Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Чикина Л.Г., Чикин А.Л., Шабас И.Н., Дацюк В.Н., Дацюк О.В., Кру-

киер Б.Л.

ППП на суперкомпьютерах ЦКП ЮФУ

«Высокопроизводительные вычисления»

(для решения гидрофизических задач)

Ростов-на-Дону

2016

3

Печатается по решению Редакционного совета кафедры Высокопроизводитель-

ных вычислений и информационно-коммуникационных технологий Института

математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича ЮФУ, протокол

_____ от ______________201_ г.

учебник, Ростов-на-Дону, 2016г., 243с., электронное издание

Ответственный редактор доктор физико-математических наук, профессор

каф. ВВ и ИКТ Л.Г. Чикина

Рецензенты:

доктор экономических наук, профессор М.Ю. Денисов

Целью книги является в полугодовом курсе осветить, не вдаваясь в детали,

технологию применения средств компьютерного моделирования на основе паке-

тов прикладных программ (ППП) библиотеки параллельных методов Aztec. Вни-

кать в детали имеет смысл только в связи с решением конкретных задач доста-

точно узкого класса, используя специальную цитированную литературу , изучать

которые “впрок” во всем множестве задач вычислительного эксперимента невоз-

можно, да и не нужно.

На примерах задач из различных областей гидродинамики и тепломассо-

переноса рассматриваются возможности использования ППП для проведения

вычислительного эксперимента, целью которого является максимально подроб-

ное воспроизведение, в том числе визуализация изучаемого явления, анализ и

сопоставление получаемых численных данных с натурными данными.

Предлагаемый подход к овладению некоторыми разделами курса меха-

ники жидкости с использованием прикладных программных пакетов дополняет

существующую систему образования.

Использование прикладных программных пакетов (ППП) в курсах меха-

ники жидкости и газа (МЖГ) рассматривается как часть общей концепции при-

менения компьютерных технологий в образовательном процессе. Изложение

представляется замкнутым, однако его уровень рассчитан на читателя, который

уже знаком с элементарными вопросами МЖГ.

Книга написана по материалам курсов лекций, читаемого авторами маги-

страм и аспирантам кафедры ВВиИКТ в 2009-2015 г.г.

3

Содержание Введение .................................................................................................................. 5

Глава 1. Использование специализированных ППП при моделировании

сложных явлений и процессов ............................................................................ 8

1.1. Вычислительная технология и библиотеки подпрограмм .................... 8

1.2. Обзор ППП для решения вычислительных задач ................................ 15

1.3. Специализированные пакеты ................................................................. 17

1.3.1. Пакеты программ для решения отдельных классов задач

математической физики ................................................................................. 19

1.3.2. Физические расчеты ............................................................................. 27

1.3.3. Химические расчеты ............................................................................ 28

1.3.4. Пакеты визуализации ........................................................................... 32

1.4. Библиотека параллельных методов Aztec ............................................. 35

Глава 2. Алгоритмы решения конкретных задач гидродинамики и

процессов конвективно-диффузионного переноса ....................................... 42

2.1. Двухслойная математическая модель гидродинамики в водоемах с

большой неоднородностью глубин .................................................................. 42

2.1.1. Граничные условия .............................................................................. 48

2.1.2. Задание ветрового поля ....................................................................... 49

2.2. Модель переноса, взмучивания и оседания взвеси .............................. 53

2.3. Модель радионуклидного загрязнения. ................................................ 57

2.4. Модель аварийных выбросов нефтяного загрязнения ........................ 58

Глава 3. Численная реализация представленных моделей ........................ 66

3.1. Краткие сведения о численных методах решения уравнений движения

жидкости и переноса вещества ......................................................................... 66

3.2. Построение сетки для водоемов с мелководьем и глубоководьем .... 80

3.3. Вычисление гидродинамических ........................................................... 84

3.1. Вычисление концентрации вещества .................................................... 91

Глава 4. Применение двухслойной математической модели для расчета

течений в различных водоемах ........................................................................ 95

4.1. Моделирование течений в Азовском море ........................................... 96

4.2. Моделирование течений в Таганрогском заливе ............................... 109

4.3. Моделирование течений в Керченском проливе ............................... 121

4.4. Моделирование течений в южной части Цимлянского водохранилища

141

Глава 5. Расчет переноса вещества в водоемах .......................................... 155

5.1. Восстановление неполных данных по солености с помощью

математической модели .................................................................................. 155

5.2. Аварийные выбросы нефтяного загрязнения в центральной части

Азовского моря и радионуклида в растворенной форме в районе города Ейск

163

5.3. Численное исследование основных случаев поступления

загрязняющего вещества в Цимлянское водохранилище ............................ 166

4

5.3.1. Исследование процесса распространения радионуклидов в случае их

залпового выброса в районе ВоАЭС .......................................................... 169

5.3.2. Исследование процесса распространения загрязнения через береговые

стоки 173

5.3.3. Исследование процесса распространения загрязнения через реку

Цимла 176

5.3.4. Исследование процесса поступление вещества из створа р. Дон . 179

5.3.5. Исследование процесса распространения вещества, осевшего на всю

водную поверхность Цимлянского водохранилища ................................ 182

Глава 6. Специализированное программное обеспечение, реализующее

математические модели экологии для высокопроизводительных

вычислительных систем .................................................................................. 185

Глава 7. Тестовые задачи для высокопроизводительных вычислительных

систем ................................................................................................................... 198

7.1. Тестовая задача двухслойной модели течений в водоеме прямоугольной

формы с выступом, имитирующим мелководную область ......................... 198

Литература .......................................................................................................... 203

5

Введение

Уровень развития современной вычислительной техники и сложность за-

дач, которые сегодня стоят перед учеными исследователями, приводят к тому,

что вычислительный эксперимент становится одним из важных направлений при

изучении гидрофизических задач. Вычислительные технологии открывают но-

вые возможности по моделированию реальных физических процессов, теорети-

ческое описание которых в силу их сложности практически невозможно. Зача-

стую вычислительный эксперимент является единственно возможным. Инфор-

мация, полученная с помощью численных расчетов, позволяет не только пра-

вильно осмыслить и понять физические эффекты, наблюдаемые, например, на

экспериментальных установках, но и в некоторых случаях заменить физический

или натурный эксперимент компьютерным как более дешевым, а в некоторых

случаях и просто безопасным.

Обязательным условием реализации образовательных программ подго-

товки специалистов высшей квалификации, ориентированных на будущую ра-

боту в сфере современной науки и наукоемких технологий, является необходи-

мость сочетания общетеоретических курсов с практическим освоением обучаю-

щимся явлений и процессов, с которыми приходится встречаться в различных

научных и прикладных задачах. Наиболее адекватным инструментом решения

такой задачи является полномасштабный лабораторный эксперимент. Однако

при организации массового учебного процесса широкое использование экспери-

ментальных методов и средств сопряжено с принципиальными ограничениями,

связанными в первую очередь со сложностью, уникальностью и высокой стои-

мостью современных установок и собственно эксперимента по воспроизведению

гидрофизических процессов во всем их разнообразии. Возможной альтернати-

вой, предлагаемой в настоящем учебнике, является образовательная технология,

основанная на возможности проведения вычислительного эксперимента с ис-

пользованием наукоемких пакетов прикладных программ (ППП). Использование

ППП при моделировании сложных явлений и процессов, в том числе с привле-

6

чением анимационных и других мультимедийных средств, позволяет в нагляд-

ном виде познакомиться со многими деталями явления (процесса), которые не

могут быть воспроизведены другими способами. Однако при этом сохраняется

определяющая роль теории и лабораторного или натурного экспериментов, т. к.,

в конечном счете, только они могут служить мерилом правильности численного

моделирования.

Предлагаемый в учебнике подход к овладению некоторыми разделами

курса механики жидкости и газа с использованием прикладных программных па-

кетов дополняет существующую систему образования. Использование приклад-

ных программных пакетов рассматривается как часть общей концепции приме-

нения компьютерных технологий в образовательном процессе. Изложение пред-

ставляется замкнутым, однако его уровень рассчитан на читателя, который уже

знаком с элементарными вопросами численного моделирования. Предлагаемая

версия ППП AZTEC в совокупности удовлетворяют основным требованиям, ко-

торые необходимы для эффективного использования компьютерного моделиро-

вания.

В книге собран воедино и систематизирован материал многолетней ра-

боты большой группы специалистов в области математического моделирования

и вычислительной математики [Крукиер Л.А, Чикин А.Л.,Чикина Л.Г., Шабас

И.Н., Муратова Г.В., Никитенко О.Б., Дацюк В.Н, Дацюк О.В., Мерзляков В.А.].

Объектом исследования рассматривалось Азовское море. Это один из самых бо-

гатых районов Мирового океана по запасам промысловых видов рыб [103].Од-

ной из причин, обосновывающей особую актуальность создания инструмента ис-

следования и прогнозирования состояния акватории этого моря, является его

уникальность. Это качество обеспечивается мелководностью моря, что приводит

к его сильному прогреванию. Кроме того, Азовское море по существу представ-

ляет собой зону перемешивания пресных (речных) и соленых (черноморских)

вод. Достаточно большой объем стока речных вод по отношению к объему всего

7

моря, обеспечивает его пресноводность. В Азовском море наблюдаются доста-

точно большие сезонные и пространственные изменения солености. Соленость

вод это немаловажный фактор, определяющий состояние экосистемы моря, а

прогнозирование поведения солености вследствие зарегулирования стока рек

имеет большое практическое значение. И это является еще одной причиной по-

вышенного интереса к изучению гидрологии данного водоема.

Представленные материалы компьютерного моделирования помогут разо-

браться в тонкостях работы многопроцессорных систем, а задания-упражнения

для самостоятельной работы - закрепить изложенный материал.

В приложениях описываются способы отладки параллельных кластеров, ме-

тоды исследования производительности, дан обзор средств визуализации испол-

нения многопроцессорных приложений.

Решение полученных в процессе моделирования задач проводится на мно-

гопроцессорных вычислительных системах с распределенной памятью в среде

параллельного программирования MPI.

Программные модули комплекса написаны на языке Фортран 90. Фортран

90 занимает лидирующее положение среди языков программирования, ориенти-

рованных на решение научно-технических задач, требующих большого объема

вычислений. Применение Фортрана 90 при решении крупномасштабных вычис-

лительных задач с использованием современных параллельных вычислительных

систем обусловлено наличием новых черт, которые используются в системах для

параллельного программирования, ориентированных на Фортран (OpenMP, HPF,

MPI):

динамические и размещаемые массивы;

указатели;

структуры данных;

модули;

операции над массивами;

длинные имена.

8

Глава 1. Использование специализированных ППП при моделировании сложных явлений и процессов

1.1. Вычислительная технология и библиотеки

подпрограмм

Вычислительная технология - это совокупность алгоритмов, структур дан-

ных, расчетных методик и программных реализаций математической модели на

вычислительных системах. Математическая модель формирует идейный фунда-

мент численной модели на основе предположений о природе моделируемого яв-

ления и допустимых упрощений. Математическая модель использует уравнения

математической физики для установления взаимозависимостей между неизвест-

ными функциями, характеризующими объект. Уравнения могут быть дополнены

неравенствами и другими ограничениями, связанными с моделью (область, гра-

ничные условия и т.д.). Математические вопросы корректности моделей (суще-

ствование и единственность решения, а также его устойчивость) являются важ-

ными, однако часто нерешенными в используемых моделях.

Существует множество примеров приближенного численного решения ма-

тематических моделей, не исследованных математиками на предмет корректно-

сти. Наличие разумного численного решения часто используют как неформаль-

ное обоснование корректности модели. В связи с этим, вычислительная техноло-

гия как процесс получения численного решения может оказывать влияние на

формирование самой математической модели. На практике вычислительная тех-

нология разрабатывается для получения численного решения в нужной форме, к

заданному сроку и при известных ограничениях на доступ к машинным и чело-

веческим ресурсам

Эффективность процесса разработки технологии неразрывно связана с

производительностью труда разработчика. Сегодня стало возможным модели-

ровать в реальном времени процессы интенсивных физико-химических и ядер-

ных реакций, глобальные атмосферные процессы, процессы экономического и

9

промышленного развития регионов и т.д. Решение таких масштабных задач тре-

бует значительных вычислительных ресурсов. Использование многопроцессор-

ных систем для решения сложных вычислительных задач значительно расши-

ряет возможности исследователей, занимающихся компьютерным моделирова-

нием сложных физических процессов. Общепризнанным средством повышения

производительности является интенсивное использование готовых библиотек

приложений, или базовых вычислительных технологий, имеющих универсаль-

ный характер.

Как правило, библиотеки таких подпрограмм разрабатываются ведущими

специалистами в области численных методов и параллельного программирова-

ния. Основу вычислительных ресурсов центра высокопроизводительных вычис-

лений ЮФУ составляют четыре Linux-кластера, обслуживаемые единой диспет-

черской системой управления заданиями OpenPBS, где среда параллельного про-

граммирования — MPI (MVAPICH-1.1.0).

IBM Cluster 1350 — Linux-кластер, состоящий из 13 вычислительных уз-

лов, соединенных служебной сетью Gigabit Ethernet и скоростной коммуникаци-

онной сетью DDR Infiniband. Каждый вычислительный узел представляет собой

компьютер с одним 2-х ядерным процессором Intel Xeon 5160 c тактовой часто-

той 3.0 Ггц и оперативной памятью 8Гбайт.

INFINI — Linux-кластер, состоящий из 17 вычислительных узлов, соеди-

ненных служебной сетью Gigabit Ethernet и скоростной коммуникационной се-

тью SDR Infiniband. Каждый вычислительный узел представляет собой компью-

тер с процессором Intel Pentium 4 3.4 Ггц и оперативной памятью DDR2 2Гб.

Кластер WSD – кластер из 6-ми рабочих станций DELL c двухядерными про-

цессорами Intel Core 2 Duo, оперативной памятью 4 Гб и коммуникационной се-

тью Gigabit Ethernet.

