Odsek za računarsku tehniku i računarske komunikacije 2020

Osnovi algoritama i struktura DSP 1

Spektralna analiza diskretnih signalaSpektar diskretnih signala

z-transformacijaBrza Furijeova transformacija

Efekat prozoriranja i princip neodređenosti

• Furijeova transformacija diskretnih signala

• Diskretna Furijeova transformacija – DFT

2

3

Fourierova transformacija diskretnog signala (spektar)

kss

ξkπj22/1

2/1k

k

ξkπj2k

fkξSf)ξ(X

ξde)ξ(Xses)ξ(X

Fourier-ov transformacioni par

za diskretne signale

)f(φje)f(A)f(S

4

Fourierova transformacija diskretnog signala - osobine

x

f

B-B

B/fs-B/fs 1 2-1-2

S(f)

Xx

faza

grupno

kašnjenje

nfjπ2nk

kk

2

kknk

kknk

e)f(Xx

ξd)ξf(X)ξ(Yyx

)f(Xxx

)f(Y)f(Xyx

konvolucija

korelacija

prozoriranje

kašnjenje

fs

𝑆 −𝑓 = 𝑆∗(𝑓)

5

Diskretizacija spektra

X(f)

kD

x

10

D

1

0

2

:100

1,...,1,0

1

N

k

kN

nj

knk

n

exXNkkx

NnN

nXX

N

xk

fs0 kD.fs

f

k

Nt

N.Ts

Podela na blokove u vremenu:

1

0

21

1,...,1,0

N

n

N

nkj

nk

kkN

eXN

x

Nkxx

6

1

0

21

0

2 1 N

n

N

knj

nk

N

k

N

knj

kn eXN

xexX

2

~*Re

arg

n

nn

n

nn

nn

X

XX

X

XA

amplituda

grupno kašnjenje

faza

Diskretna Furijeova transformacija: DFT

Osobine

12/,...,1

1,...,0

1,...,0

*

NnXX

NnXX

Nkxx

nnN

nnN

kkN Periodičnost signala (blok)

Periodičnost spektra

Simetrija spektra

7

Primer: eksponencijalni signal

Originalni signal: Ns = 32 odbiraka

Blok signal: N = 16 odbiraka

Diskretan signal i

njegova Furijeova

transformacija

Kontinualan signal i

njegova Furijeova

transformacija

Blok diskretnog

signala i njegova

DFT

8

Direktna i inverzna transformacija

alat za povezivanje vremenskog i frekvencijskog domena

kkNn

kkNn

k

N

nnN

N

m

mkmnn

kkNnnN

N

n

N

knj

nk

N

k

N

knj

kn

xxX

xxX

x

X

NnXX

X

yxYX

xxXX

eXN

xexX

1

1

2/

*

0

1

0

1

0

21

0

2

0Re

0Im

0Im

12

,...,1

0Im

1 direktna i inverzna

transformacija

ciklična periodičnost

odbiraka i spektralnih komponenti

konvolucija

osobine spektra

realnih signala

parna simetrija

neparna simetrija

asimetrija

• z-transformacija

• Polinomijalna struktura

• Elementarni signali

• Opšti pristup u digitalnoj obradi signala

9

10

z-transformacija : algebarska predstava (polinomi)

dz)z(Xπj2

1xzx)z(X k

k

kk

fπj2ez/)z(X)f(X

z-ravan

Re

Im

f=0 + fs, 2fs, ....

f= fs /4 + fs, 2fs, ....

f= fs /2 + fs, 2fs, ....

1

f= -fs /4 + fs, 2fs, ....

