1

Fizyka jest nauką empiryczną. Tę prawdę wbijano mi dogłowy przez całe dzieciństwo i młodość, ostro przeciw-stawiając „postępowe” nauki doświadczalne „scholas-tycznym spekulacjom”, które jedynie hamowały rozwójcywilizacji. Taka postawa filozoficzna nie jest nowa.Wyraziście była eksponowana np. w dziele SykstusaEmpiryka napisanym około 200 r.n.e., a zatytułowa-nym bardzo wymownie Przeciw Matematykom (Προζµαθηµατικουζ).

Tymczasem u podstaw nowożytnej fizyki leżą moc-no spekulatywne zasady dynamiki Galileusza-Newtona!Rzeczywiście — czy ktoś z nas miał kiedykolwiek doczynienia w potocznym doświadczeniu z pojazdem, któ-ry porusza się ruchem jednostajnym, mimo że nie dzia-ła nań żadna siła (bo np. wyczerpała się benzyna)?

Nieraz wiec bywało tak, że nauka rozwijała sięwłaśnie dzięki czysto teoretycznym „spekulacjom”,

a przewidywane w ten sposób obiekty czy zjawiska fi-zyczne musiały potem długo jeszcze czekać na „praw-dziwe” — to znaczy eksperymentalne — odkrycie,stanowiące ostateczne potwierdzenie słuszności rozu-mowania, które doprowadziło do ich pierwszego — te-oretycznego — odkrycia.

Tak się zdarzyło np. przewidzianym przez Maxwel-la falom elektromagnetycznym. Pojawiły się one jakomatematycznie konieczne rozwiązania równań elektro-dynamiki, gdy ich twórca poprawił równanie Ampere’az czysto „spekulatywnych” powodów, wprowadzającdoń tzw. prąd przesunięcia, by stało się zadość pra-wu zachowania ładunku. Podnosząc to prawo do rangipodstawowej zasady uniwersalnej Maxwell odkrył „poraz pierwszy” fale radiowe, bez których trudno sobie wy-obrazić nasze współczesne życie. A przecież na drugie— doświadczalne — odkrycie musiały potem czekać

Czarne dziury:obiekty odkryte w przyrodzie

czy wymyœloneprzez cz³owieka?

Na podstawie odczytu wygłoszonego w dniu 24 maja 2007 roku

Jerzy KijowskiCentrum Fizyki Teoretycznej PAN

Aleja Lotników 32/46, 02-668 Warszawakijowski@uw.edu.pl

RReeddaakkttoorr mmeerryyttoorryycczznnyy —— SSttaanniiss³³aaww JJaanneecczzkkoo

Osi¹gniêcia Nauki i TechnikiKierunki Rozwoju i Metody

KONWERSATORIUM POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJWk³adka nr 12 do Miesiêcznika Politechniki Warszawskiej nr 3/2008

1. Rola spekulacji teoretycznych w fizyce

`

kijowski.qxd 3/14/08 2:57 PM Page 1

2

jeszcze prawie 40 lat, kiedy to zostały „wprzęgniętew służbę ludzkości” przez Heinricha Hertza, GuglielmoMarconiego lub Aleksandra Popowa (to, którego z nichuznajemy za twórcę radia zależy od tego w jakim kraju,czy nawet ustroju politycznym, kończyliśmy szkoły).

Tak zwane „czarne dziury”, podobnie zresztą jak fa-le grawitacyjne, są matematycznie konsekwencją no-woczesnej teorii grawitacji sformułowanej w 1915 roku

przez Alberta Einsteina. Nie dysponujemy do tej porywynikami obserwacji, które w sposób niewątpliwy do-wodziłyby ich istnienia w Kosmosie, choć mamy wielepośrednich argumentów za tym, by pewne obiekty astro-nomiczne interpretować właśnie jako czarne dziury. Sta-tus epistemiologiczny „czarnych dziur” jest więc obecnieanalogiczny do statusu fal radiowych w roku — powiedz-my — 1870.

Historia einsteinowskiej teorii grawitacji, popularniezwanej „ogólną teorią względności”, też zaczęła się odczystej spekulacji. Wspaniale rozwinięta w XIX wiekumechanika nieba, oparta na teorii newtonowskiej, zna-komicie tłumaczyła obserwowane zjawiska astrono-miczne i z czysto eksperymentalnego punktu widzenianie było żadnych powodów, by tę teorię zmieniać. Tym-czasem jednak w 1905 roku Einstein zaproponowałnową teorię ruchu i nowy opis pola elektromagnetycz-nego. Chodziło m.in. o to, by wytłumaczyć zaobserwo-wany fakt niezależności prędkości światła od prędko-ści mierzącego ją obserwatora. Ta nowa teoria, zwana„szczególną teorią względności”, odniosła ogromnysukces, dostarczając znakomitego narzędzia do opisuzjawisk fizycznych polegających na oddziaływaniu elek-tromagnetycznym — i to opisu zgodnego z doświad-czeniem Michelsona-Morleya. Ponieważ miała ona cha-rakter uniwersalnej teorii czasu i przestrzeni, wielkimyśliciel, jakim był Einstein, spróbował opisać siły gra-witacyjne w swoim nowym, czterowymiarowym, „relaty-wistycznym formalizmie”. Okazało się to niemożliwe,a w każdym razie nie było na to żadnej prostej i natural-nej recepty. Po kilku latach rozmyślań Einstein doszedłdo wniosku, że trajektorie swobodnie spadających ciał(to znaczy ciał poddanych jedynie działaniu sił grawita-cyjnych) są po prostu „najbardziej prostymi ze wszyst-kich możliwych” liniami w (prawdopodobnie) krzywejczasoprzestrzeni. Punktem wyjścia do tej hipotezy byłapowszechnie obserwowana równość masy inercjalneji masy grawitacyjnej różnych ciał — począwszy od ska-li słynnego newtonowskiego jabłka, do skali obserwo-wanych ciał niebieskich. Łatwo zrozumieć o co chodzi,przyglądając się np. równaniu Newtona opisującemuruch ciała o masie m i ładunku elektrycznym e, poru-szającego się pod wpływem pola elektrycznego E

