasanya nilai abstrak "kebenaran" atas hubungan antaramatematika dan fenomena yang nyata.Ini juga dapat ditafsirkan sebagai kebutuhan untuktidak hanya memeriksa proses kognitif dan pemikiran siswa, tetapi juga sosialpraktek di kelas.Dalam kedua kasus, peran abstraksi memainkanperan penting dan merupakan fokus penyelidikan.Apakah formal, abstrak matematika memainkan peran besar dalam pembelajaran denganmodel matematika?Jika demikian, satu pertanyaan kunci menyangkut cara-cara yangsiswa membuat hubungan antara model matematika formal danfenomena yang mereka pelajari.Masalah ini telah dibahas dalam sebelumtulisan.Sebagai contoh, dalam tubuh literatur statistik belajar, Delmas(2004) menunjukkan bahwa:Dalam praktek statistik, abstraksi model yang selalu dimulai dengan konteks.Ketika praktek ini diajarkan di kelas statistik, siswa tergantungpada karakteristik konteks untuk memandu pemilihan model dan pengembangan.Dalam beberapa hal, ini mungkin menjadi tugas yang lebih sulit daripada mental yang murnikegiatan yang diperlukan dalam penalaran matematis.Selama pemilihan model dankonstruksi, siswa menghadapi beberapa tuntutan kognitif yang sama yangdibutuhkan oleh penalaran abstrak sementara memiliki untuk memeriksa validitas modelterhadap konteks.(Hal. 91)Contoh lain menyoroti pentingnya peserta didik dituntut untuk "cocok"pengamatan mereka ke model abstrak dalam matematika dan fisika.Giere (1999) mengklaim bahwa "secara teknis benar" persamaan untuk gerakan linier dapat ditulis - satuyang melibatkan margin of error (Gambar 1).Namun, ia mengklaim "ini tidaktentu cara terbaik menafsirkan penggunaan yang sebenarnya dari model abstrak dalamilmu "(hal. 50).Penggunaan bahasa simbolis dapat memisahkan model dari yang diamatifenomena karena bahasa simbolik beruang struktur sendiri dan membutuhkan sendiriaturan penggunaan.Sebuah kesamaan antara model dan dunia harus ditarik, namunsifat abstrak dari model harus tetap utuh.Dalam pandangan Giere (dan mungkindalam pandangan ilmuwan lain), "pemodelan matematika adalah masalahmembangun model, ideal abstrak yang kemudian dapat dibandingkan untuk yangtingkat kesamaan dengan sistem nyata "(hal. 50).Inti dari klaim Giere itu dapatdianalisis dalam konteks bagaimana abstraksi yang terjadi, terutama mengingatpra-konsepsi, pengetahuan, dan pengalaman, dimana siswa tidak akan mudahmengabaikan.Selanjutnya, bidang fisika mengakui kesalahan lebih mudahdari matematika, presentasi namun dan penggunaan model abstrak di fisikakurikulum yang umum dan diharapkan.Satu bahkan dapat mengusulkan pembelajaran yangformal, struktur matematika decontextualised adalah tujuan akhir daripemodelan matematika dalam ilmu pengetahuan.Konflik tersebut dapat membuatsulit bagi interaksi kelas untuk memenuhi tujuan dari berbagai ilmu(Termasuk matematika), yang mungkin bertentangan satu sama lain.Lainmungkin ada konflik antara tujuan instruksional dari sistem pendidikan dan tujuanuntuk belajar yang kuat.Sebagai contoh apresiasi, mengembangkan untuk kesalahan eksperimentaldan ketidakpastian dapat menjadi tujuan dalam fisika dan statistik, tapi tidak menjadi pentingtujuan dalam aljabar.Teori reifikasi yang dikemukakan oleh Sfard dan Linchevski(1994) berpendapat bahwa simbol objektifikasi adalah proses yang diperlukan untukbelajar aljabar, namun, yang lain berpendapat reifikasi yang hanya satu pandangan matematika penalaran dan pengembangan.Hal ini cenderung mengabaikan sejarahperkembangan pengetahuan matematika dan bertentangan dengan yang relevanisu-isu reformasi sekolah dalam matematika termasuk belajar melalui penyelidikan(Confrey & Costa, 1996).Dalam rangka membantu siswa mencapai tujuan pembelajaran, guru harus mampumenciptakan dan memperkuat hubungan antara lebih formal, matematika abstrakkonsep dan situasi dunia nyata di mana matematika memainkan peran yang lebih diterapkan.Sebagai guru tenggelam dalam langkah pemodelan dalam lingkungan alampengalaman pribadi, matematika, dan (misalnya, fisika) ilmu pengetahuan, ketegangan munculdalam belajar siswa (dan mereka sendiri) bisa menjadi jelas kepada mereka.Jika guruadalah untuk bergerak efektif antara alam, mereka harus membuat pilihan tentang cara untukmeredakan ketegangan yang dihasilkan dalam diri mereka dan siswa mereka; pilihan sepertimemiliki dampak besar pada penggunaan pendekatan pemodelan di kelas.Misalnya, guru yang mengabaikan variasi dalam data real-time Gerak tidak akanmenyadari bahwa mereka gagal untuk memenuhi salah satu tujuan dalam fisika - untuk memperhitungkaneksperimental kesalahan.Demikian juga, guru yang tidak memajukan siswa mereka 'konseptual pengembangan murni linear (yaitu, bebas kesalahan) model untuk posisi danwaktu yang berlaku situasi yang bebas mungkin kehilangan beberapa matematika dan fisika kritispemahaman bagi siswa mereka.Oleh karena itu, guru tenggelam dalam pemodelanlingkungan memerlukan dukungan dan pengembangan profesional di kedua isi danisi pedagogi pengetahuan (Lehrer & Schuble, 2000; Petrosino, 2003).Jika tidak, banyak guru dapat mengatasi masalah tersebut dengan menghindari keteganganmelalui metode instruksi langsung yang tidak memfasilitasi konseptualpemahaman atau abstraksi.Dalam beberapa kasus, guru mungkin dapat meninggalkan sebuahPermintaan pendekatan berbasis sama sekali.Perspektif Teoritis pada Gerak BelajarMelalui PemodelanTema kritis memahami dan menyelesaikan kesalahan eksperimental seperti ituberhubungan dengan membuat koneksi antara model abstrak dan pengalaman pembelajardengan fenomena fisik yang disorot dalam tulisan ini.Kesalahan dapat dibahas dalamistilah abstrak (misalnya, simbolis dikombinasikan dengan ketergantungan pada yang formalmatematika sistem atau struktur) atau dalam istilah konsisten dengan fisikpengalaman (pengamatan dan eksperimen dikombinasikan dengan interpretasi data).Salah satu contoh hipotetis yang menyoroti isu-isu ini melibatkan sederhanaeksperimen di mana siswa memeriksa bola bowling menggelinding menuruni aula.Parasiswa diberi tugas untuk memprediksi berapa lama itu akan mengambil bola untuk perjalanan10m jika tidak diblokir oleh ujung lorong.Mereka memutuskan untuk menandai kaliseperti bola melewati lokasi yang diberikan.Seorang mahasiswa melepaskan bola dan berteriak, "Pergi!"Pada sinyal ini semua yang lain, spasi pada jarak yang sama di sepanjang jalan yang mereka harapkanbola untuk mengambil, mulai mereka berhenti-jam tangan.Masing-masing berhenti atau dia melihat-Nya sebagaibola melewati.Sampel data untuk percobaan hipotetis ditunjukkan pada Tabel 1.Pertama, siswa membuat kedua tabel dan grafik terkait posisi dibandingkanwaktu (lihat Gambar 2)Gambar 2.Plot data sampel dari percobaan hipotetis.Didasarkan pada pengetahuan sebelumnya, para siswa percaya bahwa kecepatan bola"Harus" konstan dalam situasi ini.Dari kelas sains yang telah mereka pelajaribahwa hukum