elementarna pravila

2

2

22

)(

)()(

)(

zXzYxy

zYzXyx

zeXex

zXzx

nn

n

nkn

kjkj

k

N

Nk

kašnjenje

modulacija

konvolucija

skaliranje

11

elementarni polinomi

polinomijalna struktura

0)z(Q

0)z(P

)z(Q

)z(P

zq

zp)z(X

kk

kk

nule

polovipolovi: |zp|<1 => |xk|<

prvog reda

az0za1 01

drugog reda

2

b4aaz0zbza1

2

021

realne nule : b<a2/4 konjugovano -kompleksni par : b>a2/4

z-ravan

faktorizacija polinoma kn α

k

2k,2k,1

1k,2k,1

α

n

1n zzzzzz1zz1)z(X

12

Elementarni signali

11

1)(

0

11

5

z

zzX

Nn

Nnx

N

N

n

11

1)(

)1(

07.0

za

azX

aax

na

n

n

0 2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

21

1

)2cos(21

)2cos(1)(

)2cos(

015.0

zz

zzX

nx

n

n

xn

|X(e

-2j

f )|

eksponencijalni sinusni prozorski

0 2 4 6 8

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

1

2

3

4

5

13

Opšti pristup u digitalnoj obradi signala

analogni domen

• fizička pojava

• spektar

diskretni domen

• diskretna Fourijeova analiza

• projektovanje

z – domen

• algoritmi

• realizacija

kss

sk

ξkπj2k

k

ξkπj2k

fkξSf)ξ(X

f

kss

ξde)ξ(Xs

es)ξ(X

fπj2

k

k

kk

ez/)z(X)f(X

dz)z(Xπj2

1s

zs)z(X

dfe)f(S)t(s

dte)t(s)f(S

tfπj2

tfπj2

N

nXX

eXN

sesX

n

N

n

N

knj

nk

N

k

N

knj

kn

1

0

21

0

2 1

DFT: diskretna

Furijeova transformacija

• Iterativna dekompozicija

• Radix 2

• Decimacija u vremenu i spektru

• Kompleksna FFT

14

15

Brza transformacija : iterativna dekompozicija

Dekompozicija FFT: N = M . P

1

0

21

0

2 1 N

n

N

knj

nk

N

k

N

knj

kn eXN

sesX

1M

0m

M

qmπj2

rPmr,M

q

1P

0r

PM

)qMp(rπj2

r,Mq

NqMp

1N

0k

N

knπj2

kNn

esX

eXX

1P,...,1,0r1M,...,1,0mrPmk

1M,...,1,0q1P,...,1,0pqMpn

esX

N2 operacija !!

operacija:

• kompleksno množenje

• sabiranje

N x (M + P) operacija

N=M1. M2 . . . Mt

operacija:

N x (M1 + M2 + .., + Mt)

rest

ruk

tuir

an

je

od

bir

ak

a

M x M

M x M

P x

N

mn

ože

nja

na

izl

azu

ks

0Pms

1PPms

0,MqX

1P,MqX

NnX

16

FFT : radix 2 => N = 2E

N

qmπj21N

0mrm2

r,Nq

N2

qπj2

1,Nq

0,Nq

N2qN

N2

qπj2

1,Nq

0,Nq

N2q

exX

eXXX

eXXX

1N,....,1,0q2PNM

N

prπj21N

0r

N2

rπj2

rNr1,N

p

N

prπj21N

0rrNr

0,Np

1,Np

N21p2

0,Np

N2p2

eexxX

exxX

XXXX

1N,....,1,0pNP2M

decimacija u vremenu:

• restruktuiranje

• množenje

decimacija u spektru:

• množenje

• restruktuiranje

+

-X

e2

qπj2

e

+

- X

e2

qπj2

e

Butterfly: Be,q

e = 1,2,...,E

q = 0,1,...,2e-1 -1

Butterfly I Butterfly II

umesto N2

samo (N/2)ld(N)

množenja

N mul

8 12

16 32

32 80

64 192

128 448

256 1024

512 2304

1024 5120

17

18

19

B1,0

B1,0

B1,0

B1,0

B1,0

B1,0

B1,0

B1,0

B2,0

B2,1

B2,0

B2,1

B2,0

B2,1

B2,0

B2,1

B3,0

B3,1

B3,2

B3,3

B3,0

B3,1

B3,2

B3,3

B4,0

B4,1

B4,2

B4,3

B4,4

B4,5

B4,6

B4,7

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

8

4

12

2

10

6

14

1

9

5

13

3

11

7

15

Primer: radix-2 FFT algoritam za N=16 / decimacija u vremenu

restruktuiranje odbiraka

bit reversalmnoženje

butterfly

20

FFT / IFFT algoritmi – decimacija u vremenu

e-2jn/N

B1[N, -, 1]

e2jn/N

1/2

1/2

x[N

]

bit reverse

addressing

N/2B1[ Ni, -, 1 ]

ld[N] loop steps

Ni= 2,4,....,N

X[N

]

B 2[N, +, 1/2]

X[N

]

bit reverse

addressing

N/2B2[ Ni, +, 1/2 ]

ld[N] loop steps

Ni= 2,4,....,N

x[N

]

FFT

direktna

transformacija

IFFT

inverzna

transformacija

21

FFT / IFFT algoritmi – decimacija u spektru

e-2jn/N

B 2[N, -, 1/2]

x[N

]

bit reverse

addressing

N/2B2[ Ni, -, 1 ]

ld[N] loop steps

Ni= 2,4,....,N

X[L

]

FFT

direktna

transformacija

e-2jn/N

B1[N, +, 1]

