Osamaarakunta

LuK-tutkielmaLauri Aalto

Opiskelijanumero: 2379263Matemaattisten tieteiden laitos

Oulun yliopistoKevat 2016

Sisalto

Johdanto 2

1 Kasitteita ja merkintoja 3

2 Osamaarakunnan muodostaminen 7

3 Osamaarakunnan isomorfismit 16

Lahdeluettelo 20

1

Johdanto

Tassa tutkielmassa perehdytaan osamaarakunnan kasitteeseen ja erityises-ti sen muodostamisen eri vaiheisiin. Aluksi Luvussa 1 esitetaan luettelon-omaisesti kaikki tarvittavat maaritelmat, lauseet ja merkinnat. Luvussa 2perehdytaan tarkasti osamaarakunnan muodostamisprosessiin. Tavoitteenaon nayttaa, etta jokaisesta kokonaisalueesta voidaan laajentaa tai muun-taa kunta, josta loytyy vastine jokaiselle kokonaisalueen alkiolle jonkin iso-morfismin kautta. Luvussa 3 kasitellaan osamaarakunnan suhdetta muihinkuntiin, joilla on isomorfinen osajoukko saman kokonaisalueen kanssa kuinosamaarakunnalla.

Esitiedoiksi riittavat periaatteessa joukko-oppiin ja funktioihin liittyvatperuskasitteet. Lukijan on kuitenkin suositeltavaa perehtya ryhman, renkaanja kunnan kasitteisiin, ja niiden perusominaisuuksiin.

2

1 Kasitteita ja merkintoja

Seuraavat maaritelmat ja lauseet ovat peraisin suoraan tai sisalloltaan lah-teista [2] ja [3]. Niita ei todisteta tassa tutkielmassa. Tuloksia kaytetaanLukujen 2 ja 3 lauseiden todistuksissa seka teorian apuna.

Maaritelma 1.1 (Karteesinen tulo). Olkoon A epatyhja joukko. Talloinjoukko

A× A = {(a1, a2) | a1, a2 ∈ A}

on joukon A karteesinen tulo itsensa kanssa.

Maaritelma 1.2 (Binaarinen relaatio). Joukon A × A osajoukko R onbinaarinen relaatio joukossa A. Jos pari (x, y) ∈ R, niin alkio x on relaa-tiossa R alkion y kanssa. Merkitaan talloin xRy.

Maaritelma 1.3 (Ekvivalenssirelaatio, ekvivalenssiluokka). Joukon A bi-naarinen relaatio R on ekvivalenssirelaatio, mikali

1. xRx, kun x ∈ A (refleksiivisyys),

2. xRy ⇒ yRx, kun x, y ∈ A (symmetrisyys),

3. xRy ja yRz ⇒ xRz, kun x, y, z ∈ A (transitiivisuus).

Jos R on ekvivalenssirelaatio ja a ∈ A, niin joukko

[a] = {x ∈ A | xRa}

on alkion a maaraama ekvivalenssiluokka.

Maaritelma 1.4 (Binaarinen operaatio). Olkoon A epatyhja joukko. Talloinkuvaus

∗ : A× A→ A, ∗(a, b) = a ∗ b

kaikilla a, b ∈ A on joukon A binaarinen operaatio.

Maaritelma 1.5 (Monoidi, ryhma, Abelin ryhma). Olkoot R epatyhja jouk-ko ja (∗) joukon R binaarinen operaatio. Pari (R, ∗) on monoidi, mikali seu-raavat ehdot ovat voimassa:

1. Jos a, b ∈ R, niin a ∗ b ∈ R (binaarisyys).

2. (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) kaikilla a, b, c ∈ R (assosiatiivisuus).

3

3. Joukossa R on olemassa neutraalialkio eR, jolle patee a∗eR = eR∗a = akaikilla a ∈ R.

Monoidista (R, ∗) kaytetaan merkintaa R, jos sekaannuksen mahdollisuuttaei ole. Jos lisaksi

4. kaikilla a ∈ R on olemassa joukossa R kaanteisalkio a−1, jolle pateea ∗ a−1 = a−1 ∗ a = eR,

niin monoidi (R, ∗) on ryhma. Edelleen, jos

5. a ∗ b = b ∗ a kaikilla a, b ∈ R (kommutatiivisuus),

niin ryhma (R, ∗) on Abelin ryhma.

Lause 1.6. Olkoon (R, ∗) ryhma. Talloin

1. (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1 kaikilla a, b ∈ R.

2. (a−1)−1 = a kaikilla a ∈ R.

3. Neutraalialkio eR ja jokaisen alkion a ∈ R kaanteisalkio ovat yksikasit-teiset.

Maaritelma 1.7 (Rengas). Olkoot R epatyhja joukko ja (+) seka (·) jou-kon R binaarisia operaatioita. Kolmikko (R,+, ·) on rengas, mikali seuraavatehdot ovat voimassa:

1. Pari (R,+) on Abelin ryhma.

2. Pari (R, ·) on monoidi.

3. Seuraavat osittelulait ovat voimassa:

(a) (a + b) · c = (a · c) + (b · c) kaikilla a, b, c ∈ R.

(b) a · (b + c) = (a · b) + (a · c) kaikilla a, b, c ∈ R.