fisika memperlakukan situasi nyata sebagai ideal dan gesekan diabaikan.Itumengarahkan mereka untuk percaya bahwa bola harus mencakup jarak yang sama di waktu yang sama.Dalamuntuk memprediksi waktu untuk bola untuk perjalanan 10 meter, mereka menyadari bahwa merekaperlu menghitung tingkat perwakilan jarak per waktu (atau waktu per jarak).Mereka berpendapat bahwa tingkat ini dapat ditemukan dengan mengambil jarak total yang ditempuh danmembaginya dengan waktu yang dibutuhkan untuk perjalanan jarak itu.Siswa lain, bagaimanapun, ingat ilmu mereka laporan laboratorium danpercaya bahwa mereka perlu mengambil sumber-sumber kemungkinan kesalahan ke rekening.Mereka berpendapatApa itu Pemodelan Matematika?Posisi (m) bahwa timer terakhir mungkin belum akurat, dan bahwa cara yang lebih baik untuk menemukantingkat perwakilan akan menghitung untuk masing-masing kedua berturut-turut, dan mengambilrata-rata.Namun kelompok lain mahasiswa mengakui bahwa angka inisistematis menurun.Dari grafik mereka dapat melihat bahwa data tidakbenar-benar linier sama sekali, tapi mereka masih percaya bahwa posisi terhadap waktu "harus" menjadigaris lurus.Para pelajar ini berpendapat bahwa grafik dapat digantikan oleh serangkaianbaris dari asal (Gambar 3) dan bahwa kemiringan dari garis tengah akan menjadikarakteristik tingkat.Gambar 3.Menetapkan tingkat karakteristik untuk percobaan hipotetis.Mereka ingin memperpanjang baris ini keluar sampai 10 meter dan memprediksi waktu.Salah satusiswa dalam kelompok pertama berpendapat bahwa ini tidak akan bekerja, meskipun, karenakecepatan bola akan terus mendapatkan lebih lambat karena gulungan lebih bawah lorong, tetapi memilikibelum pernah lambat seperti itu akan di tanda 10 meter.Para siswa berada pada kerugian tentang bagaimana untuk melanjutkan.Mereka yang percaya bahwasumber kesalahan seperti gesekan dan waktu reaksi manusia harus diabaikan masihingin rata-rata tingkat perubahan dan membuat satu garis model.Lainnya tersangkabahwa data ini benar-benar tidak cocok dengan model linier, tetapi tidak tahu bagaimana menunjukkan bahwacocok tidak "cukup baik," yaitu, bahwa mereka membutuhkan model yang berbeda.Datatampaknya kuadrat (beberapa dari mereka bahkan membuat mereka cocok kuadrat menggunakankalkulator) tetapi murid-murid tidak tahu bagaimana untuk membuktikan ini adalah cara yang tepat untukpergi dan tidak bisa melihat mengapa gesekan harus menyebabkan hubungan antara jarakdan waktu untuk menjadi kuadrat di tempat pertama.Berdasarkan diskusi siswa dan keterlibatan siswa dengan tugas, suatuguru mungkin menanggapi konflik ini dengan menekankan salah satu dari berikut iniperspektif yang berbeda pada pemodelan peristiwa fisik: Tidak ada gerak di alam yang benar-benar pameran kecepatan konstan dan tidak mungkinuntuk mengukur setiap kuantitas fisik dengan presisi yang tak terbatas.Sebuah model harusmencerminkan variasi dan keterbatasan semaksimal mungkin,namun semua model yang terbatas dalam kemampuan mereka untuk benar-benar menggambarkan dan memprediksi.50 Carrejo & Marshallpt Sebuah model matematika tidak harus mencerminkan kesalahan.Its matematikastruktur dan alam memungkinkan untuk menggambarkan dan memprediksi gerak dengan carayang digeneralisasikan untuk banyak situasi.Dengan demikian kesalahan, eksperimentalharus diabaikan. Sebuah model matematika tidak akan mencerminkan kesalahan memiliki siswamelakukan "sempurna" percobaan menjelaskan bagaimana gerakan harusberperilaku bawah "yang ideal" keadaan.Siswa pengalaman pribadidengan percobaan batas "benar" pemahaman.Dengan demikian, membangunsituasi yang paling ideal adalah fokus belajar.Episode ini menggambarkan pemodelan hipotetis kesempatan bagi siswa untukmempertimbangkan akurasi dan pengukuran apa yang "cukup baik" untuk digunakan dalam rangka untukmenjawab pertanyaan prediksi atau menghasilkan sebuah model matematika abstrak.Dalam hal iniMisalnya, mahasiswa pengalaman dengan fenomena tersebut, bersama dengan mereka sebelumnya,pengetahuan formal dari kedua matematika dan fisika, dapat menyebabkan lebihpenyelidikan ketegangan antara semua tiga wilayah.Ketegangan yang melekat dalam Belajar Melalui Model Dengan danKetegangan antara pengalaman pribadi para ilmuwan 'dalam melakukan gerakeksperimen dan pemodelan matematika gerak seperti jatuh bebas jugaberada di bukti historis.Sebagai contoh, Dear (1995) menguraikan kritikGalileo aturan jatuh bebas disajikan oleh Honor Fabri, teolog dan filsuf.Fabri mengklaim bahwa aturan Galileo nomor ganjil memperlakukan fisika matematika,Fabri yang diyakini tidak mungkin.Sayang, menjelaskan pendapat Fabri itu,menulis: "Masalah penting dengan peraturan nomor ganjil Galileo adalah bahwa hal itu bisatidak didasarkan pada pengalaman, atau 'pengalaman,' karena data sensoris pernah bisamemberikan presisi yang cukup untuk menjamin itu "(hal. 141).Ketegangan antarapengalaman pribadi peserta didik dan cabang-cabang matematika dan fisikatidak dapat dengan mudah diberhentikan terutama dalam konteks membangun matematikamodel.Sebagai contoh, pengalaman pribadi dapat mempengaruhi persepsi dari apa yang"Beton" atau "nyata" dan apa yang "abstrak." Secara historis, persepsi ini adalahpertimbangan utama dalam pengembangan area kritis matematika moderndan didasarkan pada nominalisme dan beberapa pandangan konstruktivisme.Sebagai contoh,Sepkoski (2005) menulis:Metodologi matematika Newton, khususnya dalam Principia, telahbanyak dibahas oleh para sejarawan.I. B. Cohen telah menggambarkan apa yang dia sebut"Newton gaya," yang melibatkan "kemungkinan untuk bekerja keluarmatematika konsekuensi dari asumsi yang berhubungan dengan fisik yang mungkinkondisi, tanpa harus membahas realitas fisik dari kondisi ditahap awal "[1980, hal30].Ini "gaya" sangat bergantung pada alam pemodelanmatematis, tetapi hubungan mereka akhir dari model-model untuk realitas fisiktetap masalah lengket untuk Newton (hlm. 19).Sepkoski juga menulis bahwa Sir IsaacNewton "ingin korespondensi sejati antara model matematika danalam "(hal. 19).Berdasarkan kekhawatiran tentang belajar dan mengajar, penting untuk menyorotikonflik yang mungkin ada untuk pelajar tenggelam dalam proses membangunApa itu Pemodelan Matematika?51mathematical model.Ketegangan atau konflik kognitif epistemologis mungkin munculantara dunia nyata pengalaman pembelajar dalam penyelidikan kontekstual, standar belajarkonsep dalam matematika, dan konsep standar belajar di alam sepertifisika (Gambar 4).Ketiganya akan berperan dalam pemodelan matematikaproses karena siswa tidak hanya akan menemukan instruksi di kedua isidomain tetapi juga akan memiliki persepsi yang, berdasarkan pengalaman sebelumnya atau daripemodelan proses itu sendiri yang mungkin tidak menyerupai konsep standardiajarkan baik dalam matematika atau fisika.Gambar 4.Ketegangan selama proses pemodelan matematika.Ketegangan