X[N

]

bit reverse

addressing

N/2B1[ Ni, +, 1 ]

ld[N] loop steps

Ni= 2,4,....,N

x[N

]IFFT

inverzna

transformacija

22

Kompleksna FFT

• istovremena transformacija dva realna signala

• isti broj operacija potreban

j2

)f(S)f(S)f(Y

2

)f(S)f(S)f(X

)f(Y)f(Y)f(X)f(X

)f(Yj)f(X)f(S)t(yj)t(x)t(s

**

**

2,...,1

22

22

1,...,1,0,

**

*

000

*

000

Nn

j

SSY

SSX

j

SSY

SSX

NnkYjXSyjxs

nNnn

nNnn

nnnkkk

analogna

Fourier-ova transformacija

digitalna

FFT

• Prozoriranje => uticaj blokovske obrade signala

• Tipovi prozora i njihove karakteristike

23

24

t f

Ts

Tw = N x TsFs = N x Df

Df

skXn

NTF

N

1TfΔ

T

1fΔ

2

1

2

FT

ws

s

w

ss

mn

N

m

mnkkk SWNXswx

dfSWfXtstwtx

1

0

)()()()()()( xxx• s(t) signal koji se želi analizirati

• w(t) prozor kroz koji se signal posmatra

• N dužina FFT = broj odbiraka u prozoru

• odabiranje: Ts perioda i Fs učestanost

• Tw dužina prozora u vremenu

• Df rezolucija u spektru

W(f)

25

26

22

2)(:

622cos08.02cos5.042.0)(:

42cos46.054.0)(:

4sin)(:

21)(:

2/

2/

3

1

32

1

f

sT

Tt

s

ww

s

w

s

w

s

eN

FetwGauss

fN

F

T

t

T

ttwBlackmann

fN

F

T

ttwHamming

fN

F

T

ttwHann

fN

FtwPravougao

OB

w

w

Tipovi prozora i njihove karakteristike

• širina prve arkade (B) - rezolucija spektra

• obvojnica (O) - brzina opadanja uticaja komponenti sa učestanošću (f)

27

28

29

Treba zapamtiti:

• Spektar diskretnog signala je Furijeova transformacija diskretnog signala pri čemu se

koristi normalizovana učestanost (na učestanost odabiranja). Taj spektar je periodična

funkcija učestanosti – spektar signala se periodično ponavlja oko celobrojnih umnožaka

učestanosti odabiranja (replike). Zato je osnovni opseg učestanosti između -0.5 i 0.5

(normalizacija).

• Diskretizacija spektra je definisana Diskretnom Furijeovom transformacijom (DFT) koja

od bloka sa N odbiraka daje N spektralnih koeficijenata. DFT je ortogonalna

transformacija.

• DFT spektralni koeficijenti su jednaki diskretnim vrednostima spektra za ekvi-distantne

učestanosti f=n/N (n=0,...,N-1) u frekvencijskom opsegu od 0 do 1 (normalizovane

vrednosti). Važi simetrija: gornja polovina spektralnih koeficijenata su konjugovano-

kompleksne vrednosti donje polovine. Diskretna Furijeova transformacija (DFT)

transformiše blok od N odbiraka u blok od N spektralnih koeficijenata koji treba da budu

vrednosti spektra diskretnog signala (Furijeove transformacije) u N ekvidistantno

pozicioniranih učestanosti f=n/N (n=0,1,...,N-1) u frekvencijskom opsegu od 0 do 1

(normalizovano).

• DFT spektralni koeficijenti imaju osobine simetričnosti (gornja polovina su

konjugovano-kompleksne vrednosti donje polovine), ciklične periodičnosti (ako bi se

računali koeficijenti van osnovnog bloka od N koeficijenata, ponavljale bi se vrednosti) i

preslikavanja diskretne konvolucije u vremenskom domenu u proizvod koeficijenata u

frekvencijskom domenu).

30

Treba zapamtiti:

• z-transformacija se koristi u analizi diskretnih signala i sistema zbog

algebarske predstave problema (polinomi).

• Razlomak dva polinoma je najčešća struktura koja se sreće u analizi diskretnih

signala i sistema. Pri tome, nule brojioca se nazivaju nule z-transformacije a

nule imenioca se nazivaju polovi z-transformacije.

• Nule i polovi z-transformacije mogu biti ili realni ili kompleksni. Kompleksne

nule i polovi su uvek grupisani u konjugovano-kompleksne parove jer su

koeficijenti z-transformacije realni.

• Veza između z-transformacije i Furijeove transformacije diskretnog signala je

data eksponencijalnom zavisnošću od učestanosti: z=e2jf

• Efekat prozoriranja je izraz blokovskog pristupa u DFT (posmatra se samo

prozor od N odbiraka). Zato svaki spektralni koeficijent predstavlja sumarnu

vrednost (konvoluciju) Furijeove transformacije primenjenog prozora i

posmatranog signala.

• DFT prozori se određuju kao kompromis između širine značajnog dela

njihovog spektra i brzine opadanja sa učestanošću. Pravougaoni prozor ima

dobru osobinu da su nule njegovog spektra tačno na učestanostima spektralnih

koeficijenata.