Maaritelma 1.8 (Kommutatiivinen rengas). Rengas (R,+, ·) on kommuta-tiivinen, mikali se on kommutatiivinen operaation (·) suhteen eli a · b = b · akaikilla a, b ∈ R.

Renkaan (R,+, ·) neutraalialkiota operaation (+) suhteen kutsutaan nolla-alkioksi ja merkitaan 0R. Alkion a kaanteisalkiota operaation (+) suhteenkutsutaan vasta-alkioksi ja merkitaan −a. Renkaan R neutraalialkiota ope-raation (·) suhteen kutsutaan ykkosalkioksi ja merkitaan 1R. Renkaan R las-kuoperaatiosta (·) kaytetaan seuraavaa lyhennysmerkintaa: a · b = ab, kuna, b ∈ R. Lisaksi kaytetaan seuraavaa laskujarjestysmerkintaa: (a·b)+(c·d) =a · b + c · d kaikilla a, b, c, d ∈ R.

4

Maaritelma 1.9 (Alirengas). Renkaan (R,+, ·) epatyhja osajoukko H onrenkaan R alirengas, mikali kolmikko (H,+, ·) on rengas, joka sisaltaa ren-kaan R ykkosalkion.

Lause 1.10 (Alirengaskriteeri). Renkaan (R,+, ·) epatyhja osajoukko H onrenkaan R alirengas, jos ja vain jos seuraavat ehdot ovat voimassa:

1. Jos a, b ∈ H, niin a + (−b) ∈ H.

2. Jos a, b ∈ H, niin ab ∈ H.

3. 1R ∈ H.

Maaritelma 1.11 (Rengashomomorfismi). Olkoot (R,+, ·) ja (R′,⊕,�)renkaita. Talloin kuvaus f : R → R′ on rengashomomorfismi, mikali setayttaa seuraavat ehdot:

1. f(a + b) = f(a)⊕ f(b) kaikilla a, b ∈ R.

2. f(ab) = f(a)� f(b) kaikilla a, b ∈ R.

3. f(1R) = 1R′ .

Maaritelma 1.12 (Rengasisomorfismi). Rengashomomorfismi f : R → R′

on rengasisomorfismi, mikali kuvaus f on bijektio. Rengas R on isomorfinenrenkaan R′ kanssa, mikali on olemassa jokin isomorfismi f : R→ R′. Talloinmerkitaan R ∼= R′.

Maaritelma 1.13 (Nollanjakaja). Renkaan (R,+, ·) nolla-alkiosta eroavaalkio a on renkaan R nollanjakaja, mikali on olemassa sellainen renkaan(R,+, ·) nolla-alkiosta eroava alkio b, etta ab = 0R tai ba = 0R.

Maaritelma 1.14 (Kokonaisalue). Kommutatiivinen rengas R on kokonais-alue, mikali se ei sisalla nollanjakajia.

Lause 1.15. Olkoon (R,+, ·) rengas. Talloin seuraavat tulokset ovat voi-massa:

1. 0Ra = a0R = 0R kaikilla a ∈ R.

2. Jos kuvaus f on rengashomomorfismi renkaalta R jollekin renkaalle R′,niin f(0R) = 0R′ .

3. Olkoot R kokonaisalue, a ∈ R\ {0R} ja b, c ∈ R. Jos ab = ac, niin b = c.Vastaavasti, jos ba = ca, niin b = c.

5

4. Renkaan ykkosalkio on yksikasitteinen.

5. a(−b) = (−a)b = −(ab) kaikilla a, b ∈ R.

Maaritelma 1.16 (Kunta). Kommutatiivinen rengas (R,+, ·) on kunta,mikali (R\ {0R} , ·) on Abelin ryhma.

Maaritelma 1.17 (Alikunta). Kunnan (K,+, ·) epatyhja osajoukko F onkunnan K alikunta, jos (F,+, ·) on kunta.

Lause 1.18 (Alikuntakriteeri). Kunnan (K,+, ·) epatyhja osajoukko F onkunnan K alikunta jos ja vain jos seuraavat ehdot ovat voimassa:

1. Joukossa F on vahintaan kaksi alkiota.

2. a + (−b) ∈ F kaikilla a, b ∈ F .

3. ab−1 ∈ F kaikilla a ∈ F, b ∈ F\ {0K}.

Maaritelma 1.19 (Kuntahomomofismi, kuntaisomorfismi). Olkoot (K,+, ·)ja (K ′,⊕,�) kuntia. Jos kuvaus f : K → K ′ on rengashomomorfismi, se onkuntahomomorfismi. Jos kuvaus f on rengasisomorfismi, se on kuntaisomor-fismi. Edelleen, jos on olemassa jokin isomorfismi f : K → K ′, niin kunta Kon isomorfinen kunnan K ′ kanssa. Talloin merkitaan K ∼= K ′.

6

2 Osamaarakunnan muodostaminen

Lahdetaan liikkeelle kommutatiivisesta renkaasta R. Oletetaan, etta rengasR ei ole kunta. Talloin voidaan kysya, onko olemassa mitaan yksiselitteistatapaa laajentaa rengasta R kunnaksi. Maaritelmien 1.7 ja 1.16 nojalla yksivaadittava ehto on, etta joukon R\ {0R} jokaiselle alkiolle a on olemassakaanteisalkio a−1, jolle patee aa−1 = a−1a = 1R.

