Osilasi
Osilasi (Getaran)
Osilasi: gerak bolak-balik benda di sekitar suatu titik
setimbang dengan lintasan yang sama secara periodik (berulang dalam
rentang waktu yang sama).
Osilasi disebut juga sebagai gerak harmonik (selaras).
Contoh osilasi:
bandul jam yang bergerak ke kiri dan ke akan
senar gitar yang yang bergetar
osilasi molekul udara dalam gelombang bunyi
osilasi medan listrik dan medan magnet dalam gelombang
elektromagnet
osilasi arus listrik pada perangkat radio dan televisi
1 Gerak Harmonik Sederhana
Gerak harmonik sederhana adalah suatu jenis osilasi benda yang
(diasumsikan) merasakan gaya pemulih yang linear tidak mengalami
gesekan dan sehingga tidak mengalami dissipasi tenaga.
Ditinjau: Sistem massa-pegas yang terletak di atas permukaan
datar yang licin
(tanpa gesekan) seperti ditunjukkan oleh Gambar 1.
Pada pada keadaan setimbang, pegas tidak mengerjakan gaya pada
benda, dan benda berada di titik x = 0. Jika benda disimpangkan
sejauh x dari titik setimbangnya, maka pegas mengerjakan gaya pada
benda sebesar
,(1)
Gambar 1. Sistem massa-pegas di atas permukaan licin datar.
dengan k adalah tetapan pegas. Tanda negatif ( menunjukkan bahwa
gaya pegas ini (disebut juga gaya pemulih, restoring force)
memiliki arah yang berlawanan terhadap simpangan benda.
Dengan menggunakan hukum kedua Newton (F = ma), maka persamaan
(1) dapat ditulis menjadi
.(2)
dengan a adalah percepatan benda. Jadi, diperoleh
,(3)
yang menunjukkan bahwa percepatan benda sebanding dan berlawanan
arah dengan simpangan.
Mengingat percepatan adalah turunan (derivatif) kedua pergeseran
terhadap waktu, yaitu , maka persamaan (2) dapat ditulis
sebagai
(4)
atau.(5)
Persamaan ini dikenal sebagai persamaan diferensial gerak
harmonik sederhana, dan salah satu bentuk penyelesaiannya
adalah
(6)
dengan A, (, dan ( adalah tetapan-tetapan. Tetapan A disebut
amplitudo, yaitu simpangan maksimum benda dari titik setimbangnya.
Argumen fungsi cosinus ini, yaitu ((t + (), disebut fase gerak, dan
tetapan ( disebut tetapan fase atau fase awal.
Gerak harmonik sederhana yang diungkapkan oleh persamaan (6)
dapat pula dituliskan dalam fungsi sinus misalnya sebagai:
(7)
dengan dalam hubungannya dengan persamaan (6).
Grafik persamaan (6) dapat digambarkan seperti terlihat pada
Gambar 2.
Gambar 2. Simpangan benda yang bergerak harmonik sederhana
sebagai fungsi waktu.
Tampak pada Gambar 2 bahwa gerak benda berulang setelah fasenya
bertambah sebesar 2(, karena , yaitu antara titik A dan titik B.
Benda dikatakan telah bergerak selama satu siklus atau satu periode
T. Fase gerak saat t + T sama dengan 2( ditambah dengan fase gerak
saat t, yaitu
,
sehingga diperoleh
atau periode osilasi:
.(8)
Tetapan ( (= 2(/T) disebut frekuensi sudut dan memiliki satuan
radian per sekon (rad/s). Frekuensi sudut berhubungan dengan
frekunsi linear f (satuan: hertz, Hz) melalui persamaan( =
2(f,(9)
Dengan hasil-hasil ini, persamaan (6) dapat ditulis sebagai
.(10)
Tetapan fase atau fase awal ( bergantung pada keadaan awal gerak
benda. Sebagai contoh, untuk persamaan (6) atau persamaan (10),
jika pada saat awal (t = 0) benda berada di x = x(0) = A, maka ( =
0; tetapi jika pada saat t = 0 benda berada di x = 0, maka ( =
(/2.
Periode osilasi (T):
( Waktu yang diperlukan benda (sistem) untuk melakukan satu kali
osilasi penuh
(satu siklus).
( Satuannya dalam SI adalah sekon (s) atau detik.
Frekuensi osilasi (f ):
( Banyaknya osilasi yang dilakukan benda (sistem) dalam satu
satuan waktu.
( Satuannya dalam SI adalah 1/sekon = 1 Hz (hertz).