serupa diidentifikasi dan dibahas oleh Woolnough (2000) yangmenyatakan, "Kami berpendapat bahwa sebagian besar siswa, bahkan mereka yang tampil baik dimatematika dan fisika, gagal untuk membuat link substansial antara konteks ini, sebagian besarkarena konflik antara sistem kepercayaan yang berbeda "(hal. 265).Untuk melihat danmenganalisis tema matematika melalui "lensa" konstruktivis dan dalam kaitannya dengantujuan pembelajar, kita bergantung pada model ketegangan pada Gambar 4.Misalnya, dalam Gambar5, kita melihat hasil dari interaksi siswa dan pembelajaran di hipotetispercobaan disajikan sebelumnya.Dalam studi percontohan (Carrejo, 2004) yang dilakukan musim panas sebelumnya dengan penataran guru, profesor universitas dan Guru Guru mengembangkankinematika unit berdasarkan kegiatan yang peneliti telah digunakan dalam kuliah fisikakursus untuk guru preservice dan bahwa Guru Guru telah digunakan untukPenempatan kelas Fisika Lanjutan.Unit ini disajikan kelaslingkungan untuk mempelajari pemodelan matematika dari titik konstruktivistampilan.Bangunan pada asumsi bahwa pengetahuan guru dapathanya mencakup pemahaman prosedural persamaan, tujuan utama daripelaksanaannya adalah untuk memfasilitasi pemahaman yang lebih konseptual dari keduapersamaan (a) dan (b).Unit kinematika memfasilitasi sebuah lingkungan kelas untuk mempelajaripemodelan matematika melalui lensa ketegangan.Tujuan utama dariimplementasi difokuskan pada pembangunan model matematika layakterlepas dari kemiripan mereka (tepat atau tidak) untuk persamaan standar.Parauniversitas profesor dan peneliti sampai pada kesimpulan bahwa peserta didik daristudi percontohan memiliki konstruksi matematika suara dan keyakinan tentangmodel matematika, tetapi jelas ada konflik antara 'guru sebelum56 Carrejo & Marshallknowledge model linier dan kuadrat standar dan dibangun merekamodel matematika.Para profesor dan peneliti merasa yakin untuk menggunakansama pendekatan untuk pemodelan dalam penelitian ini dalam rangka untuk mengeksplorasi konfliklebih lanjut.Peserta diperbolehkan untuk memeriksa, memodifikasi, dan memeriksa kembali mereka sendirimodel daripada bergantung pada teknik-teknik pengajaran langsung untuk belajar standarmodel dan mengembangkan beberapa, jika tidak selalu penuh, pemahaman konseptual.Denganpeserta memiliki fokus pada model mereka sendiri, kami berharap untuk mengidentifikasi kemungkinansumber konflik antara model formal dan fenomena dunia nyata.ProsedurKegiatan utama dan tujuan mereka mirip orang-orang dari studi percontohan danditunjukkan pada Tabel 3.Para guru preservice bekerja dalam kelompok 2-4anggota untuk semua kegiatan.Presentasi kelompok yang diperlukan dan menjadifokus diskusi seluruh kelas.Kursus ini berlangsung di sebuah laboratorium kelasdilengkapi dengan berbagai alat dan instrumen yang tersedia preservice guru yang '.Permintaan khusus untuk peralatan dianggap.Pada akhir kegiatan tigadan lima, peserta bekerja melalui masalah set yang terdiri dari lebih "standar"masalah berdasarkan percobaan mereka.Tambahan masalah melibatkanpresentasi dari fenomena yang sama (konteks) dan diskrit, data tabular, yangpeserta diminta untuk menganalisis.Keterlibatan peserta dengan masalah ini(Baik dalam pertemuan kelompok kecil dan utuh) memberikan kesempatan lebih lanjut untukpeneliti untuk menganalisis dan memahami pemikiran mereka tentang matematikapemodelan dan jenis fenomena yang mereka pelajari dalam percobaan mereka.Pengumpulan DataPengumpulan data biasanya melibatkan seluruh kelas dan pengamatan kelompok.Semuasesi direkam secara ekstensif.Catatan kualitatif, termasuk penelitirefleksi, dikumpulkan dari analisis ini.Kelas artefak, termasukrepresentasi dari kelompok individu, serta representasi yang dibuat daridiskusi seluruh kelas disimpan dan dianalisa.Peserta diwawancaraisecara individual setelah selesai mereka unit.Wawancara mengandalkan padainstrumen yang dikembangkan oleh peneliti.Tujuan utama dari instrumen ini adalah untukpeserta probe 'persepsi dari proses pemodelan yang mereka temui diTentu saja serta konsepsi matematika mereka bekerja dengan kumpulan data.Semuapertanyaan pada instrumen itu dalam konteks pemodelan gerak.Semuawawancara direkam menggunakan tape recorder genggam dan ditranskrip.Artefak yang diciptakan selama proses wawancara juga dimasukkan dalam dataanalisis.Analisis DataAwalnya dipahami oleh Glaser dan Strauss (1967) untuk penelitian sosial, didasarkanteori pendekatan untuk penelitian kualitatif adalah sama dengan jenis lain kualitatifpenelitian di area umum bahwa kepentingan adalah ditentukan, diikuti olehpembentukan sebuah pertanyaan yang baik kredibel dan relevan dengan peneliti.MannApa itu Pemodelan Matematika?57 (1993) menyatakan bahwa grounded theory merupakan pendekatan penelitian yang tujuannya "adalah untukmentransformasikan pengalaman dari satu pengaturan ke dalam suatu model yang secara akurat mencerminkan bahwapengaturan "dan belum" secara umum mampu untuk diterapkan ke berbagai situasi dikonteks "(hal. 134) (konteks dalam hal ini menjadi ruang kelas).Selain itu,pendekatan grounded theory tidak memerlukan perubahan yang signifikan dalam pengaturanuntuk "memicu sebuah studi" (hal. 134).Data dapat dikumpulkan dari aliran normalkegiatan di kelas sementara masih meninggalkan ruang bagi kemungkinan pembuatansedikit perubahan dalam arah penelitian berdasarkan hasil kelas.

MetodeMengaturPenelitian ini dilakukan dalam konteks program semester 14-minggu dalam fisikadirancang untuk guru preservice.Ilmu fisika saja yang ditawarkan selama musim gugurIstilah di sebuah universitas di Texas.Kursus ini diajarkan oleh profesor universitasmenggunakan sirkuit dan unit optik dari fisika dengan InquiryTM (McDermott, 1996)serta kinematika unit, dikembangkan secara mandiri dan diperkenalkan secara terpisahdari Fisika dengan pendekatan Permintaan untuk topik yang sama.Peserta terdaftar dalam kursus tersebut dipelajari kinematika untuk jangka waktu lima minggudijadwalkan dekat akhir kursus.Kelas pertemuan dua hari per minggu,dan peserta bertemu selama minimal tiga jam setiap minggu dalam periode twoday.Kursus ini dirancang untuk melayani sebagai domain yang relevan (atau konten)kursus untuk mahasiswa yang mencari karir dalam matematika dan ilmu pengetahuanpendidikan.Tujuan mendasar dari kursus sebagai diuraikan bagi peserta dalamsilabus meliputi: Mengembangkan pemahaman yang lebih konseptual fisik ditargetkankonsep ilmu pengetahuan dan menciptakan model konseptual yang koheren darikonsep, Mengalami konten fisika melalui proses penyelidikan dan dipandumengembangkan pemahaman tentang bagaimana proses penyelidikan berinteraksidengan belajar siswa, Mengembangkan pemahaman tentang apa yang dimaksud dengan isi pedagogipengetahuan, dan Menjadi akrab dengan potensi kesulitan yang dialami oleh siswa dalambelajar