Optimización - Análisis de Sensibilidad y Transporte (PEP 2)

8/13/2019 Optimizacin - Anlisis de Sensibilidad y Transporte (PEP 2)

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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILEDEPARTAMENTO DE INGENIERA EN MINASAYUDANTA DE OPTIMIZACIN

PUNTES DEOPTIMIZ CINTeoraParte 2

Autor:Felipe Quezada Castaeda


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Universidad de Santiago de ChileDepartamento de Ingeniera en Minas

Ayudanta de Optimizacin

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nlisis de SensibilidadEl anlisis de sensibilidad investiga el cambio de la solucin ptima que resulta de hacer

cambios en los parmetros del modelo de programacin lineal. La tabla siguiente contiene

todos los casos posibles que pueden surgir en el anlisis de sensibilidad, as como las

acciones necesarias para obtener la nueva solucin (suponiendo que sta exista):

CONDICI N RESULTANTE DE LOSCAMBIOS

ACCIN RECOMENDADA

La solucin actual queda ptima y

factible No es necesaria accin alguna

La solucin actual se vuelve no

factible

Usar el algoritmo smplex dual para

recuperar la factibilidad

La solucin actual se vuelve no

ptima

Usar el algoritmo smplex estndar para

recuperar la optimalidad

Tabla 7:Casos posibles y acciones recomendadas para los cambios que se van dando al

realizar un anlisis de sensibilidad

Con el siguiente ejemplo, vamos a comentar como resolver todos los cambios que se

pueden realizar en un anlisis de sensibilidad.

Ejemplo: La empresa constructora ASIOMAT Ltda. presta servicios de fortificacin a

empresas mineras, por lo que provee cuatro tipos de fortificacin para las obras tratadas.

El proceso de fortificacin comprende 3 etapas: preparacin, instalacin e inspeccin

tcnica. ASIOMAT se encuentra preparando una nueva propuesta para la cual se han

estimado un mximo de 9000 horas de preparacin, 10000 horas en instalacin y 3400

horas-hombre (HH) para la inspeccin tcnica de calidad.

La empresa espera maximizar sus utilidades dentro de este perodo, y para ello ha

resuelto emplear un modelo de programacin lineal, donde representa la cantidad deservicios de fortificacin del tipo , dado por:

El resultado ptimo, obtenido mediante el algoritmo smplex, se muestra en el siguiente

tableau ptimo:


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3

V.B. x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3 b

s1 0 -12/5 0 8 1 -4/10 6/10 7040

x3 0 2/5 1 1/2 0 1/20 -1/10 160

x1 1 2/5 0 3 0 -1/10 4/10 360

-z 0 280 0 100 0 30 180 -912000

Al respecto, se citan dos cambios significativos:

1. Cambios que afectan la factibilidad2. Cambios que afectan la optimalidad

CAMBIOS QUE AFECTAN LA FACTIBILIDAD.

La factibilidad de la solucin ptima de un problema de programacin lineal slo puede

variar si:

1. Cambia el lado derecho (trmino dependiente) de las restricciones2. Se agrega al modelo una restriccin nueva

En ambos casos se tiene no factibilidad cuando al menos un elemento de la columna b de

la tabla ptima se hace negativo; esto es, uno o ms de las variables bsicas se vuelve

negativa.

CAMBIOS EN EL LADO DERECHO DE LAS RESTRICCIONES: Estos cambiosrequieren volver a calcular el lado derecho del tableau (la columna b), usando la frmula

definida en el mtodo smplex revisado:

Ejemplo: Cul es la nueva solucin y el valor de la funcin objetivo en el modelo de

ASIOMAT, si las horas de instalacin aumentan a 12000 horas?

Solucin: Lo primero es reconocer la matriz inversa del problema en la tabla ptima,

llamada inversa ptimadel PPL. Como bien sabemos, la matriz inversa de un PPL, paracualquier iteracin, es aquella cuyos elementos son los coeficientes de restriccin de las

holguras del problema. Por lo tanto, para el caso de ASIOMAT, se tiene lo siguiente:

La matriz de recursos original del problema es:


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4

Donde la el primer elemento corresponde al lmite mximo del recurso preparacin (en

horas), el segundo elemento corresponde al lmite mximo del recurso instalacin (en

horas), y el tercer elemento corresponde al lmite mximo del recurso horas de inspeccin

(en HH). Como ASIOMAT ha decidido que el mximo de horas de instalacin aumenten a

12000 horas, la nueva matriz de recursos asociada al problema es:

Por lo tanto, utilizando la frmula del mtodo smplex revisado, la nueva solucin ptima

est dada por:

En consecuencia, concluimos que el aumento de las horas de instalacin a 12000 horas

no genera la prdida de la factibilidad de la actual solucin ptima, porque los valores de

las variables bsicas continan siendo positivos. El nuevo valor de la funcin objetivo se

calcula remplazando estos valores, con lo cual se obtiene unidadesmonetarias.

Si el cambio en el lmite del respectivo recurso conduce a la obtencin de una matriz con al menos uno de sus elementos negativos, entonces el problema se vuelve nofactible, y debe aplicarse el algoritmo smplex dual a fin de recuperar la factibilidad delproblema.

Ejemplo: Por motivos econmicos, ASIOMAT se ha visto en la necesidad de cortar el

suministro de algunos recursos para sus servicios de fortificacin. El gerente de

operaciones ha estipulado que las horas de preparacin pueden bajarse a 1500, a fin de

mantener una utilidad mxima estable Qu opina usted de esta decisin? Le convendr

a la empresa?

