Universite de Paris sud 11 annee 2013/2014

Maıtrise de physique M1 PFON Physique Statistique

Partiel du 14 novembre 2012

Duree : 2h15seul le polycopie de cours est autorise.

On notera kB la constante de Boltzmann, β = 1/(kBT ), h la constante de Planck.

A Facteur d’indiscernabilite

On multiplie usuellement les fonctions de partition par le facteur d’indiscernabilite1/N !. Cette facon de faire est exacte quand la fonction de partition est calculee dans unespace des phases continu, mais, si la somme est discrete, on compte plusieurs fois desetats microscopiques ou plusieurs particules sont dans un meme etat quantique.

Si les particules sont des fermions, la repulsion de Pauli interdit de tels etats micro-scopiques, et le facteur 1/N ! reste exact. Si ce sont des bosons, le resultat exact differenettement, on peut d’ailleurs rapprocher ceci de la condensation de Bose. On va le verifiersur un petit exemple elementaire.

1 Statistique de fermions

On considere un systeme de deux fermions, pouvant etre dans quatre etats quantiquesdifferents (on peut, par exemple, noter ces etats a une particule |0 ↑〉, |0 ↓〉, |1 ↑〉, |1 ↓〉).

i. Compter Ω le nombre de configurations microscopiques, quand on suppose que lesfermions sont discernables.

ii. Compter Ω le nombre de configurations microscopiques, quand on suppose que lesfermions sont indiscernables.

iii. Comparer le resultat exact precedent avec celui qu’on obtiendrait si on divisait lenombre Ω obtenu pour des fermions discernables par N !. Conclusions ?

2 Statistique de bosons

On considere un systeme de trois bosons, pouvant etre dans trois niveaux d’energieE0 = 0, E1 = ε et E2 = 2ε.

i. Compter Ω le nombre de configurations microscopiques, quand on suppose que lesbosons sont discernables.

ii. Compter Ω le nombre de configurations microscopiques, quand on suppose que lesbosons sont indiscernables.

iii. Comparer le resultat exact precedent avec celui qu’on obtiendrait si on divisait lenombre Ω obtenu pour des bosons discernables par N !. Conclusions ?

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B Reseau atomique

Soit un solide, constitue de N atomes identiques. Les atomes ont une position determineeet seront consideres comme discernables. On suppose qu’ils peuvent avoir deux niveauxquantiques, correspondant aux energies E = 0 et E = ε0. Leur spin est nul et n’intervientpas. L’ensemble est a la temperature T fixee.

i. Pourquoi doit-on travailler dans l’ensemble canonique ?

ii. Calculer la fonction de partition Z associee aux atomes, en fonction de N , ε0 et T(ou β).

iii. Calculer l’energie libre F correspondante.

iv. Calculer l’entropie S correspondante.

v. Calculer l’energie interne U du reseau atomique.

vi. Calculer la limite limT→∞

U . Cette limite est valable pour T ≫ T0. Donner T0, en

justifiant votre reponse.

vii. Calculer la limite limT→∞

S. Montrer que cette limite est encore valable pour T ≫ T0.

viii. Montrer que cette limite correspond a la formule S = kB lnΩ, apres avoir correcte-ment calcule le nombre de configurations atomiques Ω.

ix. Calculer µ le potentiel chimique des atomes. Calculer les limites T → 0 et T → ∞,et tracer grossierement µ(T ).

x. Calculer enfin Cv la capacite calorifique du reseau atomique. Calculer les limitesT → 0 et T → ∞, et tracer grossierement Cv(T ).

C Melange de gaz dans une enceinte adiabatique

On etudie un melange de gaz. On commence par l’etude de la detente d’un gaz simple.

1 Detente de Joule Gay-Lussac

On considere un gaz parfait compose deN1 particules identiques indiscernables dansune enceinte de volume V1. Cette enceinteest accolee a une seconde enceinte de volumeV2, initialement vide (comme represente surle dessin ci-contre).

On retire la cloison separant les deux enceintes. Le gaz retourne a l’equilibre ther-modynamique, et occupe un volume total V = V1 + V2. A partir de l’instant ou il n’y aplus qu’un volume, on peut se placer dans l’ensemble microcanonique, car cette detentene provoque aucun echauffement ni transfert d’energie avec l’exterieur.1

1Le gaz est loin de l’equilibre mais il n’y a pas d’autre equilibre possible tant que V est de dimensions

raisonnables.

