Proses Linear Umum
Keterangan:ππ‘ = pengamatan deret waktuππ‘= white noise
ππ‘ merupakan kombinasi linear terboboti dari white noise padaperiode ke-π‘ dan periode-periodesebelumnya.
white noise series : a sequence of identically distributed, zero-mean, independent random variables
2
Proses Linear Umum
deret tak hingga
Asumsi π=1β ππ
2 < β
3
Proses Linear Umum
deret tak hingga
Asumsi π=1β ππ
2 < β
Koefisien bagi ππ‘ adalah 1, sehinggaπ0 = 1
4
Proses Linear Umum
πβ²s nilainya turun secara eksponensial
ππ = ππ, dimanaβ1 < π < 1
5
Proses Linear Umum
ππ‘ memiliki nilai tengah nol dan ragam konstan
6
Problem (1)
Tentukan πππ£ ππ‘ , ππ‘β1 dan
ππππ ππ‘ , ππ‘β1 .
7
Proses Linear Umum
8
Model DeretWaktuStasioner
β’ Syarat kestasioneran
β’ Model Stasioner
β’ Autoregressive : AR(p)
β’ Moving Average: MA(q)
β’ ARMA(p,q)
9
Proses RataanBergerak
Moving Average
MA(q)
β’ menerapkan bobot 1,βπ1, βπ2, β¦ , βππ pada peubah
ππ‘, ππ‘β1, ππ‘β2, β¦ , ππ‘βπ untuk memperoleh ππ‘
β’ menggeser bobot tsb sehingga diterapkan pada peubahππ‘+1, ππ‘, ππ‘β1, β¦ , ππ‘βπ+1 untuk memperoleh ππ‘+1
10
Proses RataanBergerakOrdo KesatuMA(1)
Model: ππ‘ = ππ‘ β πππ‘β1
11
Proses RataanBergerakOrdo KesatuMA(1)
Model: ππ‘ = ππ‘ β πππ‘β1
dapat diringkas sbb:
ππ =πΎππΎ0
12
Problem (2)Tentukan fungsi autokorelasi bagi
model MA(1) jika πβ =1
π.
13
Proses RataanBergerakOrdo KesatuMA(1)
Contoh: Proses MA(1) dengan π = β0.9
Plot ππ‘ Vs ππ‘β1 Plot ππ‘ Vs ππ‘β2
Terdapat korelasi positif pada lag 1 14
Proses RataanBergerakOrdo KeduaMA(2)
Model: ππ‘ = ππ‘ β π1ππ‘β1 β π2ππ‘β2
15
Proses RataanBergerakOrdo KeduaMA(2)
Model: ππ‘ = ππ‘ β π1ππ‘β1 β π2ππ‘β2
16
17
Proses Regresi Diri
Autoregressive
AR(p)
ππ‘ = π1ππ‘β1 + π2ππ‘β2 +β―+ ππππ‘βπ + ππ‘
Nilai ππ‘ pada periode saat ini (t) adalah kombinasilinear dari p nilai periode sebelumnya ditambahkomponen ππ‘ .
Asumsi: ππ‘ saling bebas thdp ππ‘β1, ππ‘β2, β¦ , ππ‘βπ
18
Proses Regresi DiriOrdo KesatuAR(1)
Model: ππ‘ = πππ‘β1 + ππ‘
πππ ππ‘ = πππ πππ‘β1 + ππ‘
πππ ππ‘ = π2πππ ππ‘β1 + πππ ππ‘
πΎ0 = π2πΎ0 + ππ
2
πΎ0 =ππ2
1βπ2
dengan π2 < 1 atau π < 1
19
Proses Regresi DiriOrdo KesatuAR(1)
Model: ππ‘ = πππ‘β1 + ππ‘
untuk π = 1,2,β¦
untuk π = 1, πΎ1 = ππΎ0 =πππ
2
1βπ2
untuk π = 2, πΎ2 = ππΎ1 =π2ππ
2
1βπ2
πππ£ ππ‘βπ, ππ‘ = πππ£ ππ‘βπ , πππ‘β1 + ππ‘
πππ£ ππ‘βπ, ππ‘ = ππππ£ ππ‘βπ , ππ‘β1 + πππ£ ππ‘βπ , ππ‘
πΎπ = ππΎπβ1 + πππ£ ππ‘βπ , ππ‘
20
Proses Regresi DiriOrdo KesatuAR(1)
