Partie 1 : Introduction à laIntroduction à la Commande ...lisabiblio.univ-angers.fr/jd-jn-macs09/Commande/EJDA09_1.pdf · Application dans le domaine de la machine ... Élaboration

Partie 1 :Partie 1 :

Introduction à laIntroduction à laIntroduction à laIntroduction à laCommande PrédictiveCommande Prédictive

Ecole des JDMACS, Angers, 19-21 Mars 2009Commande prédictive : interaction optimisation – commande

Pl d l é t tiPl d l é t tiPlan de la présentationPlan de la présentation1. Introduction

1. Quelques repères2 Phil hi2. Philosophie

2. Les concepts de la Commande Prédictive1. Principes de basep2. Paramètres de réglage3. Modélisation des contraintes4. Schéma récapitulatif

3. Mise en œuvre dans le cas non contraint1 Approche GPC (Commande Prédictive Généralisée)1. Approche GPC (Commande Prédictive Généralisée)2. Approche MPC (Model Predictive Control)3. Etude d’un exemple





1. Introduction1. Introduction1.1 Quelques repères1.1 Quelques repères

Historique :• Commencement fin des années 70 (Richalet et al Cutler&Ramaker)

1.1 Quelques repères1.1 Quelques repères

• Commencement fin des années 70 (Richalet et al., Cutler&Ramaker)MPHC-MAC, DMCIssu de la communauté de la commande adaptative : EPSAC, GPC

A éli ti d l é 90 Et d d l t bilité t d l• Améliorations dans les années 90 : Etude de la stabilité et de larobustesse (Mayne et al.)

• Période de maturité depuis le début des années 2000 : solutionsli it d édi ti d tè h b id li é iexplicites, commande prédictive de systèmes hybrides, non-linéaires,

rapides …Applications : initialement sur des systèmes linéaires et lents

• De nombreux domaines applicatifs• Plus de 1000 applications répertoriées (Qin&Badgwell’03)

De nombreux logiciels commerciaux disponibles :

4

De nombreux logiciels commerciaux disponibles :• DMC, IDCOM, HIECON, PFC, RMPCT, PCT, SMCA, IDCOM-M, OPC,

3dMPC, Connoisseur

1 Introduction1 Introduction1. Introduction1. Introduction1.2 Philosophie1.2 Philosophie

Trajectoire

Chemin « anticipatif »Chemin « non anticipatif »

Création d’un effet anticipatif par utilisationexplicite de la trajectoire à suivre dans lefutur.Prise en compte de contraintes.Stratégie de commande bien adaptée auxproblèmes de suivi de trajectoires, pourRéponse 'classique' p j , plesquels la trajectoire à suivre estparfaitement connue à l’avance et planifiée.Application dans le domaine de la machine

Réponse 'classique'sans anticipation

Réponse avecti i ti pp

outil, pour la commande de moteurs d’axe,en régulation de température (domotique),etc. 5

anticipation





2 Les concepts de la commande prédictive2. Les concepts de la commande prédictive2.1 Principes de base

Utilisation d’un modèle numérique du système permettant de prédire leUtilisation d’un modèle numérique du système permettant de prédire lecomportement futurÉlaboration d’une séquence de commandes futures en boucle ouverte

f û fpar minimisation d’une fonction de coût sur un horizon finiApplication de la première valeur de cette séquence sur le systèmeRéitération de toute cette procédure à la période d’échantillonnageRéitération de toute cette procédure à la période d échantillonnagesuivante selon la stratégie dite de l’horizon fuyant

structurestructure dede commandecommande enen boucleboucle ferméefermée

++++ ∑−

))()(ˆ())(ˆ(min1

ititlNtN

ϕ

Consigne

prédite Sortie

⎩⎨⎧

−+++++=++

++++ ∑=−=+

))1(),...,(),(ˆ),...,(ˆ())(),(ˆ()1(ˆ

scontrainte les sous

))(),(())((min11,0),(

NtutuNtxitxhituitxfitx

ituitxlNtxiNiitu

ϕSortie

Commandes futures

7

⎩ +++ ))1(),...,(),(),...,(( NtutuNtxitxh

Passé t Futur t + h

2 Les concepts de la commande prédictive2. Les concepts de la commande prédictive2.2 Paramètres de réglage

Les horizons :• de prédiction sur la sortie• de prédiction sur la commandep• sur les contraintes

Contraintes terminalesContraintes terminales

Fonction de coût :• Norme utilisée pour le coût instantané• Norme utilisée pour le coût instantané• Coût terminal• Facteur de pondération

Méthode utilisée pour obtenir la solution optimale (par exemple solveurutilisé pendant la phase d’optimisation)