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La configuration initiale, quand le gaz est confine dans le volume V1, est egalementdecrite dans l’ensemble microcanonique. Enfin, l’energie interne ne varie pas entre lesconfigurations initiale et finale car on retire la paroi sans depense d’energie.

a Proprietes thermodynamiques dans la configuration initiale

i. Calculer l’entropie S1 du gaz dans la configuration initiale. Exprimer le resultaten fonction de N1, V1, E = E1. On rappelle le volume d’une boule de rayon 1dans un espace de dimension p : VBp

= πp/2/Γ(1 + p/2) et la formule de Stirlingln(p!) ≈ p ln(p) − p.

ii. Calculer la temperature a l’equilibre initial T1.

iii. Calculer la pression a l’equilibre initial p1.

b Proprietes thermodynamiques dans la configuration finale

i. Donner l’entropie S′1 dans la configuration finale. On ne vous redemande pas de lacalculer mais de justifier brievement son expression.

ii. Calculer ∆S1 ≡ S′1−S1, en donnant son expression la plus simplifiee possible. C’est

l’entropie dite de melange, qui caracterise l’irreversibilite de la detente.

iii. Calculer la temperature a l’equilibre final T ′1.

iv. Calculer la pression a l’equilibre final p′1.

v. Calculer le potentiel chimique a l’equilibre final µ′1.

2 Melange de deux gaz

On etudie maintenant deux gaz parfaits dans deux enceintes initialement separees. Lepremier est compose de N1 particules indiscernables de type A1 et confine dans le volumeV1. Le second de N2 particules indiscernables de type A2 6= A1, confine dans le volume V2.On suppose enfin que les gaz ne reagissent pas entre eux et on neglige toutes les interactionentre les particules de type A1 et A2).

Fig. 1 – Le gaz de particules A1 est confine dans le volume V1, le gaz de particules A2 estconfine dans le volume A2.

On retire la paroi (voir le schema de la situation initiale ci-dessus) et les gaz semelangent. Pour simplifier les calculs,2 on decompose l’experience en deux etapes ; la

2Le calcul direct, qui a deja ete donne en examen, est long et laborieux.

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configuration intermediaire est purement fictive et ne se produit pas dans la realite, maison trouve ainsi les bonnes expressions finales.

a Premiere etape

On suppose ici qu’on retire la paroi et que les gaz se repandent dans toute l’enceinteV1 + V2 sans thermaliser, de sorte que le systeme de chaque gaz de particules Aα,considere separement, garde une energie constante Eα et une temperature propre Tα.

Comme ces gaz n’interagissent pas, on peut les etudier independamment. Chaque gaza donc subi, lors de cette premiere etape (fictive), une detente de Joule Gay-Lussac.

i. Donner l’entropie totale S initiale, en fonction des entropies respectives de chaquegaz.

ii. En utilisant les resultats precedents, en deduire l’expression de la variation d’entropietotale S′ − S en fonction de E1, E2, V1, V2, N1 et N2.

iii. Les temperatures T1 et T2 varient-elles au cours de cette premiere etape ?

iv. Preciser la relation entre la temperature Ti de chaque gaz et son energie Ei.

b Deuxieme etape

Les deux gaz thermalisent. Leurs temperatures varient et atteignent une temperatureT = T ′′

1= T ′′

2commune. Par contre, les energies ne convergent pas.

i. Montrer qu’on peut ecrire les energies finales sous la forme

E′′1 = E1 − δE E′′

2 = E2 + δE

ou le signe de δE est arbitraire, E1 et E2 sont les energies initiales des deux gaz.

ii. En utilisant l’ensemble des resultats precedents, etablir une relation entre δE etT2 − T1.

iii. Montrer que

T =N1

N1 + N2

T1 +N2

N1 + N2

T2 .

iv. Donner l’expression de E′′1

et de E′′2

en fonction de E1, E2, N1 et N2.

v. Calculer l’expression de S′′ − S′, la variation d’entropie totale pendant l’etape 2.

vi. En deduire S′′ − S, la variation d’entropie pendant l’ensemble du processus demelange, en fonction de V1, V2, N1, N2, E1 et E2.

Cette derniere expression est la seule quantite physiquement correcte. Cette entropiede melange est entierement liee au caractere irreversible du melange.3

3Bien que les contributions S′′

1 −S′

1 et S′′

2 −S′

2 soient dues aux echanges d’energie entre les gaz et donc

du type ∆S =R

δQ/T , l’ensemble des deux gaz garde toujours une energie constante, et la somme de ces

contributions est reinterpretee comme de l’entropie de melange.

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