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Examen partiel #2 • Mardi le 9 novembre de 19h30 à 21h20 • Salles 2880 (Gr.A) et 3860 (Gr. B) du pavillon Vachon. • Matière de l'examen: - Livre de Lay: sections 2.6, 2.8, 2.9, 3.1, 3.2, 3.3, 5.1, 5.2. - Notes de cours (guide d'études): sections

Examen partiel #2

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Examen partiel #2. Mardi le 9 novembre de 19h30 à 21h20 Salles 2880 (Gr.A) et 3860 (Gr. B) du pavillon Vachon. Matière de l'examen: - Livre de Lay: sections 2.6, 2.8, 2.9, 3.1, 3.2, 3.3, 5.1, 5.2. - Notes de cours (guide d'études): sections 6 à 10. - Devoirs: 5 à 8. Rappel. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Examen partiel #2

Examen partiel #2

• Mardi le 9 novembre de 19h30 à 21h20

• Salles 2880 (Gr.A) et 3860 (Gr. B) du pavillon Vachon.

• Matière de l'examen:- Livre de Lay: sections 2.6, 2.8, 2.9, 3.1, 3.2, 3.3, 5.1, 5.2.- Notes de cours (guide d'études): sections 6 à 10.- Devoirs: 5 à 8.

Page 2: Examen partiel #2

• Déterminants:– définition;– propriétés;– règle de Cramer;– calcul de l’inverse d’une matrice;– aire et volume;– transformations linéaires.

Rappel...

Page 3: Examen partiel #2

Aujourd’hui

• Valeurs propres et vecteurs propres.– Définitions;– Propriétés;– Équations aux différences;– Équation caractéristique;– Matrices similaires;– Applications aux systèmes dynamiques.

Page 4: Examen partiel #2

10. Valeurs propres etvecteurs propres

Avu vAu

Page 5: Examen partiel #2

Définition: Vecteur propre

Un vecteur propre d’une matrice An n est un vecteur non nul x tel que

Ax = x

pour un scalaire quelconque.

Page 6: Examen partiel #2

Définition: Valeur propre

Un scalaire est appelé une valeur propre de A s’il existe une solution non triviale x du système Ax = x; un tel x est appelé vecteur propre correspondant à .

Page 7: Examen partiel #2

Matlab: eig

x = eig(A): x est un vecteur colonne contenant les valeurs propres de A.

[U V] = eig(A): U est une matrice diagonale contenant les valeurs propres de A et V est une matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres de A.

Page 8: Examen partiel #2

Équation (A - I)x = 0

• L’ensemble de toutes les solutions est le noyau de la matrice (A - I).

• C’est donc un sous-espace de Rn.

• On appelle ce sous-espace l’espace propre correspondant à .

Page 9: Examen partiel #2

Valeurs propres d’une matrice triangulaire

Soit A une matrice triangulaire. Alors les valeurs propres de A sont les éléments de la diagonale principale de A.

Page 10: Examen partiel #2

Suite du théorème des matrices inversibles

Soit A une matrice n n. Alors A est inversible si et seulement si

Le nombre 0 n’est pas une valeur propre de A.

Page 11: Examen partiel #2

Vecteurs propres correspondants à des valeurs

propres distinctes

Si v1,...,vr sont des vecteurs propres correspondants à des valeurs propres distinctes 1,...,r d’une matrice A n n, alors l’ensemble {v1,...,vr} est linéairement indépendant.

Page 12: Examen partiel #2

Équations aux différences

• Équations représentant des systèmes dynamiques.

• Équation du premier ordre:

xk+1= A xk, k = 0,1,2,...

Page 13: Examen partiel #2

L’équation caractéristique

• L’équation caractéristique est une équation scalaire à une inconnue nous permettant de calculer les valeurs propres.

Page 14: Examen partiel #2

Propriétés des déterminants

• Soit A et B des matrices n n.

a. A est réversible si et seulement si det A 0.

b. det AB = (det A)(det B).

c. det AT = det A.

Page 15: Examen partiel #2

Propriétés des déterminants (suite)

d. Si A est une matrice triangulaire, alors det A est le produit des éléments de la diagonale principale de A.

Page 16: Examen partiel #2

Propriétés des déterminants (suite)

e.

- Une opération de remplacement d’une ligne de A ne change pas le déterminant.

- Un échange de deux ligne change le signe du déterminant.

- La multiplication d’une ligne par un scalaire multiplie le déterminant par le même scalaire.

Page 17: Examen partiel #2

Définition: équation caractéristique

• (A - I)x = 0 a une solution non triviale si et seulement si A - I est non inversible(théorème sur les matrices inversibles).

• A - I est non inversible si et seulement sidet(A - I) = 0.

Page 18: Examen partiel #2

Définition: équation caractéristique (suite)

• Ceci nous amène donc à définir l’équation caractéristique de A.

det(A - I) = 0

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Définition: matrice similaire

Si A et B sont des matrices similaires, alors A est similaire à B s’il existe une matrice réversible P telle que P-1AP = B ou, de manière équivalente, A = PBP-1.

Page 20: Examen partiel #2

Matrice similaire (suite)

Si on remplace P-1 par Q on a Q-1BQ = A. B est donc similaire à A, et nous disons simplement que A et B sont similaires.

Page 21: Examen partiel #2

Théorème: Matrices similaires et valeurs propres

Si A et B, des matrices n n, sont similaires, alors elles ont le même polynôme caractéristique et donc les mêmes valeurs propres (avec les mêmes multiplicités).

Page 22: Examen partiel #2

Prochain cours...

• Diagonalisation et transformations linéaires.