→

ma→

= eE→

(1)

Ciała o równych masach, ale różnych ładunkachporuszają się zupełnie inaczej! Tymczasem dla sił gra-witacyjnych analogiczne równanie Newtona wyglądanastępująco

ma→

= mG→

(2)

gdzie G→

oznacza „pole sił grawitacyjnych” (równe np.gradientowi potencjału grawitacyjnego z ujemnym zna-kiem). Występujący po lewej stronie czynnik m określabezwładność ciała — podobnie jak to miało miejscew przypadku równania (1). Natomiast występująca poprawej stronie wielkość m odgrywa rolę „ładunku gra-witacyjnego” i mierzy „wrażliwość ciała” na oddziaływa-nie pola grawitacyjnego. Z punktu widzenia teorii New-tona to m po prawej stronie mogłoby być różne od tegom po lewej stronie i nie prowadziłoby to do żadnychkomplikacji filozoficznych. Tymczasem jednak wszelkiepomiary (począwszy od Galileusza, rzucającego ponoćróżne przedmioty z Krzywej Wieży w Pizie) pokazują,że obie masy są sobie zawsze równe. Oznacza to, żerównanie (2) można podzielić przez m. Wobec tego tra-jektorie ciał spadających swobodnie są takie same dlaróżnych ciał. Jabłko powinno poruszać się po takiej sa-mej orbicie okołosłonecznej jak planeta. Powinniśmyzatem traktować tę orbitę jako jakąś uniwersalną wła-sność geometryczną czasoprzestrzeni, w której „żyje”pole grawitacyjne G

→

, niezależną od tego, jakim ciałem(jabłkiem czy planetą) posługujemy się w celu jej zba-dania. O jaką własność może tutaj chodzić?

Einstein znalazł odpowiedź w powstałej wcześniejgeometrii nieeuklidesowej i zaproponował, by odejść odobrazu czasoprzestrzeni jako obiektu „idealnie płaskie-go”, do którego stosują się pojęcia geometrii euklideso-wej, znane nam z kursu szkolnego, na przykład możli-wość absolutnego, niezależnego od drogi, transporturównoległego na dowolne odległości. To, co w małej ska-li jest banalnie proste, np. przyłożenie ekierki do linijkii przesunięcie jej do żądanego punktu, w wielkiej skalijest — być może — niewykonalne. Czasoprzestrzeń,w której żyjemy, jest prawdopodobnie zakrzywiona,a ciała spadające swobodnie poruszają się po liniach„najbardziej prostych z możliwych”. Do linii tych nie sto-sują się twierdzenia geometrii euklidesowej, jak np.aksjomat Euklidesa o prostych równoległych czy teżtwierdzenie o sumie kątów w trójkącie. Grawitacja to poprostu odstępstwo geometrii czasoprzestrzennej od„płaskości”. W dalszym ciągu tego wykładu pokażę, jaknajprościej można opisać taką strukturę.

2. Czy grawitacja da się sprowadzićdo czystej geometrii?

kijowski.qxd 3/14/08 2:57 PM Page 2

3

Najwcześniej, bo już w dobie wielkich odkrywców geo-graficznych, poznaną „krzywą przestrzenią”, dla którejopis oparty na geometrii euklidesowej przestał wystar-czać, była powierzchnia globu ziemskiego. Żeglując pooceanie najłatwiej jest trzymać się tzw. loksodromy, czy-li linii przecinającej siatkę geograficzną, złożoną z połud-ników i równoleżników, pod stałym kątem. W takiej że-gludze sternik musi po prostu trzymać ciągle ten samkurs kompasowy. We współrzędnych geograficznych(θ,ϕ) równanie takiej trajektorii ruchu wygląda rzeczywi-ście tak, jak równanie linii prostej na płaszczyźnie wyra-żone we współrzędnych kartezjańskich

θ(t) = θ0 + at ϕ(t) = ϕ0 + bt (3)

gdzie t jest dowolnym parametrem afinicznym (na przy-kład czasem, gdy statek płynie ze stała prędkością).Równania te można zapisać równoważnie w postaciwarunku na znikanie drugich pochodnych obu funkcji

θ..(t) = 0 ϕ

..(t) = 0 (4)

co gwarantuje liniową zależność obu funkcji od para-metru.

Nazwa loksodroma pochodzi od greckich słów„loksos” (ukośny, krzywa) oraz „dromós” (bieg, linia).Ale cóż to za linia „skośna”? W żegludze po morzu Bał-tyckim moze być nawet przydatna, ale wystarczy popa-trzeć na globus by zauwazyć, że żegluga po loksodro-mie z Plymouth do Nowego Yorku to ogromna strataczasu! A w pobliżu biegunów loksodroma coraz bar-dziej zbliża się do spirali Archimedesa i poruszanie siępo niej przypominałoby raczej taniec św. Wita niż jakie-kolwiek sensowne zmierzanie do celu.

Gdyby na globusie naciągnąć gumkę umocowanąna końcach w dwóch miastach leżących po różnychstronach oceanu, to wyznaczyłaby ona zupełnie innątrasę, zwaną „ortodromą” (gr. orto, orthós — prosty),czyli linią prostą. Jest to łuk wielkiego koła na kuli i czu-

jemy instynktownie, że wyznacza najkrótszą drogę mię-dzy punktem startu a punktem docelowym.

Wyznaczanie ortodromy to najbardziej typowe za-danie, jakie rozwiązują studenci wydziału nawigacjiw szkole morskiej. Trzeba się tu wyzbyć przywiązaniado funkcji liniowych typu (3), bowiem równanie różnicz-kowe opisujące ortodromę we współrzędnych geogra-ficznych (θ,ϕ) jest dużo bardziej skomplikowane niżwarunek (4) na znikanie „przyspieszenia”, czyli drugichpochodnych. Aby je tutaj wyprowadzić zauważmy, żew każdym punkcie globu (θ0,ϕ0) można wybrać takielokalne współrzędne (x,y), żeby przynajmniej w tymjednym punkcie równanie ortodromy wyglądało takjak (4)

x..