Oletetaan seuraavaksi, etta rengas R sisaltaa vahintaan yhden nollanja-kajan. Valitaan naista nollanjakajista yksi ja merkitaan sita kirjaimella a.Rengas R on kommutatiivinen, joten Maaritelman 1.13 nojalla on olemas-sa alkio b ∈ R\ {0R}, jolle patee ab = ba = 0R. Jos alkiolla a on olemassakaanteisalkio, niin b = 1Rb = a−1ab = a−10R = 0R. Tama on ristiriita.

Nain ollen kaanteisalkion olemassa olo jokaiselle joukon R\ {0R} alkiolleestaa nollanjakajien esiintymisen renkaassa R. Se on itse asiassa riittava ehtokunnan maaritelman tayttymiselle. Talloin nimittain binaarisyys, assosiatii-visuus, neutraalialkio ja kommutatiivisuus toteutuvat automaattisesti parille(R\ {0R} , ·), koska binaarinen operaatio (·) ei voi tuottaa nolla-alkiota.

Nollanjakajia sisaltavan kommutatiivisen renkaan laajennus kunnaksi eiole mahdollista edes minkaan isomorfismin kautta, mika nahdaan kayttaenMaaritelman 1.11 kohtaa 2. Olkoot a ∈ R nollanjakaja ja b ∈ R\ {0R}sellainen, etta ab = ba = 0R. Oletetaan, etta on olemassa rengasisomor-fismi f renkaalta (R,+, ·) renkaalle (H,⊕,�), missa rengas (H,⊕,�) oneraan kunnan (K,⊕,�) alirengas. Talloin Lauseen 1.15 kohdan 2 nojalla0K = f(0R) = f(ab) = f(a)� f(b). Nyt on oltava f(a) = 0K tai f(b) = 0K ,koska kunta ei voi sisaltaa nollanjakajia. Siis f(0R) = f(a) tai f(0R) = f(b),mika on ristiriita, silla a 6= 0R, b 6= 0R ja kuvaus f on injektio. Siirrytaan siistarkastelemaan kokonaisalueita.

Taman luvun maaritelmat, lemmat ja lauseet on muodostettu paaosinlahteeseen [1] pohjautuen. Todistukset on tehty itsenaisesti kayttaen Luvun1 tuloksia.

Maaritelma 2.1. Olkoon D kokonaisalue. Asetetaan karteesinen tulo

C(D) = D×D \{0D} ={

(a, b) ∈ D2∣∣ b 6= 0D

}.

Joukko C(D) toimii pohjana myohemmin maariteltavalle joukolle, jo-ka varustettuna sopivilla laskuoperaatioilla pyritaan osoittamaan kunnaksi.Muodostetaan tata varten sopiva relaatio joukon C(D) alkioiden valille.

Maaritelma 2.2. Asetetaan joukon C(D) binaarinen relaatio

R(D) ={

(a, b), (c, d) ∈ C(D)∣∣ ad = bc

}.

7

Lemma 2.3. Binaarinen relaatio R(D) on ekvivalenssirelaatio.

Todistus. Kaytetaan Maaritelmaa 1.3.

1. Olkoon (a, b) ∈ C(D). Nyt ab = ba, joten (a, b)R(D)(a, b).

2. Olkoot (a, b), (c, d) ∈ C(D) ja (a, b)R(D)(c, d). Nyt ad = bc eli cb = da,joten (c, d)R(D)(a, b).

3. Olkoot (a, b), (c, d), (e, f) ∈ C(D) seka (a, b)R(D)(c, d) ja (c, d)R(D)(e, f). Siis ad = bc ja cf = de. Kayttaen Lauseen 1.15 kohtaa 3 jakokonaisalueen D kommutatiivisuutta saadaan

ad = bc⇔ ade = bce⇔ acf = bce⇔ afc = bec⇔ af = be.

Siis (a, b)R(D)(e, f).

Kohtien 1-3 nojalla R(D) on ekvivalenssirelaatio.

Esimerkki 2.4. Verrataan joukkoa C(Z) rationaalilukujen joukkoon Q. Ase-tetaan kuvaus f : C(Z) → Q, f(a, b) = a

b. Olkoon n ∈ Z\ {0, 1}. Nyt a

b=

nanb

. Kuitenkin (a, b) 6= (na, nb). Toisaalta anb = bna, joten (a, b)R(Z)(na, nb).

Maaritelma 2.5. Asetetaan joukon C(D) kaikkien alkioiden maaraamienekvivalenssiluokkien muodostama joukko ekvivalenssirelaation R(D) suhteen

Q(D) ={

[(a, b)]∣∣ (a, b) ∈ C(D)

}.

Liitetaan joukkoon Q(D) operaatio (⊕), jonka laskusaanto on

[(a, b)]⊕ [(c, d)] = [(ad + bc, bd)] kaikilla [(a, b)], [(c, d)] ∈ Q(D) .

Lisaksi liitetaan joukkoon Q(D) operaatio (�), jonka laskusaanto on

[(a, b)]� [(c, d)] = [(ac, bd)] kaikilla [(a, b)], [(c, d)] ∈ Q(D) .

Lemma 2.6. Joukko Q(D) varustettuna operaatioilla (⊕) ja (�) on hyvinmaaritelty.