topik tertentu dalam ilmu fisika, dan efektivitasberbagai mode mengajar dan belajar untuk mengatasi kesulitan tersebut.PesertaLima belas calon guru, lima pascasarjana (mahasiswa master) dan sepuluhsarjana (mahasiswa standar empat tahun mencari gelar sarjana),didaftarkan dalam kursus fisika.Jurusan (disiplin) bervariasi dalam kelompok sebagaiditunjukkan pada Tabel 2.Semua matematika dan jurusan ilmu pendidikan adalah mahasiswa pascasarjana.Satumahasiswa ilmu pendidikan pascasarjana memegang gelar master dalam fisika.Daritersisa sepuluh mahasiswa sarjana, satu adalah (tahun keempat) senior, limajunior itu (tahun ketiga), dan empat tahun kedua (tahun kedua).Enam darilima belas siswa yang terdaftar diadakan sertifikasi guru.DesainFisika dengan Permintaan menyediakan modul dalam kinematika yang melibatkan beberapa laboratoriumpercobaan dengan kegiatan seperti menggelindingkan bola di melacak dan mengamati kipas anginsabuk yang melekat pada dua katrol.Namun, percobaan ini tidak melibatkanpengumpulan dan analisis data real-time sebagai bagian integral dari pembangunanApa itu Pemodelan Matematika?

Tabel 3Kunci untuk Unit Kegiatan KinematikaTujuan KegiatanMenggambarkan gerak Menemukan dan menjelaskan gerakan untuk suatu benda.Buatdeskripsi gerakan yang cukup rinci sehinggabahwa kelompok lain bisa mereproduksi gerakpersis.Mengidentifikasi unsur-unsur penting dari sebuahlengkap deskripsi.Mengukur Setiap kelompok harus konstan menunjukkan prosedur untuk menjelaskankecepatan dan memprediksi apa yang mereka anggap akan konstangerak.Mengembangkan instruktur memfasilitasi diskusi kelas padamodel matematika yang diusulkan ide dan menentukan kelas yang umumuntuk konstanta (standar) prosedur kecepatan.Akselerasi dengan Gunakan timer percikan, jalan, dan gerobak untuk mengumpulkanTimer percikan posisi-time data untuk gerakan dipercepat.Setiapkelompok harus menyarankan prosedur untuk menjelaskan danmemprediksi apa yang mereka anggap sebagai "berubah"gerak, yaitu, gerak di mana kecepatan tidakkonstan.Mengembangkan instruktur memfasilitasi diskusi kelas padamodel matematika yang diusulkan ide dan menentukan kelas yang umumuntuk dipercepat (standar) prosedur gerak.Para peneliti menggunakan pendekatan grounded theory serupa dengan yangdijelaskan oleh Cobb, Stephan, McClain, dan Gravemeijer (2001) dalam analisis merekatranskrip dari praktek kelas matematika.Tahap pertama analisisyang terlibat memeriksa kronologis video dan transkrip untuk mengidentifikasiepisode.Episode ditandai sebagai segmen di mana matematikatema (atau mungkin tema) adalah (adalah) fokus dari aktivitas dan wacana (hal. 128).Pengamatan dan dugaan dikembangkan tentang penalaran dan konteks diyang penalaran berlangsung.Seperti dijelaskan oleh Cobb et al.(2001), "hasil dari58 Carrejo & Marshallthis fase pertama analisis adalah rantai dugaan, refutations, dan revisiyang didasarkan pada rincian dari episode tertentu "(hal. 128).Dalam grounded theory, tiga jenis pengkodean yang biasanya terlibat dalam analisis data: Buka pengkodean (menciptakan kategori untuk data), Aksial pengkodean (menggunakan kode terbuka dan katalog peneliti 'data untukmenentukan karakteristik atau dimensi kategori dan menciptakan intikategori atau kategori), Selektif pengkodean (pengumpulan data dan analisis berfokus pada intikategori dan mendukung kategori).Episode Perwakilan untuk penelitian disajikan pada bagian Hasil.Melalui pengkodean terbuka dan aksial, pola dalam pemikiran serta munculkonstruksi matematika diidentifikasi sepanjang pelaksanaanKinematika unit.Pengkodean selektif hasil akan menguntungkan para peneliti untukstudi lebih lanjut.Mengingat penciptaan kategori inti dari studi ini, kita akanupaya untuk mengidentifikasi kategori dengan pelajar lain di lingkungan yang berbedayang terlibat dalam pelaksanaan unit yang sama.Untuk studi ini, kunciepisode tidak perlu ditafsirkan sebagai insiden terisolasi untuk mendukung klaim tertentu;bukan, mereka menyoroti pola muncul dan konstruksi yang tercerminseluruh data dan mencerminkan pemikiran selama proses pemodelan.Pendekatan untuk pengkodean data dalam penelitian ini cocok dengan konstruktivistikpandangan tentang pembelajaran dimana peserta didik bergantung pada pengetahuan sebelumnya atau apa yang mereka mungkin memiliki prasangka tentang fenomena tertentu.Fokusnya adalah padapembelajar konstruksi ide-ide, daripada pencapaian mereka cara mapanberpikir.Peserta didik pada umumnya, dengan peserta dalam penelitian ini, punya waktu danruang untuk memahami pengalaman mereka.Dalam pengertian ini, "inti" dari sebuah groundteori akan tetap sama di seluruh pengaturan kelas sedangkan pendekatan datapengumpulan dan interpretasi cukup akan berubah tidak hanya untuk mencerminkan pengaturantetapi juga cukup berguna untuk diterapkan ke pengaturan ruang kelas lainnya.Salah satu aspek penting lain dari grounded theory yang menuntun analisis adalahsensitivitas teoritis (Glaser, 1978).Taber (2000) mendefinisikan sensitivitas teoritis sebagaidimulai penelitian "dengan pikiran terbuka, sehingga pengamatan berwarna sebagaisesedikit mungkin dengan harapan yang didasarkan pada teori yang sudah ada "(hal. 470).Untukstudi, lensa konstruktivis mendukung sensitivitas teoritis diperlukan.Parapara peneliti memahami bahwa pembangunan mahasiswa pengetahuan melibatkan lebihdari instruksi langsung dan menghafal fakta (Von Glasersfeld, 2001).Selanjutnya, pemahaman tentang suatu "suara dan perspektif" paradigma (Confrey,1998) memainkan peran penting dalam menafsirkan dan memahami 'ilmiah siswadan pandangan matematika.Suara mengacu pada artikulasi seorang mahasiswa dari sebuah model yangmungkin beroperasi dalam / pikirannya.Pengamat mengenali dan mengakuiartikulasi ini membuat interpretasi berdasarkan pada / perspektif sendiri.Interaksi dengan siswa dengan cara ini memungkinkan pengamat untuk "memikirkan kembali"matematika konten dan nilai tempat pada kesadaran bahwa pengamat(Guru atau peneliti) juga seorang pelajar.Dengan memanfaatkan paradigma ini, penelitimenjadi lebih "sensitif secara teoritis" untuk studi yang dilakukan tanpa biasdan tanpa mengabaikan muncul kategori atau tema yang menciptakan sebuah cerita.Apa itu Pemodelan Matematika?59ResultsDalam studi percontohan, setelah menggunakan skema pengkodean terbuka dan aksial didasarkan padapendekatan teori grounded, para peneliti kemudian mengembangkan ketegangankerangka kerja yang ditunjukkan pada Gambar 4.Kerangka kerja ini menjadi "lensa" atau saranamelihat tema utama atau topik yang dibahas oleh peserta dan pembelajaranproses yang terlibat.Kami mampu bertanya: "Apa ada ketegangan dan mengapa?" Dalamberikutnya tahap penyelidikan, penelitian ini, karakteristik ini (kode)menjadi fokus coding selektif dan menjadi sangat relevan untukpeneliti memeriksa ketegangan yang mungkin bahwa peserta didik