(t) = 0 y..(t) = 0 (5)

W tym celu rozważymy płaszczyznę styczną do globu-sa w naszym „miejscu postoju” (θ0,ϕ0) — niech będzieto na przykład kartka papieru. Jak to widać na rysun-ku 1, rzut siatki geograficznej z globusa na naszą kart-kę daje wysoce nieprostoliniowy układ współrzędnych.Gdyby nasze miejsce postoju znajdowało się na lądzie,to siatka ta zupełnie nie nadawałaby się jako lokalnamapa do celów geodezyjnych, takich jak wytyczaniesieci równoległych ulic czy obrysów działek w naszejmiejscowości.

Do tych celów najlepiej używać siatki współrzęd-nych kartezjańskich na kartce. Gdy zrzutujemy je (zapomocą rzutu prostopadłego) z naszej kartki papieru naglobus, otrzymamy właśnie lokalnie najlepsze, „wypro-stowane” współrzędne. Wybierzmy na przykład oś Xw kierunku wschodnim, zaś oś Y — prostopadle (w kie-runku północnym), przy czym, dla uproszczenia rachun-ków, niech obie będą zaczepione właśnie w naszym„miejscu postoju” (θ0,ϕ0) (zob. rys. 2). Odrobina znajo-mości trygonometrii pozwoli nam stwierdzić, że zależ-ność między współrzędnymi geograficznymi a naszymi

Rysunek 1. Rzut siatki geograficznej na płaszczyznę stycz-ną do kuli

Rysunek 2. Współrzędne geograficzne a lokalne współrzęd-ne „prostoliniowe”

3. Co to są linie „proste” w krzywej przestrzeni?

ϕ0

θ0

Y

X

kijowski.qxd 3/14/08 2:57 PM Page 3

4

„lokalnie prostoliniowymi” współrzędnymi (x,y), skopio-wanymi z płaskiej kartki, wyraża się następującymi wzo-rami

θ = θ0 – y + Ax2 + człony wyższego rzędu (6)

ϕ = ϕ0 + x(1 + By) + człony wyższego rzędu (7)

Pozwoliłem sobie na pewną nonszalancję w zapisie po-wyższych wzorów, bowiem chcę zwrócić uwagę na jegostrukturę, a do tego ani wartość stałych A i B, ani szcze-gółowa informacja o członach rzędu wyższego niż kwa-dratowy, nie jest potrzebna. Otóż człony rzędu zerowe-go zostały wprowadzone tylko po to, by odpowiednio„scentrować” nasze współrzędne, czyli by zero układu(x,y) przypadało właśnie w punkcie (θ0,ϕ0). Wybór tenjest nieistotny z punktu widzenia naszego celu, jakimjest „wyprostowanie” równania ortodromy do najprost-szej postaci (5). Człony rzędu pierwszego zostały wy-brane tak, by osie X i Y były odpowiednio skierowane.Znak „minus” przed zmienną y w pierwszym równaniupochodzi stąd, że jako matematyk liczę „szerokośćgeograficzną” θ od bieguna północnego w dół (na po-łudnie). Tymczasem jako nawigator wolę liczyć współ-rzędną y na mapie w górę (na północ). Ale to równieżjest nieistotne z punktu widzenia naszego celu i dowol-na transformacja liniowa współrzędnych (x,y) będzierównie dobra. Także człony wyższego rzędu są nieistot-ne, bowiem w punkcie (x,y) = (0,0) nie dają wkładu dorównania (5). To co istotne, to człony kwadratowe, re-prezentowane tutaj przez dwie stałe A i B. Odrobinaznajomości trygonometrii wystarczy, by się przekonać,że ich wartości wynoszą

A = —12 sinθ0 cosθ0 B = ctgθ0 (8)

Gdybyśmy mieli osiąść na stałe w miejscowości (θ0,ϕ0),to już nigdy inna mapa nie byłaby nam potrzebna — tajest najlepsza ze wszystkich możliwych. Jeśli jednakpunkt (θ0,ϕ0) znajduje się na oceanie, a my jesteśmynawigatorami w podróży, to niestety nasza doskonała(w otoczeniu punktu (θ0,ϕ0)) mapa wkrótce się zdezak-tualizuje i trzeba będzie ją szybko wymienić na inną, do-stosowaną do innego punktu. Nie możemy jednak wo-zić ze sobą tak ogromnej, po jednej dla każdego małegootoczenia kolejno mijanych punktów globu, liczby map!Przeprośmy się zatem z „bardziej globalnymi” współ-rzędnymi geograficznymi i przeliczmy równanie ortodro-my (5) (oznaczonej kolorem niebieskim na rys. 2) dotych współrzędnych. Różniczkując stronami wzory (6)i (7) otrzymujemy

θ.

= –y.

+ 2Axx.

(9)

θ..

= –y..

+ 2Ax.x.

+ 2Axx..

(10)

ϕ.

= x.

+ Bxy.

+ Bx.y (11)

ϕ..

= x..

+ 2Bx.y.

+ Bxy..

+ Bx..y (12)

Ale w zmiennych „wyprostowanych” równanie ortodro-my to znikanie drugich pochodnych (5). Zatem w na-szym punkcie postoju (x,y) = (0, 0) równanie ortodromywygląda następująco

θ..

= 2Ax.x.

= 2Aϕ. 2

ϕ..

= 2Bx.y.

= –2Bϕ.θ.

(uwzględniono związki θ.

= –y.

oraz ϕ.

= x., wynikające

z (9) i (11)). Po wstawieniu wartości stałych (8) otrzymu-jemy następujące równanie ortodromy

θ..

= ϕ. 2 sinθ cosθ (13)

ϕ..

= –2ϕ.θ.ctgθ (14)

obowiązujące już uniwersalnie, w każdym punkcie (θ,ϕ),czyli na całym globie.