Todistus. Joukko Q(D) on hyvin maaritelty, koska Lemman 2.3 nojalla jokai-selle joukon C(D) alkiolle voidaan maarata ekvivalenssiluokka. Todistetaan,etta joukko Q(D) varustettuna operaatiolla (⊕) on hyvin maaritelty. Sitavarten on osoitettava, etta seuraavat ehdot ovat voimassa:

1. Operoitaessa lahtojoukon Q(D) alkioita operaatiolla (⊕) maalijoukonon oltava sama kuin lahtojoukon eli [(a, b)] ⊕ [(c, d)] ∈ Q(D) kaikilla[(a, b)], [(c, d)] ∈ Q(D).

8

2. Jos [(a, b)], [(a′, b′)], [(c, d)], [(c′, d′)] ∈ Q(D) seka [(a, b)] = [(a′, b′)] ja[(c, d)] = [(c′, d′)], niin on oltava [(a, b)]⊕ [(c, d)] = [(a′, b′)]⊕ [(c′, d′)].

Kaydaan ehdot lapi.

1. Olkoot [(a, b)], [(c, d)] ∈ Q(D). Nyt ad + bc ∈ D, ja koska b, d ∈D \ {0D}, niin bd ∈ D \ {0D}. Nain ollen (ad+bc, bd) ∈ C(D). Edelleen[(ad + bc, bd)] ∈ Q(D), joten [(a, b)]⊕ [(c, d)] ∈ Q(D).

2. Olkoot [(a, b)], [(a′, b′)], [(c, d)], [(c′, d′)] ∈ Q(D) seka [(a, b)] = [(a′, b′)]ja [(c, d)] = [(c′, d′)]. Talloin (a′, b′)R(D)(a, b) ja (c′, d′)R(D)(c, d).Edelleen a′b = b′a ja c′d = d′c. Lauseen 1.15 kohdan 3 seka koko-naisalueen D kommutatiivisuuden avulla saadaan{

a′bd′d = b′ad′d

c′db′b = d′cb′b⇔

{a′d′bd = b′d′ad

b′c′bd = b′d′bc.

Kayttaen kokonaisalueen D operaatiota (+) operoidaan yhtaloparin en-simmaisen yhtalon vasenta puolta toisen yhtalon vasemmalla puolella,ja ensimmaisen yhtalon oikeaa puolta toisen yhtalon oikealla puolella.Talloin

a′d′bd + b′c′bd = b′d′ad + b′d′bc

⇔ (a′d′ + b′c′)bd = b′d′(ad + bc)

⇔ (a′d′ + b′c′, b′d′)R(D)(ad + bc, bd)

⇔ [(a′d′ + b′c′, b′d′)] = [(ad + bc, bd)]

⇔ [(a′, b′)]⊕ [(c′, d′)] = [(a, b)]⊕ [(c, d)].

Kohtien 1-2 nojalla joukko Q(D) varustettuna operaatiolla (⊕) on hyvinmaaritelty. Osoitetaan operaatio (�) hyvin maaritellyksi vastaavasti eli kay-malla kohdat 1 ja 2 lapi operaation (�) suhteen.

1. Olkoot [(a, b)], [(c, d)] ∈ Q(D). Nyt ac ∈ D, ja koska b, d ∈ D \ {0D},niin bd ∈ D \ {0D}. Siis [(a, b)]� [(c, d)] = [(ac, bd)] ∈ Q(D).

2. Olkoot [(a, b)], [(a′, b′)], [(c, d)], [(c′, d′)] ∈ Q(D) seka [(a, b)] = [(a′, b′)]ja [(c, d)] = [(c′, d′)]. On siis voimassa ab′ = ba′ ja cd′ = dc′. Kayttaenoperaatiota (�) operoidaan yhtalon ab′ = ba′ vasenta puolta alkiolla

9

cd′ ja oikeaa puolta alkiolla dc′. Saadaan

ab′cd′ = ba′dc′

⇔ a′bc′d = b′ad′c

⇔ a′c′bd = b′d′ac

⇔ (a′c′, b′d′)R(D)(ac, bd)

⇔ [(a′c′, b′d′)] = [(ac, bd)]

⇔ [(a′, b′)]� [(c′, d′)] = [(a, b)]� [(c, d)].

Kohtien 1-2 nojalla joukko Q(D) varustettuna operaatiolla (�) on hyvinmaaritelty.

Esimerkki 2.7. Verrataan joukkoa Q(Z) varustettuna laskuoperaatioilla(⊕) ja (�) joukkoon Q varustettuna luonnollisilla laskuoperaatioilla (+) ja(·). Asetetaan kuvaus f : Q(Z)→ Q, f([(a, b)]) = a

b. Nyt

1.

f([(a, b)]⊕ [(c, d)]) = f([(ad + bc, bd)]) =ad + bc

bd=

ad

bd+

bc

bd=

a

b+

c

d= f([(a, b)]) + f([(c, d)])

kaikilla a, c ∈ Z, b, d ∈ Z\ {0}.

2.

f([(a, b)]� [(c, d)]) = f([(ac, bd)]) =ac

bd=

a

b· cd

= f([(a, b)]) · f([(c, d)])

kaikilla a, c ∈ Z, b, d ∈ Z\ {0}.

3.

f [(a, a)] =a

a=

1

1

kaikilla a ∈ Z\ {0}.

Osoitetaan, etta kuvaus f on bijektio.