Frekuensi adalah kebalikan periode:
.(11)
Kecepatan benda diperoleh dari turunan pertama dari x(t)
terhadap waktu t, dan dari persamaan (6) dapat diperoleh
.(12)
Jadi, kecepatan benda berbeda fase dengan letak benda sebesar
(/2. Saat benda berada di x = 0 (titik setimbang), benda memiliki
kecepatan yang maksimum; saat benda berada di x = ( A (di simpangan
terjauh), kecepatan benda adalah nol.
Percepatan benda diperoleh dari turuan kedua dari x(t) atau
turunan pertama dari v(t) terhadap waktu t. Dari persamaan (6) atau
persamaan (12) dapat diperoleh
(13)
atau
.(14)
Untuk sistem massa-pegas, dengan a = ((k/m) x pada persamaan
(3), diperoleh hubungan
.(15)
Dengan demikian, frekuensi dan periode osilasi sistem massa
pegas berturut-turut adalah
f = (1/2()((k/m) (16)
dan
.(17)
Tenaga Gerak Harmonik Sederhana
Pada sistem massa-pegas yang bergerak harmonik sederhana, tenaga
kinetik dan tenaga potensial berubah terhadap waktu (berarti juga
terhadap letak massa), sedangkan jumlah keduanya, yaitu tenaga
total sistem, bernilai tetap.
Tenaga potensial:
Tenaga potensial pegas diperoleh dari definisi , sehingga
diperoleh
,(18)
atau
(19)
dengan menggunakan persamaan (6).
Tenaga kinetik:
,(20)
atau
(21)
dengan menggunakan persamaan (12) dan persamaan (15).
Tenaga total:
(22)
=
Jadi, jelas bahwa tenaga total gerak harmonik sederhana bernilai
tetap (kekal / lestari) dan berbanding lurus dengan kuadrat
amplitudo.
Sistem Massa-Pegas Vertikal
Ketika sebuah massa m digantung pada pegas (tetapan pegas: k)
secara vertikal seperti ditunjukkan oleh Gambar 3.b, maka efeknya
adalah bahwa letak titik setimbang sistem sekarang telah bergeser
sejauh y0 ke bawah dari titik A (lihat Gambar 3.a dan 3.b), dengan
y0 memenuhi hubungan
,(23)
atau
,(24)
dengan g adalah percepatan gravitasi.
Jika kita memilih tenaga potensial bernilai nol di titik
setimbang y0, dan mengukur simpangan y( dari titik setimbang ini,
maka kita punya
(U = 0 di y( = 0 atau y = y0).(25)
Gambar 3. Sistem massa-pegas vertikal.
Bandul
A. Bandul Sederhana
Bandul sederhana terbuat dari sebuah titik massa m yang
tergantung vertikal dengan sebuah tali dengan panjang l dan massa
yang diabaikan, seperti ditunjukkan oleh Gambar 4.
Gambar 4. Bandul sederhana.
Periode osilasi bandul sederhana, untuk sudut simpangan yang
kecil (( < 10():
.(26)
Persamaan gerak bandul sederhana diungkapkan dalam sudut
simpangan (:
,(27)
dengan (0 adalah amplitudo osilasi.
B. Bandul Fisis
Bandul fisis terdiri dari sebuah benda tegar yang digantungkan
pada titik pada benda (sebagai poros) yang bukan merupakan titik
pusat massa benda. Seperti ditunjukkan oleh Gambar 5.
Periode osilasi bandul fisis, untuk sudut simpangan yang kecil
(( < 10():
,(28)
dengan I adalah momen inersia benda,
M adalah massa benda, dan
D adalah jarak antara poros dan pusat massa benda.
Persamaan geraknya juga diungkapkan oleh persamaan (27).
Gambar 5. Bandul fisis.
C. Bandul Puntir
Sebuah contoh bandul puntir ditunjukkan oleh Gambar 6, terdiri
dari sebuah kawat vertikal yang diujungnya tergantung sebuah batang
(benda) yang diikat secara harisontal. Osilasi terjadi dalam bidang
horisontal, dengan simpangan berupa sudut puntir sebesar (.
Gambar 6. Bandul puntir.
Periode osilasi bandul puntir, untuk sudut simpangan yang kecil
(( < 10():
,(29)
dengan I adalah momen inersia benda,
( adalah tetapan puntir kawat, dan
Persamaan geraknya juga diungkapkan oleh persamaan (27).2 Gerak
Harmonik Teredam
Jika gesekan yang dialami oleh sistem yang berosilasi juga
ditinjau ( ini yang terjadi dalam keseharian ( maka osilasi akan
mengalami redaman, geraknya disebut gerak harmonik teredam. Sebagai
contoh, redaman dapat berasal dari gesekan dengan udara, atau air,
seperti ditunjukkan oleh Gambar 7. Karena sistem mengalami gesekan,
maka tenaganya mengalami dissipasi dan berkurang terus menerus,
sehingga amplitudo osilasi terus berkurang.