Powyższe, prościutkie opowiadanie można terazsformalizować w postaci następującej „wyliczanki” istot-nych z naszego punktu widzenia własności, jakie wyko-rzystaliśmy do stworzenia wygodnego modelu matema-tycznego powierzchni globu ziemskiego M jako tzw.przestrzeni ze strukturą powiązania. Przestrzeń tamoże być krzywa, ale lokalnie przypomina przestrzeńafiniczną, w której jest dobrze określone pojęcie liniiprostej. Oto te własności:

Przestrzeń M jest rozmaitością różniczkowalną.Oznacza to, że lokalnie można parametryzowaćpunkty zbioru M układem współrzędnych (xk) == (x1, x2, …, xn), gdzie liczba naturalna n nazywasię wymiarem przestrzeni (dla powierzchni globuziemskiego n = 2, ale to nie ma żadnego znacze-nia). Jeśli (ya), a = 1, ..., n, jest innym układemwspółrzędnych (mapą), to (tam gdzie to możliwe)transformacja ya = ya(xk) jest odpowiednio gładka(np. różniczkowalna klasy C∞).

W każdym punkcie m ∈ M można wprowadzić rela-cję równoważności ~m między układami współrzęd-nych wokół m. Powiemy, że układy (xk) oraz (ya)są równoważne w m, jeśli ich wzajemne drugie po-chodne znikają w tym punkcie

((xk) ~m (ya)) ⇔ (——∂xk∂2ya

∂xl—— (m) = 0)

Łatwo sprawdzić, że jest to relacja równoważności(zwrotna, symetryczna, przechodnia). Zatem zbiórwszystkich map wokół m rozpada się na wzajemnierozłączne klasy równoważności.

W każdym punkcie m wyróżniona jest pewna klasarównoważności Im, którą nazwiemy „lokalnym ukła-dem prostoliniowym” lub też — żeby podkreślić in-spirację fizyczną — „lokalnym układem inercjalnym”.Współrzędne odpowiadające mapie należącej do tejklasy będziemy nazywali „lokalnie prostoliniowymi”albo „lokalnie inercjalnymi” w punkcie m. Zakłada-my, że Im zależy gładko (różniczkowalnie) od punk-tu m. Na razie nie będę precyzował, co to oznacza,ale w dalszym ciągu wykładu stanie się to jasne.

Sparametryzowaną linię w M będziemy nazywaliortodromą (czy może nawet — nadużywając niecoterminologii — linią „prostą”, a w każdym razie „naj-prostszą z możliwych”), jeśli w każdym punkcie Mspełnia ona warunek

kijowski.qxd 3/14/08 2:57 PM Page 4

5

y..a(m) = 0 (15)

gdy jako współrzędne weźmiemy dowolne współ-rzędne lokalnie inercjalne w m, czyli należące doklasy Im.

Współrzędne inercjalne w jednym punkcie wcale niemuszą być inercjalne w punktach sąsiednich. Gdy-by jednak istniał układ współrzędnych globalnie in-ercjalny, to taką przestrzeń nazwalibyśmy płaską.

Gdybyśmy mieli zamieszkać na stałe w miejscowo-ści m i badać jedynie ruchy przejeżdżających przez niąpojazdów, to nie warto byłoby używać innych układówwspółrzędnych, niż tylko inercjalne w punkcie m. Takpostępowali fizycy przez ostatnich kilka tysięcy lat. Je-śli jednak interesują nas zjawiska zachodzące dalekood nas, jeśli chcemy badać ruchy odległych planet, ko-met czy może nawet gwiazd albo galaktyk, to — po-dobnie jak to miało miejsce w przypadku nawigacji poziemskim globie — zmuszeni będziemy używać ukła-dów nieinercjalnych, ale za to opisujących dużo więk-sze obszary. Przeliczmy zatem równania ortodromyz układu inercjalnego (ya) do jakiegokolwiek układu(xk). Prawo transformacji prędkości z jednego układudo drugiego jest oczywiste

y.a(m) =

k = 1∑

n ——∂xk∂ya

x.k = ——

∂xk∂ya

x.k (16)

W ostatnim wyrażeniu opuściliśmy znak sumy, korzy-stając z tak zwanej konwencji sumacyjnej Einsteina,która bardzo ułatwia pisanie formuł opisujących struk-tury geometrii różniczkowej. Głosi ona, że powtórzonywskaźnik — w naszym przypadku „k” — raz na dole, razna górze oznacza sumowanie po wszystkich jego moż-liwych wartościach. Różniczkując jeszcze raz po para-metrze, otrzymujemy następujące równanie ortodromywyrażone w nieinercjalnym układzie współrzędnych (xk)(pamiętamy o konwencji sumacyjnej!)

0 = y..a = ——

∂xk

∂yax..k + ——

∂xk

∂2ya

∂xl—— x

.kx. l (17)

Powyższy układ n równań można zapisać w równoważ-nej postaci, jeśli podziałamy na obie strony macierzą(∂xn/∂ya), odwrotną do macierzy (∂ya/∂xk) (ich ilo-czyn daje macierz jednostkową (δn

k )). W rezultacieotrzymamy następujące, uniwersalne równanie orto-dromy, będące naturalnym uogólnieniem równań na-wigatora (13) oraz (14)

x..n + Γn

kl x.kx

.l = 0 (18)

Symbolem Γnkl oznaczyliśmy tutaj następującą kombi-

nację pochodnych

Γnkl (m) := ——

∂ya

∂xn(m) . ——

∂xk

∂2ya

∂xl—— (m) (19)

We wzorze tym (ya) są dowolnymi współrzędnymiinercjalnymi w punkcie m, w którym liczymy wartośćwspółczynników Γ. Łatwo zauważyć, że wynik nie zale-ży od wyboru układu współrzędnych (ya), byle tylkonależały do klasy Im. Wielkości te charakteryzują jedno-znacznie układ inercjalny Im względem naszych (dowol-nych), „roboczych” współrzędnych (xk). Można zatempowiedzieć, że cała informacja o polu lokalnych układówinercjalnych jest zawarta we „współczynnikach powiąza-nia” Γn

kl. W szczególności układ jest inercjalny w punk-cie m jeśli, współczynniki te znikają w tym punkcie

((xk) ∈ Im) ⇔ (Γnkl (m) = 0)

Założenie o „gładkiej zależności” klasy Im od punktu moznacza teraz, że elementy tablicy Γn

kl (m) są odpowied-nio gładkimi funkcjami na przestrzeni M.