10

Кластер DELLE – кластер из 7-ми рабочих станций DELL c двухядер-

ными процессорами Intel Core 2 Duo, с оперативной памятью 4 Гб и коммуника-

ционной сетью Gigabit Ethernet. Этот кластер используется для поддержки учеб-

ного процесса.

Эти системы позволяют одновременно обрабатывать обычные однопро-

цессорные программы, выделяя для каждой из программ отдельный вычисли-

тельный узел, а также объединять мощности нескольких процессоров одной ар-

хитектуры для решения одной задачи.

На всех многопроцессорных вычислительных системах установлена биб-

лиотека параллельных подпрограмм Aztec, которая предназначена для решения

больших систем линейных уравнений с разреженными матрицами и широко ис-

пользуются для решения реальных прикладных задач.

К учебнику авторами разработано учебно-методическое пособие прак-

тикум по использованию многопроцессорных систем для решения модельных

вычислительных задач с использованием библиотеки Aztec для бакалавров, ма-

гистров и аспирантов в рамках учебного процесса и научно-исследовательских

работ.

Изучаются уже реализованные вычислительные технологии с точки зрения

организации программных решений задач конвекции-диффузии стационарных и

нестационарных.

Неоспоримым преимуществом для современного обучающегося является

возможность дистанционного выполнения заданий. Достаточно получить логин

и пароль для входа на сервер, установить на домашнем компьютере терминаль-

ную программу PuTTY. Кроме этой программы, нужно установить какую-либо

программу, поддерживающую транспортный протокол передачи данных(ftp-

протокол). В качестве примера такой программы можно назвать файловый мене-

джер FAR. Используя эти программы, можно с домашнего компьютера обучаю-

щегося удаленно редактировать на сервере учебные программы, компилировать

11

их и запускать на выполнение, а по окончании счета забирать с сервера файлы с

результатами расчетов.

Разработка вычислительной технологии сводится, главным образом, к

определению последовательности расчетных действий, приводящих к желае-

мому результату. Некоторые операции (или набор операций) часто встречаются

в различных приложениях, поэтому их реализации в форме библиотек подпро-

грамм являются общедоступными.

Использование стандартных библиотек при создании вычислительной тех-

нологии дает ряд преимуществ.

Во-первых, за счет уменьшения объема программирования и отладки со-

кращается время разработки и повышается производительность труда разработ-

чика.

Во-вторых, широкое использование стандартных библиотек обеспечивает

переносимость технологии на разные типы компьютеров.

В-третьих, использование библиотек для наиболее затратных алгоритми-

ческих блоков повышает эффективность программы, поскольку многие стан-

дартные библиотеки учитывают традиционную архитектуру ЭВМ и адаптиру-

ются под новые вычислительные платформы их создателями.

Наконец, программа с вызовами стандартных библиотек выглядит ком-

пактнее и прозрачнее для пользователя.

В процессе развития систем программирования состав библиотек посто-

янно расширялся. В них включалось все большее и большее число функций. Это

было вызвано тем, что система программирования, предоставляющая пользова-

телю более широкий выбор библиотечных функций, получала лучшие позиции

на рынке средств разработки программного обеспечения. Сами подпрограммы и

функции, созданные для того или иного языка, также являлись товаром на рынке

средств разработки. Этот естественный процесс продолжается до сих пор, и чем

длиннее история существования того или иного, языка программирования, тем

шире диапазон существующих для него библиотек.

12

Системы программирования, для некоторых языков продолжают суще-

ствовать во многом благодаря тому, что для них, создан мощный аппарат, биб-

лиотечных функций. Так, язык FORTRAN существует благодаря широчайшему

набору математических и физических функций, а язык GOBQL — функций из

финансовой сферы. Библиотеки подпрограмм составляют существенную часть

систем программирования. Наряду с дружественностью пользовательского ин-

терфейса состав доступных библиотек подпрограмм во многом определяет воз-

можности системы программирования и ее позиции на рынке средств разработки

программного обеспечения. Библиотеки подпрограмм входили в состав средств

разработки, начиная с самых ранних этапов их развития. Даже когда компиля-

торы еще представляли собой отдельные программные модули, они уж были свя-

заны соответствующими библиотеками, поскольку компиляция, так или иначе,

предусматривает связь программ со стандартными функциями исходного языка.

Эти функции обязательно должны входить в состав библиотек.

С точки зрения системы программирования, библиотеки подпрограмм со-

стоят из двух основных компонентов. Это собственно — множество файлов биб-

лиотеки, содержавших объектный код, и набор файлов описаний функций, под-

программ, констант и переменных, составляющих библиотеку. Описания оформ-

ляются на соответствующем входном языке (например, для языка С это будет

набор заголовочных файлов). Иногда эти файлы могут быть совмещены. Объект-

ный код библиотеки подключается компоновщиком к результирующей про-

грамме при создании исполняемого модуля. По структуре он мало чем отлича-

ется от обычных объектных файлов, порождаемых компилятором. Чаще всего

система программирования хранит объектный код входящих в ее состав библио-

тек в некотором упакованном виде. Набор файлов описания библиотеки, служит

для информирования компилятора о составе входящих в библиотеку функций.

Обрабатывая эти файлы, компилятор получает всю необходимую информацию

о составе библиотеки с точки зрения входного языка программирования. Эти

13

файлы предназначены только для того, чтобы избавить разработчика от необхо-

димости постоянного описания библиотечных функций, подпрограмм, констант

и переменных.

В состав системы программирования может входить большое количество

разнообразных библиотек. Среди них всегда можно выделить основную библио-

теку, содержащую обязательные функции входного языка программирования.

Эта библиотека всегда используется компилятором, поскольку без нее разра-

ботка программ на данном входном языке невозможна. Разработчик даже не дол-

жен указывать необходимость использования этой библиотеки (некоторые раз-

работчики программ и не догадываются, что пользуются подобной библиоте-

кой). Все остальные библиотеки необязательны и подключаются к результирую-

щей программе только по прямому указанию разработчика. В ходе развития си-

стем программирования принципы создания и использования библиотечных

функций претерпели мало изменений. Принципиально новые возможности

предоставили только современные ОС, которые позволили подключать к резуль-

тирующим программам не статические, а динамические библиотеки.

Статическая библиотека — могут быть в виде исходного текста, подклю-

чаемого программистом к своей программе на этапе написания (например, для

языка Fortran существует огромное количество библиотек для решения разных

задач именно в исходных текстах), либо в виде объектных файлов, присоединя-

емых (линкуемых) к исполняемой программе на этапе компиляции (в Microsoft

Windows такие файлы имеют расширение .lib, в UNIX, и ему подобных ОС —

обычно имеют расширение .a). В результате программа включает в себя все не-

обходимые функции, что делает её автономной, но увеличивает размер

Динамическая библиотека — это отдельные файлы, предоставляющие

прикладным программам набор наиболее часто используемых функций, и загру-

жаемые на этапе выполнения при обращении программы к ОС с заявкой на вы-

полнение функции из библиотеки. Если запрошенная библиотека уже загружена

14

в основное запоминающее устройство, программа будет пользоваться загружен-

ной копией. Такой подход позволяет экономить память, поскольку несколько

программ используют одну копию библиотеки, загруженную в память. Динами-

ческие библиотеки хранятся обычно в определенном месте и имеют стандартное

расширение. Например, файлы .library в логическом томе Libs: в AmigaOS; в

Microsoft Windows и OS/2 файлы библиотек общего пользования имеют расши-

рение .dll; в UNIX и ему подобных ОС — обычно .so; в MacOS — .dylib. Слож-

ный процесс загрузки динамических библиотек замедляет запуск программы, но

у него есть существенный, даже можно сказать неоценимый плюс — если другая

запускаемая программа линкована с этой же загруженной динамической библио-

текой, то она использует туже копию библиотеки. Это означает, что требуется

гораздо меньше памяти для запуска нескольких программ, сами загрузочные

файлы меньше по размеру, что экономит место на дисках. Динамические биб-

лиотеки в отличие от традиционных (статических) библиотек подключаются к

программе не в момент ее компоновки, а непосредственно в ходе выполнения,

как только программа затребовала ту или иную функцию, находящуюся в биб-

лиотеке. Преимущества таких библиотек очевидны — они не требуют включать

в программу объектный код часто используемых функций. Различные про-

граммы, выполняемые в ОС, могут пользоваться кодом одной и той же библио-

теки, которая содержится в данной операционной системе. Формат файлов дина-

мических библиотек может быть различным — как правило, он строго определя-

ется требованиями соответствующей операционной системы. Как и статические

библиотеки, динамические библиотеки предусматривают описание входящих в

них функций в виде текста на соответствующем входном языке, чтобы дать ин-

формацию о них компилятору в ходе обработки исходного текста программы и

избавить разработчика от создания таких описаний. Конечно, динамические биб-

лиотеки требуют наличия в операционной системе специального механизма, поз-

воляющего подключать часть объектного кода непосредственно по ходу выпол-

15

нения программы. Однако для довременных операционных систем, выполняю-

щихся в вычислительных системах, которые поддерживают широкий набор ме-

тодов адресации, это не является проблемой. Проблемы, главным образом, свя-

заны с тем, что различные прикладные программы связываются объектным ко-

дом, непосредственно не входящим в их состав. Таким образом, логика (алго-

ритм) работы всех этих программ становится зависимой от кода библиотек. Из-

менение библиотеки, которое может происходить независимо от разработчиков

прикладных программ, может непроизвольно повлиять и на функционирование

данных программ. Такое развитие событий порой оказывается неожиданным для

пользователя программ. Поэтому использование динамических библиотек

накладывает определенные обязательства, как на разработчика программы, так

и на создателя самой библиотеки. Разработчик прикладной программы должен

использовать библиотеку только так, как это определено ее создателем, а созда-

тель библиотеки в случае ее модификации должен организовывать изменения та-

ким образом, чтобы они не сказывались на логике работы программы, ориенти-

рованной на предыдущие версии его библиотеки. Подавляющее большинство

разработчиков (как программ, так и библиотек) стремится придерживаться этих

правил, но не всегда им это удается.

1.2. Обзор ППП для решения вычислительных задач

Сегодня стало возможным моделировать в реальном времени процессы ин-

тенсивных физико-химических и ядерных реакций, глобальные атмосферные

процессы, процессы экономического и промышленного развития регионов и т.д.,

теоретическое описание которых в силу их сложности практически невозможно

Решение таких масштабных задач требует значительных вычислительных ресур-

сов. Использование многопроцессорных систем для решения сложных вычисли-

тельных задач значительно расширяет возможности исследователей, занимаю-

щихся компьютерным моделированием сложных физических процессов.

16

Общепризнанным средством повышения производительности является ин-

тенсивное использование готовых библиотек приложений, или базовых вычис-

лительных технологий, имеющих универсальный характер, ориентированных на

решение целых классов задач. Как правило, библиотеки таких подпрограмм раз-

рабатываются ведущими специалистами в области численных методов и парал-

лельного программирования. Кроме того, использование пакетов прикладных

программ (ППП) при моделировании сложных явлений и процессов, в том числе

с привлечением анимационных и других мультимедийных средств, позволяет в

наглядном виде познакомиться со многими деталями явления (процесса), кото-

рые не могут быть воспроизведены другими способами. Однако при этом сохра-

няется определяющая роль теории и лабораторного или натурного эксперимен-

тов, т. к., в конечном счете, только они могут служить мерилом правильности

численного моделирования [2].

В настоящее время термин «пакет прикладных программ» (ППП) приме-

няется к комплексам программ различной сложности и назначения.

ППП - это совокупность совместимых программ для решения задач опре-

деленного класса. ППП всегда ориентируется на пользователей определенной

квалификации, как в программировании, так и в области, к которой относятся

задачи, решаемые с применением этого ППП.

Совместимость программ, составляющих ППП, означает возможность их

взаимного использования, общность структуры управляющих данных и исполь-

зуемых информационных массивов. Кроме того, ППП следует рассматривать как

самостоятельное программное изделие, как особый вид прикладного ПО.

Можно выделить некоторые общие свойства ППП [3]:

1. Пакет состоит из нескольких программных единиц.

2. Пакет предназначен для решения определенного класса задач, и в преде-

лах своего класса обладает определенной универсальностью, т.е. позволяет ре-

шать большинство задач этого класса.

17

3. Пакет допускает настройку на конкретные условия применения, т.е. в па-

кете предусмотрены средства управления, позволяющие выбирать конкретные

возможности из числа предусмотренных.

4. Пакет разработан с учетом возможности его использования за пределами

той организации, в которой он создан, и удовлетворяет общим требованиям

к программному изделию:

 соответствует существующим стандартам;

 снабжается пользовательской документацией;

 допускает возможность послепродажного обслуживания;

 имеет установленную цену;

 документация и способы применения пакета ориентированы на пользова-

теля, имеющего определенный уровень квалификации в той области знаний,

к которой относятся решаемые пакетом задачи.

Решение многих расчетных задач укладывается в типовую схему, включа-

ющую последовательные шаги ввода исходных данных, выполнения вычисле-

ний и вывода результатов. В ряде случаев решение расчетных задач сводится

к последовательному применению нескольких алгоритмов (программ). Напри-

мер, при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений может

потребоваться сначала провести расчет начальных условий и коэффициентов

уравнений, а затем вычислить обобщенные характеристики исследуемого про-

цесса по заданным формулам.

Сейчас разработка и использование ПО для решения вычислительных за-

дач - одни из важнейших в отрасли ИТ-индустрии. Нередко ее продукты, по тра-

диции называемые пакетами прикладных программ (ППП), имеют историю, для-

щуюся десятилетиями.

1.3. Специализированные пакеты

Специализированные пакеты, применяемые в научных исследованиях, по

своему назначению и применению ППП можно разделить на группы:

18

узкоспециализированные пакеты осуществляющие: решение обык-

новенных дифференциальных уравнений, исследование динамиче-

ских систем (Phaser, Cauchy, AUTO, XPPAUT, Content и др.); реше-

ние задач математического программирования (GAMS, AMPL, CVX,

Lindo, Lingo, MPL, Xpress MP и др.)