Solucin: En este caso, la nueva matriz inicial de recursos es la siguiente:

Utilizando la frmula para obtener la solucin ptima del problema bajo lacondicin anterior, se obtiene:


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5

La variable bsica

tiene valor negativo en la matriz

, por lo que el problema se ha

vuelto no factible. Para recuperar la factibilidad, se debe utilizar el algoritmo smplex dual.Para aplicarlo, se debe obtener una fila de coeficientes objetivo consistente con este

mtodo (en la cual haya al menos un coeficiente reducido negativo). Como el algoritmo

smplex dual est hecho para problemas de maximizacin, esto se logra multiplicando la

fila objetivo por -1, porque as se cumple la condicin . Reemplazandoentonces los nuevos valores de en la tabla ptima entregada, y multiplicando la filaobjetivo por -1, se obtiene:

V.B. x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3 b

s1 0 -12/5 0 8 1 -4/10 6/10 -960

x3 0 2/5 1 1/2 0 1/20 -1/10 160

x1 1 2/5 0 3 0 -1/10 4/10 360z 0 -280 0 -100 0 -30 -180 912000

A esta tabla debe aplicrsele el mtodo smplex dual. Se le deja al lector comprobar que

la solucin ptima, obtenida en la siguiente iteracin, es .El valor objetivo ptimo es unidades monetarias. Por lo tanto,concluimos que la opinin del gerente es errnea, porque la utilidad mxima disminuye

con el corte del recurso de preparacin a 1000 horas.

INTERVALO DE FACTIBILIDAD DE LOS LIMITANTES DE LAS RESTRICCIONES:Otraforma de examinar el efecto de cambiar la disponibilidad de los recursos (la matrizcolumna , es determinar el intervalo para el cual la solucin actual (o del momento)permanece factible. Un intervalo de factibilidad permite que la base permanezca

inalterable. No obstante, los valores de las variables bsicas pueden cambiar.

Ejemplo: En el modelo de ASIOMAT Dentro de qu rango podra variar la cantidad de

horas de instalacin sin que cambie la base ptima?

Solucin: Se deben determinar todos los valores que puede tomar la limitante del recurso

horas de preparacin. Para ello, pueden utilizarse dos mtodos bastante sencillos:

Mtodo 1:Sea el cambio (positivo o negativo) en el recurso k. Se definen la cotasuperior y la cota inferior del cambio en la disponibilidad de un recursocualquiera como:


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Donde es un elemento de la matriz en la tabla ptima (que, haciendo caso a lanotacin, corresponde a la

-sima iteracin, y

es el coeficiente de la holgura

asociada al recurso respectivo en la misma fila que , en la correspondiente iteracin. Mtodo 2:Se debe evaluar el cambio (positivo o negativo) en la matriz de recursos

ptima en la iteracin k, , resultante de la frmula del mtodo smplex revisado:

Vamos a resolver el ejemplo utilizando ambos mtodos.

Resolucin mediante el Mtodo 1:Se debe utilizar la tabla ptima del PPL:

V.B. x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3 b

s1 0 -12/5 0 8 1 -4/10 6/10 7040

x3 0 2/5 1 1/2 0 1/20 -1/10 160

x1 1 2/5 0 3 0 -1/10 4/10 360

-z 0 280 0 100 0 30 180 -912000

Lo primero es verificar cul es la holgura asociada al recurso respectivo. Como hablamos

de las horas de instalacin, nos referimos a la segunda restriccin, y por tanto, la holgura

asociada a este recurso es . Calculamos entonces las cotas del cambio del recursohoras de instalacin como:Cota superior:

De la tabla ptima:

*+ Cota inferior:


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8

(

)

(

)

Por la condicin de factibilidad, sabemos que ninguno de los componentes de la matriz debe ser negativo. Por lo tanto, se establece lo siguiente:

Las desigualdades anteriores implican que . Por lo tanto, sumandoestas cantidades a la disponibilidad original del recurso horas de instalacin, que

originalmente es de 10000, se tiene que:

Este resultado, naturalmente, es equivalente al obtenido mediante el Mtodo 1.

ADICIN DE NUEVAS RESTRICCIONES: la adicin de una nueva restriccin a unmodelo existente puede llevar a uno de los dos casos siguientes:

La nueva restriccin es redundante, lo que quiere decir que se satisface con la

solucin ptima actual y, por consiguiente, se puede eliminar por completo del modelo.

La solucin ptima actual viola la nueva restriccin. En este caso, se puede utilizar el

mtodo smplex dual para recuperar la factibilidad de la nueva solucin ptima.

Ejemplo: Debido al avance de la tecnologa en sistemas de fortificacin, ASIOMAT ha

pensado en destinar algunos recursos y horas-hombre (HH) para el estudio e

investigacin de nuevos mtodos de aplicacin de este servicio. Cada tipo de fortificacin

consumir 3, 4, 1 y 2 unidades de recurso, respectivamente, con un lmite de 2000 HH

para el estudio e investigacin de la aplicacin de las nuevas tecnologas al servicio que

presta ASIOMAT Qu opina usted al respecto? Le conviene esta decisin a la

empresa?


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Solucin: Del enunciado, es claro que este nuevo uso de recursos limita el modelo

mediante una nueva restriccin. Lo anterior permite formular dicha restriccin en base al

uso de los recursos y su lmite de uso como:

La solucin ptima actual del modelo de ASIOMAT, antes de la implementacin de esta

nueva restriccin, es , , , . Reemplazando estos valores enla nueva restriccin, se obtiene:

Concluimos entonces que la solucin ptima actual cumple con la nueva restriccin, por lo

que es posible implementar las HH de estudio e investigacin sin perturbar, de ninguna

forma, el modelo actual de ASIOMAT.

CAMBIOS QUE AFECTAN LA OPTIMALIDAD.

Ahora estudiaremos dos situaciones particulares que podran afectar la optimalidad de la

solucin actual:

1. Cambios en los coeficientes objetivo originales2. Adicin de una nueva variable al modelo

En ambos casos, el punto esquina asociado a la solucin ptima cambia.