To opowiadanie można ciągnąć dalej — np. łatwowyprowadzić wzory na transformację obiektu Γ międzydwoma dowolnymi (na ogół nieinercjalnymi) układamiwspółrzędnych. Zainteresowanych odsyłam do bogatejliteratury z geometrii różniczkowej. Jednak główną wła-snością przestrzeni z powiązaniem jest istnienie polalokalnych układów inercjalnych, co pozwala na wyróż-nienie szczególnych linii „prostych”, dla których „przy-spieszenie” (liczone w układzie inercjalnym) znika.

Właśnie taka struktura geometryczna czasoprzestrzeniodpowiada polu grawitacyjnemu według Einsteina. Rów-nania ruchu ciała spadającego swobodnie, to równaniaortodromy (18) w czterowymiarowej czasoprzestrzeni,które można przepisać jako

m x..n = –mΓn

kl x.kx

.l (20)

Interpretację tradycyjną, w której prawa strona jestsiłą grawitacyjną działająca na ciało o masie m, zgodniez drugą zasadą Newtona, Einstein proponuje zastąpićinterpretacją geometryczną — prawa strona tylko dlate-go nie znika, że do opisu ruchu użyliśmy układu odnie-

sienia, który nie jest inercjalny! Siły grawitacyjne dadząsię (lokalnie, w punkcie m) wyeliminować, jeśli tylkoprzejdziemy do układu inercjalnego w punkcie m. I niejest to żadna science fiction, lecz realna możliwość. Stolat temu uważano, że polega ona na zamknięciu sięw swobodnie spadającej windzie, gdzie (zanim nastąpikatastrofa) znajdziemy się w stanie całkowitej nieważ-kości. W takiej sytuacji będziemy mogli uważać, że siłgrawitacyjnych nie ma! W dzisiejszych czasach stan nie-ważkości stał się powszechnym doświadczeniem wieluludzi — astronautów i pracowników stacji kosmicznych.

Siły grawitacyjne uzyskały zatem status „sił pozor-nych” z mechaniki klasycznej, takich jak siła odśrodkowa

4. Grawitacja jako pole lokalnych układów inercjalnych

kijowski.qxd 3/14/08 2:57 PM Page 5

czy siła Coriolisa. Są one proporcjonalne do masy cia-ła. Można je wyeliminować przez wybór odpowiedniego(inercjalnego!) układu odniesienia. Możliwość spraw-dzenia, czy „nasz układ odniesienia” jest inercjalny„względem odległych gwiazd” bardzo absorbowała myślErnesta Macha, którego idee wywarły duży wpływ naEinsteina, czemu dał on wielokrotnie wyraz w swychpismach. Pasażer obracającej się karuzeli — argumen-tował Mach — jeśli nie pozwolić mu na obserwacjęgwiazd, nie potrafi stwierdzić, czy działające nań siły, tosiły pozorne, czy też „prawdziwe” siły grawitacyjne. Zewstydem wyznam, że z wielkim trudem podążałem za

niektórymi myślami Macha, spisanymi w języku global-nych układów odniesienia. Wydaje mi się, że całasprawa staje się niezwykle prosta i klarowna, jeśli zre-zygnujemy z globalnych układów odniesienia i całe roz-ważania ograniczymy do przytoczonej w niniejszym wy-kładzie dyskusji lokalnej struktury czasoprzestrzeni.W tej teorii dylemat Macha — czy działają na mnie siłypozorne (odśrodkowa i Coriolisa), czy grawitacyjne —nie ma żadnego znaczenia. Niezależnie od nazwy, siłyte mogą zostać wyeliminowane. Ale tylko lokalnie wy-eliminowane.

6

Jeśli w zwykłej, płaskiej przestrzeni wybierzemy krzy-woliniowy układ współrzędnych, to równania linii pros-tych staną się bardzo skomplikowane. Można się o tymłatwo przekonać, próbując napisać np. równanie prostejw układzie współrzędnych sferycznych, w poczciwej,znanej ze szkolnej „stereometrii” — trójwymiarowejprzestrzeni euklidesowej. Wystąpią wtedy wysoce nie-trywialne współczynniki powiązania Γn

kl. Część z nich —te mianowicie, które odpowiadają współrzędnym kąto-wym — pojawiła się już zresztą w niniejszym artykulepod postacią współczynników (8). Pokażemy teraz, w ja-ki sposób odróżnić sytuację, gdy przestrzeń jest napraw-dę prosta, a jedynie prezentuje się jakby była krzywa,bowiem używamy skomplikowanego, krzywoliniowegoukładu, od sytuacji, kiedy przestrzeń jest naprawdękrzywa. Rozpoczniemy od „wyprostowania” krzywychwspółrzędnych (xk) w jednym punkcie m za pomocąwzoru

yk := xk + —12 Γni j (m)xixj +

(21)+ poprawki trzeciego i wyższych rzędów

Aby się przekonać, że tak poprawione współrzędne (yk)są inercjalne w punkcie m wystarczy zauważyć, że za-chodzi równość (19)

Γni j (m) := ——

∂xi

∂2yk

∂xj—— (m) =

(22)= ——

∂ya

∂xk(m) . ——

∂xi

∂2ya

∂xj—— (m)

bowiem macierz pierwszych pochodnych jest macierząjednostkową. Czy nie dałoby się — do tej pory nieistot-nych — poprawek wyższych rzędów dobrać tak, by wy-prostować te współrzędne nie tylko w samym punkcie,ale i wokół niego? Na początku przynajmniej tak, bywyzerować w tym punkcie nie tylko współczynniki po-wiązania (co już się stanie, gdy tylko przejdziemy dozmiennych (ya)), ale również ich pierwsze pochodne

Γabcd

:= ∂d Γabc

W tym celu znów zacznijmy poprawiać już raz popra-wione współrzędne, przy czym istotne teraz będą po-

prawki trzeciego rzędu, bowiem tylko one dadzą wkładdo pochodnych, liczonych w zerze układu współrzęd-nych. Ogólna taka poprawka mogłaby wyglądać nastę-pująco

y~a := ya + —12 Pabc y

byc + —16 Qabcd y

bycyd (23)