системы динамического моделирования механических систем

(ANSYS, Euler);

пакеты имитационного моделирования (Vensim, PowerSim,

AnyLogic, NetLogo, AnyLogic и др.);

статистический анализ данных (SPSS, Stata, Statistica, R и др.);

универсальные ППП, направленные на выполнение численных

(Matlab, Mathcad, Scilab, Octave) и символьных (Maple, Mathematica,

Maxima, Scilab, Derive, Reduce, MuPAD, Axiom, Sage) вычислений;

математические пакеты линейной алгебры (LAPACK, BLAS, Sca-

LAPACK, Aztec, Sparskit и др.);

пакеты, направленные на решение физико-химических задач

(ANSYS, FLUENT, FEMINA, ALGOR, BEASY, Abinit, OpenFOAM,

WIEN2k, Octopus, OpenMX, FieldView, COMSOL Multiphysics,

CRYSTAL, GROMACS, HyperChem, MDynaMix, Molpro);

пакеты визуализации (Tecplot, Origin, Gnuplot, ParaView).

Далее приведем краткое описание некоторых из перечисленных пакетов.

Maple – пакет прикладных программ, предназначенный для решения задач

математики, используя символьные, численные методы, а также визуализацию.

Maple оснащен мощным ядром символьных вычислений. Обладает развитыми

графическими средствами, удобной справочной системой. Имеет собственный

язык программирования, напоминающий Паскаль.

Mathcad – система компьютерной алгебры из класса систем автоматизиро-

ванного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных доку-

19

ментов с вычислениями и визуальным сопровождением. Эта программа, в основ-

ном, ориентирована на пользователей-непрограммистов. Mathcad также исполь-

зуется в сложных проектах, чтобы визуализировать результаты математического

моделирования путём использования распределенных и традиционных языков

программирования. Имеет мощный и исчерпывающий набор операторов и функ-

ций, а также множество примеров, электронных книг и библиотек, готовых ре-

шений практических задач. Ядро символьных вычислений импортировано из

СКМ Maple.

Mathematica — пакет прикладных программ, предназначенный для реше-

ния задач различных областей математики (обработки изображений, сигналов и

др.), используя символьные, численные методы, а также визуализацию. Вклю-

чает в себя интерфейс к базе знаний WolframAlpha, может быть использован для

публикации математических расчетов в интернете.

MATLAB – пакет прикладных программ, предназначенный для решения

задач различных областей математики, каждая из которых реализована в виде

расширения. Расширения включают в себя алгоритмы для решения задач опти-

мизации, статистики, обработки сигналов, а также предоставляют доступ к сим-

вольным и параллельным вычисления на видео карте и кластере. Имеет развитый

язык программирования с возможностями объектно-ориентированного програм-

мирования (ООП), совместимость с алгоритмическим языком Java

Statistica Advanced — пакет прикладных программ, предназначенный для

решения задач статистики, таких как обработка, анализ и визуализация данных,

а также для кластеризации, классификации и поиска исследуемых объектов.

1.3.1. Пакеты программ для решения отдельных классов задач математиче-

ской физики

Сейчас созданы и успешно развиваются пакеты программ для решения от-

дельных классов задач математической физики. В настоящее время широкое рас-

пространение получили пакеты вычислительной гидродинамики, тепломассооб-

мена, прочности и электродинамики для проведения инженерных расчетов.

20

Среди них можно упомянуть такие, как CFX, FLUENT, STAR-CD, LS-DYNA,

ANSYS, ABAQUS, FlowVision, MSC/NASTRAN, MSC/MARC, MAGMASOFT,

SolidWorks и др.

Octopus - программный пакет для расчета электронной структуры в рамках

теорий функционала плотности (DFT и TDDTF). Использует для распараллели-

вания стандарты MPI и OpenMP, имеет поддержку графических процессоров

(GPU) через OpenCL, может масштабироваться на десятки тысяч процессоров.

OpenFOAM (Open Source Field Operation And Manipulation CFD ToolBox) -

открытая интегрируемая платформа для численного моделирования задач меха-

ники сплошных сред. Позволяет решать задачи гидродинамики ньютоновских и

неньютоновских вязких жидкостей; задачи теплопроводности в твёрдом теле; за-

дачи, связанные с деформацией расчётной сетки; сопряжённые задачи и многие

другие. Поддерживает распараллеливание в рамках моделей распределенной и

общей памяти.

OpenMX (Open source package for Material eXplorer) – квантово-механиче-

ский программный пакет для моделирования наноструктур, основанный на ис-

пользовании теории функционала плотности (DFT) и псевдопотенциалов для из-

вестных типов атомов. Реализует различные технологии распараллеливания:

MPI (для систем с распределенной памятью), OpenMP (для систем с общей па-

мятью), MPI+OpenMP (гибридное). Распространение пакета и его исходных ко-

дов соответствует лицензии GPLv2.

Практически все численные методы решения уравнений в частных произ-

водных сводятся к решению систем линейных уравнений. Работа с системами

линейных уравнений означает, что программа должна эффективно работать с

матрицами и векторами. Общепринятым «стандартом» для операций с ними яв-

ляются библиотеки BLAS (основные операции) и LAPACK. Оптимизация этих

библиотек оказывает большое влияние на эффективность работы программ.

21

BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms) – библиотека высококачествен-

ных процедур, «строительными блоками» для которых являются вектора, мат-

рицы или их части. Уровень 1 BLAS используется для выполнения операций век-

тор-вектор, уровень 2 BLAS – для выполнения матрично-векторных операций,

наконец, уровень 3 BLAS – для выполнения матрично-матричных операций. По-

скольку программы BLAS являются эффективными, переносимыми и легко до-

ступными, они используются как базовые компоненты для развития высококаче-

ственного программного обеспечения для задач линейной алгебры. Так были со-

зданы широко известные пакеты LINPACK, EISPACK, которые затем были пе-

рекрыты пакетом LAPACK, получившим большое распространение. Перечис-

ленные пакеты разработаны на языке Fortran;

ITSOL (The New Sparskit Preconditionning Module) – пакет, содержащий

способы предобусловливания, ориентированные на разреженные матрицы. Яв-

ляется составной частью пакета SPARSKIT.

LAPACK (Linear Algebra Package) – набор реализаций «продвинутых» ме-

тодов линейной алгебры. LAPACK содержит процедуры для решения систем ли-

нейных уравнений, задач нахождения собственных значений и факторизации

матриц. Обрабатываются заполненные и ленточные матрицы, но не разреженные

матрицы общего вида. Во всех случаях можно обрабатывать действительные и

комплексные матрицы с одиночной и удвоенной точностью. Процедуры

LAPACK построены таким образом, чтобы как можно больше вычислений вы-

полнялось с помощью обращений к BLAS с использованием всех его трех уров-

ней. Вследствие крупнозернистости операций уровня 3 BLAS, их использование

обеспечивает высокую эффективность на многих высокопроизводительных ком-

пьютерах, в частности, если производителем создана специализированная реали-

зация. LAPACK - это библиотека с открытым исходным кодом, содержащая ме-

тоды для решения основных задач линейной алгебры. Она написана на языке

Fortran с использованием библиотеки BLAS и является развитием пакета

LINPACK.

22

В качестве пакетов, реализующих итерационные методы, приведем следу-

ющий список: Laspack, Aztec, ScaLAPACK, Expokit, IML++, IOMDRV, Iterative-

solvers, ITPACK, MTL, Software Iterative Methods: GMRESR and BiCGstab(ell),

SparseLib++, SPARSKIT, SPLIB, SSLES, SIRSM, TNT, WSMP, YI2M.

Особенностью решения уравнений в частных производных является необ-

ходимость решать системы линейных уравнений с очень большим числом пере-

менных, но при этом соответствующие матрицы имеют большое количество ну-

левых элементов (являются разреженными). Практически любой расчёт может

стать невозможным, если хранить все эти нулевые элементы в памяти компью-

тера. Соответственно, очень важна способность программного обеспечения эф-

фективно работать именно с разреженными матрицами (хранить в памяти только

ненулевые элементы).

AZTEC – библиотека параллельных подпрограмм для решения больших

систем линейных алгебраических уравнений с разреженными матрицами;

BLACS (Basic Linear Algebra Communication Subprograms) – набор базовых

коммуникационных процедур линейной алгебры, созданных для линейной ал-

гебры. Вычислительная модель состоит из одномерной или двумерной решетки

процессов, где каждый процесссодержит часть матрицы или вектора. BLACS ис-

пользуется как коммуникационный слой проекта ScaLAPACK, который перено-

сит библиотеку LAPACK на машины с распределенной памятью;

BlockSolve95 – параллельная библиотека для решения разреженных систем

линейных уравнений;

CAPSS – пакет для параллельного решения разреженных линейных си-

стем;

PBLAS – Параллельные версии базовых процедур линейной алгебры

(BLAS)

ParPre – пакет параллельных версий способов предобусловливания, ори-

ентированных на разреженные матрицы, являющийся составной частью PETs;

23

Parallel Algorithms Project – пакет параллельных версий итерационных ме-

тодов Крыловского типа для решения разреженных систем;

PIM (The Parallel Iterative Methods) – набор процедур на Фортран-77, реа-

лизующих параллельные версии различных итеративных методов решения раз-

реженных систем линейных уравнений;

PSparselib (A Portable Library of Parallel Sparse Iterative Solvers) – библио-

тека параллельных итерационных методов для разреженных линейных систем;

ScaLAPACK (Scalable LAPACK) – параллельная версия LAPACK. Широ-

кий набор подпрограмм для решения стандартных задач линейной алгебры. Аль-

тернативой ScaLAPACK является пакет функций PLAPACK.

ScaLAPACK (Scalable Linear Algebra PACKage) — библиотека с открытым

исходным кодом, включающая в себя подмножество процедур LAPACK, пере-

работанных для использования на MPP-компьютерах[1], включая: решение си-

стем линейных уравнений, обращение матриц, ортогональные преобразования,

поиск собственных значений и др. В настоящее время она написана в стиле

Single-Program-Multiple-Data с помощью явной передачи сообщений для меж-

процессорного взаимодействия. ScaLAPACK разработана с использованием

PBLAS и BLACS, и предназначена для вычислений на любом компьютере или

кластере поддерживающим MPI или PVM.

ScaLAPACK фактически стал стандартом в программном обеспечении

многопроцессорных систем. В этом пакете почти полностью сохранены состав и

структура пакета LAPACK и практически не изменились обращения к подпро-

граммам верхнего уровня. В основе успеха реализации этого проекта лежали два

принципиально важных решения:

в пакете LAPACK все элементарные векторные и матричные опера-

ции выполняются с помощью высокооптимизированных подпрограмм библио-

теки BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms). По аналогии с этим при реализа-

ции ScaLAPACK была разработана параллельная версия этой библиотеки

24

PBLAS, что избавило от необходимости радикальным образом переписывать

подпрограммы верхнего уровня.

все коммуникационные операции выполняются с использованием

подпрограмм из специально разработанной библиотеки BLACS (Basic Linear

Algebra Communication Subprograms), поэтому перенос пакета на различные мно-

гопроцессорные платформы требует настройки только этой библиотеки.

Общая структура пакета ScaLAPACK представлена на Рис. 1 Структура

пакета ScaLAPACKРис. 1.

Рис. 1 Структура пакета ScaLAPACK

На этом рисунке компоненты пакета, расположенные выше разделитель-

ной линии, содержат подпрограммы, которые выполняются параллельно на не-

котором наборе процессоров и в качестве аргументов используют векторы и мат-

рицы, распределенные по этим процессорам. Подпрограммы из компонентов па-

кета ниже разделительной линии вызываются на одном процессоре и работают с

локальными данными. Каждый из компонентов пакета – это независимая биб-

лиотека подпрограмм, которая не является частью библиотеки ScaLAPACK, но

25

необходима для ее работы. В тех случаях, когда на компьютере имеются опти-

мизированные фирменные реализации каких-то из этих библиотек (BLAS,

LAPACK), то настоятельно рекомендуется для достижения более высокой про-

изводительности использовать именно эти реализации.

Собственно сама библиотека ScaLAPACK состоит из 530 подпрограмм, ко-

торые для каждого из 4-х типов данных (вещественного, 168 вещественного с

двойной точностью, комплексного, комплексного с двойной точностью) разде-

ляются на три категории:

• Драйверные подпрограммы, каждая из которых решает некоторую

законченную задачу, например, решение системы линейных алгебраических

уравнений или нахождение собственных значений вещественной симметричной

матрицы. Таких подпрограмм 14 для каждого типа данных. Эти подпрограммы

обращаются к вычислительным подпрограммам.

• Вычислительные подпрограммы выполняют отдельные подзадачи,

например, LU разложение матрицы или приведение вещественной симметрич-

ной матрицы к трехдиагональному виду. Набор вычислительных подпрограмм

значительно перекрывает функциональные потребности и возможности драйвер-

ных подпрограмм.

• Служебные подпрограммы выполняют некоторые внутренние вспо-

могательные действия.

Подробное описание пакета и особенностей работы с ним можно посмот-

реть в учебном пособии «Программирование многопроцессорных вычислитель-

ных систем» [1].

Общая организация библиотеки Aztec

Множество задач, решаемых на многопроцессорных системах, требуют ре-

шения больших систем линейных уравнений с разреженными матрицами

A*Х = В, (15.1)

где A – задаваемая пользователем разреженная матрица n × n,

26

В – задаваемый пользователем вектор длины n,

Х – вектор длины n, который должен быть вычислен.

В исследовательской лаборатории параллельных вычислений Сандии

(США) разработан достаточно эффективный и удобный в использовании пакет

подпрограмм Aztec [18] для решения итерационными методами системы уравне-

ний (15.1). Пакет изначально разрабатывался для того, чтобы облегчить перенос

приложений с однопроцессорных вычислительных систем на многопроцессор-

ные. Предоставляемые средства трансформации данных позволяют легко созда-

вать разреженные неструктурированные матрицы для решения как на однопро-

цессорных, так и на многопроцессорных системах. Aztec включает в себя проце-

дуры, реализующие ряд итерационных методов Крылова:

• метод сопряженных градиентов (CG),

• обобщенный метод минимальных невязок (GMRES),

• квадратичный метод сопряженных градиентов (CGS),

• метод квазиминимальных невязок (TFQMR),

• метод бисопряженного градиента (BiCGSTAB) со стабилизацией.