8

Mayne, Rawlings, Rao, Scokaert, “Constrained model predictive control:Stability and optimality”, Automatica, 2000

2 Les concepts de la commande prédictive2. Les concepts de la commande prédictive2.3 Modélisation des contraintes

Les contraintes les plus classiques :• Contraintes sur l’amplitude de la commande• Contraintes sur l’incrément de commande• Contraintes sur la sortie• Contraintes terminales

Description unifiée des contraintes :⎧ 11

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤≤+≤

−= −−

,)(

)()()()(: Transfert"" Approche

maxmin

11

21NiNkit

dtuqBtqA

ccγγγ

γ γγ

⎪⎨

⎧

∈+

≤≤≤+++

)(

)()(

:Etat""Approche21

XtNtx

NiNtitDutitCx ccγ

9

⎪⎩

⎨−≤≤+=+

∈+

1),max()()(

)(:Etat Approche

22NNiNtitKxtitu

XtNtx

cu

N

2 Les concepts de la commande prédictive2. Les concepts de la commande prédictive2.4 Schéma récapitulatif

10





3 Mise en œuvre dans le cas non contraint3. Mise en œuvre dans le cas non contraint3.1 Approche GPC

Modèle numérique :•Définition du modèle sous forme CARIMA (Controlled AutoRegressiveIntegrated Moving Average) :Integrated Moving Average) :

)()()()1()()()( 1

111

−

−−−

Δ+−=

qtqCtuqBtyqA ξ

)(Δ q

centréblancbruit)(retardopérateur , 1)( : avec 111 −−− −=Δ

tqqq

ξ

onperturbati de polynôme )(

centréblancbruit )(1−qC

tξ

•Cette structure apporte un terme intégrateur au sein de la loi decommande et garantit l’annulation de toute erreur statique vis à vis deconsigne ou de perturbation constante

12


Equation de prédiction :•Prédicteur optimal à j-pas :

4444444 34444444 2131 forcéeréponse

111

1

1

1)()()1()( )1(

)(

)()(

)(

)()/( jtqJjtuqGtu

qC

qHty

qC

qFtjty jj

jj ++−+Δ+−Δ+=+ −−−

−

−

−

ξ444444 3444444 21 forcéeréponse

libre réponse

•Les polynômes inconnus sont solutions d’équations diophantiennespouvant être résolues récursivement :

11111 j

)()()()()()()()()()(

11111

11111

−−−−−−

−−−−−−

=+

=+Δ

qJqBqHqqGqCqCqFqqJqAq

jjj

j

jj

j

13


Fonction de coût quadratique :•Comprenant des termes portant sur les erreurs de prédiction dans lefutur et les incréments de commandes futures :futur et les incréments de commandes futures :

[ ] [ ]∑∑ −+Δ++−+=uN

j

N

NjjtujtyjtwJ

1

22 )1()(ˆ)(2

λ

uNjjtu ≥=+Δ pour 0)( : hypothèsel' sous

== jNj 11

•Quatre paramètres doivent être choisis par l’utilisateur :

inférieurprédictiondehorizonN

commande lasur prédiction dehorizon supérieur prédiction dehorizon inférieur prédictiondehorizon

2

1

uNNN

14

commande lasur n pondératio defacteur λ


Forme matricielle de l’équation de prédiction :

11 )1(1)(1~ˆ −Δ++= tuty ihifuGy444444 3444444 21

libre réponse

11 )()(

)()( −− qC

yqC

y

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

+++

−11

11

11

111

1NN

NN

NN

NN

gg

gg

LL

LL

G

[ ][ ]T11

T11

)()(

)()(

21

21

qHqH

qFqF

NN

NN

=

=

−−

−−

L

L

ih

if

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=

+−−

+

22

22

22

11

11

1

NNN

NN

NN

NN

uggg

gg

L

LLLLG[ ]

[ ][ ]T21

T

)(ˆ)(ˆˆ

)1()(~

)()(21

NtyNty

Ntutu

qq

u

NN

++=

−+ΔΔ=

L

L

y

u

•Les coefficients de la matrice G sont en fait les coefficients de la

[ ]21 )()( NtyNty ++y

15

réponse indicielle du modèle.