Po to jednak, by coś naprawić, ale przy tym nie popsućjuż znikających współczynników Γa

bc , musimy położyćPa

bc = 0. Wtedy współczynniki te zmienią się o drugiepochodne wyrazu trzeciego rzędu (czyli o człony linio-we, znikające w zerze), natomiast ich pochodne zmie-nią się o trzecie pochodne, czyli o człon zerowego rzę-du, wyznaczony przez tablice współczynników Qa

bcd .Z symetrii trzecich pochodnych wynika, że będzie toczęść całkowicie symetryczna tej tablicy. Gdyby jednakQa

bcd zawierała cokolwiek poza tą częścią symetryczną,to owe „cokolwiek” (np. część antysymetryczna w ja-kichś dwu wskaźnikach) i tak nie wpłynie na popraw-kę (23). Aby zatem uprościć nasze rachunki, możemyzałożyć, że tablica Qa

bcd jest całkowicie symetryczna

Qabcd = Qa

(bcd) (24)

:= —16 {Qabcd + Qa

cdb + Qadbc + (25)

+ Qadcb + Qa

cbd + Qabdc }

Wtedy pochodne współczynników powiązania Γ w no-wym układzie współrzędnych zmienią się po prostu o Q

Γ~abcd = Γa

bcd + Qabcd (26)

które są całkowicie do naszej dyspozycji. Jak widać,potrafilibyśmy w ten sposób „zabić” całą tablicę pochod-nych Γa

bcd jedynie wtedy, gdyby była ona całkowiciesymetryczna — wystarczyłoby położyć Qa

bcd = –Γabcd .

W ogólnym przypadku, gdy Γabcd nie jest całkowicie sy-

metryczna, zdołamy jedynie „zabić” jej część całkowiciesymetryczną. Wynika stąd, że cała reszta, czyli to, cozostaje po odjęciu części całkowicie symetrycznej

Kabcd = Γa

bcd – Γa(bcd) (27)

nie zależy już od żadnych poprawek, czyli jest pewnąwielkością charakteryzującą badaną geometrię, nieza-

5. Jak mierzyć krzywiznę czasoprzestrzeni

kijowski.qxd 3/14/08 2:57 PM Page 6

leżną od tego w jakim układzie współrzędnych (byle byłinercjalny!) dokonujemy obliczeń. Rzeczywiście, po do-konaniu poprawek (23) otrzymujemy

Kabcd = Γ~a

bcd – Γ~a(bcd) =

(28)

= Γabcd + Qa

bcd – Γa(bcd) – Qa

(bcd) = Kabcd

na mocy równania (24). Wielkość K nazywa się tenso-rem krzywizny przestrzeni M. Gdy jest ona różna odzera, to — jak widać z definicji — nie ma szans na ist-nienie globalnego układu inercjalnego, który „zabiłby”współczynniki Γ globalnie, bowiem „zabiłby” on równieżich pochodne oraz (w szczególności) ich kombinacje(27). Zatem znikanie tensora krzywizny jest warunkiemkoniecznym na płaskość przestrzeni. Czy jest to rów-nież warunek dostateczny? Czy po wyzerowaniu pierw-

szych pochodnych będziemy musieli zająć się zerowa-niem kolejnych i tak w nieskończoność?

Okazuje się, że nie będzie to potrzebne, bowiem ze-rowanie się tensora krzywizny K w „grubym” zbiorze po-zwala już skonstruować współrzędne globalnie inercjal-ne w tym zbiorze. Zatem znikanie K jest warunkiem ko-niecznym i dostatecznym na płaskość. Tensor krzy-wizny mierzy rzeczywiście krzywiznę, rozumianą ja-ko niemożność skonstruowania globalnie inercjalnychwspółrzędnych. Mistyfikacja polegająca na zapisaniuwspółczynników powiązania płaskiej przestrzeniw krzywoliniowym układzie współrzędnych, przez cobędą one wyglądały bardzo skomplikowanie, zostanienatychmiast odkryta, gdy obliczymy tensor krzywizny,bowiem mimo pozornie skomplikowanej postaci funkcjiΓa

bcd(m), ostateczny rezultat takich rachunków będzietrywialny: Ka

bcd ––– 0.

7

W teorii grawitacji Einsteina pole grawitacyjne jest za-tem polem lokalnych układów inercjalnych, które moż-na opisać w ustalonym układzie współrzędnych jakopole zależnych od punktu czasoprzestrzeni współczyn-ników powiązania Γa

bc(m). Ale czym zastąpić równaniapola, które w teorii Newtona wyglądały następująco

G→

= –γ——x→3

µx→

— (29)

gdzie µ jest masą ciała będącego źródłem pola (np.słońca w układzie planetarnym), x

→— wektorem wiodą-

cym ciała próbnego względem źródła, zaś γ — stałągrawitacyjną. Gdy źródłem pola nie jest masa punktowaale ciągły rozkład mas, opisany gęstością ρ, to pole G

→

jest superpozycją wkładów od poszczególnych punk-tów. Łatwo zauważyć, że odpowiada to następującymwarunkom, które spełnia to pole:

1. Pole G→

jest bezwirowe, czyli rot G→

= 0.

2. Spełnione jest równanie wiążące rozbieżność polaze źródłami, mianowicie div G

→

= 4πγρ .

Okazuje się, że w teorii Einsteina powyższe warun-ki należy zastąpić następującymi:

1. Warunek zgodności z resztą fizyki, opisaną przezstrukturę metryczną czasoprzestrzeni, bowiem innedziały fizyki (np. elektrodynamika) wykorzystują po-le tensora metrycznego gkl , opisujące „odległości”czterowymiarowe między różnymi zdarzeniami prze-strzennymi. Strukturą tego tensora zajmuje się tzw.szczególna teoria względności. Zgodność obu struk-tur polega na tym, że tensor metryczny ma być w ja-kimś sensie „stały” w czasoprzestrzeni. Cóż to jed-nak ma znaczyć, skoro przechodząc od jednegoukładu współrzędnych do innego, można współ-rzędne gkl znacznie zmienić i np. ze stałych uczynićzmienne? Otóż warunek ten oznacza, że pochodne

tensora metrycznego mają zerować się w układzieinercjalnym. Mówi się wówczas, że metryka jestkowariantnie stała na M. Warunek ten zastępujejednorodny warunek rot G

→

= 0 z teorii newtonow-skiej.