4. Olkoot [(a, b)], [(c, d)] ∈ Q(Z). Talloin

f([(a, b)]) = f([(c, d)])⇔ a

b=

c

d⇔ ad = bc⇔ [(a, b)] = [(c, d)].

Siis kuvaus f on injektio. Toisaalta kuvaus f on myos hyvin maaritelty.

10

5. Olkoon ab∈ Q. Talloin a ∈ Z, b ∈ Z\ {0}. Nyt

f([(a, b)]) =a

b.

Siis kuvaus f on surjektio.

Lause 2.8. Kolmikko (Q(D),⊕,�) on kunta.

Todistus. Kayttaen Maaritelmia 1.7 ja 1.8 osoitetaan aluksi, etta kolmikko(Q(D),⊕,�) on kommutatiivinen rengas. Tata varten osoitetaan toteutu-viksi seuraavat ehdot:

1. Pari (Q(D),⊕) on Abelin ryhma.

2. Pari (Q(D),�) toteuttaa Maaritelman 1.5 kohdat 1-3 (monoidi) ja 5(kommutatiivisuus).

3. Maaritelman 1.7 mukaiset osittelulait ovat voimassa kolmikolle(Q(D),⊕,�).

Kaydaan ehdot lapi:

1. (a) Olkoot [(a, b)], [(c, d)] ∈ Q(D). Nyt [(a, b)]⊕ [(c, d)] ∈ Q(D) Lem-man 2.6 nojalla.

(b) Olkoot [(a, b)], [(c, d)], [(e, f)] ∈ Q(D). Nyt

([(a, b)]⊕ [(c, d)])⊕ [(e, f)] = [(ad + bc, bd)]⊕ [(e, f)]

= [((ad + bc)f + bde, bdf)] = [(adf + bcf + bde, bdf)]

= [(adf + b(cf + de), bdf)] = [(a, b)]⊕ [(cf + de, df)]

= [(a, b)]⊕ ([(c, d)]⊕ [(e, f)]).

(c) Olkoot [(a, b)] ∈ Q(D) ja c ∈ D \{0D}. Nyt [(0D, c)] ∈ Q(D) ja

[(a, b)]⊕ [(0D, c)] = [(ac + b0D, bc)] = [(ac, bc)].

Edelleen

abc = abc⇔ abc = bac⇔ [(a, b)] = [(ac, bc)] = [(a, b)]⊕ [(0D, c)].

Vastaavasti

[(0D, c)]⊕ [(a, b)] = [(0Db + ca, cb)] = [(ca, cb)] = [(ac, bc)] = [(a, b)].

Siis alkio [(0D, c)] on nolla-alkio.

11

(d) Olkoon [(a, b)] ∈ Q(D). Nyt [(−a, b)] ∈ Q(D) ja

[(a, b)]⊕ [(−a, b)] = [(ab + b(−a), bb)] = [(ba + b(−a), bb)]

= [(b(a + (−a)), bb)] = [(b0D, bb)] = [(0D, bb)]

= 0Q(D).

Vastaavasti

[(−a, b)]⊕ [(a, b)] = [(−ab + ba, bb)] = [(b(−a) + ba, bb)]

= [(b(−a + a), bb)] = [(b0D, bb)] = [(0D, bb)]

= 0Q(D).

Siis alkio [(−a, b)] on alkion [(a, b)] vasta-alkio.

(e) Olkoot [(a, b)], [(c, d)] ∈ Q(D). Talloin

[(a, b)]⊕ [(c, d)] = [(ad + bc, bd)] = [(cb + da, db)] = [(c, d)]⊕ [(a, b)].

Kohtien (a)-(e) nojalla (Q(D),⊕) on Abelin ryhma.

2. (a) Olkoot [(a, b)], [(c, d)] ∈ Q(D). Talloin [(a, b)] � [(c, d)] ∈ Q(D)Lemman 2.6 nojalla.

(b) Olkoot [(a, b)], [(c, d)], [(e, f)] ∈ Q(D). Talloin

[(a, b)]� ([(c, d)]� [(e, f)]) = [(a, b)]� [(ce, df)] = [(ace, bdf)]

= [(ac, bd)]� [(e, f)] = ([(a, b)]� [(c, d)])� [(e, f)].

(c) Olkoot [(a, b)] ∈ Q(D) ja c ∈ D \{0D}. Nyt [(c, c)] ∈ Q(D) \{0Q(D)}ja

[(a, b)]� [(c, c)] = [(ac, bc)] = [(a, b)]

kohdan 1.(c) nojalla. Toisaalta [(ac, bc)] = [(ca, cb)], joten [(a, b)]�[(c, c)] = [(c, c)]� [(a, b)]. Siis [(c, c)] on ykkosalkio.

(d) Olkoot [(a, b)], [(c, d)] ∈ Q(D). Nyt

[(a, b)]� [(c, d)] = [(ac, bd)] = [(ca, db)] = [(c, d)]� [(a, b)].

Kohtien (a)-(c) nojalla pari (Q(D),�) on monoidi ja kohdan (d) nojallakommutatiivinen.

