Pemodelan Data Deret WaktuStasionerKuliah 11 – Metode Peramalan Deret Waktu

r.rahma.anisa@gmail.com

1

Proses Linear Umum

Keterangan:𝑌𝑡 = pengamatan deret waktu𝑒𝑡= white noise

𝑌𝑡 merupakan kombinasi linear terboboti dari white noise padaperiode ke-𝑡 dan periode-periodesebelumnya.

white noise series : a sequence of identically distributed, zero-mean, independent random variables

2

Proses Linear Umum

deret tak hingga

Asumsi 𝑖=1∞ 𝜓𝑖

2 < ∞

3

Proses Linear Umum

deret tak hingga

Asumsi 𝑖=1∞ 𝜓𝑖

2 < ∞

Koefisien bagi 𝑒𝑡 adalah 1, sehingga𝜓0 = 1

4

Proses Linear Umum

𝝍′s nilainya turun secara eksponensial

𝜓𝑗 = 𝜙𝑗, dimana−1 < 𝜙 < 1

5

Proses Linear Umum

𝑌𝑡 memiliki nilai tengah nol dan ragam konstan

6

Problem (1)

Tentukan 𝑐𝑜𝑣 𝑌𝑡 , 𝑌𝑡−1 dan

𝑐𝑜𝑟𝑟 𝑌𝑡 , 𝑌𝑡−1 .

7

Proses Linear Umum

8

Model DeretWaktuStasioner

• Syarat kestasioneran

• Model Stasioner

• Autoregressive : AR(p)

• Moving Average: MA(q)

• ARMA(p,q)

9

Proses RataanBergerak

Moving Average

MA(q)

• menerapkan bobot 1,−𝜃1, −𝜃2, … , −𝜃𝑞 pada peubah

𝑒𝑡, 𝑒𝑡−1, 𝑒𝑡−2, … , 𝑒𝑡−𝑞 untuk memperoleh 𝑌𝑡

• menggeser bobot tsb sehingga diterapkan pada peubah𝑒𝑡+1, 𝑒𝑡, 𝑒𝑡−1, … , 𝑒𝑡−𝑞+1 untuk memperoleh 𝑌𝑡+1

10

Proses RataanBergerakOrdo KesatuMA(1)

Model: 𝑌𝑡 = 𝑒𝑡 − 𝜃𝑒𝑡−1

11

Proses RataanBergerakOrdo KesatuMA(1)

Model: 𝑌𝑡 = 𝑒𝑡 − 𝜃𝑒𝑡−1

dapat diringkas sbb:

𝜌𝑘 =𝛾𝑘𝛾0

12

Problem (2)Tentukan fungsi autokorelasi bagi

model MA(1) jika 𝜃∗ =1

𝜃.

13

Proses RataanBergerakOrdo KesatuMA(1)

Contoh: Proses MA(1) dengan 𝜃 = −0.9

Plot 𝑌𝑡 Vs 𝑌𝑡−1 Plot 𝑌𝑡 Vs 𝑌𝑡−2

Terdapat korelasi positif pada lag 1 14

Proses RataanBergerakOrdo KeduaMA(2)

Model: 𝑌𝑡 = 𝑒𝑡 − 𝜃1𝑒𝑡−1 − 𝜃2𝑒𝑡−2

15

Proses RataanBergerakOrdo KeduaMA(2)

Model: 𝑌𝑡 = 𝑒𝑡 − 𝜃1𝑒𝑡−1 − 𝜃2𝑒𝑡−2

16

17

Proses Regresi Diri

Autoregressive

AR(p)

𝑌𝑡 = 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝜙2𝑌𝑡−2 +⋯+ 𝜙𝑝𝑌𝑡−𝑝 + 𝑒𝑡

Nilai 𝑌𝑡 pada periode saat ini (t) adalah kombinasilinear dari p nilai periode sebelumnya ditambahkomponen 𝑒𝑡 .