hadapi saat berhubunganfisik pengalaman untuk model matematika.Meskipun nama kode tetapyang sama dari studi ke studi, dua deskripsi kode berubah sedikit untuk mengungkapkanlebih dimensi dari sebuah kode tertentu berdasarkan data kualitatif. Posisi - Mengingat "lokasi" dari obyek bergerak dengan lebihpertimbangan diberikan kepada pikiran tentang posisi awal objek. Skala - Mengingat ukuran interval pada sumbu koordinat.Yang terlibatdalam pertimbangan tersebut "sisik halus" dan data interpolasi. Rata-rata - Menimbang semacam rata statistik atau numeriktitik data ketika menghitung kecepatan dari sebuah interval.Dalam ringkasan, para peneliti berharap untuk memanfaatkan kode-kode untuk mengembangkan groundedteori atau dapat mengidentifikasi tema inti yang muncul dari analisis.Parapeneliti berkonsentrasi pada kode ini ketika unit dilaksanakan lagi,selama periode yang lebih lama dari waktu dan bantalan beberapa modifikasi berdasarkanimplementasi pertama.Setelah memilih gerakan untuk membuat, peserta melakukan merekapercobaan, membenarkan bahwa gerak ciptakan adalah konstan, dan memprediksi manaobjek akan menjadi satu, lima, dan sepuluh detik setelah gerakan diamati berhenti(Dengan asumsi bahwa gerakan itu akan terus tanpa batas).Tabel 4 merangkummotions dibuat oleh peserta.Tabel 4Dilakukan gerakan dan Dianggap Konstan oleh PesertaPercobaan gerak Jumlah PesertaMenggambarkan / memprediksi gerak sebuah metronom 2Bergulir bola kayu di tutup putaran 1Berjalan dengan kecepatan tetap 3Bola bowling menggelinding menyusuri lorong 4Bergulir bola kayu kecil menyusuri lorong 2Pindah buku di depan detektor gerak 2Menggambarkan / memprediksi ayunan pendulum tetap 160 Carrejo & Marshall61Siswa melakukan percobaan mereka dalam kelompok yang terpisah, mengumpulkan datamereka bereksperimen dan dianalisis mereka.Mereka diminta untuk hadir gerakpercobaan, data percobaan, dan prosedur untuk menjawab prediksipertanyaan untuk kelas selama periode pertemuan berikutnya.5 hal utama Tabelbidang yang menjadi perhatian bagi peserta saat mereka disajikan dan dibahas gerakan mereka.Tabel 5Kekhawatiran tentang Gerakan Mahasiswa Dilakukan dan Dianggap KonstanPercobaan gerak Keprihatinan (s)Menggambarkan / memprediksi pembalikan Haluan, dirasakan oleh beberapa orang untukgerak metronom termasuk jeda sedikit gerak, janganmemungkinkan untuk gerakan untuk dideskripsikan sebagai konstan.Apa yang terjadi di antara ayunan(Atau di antara interval waktu bunga)tidak konstan.Bergulir bola kayu Sebuah waktu rata-rata mungkin atau mungkin tidak baikdi tutup putaran yang cukup untuk digunakan untuk menggambarkan dan memprediksikonstan gerak atau menemukan prosedur umumuntuk menemukan posisi mutlak.Berjalan dengan kecepatan tetap terbaik untuk mengabaikan variasi gerakan antara waktuinterval (misalnya, mengayunkan senjata, gerakan "dendeng").Rolling Gesekan bola bowling, mempengaruhi posisi bola dari waktu ke waktu,adalah pertimbangan fisik yang mungkin atau mungkintidak diselesaikan dengan menghitung kecepatan rata-rata.Jika perhitungan yang sebenarnya tidak cocoknilai teoritis, maka gerak tidakkonstan.Menghitung kecepatan di atas jarak yang lebih jauhdan lagi interval waktu lebih masuk akal.Rolling kecil bola kayu interval waktu yang lebih besar lebih baik untuk menggambarkandan gerak memprediksi karena fisikkasus selama periode waktu yang lebih besar membuat lebihakal.Memindahkan sebuah buku di depan Apa yang terjadi di antara interval waktudari detektor gerak mungkin atau mungkin tidak konstan.Jumlah tak terbatas interval waktu dapatdigunakan untuk lebih menggambarkan gerakan konstan.Menggambarkan / memprediksi Meskipun variasi, nilai waktu yang cukup dekatayunan pendulum tetap satu sama lain untuk memilih salah satu dari nilai-nilai yangmerupakan "benar" waktu.Apa itu Pemodelan Matematika? Setelah presentasi peserta, profesor universitas menginginkankelas untuk mencapai konsensus tentang bagaimana untuk menentukan apakah atau tidak gerak adalahkonstan.Kelas sepakat bahwa untuk menggambarkan dan memprediksi gerakan konstan,menggunakan persamaan d = rt tampaknya pendekatan layak.Beberapa peserta berpendapatbahwa r harus sama untuk setiap (sewenang-wenang kecil) interval waktu, tetapi yang lain berpendapatbahwa hanya total jarak dan waktu perjalanan yang bersangkutan, meskipunvariasi dalam interval.Menghitung tingkat (nilai r) tetap merupakanterbuka masalah.Pengalaman dengan variasi dalam data yang dipengaruhi pemikiran peserta 'tentang tingkat terbaik untuk digunakan saat menggambarkan dan memprediksi gerak.Lebihkhusus, bertentangan keyakinan tentang menggunakan kurs rata-rata, tingkat berdasarkanpengukuran rata-rata, atau "cukup baik" tingkat, dipengaruhi konstruksi merekamodel matematika.Keyakinan mereka selanjutnya diuji ketika disajikan denganlebih formal fisika pertanyaan mengenai kecepatan konstan dan melibatkan datatabel.Mengandalkan d = rt sebagai mereka yang telah disetujui model matematika, peserta,bekerja dalam kelompok, mendekati setiap masalah dan mempresentasikan hasil mereka kekelas.Presentasi dan diskusi dari tiga episode penting memberikan contohmempengaruhi kategori inti dari "skala", "rata-rata data", dan "(awal) posisi"pada pemodelan matematika telah peserta gerak seragam.Yang mendasaripengaruh kategori inti persepsi peserta tentang apa yang "baikcukup "digunakan untuk menilai sebuah ketika membangun sebuah model matematika untuk menggambarkangerak - pertemuan langsung dengan tema "kesalahan" dan bagaimana untuk mengatasinya.Perwakilan EpisodeTiga episode perwakilan disajikan bersama dengan interpretasi dandiskusi tentang setiap episode.Salah satu tujuan dalam menyajikan data ini adalah untuk memberikanindikasi yang kuat lingkup analisis.Selanjutnya, bersama dengan episodesorot mendukung diskusi terbuka kategori ditugaskan ke set lengkapdata dan hubungan kategori terbuka 'satu sama lain seperti ditunjukkan oleh aksialcoding dan kategori inti ditentukan.Episode 1.Episode pertama melibatkan sebuah eksperimen sederhana di mana calonguru memeriksa gerakan bola bowling menggelinding ke sebuah koridor.Sebagaibola meluncur, anggota kelompok dilacak posisinya seiring waktu menggunakan tongkat meter danstopwatch.Untuk setiap saat dalam waktu, para anggota asosiasi yang diukurposisi dari titik awal yang diterima.Stephen menjelaskan set up kursidan jalan dan bagaimana bola bowling adalah 30 cm sampai jalan sebagai berikut:Stephen: Apa yang kami lakukan adalah ketika kita pertama kali mulai, titik awal kami adalah tempatbola pertama awalnya menyentuh tanah dan kami akan memulai timer.Dan kami telah tongkat meteran berbaris sepanjang lorong sana.Timerakan mulai [di bawah jalan] dan kemudian pada titik sewenang-wenang,mengatakan 200 sentimeter, kita akan berkata "berhenti" dan timer akanberhenti.Kami mengulangi beberapa kali.Kami