Expression de la loi de commande :•Forme matricielle du critère :

ihifGihifG )1(1)(1~)1(1)(1~)~(T

⎥⎤

⎢⎡

Δ⎥⎤

⎢⎡

Δ ttttJ

•Séquence de commandes optimales :uu

wihifuGwihifuGu

~~

)1()(

)()(

~)1()(

)( )(

~)~(

T

1111

λ+

⎥⎦

⎢⎣

−−Δ++⎥⎦

⎢⎣

−−Δ++= −−−− tuqC

tyqC

tuqC

tyqC

J

Séquence de commandes optimales :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Δ−−= −− )1(

)(1)(

)(1 ~

11 tuqC

tyqCopt ihifwNu

⎠⎝ )()( qq

[ ]T21 )()( : avec NtwNtw ++= Lw [ ]⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=+=−

T

T1

T1T :et uN

nGIGGN Mλ

•Commande appliquée au système à l’instant t :

⎥⎦

⎢⎣

TuNn

⎞⎛ 11

16

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Δ−−+−= −− )1(

)(1)(

)(1 )1()( 11

T tuqC

tyqC

tutu optopt ihifwn1


Régulateur polynomial équivalent :

+ξ1 111+

+-

w

u

11ΔS q( )− q B−1 1

1A q( )−

Régulateur

T q( )

[ ]TT1

T1

1

1T1

11

21)()(

)( )()(

NNCT

qRqqCqS

ifn ihn

−

−

−−−

=+=

yR q( )−1

Régulateurpolynomialéquivalent

[ ]T1

1 21)()( NN qqqCqT Ln=

•Equation aux différences pour l’implantation de la loi de commande :

)()()()()()()( 111 twqTtyqRtuqqS +=Δ −−−

•Par rapport à une structure RST classique, le polynôme T est ici non

)()()()()()()( twqTtyqRtuqqS +−=Δ

17

causal.


Programmation hors ligne :•Définition de la consigne (stockage point par point)•Choix d’une période d’échantillonnage et définition des polynômes A•Choix d une période d échantillonnage et définition des polynômes Aet B du modèle CARIMA (par identification préalable si nécessaire)

•Choix des paramètres de réglage de la fonction de coût•Calcul des prédicteurs optimaux par résolution des équationsdiophantiennes

•Synthèse des polynômes R, S et T du régulateur équivalenty p y , g q

Boucle temps réel :•Acquisition de la sortie•Calcul de la commande par équation aux différences•Envoi de la commande

18

Boucle temps réel très rapide (moins de 200 μs)

3 Mise en œuvre dans le cas non contraint,

3. Mise en œuvre dans le cas non contraint3.2 Approche MPC

,

,

Description du modèle :•Modèle linéaire à temps invariant :

étatl' dedimension ,,,,)()(

)()()1( 11 ntty

tutt nnnn ××× ∈∈∈⎩⎨⎧

=+=+

RCRBRAxC

BxAx

•Ajout d’une action intégrale pour annuler les erreurs statiques :

)()1()( tututu Δ+−=

•Représentation d’état étendue :

⎧ ⎥⎤

⎢⎡

=)(

)(t

tx

x

⎩⎨⎧

=Δ+=+

)()()()()1(

ttytutt

ee

eeee

xCBxAx ⎥

⎦⎢⎣ −

=)1(

)(tu

tex

⎥⎤

⎢⎡ BA

A ⎥⎤

⎢⎡

=B

B [ ]0CC =

19

⎥⎦

⎢⎣

=10

Ae ⎥⎦

⎢⎣

=1

Be [ ]0CC =e

3 Mise en œuvre dans le cas non contraint3. Mise en œuvre dans le cas non contraint3.2 Approche MPC

Prédiction de la sortie :∑ ∑−

= =

−− +Δ+−+=+1

0 0

1 ])()1([)()(ˆi

j

j

l

jii ltututity444 3444 21

BACxAC

Fonction de coût quadratique :

+ )( jtu

∑∑−

==+Δ++−+=

1

0

2)(~2

)(~ )()()(ˆ2

1

u

JJ

N

iiR

N

NiiQr ituityityJ

La minimisation de J donne laé d d f t

supérieur prédiction dehorizon inférieur prédiction dehorizon

2

1NN

séquence de commandes futures

Observateur :npondératio de facteurs~,~

commande lasur prédiction dehorizon

JJ

uRQ

N

20

)](ˆ)([)()(ˆ)1(ˆ ttytutt eeeeee xCKBxAx −+Δ+=+

3 Mise en œuvre dans le cas non contraint3. Mise en œuvre dans le cas non contraint3.2 Approche MPC

Loi de commande :•Séquence de commandes futures obtenue par minimisation du critèreprécédent réécrit sous forme matricielleprécédent réécrit sous forme matricielle

•Par application du principe de l’horizon fuyant, la première valeur decette séquence est appliquée au système : )(ˆ)()( 2 tNtyFtu err xL−+=Δ