Asumsi: 𝑒𝑡 saling bebas thdp 𝑌𝑡−1, 𝑌𝑡−2, … , 𝑌𝑡−𝑝

18

Proses Regresi DiriOrdo KesatuAR(1)

Model: 𝑌𝑡 = 𝜙𝑌𝑡−1 + 𝑒𝑡

𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑡 = 𝑉𝑎𝑟 𝜙𝑌𝑡−1 + 𝑒𝑡

𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑡 = 𝜙2𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑡−1 + 𝑉𝑎𝑟 𝑒𝑡

𝛾0 = 𝜙2𝛾0 + 𝜎𝑒

2

𝛾0 =𝜎𝑒2

1−𝜙2

dengan 𝜙2 < 1 atau 𝜙 < 1

19

Proses Regresi DiriOrdo KesatuAR(1)

Model: 𝑌𝑡 = 𝜙𝑌𝑡−1 + 𝑒𝑡

untuk 𝑘 = 1,2,…

untuk 𝑘 = 1, 𝛾1 = 𝜙𝛾0 =𝜙𝜎𝑒

2

1−𝜙2

untuk 𝑘 = 2, 𝛾2 = 𝜙𝛾1 =𝜙2𝜎𝑒

2

1−𝜙2

𝑐𝑜𝑣 𝑌𝑡−𝑘, 𝑌𝑡 = 𝑐𝑜𝑣 𝑌𝑡−𝑘 , 𝜙𝑌𝑡−1 + 𝑒𝑡

𝑐𝑜𝑣 𝑌𝑡−𝑘, 𝑌𝑡 = 𝜙𝑐𝑜𝑣 𝑌𝑡−𝑘 , 𝑌𝑡−1 + 𝑐𝑜𝑣 𝑌𝑡−𝑘 , 𝑒𝑡

𝛾𝑘 = 𝜙𝛾𝑘−1 + 𝑐𝑜𝑣 𝑌𝑡−𝑘 , 𝑒𝑡

20

Proses Regresi DiriOrdo KesatuAR(1)

Model: 𝑌𝑡 = 𝜙𝑌𝑡−1 + 𝑒𝑡

untuk 𝑘 = 1, 𝛾1 =𝜙𝜎𝑒

2

1−𝜙2

untuk 𝑘 = 2, 𝛾2 =𝜙2𝜎𝑒

2

1−𝜙2

𝛾𝑘 =𝜙𝑘𝜎𝑒

2

1 − 𝜙2

21

Proses Regresi DiriOrdo KesatuAR(1)

Ilustrasi plot korelasi diri pada model-model AR(1)

22

Kestasioneranpada ProsesAR(1)

Asumsi yang digunakan:

• 𝑒𝑡 saling bebas terhadap 𝑌𝑡−1, 𝑌𝑡−2, 𝑌𝑡−3…

• 𝜎𝑒2 > 0

Stationarity condition pada AR(1) ↔ 𝜙 < 1

23

Kestasioneranpada ProsesAR(1)

Yt Vs Yt-1 Yt Vs Yt-2Yt Vs Yt-3

24

Proses Regresi DiriOrdo KeduaAR(2)

Model: 𝑌𝑡 = 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝜙2𝑌𝑡−2 + 𝑒𝑡

Stationarity condition pada AR(2):

• 𝜙1 + 𝜙2 < 1

• 𝜙2 − 𝜙1 < 1

• 𝜙2 < 1

Asumsi :

• 𝑒𝑡 saling bebas thdp 𝑌𝑡−1, 𝑌𝑡−2, 𝑌𝑡−3…

• 𝜎𝑒2 > 0

25

Proses Regresi DiriOrdo KeduaAR(2)

Model: 𝑌𝑡 = 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝜙2𝑌𝑡−2 + 𝑒𝑡

𝑐𝑜𝑣(𝑌𝑡−𝑘 , 𝑌𝑡) = 𝑐𝑜𝑣 𝑌𝑡−𝑘 , 𝜙1𝑌𝑡−1 + cov 𝑌𝑡−𝑘 , 𝜙2𝑌𝑡−2 + 𝑐𝑜𝑣 𝑌𝑡−𝑘 , 𝑒𝑡

𝛾𝑘 = 𝜙1𝛾𝑘−1 + 𝜙2𝛾𝑘−2

𝜌𝑘 = 𝜙1𝜌𝑘−1 + 𝜙2𝜌𝑘−2

dibagi 𝛾0

26

Proses Regresi DiriOrdo KeduaAR(2)

Model: 𝑌𝑡 = 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝜙2𝑌𝑡−2 + 𝑒𝑡

𝜌𝑘 = 𝜙1𝜌𝑘−1 + 𝜙2𝜌𝑘−2

𝑘=1?