INTERVALO DE OPTIMALIDAD EN LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIN OBJETIVO:Esos cambios slo afectan la optimalidad de la solucin. Por lo tanto, requieren recalcular

los coeficientes de la fila z, con dos procedimientos distintos, que difieren dependiendo

de la naturaleza de la variable asociada al cambio en el respectivo coeficiente objetivo. En

ambos casos, lo que se requiere es determinar el intervalo de cambio para estos

coeficientes, de tal modo que la solucin ptima permanezca con su base inalterada.

a) Para coeficientes asociados a variables no bsicas:Si el coeficiente asociado auna variable no bsica cambia, el procedimiento para calcular el intervalo de

optimalidad se resume con la siguiente desigualdad:

En la expresin anterior, es el coeficiente original de la variable no bsica y esel coeficiente reducido de (el que se obtiene al llegar al ptimo).


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Ejemplo: En el modelo de ASIOMAT Cunto podra disminuir la utilidad del servicio 2

sin que cambie la base ptima?

Solucin: Para efectos prcticos, recordaremos que la tabla ptima del modelo de

ASIOMAT es la siguiente:

V.B. x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3 b

s1 0 -12/5 0 8 1 -4/10 6/10 7040

x3 0 2/5 1 1/2 0 1/20 -1/10 160

x1 1 2/5 0 3 0 -1/10 4/10 360

-z 0 280 0 100 0 30 180 -912000

El servicio 2 se corresponde con la variable no bsica . El coeficiente reducido de en la filaz de esta tabla es .

Adems, la tabla de inicio del modelo de ASIOMAT es:

V.B. x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3 b

s1 1 2 10 15 1 0 0 9000

s2 10 20 40 50 0 1 0 10000

s3 5 6 10 20 0 0 1 3400

-z -1200 -1400 -3000 -5000 0 0 0 0

Por lo tanto, el coeficiente original asociado a la variable no bsica es .Aplicando entonces la frmula anteriormente descrita, se tiene que:

La expresin anterior indica que el cambio que admite el coeficiente de la variable no

bsica para no alterar la base ptima corresponde al intervalo abierto .Sin embargo, debe observarse que el modelo de ASIOMAT corresponde a unproblema de maximizacin. El mtodo que se ha presentado para resolver unproblema de anlisis de sensibilidad en este texto, al igual que el algoritmo smplex,

est diseado para problemas de minimizacin, por lo que la solucin anteriorcorresponde al caso de minimizacin,

. Para obtener la solucin

correspondiente al caso de maximizacin, debe invertirse el intervalo de optimalidadobtenido, multiplicndolo por -1. Por lo tanto, se tiene:

Multiplicando por -1:


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Por lo tanto, concluimos que el intervalo de optimalidad para el coeficiente corresponde al intervalo abierto . Este intervalo nos indica que elcoeficiente puede variar entre valores infinitamente pequeos, hasta un valor de1680, de tal forma que este cambio no altere la base ptima correspondiente a la

solucin del modelo de ASIOMAT.

b) Para coeficientes asociados a variables no bsicas:Cuando se desea analizar elcambio en los coeficientes que se corresponden con las variables bsicas de un

modelo, dicho anlisis debe realizarse de una forma algo distinta. Sea el cambio(positivo o negativo) en el coeficiente asociado a la variable bsica . Se definen lacota superior y la cota inferior del cambio en el coeficiente de dichavariable como:

{ } { }

Donde es el coeficiente reducido de la variable bsica en la tabla ptima (que,haciendo caso a la notacin, corresponde a la -sima iteracin), y es elcoeficiente de restriccin de la variable no bsica que se ubica en la mismacolumna que , en la correspondiente iteracin.Ejemplo: En el modelo de ASIOMAT Cunto puede variar la utilidad del servicio 3 de

tal forma que se conserve la base ptima?

Solucin: Sea el cambio (positivo o negativo) en la utilidad del servicio 3. La tablaptima asociada al modelo de ASIOMAT es la siguiente:

V.B. x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3 b

s1 0 -12/5 0 8 1 -4/10 6/10 7040

x3 0 2/5 1 1/2 0 1/20 -1/10 160

x1 1 2/5 0 3 0 -1/10 4/10 360

-z 0 280 0 100 0 30 180 -912000

Utilizando las frmulas anteriores, calculamos las cotas superior e inferior delcoeficiente como sigue: { }

Lo que implica:


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*+ Adems,

{ } Lo que implica:

Por lo tanto, concluimos que

. Al igual que lo que sucede en las

variables no bsicas, este mtodo de anlisis est diseado para problemas de

minimizacin. Como el modelo de ASIOMAT es de maximizacin, se debe multiplicar

el intervalo de optimalidad por -1 para as invertirlo. Luego, .Sumando esta expresin al coeficiente de se obtiene:

Este cambio es el permitido para as asegurar que la base ptima no vare.

ADICIN DE UNA NUEVA VARIABLE AL MODELO:La adicin de una actividad en unmodelo de programacin lineal equivale a agregar una nueva variable. En forma intuitiva,

la adicin de una nueva actividad slo es deseable si sta ltima resulta ser rentable; esto

es, si mejora el valor ptimo de la funcin objetivo. Como esta actividad no es todava

parte de la solucin, se puede considerar como una variable no bsica. Eso quiere decir

que los valores duales asociados con la solucin actual permanecen invariables, por lo

que podemos utilizar la frmula del mtodo smplex revisado para calcular los coeficientes

reducidos nuevos debido a la implementacin de esta variable:

Ejemplo: ASIOMAT ha comenzado a considerar la implementacin de un nuevo servicio

de fortificacin que permita ampliar la oferta de la empresa a operaciones mineras. Este

nuevo servicio requiere del uso de 12 unidades del recurso de preparacin, 20 unidades

del recurso de instalacin, y 22 unidades del recurso de inspeccin tcnica de calidad,

con una utilidad asociada de 4500 unidades monetarias Cree usted que la

implementacin de este nuevo servicio es beneficioso para ASIOMAT?

