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Commande Prédictive J. P. Corriou LSGC-ENSIC-CNRS, Nancy e-mail : [email protected]

Commande Prédictive

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Commande Prédictive

J. P. Corriou

LSGC-ENSIC-CNRS, Nancy

e-mail : [email protected]

Passé Instant actuel Temps

Temps

Futurd’échantillonnage

Entrée�

�Horizon de commande��

Consigne

Trajectoire deréférence����

Réponse�

� �Horizon de prédiction��

FIG. 1 – Principe de la Commande Prédictive basée sur le Modèleavec ses horizons de prédiction et de commande.

Objectif : maintenir les variables de commande proches de leursconsignestout en respectant les contraintes opératoiresdu pro-cédé.

1

Premières publications

� 1978 : J. Richalet, A. Rault, J.L. Testud, J. Papon, "Model Pre-dictive Heuristic Control : Applications to Industrial processes",Automatica, 14, 413-428 (1978)

� 1979 : C. R. Cutler, B. L. Ramaker, "Dynamic matrix control -a computer control algorithm", AIChE Annual Meeting, Houston,Texas (1979)

Remarque importante :- développement par des sociétés industrielles : Adersa, Shell.- ces articles concernent des applications industrielles complexes :distillation, FCC en pétrochimie.

2

Nombreuses variantes et dénominations

- IDCOM : IDentification-COMmand (Richalet et al) en tant queMAC (Model Algorithmic Control).

- DMC : Dynamic Matrix Control (Cutler, Ramaker, 1979).

- GPC : Generalized Predictive Control (Clarke, 1987).

- EPSAC : Extended Prediction Self-Adaptive Control (Keyer, Cau-wenberghe 1985).

- EHAC : Extended Horizon Adaptive Control (Ydstie, 1984).

3

Intérêt selon Richaletd’un algorithme de commande par optimisation

Différents niveaux distingués :

Niveau 0 : commande des systèmes esclaves (vannes) par des PID.

Niveau 1 : commande dynamique du procédé sous forme multiva-riable.

Niveau 2 : optimisation des consignes par minimisation de fonc-tions de coût.

Niveau 3 : ordonnancement spatial et temporel de la production.

Conclusion :

Bénéfices économiques des niveaux 0 et 1 faibles�� porter l’ef-fort sur le niveau 2 (optimisation dynamique).

4

Objectifs généraux selon (Qin et Badgwell, 1996)de la Commande Prédictive Basée sur le Modèle

1. éviter la violation des contraintes d’entrée et de sortie

2. amener les variables manipulées vers leurs valeurs station-naires optimales (optimisation dynamique par rapport aux en-trées),

3. amener les variables commandées vers leurs valeurs station-naires optimales en prenant en compte les degrés de libertérestants (optimisation dynamique par rapport aux sorties),

4. éviter des variations excessives des variables manipulées,

5. lorsque les signaux et les actionneurs sont en défaut, comman-der une aussi grande partie du procédé que possible.

Les codes commerciaux de MPC respectent plus ou moins cespoints de différentes manières.

5

Démarche possible (Qin et Badgwell, 1996)

- entrées��, perturbations��, sorties�� connues à l’instant�.

- mise à jour des sorties. Calcul d’un biais entre la sortie mesuréeet la sortie prédite :

�� � ��� � ��

ajout du biais à la sortie du modèle pour les prédictions suivantes :

���� � ������� � ��

- détermination des entrées à manipuler et des sorties à commander(optimisation basée sur les degrés de liberté).

- conditionnement mesuré par��� (� est la matrice de gain duprocédé). Améliorer ce conditionnement.

- optimisation stationnaire locale (éventuellement modèle non li-néaire avec contraintes).

....

6

- optimisation dynamique :

�������������������������

avec :� ����

��� �������

��

��������� �������

��

��������� ������

���

soumise aux contraintes non linéaires du modèle :

���� � � ��������������� � � � � �

���� � ������� � �� � � � � �

et aux contraintes d’inégalité des variables manipulées et comman-dées :

���� � ���� � �� � � � � � �� �

����� � ����� � ��� � � � � � �� �

������ � ���� � ���� � � � � � � �

- hiérarchisation des contraintes : contraintes dures et contraintesdouces.