3. Osoitetaan, etta osittelulait ovat voimassa.

12

(a) Olkoot [(a, b)], [(c, d)], [(e, f)] ∈ Q(D). Nyt

[(a, b)]� ([(c, d)]⊕ [(e, f)]) = [(a, b)]� [(cf + de, df)]

= [(a(cf + de), bdf)] = [(acf + ade, bdf)]

= 1Q(D) � [(acf + ade, bdf)] = [(b, b)]� [(acf + ade, bdf)]

= [(b(acf + ade), bbdf)] = [(bacf + bade, bbdf)]

= [(acbf + bdae, bdbf)] = [(ac, bd)]⊕ [(ae, bf)]

= ([(a, b)]� [(c, d)])⊕ ([(a, b)]� [(e, f)]).

(b) Olkoot [(a, b)], [(c, d)], [(e, f)] ∈ Q(D). Nyt

([(a, b)]⊕ [(c, d)])� [(e, f)] = [(ad + bc, bd)]� [(e, f)]

= [((ad + bc)e, bdf)] = [(ade + bce, bdf)]

= 1Q(D) � [(ade + bce, bdf)] = [(f, f)]� [(ade + bce, bdf)]

= [(f(ade + bce), fbdf)] = [(fade + fbce, fbdf)]

= [(aedf + bfce, bfdf)] = [(ae, bf)]⊕ [(ce, df)]

= ([(a, b)]� [(e, f)])⊕ ([(c, d)]� [(e, f)]).

Kohtien (a)-(b) nojalla osittelulait ovat voimassa.

Kohtien 1-3 nojalla kolmikko (Q(D),⊕,�) on kommutatiivinen rengas. Lu-vun alussa havaittiin, etta kommutatiivinen rengas R on kunta, mikali jokai-selle joukon R\ {0R} alkiolle loytyy kaanteisalkio samasta joukosta. Kolmi-kon (Q(D),⊕,�) ollessa kommutatiivinen rengas kunnan maaritelma tayt-tyy, jos pari (Q(D) \

{0Q(D)

},�) toteuttaa Maaritelman 1.5 kohdan 4 (kaan-

teisalkio). Olkoon [(a, b)] ∈ Q(D) \{0Q(D)}. Nyt [(b, a)] ∈ Q(D) \{0Q(D)} ja

[(a, b)]� [(b, a)] = [(ab, ba)] = [(ab, ab)]

= 1Q(D)

= [(ba, ba)] = [(ba, ab)] = [(b, a)]� [(a, b)].

Siis [(b, a)] on alkion [(a, b)] kaanteisalkio. Nain ollen kommutatiivinen rengas(Q(D),⊕,�) on kunta.

Maaritelma 2.9. Kuntaa Q(D) tai sen kanssa isomorfista kuntaa kutsutaankokonaisalueen D osamaarakunnaksi tai lyhyesti osamaarakunnaksi.

Esimerkki 2.10. Kunta Q on kokonaisalueen Z osamaarakunta. Tama seu-raa siita, etta Esimerkin 2.7 ja Maaritelmien 1.11, 1.12 ja 1.19 nojalla onolemassa isomorfismi f : Q(Z)→ Q.

13

Tahan mennessa on osoitettu, etta jokaisesta kokonaisalueesta saadaanjohdettua kunta. Jotta osamaarakunnan maaritelma olisi mielekas, on vielatodistettava, etta osamaarakunnasta loytyy vastine jokaiselle kokonaisalueenalkiolle.

Lause 2.11. Olkoon Q(D) kokonaisalueen D osamaarakunta. Talloin on ole-massa sellainen osamaarakunnan Q(D) osajoukko H, etta D ∼= H. ErityisestiH =

{[(a, 1D)]

∣∣ a ∈ D}

on tallainen joukko.

Todistus. Valitaan H ={

[(a, 1D)]∣∣ a ∈ D

}. Osoitetaan ensin, etta joukko

H on renkaan Q(D) alirengas kayttaen Lausetta 1.10. Taman jalkeen osoi-tetaan kayttaen Maaritelmia 1.11, 1.12 ja 1.19, etta D ∼= H.

1. Nyt ∅ 6= H ⊆ Q(D). Osoitetaan, etta kolmikko (H,⊕,�) on renkaanQ(D) alirengas.

(a) Olkoot [(a, 1D)], [(b, 1D)] ∈ H. Alkion [(b, 1D)] vasta-alkio on[(−b, 1D)]. Nyt

[(a, 1D)]⊕ [(−b, 1D)] = [(a1D + 1D(−b), 1D1D)]

= [(a + (−b), 1D)] ∈ H.

(b) Olkoot [(a, 1D)], [(b, 1D)] ∈ H. Nyt

[(a, 1D)]� [(b, 1D)] = [(ab, 1D1D)] = [(ab, 1D)] ∈ H.

(c) Nyt 1Q(D) = [(a, a)] = [(1D, 1D)] ∈ H kaikilla a ∈ D Lauseen 2.8todistuksen kohdan 1.(c) nojalla.

Kohtien (a)-(c) nojalla kolmikko (H,⊕,�) on renkaan (Q(D),⊕,�)alirengas.

2. Asetetaan kuvaus

f : (D,+, ·)→ (H,⊕,�) , f(a) = [(a, 1D)].

Osoitetaan, etta kuvaus f on rengasisomorfismi.

(a) Osoitetaan, etta kuvaus f on rengashomomorfismi.

i. Olkoot a, b ∈ D. Nyt

f(a + b) = [(a + b, 1D)]

= [(a1D + 1Db, 1D1D)]

= [(a, 1D)]⊕ [(b, 1D)]

= f(a)⊕ f(b).