Solucin: El nuevo servicio a implementar se define mediante una nueva variable, .Utilizando lo descrito en el enunciado, se tiene que el modelo queda:


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La mejor forma de evaluar el cambio en el modelo respecto de la adicin de una nueva

variable, es utilizar la frmula del mtodo smplex revisado para calcular costos reducidos:

Donde corresponde a la matriz de coeficientes originales de las variables del problemaen la funcin objetivo (aquellos que se corresponden con la tabla de inicio), y

es el

vector fila de valores duales ptimos del PPL actual, con el signo opuesto.

Utilizando la tabla ptima, sin considerar la inclusin de la nueva variable , se tiene:Tabla ptima actual:

V.B. x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3 b

s1 0 -12/5 0 8 1 -4/10 6/10 7040

x3 0 2/5 1 1/2 0 1/20 -1/10 160

x1 1 2/5 0 3 0 -1/10 4/10 360

-z 0 280 0 100 0 30 180 -912000

El vector de valores duales es aquel conformado por los coeficientes reducidos (en la fila

z) de las holguras, multiplicados por -1. Estos coeficientes se han marcado con color

verde en la tabla anterior:

Tabla smplex de inicio, considerando la inclusin de la nueva variable :

V.B. x1 x2 x3 x4 x5 s1 s2 s3 b

s1 1 2 10 15 12 1 0 0 9000s2 10 20 40 50 20 0 1 0 10000

s3 5 6 10 20 22 0 0 1 3400

-z -1200 -1400 -3000 -5000 -4500 0 0 0 0

El vector de coeficientes objetivo originales, marcados con amarillo en la tabla de inicio

anterior, es el siguiente:


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La matriz de columnas de restriccin original correspondiente a las variables del

problema, marcada con rojo en la tabla de inicio anterior, es la siguiente:

Por lo tanto, el vector de coeficientes reducidos es igual a:

Luego:

Como ninguno de los coeficientes reducidos es negativo, seguimos estando en el ptimo.

Es claro entonces que la inclusin de la nueva variable, , no mejorar el plan ptimo,porque no ingresar a la base y, por ende, ser nula en el ptimo, y por ende, no rentable

de producir.

Naturalmente, si se diera el caso de que entrara a la base (o dicho de otra forma, sucoeficiente reducido fuese negativo), entonces se deber realizar una nueva iteracin,

considerando a

como una variable de entrada, y calculando la variable de salida y los

respectivos elementos matriciales utilizando el mtodo smplex revisado.


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Modelo de TrasporteEl problema de transporte corresponde a un tipo particular de programacin lineal. Si bien

este problema puede ser resuelto mediante el Algoritmo Smplex, existe un mtodo

simplificado especial para resolverlo.

DEFINICIN DEL MODELO DE TRANSPORTE: A modo de ejemplo, construiremos elmodelo de programacin lineal para el siguiente problema.

Una faena minera, explotada por la Compaa ASIOP Sociedad Annima Ltda.

(ASIOPSAL) dispone de tres puntos de carguo para satisfacer la demanda de mineral de

sus cuatro puntos de vaciado, conectados a planta. Los puntos de carguo 1, 2 y 3 pueden

suministrar a los diferentes puntos de vaciado con 35, 50 y 40 kilo-toneladas. El valor

mximo de consumo ocurre a las 14:00 horas, y es de 45, 20, 30 y 30 kilo-toneladas,respectivamente. El costo de enviar 1000 toneladas depende de la distancia que deban

recorrer los equipos de transporte (camiones fuera de carretera). La siguiente tabla

muestra los costos de envo unitario (cada 1000 toneladas, y en miles de dlares) desde

cada punto de carguo a cada punto de vaciado, conectado a planta:

PPM-01 PPM-02 PPM-03 PPM-04 Suministro (kt)PC-01 8 6 10 9 35PC-02 9 12 13 7 50PC-03 14 9 16 6 40Requerimiento (kt) 45 20 30 30

La idea es formular un modelo de programacin lineal que permita minimizar los costos de

satisfaccin de la demanda mxima en todos los puntos de vaciado conectados a planta.

En primer lugar, debemos definir las variables de decisin necesarias para representar las

posibles decisiones que puede tomar la Compaa Minera. En este caso, corresponde a la

cantidad de material que se debe enviar desde cada punto de carguo a cada punto de

vaciado. Luego, para y , tendremos:cantidad (en miles de toneladas) de material enviado desde

el punto de carguo i hasta el punto de vaciado j

En trminos de estas variables, el costo total de transportar este material a todos los

puntos de vaciado es igual a la suma de los costos independientes desde cada punto de

carguo; si tenemos:

Desde el punto de carguo 1: Desde el punto de carguo 2:


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Desde el punto de carguo 3: Entonces el costo total, que denominamos , es igual a la suma de las tresexpresiones anteriores.

El problema tiene dos tipos de restricciones. En primer lugar, la cantidad de material totalsuministrada por cada punto de carguo no puede exceder su capacidad. En este caso se

habla de oferta, o mejor an, de restricciones de oferta o suministro.

Como existen 3 puntos de oferta o suministro (los 3 puntos de carguo), existen 3

restricciones dadas por:

Restriccin de oferta de PC-01: Restriccin de oferta de PC-02: Restriccin de oferta de PC-03: En segundo lugar, se deben plantear las restricciones que permiten asegurar que se

satisfaga la demanda en los 4 puntos de vaciado. As, las restricciones de demandapara cada punto de demanda (los 4 puntos de vaciado) estn dadas por:

Restriccin de demanda de PPM-01: Restriccin de demanda de PPM-02: Restriccin de demanda de PPM-03: Restriccin de demanda de PPM-04: Naturalmente, no podemos enviar una cantidad negativa de material a los puntos vaciado,

por lo que .Por otro lado, es posible construir grficamente una representacin de este problema:


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Figur a 13:Esquema del problema de transporte

La solucin de este problema, tal y como puede demostrarse, es la siguiente:

; ; ; ; ; ; ; ; ; El costo mnimo asociado es USD.FORMULACIN GENERAL DEL MODELO DE TRANSPORTE: Un problema detransporte queda definido por la siguiente informacin:

1. Un conjunto de puntos de oferta. Cada punto de oferta tiene asociado una oferta,que designamos por .

2. Un conjunto de puntos de demanda. Cada punto de demanda tiene asociado unademanda .

3. Cada unidad enviada desde un punto de oferta a un punto de demanda tiene uncosto unitario de transporte .Consideremos:

Nmero de unidades enviadas desde el punto de oferta al punto de demanda .