Все методы используются совместно с различными переобуслав- ливате-

лями (полиномиальный метод и метод декомпозиции областей, использующий

как прямой метод LU, так и неполное LU разложение в подобластях). Хотя мат-

рица A может быть общего вида, пакет ориентирован на матрицы, возникающие

при конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравнений в част-

ных производных (Partial Differential Equations – PDE). Наконец, Aztec может ис-

пользовать одно из двух представлений разреженных матриц: поэлементный

формат модифицированной разреженной строки (MSR) или блочный формат пе-

ременной блочной строки (VBR). Подробное описание пакета и особенностей

работы с ним можно посмотреть в учебном пособии [].

27

1.3.2. Физические расчеты

??? Три наиболее используемых математических метода: метод конечных

элементов, метод конечных объёмов и метод конечных разностей.

Пакеты прикладных программ (ППП) в практике проведения сложных ин-

женерных и научных расчетов используются достаточно давно. Опыт примене-

ния ППП изложен в ряде отечественных работ, например: [8] (пакет FEMINA),

[10] (пакет Минкур). Среди зарубежных ППП популярными являются пакеты

“Algor” (www.algor.com) и “Ansys” (www.ansys.com) — для метода конечных

элементов, пакет “Beasy” (www.beasy.com) — для метода граничных элементов.

Все перечисленные пакеты имеют свою определенную специфику и не приме-

нимы для задач гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости со свобод-

ными границами.

Abinit — пакет прикладных программ, предназначенный для решения за-

дач материаловедения в рамках теории функционала плотности, в частности для

нахождения электронной плотности, расчета полной энергии и свойств материа-

лов.

ANSYS — пакет прикладных программ, предназначенный для инженер-

ных расчетов и моделирования физических явлений, включающих в себя элек-

тромагнитные, физические и волновые взаимодействия. Включает в себя графи-

ческую среду моделирования.

OpenFOAM — пакет инструментальных средств и библиотек предназна-

ченный для моделирования физических явлений и решения задач вычислитель-

ной гидродинамики. http://www.openfoam.com

WIEN2k — пакет прикладных программ, предназначенный для решения

задач квантовой механики твердых тел, в частности задач теории функционала

плотности.

Elmer – препроцессор применяющийся при решении уравнения теплопро-

водности с помощью препроцессора http://www.csc.fi/english/pages/elmer

28

1.3.3. Химические расчеты

COMSOL Multiphysics — пакет прикладных программ, предназначенный

для инженерных расчетов и моделирования одновременно протекающих физи-

ческих процессов. Программа имеет доступ к возможностям MATLAB и его рас-

ширениям. Пакет COMSOL содержит модули для химических расчетов

(Chemical ReactionEngineering Module) и модуль для моделирования теплооб-

мена (Heat Transfer Module), а также графическую среду моделирования.

CRYSTAL — пакет прикладных программ для расчетов в области кванто-

вой химии твердого тела. Разработан специально для моделирования 3- и 2-пе-

риодических кристаллических решеток и 1-периодических полимеров. Crystal

позволяет вычислять энергию основного состояния, ее изменение, а также вол-

новые функции и параметры периодических систем.

GROMACS — пакет прикладных программ, предназначенный для реше-

ния задач молекулярной динамики, и в частности для моделирования белков, ли-

пидов и нуклеиновых кислот. http://www.gromacs.org

HyperChem — пакет прикладных программ, предназначенный для реше-

ния задач молекулярной динамики, механики и квантовой химии. Программа

предоставляет графическую среду для моделирования, визуализации и трехмер-

ной анимации изучаемых объектов.

MDynaMix — пакет прикладных программ, предназначенный для реше-

ния задач молекулярной динамики.

Molpro — пакет прикладных программ, предназначенный для решения за-

дач квантовой химии, используя высокоточные методы.

Пакет FLUENT предназначен для моделирования сложных течений жид-

костей и газов с широким диапазоном изменения теплофизических свойств по-

средством обеспечения различных параметров моделирования и использования

29

многосеточных методов с улучшенной сходимостью. Он дает оптимальную эф-

фективность и точность решения для широкого диапазона моделируемых ско-

ростных режимов. Изобилие физических моделей в пакете FLUENT позволяет с

хорошей точностью предсказывать ламинарные и турбулентные течения, раз-

личные режимы теплопереноса, химические реакции, многофазные потоки и

другие явления на основе гибкого построителя сеток и их адаптации к получае-

мому решению.

Пакет FLUENT характеризуется следующими возможностями:

• моделирование 2D плоских, 2D осесимметричных, 2D осесиммет-

ричных закрученных и 3D потоков;

• использование неструктурированных сеток;

• моделирование установившихся или нестационарных течений;

• моделирование всех скоростных режимов;

• моделирование невязких, ламинарных и турбулентных потоков;

• моделирование течений ньютоновских и неньютоновских жидко-

стей;

• широкий набор моделей турбулентности;

• моделирование теплопереноса, включая различные виды конвекции,

сопряженный теплообмен и излучение;

• использование моделей горения перемешанных и неперемешанных

химических компонентов, моделей поверхностного осаждения и гетерогенных

реакций;

• использование моделей потоков со свободной поверхностью и мно-

гофазных течений, включая теплоперенос и химические реакции;

• вычисление траекторий частиц в лагранжевом подходе описания

дисперсных потоков, включая модели развития тонких пленок и образования

аэрозолей;

30

• использование моделей фазовых переходов для приложений, рас-

сматривающих плавление/затвердевание, эффекты кавитации и образования

влажного пара;

• моделирование пористых сред с анизотропной проницаемостью, со-

противлением, теплопроводностью и возможностью вычисления скоростей в по-

рах;

• использование специальных моделей для вентиляторов, радиаторов

и теплообменников;

• использование динамических сеток для моделирования потоков во-

круг движущихся объектов;

• использование стационарных, вращающихся и ускоряющихся си-

стем отсчета;

• широкий набор средств моделирования аэроакустики;

• возможность включения в модель объемных источников массы, им-

пульса, тепла и химических реакций; • возможность индивидуальной подстройки

численной модели через определяемые пользователем функции.

• В пакете имеются средства автоматической и ручной балансировки

нагрузки на параллельно работающих процессах. Помимо вычислительного мо-

дуля FLUENT вместе с пакетом поставляются средства подготовки сеток для

рассматриваемых задач – GAMBIT и TGrid.

FieldView – комплексное многоцелевое решение для моделирования трех-

мерных течений жидкости и газа. FlowVision основан на численном решении

трехмерных стационарных и нестационарных уравнений динамики жидкости и

газа, которые включают в себя законы сохранения массы, импульса (уравнения

Навье-Стокса), уравнения состояния. Для расчета сложных движений, сопровож-

даемых такими физическими явлениями как, турбулентность, горение, контакт-

31

ные границы раздела, пористость среды, теплоперенос и так далее, в математи-

ческую модель включаются дополнительные уравнения, описывающие эти явле-

ния.

FlowVision использует конечно-объемный подход для аппроксимации

уравнений математической модели. Уравнения Навье-Стокса решаются методом

расщепления по физическим процессам (проекционный метод MAC). FlowVision

основан на следующих технологиях вычислительной гидродинамики и компью-

терной графики:

прямоугольная расчетная сетка с локальным измельчением расчет-

ных ячеек;

аппроксимация криволинейных границ расчетной области методом

подсеточного разрешения геометрии;

импорт геометрии из систем САПР и конечно-элементных систем че-

рез поверхностную сетку;

ядро программы написано на языке C++;

имеет клиент-серверную архитектуру;

пользовательский интерфейс - для операционных систем MS

Windows и Linux;

система анализа результатов расчетов использует высококачествен-

ную графику на основе OpenGL;

FlowVision построен на базе единой интегрированной среды, в которой

препроцессор, решатель и постпроцессор объединены и работают одновременно.

В функциональное назначение Препроцессора входит импортирование геомет-

рии расчетной области из систем геометрического моделирования, задание мо-

дели среды, расстановка начальных и граничных условий, генерация или импорт

расчетной сетки и задание критериев сходимости. После этого управление пере-

дается Решателю, который начинает процесс счета. При достижении требуемого

значения критерия сходимости процесс счета может быть остановлен. Резуль-

таты расчета непосредственно во время счета доступны для Постпроцессора, в

32

котором производится обработка данных – визуализация результатов и сохране-

ние их во внешние форматы данных. Такое построение позволяет проводить мо-

делирование и одновременно, визуализируя значение любой переменной, анали-

зировать результаты расчета, менять граничные условия и параметры математи-

ческой модели. Архитектура программного комплекса FlowVision является мо-

дульной, что позволяет легко добавлять новые функциональные возможности и

вносить улучшения.

1.3.4. Пакеты визуализации

Tecplot 360 – это программный пакет, обеспечивающий пользователю воз-

можность инженерного построения графиков, обладающий великолепным функ-

циональным оснащением для работы в форматах 2D, 3D и XY. Приложение раз-

работано с целью определения эксплуатационных данных, организации тестовой

информации, математического анализа и, в целом, для инженерного построения.

Существует также похожая утилита, созданная этим же производителем -

Tecplot Focus. По большому счету, эти две программы похожи за исключением

того, что версия Focus не поддерживает формат CFD и переменную информа-

цию.

Пользователи, работающие с финишной версией Tecplot 360, могут ис-

пользовать широкий ассортимент open-source библиотек. Они помогут выпол-

нить какой-либо научный проект или разработку.

Посредством Tecplot можно чертить и визуализировать, иными словами

представлять работу в наиболее выгодном свете. Если пользователю необходимо

представить данные по-новому, различными способами, лучше всего ему вос-

пользоваться именно этой утилитой, ведь она позволяет полностью контролиро-

вать параметры трехмерного и плоскостного черчения.

В Tecplot 360 необходимо выделить одну важную особенность – программ-

ный пакет предоставляет возможность писать скрипты на языке Python. Эта

33

функция была интегрирована в утилиту специально для инженеров, которые вы-

полняют дополнительный анализ (статистические функции, сплайны, FFTs). По-

мимо этого, она обеспечивает необходимую гибкость при написании скриптов,

сравнительно с написанием макросов.

Python – бесплатный язык программирования, располагающий сильной

поддержкой и инструментами для интеграции с иными языками. Он поставля-

ется совместно с обширными стандартными библиотеками, которые могут ис-

пользовать пользователи для своих целей.

Файлы, созданные в Tecplot 360, содержат в себе выходные данные (полу-

ченные в результате научных расчетов), несколько кадров и визуальный макет

рабочей зоны проекта. Программа позволяет сохранять файлы в текстовом фор-

мате ASCII. Однако такой формат не подойдет большим наборам данных, по-

скольку работает он медленнее, нежели бинарный формат .PLT. Также поддер-

живается формат файлов .LAY.

Итак, к ключевым особенностям приложения стоит отнести:

- непревзойденные многокаркасные макеты;

- автоматизацию и макросы;

- векторное, полярное, контурное построение графиков;

- высокое качество проектов, как растровых, так и векторных.

Origin — пакет программ фирмы OriginLab Corporation для численного

анализа данных и научной графики, работающий на компьютере под управле-

нием операционной системы Microsoft Windows.

Для выполнения операций можно как использовать инструмент графиче-

ского интерфейса пользователя (диалоги/меню), так и вызывать их в программах.

В Origin включён собственный компилятор C/C++ с поддержкой и оптимизацией

векторных и матричных вычислений.

Origin создана для создания двумерной, трёхмерной научной графики, ко-

торая создаётся с помощью готовых шаблонов, доступных для редактирования

34

пользователем. Также возможно создавать новые собственные шаблоны. После

создания изображения оно может быть отредактировано с помощью меню и диа-

логов, вызываемых двойным щелчком мыши на его элементах. Можно экспор-

тировать полученные графики и таблицы в ряд форматов, таких как PDF, EPS,

WMF, TIFF, JPEG, GIF и др.

С помощью Origin можно проводить численный анализ данных, включая

различные статистические операции, обработку сигналов и т. п.

ParaView – открытый графический кросс-платформенный пакет для интер-

активной визуализации в исследовательских целях. Пакет ParaView предостав-

ляет пользователю возможности интерактивной визуализации и исследования

больших массивов данных для качественного и количественного анализа. Пакет

ParaView разрабатывался для осуществления параллелизма данных на компью-

терах с общей, распределённой памятью и кластеров. При этом ParaView может

использоваться и на персональных компьютерах. ParaView используется как сам

по себе, так и встраивается в качестве средства визуализации в другие программ-

ные продукты.

Gnuplot — свободная программа для создания двух- и трёхмерных графи-

ков. Gnuplot имеет собственную систему команд, может работать интерактивно

(в режиме командной строки) и выполнять скрипты, читаемые из файлов. Также

используется в качестве системы вывода изображений в различных математиче-

ских пакетах: GNU Octave, Maxima, Reduce и других.

Gnuplot выводит графики как непосредственно на экран (интерактивный

режим), так и в файлы различных графических форматов (командный режим ра-

боты), таких как PNG, EPS, SVG, JPEG и множество других. Программа также

может генерировать код на LaTeX, позволяя использовать шрифты и формулы

LaTeX.

35

1.4. Библиотека параллельных методов Aztec

При реализации каких-либо задач на многопроцессорных вычислитель-

ных системах, возникает необходимость использования распараллеленных алго-

ритмов, реализованных в виде параллельных подпрограмм. Библиотеки такого

рода разрабатываются ведущими специалистами в области численных методов и

параллельного программирования и широко используются для решения реаль-

ных прикладных задач. На многопроцессорных системах суперкомпьютерного

центра Южного Федерального Университета установлена одна из таких библио-

тек параллельных подпрограмм – Aztec. Программы, использующие этот пакет,

могут выполняться на любой вычислительной системе без каких либо модифи-

каций.