14

ii. Olkoot a, b ∈ D. Nyt

f(ab) = [(ab, 1D)]

= [(ab, 1D1D)]

= [(a, 1D)]� [(b, 1D)]

= f(a)� f(b).

iii. Nyt

f(1D) = [(1D, 1D)]

= 1Q(D).

Kohtien i-iii nojalla kuvaus f on rengashomomorfismi.

(b) Osoitetaan, etta kuvaus f on bijektio.

i. Olkoon a, b ∈ D. Nyt

f(a) = f(b)⇔ [(a, 1D)] = [(b, 1D)]⇔ a1D = 1Db⇔ a = b.

Siis kuvaus f on injektio ja myos hyvin maaritelty.

ii. Olkoon [(a, 1D)] ∈ H. Talloin a ∈ D ja

f(a) = [(a, 1D)].

Nain ollen kuvaus f on surjektio.

Kohtien i-ii nojalla kuvaus f on bijektio.

Kohtien (a)-(b) nojalla kuvaus f on rengasisomorfismi.

Kohtien 1-2 nojalla D ∼= H.

15

3 Osamaarakunnan isomorfismit

Tarkastellaan kokonaisalueen D osamaarakunnan Q(D) suhdetta kuntaanK, jolla on kokonaisalueen D kanssa isomorfinen osajoukko. Taman osajou-kon tulee olla myos kokonaisalue. Esitetaan aluksi erikoistapaus, jossa kuntaK on osamaarakunta. Laajennetaan lopuksi tulos koskemaan mita tahansakuntaa, joka tayttaa ehdon. Seuraavan lemman, lauseen ja seurauksen muo-dostamisen apuna on kaytetty lahdetta [1]. Todistukset on tehty itsenaisesti.

Lemma 3.1. Olkoot D ja H kokonaisalueita. Jos D ∼= H, niin Q(D) ∼=Q(H).

Todistus. Olkoot D ja H sellaisia kokonaisalueita, etta D ∼= H. Todistetaanvaite kayttaen Maaritelmia 1.11, 1.12 ja 1.19. Koska kokonaisalueet D ja Hovat isomorfiset, niin on olemassa isomorfismi

g : D → H, g(a) = ag

ja kuvaus

f : Q(D)→ Q(H), f([(a, b)]) = [(ag, bg)],

missa kokonaisalueen D alkiot a ja b kuvautuvat alkioiksi ag ja bg kuvauk-sen g mukaisesti. Lauseen 1.15 kohdasta 2 ja isomorfismin g injektiivisyy-desta seuraa, etta g(a) 6= 0H , kun a 6= 0D. Kuvaus f tuottaa siis aina jou-kon Q(H) alkion. Osoitetaan, etta kuvaus f on hyvin maaritelty. Olkoot[(a, b)], [(c, d)] ∈ Q(D). Kayttaen Maaritelman 1.11 kohtaa 2 ja kuvauksen gbijektiivisyytta saadaan

[(a, b)] = [(c, d)]⇔ ad = bc⇔ (ad)g = (bc)g ⇔ agdg = bgcg

⇔ [(ag, bg)] = [(cg, dg)]⇔ f([(a, b)]) = f([(c, d)]).

Osoitetaan etta kuvaus f on isomorfismi.

1. Osoitetaan, etta kuvaus f on homomorfismi.

(a) Olkoot [(a, b)], [(c, d)] ∈ Q(D). Talloin

f([(a, b)]⊕ [(c, d)]) = f([(ad + bc, bd)])

= [((ad + bc)g, (bd)g)]

= [(agdg + bgcg, bgdg)]

= [(ag, bg)]⊕ [(cg, dg)]

= f([(a, b)])⊕ f([(c, d)]).

16

(b) Olkoot [(a, b)], [(c, d)] ∈ Q(D). Talloin

f([(a, b)]� [(c, d)]) = f([(ac, bd)])

= [((ac)g, (bd)g)]

= [(agcg, bgdg)]

= [(ag, bg)]� [(cg, dg)]

= f([(a, b)])� f([(c, d)]).

(c) Nyt

f(1Q(D)) = f([(a, a)]) = [(ag, ag)] = 1Q(H)

kaikilla a ∈ D.

Kohtien (a)-(c) nojalla kuvaus f on homomorfismi.

2. Osoitetaan, etta kuvaus f on bijektio.

(a) Todistuksen alussa osoitettiin, etta kuvaus f on hyvin maaritelty.Samalla tultiin osoittaneeksi, etta kuvaus f on injektio.

(b) Koska kuvaus g on isomorfismi, niin jokainen kokonaisalueen Halkio on muotoa ag kuvauksen g mukaisesti. Nain ollen jokainenosamaarakunnan Q(H) alkio on muotoa [(ag, bg)]. Lisaksi b 6= 0D,kun bg 6= 0H , joten [(a, b)] ∈ Q(D) ja

f([(a, b)]) = [(ag, bg)],

kun [(ag, bg)] ∈ Q(H). Siis kuvaus f on surjektio.

Kohtien (a)-(b) nojalla kuvaus f on bijektio.

Kohtien 1-2 nojalla kuvaus f on isomorfismi.