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Luego, la formulacin del modelo de transportequeda:

Si se satisface:

Se dice que el problema se encuentra balanceado. En el caso del ejemplo anterior, se

tiene que tanto la suma de las ofertas como la suma de las demandas es igual a 125. En

el caso de un problema de transporte balanceado todas las restricciones estarn al lmite,

por lo tanto la formulacin queda:

PROBLEMAS NO BALANCEADOS: Si la oferta total supera a la demanda total, sepuede balancear el problema de transporte incorporando un punto de demanda artificial o

dummy que tenga como demanda el excedente de oferta del problema. Como las

asignaciones al punto artificial no son reales, se les asigna un costo unitario nulo.

Para ilustrar el balance de un problema de transporte no balanceado, supongamos en el

ejemplo anterior que la demanda del punto de vaciado PPM-01 disminuye a 40 kt. La


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Figura 14 ilustra la incorporacin del punto de demanda artificial y entrega la solucin

respectiva.

Figur a 14:Problema de transporte balanceado

Una forma ms prctica de representar un problema de transporte es mediante un

tableau de transporte. Una celda de la fila y la columna representa la variable . Sesuele incorporar es la esquina superior derecha el costo unitario asociado a la

combinacin

. En general, el tableau queda de la siguiente forma:

Oferta

Demanda


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Construyendo el tableau para el ejemplo anterior (caso balanceado), e introduciendo la

solucin ptima, se tiene que:

PPM-01 PPM-02 PPM-03 PPM-04 Oferta

PC-01

PC-02

PC-03

Demanda

En este caso, se puede verificar que el problema est balanceado comprobando que la

suma de la columna de oferta y la fila de demanda es idntica.

As como un problema de transporte puede no estar balanceado cuando la demanda es

inferior a la oferta, tambin es posible que la demanda supere a la oferta. En este caso, se

recurre a un punto de oferta artificial con valor de oferta equivalente a la diferencia entre

oferta y demanda, de modo de balancear el problema. Los costos asociados al envo de

unidades desde un punto de oferta artificial tambin son nulos, y por ende no se

consideran al igual que en el caso anterior.

SOLUCIN DEL MODELO DE TRANSPORTE.

SOLUCIN BSICA DE INICIO: Consideremos un problema de transporte con puntosde oferta y puntos de demanda. De acuerdo a la formulacin vista anteriormente, elproblema tendr restricciones de igualdad.Existen tres mtodos distintos para poder obtener una solucin bsica de inicio en un

modelo de transporte, siendo la gran diferencia entre ellos el nmero de pasos

(iteraciones) sucesivos que se tengan que hacer posteriormente para alcanzar la solucin

ptima del problema. Dichos mtodos son los siguientes:

Mtodo de la Esquina Noroeste

Mtodo de Costo Mnimo

Mtodo de aproximacin de Vogel


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Antes de proceder al estudio de estos mtodos, conviene detenernos un poco en la

definicin de qu es una solucin bsica de inicio. En particular, se debe observar que si

un conjunto de valores para las variables satisface todas las restricciones salvo una,entonces automticamente satisface la otra restriccin. Por ejemplo, consideremos que en

el ejemplo anterior se sabe que los valores de las variables satisfacen todas las

restricciones, salvo la primera restriccin de oferta. Por lo tanto, los valores de las satisfacen kt, y proveen kt de los puntosde carguo 2 y 3. Por lo tanto, el punto de carguo 1 debe proveer kt. Luego los valores de tambin satisfacen la primera restriccin de oferta.

Al respecto, para poder resolver el problema, consideraremos que se satisfacen restricciones, omitiendo alguna. En forma arbitraria, omitiremos la primera restriccin de

oferta. Naturalmente, cualquier coleccin de variables no necesariamenteconforman una solucin bsica factible para el problema de transporte que queramos

trabajar. Para asegurar que, en efecto, s lo sean, definiremos el concepto de loop o

circuito.

Un orden secuencial de al menos cuatro celdas distintas se denomina loopo circuitosise cumple que:

Dos celdas consecutivas estn en la misma columna o en la misma fila

No tiene tres celdas consecutivas en una misma columna o en una misma fila

La ltima celda de la secuencia tiene una fila o columna comn con la primera celda

de la secuencia

Las Figura 15 muestra ejemplos de lo que es un loop.

Figur a 15: Ejemplos de loops o circuitos

La Figura 16 muestra ejemplos de secuencias de celdas que no conforman un loop, pues

no satisfacen todas las condiciones establecidas en su definicin.


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Figur a 16:Ejemplos de secuencias que no conforman un loop

Habiendo introducido el concepto de loop, estableceremos el siguiente teorema.

TEOREMA DE SECUENCIACIN:Consideremos un problema de transporte balanceadocon puntos de oferta y puntos de demanda. Las celdas correspondientes a unconjunto de variables no contienen un loop si y slo si las variablesconstituyen una solucin bsica inicial.

El teorema anterior puede demostrarse utilizando lgebra lineal de forma muy sencilla,

puesto que se desprende del hecho de que en un conjunto de celdas, stas nocontienen un loop siempre y cuando las columnas correspondientes a lasceldas son linealmente independientes.