- spécification des trajectoires de sortie et d’entrée (consigne, zone,trajectoire de référence).

- spécification des horizons de prédiction et de commande.

- identification (méthodes à erreur d’équation ou erreur de sor-tie). Réponses impulsionnelles (IDCOM, HIECON) ou indicielles(DMC) souvent utilisées (intérêt : simplicité d’où popularité dansl’industrie).

- réglage du régulateur. Simulation hors-ligne. Tests de régulation,poursuite, respect des contraintes, robustesse.

7

Commande prédictive linéaire basée sur le modèle

Description de DMC pour un système SISO

� Utilisation de la réponse indicielle :

��� � � � ��� ������

����� � � � � ���� ��� ���� ���

� horizon du modèle. "ss" : état stationnaire.

� Décomposition de la prédiction de sortie basée sur les entréespassées et futures selon :

��� � ���� � ��� ���

���������� � � � �

� �� �effet des entrées passées

���

�������� � � � �

� �� �effet des entrées futures

� �� � ����� �� �effet des perturbations prédites

�Au-delà de l’horizon de commande��, i.e. après l’instant����,l’entrée manipulée est supposée constante :

���� � � � � � � ���

....

8

� Définition de la prédiction de sortie correspondant à l’influencedes variations des entrées passées :

���� � ���� � ��� ���

���������� � � � �

� Calcul du vecteur des prédictions de sortie

��� � ��� � ������ � ��� � ����� � �

� � � � � ����� �� � � � �� � ���

� ������ � ���� � ��� � �� � ���...��� ������ � ����� ��� � � � � � � � ��������

���� ������ � �� ������

��� ��� � ��� � ����� ��� � � � � � � � ���������

����� ��� � ��� � �� ��� � ���...��� ����� � ����� ��� � � � � � � � ������

����� ����� � �� �����

si � � �� �� �

d’où :

��������� � ���...��� �����

������ �

���������� � ���...���� �����

������ ��

����������...��� ��� � �

�������

������

�� � ���... �� �����

������

....

9

� � est la Matrice Dynamique de Commande du système de di-mension� �� :

� �

��������������������������������

�� � � � � �

�� ��...

... ... . ..��� ����� � � � ��... ... ...�� ���� � � � �������... ... ...�� �� � � � ��... ... ...�� �� � � � ��

��������������������������������

�������������������� lignes

������������ �� � � lignes ���� �� ��� �� � � lignes

La matrice dynamique� est la même que la matrice� de lacommande prédictive généralisée.

�Calcul du vecteur des prédictions de sortie��������� correspon-dant à l’influence des variations des entrées passées (en supposant� �� ) :

�����������������

���� � ���...���� �� � ���

���� �� ���...���� �����

�����������������

���������...���

�������

���������������������

�� ���� � � � ��

� ��...

... ... .. .� � � � � ��

� � � � � �... ... ...� � � � � �

���������������������

��������� �� � �...��� � �

������

....

10

� Influence des effets non modélisés :

��� � ����� �������

et estimation des perturbations ���

�� � ���� � ����� � ������ �������

� ������ ��� ������ ����� � � � � � � � � � � �

� Définition d’un critère quadratique :

� �������

���� � ���� �ref�� � ���

Minimisation par rapport au vecteur des entrées futures :

����� � ����� � � ���� ��� � � �

Système linéaire résultant :�������

�ref�� � �� ���� � ���� ����� � ��� � �...

�ref�� ���� ���� ������ ����� � ��� ���

��������

��� � � � ������

Solution au sens des moindres carrés:

����� � ��������� ��� � �

Seule la première composante du vecteur���� est implantée. Choix :�� petit et� assez grand.