mengambil jarak masing-masing ... jadi,mengatakan bahwa kita tidak 200 cm ... dibagi dengan waktu masing-masing.Jadi jarak dibagioleh waktu akan memberi kita tingkat bahwa bola itu bergulir, bergerakbersama.Apa yang kami temukan adalah ... jika kita melakukan hal ini pada 200 cm ... itu tidakmenerapkan ... kita akan mendapatkan tingkat yang berbeda di sini pada 400 cm.62 Carrejo & MarshallJohn: Kami mendapatkan ...jadi jika kecepatan rata-rata adalah kemiringan dari garis ini, kamiadalah mendapatkan kecepatan rata-rata memperlambat saat ia pergi jauh.Danperhatian pertama kami adalah bahwa apa yang kita sedang melihat adalah gesekan bergulir- Bahwa bola bowling pergi lebih lanjut itu akan semakin melambat.Yohanes menggambar grafik di papan tulis untuk menjawab pertanyaan ini (Gambar 7).Dia membuattanda sewenang-wenang (tidak terkait dengan data yang sebenarnya) namun dia hanya berusaha untuk membuktikanmaksudnya.Stephen melanjutkan presentasi.Stephen: Kami pergi ke 800 sentimeter dan kami mendapat suatu tingkat.Kemudian kita membandingkannyauntuk 900 sentimeter dan kami mendapat tingkat dan tingkat yang setara.Jadi dalamaktualitas ... Jika bola itu menggelinding dengan laju konstan yang awalnya kitadiukur ini adalah apa yang grafik akan terlihat seperti.[Stephen menarikgrafik garis lurus (hampir y = x) dan menggunakan label sumbu yang sama sepertiYohanes] Itu tanpa gesekan, tanpa apa-apa..Kami selalu akanmendapatkan tingkat yang sama.Dan apa yang kami menemukan itu bukannyagrafik linier seperti itu kami mendapatkan sesuatu yang meratakanoff [Dia menarik sebuah kurva seperti John itu].Dan jadi kami pikir mungkin gesekanbenar-benar datang ke dalam bermain di sini, memperlambat bola,memperlambat laju kecepatan.Kelompok ini kemudian menjelaskan bagaimana mereka melakukan percobaan lebih lanjut di 600 cmpergi dan pada 1000 cm.Pada akhir "banyak percobaan", mereka merasabisa mendapatkan kecepatan yang sama.Jimmy: Tentu saja ada beberapa tape berdiri tepat di sini.Kami terjebak beberapakaset sehingga kita bisa mengetahui kapan bola ... kita tidak akan mengukur manatepi bola melewati titik tetapi di mana bola bowling itubenar-benar menyentuh tanah, jadi ada kita berdua [dia dan John]berdiri di sana dan kita semacam harus menebak ketika disilangkan, tapi kamiyang mendapatkan cukup dekat.Profesor: Apa yang Anda maksud dengan cukup dekat?Jimmy: Nah, dalam 5/100ths atau begitu?Apa itu Pemodelan Matematika?63Gambar 7.John graph.John: Ya, 5/100ths.Jimmy: Dan itu secepat Anda bisa seperti start dan stop menonton Anda sendiri.Prof: Jadi Anda mengetahui jika nomor yang sama ke dalam jumlahwaktu yang diperlukan untuk memulai dan berhenti menonton maka Anda akan mengatakanbahwa itu ...Anda mendapatkan tingkat yang konstan?Jimmy: Nah, jika orang lain mencoba untuk menduplikasi ini, itu tergantung pada saatmereka berhenti juga.Pada kenyataannya, kelompok ditentukan dua tingkat yang berbeda, tapi yang mereka rasakan"Cukup dekat": 135,3 cm / s dan 135,0 cm / s.Profesor bertanya kelas apamereka berpikir tentang hasil.Dave: Terutama ketika Anda melakukannya dengan tangan dengan waktu dan faktabahwa Anda semua memiliki kata, ya, ada gesekan yang akan memperlambat bola inibawah.Stephen: Saya pikir apa yang kami lakukan untuk mendapatkan menjauh dari gesekan itu menggunakan lebih beratbola.Anda melihatnya ikut bermain jauh lebih sedikit dari apa yang kami amati pada10 meter tanda.Itu datang ke dalam bermain jauh lebih sedikit.Jika kita telah membiarkan bola pergi 20meter kita akan melihat lebih banyak kemungkinan gesekan datang kebermain.Tetapi menggunakan sesuatu yang sangat padat dan sangat berat kamitidak melihat sebagai banyak.Jimmy: Oh, kami menggunakan 135,0.Profesor: Mengapa Anda menggunakan salah satu daripada yang 135,3.Jimmy: "Sebab ketika perjalanan sejauh ini tampaknya sedikit lebih akurat.Dave: Apakah memang ada perbedaan dalam akurasi?Jimmy: Saya pikir semakin lama menjauh, semakin akurat akan.Dave: Tapi dia [Stephen] bahkan mengatakan bahwa jika Anda pergi keluar untuk 20 meter yangakan jauh lebih akurat.Jadi, mengapa yang satu lagi lebihakurat dalam kasus ini?Stephen: Saya pikir jika Anda mencoba dan membedakan antara 135,3 dan 135,0dengan model kami, Anda benar-benar tidak dapat membedakan antara duakarena kita memiliki sumber kesalahan di sana - menghentikan.Danhal adalah bahwa mereka mulai pada titik awal; kedua timermulai pada titik awal.Aku memberitahu mereka kapan harus berhenti sehinggaSaya telah ketidaktepatan juga datang ke dalam bermain ketika saya harus menilai ketikapusat bola akan melewati titik berhenti.Kemudian mereka akanuntuk kembali klik.Kedua nomor tersebut tidak akan pernah persis sama.Profesor bertanya Veronica untuk menulis prosedur mereka untuk menemukan posisibola t detik setelah diamati gerak mereka berhenti.Kelas menyarankan bahwaVeronica harus menggunakan 135,15.Profesor: Apakah itu lebih baik dan mengapa akan lebih baik?64 Carrejo & MarshallLee: Ini rata-rata.Dave: Ini hanya rata-rata dari dua angka yang Anda gunakan.Stephen: Tapi angka-angka sendiri rata-rata.Lee: Nah, rata-rata beberapa rata-rata dan itu akan menjadi lebih dekat.John: Saya pikir itu akan membuat hal-hal buruk, sebenarnya.Saya tidak berpikir kita harusmenggunakannya.Veronica.Ini berlaku [untuk] sesuatu yang tidak benar-benar mulus [roll?].Stephen: Jika kita bisa generalisasi, itu akan lebih baik.Elizabeth: Oke, gunakan 135,3.John: Tidak, 135.Veronica menulis t = 135 x d.Sangat menarik untuk dicatat isu-non awaltitik di sini.Persamaan resmi dapat menunjukkan titik awal 0, meskipunreferensi yang mereka miliki adalah dua meter dari ujung jalan.Seiring waktu,konsensus untuk jawaban akhir sulit untuk dicapai.Para peserta mengklaimgerak tidak linear, tetapi ingin untuk datang ke sebuah konsensus tentang bagaimana mereka akanmembenarkan klaim semacam ini, mencoba untuk membuat sebuah "cocok" dengan model linier standar,karena mereka mengakui bahwa kesalahan eksperimental yang terlibat.Episode 2.Episode kedua melibatkan dua presentasi berturut-turut daricalon guru (dalam kelompok dua) setelah bekerja pada suatu masalah yang diberikan kepada merekapada worksheet:Beberapa siswa sedang mempelajari gerakan bola bowling menggelinding menyusuri jalan diarena boling.Seorang mahasiswa dengan stopwatch diposisikan pada awaljalur, dan setiap dua meter setelah itu.Setiap siswa berhenti menonton saat bolamelewatinya.Mereka ingin untuk memprediksi berapa lama akan mengambil bola untuk mencapai pin,1 meter di luar murid terakhir.Jelaskan bagaimana Anda akan membantu mereka angka inikeluar, pertama di kata-kata, dan kemudian dengan persamaan.Jelaskan mengapa persamaan adalahpersamaan hak untuk menggunakan.Siswa 1 0,27 sSiswa 2 0,75 sSiswa 3 1.25 sMahasiswa 4 1.77 sSiswa 5 2.25 sMahasiswa 6 2.74 sSiswa 7 3.25 sMahasiswa 8 3,76 