𝑘=2?

27

Proses Regresi DiriOrdo KeduaAR(2)

Model: 𝑌𝑡 = 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝜙2𝑌𝑡−2 + 𝑒𝑡

𝜌𝑘 = 𝜙1𝜌𝑘−1 + 𝜙2𝜌𝑘−2

𝑘=1

𝜌1 = 𝜙1𝜌0 + 𝜙2𝜌−1 , dengan 𝜌0 = 1 dan 𝜌−1 = 𝜌1

𝜌1 = 𝜙1 + 𝜙2𝜌1

𝜌1 =𝜙1

1 − 𝜙2

28

Proses Regresi DiriOrdo KeduaAR(2)

Model: 𝑌𝑡 = 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝜙2𝑌𝑡−2 + 𝑒𝑡

𝜌𝑘 = 𝜙1𝜌𝑘−1 + 𝜙2𝜌𝑘−2

𝑘=2

𝜌2 = 𝜙1𝜌1 + 𝜙2𝜌0 , dengan 𝜌0 = 1 dan 𝜌1 =𝜙1

1−𝜙2

𝜌2 = 𝜙1𝜙1

1 − 𝜙2+ 𝜙2

𝜌2 =𝜙2 1 − 𝜙2 +𝜙1

2

1 − 𝜙229

Proses Regresi DiriOrdo KeduaAR(2)

Ilustrasi plot korelasi diri pada model-model AR(2)

30

Model CampuranARMA(p,q)

𝑌𝑡 = 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝜙2𝑌𝑡−2 +⋯+ 𝜙𝑝𝑌𝑡−𝑝 + 𝑒𝑡

Model AR(p)

Model MA(q)

𝑌𝑡 = 𝑒𝑡 − 𝜃1𝑒𝑡−1 − 𝜃2𝑒𝑡−2 −⋯− 𝜃𝑞𝑒𝑡−𝑞

Model Campuran ??

31

Model CampuranARMA(p,q)

𝑌𝑡 = 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝜙2𝑌𝑡−2 +⋯+ 𝜙𝑝𝑌𝑡−𝑝 + 𝑒𝑡

Model AR(p)

Model MA(q)

𝑌𝑡 = 𝑒𝑡 − 𝜃1𝑒𝑡−1 − 𝜃2𝑒𝑡−2 −⋯− 𝜃𝑞𝑒𝑡−𝑞

𝑌𝑡 = 𝜙1𝑌𝑡−1 +⋯+ 𝜙𝑝𝑌𝑡−𝑝 + 𝑒𝑡 − 𝜃1𝑒𝑡−1 −⋯− 𝜃𝑞𝑒𝑡−𝑞

Model ARMA(p,q)

32

Model CampuranARMA(1,1)

Model: 𝑌𝑡 = 𝜙𝑌𝑡−1 + 𝑒𝑡 − 𝜃𝑒𝑡−1

𝑐𝑜𝑣 𝑒𝑡, 𝑌𝑡 = 𝑐𝑜𝑣(𝑒𝑡,𝜙𝑌𝑡−1 + 𝑒𝑡 − 𝜃𝑒𝑡−1)= 𝜎𝑒2

Perhitungan peragam:

𝑐𝑜𝑣 𝑒𝑡, 𝑌𝑡−1 = 𝑐𝑜𝑣(𝑒𝑡,𝜙𝑌𝑡−2 + 𝑒𝑡 − 𝜃𝑒𝑡−1)= 𝜙𝜎𝑒

2 − 𝜃𝜎𝑒2

= 𝜙 − 𝜃 𝜎𝑒2

33

Model CampuranARMA(1,1)

Model: 𝑌𝑡 = 𝜙𝑌𝑡−1 + 𝑒𝑡 − 𝜃𝑒𝑡−1

Fungsi autokorelasi:

34

Problem (3)

Buktikan bahwa fungsi autokorelasi bagiARMA (1,1) adalah :

35

InvertabilitasCan a moving average model

be reexpressed as an autoregression?

36

Inve

rtab

ilita

s

37

Referensi

1. Cryer, J.D. and Chan, K.S. 2008. Time Series Analysis with Application in R. Springer.

2. Pustaka lain yang relevan.

38