11

Description de DMC pour un système MIMO

� Système multivariable (� entrées,�� sorties) représenté par :

��� � � � �� ������ ����� � � � � ��� � �

�Matrice dynamique multivariable composée de matrices élémen-taires :

� �

��������� � � � ����... ...���� � � � �����

������

� Modération des entrées en introduisant une matrice de poids�

diagonale :

� � diag� �� � � � ��� �� ��� valeurs

�� � � � �� � � � � � � ��� � � � ����

et pondération sélective des sorties par� diagonale , :

� � diag� �� � � � ��� �� ��� valeurs

�� � � � �� � � � � � � ��� � � � ����

� Nouveau critère quadratique :

�� �

������ ���� ���

���

��

������ �������

��

���� �����

������

��������� ��� � � � ��

� �������� ��� � � �

���� �����

������

Solution en absence de contraintes :

����� ���

��

��� ���

����

��

����� � �

12

Description de QDMC(Quadratic Dynamic Matrix Control)

� Prise en compte des contraintes :- contraintes affectant les entrées (ex : saturations de vannes),

�min � � � �max (1)

- contraintes affectant les sorties (ex : éviter les dépassements),- contraintes affectant d’autres variables qui doivent être mainte-nues à l’intérieur de limites.- contraintes ajoutées au procédé afin d’éviter des réponses in-verses provoquant un comportement à non-minimum de phase.- contraintes terminales sur l’état.

Résumé sous forme d’un système d’inégalités linéaires :

������ � ��� � � (2)

� Formulation comme un problème de programmation quadra-tique :

��������

��������������� ��� � �������

� (3)

soumis aux contraintes (1) et (2).

13

Formulation dans l’espace d’état : OBMPC(Observer Based Model Predictive Control)

� Idée originale (Li, 1989) : représenter la trajectoire complètepour un système monovariable comme une suite d’états :

����� � ���� � � � ����� � �

� � �

����� � ������ � � � ����� � � � ��

� Utilisation de ces équations par rapport à la sortie prédite corres-pondant à l’influence des variations passées :

���� � � ��� � ���� � � �� � � � ����� � �

� Pour un système MIMO (� ��), représentation du systèmeà chaque instant par la matrice� des coefficients des réponsesindicielles :

� �

���������

������ ������ � � � ������������� ������ � � � �������... ... � � �

...������� ������� � � � ��������

���������

(4)

(������ coefficient indiciel à l’instant de la sortie� correspondantà l’entrée échelon�).

� En absence de perturbations, modèle correspondant dans l’es-pace d’état :

� ��� � �� �� � � � ���� � �

������� � �� ���

....

14

� Introduction de perturbations comme dans la commande LQG,modèle correspondant dans l’espace d’état :

� ��� � �� �� � � � ���� � � � � ���� � �

������� � �� ���

���� � ������� � ����

avec :

� ��� � ��������� ���� � ���� � � ����� �� � ���� ����� �����

� �

���� � ��� � ������ � ��� � � � ������ � ��� �

����� � ������ � � ������� �

la matrice� de dimension����� � dim� � dim��� :

� �

��������������������

� ��� � � � � � � �

� � ���. .. � ... ...

... ... . .. � � �

� � � � � ��� � �

� � � � � ��� � ��

� � � � � � � �

� � � � � � � ��

��������������������

la matrice :

�������������

�...�

�������������

la matrice� :� �

���� � � � � �

....

15

� Dynamiques résiduelles du procédé et de perturbation incorpo-rées :

��� � � � ����� �������

���� � � � �� ����� ��� �����

� Prédiction des sorties futures en utilisant un observateur d’état(ex : filtre linéaire optimal de Kalman) de matrice de gain�.Etape de prédiction du modèle :

� �� � ��� � � � ����� � �����

Etape de correction basée sur les mesures :

� ����� � � ���� � � �� ������ ������ � �

avec :

� ���� � � � ������� � �� ���� � �� � �� � � � ���� �� � ����

� �� �

������ � � � � � �����

....

16

� Optimisation :

� � �� ��� � ������� � ��� �� � ��������� ��

avec :

������� � ��������� ���� � ���� � � ����� ��� � ���� �

�� � ��� � ���� ����� � ��� �������

� ����� � ���� � � � ���� ������ �

��� � ��� � � ��� � ���� � � � ��� ������ �

� trajectoire de référence.La matrice��� est :

��� �

�����������������

� � � � � � �

� � � � � � �... ... . .. ...�� ���� � � � �... ... ...�� ���� � � � �������

�����������������

��� �������� �

��

� Solution au sens des moindres carrés de OBMPC :

������� � �����

�� ������� � ������

�� � ������������� �����

17

Commande Prédictive Non Linéaire

� Plusieurs approches (ex : linéarisation). Ici, seule approche fran-chement non linéaire décrite.