2. Warunek niejednorodny zastąpiony jest równaniemEinsteina, wiążącym krzywiznę ze źródłami pola

Gkl = 8πγTklW równaniu tym

Gkl := Rkl – —12 gkl R

oznacza tzw. tensor Einsteina, Rkl := —32 Knkln jest

tzw. tensorem Ricciego, powstałym z tensora krzy-wizny przez zwężenie po pierwszym i ostatnimwskaźniku, zaś R = gklRkl jest śladem tensora Ric-ciego, zwanym skalarem krzywizny. W każdymprzypadku po lewej stronie stoi (na miejscu dywer-gencji pola G

→

z teorii Newtona) jakaś informacjao krzywiźnie, wyrażona pochodnymi pola Γ. Nato-miast po prawej stronie stoi tensor energii-pędumaterii T, niosący informację o źródłach pola grawi-tacyjnego.

Jeśli czasoprzestrzeń nie jest pusta, czyli gdy stoją-cy po prawej stronie równań Einsteina tensor energii--pędu materii nie jest równy zeru, to również lewa stro-na nie może znikać, zatem czasoprzestrzeń nie możebyć płaska. Można skrótowo powiedzieć, że obecnośćmaterii, której konfiguracja jest mierzona wielkościątensora energii-pędu T, „wykrzywia” czasoprzestrzeń.

Nie jest natomiast prawdą, że przestrzeń pusta mu-si być płaska. Z równań Einsteina wynika jedynie znika-nie tensora Einsteina G lub — co jest równoważne —tensora Ricciego R, ale jest to jedynie część informacjizawartych w pełnym tensorze krzywizny K. Dziś wiemyjuż, że wcale nie musi to pociągać znikania całego ten-

6. Materia powodem zakrzywienia czasoprzestrzeni

kijowski.qxd 3/14/08 2:57 PM Page 7

8

sora krzywizny. Istnieją bowiem rozwiązania równańEinsteina opisujące przestrzeń pustą, ale mimo to krzy-wą. Jej krzywizna propaguje się w sposób nieco zbliżo-ny (choć dużo trudniejszy, ze względu na nieliniowośćrównań Einsteina) do propagacji fal elektromagnetycz-nych i opisuje zjawiska, które nazywamy falami grawi-tacyjnymi. Ten fakt nie był oczywisty od początku ba-

dań teorii. Sam Einstein miał poważne wątpliwości naten temat i dość długo sadził, że „fal grawitacyjnych niema”. W (teoretycznym) odkryciu tych fal wybitny udziałma wielki polski fizyk-teoretyk — profesor AndrzejTrautman (absolwent Politechniki Warszawskiej). Napowtórne — tym razem obserwacyjne — ich odkrycieczekamy do tej pory.

Już kilka miesięcy po ogłoszeniu Ogólnej Teorii Względ-ności — na przełomie 1915 i 1916 roku — wybitny nie-miecki astronom, fizyk i matematyk, Karl Schwarzschildznalazł pierwsze ścisłe rozwiązanie równań Einsteina,opisujące sferycznie symetryczne pole grawitacyjnewokół ciężkiego ciała o danej masie. Rozwiązanie tojest relatywistycznym odpowiednikiem pola (29). Sce-nerię tego odkrycia znamy dobrze z książki JaroslavaHaška o dobrym wojaku Szwejku — okolice Przemy-śla, błoto i śnieg, okopy pierwszej wojny światowej. KarlSchwarzschild został zmobilizowany na wojnę w cha-rakterze oficera artylerii, jednak nawet w tak trudnychwarunkach nie poniechał aktywności intelektualnej.Zresztą kilka miesięcy po swoim wspaniałym odkryciu,w maju 1916 roku, zmarł na skutek rzadko spotykanejchoroby skórnej — pęcherzycy, której nabawił się nawojnie.

Podobnie jak pole (29) w punkcie x→

= 0, rozwiąza-nie Schwarzschilda cechuje się osobliwością, gdy opi-sujące je formuły tracą sens, bowiem zawierają dziele-nie przez zero. Jednak w przypadku pola Schwarzschil-da ta osobliwość występuje wcześniej, zanim zbliżymysię do „centrum” punktowej masy, którą chcielibyśmyopisywać. W przypadku masy równej masie Ziemi tenkrytyczny „promień Schwarzschilda” wynosi około centy-metra, a dla masy Słońca — około 3 km. Można byłobypocieszać się, że w przyrodzie nigdy taka osobliwośćnie wystąpi, bo nie potrafimy przecież „sprasować” ma-sy Ziemi do rozmiarów centymetra! Dziś wiemy jednak,

że materia w tzw. gwiazdach neutronowych może byćupakowana dużo gęściej niż to, z czym mamy do czy-nienia w potocznym doświadczeniu i, być może, istnie-ją sytuacje astrofizyczne, w których cała masa będącaźródłem geometrii Schwarzschilda jest ukryta wewnątrztej „osobliwości”. Zatem problem pozostaje. Co się dzie-je w „osobliwości” rozwiązania Schwarzschilda? Czyprzestaje obowiązywać znana nam fizyka? Czy we-wnątrz obszaru o silnej krzywiźnie zieje jakaś otchłań,czy jest tam po prostu „czarna dziura”? Okazuje się, żesama osobliwość występująca we wzorach na rozwią-zanie Schwarzschilda, która tak niepokoiła fizyków odpoczątku Ogólnej Teorii Względności, jest pozorna i opi-suje jedynie własności szczególnego układu współrzęd-nych, których użył jego twórca.