Пакет параллельных подпрограмм Aztec разработан в исследовательской

лаборатории параллельных вычислений Сандии (Sandia) (США) для решения

больших систем линейных алгебраических уравнений с разреженными матри-

цами

= ,Ax b

где А – задаваемая пользователем разреженная матрица n n , b – задаваемый

пользователем вектор длины n, x – вектор длины n, который должен быть вычис-

лен.

Aztec включает в себя процедуры, реализующие ряд итерационных мето-

дов подпространства Крылова:

• метод сопряженных градиентов (CG),

• обобщенный метод минимальных невязок (GMRES),

• квадратичный метод сопряженных градиентов (CGS),

• метод квазиминимальных невязок (TFQMR),

• метод бисопряженных градиентов (BiCGSTAB) со стабилизацией.

Все методы используются совместно с различными переобуславливате-

лями (полиномиальный метод и метод декомпозиции областей, использующий

36

как прямой метод LU, так и неполное LU разложение в подобластях). Хотя мат-

рица A может быть общего вида, пакет ориентирован на матрицы, возникающие

при конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравнений в част-

ных производных.

Наиболее эффективным способом построения последовательности векто-

ров сопряженных направлений для системы Ax b является метод сопряжен-

ных градиентов (CG) [23, 77, 135, 166, 191], в котором вектора направлений ге-

нерируются в процессе выполнения самого метода.

В методе CG строится последовательность векторов, ортогональная под-

пространству Крылова 0 ,mK r A , где 0r – начальная невязка. Алгоритм метода

можно записать в следующем виде:

Вычисляется невязка 0 0r b Ax

Полагается 0 0p r

0,1,j пока не достигнута необходимая точность

, ,j j j j jr r Ap p ,

1j j j jx x p ,

1j j j jr r Ap ,

1 1, ,j j j j jr r r r ,

1 1j j j jp r p

Следует отметить, что кроме самой матрицы А в процессе решения необ-

ходимо хранить еще и вектора , , ,x p Ap r .

GMRES (Generalized Minimal Residual algorithm) был предложен Саадом

(Saad) и Шульцем (Schultz) в 1986 году [229]. На каждом шаге минимизируется

норма вектора невязки, поэтому метод и носит название Обобщенного Метода

Минимальных Невязок.

Алгоритм метода можно описать следующим образом:

37

Строится система ортонормированных векторов (на основе метода

Арнольди построения ортонормированного базиса подпростран-

ства Крылова) и формируется матрица Хессенберга.

0 0r b Ax , 0

1

rv , где 0r ;

.,,1,ˆ

,ˆ

;ˆ

;,,2,1,,

,1

1

11,1

1

,1

,

jih

vvvh

vhAvv

mjvAvh

jj

j

jjjj

j

i

ijijj

ijji

Формируется приближенное решение 0m m mx x V y , где

mV – базис

подпространства Крылова, my – вектор из m компонент, минимизи-

рущий норму yHe mm ,11 , Hm+1,m – матрица Хессенберга.

Проверяется точность. Если она достигнута, то процесс окончен,

иначе – процесс запускается заново.

Главный недостаток практического применения метода состоит в том, что

необходимо хранить все базисные вектора пространства Крылова и верхнюю

матрицу Хессенберга. Очевидный способ преодоления этого недостатка заклю-

чается в повторном запуске итерационного процесса после нахождения прибли-

женного решения с помощью m векторов, где m – произвольно выбранное нату-

ральное число. Этот алгоритм получил название GMRES(m) и был предложен в

[229]. Вопрос о выборе числа векторов пространства Крылова остается откры-

тым до настоящего времени. Если число векторов слишком мало, то метод схо-

дится очень медленно (или вообще нет сходимости, особенно для неположи-

тельно определенных систем), если же m велико, тогда сильно увеличивается вы-

числительная работа и требования к памяти.

Заметим, что алгоритм метода GMRES может дать сбой только если при

построении очередного вектора базисных векторов в методе Арнольди 1, 0j jh .

Но, как показано в [229], в этом случае минимальная норма невязки равна нулю,

38

а следовательно jx – точное решение. Этот случай получил название "lucky

background".

Результатом исследований применения техники Ланцоша для несиммет-

ричных задач стало получение ряда практических алгоритмов. Среди них можно

выделить BiCG и QMR-алгоритмы [189]. Алгоритм BiCG (Biconjugate Gradient)

был предложен Ланцошом в 1952, но современную (CG-подобную) версию раз-

работал Флетчер в 1974 [230].

Метод бисопряженных градиентов – это проекционный процесс в про-

странстве 1

1 1 1, , , m

mK v Av A v, ортогональном к

1

1 1 1 1, , ,m

T T

mL w A w A w w

.

Следовательно, строится не один ортогональный базис (как в случае GMRES), а

два базиса, ортогональные друг другу. Как правило, 01

0

rv

r , а начальный вектор

1w выбирается таким образом, что 1 1, 0v w , часто он устанавливается равным

1v . Эта процедура называется двухсторонним методом Ланцоша.

Алгоритм метода бисопряженных градиентов может быть записан в сле-

дующем виде:

Вычисляется 0 0r b Ax и выбирается *

0r так, что *

0 0, 0r r .

Полагается * *

0 0 0 0,p r p r .

1,2,j пока не достигнута нужная точность

* *, ,j j j j jr r Ap p ,

1j j j jx x p ,

1j j j jr r Ap ,

* * *

1

T

j j j jr r A p ,

* *

1 1, ,j j j j jr r r r ,

1 1j j j jp r p

39

* * *

1 1j j j jp r p .

С практической точки зрения алгоритм метода BiCG имеет ряд преиму-

ществ над GMRES. Например, он не требует больших объемов памяти, хранит

только несколько векторов, и затраты на их вычисление невелики.

Метод CGS (Conjugate Gradient Squared) был предложен в 1984 году Зон-

невельдом (Sonneveld). В этом методе предлагается использовать появляющуюся

в BiCG транспонированную матрицу TA и обеспечить более быструю сходи-

мость метода с теми же вычислительными затратами.

Алгоритм метода состоит в следующем:

Вычисляется 0 0r b Ax и выбирается *

0r произвольным образом,

Полагается 0 0 0p u r ,

1,2,j пока не достигнута нужная точность

* *

0 0, ,j j jr r Ap r ,

j j j jq u Ap ,

1j j j j jx x u q ,

1j j j j jr r A u q ,

* *

1 0 0, ,j j jr r r r ,

1 1j j j ju r q ,

1 1j j j j j jp u q p

Следует обратить внимание, что здесь нет никаких произведений мат-

рицы на вектор с участием TA . Хотя произведение матрицы A на вектор встре-

чается на каждом шаге дважды, ожидается, что скорость сходимости этого ме-

тода в два раза быстрее, чем у метода BiCG. Недостатком метода является возве-

дение многочленов в квадрат, что ведет к нарастанию погрешности из-за ошибок

округления.

Метод BiCGSTAB является вариацией методов CGS и BiCG.

40

Алгоритм метода состоит в следующем:

Вычисляется 0 0r b Ax и выбирается *

0r произвольным образом,

Полагается 0 0 0p u r ,

1,2,j пока не достигнута нужная точность

* *

0 0, ,j j jr r Ap r ,

j j j js r Ap ,

, ,j j j j jAs s As As

1j j j j j jx x p s ,

1j j j jr s As ,

*

1 0

*

0

,

,

j j

j

jj

r r

r r

,

1 1j j j j j jp r p Ap

Алгоритм TFQMR был получен в 1994 году(Freund) из метода CGS. Идея

метода состоит в том, что вычисление jx на следующем шаге 1j j j j jx x u q

заменяют вычислением 1jx в полушагах:

1 1

2 2

,j j j j j jj j

x x u x x q .

Сравнивая приведенные методы подпространства Крылова следует отме-

тить, что каждый шаг метода BiCG требует двух произведений матрицы на век-

тор, по сравнению с одним произведением у TFQMR и BiCGStab и в этом смысле

BiCG более дорогой метод. Во многих случаях GMRES будет быстрее сходиться.

В случае большого количества шагов BiCGStab и TFQMR дают лучший резуль-

тат. Однако, если объем памяти позволяет, GMRES(m) с большим числом m яв-

ляется самым надежным методом.

Список литературы:

41

1. А. А. Букатов, В. Н. Дацюк, А. И. Жегуло. Программирование мно-

гопроцессорных вычислительных систем. Ростов-на-Дону. Издательство ООО

«ЦВВР», 2003, 208 с.

2. Кондранин Т.В., Ткаченко Б.К., Березникова М.В., Евдокимов А.В.,

Зуев А.П. Применение пакетов прикладных программ при изучении курсов ме-

ханики жидкости и газа: Учебное пособие ― М.: МФТИ, 2005. ― 104 с.

3. Соловьев С. В., Цой Р. И., Гринкруг Л. С. Технология разработки

прикладного программного обеспечения. М: Академия Естествознания, 2011.

208 с.

42

Глава 2. Алгоритмы решения конкретных задач гидродинамики и процессов конвективно-диффузионного переноса

2.1. Двухслойная математическая модель гидродинамики в

водоемах с большой неоднородностью глубин

Одним из основных этапов решения задач, связанных с моделированием

гидрофизических процессов в водоемах, является расчет гидродинамических па-

раметров течения. Определенный интерес представляют водоемы с наличием как

обширных мелководных районов, так и областей с достаточно большой глуби-

ной. Понятие «мелководье» не имеет четкого определения. В данной работе под

мелководьем понимается район акватории водоема, глубина которого сораз-

мерна с величиной перепада уровня воды при сгонно-нагонных явлениях. В рас-

сматриваемых водоемах площадь мелководья может достигать 20% от общей его

площади.

При расчете параметров течения в мелководных водоемах используют,

как правило, уравнения мелкой воды, а течения в глубоководных водоемах мо-

делируются трехмерными уравнениями движения жидкости. Если же водоем

имеет обширные мелководные районы и районы с достаточно большой глуби-

ной, то применение уравнений мелкой воды не даст достоверной картины тече-

ний в глубоководье. В то же время, использование трехмерных уравнений во

всем водоеме может потребовать, по крайней мере, по вертикали использования

криволинейных сеток [157] или предварительного преобразования исходной

нерегулярной области в регулярную [57]. Для более точного описания границы

вводятся специальные координатные системы, хорошо согласуемые с границей

[200], или строятся специальные адаптивные сетки, которые подстраиваются в

процессе расчетов под область и решение [117, 118, 119].

Во многих работах уравнения движения записываются в -координатах,

суть которых заключается в переходе от декартовых координат (x, y, z, t) к -

координатам или s-координатам – (x*, y*, k, t*). Формулы преобразования имеют

вид:

43

, , ,

, , , , , ,

x x y y t t

z x y t s x y k t

(0.1)

где k, вообще говоря, непрерывная переменная, принимающая значения в проме-

жутке 1 bk K и зависящая от времени t. Значение k=1 соответствует свободной

морской поверхности, когда s=0 и , ,z x y t – перепаду уровня воды. Зна-

чение bk K соответствует дну, когда ,z H x y – глубине [215]. Такое пре-

образование возможно, если положить

, , , 1 0, 1bs k H x y x y K .

Из (0.1) для любой зависимой переменной , , , , , ,x y z t x y k t сле-

дует

, ,k k

x x k x y y k y

(0.2)

,k k

z k z t t k t

.

(0.3)

Так как 0zx

, то

/x x k

ks s

x

,

где ,x x

ss

x x

.

Аналогично получаем

/ , 1/ , /y y k k t t k

k k ks s s s s

y z t

.

Тогда формулы (0.2) – (0.3) можно переписать в виде:

44

,k k

z k z t t k t

(0.4)

1, t t

k k

s

z k s t t k s

(0.5)

Формулы (0.4)-(0.5) используются для преобразования основных уравне-

ний, входящих в описание математических моделей.

Однако все упомянутые выше преобразования существенно усложняют

как постановку задачи, так и ее численное решение.

В то же время, если в одну область отнести все мелководье, а в другую

всю глубоководную часть, то возможно применение и уравнений мелкой воды,

и трехмерных уравнений движения жидкости без предварительного преобразо-

вания расчетной области. При этом можно использовать конечно-разностные ме-

тоды с применением равномерных прямоугольных сеток, что, несомненно, упро-

щает решение поставленной задачи.

Исходная трехмерная область моделирования Ω– водная толща водоема –

ограничена сверху акваториальной, а снизу донной поверхностями. Для деком-

позиции пространственной области моделирования Ω проведем горизонтальную

секущую плоскость Р, отстоящую от невозмущенной поверхности водоема P0 на

глубину, равную максимальной глубине мелководья (

45

Рис. 2.1). Таким образом плоскость Р разделила исходную область на две подоб-

ласти: верхний слой Ω1 (слой I) –все мелководье и верхняя часть глубоководного

слоя, и глубоководный слой Ω2 (слой II) [140, 141]. Предполагается, что эффект

осушения из-за сгона воды может присутствовать только в мелководных райо-

нах.

Рис. 2.1. Вертикальный разрез исследуемого водоема

Считается, что на движение воды в слое I влияет ветер и движение в слое

II, а движение в слое II инициируется как градиентами давления, так и движе-

нием слоя I.

46

Систему координат выберем следующим образом. Плоскость XOY совме-

стим с невозмущенной поверхностью водоема P0, ось OZ направим вверх. Счи-

таем, что верхний слой достаточно мелкий (значения возможных возмущений

уровня воды и глубины слоя близки), а u и v не зависят от z.