� Deux obstacles principaux concernant l’extension de la com-mande prédictive des systèmes linéaires aux systèmes non linéaires :

– la question de la stabilité pour les systèmes contraints à hori-zon fini. Possibilité d’introduire différents types de contraintespour garantir la stabilité.

– la lourdeur du calcul numérique : un problème d’optimisationnon linéaire doit être résolu en ligne et il n’existe en généralpas de garantie de trouver un optimum global.

� Modèle non linéaire :

����� � � ����������� � ���� � ��

soumis aux contraintes d’entrée et d’état :

���� � � avec : � � �� ������� � � � �� ��

���� � � avec : � � �� �������� � � � �� ��

� Formulation du problème de commande prédictive non linéairecomme un problème de commande optimale en boucle ouverte àhorizon fini :

�������� �� �� �

� ����

�� ��� ������ �� ��� � � ��� � ���

� �

soumis à :

����� � � ��� �� � ������ �� � ����

et :��� ������ �� �

��� � �

....

18

Approches utilisées :

� (Mayne et Michalska, 1990) introduisent une contrainte d’égalitéterminale :

��� � �� � �

qui force l’état vers zéro à la fin de l’horizon de prédiction.

� (Michalska et Mayne, 1993) relaxent cette condition en la trans-formant en une contrainte d’inégalité terminale :

��� � �� �

� région terminale constituant un domaine d’attraction pour lesystème non linéaire commandé localement par une loi de retourd’état linéaire :� ���.

Ainsi proposition d’unrégulateur double comme régulateur àhorizon glissant :- en dehors de la région terminale, un régulateur à horizon glissantest appliqué,- dans la région terminale, loi de retour d’état linéaire.

La bascule entre les deux régulateursdoit être réalisée. Pourêtre possible, l’état à la fin de l’horizon fini doit se trouver sur lafrontière de la région terminale. Le problème d’optimisation sui-vant doit alors être résolu :

�������

���� �� ��

avec� � ��, horizon de commande.

....

19

� Approche de Chen et Allgöwer (1998) :Introduction d’un terme de pénalité terminale :

��� � ���� �� �� � � ��� � ������� �� ����� ����

�� ��� ������ �� ��� � � ��� � ���

� �

� Algorithme :

Etape 1 : Calculer la linéarisation jacobienne�����, puis dé-terminer le retour d’état linéaire localement stabilisant :� �

��

Etape 2 : choisir une constante positive� � ��� ����� et ré-soudre l’équation de Lyapunov :

��� � � ��� � � � ��� � � �� � �� ��� ���

afin d’obtenir la matrice définie positive� , avec�� � � ���.

Etape 3 : Trouver le plus grand�� définissant la région�� telleque les contraintes d’état et d’entrée soient satisfaites lorsque� �� :

�� � �� �� ����� � ���

et �� � � et �� � �� ��

Etape 4 : Trouver le plus grand� �� �� spécifiant une régionterminale� :

� � �� �� ����� � ��

telle que l’état optimal solution du problème d’optimisationsuivant soit non positive :

����

��������� ����� ����� � �

avec :���� � � ����������.

20

Etape 5 : Choisir l’horizon de prédiction� satisfaisant :

� � �� � ��

�� temps maximum nécessaire pour que le système non com-mandé atteigne� en partant de��.

21

Commande prédictive linéaire d’un FCC

Flue gas

Dense phase

Dilute phase

Air

Spent

Regenerated

Catalyst

Catalyst

Steam

RISER

Stripping

STRIPPER

SEPARATOR

PARTICLE

Gaseous Products

REGENERATOR

Feed Oil

FIG. 2 –Schéma d’une unité de cracking catalytique.

Entrées :� débit de catalyseur régénéré,� débit d’air.

Sorties :température à la sortie du riser������,température dans le régénérateur����.