Ahora s estamos en condiciones de revisar los mtodos para poder construir una

solucin bsica de inicio. Para ello, utilizaremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo: La compaa Sun-Ray Transport transporta grano desde tres silos hasta tres

molinos. La oferta (en camionadas) y la demanda (tambin en camionadas) se resumen

en el tableau de transporte que se presenta a continuacin, junto con los costos unitarios

de transporte por camionada en las distintas rutas. Los costos unitarios de transporte (que se ven en la esquina superior derecha o esquina noreste de cada celda), estn encientos de US$.

Molino 1 Molino 2 Molino 3 Molino 4 Oferta

Silo 1

Silo 2

Silo 3

Demanda


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En el modelo de Sun Ray Transport se busca el programa de transportes entre silos y

molinos que tenga costo mnimo. Esto equivale a determinar la cantidad transportadadesde el silo hasta el molino( ).1. Mtodo de la Esquina Noroeste: el mtodo, como lo indica su nombre, comienza en

la celda (ruta) noroeste, o superior izquierda, del tableau de transporte (es decir, lacelda ).Paso 1: Asignar todo lo que ms se pueda a la celda seleccionada y ajustar lascantidades de oferta y demanda asociadas restando la cantidad asignada a la celda

respectiva.

Paso 2: Salir de la fila o columna cuando se alcance oferta o demanda cero, ytacharlo, para indicar que no se pueden hacer ms asignaciones a esa fila o columna.

Si una fila y una columna dan cero al mismo tiempo, tachar slo uno(la fila o columna)

y dejar una oferta (o demanda) cero en la fila (columna) que no se tach.

Paso 3: Si queda exactamente una fila o columna sin tachar, detenerse. En casocontrario, avanzar a la celda de la derecha si se acaba de tachar una columna, o a la

de abajo si se acaba de tachar una fila. Seguir con el paso 1.

Ejemplo: Al aplicar el procedimiento al modelo de Sun Ray Transport se obtiene la

solucin bsica de inicio que se da en el tableau siguiente. Las flechas indican el orden en

el que se generan las cantidades asignadas.


Silo 1 Silo 2

Silo 3

Demanda Al respecto, se debe notar que la sumatoria por filas (columnas) de las unidades

asignadas en cada celda debe igualar la cantidad de oferta (demanda) asociada a la fila

(columna) respectiva.

La solucin de inicio es entonces la siguiente:


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El costo de este programa de inicio es el siguiente:

2. Mtodo de Costo Mnimo: Este mtodo determina una mejor solucin bsica de

inicio, porque se concentra en las rutas menos costosas. Se inicia asignando todo lo

posible a la celda que tenga el mnimo costo unitario (los empates se rompen en forma

arbitraria). A continuacin, la fila o columna ya satisfechos se tacha, y las cantidades

de oferta y demanda se ajustan en consecuencia. Si se satisfacen en forma

simultnea una fila y una columna al mismo tiempo, slo se tacha uno de los dos,

igual que en le mtodo de la esquina noroeste. A continuacin se busca la celda no

tachada con el costo unitario mnimo y se repite el proceso hasta que queda sin tachar

exactamente una fila o una columna.

Ejemplo: Se aplicar el mtodo de costo mnimo al modelo de Sun Ray Transport de la

siguiente manera:

a) La celda (1, 2) tiene el costo unitario mnimo de toda la tabla (= US$ 2). Lo ms que se

puede transportar por (1, 2) es camionadas, y en este caso se satisfacen almismo tiempo la fila 1 y la columna 2. Se tacha en forma arbitraria la columna 2 y se

ajusta la oferta de la fila 1 a cero.

b) La celda (3, 1) tiene el mnimo costo unitario sin tachar (= US$ 4). Se asigna camionadas, se tacha la columna 1 porque qued satisfecha y se ajusta la demandade la fila 3 a camionadas.

c) Al continuar de este modo, se asignan en forma sucesiva 15 camionadas a la celda

(2, 3), 5 camionadas a la celda (3, 4) y 10 a la celda (2, 4) (verifquelo!).

La solucin bsica de inicio que se obtiene de esta forma es la siguiente:

El costo de este programa de inicio es .El tableau de transporte definido por la solucin bsica usando el mtodo de costo mnimo

es el siguiente:


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Silo 1

Silo 2

Silo 3

Demanda

A pesar de que la asignacin anterior es correcta, se debe tener en consideracin que la

solucin bsica, como bien se dijo, debe estar conformada por una coleccin de

variables bsicas, de tal forma que stas no formen un loop. Sin embargo, en eltableau anterior, slo hay 5 variables bsicas, cuando debera haber asignaciones.

Lo anterior se arregla asignando una nueva variable bsica a una celda, de tal forma que

sta tenga valor cero, y adems, no forme un loop con las variables bsicas que fueron

asignadas con anterioridad. Lo primero es entonces descartar los posibles loops de la

siguiente forma:


Silo 1 Silo 2

Silo 3

Demanda Las celdas remarcadas en amarillo no pueden, por tanto, ser utilizadas para asignar

valores nulos y completar la asignacin de variables bsicas, porque se generara un loop

y por ende se violara el teorema de secuenciacin. Cualquier otra eleccin nos sirve. Sin

embargo, se recomienda elegir aquella celda cuyo costo sea mnimo para asignar un


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cero, puesto que as se alcanza ms rpido la solucin (la celda (2, 2) cumple este

requisito).

La calidad de la solucin bsica de inicio obtenida mediante el mtodo de costo mnimo

es mejor que la que se obtuvo con el mtodo de la esquina noroeste, porque da un costo

mnimo menor.

3. Mtodo de aproximacin de Vogel: Es una versin mejorada del mtodo de costomnimo, que en general produce mejores soluciones de inicio.

Paso 1: Determinar para cada fila (columna) una medida de penalizacin o penalidadrestando el elemento de costo unitario mnimo en la fila (columna) del elemento del

elemento con costo unitario siguiente al mnimode la misma fila (columna).