sMahasiswa 9 4.24 s10 Mahasiswa 4,75 sSiswa menghadapi masalah ini diadakan diskusi terkait dengan rata-rata, skala,dan mulai posisi objek - awalnya kode terbuka di data set yangditentukan untuk menjadi dimensi tema, besar inti dari "kesalahan".Yang pertamaApa itu Pemodelan Matematika?65group disajikan ide-ide tentang bagaimana untuk memecahkan masalah.Mereka mencoba duapendekatan karena mereka tidak tahu yang akan lebih akurat.Yang pertamaadalah untuk mengambil perbedaan waktu antara setiap siswa, jumlah perbedaan danmembagi dengan 9 untuk mendapatkan waktu rata-rata antara masing-masing siswa.Kedua anggota kelompoksetuju pada nilai waktu rata-rata 0,4977 detik ketika menggunakan pendekatan ini.Paratingkat yang terkait, dengan demikian, menjadi 4,0184 meter per detik.Menggunakan tingkat, baikanggota memperoleh nilai 5,22 detik sebagai jawaban final atas pertanyaan.Setelah memeriksa prosedur mereka menggunakan kurs mereka dihitung untuk mendapatkan lain yang dikenalnilai-nilai dalam tabel, mereka menemukan apa yang mereka sebut "perbedaan:"Lee: Jadi ada semacam ... kami seperti, 'Mungkin, ini bukan cara yang tepat untukpergi 'Jadi cara lain kita coba adalah 10 siswa mengambil pengukuran itu.dari 4,75 detik dan mengurangkan bahwa dari siswa seseorang danmenemukan ... yang memberi kita 4,48.Jadi, maka kita dibagi bahwa dengan 20 dan kitadatang dengan laju 4,46 [4,46 = 20 berarti m/4.48].Menggunakan makabahwa tingkat, waktu kami datang dengan 4,708.Itu tidak masuk akalkarena mahasiswa 10 ditetapkan pada 4,75 detik.Linda: Tapi, menggunakan rata-rata, seperti, ada terlalu jauh dari kejauhan.Rasanya sepertiselama 1 detik ... tidak ... itu seperti jarak 1 detik, bukan?Prof: Jadi, apa maksudmu?Lee: Seperti datang dengan ini 5,22, itu mengatakan bahwa ia mengambil apa punperbedaan antara 5.22 dan 4,75 detik untuk itu untuk pergi satu meter.Yang tidak masuk akal bagi kita karena pada yang lain,perbedaan, butuh 2 meter dalam setengah detik.Ia pergi dua meter dibabak kedua.Kami agak hilang.Prof: Jadi, Anda masih tidak puas dengan Anda ....Lee: Tidak puas dengan cara baik kami pergi karena kami menemukanperbedaan.Setelah Lee dan Linda presentasi, kelompok berikutnya pesertamengalami situasi yang sama menghitung rata-rata, namun mereka eksplisit dalammenghubungkan perhitungan rata-rata untuk posisi awal.Mereka membandingkan merekaprosedur untuk prosedur kelompok sebelumnya dengan menyatakan ada ketidaksesuaiandalam pilihan titik awal.Kelompok Stephen memutuskan bahwa siswa satu adalah "pada 0 titik."Stephen: Jadi Anda bisa melakukan ini dua cara.Anda dapat membuang keluar satu siswanomor atau Anda dapat menyimpan dan mengatakan antara siswa satu dan siswadua Anda memiliki sekitar 0,5 detik.Kemudian di antara siswadua dan tiga mahasiswa ada .5 detik.Jarak bolaperjalanan adalah sama untuk masing-masing, jadi kira-kira ... nomortidak tepat, tapi itu sekitar 4,02 meter per detik.Danitulah yang mereka [Linda dan Lee] punya waktu pertama.Lee: 4,0184.Ya, hal yang sama.Stephen dan Veronica melanjutkan presentasi mereka dengan menguraikan kedua merekametode menghitung jawaban akhir dan kelangsungan hidup pendekatan lain.66 Carrejo & MarshallStephen: Mereka tentang hal yang sama.Kami kembali dan kami melihat jika Anda mengambilwaktu awal, yang 0,27, dan waktu akhir, 4,75, dan kemudianJarak di antara mereka, Anda mendapatkan hal yang persis sama.Yah, itu4,0187.Tapi masalahnya ... untuk setiap siswa mendapatkan waktu yang berbeda dantingkat antara setiap siswa berbeda .... seperti, antara siswa satudan mahasiswa dua, kami mendapat kecepatan 4 meter per detik.Antaratiga siswa dan mahasiswa empat aku punya tingkat 3,85 meter perkedua.Jadi, itu perbedaan besar.Tapi masalahnya adalah kita berbicarasiswa memukul stopwatch dan kita sedang berbicara tentang sebuah bola bowlingyang tidak memiliki, internal seperti, motor atau apapun.Jadi, kita mengasumsikanpercepatan adalah nol.Kita dapat mengasumsikan bahwa ini kecepatan, atau kecepatan ini,sama.Jadi 19 meter dibagi dengan 4,02 meter per detik, kami ... memberikanAnda 4,72 detik, tetapi Anda juga harus memperhitungkan pertamasiswa waktu, .27 detik.Kami punya 4,99 detik pada stopwatch, jikaAnda berhenti itu di tanda 19-meter.Linda: Kami hanya tidak berpikir bahwa kami sangat, seperti, akurat.Stephen: Tapi saya pikir Anda harus melihat di mana data Anda datang dari.Kita adalahdatang dari banyak ketidakpastian.Jadi, jika kita akan melakukanprediksi itu hanya akan menjadi perkiraan.Lee: Nah, melakukannya dengan cara baik adalah mendapatkan kami dalam .03, 04, memberi atau mengambil, ditambahatau minus.Mengamati kedua metode, Lee bertanya-tanya mana prosedur paling bermanfaat.Siswa menunjukkan pendapat yang berbeda tentang hal ini sebagaimana dicontohkan sebagai berikutsketsa.Lee: Anda tahu bagaimana kami melakukannya dua arah, seperti, mengambil rata-rata antarasetiap detik?Kemudian mengambil seperti hanya dari akhir ke awal?Nah, kita bertanya-tanya mana cara berpikir Anda bisa lebih akurat.Karena, seperti mengambil dari awal sampai akhir hanya jenis mobilrata-rata yang mengoreksi, "kau tahu penyebabnya siswa, seperti yang kita telah melihatmelalui nomor ... seperti berhenti sedikit lebih cepat, satu sedikit kemudian ...Stephen: Saya pikir dengan titik data lebih banyak ... Saya pikir dengan melakukan inbetween rata-rata akan berakhir membatalkan keluar kesalahan.Jika Anda berpikir ... Oke,siswa satu kepada siswa dua sampai tiga mahasiswa ... mahasiswa salah satu berhenti nyaStopwatch awal yang berarti tingkat antara dia atau ....mahasiswa salah satukepada siswa dua sampai tiga mahasiswa ... mahasiswa dengan dua berhenti nya stopwatchawal yang berarti tingkat antara siswa satu kepada siswa kedua adalahakan menjadi kecil.Tapi, tingkat antara siswa dua dan siswatiga sudah sekarang lebih besar.Jadi, itu menambahkan keluar.Mereka membatalkansatu sama lain.Dave: Saya suka melihat masing-masing interval.Maksudku selama kita telahinterval tersebut, kita juga melihat 'mereka.Dan tidak mengambil besarmelompat dari satu siswa ke siswa sepuluh.Jika Anda punya data, lihat itu.Adrian: Mungkin juga menggunakannya.Apa itu Pemodelan Matematika?67Professor: Jadi Anda melihat itu, dan kita telah melihat beberapa variasi.Adrian: Sedikit.Dave: Itulah yang rata-rata adalah untuk.Nah, itu tidak semua.Anda harus mendefinisikanAnda diterima kerugian.Baik Dave maupun anggota lain dari kelas menjelaskan apa yang "kerugian dapat diterima"tersirat atau bagaimana menyelesaikan masalah dengan menggunakan rata-rata selama jumlah terbataspoin atau nomor, ditentukan lebih besar dari poin.Episode 3.Episode ketiga dan terakhir berasal dari periode kelas di manaprofesor universitas kelas terakhir apa yang telah diputuskan sebagai prosedur(Atau model) untuk menggambarkan dan memprediksi gerakan konstan.Paulus