22

Modèle simplifié du FCC

Riser

Température d’alimentation :

������� ��� ���� � ���� � ����� ����� ������ � ������ � �� � ���� ������

�� ���� � � ���������

Fractions massiques d’huile et d’essence le long du riser :

���

�� ��� �

������� � ��

��

�� ��� �� �

��� � � ������� � ��

Température le long du riser :

����

��

������ �� �����

�� ���� � � ��������� � ����������� �

���

Séparateur

Coke sur le catalyseur :

��������

���� � ������������� ���������

�� ����

Température :

���

���� ���� � �������� ����

�� ������� �

23

Régénérateur

Coke sur le catalyseur :

���������

���� � ��������� � ����������� ���

�� �����

Fraction molaire de O� dans le lit dense :

�!�

��

� ������

�� ��

��� ��

��!������!���

� � ��"� � � � �

� � � �

���

�������

Température :

����

��

�� ����� ��� �

� �� ���� � ��� � � �� �� �� � ��

���� ���� � � � �� �� �������

�����

���

�������

24

Réponses en boucle ouverte

765

770

775

780

785

790

795

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000

Te

mp

era

ture

(K

)

Time

Riser

Temperature (K)

945

950

955

960

965

970

975

980

985

990

995

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000

Te

mp

era

ture

(K

)

Time

Regenerator

Temperature (K)

FIG. 3 – Variations de température à la sortie du riser������ et detemperature dans le régénérateur���� pour des échelons sur le dé-bit d’air de 5%.

774

776

778

780

782

784

786

788

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000

Te

mp

era

ture

(K

)

Time

Riser

Temperature (K)

966

968

970

972

974

976

978

980

982

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000

Te

mp

era

ture

(K

)

Time

Regenerator

Temperature (K)

FIG. 4 – Variations de température à la sortie du riser������ et detemperature dans le régénérateur���� pour des échelons sur le dé-bit de catalyseur de 5%.

25

Commande prédictive QDMC du FCC

292

294

296

298

300

302

304

306

308

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000

Flo

wra

te (

kg

/s)

Time (s)

FCC

Flowrate of regenerated catalyst

24.8

25

25.2

25.4

25.6

25.8

26

26.2

26.4

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000

Flo

wra

te (

kg

/s)

Time (s)

FCC

Flowrate of air

FIG. 5 –Variations des entrées manipulées du FCC (QDMC).

779

780

781

782

783

784

785

786

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000

Te

mp

era

ture

(K

)

Time (s)

FCC Riser

Temperature at outlet of riserSetpoint

968

970

972

974

976

978

980

982

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000

Te

mp

era

ture

(K

)

Time (s)

FCC Regenerator

Temperature in regeneratorSetpoint

FIG. 6 –Variations des sorties commandées du FCC (QDMC).

Choix : horizon du modèle�� � ��, horizon de prédiction� �

��, horizon de commande�� � �. Poids sur les entrées égaux à 1et sur les sorties égaux à 10.

26

Commande prédictive avec observateur OBMPCdu FCC

292

294

296

298

300

302

304

306

308

310

312

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000

Flo

wra

te (

kg

/s)

Time (s)

FCC

Flowrate of regenerated catalyst

25.1

25.2

25.3

25.4

25.5

25.6

25.7

25.8

25.9

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000

Flo

wra

te (

kg

/s)

Time (s)

FCC

Flowrate of air

FIG. 7 –Variations des entrées manipulées du FCC (OBMPC).

778

779

780

781

782

783

784

785

786

787

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000

Te

mp

era

ture

(K

)

Time (s)

FCC Riser

Temperature at outlet of riserSetpoint

968

970

972

974

976

978

980

982

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000

Te

mp

era

ture

(K

)

Time (s)

FCC Regenerator

Temperature in regeneratorSetpoint

FIG. 8 –Variations des sorties commandées du FCC (OBMPC).

Choix : horizon du modèle�� � ��, horizon de prédiction� �

��, horizon de commande�� � �. Filtre de Kalman. Ecart-typedes mesures� �� �. Poids sur les entrées et les sorties égaux à 1.

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