Paso 2: Identificar la fila (columna) con la mayor penalizacin. Romper los empates enforma arbitraria. Asignar todo lo posible a la variable que tenga el mnimo costo

unitario de la fila o columna seleccionada. Ajustar la oferta y la demanda y tachar la

fila o columna ya satisfechos. Si se satisfacen una fila y una columna de forma

simultnea, slo se tacha uno de los dos y al que queda se le asigna una oferta o

demanda de cero.

Paso 3:

a) Si queda sin tachar exactamente una fila o columna con cero oferta o demanda,detenerse.

b) Si queda sin tachar una fila (columna) con oferta (demanda) positiva, determinar

las variables bsicas en la fila (columna) con el mtodo de costo mnimo.Detenerse.

c) Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen cero oferta y demanda(restante), asignar las variables bsicas cero por el mtodo de costo mnimo.

Detenerse.

d) En cualquier otro caso, seguir al paso 1.

Ejemplo: Se aplicar el mtodo de Vogel al modelo de Sun Ray Transport. En el siguiente

tableau de transporte se calcula el primer conjunto de penalidades.


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Molino 1 Molino 2 Molino 3 Molino 4 Oferta Penalidades

de fila

Silo 1

Silo 2

Silo 3

Demanda

Penalidades

de columna

Como en la fila 3 se tiene la mxima penalidad (= 10) y la celda (3, 1) tiene el costo

unitario mnimo de esa fila, se asigna la cantidad 5 a . Queda satisfecha ahora lacolumna 1 y se debe tachar. A continuacin se vuelven a calcular las penalizaciones,

como se ve en el siguiente tableau de transporte.

Molino 1 Molino 2 Molino 3 Molino 4 Oferta Penalidades

de fila

Silo 1

Silo 2

Silo 3

Demanda

Penalidades

de columna En este caso se ve que la fila 1 tiene la penalidad mxima (= 9). En consecuencia, se

asigna la mxima cantidad posible a la celda (1, 2), con lo que se obtiene , y almismo tiempo se satisfacen tanto la columna 2 como la fila 1. En forma arbitraria se tacha

la columna 2 y se ajusta a cero la oferta en la fila 1.


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Con la continua asignacin sugerida por el mtodo de Vogel, y luego completando las 6

variables bsicas con ceros en aquellas celdas que no formen un loop con las variables

asignadas (verifquelo!), se obtiene la siguiente solucin (los ceros se han asignado a

celdas arbitrarias):

El costo de este programa de inicio es , que coincide con el obtenido en elmtodo de costo mnimo. Sin embargo, el mtodo de Vogel suele obtener mejores

soluciones iniciales, lo que asegura una cantidad de iteraciones menor para llegar a la

solucin ptima del problema.

CLCULO DE LA SOLUCIN PTIMA: A continuacin se expondrn los pasos paraaplicar el algoritmo completo de transporte. Estos pasos suponen un problema de

transporte con puntos de oferta y puntos de demanda:Paso 1: Si el problema de transporte no est balanceado, balancearlo. Construir eltableau de transporte asociado.

Paso 2: Encontrar una solucin bsica de inicio utilizando cualquiera de los mtodosestudiados con anterioridad. Verificar las asignaciones y completarlas si esnecesario.

Paso 3: Plantear y resolver el sistema que se obtiene a travs de:

Definir para cada fila del tableau la variable . Definir para cada columna del tableau la variable . Plantear para cada celda la ecuacin , donde es el costo unitario

asociado a la celda . Asignar un valor arbitrario a una de las variables. Normalmente se suele asignar . Luego, despejar las dems variables planteadas.Paso 4: Calcular en todas las celdas no asignadas (variables no bsicas) los costos

reducidos como . En este caso, es el costo reducido de la variableno bsica . Si , hemos llegado al ptimo. Si existe algn ,incorporar la variable no bsica con el ms negativo, siempre y cuando se puedaformar un loop. En dicho caso, asignar el mayor valor posible a modo de mantener lasvariables bsicas mayores o iguales a cero.

Paso 5: Si la solucin no es la ptima, emplear la solucin del paso anterior para volver aplantear y resolver el sistema planteado en el paso 3, y seguir al paso 4.


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Debe observarse que las variables planteadas las iteraciones sucesivas son lasVARIABLES DUALES del problema de transporte para las respectivas iteraciones. Luego,

al obtener la solucin ptima del problema de transporte con este algoritmo, se obtendr

adems, la solucin ptima del dual, porque tendremos calculados por valores de en el ptimo.

Ejemplo: Vamos a resolver el modelo de Sun Ray Transport utilizando este algoritmo.

Utilizaremos para ello la solucin bsica de inicio encontrada utilizando el mtodo de la

esquina noroeste.


Silo 1

Silo 2

Silo 3

Demanda

Asociamos entonces las variables duales y para la oferta y la demanda,respectivamente. Se tiene entonces (asumiendo

):

Variable bsica Ecuaciones Solucin Tabla 8:Valores duales del problema de Sun Ray Transport para la primera iteracin

Calculamos ahora los costos reducidos para las variables no bsicas:


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. Naturalmente, el loop consiste en segmentos horizontales y verticales conectando (nose permiten diagonales). Excepto para la variable de entrada, cada esquina del loop debe

coincidir con una variable bsica. Existe siempre uno y slo un loop para cadavariable de entrada.