menunjukkan bahwamenghitung laju atau kecepatan harus dilakukan oleh interval (misalnya, posisi akhirdikurangi posisi awal dibagi dengan total waktu untuk setiap periode waktu).Paraprofesor menunjukkan bahwa ada dua kasus di pikirannya berdasarkan apa yangkelas lakukan: di mana perubahan dalam posisi antara interval adalah tepat (seperti yang ditunjukkan padabeberapa masalah pada handout) dan dimana perubahan itu tidak tepat, tetapitermasuk kesalahan (seperti yang ditunjukkan dalam percobaan kelas).Stephen percaya bahwa Paulmetode rate masih berlaku untuk digunakan meskipun kesalahan dan variasi dalam data.Diapercaya bahwa untuk menjadi prosedur yang baik yang dapat datang dekat untuk pemodelan sebuah "sempurna"percobaan.Stephen: Jika peralatan kita itu sempurna dan waktu kita sempurna, dan jika kitapengukuran yang sempurna, saya pikir kita akan mendidih itu kesesuatu seperti itu.Ucapkan bola bowling berjalan sepuluh meter.Kita bisamenemukan jarak terhadap waktu dari 2 sampai 4 meter dan membagi bahwa denganwaktu.Yang harus menjadi tingkat yang sama jika kita melakukannya 6-8 meter dandibagi dengan saat itu juga.Lee: Ya, jika itu benar-benar konstan Anda tidak perlu khawatir tentang waktu diantara, seperti, semua yang penting adalah final dan awal.Berdasarkan argumen ini, pertanyaan yang diajukan kelas adalah: Bagaimana Anda menilaimosi untuk menjadi "benar-benar konstan?"Stephen: Jadi ini seperti mendefinisikan gerakan konstan?John: Apakah pertanyaan apa yang Anda lakukan ketika Anda memiliki gerakan konstan ataubagaimana Anda tahu Anda memiliki gerakan konstan?Ini percakapan singkat menyoroti ketegangan antara matematika dan ilmu pengetahuanalam.Orang mungkin berpendapat bahwa seseorang mungkin melihat perbedaan antara model sebagaideskriptif (atau sebagai representasi) dan model sebagai alat calculational.Paulusberpendapat bahwa "rata-rata penjumlahan" adalah sama sebagai The "jumlah rata-rata."profesor tidak setuju karena apa yang terjadi di masing-masing interval mungkin bukanyang sama.Dia dibesarkan contoh bola bowling di mana gulungan jauh lebih cepat padaawal.Paulus tidak setuju meskipun profesor percaya bergantung padabagaimana Anda mengukur interval waktu.68 Carrejo & MarshallDave: Menambahkan semua rata-rata kecil adalah hal yang sama dengan mengambil satu besarrata-rata.Anda menambahkan sampai dengan hal yang sama.Paulus: Karena jika seseorang memiliki kecepatan yang lebih besar maka interval waktu berikutnya akanada yang lebih kecil.John: Tapi dalam contoh bowling bola yang kami bekerja dalam waktu terakhir kelas,apa yang Anda cari di bukan kecepatan sebenarnya, tapi banyak dari apatampaknya seperti banyak kesalahan dalam cara stopwatch yang akandan jika Anda hanya melihat orang terakhir, dan orang terakhir sangat burukdengan stopwatch, ia akan membuang keseluruhan.Jadi, dalamMisalnya, Anda lebih baik melihat semua interval.Profesor: Tapi apa Paulus katakan adalah jika Anda termasuk interval terakhir, Anda punyayang mengatur buruk data untuk interval terakhir, juga, dan itu akan menyeretbawah rata-rata seluruh.John: Ya, tapi tidak memiliki berat keseluruhan.Ia tidak memiliki samaberat badan sebagai ...Profesor: Saya pikir itu tergantung pada bagaimana data sampel Anda.John: Aku harus berpikir tentang itu.Profesor bertanya: "Kapan itu baik untuk mengandalkan pada metode Paulus dan ketika itubaik untuk mengandalkan metode Lee (rata-rata) "merasa? Lee bahwa jika ada pola tidakdalam data, Anda harus menyingkirkan gerakan konstan.Profesor itu mengingatkan merekabahwa mereka tidak mengesampingkan gerakan konstan dengan eksperimen bola bowlingmeskipun variasi dalam data.Namun, Lee mengatakan bahwa semua mereka harus melakukanperhitungan dan bahwa itu sangat sulit untuk menemukan gerakan konstan dalam salah satueksperimen karena faktor lain.Namun, profesor mengingatkan merekamereka diskusi tentang "cukup baik" mengenai gerakan konstan lainnyapercobaan seperti bola bergulir sepanjang pinggiran tutup.Dave: Apakah bahwa perubahan di sana benar-benar signifikan?Bagaimana Anda melihat Andadata dan berkata, 'Well, ini adalah perbedaan yang signifikan atau tidak?' dibandingkanuntuk mereka siswa yang masing-masing dua meter terpisah (mengacu padalembar masalah), tapi saya jamin mereka tidak dua meterterpisah.Mereka mungkin 2,004 atau 2,02 meter terpisah, tapi masalahnyatidak peduli tentang itu perbedaan kecil.Jadi, jika yang sudah Andafaktor pembatas, mengatakan bahwa Anda tepat dua meter terpisah ... kalau itufaktor pembatas, maka tingkat Anda juga hanya harus melihat dengan yangfaktor pembatas.Seperti, jika dibandingkan 4,282 4,284, baik yang kecilPerbedaan tidak dibandingkan dengan hal yang tidak memandang dengan2 meter terpisah.Jadi, saat itulah kita bisa mengatakan, 'Apakah ada pola atau tidak? "'Apakah ini konstan atau tidak? "Lee: Tapi itu diperparah oleh kenyataan bahwa orang-orang yang duduk di sana mencobauntuk berhenti sebagai dekat karena mereka dapat.Dave: Tapi kemudian selalu ada ... Anda tidak bisa selalu melakukan yang baik.Anda tidak dapatberkata, 'Ini adalah 2.Yang ini 6.Saya hanya akan menyebut bahwa 4 'harus ada.ada beberapa cara untuk membatasi itu juga.Apa itu Pemodelan Matematika?69Stephen: Jika Anda tahu teoretis, apa kecepatan seharusnya, maka Anda dapatbandingkan dengan menggunakan analisis statistik.Dave: Jika ini hanya masalah, Anda tidak ingin mengatakan, 'aku punya data yangsudah memiliki apa ... saya sudah memiliki jawabannya 'Itu tidak apa.fisika ...kita tidak ingin menemukan jawaban yang kita sudah tahu.Ringkasan.Singkatnya, semua episode membantu mendukung dugaan berkaitan denganrata-rata, skala, dan, pada tingkat yang lebih rendah, posisi awal.Gambar 8 menguraikanketegangan lebih lengkap dan memberikan pandangan yang lebih konkret bahwa rata-rata dan skalalebih isu yang menonjol dari posisi awal.Oleh karena itu, selektif pengkodeanterbukti bermanfaat dalam mengidentifikasi ketegangan serupa terlihat dalam studi percontohan.Peserta bekerja dengan masalah gerak konstan (s) ditemukanketegangan ini dan berusaha untuk mengatasinya.Meneliti pemodelan semua pembelajar 'proses melalui lensa ketegangan mengakibatkan munculnya tema kritis:Pembangunan model yang "cukup baik" didasarkan pada manusia dankesalahan eksperimental dan apa definisi dari "cukup baik" meliputi.Selanjutnya, hasil juga menunjukkan bahwa para peserta memiliki yangkemampuan membangun dan mengembangkan model matematika yang kuat (misalnya, d= Rt, p = rt + po) Menggunakan pendekatan konstruktivis yang didasarkan pada penyelidikan daripadainstruksi langsung.Dalam proses membangun model ini, peserta didikberusaha untuk mendamaikan konflik atau ketegangan di antara pengalaman pribadi mereka denganfenomena tersebut, pembelajaran konsep-konsep matematika standar, dan belajarstandar fisika konsep.