)(ty⎥⎤

⎢⎡ BA)( 2Ntyr + )(tuΔ

F)(tu

∫+⎥⎦

⎢⎣ 0CrF ∫

)(ˆ ty

−

[ ]⎥⎤

⎢⎡ − KBKCA eee C

)(ˆ texObservateur

[ ]⎥⎦

⎢⎣ 0I eC

21L

3 Mise en œuvre dans le cas non contraint3. Mise en œuvre dans le cas non contraint3.3 Etude d’un exemple

Modèle de la bicyclette : Astrom, Klein, Lennartsson, Control System Magazine, 2005

inertied'centreduscoordonnée:ha

surinertied'moment:systèmedu totalemasse :

constante arrière roue la de vitesse: inertiedcentredu scoordonnée:,

xJmV

ha

x

gauche)à(positifbraquagedeangle:droite) à (positifn inclinaisod' angle :

sur inertied'moment :sur inertiedmoment :

δϕ

x zJDxJ

xz

x

−=

Hypothèses : Linéarisation aux petits angles

g )(pq gg

ypThéorème du moment dynamique :

31

2

2

2)(

d)(d)(

d)(d t

bhVm

tt

bVDthgm

ttJx δδϕϕ

++=

22

434214342143421

scentrifuge forcesaux lié couple

braquagedu lors inertied' forcesaux

lié couple gravité la àlié couple

dd btbt


Modèle de la bicyclette : Equation similaire à celle d’un pendule inverselinéarisé

2 m0,492

==

aba

m/s10 m028,1

==

Vh

F ti d t f t S tè i t bl b l tFonction de transfert : Système instable en boucle ouverte

aVsaVD

hVmsDVs +≈

+=

)(ϕh2

:hypothèseslessous

23hgshb

JhgmsJbs

x−

≈−

=22)(δ

hamDhmJx

≈≈ 2


011 == NN

111

211

)1)(0030401()(

7456,07852,10493,1)(

qqqS

qqqR

−+=Δ

+−=−−−

−−−

Régulateur RST équivalent :s 1,0

000101 011 21

==−==−=

e

u

TN

NNλ

109876

5432

31,156 22,202 15,637 10,833 7,327

4,7812,9531,665 0,7940,256)(

)1)(00304,01()(

qqqqq

qqqqqqT

qqqS

++++

+++++=

+=Δ

20

40

60 Diagramme de Bode boucle corrigée

e [d

B]

25

30 Diagramme de Black

10-3 10-2 10-1 100 101 102-20

0

20

Pulsation [rad/s]

Mod

ule

10

15

20

ule

[dB

]

Pulsation [rad/s]

-200

-150

-100

[Deg

ré]

0

5

Mod

u

10-3 10-2 10-1 100 101 102-300

-250

200

Pulsation [rad/s]

Pha

se

24

Marge de phase 44,8 °Marge de gain 8 dB

Marge de retard 0,9 Te-270 -240 -210 -180 -150 -120-10

-5

Phase [degré]

[ ]


Réponse à une consigne d’angle d’incli-10

p g gnaison de 10° (situation improbable …)

6

8

10

1

0

2

4

0.5

-6

-4

-2

-0 5

0

0 5 10 15 20 25-10

-8

t [s]-1

0.5

Angle d’inclinaison0 5 10 15 20 25

-1.5

t [s]

101

1

2

1

===

uNNN

25

Angle de braquagePas de saturation de commande s 1,0

00010==

e

u

Tλ

3 Mise en œuvre dans le cas non contraint3. Mise en œuvre dans le cas non contraint3.3 Etude d’un exemple10

Réponse à une perturbation de 10° sur l’ l d’i li i ( d t)

5 15

l’angle d’inclinaison (coup de vent)

0

5

10

-10

-5

0

0 2 4 6 8 10 12 14-15

10

[ ]

-10

-5Perturbation

t [s]

0 2 4 6 8 10 12 14-15

t [s]

Angle d’inclinaison

101

1

2

1

===

NNN

26

Angle de braquagePas de saturation de commande

s 1,000010

1

===

e

u

T

Nλ

3 Mise en œuvre dans le cas non contraint10

3. Mise en œuvre dans le cas non contraint3.3 Etude d’un exemple

Réponse à une perturbation d’angle

5

10 Réponse à une perturbation d angle d’inclinaison de 10° (coup de vent)

5

-5

0

2

3

4

15

-10

1

0

1

0 2 4 6 8 10 12 14-20

-15

t [s]

Perturbation

-3

-2

-1

t [s]

Angle d’inclinaison0 2 4 6 8 10 12 14

-5

-4

t [s]1 01

1

2

1

===

uNNN

27

Angle de braquageSaturation de la commande à 5° s 1,0

00010==

eTλ

Documents

Partie 1 : Introduction à laIntroduction à la Commande ...lisabiblio.univ-angers.fr/jd-jn-macs09/Commande/EJDA09_1.pdf · Application dans le domaine de la machine ... Élaboration