El tableau siguiente muestra como se genera el loop para la variable . Oferta

Demanda A continuacin se le asigna la cantidad a la celda de la variable de entrada (3, 1). Paraque se sigan satisfaciendo los lmites de la oferta y la demanda, se debe alternar entre

restar y sumar la cantidad en las esquinas sucesivas del loop, como se ve en el tableauanterior. Los valores de las variables siguen siendo no negativos siempre que:

De lo anterior, el valor mximo de es 5, que se presenta tanto cuando comollegan a nivel cero. Como slo una variable bsica actual debe salir de la base, sepuede escoger entre estas dos variables como variable de salida. Escogeremos

arbitrariamente a para que salga de la solucin.La seleccin de

como variable de entrada y

como variable de salida requiere

el ajuste de los valores de las variables bsicas en las esquinas del loop. Como cadaunidad que se transporta por la ruta (3, 1) reduce el costo de transporte en 9 unidades

monetarias ( , el costo total asociado con el programa de transporte es unidades monetarias menos que en el programa anterior.Con la nueva solucin bsica, se repite el clculo de los valores duales y , como seve en la siguiente tabla. La variable de entrada es . El loop indica que y que lavariable de salida es .


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Oferta

Demanda La nueva solucin se ve en la tabla siguiente: cuesta

unidades monetarias

menos que la anterior, y el costo nuevo total es de 435 unidades monetarias. Adems, , lo que implica que hemos llegado al ptimo. El tableau siguiente muestra esteresultado. Oferta

Demanda


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Ejemplo: El jefe de carguo y transporte de una operacin a cielo abierto debe asignar

cuatro operadores a cuatro palas en el turno. Los costos unitarios (en unidades

monetarias) que expresan la habilidad del operador se dan a continuacin. Aquellos

costos indeterminados (-) representan la condicin de no aplicabilidad del operador a la

pala respectiva.

Operador 1 Operador 2 Operador 3 Operador 4Pala 1 9 3 - 5Pala 2 7 2 7 6Pala 3 5 5 2 -Pala 4 7 4 3 2

Tabla 11:Costos unitarios de cada operador en cada una de las palas

Determine la asignacin ptima de estos operadores a cada pala, de tal forma que el

costo unitario total de dicha asignacin sea mnimo.

Solucin: El algoritmo hngaro procede de una forma muy sencilla. Lo primero es generar

una matriz de costos. Por definicin del modelo de asignacin, dicha matriz siempre debe

ser cuadrada. Si no lo fuera, siempre se pueden generar puestos o trabajadores ficticios

de costo nulo para poder as siempre tener una matriz de este orden. Para este problema,

se tiene lo siguiente:

En la matriz anterior, la constante M (la cual, como en el mtodo de la gran M, se asume

que tiene valores infinitamente grandes) representa las asignaciones que no se pueden

hacer. Al asumir costos infinitos, el algoritmo ignora de forma automtica la asignacin no

permitida, asegurando un resultado correcto.

El siguiente paso es identificar el valor mnimo de cada fila y restarlo de todos los

elementos de esa misma fila. De forma explcita, para este problema, se tiene que los

mnimos por fila son 3, 2, 2 y 2, respectivamente (de arriba hacia abajo). Restando estos

elementos a las filas respectivas, se obtiene:

Ahora, en la matriz resultante, que denotamos por , deben identificarse los elementosmnimos de cada columna, y luego restarlos a todos los elementos de esa misma

columna. En este caso, se tendr lo siguiente:


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Los ceros que han sido marcados con amarillo indican la asignacin ptima encontrada:

Asignar el operador 1 a la pala 2




El costo mnimo de esta asignacin se calcula sumando los costos unitarios originales que

se corresponden con los ceros que definen nuestra asignacin ptima. En particular:

Luego, la asignacin ptima tiene un costo mnimo de 11 unidades monetarias.

MODELO DE TRANSBORDO.

En el modelo de transbordo, se reconoce que puede ser ms econmico el transporte

pasando por nodos intermedios o transitorios antes de llegar al destino final. Este

concepto es ms general que el modelo normal de transporte, en el que slo se permiten

envos directos entre una fuente y un destino.

Ejemplo: Dos fbricas de automviles, P1 y P2, se enlazan con tres agencias, D1, D2 y

D3, a travs de dos centros de distribucin, T1 y T2. La siguiente red representa este

problema:

Figur a 17:Red con nodos de transbordo


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Las cantidades de oferta en las plantas P1 y P2 son 1000 y 1200 autos, y las cantidades

de demanda en las agencias D1, D2 y D3 son 800, 900 y 500 autos, respectivamente. El

costo de transporte por vehculo se ve en los enlaces o arcos de la red.

En esta red hay transbordos, porque toda la oferta de 2200 autos de los nodos P1 y P2

podra pasar en principio por cualquier nodo de la red, antes de llegar a su destino en losnodos D1, D2 y D3. Al respecto, los nodos de la red que tiene n arcos de entrada y salida

al mismo tiempo (T1, T2, D1 y D2) funcionan como fuentes y destinos al mismo tiempo, y

se llaman nodos de transbordo. Los nodos restantes pueden ser nodos de oferta pura (P1

y P2) o nodos de demanda pura (D3).

El modelo de transbordo puede transformarse en un modelo normal de transporte usando

el siguiente recurso algebraico:

Oferta en un nodo de oferta pura = Oferta original

Demanda en un nodo de demanda pura = Demanda original

Oferta en un nodo de transbordo = Oferta original + Amortiguador

Demanda en un nodo de transbordo = Demanda original + Amortiguador

El amortiguador, denotado comnmente por B, se define como cualquier cantidad lo

suficientemente grande como para permitir que toda la oferta (o demanda) original pase

por cualquier de los nodos de transbordo. Es muy comn que se defina como la suma de

las ofertas originales, porque as se satisface siempre este requisito. Luego, amortiguador

= 1000 + 1200 = 2200. El modelo de transporte representativo de este modelo de

transbordo es el siguiente:


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T1 T2 D1 D2 D3 Oferta

P1

P2

T1

T2

D1

D2

Demanda

Los costos definidos por la constante M (que es infinitamente grande) representan rutas

imposibles o absurdas, de tal forma que se evite que el algoritmo de transporte las

considere en la solucin ptima. Este problema puede ahora ser resuelto de forma

normal.

Documents

Optimización - Análisis de Sensibilidad y Transporte (PEP 2)