Движение воды в верхнем слое Ω1 описывается уравнениями мелкой

воды [27, 185]:

2 2

2 2

, ,

s s s s s

s s s xy

sx bx

x

u u u u uu v v g

t x y x x y

F x yH H

(0.6)

2 2

2 2

, ,

s s s s s

s s s xy

sy by

y

v v v v vu v u g

t x y y x y

F x yH H

(0.7)

0s sHu Hv

t x y

. (0.8)

В уравнениях (0.6)–(0.8)

h

s udzH

u1

,

h

s vdzH

v1

, H h ;

yxhh , – глубина мелководного слоя; tyxvvtyxuu ssss ,,,,, – скорости

в слое I; функции yxFx , и yxFy , описывают взаимодействие верхнего и

нижнего слоев между собой; ,sx sy – проекции на оси OX и OY силы трения ветра

о поверхность водоема; ,bx by – проекции на оси OX и OY силы трения жидкости

о дно (или о глубоководный слой воды). Эти величины зависят от скорости ветра

;B x yW W W и течения ;T s sW u v и определяются так [132]:

,s B BW W b T TW W ,

47

где 2 2 2 2,B x y T s sW W W W u v , yx, – коэффициент трения верхнего слоя

жидкости о дно (или о глубоководный слой); – коэффициент трения ветра о

слой I.

Движение воды в нижнем слое Ω2 описывается системой, состоящей из

уравнений количества движения и уравнения неразрывности среды [80]:

,

12

2

2

2

z

u

z

y

u

x

u

x

pv

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

z

xy

(0.9)

,

12

2

2

2

z

v

z

y

v

x

v

y

pu

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

z

xy

(0.10)

.0

z

w

y

v

x

u (0.11)

К системе уравнений (0.9) – (0.11) добавляется уравнение гидростатиче-

ского давления

ap g z p . (0.12)

В (0.9) – (0.12) tzyxwwtzyxvvtzyxuu ,,,,,,,,,,, – компоненты

вектора скорости; x, y, z, t – пространственные переменные и время соответ-

ственно; tyx ,, – возмущение уровня воды; yxpp aa , – атмосферное

давление; –коэффициент Кориолиса; zzxy , – коэффициенты горизонталь-

ной и вертикальной вязкости соответственно; – плотность воды; 29.8 /g м с –

ускорение силы тяжести.

48

2.1.1. Граничные условия

На твердой границе b можно задавать условия прилипания

0, 0, 0, 0, 0s su v w u v , а в местах втекания или вытекания воды r зада-

вать соответствующие значения скоростей

11 , vvuurr

. (0.13)

В тоже время условия на твердой границе можно задавать условиями

скольжения, как это сделано при расчете течений в Черном море [43]:

0,0

b

b nn

VV , (0.14)

где nV – нормальная составляющая вектора скорости,

V – касательная состав-

ляющая вектора скорости. При расчете течений в данной работе использовались

условия скольжения.

На границе с атмосферой задается сила трения ветра о поверхность водо-

ема, которая выносится в правую часть уравнений (0.6), (0.7).

На границе между слоями l ставится условие равенства скоростей

ss vvuull

, .

Функции yxFx , и yxFy , , описывающие взаимодействие I и II слоя,

задаются следующим образом:

l

H

uwyxFx

, , l

H

vwyxFy

, .

В качестве начальных данных можно задавать какое-либо известное рас-

пределение скоростей

0 0 0 0 0 0, , , , ,s s s su u u u v v v v w w

или считать эти скорости нулевыми.

Скорость течения на границе c проливом определяется по известной фор-

муле для истечения струй [157]

49

cch gHv 2ker ,

где коэффициент близок к единице. В качестве полного напора cH рассмат-

ривается значение перепада уровня воды перед проливом. Тогда с учетом

знака вода будет либо поступать в море, либо вытекать из моря:

kerch

2 , 0,

2 , 0.

gv

g

(0.15)

В [182] для изучения краевых условий в открытой двумерной области ис-

пользуется энергетический подход, который показывает, что на открытых участ-

ках границы краевые условия надо задавать в виде

02 gHnu ,

где n –нормаль к границе, vu,u . Данная формула подобна формуле (0.15).

2.1.2. Задание ветрового поля

Для инициирования ветрового течения в водоеме необходимо знать рас-

пределение над этим водоемом ветрового поля скоростей.

Если поток приводится в устойчивое равномерное движение благодаря

разности давлений (от высокого к низкому давлению), то существует баланс

между градиентом давления и кориолисовой силой. Это называется геострофи-

ческим балансом, и ветер в этом состоянии называется геострофическим ветром.

Баланс между градиентом давления и кориолисовой силой может быть

выражен формулой [136]

12 sin g g

dpV fV

dn

или

1g

dpV

f dn ,

где –плотность воздуха, –коэффициент Кориолиса, р–давление, n–нормаль к

изобаре, – широта текущей точки.

50

Данная формула означает, что скорость геострофического ветра прямо

пропорциональна величине самого барического градиента. Чем больше гради-

ент, т. е. чем гуще проходят изобары, тем сильнее ветер.

Используя гидростатическое уравнение, которое выражает скорость

уменьшения давления с высотой, можно показать, что

1

z const p const

dp dzg

dn dn

и геострофический баланс может быть написан в форме

g

dzg fV

dn или g

g dzV

f dn ,

в которую не входит плотность воздуха, что обычно очень трудно измерить.

dz

dn приближенно заменяется отношением

z

n

, где z – интервал высоты

между прилегающими контурными линиями, а n - географическое расстояние

между контурными линиями, измеренное как перпендикуляр между линиями.

Ветер, основанный на градиенте давления, кориолисовой силе и на цен-

тростремительном ускорении называют градиентным ветром.

Градиентный ветер GV может быть выражен количественно[136]

2

GVP C

r

, (0.16)

где градиент давления P выражен в терминах геострофического ветра gP fV ,

кориолисова сила C выражена в терминах градиентного ветра GC fV . Радиус

кривизны r берется положительным для циклонического потока, когда CP , и

отрицательным в противном случае.

Записывая (0.16) в виде

2

G

g G

VfV fV

r (0.17)

51

и решая квадратное относительно GV уравнение (0.17), получаем

2

41 1

g

G

g

VV

V

fr

.

Когда 0r (циклон) G gV V , когда 0r (антициклон).

Для вычисления приземного ветра на высоте порядка 10м используется

геострофический закон торможения (“drag low”) [218]:

2

2* *

0

lnu u

G A Bfz

(0.18)

u* - скорость торможения, – постоянная Кармана, 0z - длина шероховатости, А

и B - безразмерные параметры. Решение (0.18) позволяет найти поверхностную

скорость ветра, используя известный логарифмический закон

*

0

lnu z

u zz

, (0.19)

где zu - скорость ветра в высоте z выше земли.

Как правило, при изучении гидрологии водоемов измеряют непосред-

ственное значение скорости и направление ветра, поэтому отпадает необходи-

мость пользоваться расчетными формулами (0.16) – (0.19). В то же время изме-

рения проводятся не над всей акваторией исследуемого водоема, а только в не-

которых точках, например, на береговых метеорологических станциях. Задание

ветра (давления) во внутренних точках проводится следующим образом.

Пусть известна скорость ветра (или атмосферное давление 1 2 6, , ,p p p )

на береговых метеостанциях (1 2 6, , ,S S S ), расположенных вокруг исследуемого

водоема (Рис. 2.2).

52

Рис. 2.2. Схема расчета приземного ветра по данным береговых метеостанций

Для каждой текущей точки М находим три ближайших метеостанции,

например, 1 1 1 2 2 2 3 3 3, , , , ,S x y S x y S x y и строим плоскость

0Ax By Cz D , проходящую через три точки, соответствующих этим трем

метеостанциям. Аппликатами этих точек являются значения координат скорости

ветра или величина давления (1 2 3, ,p p p ).

Значения коэффициентов вычисляются по формулам

2 1 3 1 3 1 3 1

2 1 3 1 3 1 2 1

2 1 3 1 3 1 2 1

1 1 1

A y y p p y y p p

B x x p p x x p p

C x x y y x x y y

D Ax By Cp

(0.20)

Значения соответствующего метеорологического параметра Р в текущей

точке ,M i j будет лежать на построенной плоскости:

A i B j DP

C

(0.21)

После этого надо провести осреднение полученных значений по соседним

точкам, т.к. две соседние точки могут лежать в разных плоскостях с большим

разрывом значений.

53

Недостатком такого подхода является то, что при построении плоскости

через три точки, лежащие вблизи некоторой прямой, например, 3 4 5, ,S S S , вычис-

ляемое значение Р может иметь очень большой градиент, что противоречит фи-

зическому смыслу. Обойти эту опасность можно, предварительно введя допол-

нительную «метеостанцию» где-то в центре водоема mS . Значения метеорологи-

ческих параметров в ней вычисляются с помощью построения плоскости 1 4 6S S S

. Параметры внутри водоема вычисляются по вышеописанному алгоритму с уче-

том введенной внутренней «метеостанции» mS .

Возможно введение нескольких дополнительных «метеостанций».

2.2. Модель переноса, взмучивания и оседания взвеси

Пусть исследуемой областью является часть водоема с донной поверхно-

стью bz и глубиной H (Рис. 2.3). Процесс переноса взвешенного вещества в вод-

ной среде состоит из размывания донного осадка, если скорость течения доста-

точно большая, оседания взвешенных частиц в случае малой скорости течения и

собственно самого переноса взвеси водой. Соответственно, область исследова-

ния можно разделить на область донных наносов толщиной и область взвешен-

ных наносов, расположенную выше и имеющую толщину H . Обмен взве-

сями между этими двумя областями происходит через оседание вниз с расходом

Db и размывания (поднятием вверх из нижнего слоя) с расходом Eb.

54

Рис. 2.3. Схема процесса поднятия и оседания донных наносов

Пусть все донные отложения состоят из k фракций ( 1,...,k N ). Распреде-

ление концентрации взвешенных частиц описывается уравнением конвекции-

диффузии [245]

2 2

2 2

sk kk kk k k

xy

k

z

w w cuc vcc c c

t x y z x y

c

z z

(0.22)

где сk – концентрация k-ой фракции; , ,u v w – компоненты скорости, skw – соб-

ственная скорость оседания k-ой фракции; zxy , – коэффициенты горизонталь-

ной и вертикальной турбулентной диффузии соответственно.

На свободной поверхности задается условие

0

ks

kz cw

z

c . (0.23)

На нижней границе области взвешенных наносов ставится условие

55

k

z bk bk

cE D

z

, (0.24)

где bkE – расход эрозии (или размывания), а

bkD – расход оседающих частиц.

При расчете переноса взвеси напряжение сдвига ложа русла является

ключевым параметром для данного процесса. Необходимая информация получа-

ется из гидродинамического модуля. Шероховатость ложа русла считается по-

стоянной в пространстве и во времени.

В случае несвязанного осадка, например песка, перенос осуществляется

за счет захвата осадка от ложа в следствие преодоления донного трения.

Вычисление расходов оседания, размыва, а также скорости оседания раз-

ными авторами проводится по различным методикам.

При оседании несвязного осадка происходит удаление взвешенного мате-

риала в водном столбе со скоростью оседания sw . Оседание происходит, когда

сдвиговое напряжение ложа русла b ниже критического напряжения сдвига для

оседания cd .

Расход оседания вычисляется по формулам [223, 224]:

bscpwD , (0.25)

cdb

cdb

cd

b

p

,0

,1

где p – вероятность оседания.

Расход размывания задается формулой [223]

ceb

cebceeemE

,0

,

(0.26)

где em - экспериментальная константа между 0.0002 и 0.002, ce –- критическое

сдвиговое напряжение ложа русла для размывания [247]

73,01000015,0 sce

56

Типичные значения 2,01,0 ct Н/м2, 20001000b кг/м3.

Для расчета расходов размывания и оседания многофракционного осадка

воспользуемся формулами (0.25), (0.26). Применительно к k-ой фракции эти фор-

мулы примут вид:

bkskkk cwpD (0.27)

cdkb

cdkb

cdk

b

kp

,0

,1.

2,51 ,

1,25 4,75b

k

Pec с

p

(0.28)

Здесь Pe представляет число Пекле.

В случае несвязанного осадка скорость оседания sw (гидравлическая

крупность частиц) вычисляется по формуле Стокса [10]

2

18

sk w

sk k

w

gw d

, (0.29)

где ,sk w – плотности частиц и воды соответственно; g – ускорение свободного

падения; – коэффициент кинематической вязкости;kd – диаметр частиц.

Для осадка связного типа (глина, ил) формула скорости оседания дается

как [247]:

31

2*

213*

7,42 36,101049,136,10

w

wee

f

e

s

gdd

dCd

w

ed – диаметр комочков, e – плотность комочков

fC – безразмерная объемная концентрация комочков в воде.

57

Величина сдвигового напряжения b вычисляется через скорость у осно-

вания bU c учетом коэффициента донного трения

wf

w wfb b bτ U U . (0.30)

Расход поднявшихся со дна частиц bkE также есть функция сдвигового

напряжения:

,

0,

ek b cek b cek

bk

b cek

mE

(0.31)

где ekm – экспериментальная постоянная 0,0002 0,002ekm ,

cek – критическое

сдвиговое напряжение для размывания, вычисляемое по формуле [247]

0,73

0,015 1000cek sk , (0.32)

здесь sk – плотность k-ой фракции донного осадка.

Критическое сдвиговое напряжение на дне может быть вычислена по

формуле [243]

*02,0

*

50 1055,02,11

30,0,

dcrwscrcr e

ddg

.

Толщина ила задается уравнением деформации основания [10, 250]

*(1 )S b b

ZD E

t

, (0.33)

где – пористость дна; S – осредненная плотность донного ила, ,b bD E – сум-

марные расходы всех фракций, *Z –толщина придонного ила. Пористость грун-

тов изменяется в пределах от 0,30 до 0,55, S = 2650 кг/м3, w = 1000 кг/м3 [10].

2.3. Модель радионуклидного загрязнения.

Радионуклидное загрязнение водоема представляет собой многофазную

жидкость, фазами которого являются различные состояния рассматриваемого

радионуклида. Часть радионуклидов будет находиться в растворенной фазе C,

часть вступать во взаимодействие с частицами взвеси и составлять взвешенную

58

фазу CS. Третий компонент смеси – осевшие на дно радионуклиды – образуют

донную фазу Cb. Наличие в водоеме взвесей S обеспечивает переход растворен-

ной фазы во взвешенную. Таким образом, вектор концентраций в системе (3)

примет вид S =S,C,Cs,Cb.