Model: ππ‘ = πππ‘β1 + ππ‘
untuk π = 1, πΎ1 =πππ
2
1βπ2
untuk π = 2, πΎ2 =π2ππ
2
1βπ2
πΎπ =ππππ
2
1 β π2
21
Proses Regresi DiriOrdo KesatuAR(1)
Ilustrasi plot korelasi diri pada model-model AR(1)
22
Kestasioneranpada ProsesAR(1)
Asumsi yang digunakan:
β’ ππ‘ saling bebas terhadap ππ‘β1, ππ‘β2, ππ‘β3β¦
β’ ππ2 > 0
Stationarity condition pada AR(1) β π < 1
23
Kestasioneranpada ProsesAR(1)
Yt Vs Yt-1 Yt Vs Yt-2Yt Vs Yt-3
24
Proses Regresi DiriOrdo KeduaAR(2)
Model: ππ‘ = π1ππ‘β1 + π2ππ‘β2 + ππ‘
Stationarity condition pada AR(2):
β’ π1 + π2 < 1
β’ π2 β π1 < 1
β’ π2 < 1
Asumsi :
β’ ππ‘ saling bebas thdp ππ‘β1, ππ‘β2, ππ‘β3β¦
β’ ππ2 > 0
25
Proses Regresi DiriOrdo KeduaAR(2)
Model: ππ‘ = π1ππ‘β1 + π2ππ‘β2 + ππ‘
πππ£(ππ‘βπ , ππ‘) = πππ£ ππ‘βπ , π1ππ‘β1 + cov ππ‘βπ , π2ππ‘β2 + πππ£ ππ‘βπ , ππ‘
πΎπ = π1πΎπβ1 + π2πΎπβ2
ππ = π1ππβ1 + π2ππβ2
dibagi πΎ0
26
Proses Regresi DiriOrdo KeduaAR(2)
Model: ππ‘ = π1ππ‘β1 + π2ππ‘β2 + ππ‘
ππ = π1ππβ1 + π2ππβ2
π=1?
π=2?
27
Proses Regresi DiriOrdo KeduaAR(2)
Model: ππ‘ = π1ππ‘β1 + π2ππ‘β2 + ππ‘
ππ = π1ππβ1 + π2ππβ2
π=1
π1 = π1π0 + π2πβ1 , dengan π0 = 1 dan πβ1 = π1
π1 = π1 + π2π1
π1 =π1
1 β π2
28
Proses Regresi DiriOrdo KeduaAR(2)
Model: ππ‘ = π1ππ‘β1 + π2ππ‘β2 + ππ‘
ππ = π1ππβ1 + π2ππβ2
π=2
π2 = π1π1 + π2π0 , dengan π0 = 1 dan π1 =π1
1βπ2
π2 = π1π1
1 β π2+ π2
π2 =π2 1 β π2 +π1
2
1 β π229
Proses Regresi DiriOrdo KeduaAR(2)
Ilustrasi plot korelasi diri pada model-model AR(2)
30
Model CampuranARMA(p,q)
ππ‘ = π1ππ‘β1 + π2ππ‘β2 +β―+ ππππ‘βπ + ππ‘
Model AR(p)
Model MA(q)
ππ‘ = ππ‘ β π1ππ‘β1 β π2ππ‘β2 ββ―β ππππ‘βπ
Model Campuran ??
31
Model CampuranARMA(p,q)
ππ‘ = π1ππ‘β1 + π2ππ‘β2 +β―+ ππππ‘βπ + ππ‘
Model AR(p)
Model MA(q)
ππ‘ = ππ‘ β π1ππ‘β1 β π2ππ‘β2 ββ―β ππππ‘βπ
ππ‘ = π1ππ‘β1 +β―+ ππππ‘βπ + ππ‘ β π1ππ‘β1 ββ―β ππππ‘βπ
Model ARMA(p,q)
32
Model CampuranARMA(1,1)
Model: ππ‘ = πππ‘β1 + ππ‘ β πππ‘β1
πππ£ ππ‘, ππ‘ = πππ£(ππ‘,πππ‘β1 + ππ‘ β πππ‘β1)= ππ2
Perhitungan peragam:
πππ£ ππ‘, ππ‘β1 = πππ£(ππ‘,πππ‘β2 + ππ‘ β πππ‘β1)= πππ
2 β πππ2
= π β π ππ2
33
Model CampuranARMA(1,1)
Model: ππ‘ = πππ‘β1 + ππ‘ β πππ‘β1
Fungsi autokorelasi:
34
Problem (3)
Buktikan bahwa fungsi autokorelasi bagiARMA (1,1) adalah :
35
InvertabilitasCan a moving average model
be reexpressed as an autoregression?
36
Inve
rtab
ilita
s
37
Referensi
1. Cryer, J.D. and Chan, K.S. 2008. Time Series Analysis with Application in R. Springer.
2. Pustaka lain yang relevan.
38