Lause 3.2. Olkoot D kokonaisalue, Q(D) kokonaisalueen D osamaarakuntaja K kunta. Olkoon H sellainen kunnan K alirengas, etta H on kokonaisalue.Jos D ∼= H, niin on olemassa sellainen kunnan K alikunta L, etta Q(D) ∼= L.

Todistus. Olkoot D, Q(D), K ja H lauseen oletuksen mukaiset. Olkoon D ∼=H. Asetetaan kokonaisalueen H osamaarakunta Q(H). Lemman 3.1 nojallaQ(D) ∼= Q(H). Riittaa siis osoittaa, etta on olemassa sellainen kunnan Kalikunta L, etta Q(H) ∼= L. Asetetaan

L ={ab−1

∣∣ a, b ∈ H, b 6= 0K

}⊆ K.

Osoitetaan, etta L on kunnan K alikunta Lauseen 1.18 avulla.

17

1. Koska H on kunnan K alirengas, niin 0K , 1K ∈ H. Renkaan ykkosalkionyksikasitteisyyden nojalla 0K 6= 1K . Nyt 1K = 1K1K = 1K1−1K ∈ L ja0K = 0K1K = 0K1−1K ∈ L eli joukossa L on vahintaan kaksi alkiota.

2. Olkoot ab−1, cd−1 ∈ L, jolloin a, c,∈ H ja b, d ∈ H\ {0K}. KayttaenLauseen 1.15 kohtia 3 ja 5, Lauseen 1.6 kohtaa 1 ja kunnan K kommu-tatiivisuutta saadaan

ab−1 + (−(cd−1)) = ab−1 + (−c)d−1 = a1Kb−1 + (−c)d−11K

= add−1b−1 + (−c)d−1bb−1 = (add−1 + (−c)d−1b)b−1

= (add−1 + (−c)bd−1)b−1 = (ad + (−c)b)d−1b−1

= (ad + (−c)b)(bd)−1 ∈ L.

3. Olkoot ab−1, cd−1 ∈ L ja cd−1 6= 0K . Talloin a ∈ H ja b, c, d ∈ H\ {0K}.Kayttaen Lauseen 1.6 kohtaa 2 saadaan

(ab−1)(cd−1)−1 = ab−1(d−1)−1c−1 = ab−1dc−1 = adb−1c−1

= (ad)(cb)−1 ∈ L.

Kohtien 1-3 nojalla L on kunnan K alikunta. Asetetaan seuraavaksi kuvaus

f : Q(H)→ L, f([(a, b)]) = ab−1

ja osoitetaan, etta se on isomorfismi. Perustellaan aluksi, etta kuvaus f onhyvin maaritelty. Olkoot [(a, b)], [(c, d)] ∈ Q(H). Nyt

[(a, b)] = [(c, d)]⇔ ad = bc⇔ ad(b−1d−1) = bc(b−1d−1)⇔ ab−1 = cd−1

⇔ f([(a, b)]) = f([(c, d)]).

Osoitetaan, etta kuvaus f on isomorfismi.

4. Osoitetaan, etta kuvaus f on homomorfismi.

(a) Olkoot [(a, b)], [(c, d)] ∈ Q(H). Nyt

f([(a, b)]⊕ [(c, d)]) = f([(ad + bc, bd)])

= (ad + bc)(bd)−1

= (ad + bc)(d−1b−1)

= add−1b−1 + bcd−1b−1

= ab−1 + cd−1

= f([(a, b)]) + f([(c, d)]).

18

(b) Olkoot [(a, b)], [(c, d)] ∈ Q(H). Nyt

f([(a, b)]� [(c, d)]) = f([(ac, bd)])

= ac(bd)−1

= acd−1b−1

= (ab−1)(cd−1)

= f([(a, b)])f([(c, d)]).

(c) Nyt

f(1Q(H)) = f([(a, a)])

= aa−1

= 1K = 1L

kaikilla a ∈ H.

5. Osoitetaan, etta kuvaus f on bijektio.

(a) Todistuksen alun kohdan, jossa osoitettiin kuvaus f hyvin maari-tellyksi, nojalla kuvaus f on injektio.

(b) Olkoon ab−1 ∈ L. Talloin a ∈ H ja b ∈ H\ {0K}, joten [(a, b)] ∈Q(H) ja

f([(a, b)]) = ab−1.

Nain ollen kuvaus f on surjektio.

Kohtien (a)-(b) nojalla kuvaus f on bijektio.

Kohtien 4-5 nojalla kuvaus f on isomorfismi. Siis Q(H) ∼= L. Koska Q(D) ∼=Q(H), niin Q(D) ∼= L.

Seuraus 3.3. Kokonaisalueen D osamaarakunta Q(D) on suppein kunta,jolla on kokonaisalueen D kanssa isomorfinen osajoukko.

Todistus. Seuraa suoraan Lauseesta 3.2.

19

Lahdeluettelo

[1] John B. Fraleigh. A First Course in Abstract Algebra. Sixth Edition.Addison-Wesley. s. 277-283.

[2] Markku Niemenmaa, Kari Myllyla, Juha-Matti Tirila, Antti Torvikoski,Topi Torma. 802354A Lukuteoria ja ryhmat. Luentorunko. Kevat 2015.s. 3, 19-38.

[3] Markku Niemenmaa, Kari Myllyla, Juha-Matti Tirila, Antti Torvikoski,Topi Torma. 802355A Renkaat, kunnat ja polynomit. Luentorunko. Syksy2014.

20