Sytuacja jest podobna do tej, w której chcielibyśmypunkty paraboloidy obrotowej w trójwymiarowej prze-strzeni euklidesowej, danej równaniem

√———x2 + y2

—= 1 + z2

parametryzować za pomocą dwu zmiennych (x,y), trak-tując współrzędną z jako ich funkcję

z = +√———√———x2 + y2

———– 1

Widać, że na kole danym równaniem x2 + y2 = 1,taki opis zawodzi, bowiem występuje „czarna dziura”odpowiadająca wartościom x2 + y2 < 1, a przecież niema tu żadnej osobliwości, należy jedynie do zbioru roz-wiązań powyższego równania, opisującego górną poło-wę paraboloidy, dokleić jej dolną połowę, odpowiadają-cą znakowi „minus” przed pierwiastkiem. Bardzo łatwoznaleźć współrzędne, które zachowują się nieosobliwiew pobliżu „wąskiego gardła”, wzdłuż którego sklejonoobie połówki tej powierzchni.

Takim właśnie „wąskim gardłem” trójwymiarowegocięcia {t = const} jest pozorna osobliwość Schwarzschil-da (zob. rys. 3). Z dala od niej to cięcie coraz bardziejprzypomina naszą płaską, euklidesową przestrzeń trój-wymiarową. Zbliżając się do „wąskiego gardła” prze-strzeń staje się coraz bardziej zakrzywiona, a po jegoprzekroczeniu znów zaczyna się wypłaszczać — byćmoże aż do jakiegoś „drugiego końca” przestrzeni, jakna rysunku 3, ale być może aż do schowanej wewnątrztego gardła materii, będącej źródłem pola grawitacyjne-go, tak jak na rysunku 4.

7. Krótka historia odkrywania „czarnych dziur”

Rysunek 3. Cięcie {t = const} czasoprzestrzeniSchwarzschilda

kijowski.qxd 3/14/08 2:57 PM Page 8

9

Tym niemniej obszar czasoprzestrzeni odpowiada-jący punktom leżącym wewnątrz tego „gardła” ma dośćszczególne właściwości, bowiem nie może się zeń wy-dostać „na zewnątrz” żadna informacja. Co więcej, tamnaprawdę jest osobliwość (ale nie przestrzenna, któ-rą można byłoby pokazać na rysunku 4, lecz czaso-przestrzenna) nie dająca się usunąć przez manipulacjewspółrzędnymi. Obecnie „czarną dziurą” nazywa się ta-ką właśnie sytuację.

Teorii czarnych dziur nadał impet wielki astrofizykhinduski Subrahmanyan Chandrasekhar (1910–1995),uhonorowany za swe prace nagrodą Nobla w 1983 ro-ku. W 1930 roku, wiążąc dwie bardzo młode teorie fi-zyczne — Ogólną Teorię Względności i MechanikęKwantową — zauważył, że ewolucja gwiazd do stacjo-narnego stanu Białego Karła, w którym ciśnienie gazuelektronowego wewnątrz gwiazdy powinno zrównowa-żyć siły grawitacyjne, będzie zachodziła zupełnie ina-czej dla gwiazd cięższych niż pewna wartość krytycz-na, znana dziś jako masa Chandrasekhara i wynoszą-ca 1,44 masy Słońca. Otóż dla ciężkiej gwiazdy ciśnie-

nie wewnętrzne nie zdoła zrównoważyć przyciąganiagrawitacyjnego i w końcu cała masa zapadnie się „podhoryzont” jak na rysunku 4. Uformuje się więc czarnadziura, a w każdym razie widziane z zewnątrz pole gra-witacyjne będzie miało wiele cech sytuacji opisywanejprzez geometrię Schwarzschilda. Wydaje się, że jest tosytuacja dość powszechna we Wszechświecie i powin-niśmy na niebie widzieć wiele takich obiektów. Aby jeodróżnić od zwykłych gwiazd czy galaktyk potrzebnesą dokładniejsze obserwacje niż te, których można do-konywać za pomocą tradycyjnych teleskopów. W tymcelu buduje się obecnie obserwatoria umieszczonew Kosmosie. Takie dwa orbitalne obserwatoria — Spi-tzer oraz Chandra — dostarczyły ogromnej ilości da-nych potwierdzających istnienie czarnych dziur. Astro-fizycy mówią ostatnio o „setkach czarnych dziur, którezostały ostatnio odkryte w odległych galaktykach py-łowych”.

Bardzo istotna metoda testowania wyników tych ob-serwacji, pomagająca odróżnić czarną dziurę od „banal-nej” gwiazdy lub galaktyki, polega na wykorzystaniu zja-wiska soczewkowania grawitacyjnego. Wykorzystujeona zjawisko uginania promieni świetlnych w polu gra-witacyjnym. Jednym z animatorów i współautorów tejmetody był niedawno zmarły, wybitny polski astrofizykBogdan Paczyński (ur. 1940 w Wilnie, zm. 2007 w Prin-ceton).

Dzięki tym wszystkim obserwacjom i pomiaromastrofizycy coraz mocniej utwierdzają się w przekona-niu, że matematyczna konsekwencja teoretycznych ideiAlberta Einsteina, jaką jest struktura czarnej dziury, ist-nieje jako fakt realnie obserwowany w przyrodzie.

Rysunek 4. Materia „schowana pod horyzontem”

[1] Kopczyński W., Trautman A.: Czasoprzestrzeń i gra-witacja. PWN, Warszawa 1981.

[2] Misner C.W., Thorne K.S., Wheeler J.A.: Gravitation.N.H. Freeman and Co, San Francisco, Cal. 1973.

[3] Wald R.: General Relativity. University of ChicagoPress, Chicago 1984.

Bibliografia

Short history of the General Relativity Theory (togetherwith theory of “black holes”) is presented. A mathemat-ical structure which enables us to describe gravitationalfield as a field of local inertial frames is proposed in

a simple form. The notion of the curvature tensor is de-rived as an obstruction against existence of linear coor-dinates.

Abstract

Słowa kluczowe: czarne dziury, ogólna teoria względności, geometria nieeuklidesowa,nieinercjalne układy współrzędnych.

kijowski.qxd 3/14/08 2:57 PM Page 9

kijowski.qxd 3/14/08 2:57 PM Page 10

kijowski.qxd 3/14/08 2:57 PM Page 11

Opracowanie edytorskie: Danuta Czudek-Puchalska, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, ul. Polna 50, 00-644 Warszawa, tel. 0-22 234-75-03

kijowski.qxd 3/14/08 2:57 PM Page 12