При описании процесса распространения радионуклидов в Азовском море

была взята за основу модель, предложенная киевскими учеными под руковод-

ством М.И.Железняка [10].

2.4. Модель аварийных выбросов нефтяного загрязнения

Распространение нефти в водоеме представляет собой сложный процесс,

при моделировании которого необходимо учитывать большое количество фак-

торов. На поведение нефти, попавшей в водоем, оказывает влияние и внешние

условия окружающей среды (ветровая ситуация, температура воздуха и темпе-

ратура вод водоема, наличие в водоеме нефтеокисляющих бактерий, солености

водоема, солнечной радиации и.т.п.), и собственные физико-химические свой-

ства нефти (температура кипения фракций, их плотность, вязкость).

В процессе распространения нефти вначале преобладают процессы расте-

кания нефтяного пятна, среди которых обычно выделяют три режима: инерци-

онный, гравитационно-вязкий и режим поверхностного натяжения [2]–[3]. Па-

раллельно с этими процессами под воздействием внешних природных факторов

происходит неизбежная деструкция нефти. К процессу деструкции нефти можно

отнести испарение легких нефтяных фракций, их растворение в водах водоема,

а также эмульсификация и биодеградация нефти [7], [19]. Эти процессы оказы-

вают влияние на исходную плотность и вязкость нефти – они увеличиваются [4],

[19], а суммарное поверхностное натяжение на границе раздела вода – нефть –

воздух убывает. В дальнейшем остающиеся тяжелые фракции нефти могут ока-

заться плотнее воды и осесть на дно водоема. На определенном этапе поверх-

ностное натяжение меняет знак и растекание прекращается.

Начальные радиусы (lmin , lmax), площадь пятна (AS) и начальную тол-

щину образовавшейся пленки нефти(hoil) вычислялись по формулам [1]:

59

lmin = 53.76 (ρw−ρoil

ρoil)

1/3Voil

1/3t1/4,

lmax = lmin + 0.95 $Uwind4/3

t3/4

AS = π

4lmin lmax,

hoil =Voil

AS,

здесь Voil – начальный объем вылившейся нефти, ρw, ρoil – плотность воды и

нефти соответственно, t – время, Uwind – скорость ветра. Начальная толщина

пленки может быть также задана по формуле:

20 R

Vh

t

,

где V – начальный объем вылившейся нефти, R – радиус пятна.

Каждый из процессов испарения и эмульсификации нефти приводит к зна-

чительной потере массы вылившейся нефти, а также оказывает влияние на плот-

ность и вязкость нефти.

Формула расчета объемной доли испарившейся нефти была предложена

Mackay [7]:

Fe = (T

BTG) ln (θ (

BTG

T) exp (A −

BT0

T) + 1),

θ =K2Ast

V0,

K2 = 0,0025Uwind0,78 = 0,0107Uwind

0,78 Ds−0,11SC

−0,67,

здесь θ - воздействие испарения, K2 – коэффициент массопередачи при испаре-

нии, As – площадь нефтяного пятна, t – время, V0 – начальный объем вылив-

шейся нефти, Uwind – скорость ветра (м/с), Ds – диаметр нефтяного пятна (м), Sc

– число Шмидта (2,7), T – температура окружающей среды (К), T0, TG, A, B –

константы, зависящие от типа нефти.

Формула расчета объемной доли эмульгированной нефти так же была

предложена Mackay [7]:

60

Fw = Kb (1 − exp (−Ka

Kb(Uwind + 1)2t)),

где Ka – констатнта (210-6), Kb – постоянная вязкости эмульсии.

Процесс испарения и образования эмульсии, приводит к увеличению объ-

ема (V) и плотности (ρR) соответственно [5]:

V = V0(1 − (Fe − Fd))

1 − Fw,

ρR = Fwρw + (1 − Fw)(ρ0 + KbFe),

где ρR – плотность оставшейся нефти.

Увеличение вязкости (µ) под действием испарения и эмульгирования

нефти может быть рассчитано [5]:

μ = μ0 exp(KCFe) exp (2.5Fw

(1 − KbFw)), μ0 = 224AC

1/2,

здесь KC – нефтезависимая константа, µ0 – исходная вязкость нефти, AC – про-

цент асфальтена.

Поведение пятна нефти на поверхности водоема описывается двумерным

уравнением конвекции-диффузии [1], [8], [9]:

,)(

=

,,=

,=)()(

2

h

fw

oilw

f

w

y

y

f

w

x

x

C

ghD

Cu

Cuv

RvhDhvt

h

(4)

где h – толщина нефти, v – скорость дрейфа пленки, f

w

x

C

– напряжение сдвига

из-за ветра, D – функция диффузии распространения пятна нефти, fC – коэффи-

циент трения между нефтяной пленкой и поверхностью воды ( 0.02 кг/м2с), hR –

источниковая (стоковая) функция, g – ускорение свободного падения,

)/,/(= yx .

61

На границе ставятся условия непротекания:

0

0

Гn

h

Распределение в толще водоема эмульсии «нефть-вода» описывается си-

стемой (3), вектор концентраций которой имеет вид S =Cd,Cem, где Cem – кон-

центрация капель нефти в воде, Сd – концентрация растворенной нефти.

Уравнения [8]

),(

),(

0

0

0

emm

m

em

emm

Czhz

K

dt

dC

CzhK

dt

dh

(5)

описывают процесс взаимоперехода части нефти из нефтяной пленки в капли, из

которых состоит эмульсия «нефть-вода» в слое смешения нефти с водами водо-

ема. Здесь

,

,

,)(

1

1

1

HZ

B

B

BK

m

wo

ow

woow

wowoow

где коэффициенты woow , (задающие скорость перехода нефти в состояние

эмульсии и наоборот) имеют значение [8] 14101 swoow , а коэффициент,

характеризующий долю нефти в каплях эмульсии [8] B1=0,5; H – задает высоту

волны, – безразмерный коэффициент масштабирования, зависящий от волне-

ния моря (= 1.2 – 1.6).

Растекание нефти приводит к увеличению исходного объема нефти и к

уменьшению ее исходных вязкости и плотности. К изменению плотности и вяз-

кости нефти и вод водоема также приводят колебания температуры (Ошибка!

Источник ссылки не найден.).

62

Плотности воды ( w ) и нефти ( oil ) в зависимости от температуры могут

быть вычислены по формулам:

ρw(T) = 1000.30 − 0.06 ∙ T(1.0 + T ∙ 0.06),

ρoil(T) = ρoil0 (1 + ξ(20 − T)),

здесь ρoil0 – начальная плотность рассматриваемого нефтепродукта, а ξ – коэф-

фициент его объемного расширения.

Вязкость воды (νw) и нефти (ν oil) в зависимости от температуры раcсчи-

тываются по формулам:

νw(T) =A

1.0 + B ∙ T + C ∙ T2,

ν oil(T) = ν∗ε(−u (T−T∗)),

где A,B,C,u – эмпирические коэффициенты (A=0.00000178, B=0.0337,

C=0.000221), U∗ – известная вязкость рассматриваемого нефтепродукта при не-

которой температуре T∗.

Полученные системы уравнений решаются конечно-разностными мето-

дами с использованием неявных схем. В области h h вводится равно-

мерная по всем направлениям разностная сетка с шагами h1= 660м, h2=685м,

h3=0,5м. Здесь h– множество внутренних узлов сетки, Гh – множество гранич-

ных узлов. При пространственной аппроксимации уравнения переноса выбрана

противопотоковая схема [96]:

1 1 1 1 1, , , , , , , ,, , , , , , 1, , 1, , , ,

1 1

1 1 1 1, , , , , , , ,, , , 1, , 1, , ,

2 2

2 2

2 2

n n n nn n n n n ni j k i j k i j k i j ki j k i j k i j k i j k i j k i j k

n n n nn n n ni j k i j k i j k i j ki j k i j k i j k i j k

u u u uS S S S S S

h h

v v v vS S S S

h h

1 1 1 1, , , , , , , ,, , , , 1 , , 1 , ,

3 32 2

n n n nn n n ni j k i j k i j k i j ki j k i j k i j k i j k

w w w wS S S S

h h

(6)

63

1 1 1 1 1 1

1, , , , 1, , , 1, , , , 1,

2 2

1 2

1 1 1

1 , , 1 1 , , , , 1

2

3

2 2n n n n n n

i j k i j k i j k i j k i j k i j kxy

s

z n z z n z n

s k i j k s k s k i j k s k i j k

S S S S S S

h h

S S S

h

В результате конечно-разностной аппроксимации получаются системы ли-

нейных уравнений с пятидиагональной матрицей в случае растекания нефтяного

пятна по поверхности водоема и с семидиагональной матрицей в случае расчета

транспорта радионуклидов и в случае расчетов поведения взвеси «нефть-вода».

1. Ehsan Sarhadi Zadeh and Kourosh Hejazi "Eulerian Oil Spills Model Using

Finite-Volume Method with Moving Boundary and Wet-Dry Fronts" // Modelling and

Simulation in Engineering Volume 2012 (2012), Article ID 398387, 7 pages,

http://dx.doi.org/10.1155/2012/398387

2. J.A.Fay "The spread of oil slicks on a calm sea" In: Oil on the sea, Plenum

Press. – New-York, 1969, p.53–63.

3. J.A.Fay "Physical processes in the spread of oil on a water surface" In: Proc. of

h- о Joint Conf. on prevention and control of oil spills. Washington, 1971 (cit. N8).

4. Glowinski R., Le Tallec P. Augmented Lagrangian and operator splitting meth-

ods in nonlinear mechanics. SIAM, 1989, 295 p.

5. W. J. Guo and Y. X. Wang, “A numerical oil spill model based on a hybrid

method,” Marine Pollution Bulletin, vol. 58, no. 5, pp. 726–734, 2009.

6. Lehman R.S. Computer, Simulation and Modelling: An Introduction. — N.Y.:

Wiley, 1977. – 207p.

7. D. Mackay, Oil Spill Processes and Models, Environmental Protection Service,

Canada, 1980.

8. Pavel Tkalich A CFD solution of oil spill problems // Environmental Modelling

\& Software.T. 21. 2006. pp.271–282.

64

9. S. D. Wang, Y. M. Shen, Y. K. Guo, and J. Tang "Three-dimensional numerical

simulation for transport of oil spills in seas," Ocean Engineering, vol. 35, no. 5–6, pp.

503–510, 2008.

10. Zheleznyak M.J. The mathematical modelling of radionuclide transport by sur-

face water flow from the vicinity of the Chornobyl Nuclear Power Plant. Condensed

Matter Physics, 12, 1997, pp.37–50.

11. Гулич Скотт, Гундаварам Шишир, Бирзнекс Гюнтер CGI программирова-

ние на Perl. С-Пб.: Символ, 2001, 480 с.

12. Краснощеков П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. — М.:

Изд. МГУ, 1983. — 264с.

13. Крукиер Л.А. Неявные разностные схемы и итерационный метод их ре-

шения для одного класса систем квазлинейных уравнений // Изв. Вузов. Матем,

1979, 7, с.41–52.

14. Попов Ю.П., Самарский А.А. Вычислительный эксперимент. — М.: Зна-

ние, 1983. — 64с.

15. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 284 с.

16. Самарский А.А. Математическое моделирование и вычислительный экс-

перимент. // Вестник АН СССР. — 1979. — 5. — С.38–49.

17. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. — М.:

Наука, 1973. — 415с

18. Чикин А.Л., Шабас И.Н., Сидиропуло С.Г. Моделирование процесса пе-

реноса загрязняющего вещества в Цимлянском водохранилище. Водные ре-

сурсы, 2008, т. 35. 1, с. 53–59

19. Шабас И.Н. Моделирование процессов растекания и дрейфа нефтяных за-

грязнений по поверхности водоемов. // IT-технологии: развитие и приложения,

материалы XIV-ой Международной научно-технической конференции, г.Влади-

кавказ, 2013г., с. 177–182

65

20. Шабас И.Н. Численное решение трехмерной задачи оседания вещества в

Азовском море. // Сборник трудов IX Всероссийской школы-семинара "Совре-

менные проблемы математического моделирования", Ростов-на-Дону, Издатель-

ство РГУ, 2001г., с.414–417.

66

Глава 3. Численная реализация представленных моделей

Equation Section (Next)

Важнейшим этапом математического моделирования является численное

решение описывающих математическую модель уравнений. Этот этап состоит

из двух основных частей: дискретизации уравнений, сводящейся к составлению

систем алгебраических уравнений, и методов решений этих систем. В конечном

счете, краевая задача (дифференциальные уравнения и граничные условия)

трансформируется в задачу линейной алгебры. Существует две основных

группы методов численного решения дифференциальных уравнений: конечно-

разностные методы и проекционные.

Выбор того или иного конкретного численного метода определяется мно-

гими объективными и субъективными факторами: особенностью данного класса

задач; точностью и быстротой получения решения; возможностями имеющейся

вычислительной техники, а также научными традициями и квалификацией раз-

работчиков.

3.1. Краткие сведения о численных методах решения

уравнений движения жидкости и переноса вещества

Сущность конечноразностных методов состоит в следующем. В области

изменения независимых переменных вводится сетка — дискретная совокупность

узловых точек. Вместо функций непрерывного аргумента рассматриваются се-

точные функции, значения которых задаются в узловых точках сетки. Диффе-

ренциальные уравнения с соответствующими краевыми условиями заменяются

приближенными сеточными уравнениями, связывающими значения искомых

функций в узлах сетки. Разностная схема рассматривается как операторное урав-

нение с операторами, действующими в некотором функциональном простран-

стве, а именно пространстве сеточных функций. Различные пространства сеточ-

ных функций могут отличаться одно от другого выбором сетки, способом зада-

ния краевых и начальных условий, нормировкой [109, 111].