Gambar 7. Sistem mengalami gerak harmonik teredam.
Umumnya, gaya gesek fg sebanding dengan kecepatan benda v,
ditulis:
,(22)
dengan c adalah tetapan kesebandingan.
Gerak harmonik teredam dibagi menjadi 3 kelompok:
1. Sangat teredam (overdamping)
2. Teredam kritis (critical damping)
3. Kurang teredam (underdamping)
Berikut ini kita tinjau ketiga kelompok tersebut untuk sistem
massa-pegas pada Gambar 7.
1. Sangat Teredam (overdamping)
- Ini terjadi jika
- Persamaan gerak:
(23)
dengan
(24.a)
(24.b)
adalah tetapan-tetapan redaman, dan tetapan-tetapan A1 dan A2
diperoleh dari kondisi awal gerak sistem.
2. Teredam kritis (critical damping)
- Ini terjadi jika
- Persamaan gerak:
(25)
dengan ( = c/2m adalah tetapan redaman, A dan B adalah
tetapan-tetapan yang ditentukan dari keadaan awal sistem.
3. Kurang teredam (underdamping)
- Ini terjadi jika
- Persamaan gerak:
,(26)
dengan ( = c/2m adalah tetapan redaman, A adalah amplitudo awal,
dan (d adalah frekuensi osilasi kurang teredam yang memenuhi:
.(27)
Besaran disebut frekuensi alamiah sistem.
Secara grafik, ketiga gerak harmonik teredam tersebut di atas
diperlihatkan oleh Gambar 8.
(a)
(b)
Gambar 8. Grafik simpangan terhadap waktu dalam gerak harmonik
teredam.
3 Gerak Hamonik Teredam Terpaksa dan Resonansi
Dalam osilasi teredam, tenaga terdissipasi secara kontinyu
sehingga amplitudo osilasi berkurang. Untuk mempertahankan sistem
yang teredam ini agar tetap berosilasi, maka tenaga harus dipasok
kepadanya. Dalam hal ini, sistem dikatakan mengalami osilasi
terpaksa.
Kita anggap gaya pemakasa (gaya luar) memiliki bentuk
persamaan:
,(28)
dengan F0 adalah amplitudo gaya pemaksa, dan ( disebut frekuensi
sudut paksa.
Persamaan gerak sistem:
,(29)
dengan
- amplitudo
,(30)
- tetapan fase ( memenuhi hubungan
.(31)
Jika frekuensi sudut paksa ( hampir sama dengan frekuensi
alamiah sistem (0, yaitu (( ( (0), maka daya rerata yang diberikan
oleh gaya pemaksa kepada sistem menjadi maksimum. Inilah yang
dinamakan sebagai resonansi, dan (0 dinamakan juga sebagai
frekuensi resonansi.
Gambar 9 memperlihatkan grafik amplitudo osilasi A(() versus
frekuensi gaya pemaksa ( menurut persamaan (30)
Faktor kualitas Q adalah ukuran ketajaman resonansi, yang
dirumuskan sebagai
,(32)
dengan (( disebut sebagai lebar resonansi, yang ditentukan
sebagai lebar kurva resonansi di ketinggian tinggi puncak kurva
resonansi.
Gambar 9. Kurva resonansi.
PAGE 3
_1147063937.unknown
_1147066868.unknown
_1147068629.unknown
_1181360675.unknown
_1181362546.unknown
_1181362605.unknown
_1181409002.unknown
_1181363216.unknown
_1181362557.unknown
_1181361070.unknown
_1181362364.unknown
_1181361069.unknown
_1147154096.unknown
_1147154103.unknown
_1147159476.unknown
_1147068883.unknown
_1147068999.unknown
_1147069643.unknown
_1147068800.unknown
_1147067277.unknown
_1147067589.unknown
_1147067598.unknown
_1147067336.unknown
_1147067091.unknown
_1147067143.unknown
_1147066945.unknown
_1147065321.unknown
_1147066718.unknown
_1147066795.unknown
_1147066376.unknown
_1147064526.unknown
_1147064896.unknown
_1147064380.unknown
_1147060867.unknown
_1147062478.unknown
_1147063609.unknown
_1147063675.unknown
_1147062555.unknown
_1147062192.unknown
_1147062304.unknown
_1147061661.unknown
_1147004950.unknown
_1147007332.unknown
_1147060327.unknown
_1147060846.unknown
_1147006902.unknown
_1147007036.unknown
_1147006597.unknown
_1147004806.unknown
_1147004919.unknown
_1146932038.unknown
_1146932937.unknown