67

Полученные в процессе дискретизации разностные уравнения, сводятся к

СЛАУ. Построение этих систем существенно опирается на априорную информа-

цию, связанную с исходной задачей. При сведении исходной задачи к дискрет-

ной должны быть сохранены ее свойства [110], т.е. должно иметь место соответ-

ствие между априорными требованиями для исходной задачи и свойствами ее

алгебраического аналога. Это, в первую очередь, относится к пространственным

операторам задач, свойства которых должны быть по возможности сохранены

при переходе от непрерывных аргументов к дискретным.

В методе конечных разностей для уравнений Навье—Стокса существует

большой выбор различных возможностей дискретизации в зависимости от вы-

бора переменных («скорость–давление» или «вихрь–функция тока»), стационар-

ных или нестационарных режимов. Разностные схемы различаются в зависимо-

сти от следующих основных признаков:

1) структура и способ построения конечно-разностной сетки (рав-

номерная или неравномерная, применение специальных преоб-

разований и т. д.).

2) общая структура схемы: явная, неявная, гибридная;

3) аппроксимация пространственного оператора, прежде всего

аппроксимация конвективных составляющих (односторонние

разности, центральные разности), симметричная, консерватив-

ные или неконсервативные схемы и т. д.);

4) метод решения систем разностных уравнений (для неявных

схем);

5) метод решения уравнения Пуассона для функции тока;

6) метод аппроксимации граничных условий для вихря;

Существует огромное количество конечно-разностных схем для решения

уравнений Навье—Стокса, отличающихся различными признаками. Особенно-

стью этих схем является наличие различных сеточных параметров, рациональ-

68

ный выбор которых, трудоемок. Аппроксимация решения вблизи границ и во-

обще в области больших градиентов полей искомых функций, где требуется сгу-

щение сетки, построение конечно-разностных операторов, аппроксимирующих

уравнения Навье-Стокса на произвольном сеточном шаблоне, также вызывает

трудности.

При численном моделировании задач механики жидкости и газа эффек-

тивность вычислительной процедуры и качество получаемого решения в суще-

ственной степени зависят от того, какие конечно-разностные схемы использу-

ются для дискретизации слагаемых, описывающих конвективный перенос в

уравнениях Навье-Стокса. Ошибки дискретизации, проявляющиеся в виде

схемной вязкости и численной дисперсии, приводят не только к количествен-

ному, но и к качественному искажению численного решения. Основная про-

блема при построении разностных схем заключается в желании повысить точ-

ность аппроксимации и одновременно обеспечить получение монотонного чис-

ленного решения [35, 36, 37].

Схемы с разностями против потока дают схемную вязкость, соизмеримую

по порядку величины с физической вязкостью (численная диффузия, фазовые

ошибки), что усиливает вязкий характер решения и приводит к размазыванию

градиентов искомых функций.

Центрально-разностные схемы подвержены нелинейной неустойчивости,

которая проявляется в областях с большими градиентами потока (например,

вблизи точки торможения) и приводит к появлению нефизических осцилляций

решения (численная дисперсия, амплитудные ошибки).

Один из путей прогресса в направлении улучшения диссипативных и дис-

персионных свойств разностных схем, используемых для дискретизации конвек-

тивных потоков, связан с разработкой и реализацией разностных схем высокой

разрешающей способности. Такие схемы имеют комбинированную природу и

объединяют достоинства схем с разностями против потока (безусловная устой-

69

чивость) и центральными разностями (отсутствие численной диффузии), позво-

ляя получать одновременно точные, монотонные (ограниченные) и сходящиеся

решения задачи.

Относительно выбора аппроксимации уравнения по времени схемы

можно разделить на две главных группы: неявные и явные схемы. Преимущество

любой неявной схемы по отношению к явной состоит в том, что теоретически

неявные схемы не имеют никаких ограничений на шаг по времени. Однако, они

имеют существенный недостаток, который связан с огромным вычислительным

усилием, требуемым для получения численного решение, особенно для трехмер-

ных моделей. Явные схемы, с другой стороны, требуют намного меньше вычис-

лительных усилий, но они имеют существенное ограничение на временной шаг,

определяемое условием Куранта-Фридрихса-Леви.

Установлено [193, 194], что ошибки в конфигурации и сглаживании об-

ласти можгут привести к ошибке в выполнении закона сохранения массы. По-

этому более высокая точность и лучшая устойчивость при нахождении гидроди-

намических параметров достигаются при улучшении сетки, сглаживании бати-

метрии, уменьшении шага по времени.

Одним из этапов численного решения задачи является индексация узлов

сетки. В результате этой операции для конкретной конечно-разностной схеме,

перенумеровав узлы сетки, в которых необходимо найти значения, и перенеся в

правую часть узлы с известными значениями, можно поставить в соответствие

систему алгебраических уравнений [192]. Тогда каждой расчетной величине ста-

вится в соответствие некоторый вектор, а разностному оператору – квадратная

матрица. Можно полагать, что конечно-разностная схема, выписанная на задан-

ной сетке, покрывающей область, и соответствующая ей система алгебраических

уравнений, есть одно и то же. При этом надо учитывать, что порядок нумерации

существенно влияет на структуру получаемой матрицы СЛАУ. Так как расчет

поля скоростей изначально представляет нелинейную задачу, то ее линеаризация

70

проводится вынесением коэффициентов в конвективных слагаемых (компонен-

тов скорости) на предыдущий, уже вычисленный временной слой.

В задачах, описывающих течение несжимаемой жидкости в областях

сложной формы или с подвижной границей, используют неортогональную кри-

волинейную систему координат. Это приводит к необходимости применения не-

разнесенной сетки для расчета течений в переменных скорость–давление и, как

следствие этого, к необходимости использования центрально-разностных ап-

проксимаций для производных первого порядка. Шаблоны таких аппроксимаций

не содержат центральной точки. Поэтому матрицы центрально-разностных ап-

проксимаций для производных первого порядка, возникающих при дискретиза-

ции операторов div и grad на неразнесенной сетке, имеют ненулевое ядро, содер-

жащее в себе всевозможные периодические по пространственным координатам

изменения искомых характеристик, что является одной из причин возникновения

фиктивных колебаний расчетных величин и нестабильности решений [96].

Обойти эту проблему можно, вводя регуляризатор [226, 228] или стабилизирую-

щий член в уравнение неразрывности, как, например, это было сделано в методе

искусственной сжимаемости [97]. Надежная регуляризация требует априорной

информации о распределениях искомых величин, что усложняет поиск решения

в конкретных случаях.

В работе [24] рассматриваются свойства конечно-разностных схем высо-

кой разрешающей способности, предназначенных для дискретизации конвектив-

ных потоков в уравнениях Навье-Стокса, а также особенности их численной ре-

ализации. Схемы высокого порядка отличаются друг от друга степенью поли-

нома, используемого для интерполяции искомой функции между соседними уз-

лами сетки и определяющего порядок точности разностной схемы. Обычно ис-

пользуются полиномы не выше третьей степени. Применение полиномов более

высокого порядка приводит к нефизическим осцилляциям решения и проблемам

с устойчивостью вычислительной процедуры [24]. Схемы формулируются на не-

равномерной сетке, что существенно увеличивает круг практических задач, для

71

решения которых они могут использоваться. Для исследования свойств разност-

ных схем, сформулированных на неравномерной сетке, привлекается диаграмма

нормализованных переменных, применение которой позволяет записать раз-

ностные схемы в более компактной форме и упростить их программную реали-

зацию. Проводится сравнение результатов моделирования течения вязкой не-

сжимаемой жидкости в каверне с подвижной верхней стенкой, полученных при

помощи различных разностных схем.

Конечно-разностные и конечно-объемные методы решения делятся на

методы, использующие процедуру коррекции давления, и методы, основанные

на принципе расщепления неизвестных.

В полунеявном методе для связанных через давление уравнений SIMPLE

(Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations) используется дискретизация

уравнений Навье-Стокса по методу контрольного объема. На шаге предиктор,

используя некоторое начальное поле давления, из уравнений движения вычисля-

ется предварительное поле скорости. На шаге корректор рассчитывается поле

поправок давления таким образом, чтобы удовлетворить уравнению неразрыв-

ности в каждом контрольном объеме. Затем корректируются поле давления и

поле скорости. Поправки к полю скорости определяются поправками к давлению

в соответствии с приближенными уравнениями движения, в которых продоль-

ные конвективные члены уравновешиваются членами с давлением. Поправки к

давлению находятся из решения уравнения Пуассона.

Имеются многочисленные модификации метода SIMPLE, например, ме-

тоды SIMPLEC (SIMPLE Corrected), SIMPLER (SIMPLE Efficiently Revised),

PISO (Pressure Implicit with Splitting Operators), позволяющие добиться лучшего

согласования поля давления и поля скорости, уменьшить затраты машинного

времени и увеличить скорость сходимости при расчете нестационарных течений

и течений с вращением. Несмотря на то, что многие из модификаций метода

SIMPLE широко используются на практике и включаются во многие современ-

72

ные вычислительные пакеты (FLUENT, STAR-CD, CFX), ни один из них не яв-

ляется универсальным. Выбор подхода во многом зависит от условий задачи

[25].

В методе маркеров и ячеек MAC (Markers And Cells) [11] используется

разнесенная сетка и на каждом шаге по времени решается уравнение Пуассона

для давления. При формулировании граничного условия для давления привлека-

ется уравнение движения в проекции на нормаль к стенке. Поскольку указанное

условие отсутствует в физической постановке задачи, это снижает эффектив-

ность подхода.

При решении задач определения течений жидкости широко используется

метод ращепления. При моделировании пространственных течений несжимае-

мой вязкой жидкости в работе [36] используется метод расщепления по физиче-

ским факторам SMIF-МЕРАНЖ с явной, гибридной конечно-разностной схемой

(второй порядок аппроксимации по пространственным переменным, минималь-

ная схемная вязкость и дисперсия, монотонность). Данный метод используется

для решения задач об обтекании сферы равномерным на бесконечности потоком

однородной несжимаемой вязкой жидкости, стритифицированной по плотности

несжимаемой вязкой жидкости, а также в задаче моделирования воздухо-, тепло-

и массопереноса в «чистых комнатах», предназначенных для производства изде-

лий микроэлектроники.

В работе [25] рассматриваются особенности дискретизации уравнений

Навье-Стокса, записанных в физических переменных, на прямоугольной нерав-

номерной сетке с шахматным расположением узлов при помощи схемы расщеп-

ления по физическим факторам (метод проекции). Для дискретизации производ-

ных по времени используется схема Адамса-Башфорта второго порядка точно-

сти, а для дискретизации диффузионных и конвективных потоков — центриро-

ванные конечно-разностные формулы второго порядка и конечно-разностные

схемы повышенной разрешающей способности. Предлагаемая реализация схемы

расщепления является достаточно универсальной, позволяет проводить расчеты

73

в многосвязной области на прямоугольной сетке и использовать различные гра-

ничные условия для давления на стенке. Возможности разработанного подхода

демонстрируются на примере решения задачи обтекания кругового цилиндра

при небольших числах Рейнольдса.

Суть схемы расщепления по физическим факторам состоит в следующем.

Пусть в момент времени nt известны поле скорости nv и поле давления р. Тогда

для расчета неизвестных функций в момент времени 1nt используется следу-

ющая схема расщепления [11, 180]:

- на этапе 1 перенос количества движения осуществляется только за счет

конвекции и диффузии и находится промежуточное поле скорости v .

- на этапе 2 по найденному промежуточному полю скорости v с учетом

соленоидальности вектора скорости рассчитывается поле давления из уравнения

Пуассона.

- на этапе 3 предполагается, что перенос количества движения осуществ-

ляется только за счет градиента давления (конвекция и диффузия отсутствуют)

и находится окончательное поле скорости 1nv

При использовании схемы расщепления по физическим факторам началь-

ные и граничные условия задаются следующим образом.

Граница расчетной области в общем случае представляется в виде объ-

единения пяти непересекающихся участков различного типа:

5

1

i

i

, 1 —

входная граница, 2 — выходная граница, 3 — стенка, 4 — граница с услови-

ями скольжения, 5 — удаленная граница.

На входной границе для скорости задаются граничные условия Дирихле,

для давления – однородные граничные условия Неймана.

На выходной границе для скорости задаются граничные условия свобод-

ного вытекания, представляющие собой однородные граничные условия Ней-

мана. Для давления задаются неоднородные граничные условия Неймана.

74

На стенке 3 ставятся условия непротекания и прилипания для нормаль-

ной и тангенциальной составляющих скорости. Для постановки граничных усло-

вий Неймана для давления на стенке используется дискретное уравнение пере-

носа количества движения.

Граничные условия скольжения на границе 4 представляют собой усло-

вие Дирихле для нормальной и условие Неймана для тангенциальной составля-

ющих скорости. Такие же граничные условия имеют место и для промежуточ-

ного поля скорости v , что приводит к однородным граничным условиям Ней-

мана для давления.

На удаленной границе 5 выставляются граничные условия невозмущен-

ного течения или условия скольжения.

Если составляющие скорости задаются на всей границе расчетной обла-

сти, необходимо обеспечить выполнение интегрального уравнения неразрывно-

сти

0ds

v n

Граничные условия Неймана для давления на всех границах области

должны удовлетворять интегральному граничному условию

S

ppd ds

n

(1.1)

Левая часть соотношения (1.1) вычисляется через промежуточное поле

скорости v с использованием правой части уравнения Пуассона для давления.

Невыполнение условия (1.1) приводит либо к медленной сходимости к решению,

либо к расходимости [133].

В работе [16] представлена конечно-разностная схема для уравнений На-

вье–Стокса, записанных в переменных скорость–давление в криволинейной не-

ортогональной системе координат, согласованной с границей рассматриваемой

75

физической области. Дискретизация уравнений движения выполнена на нераз-

несенной сетке. Для аппроксимации системы уравнений был применен новый

способ, основанный на алгебраическом разложении скоростей на две части. При

аппроксимации уравнения неразрывности использовались направленные разно-

сти, а центрально-разностный оператор, аппроксимирующий градиент давления,

был представлен в виде суммы двух разностных операторов, шаблоны которых

направлены в разные стороны. Данный подход позволяет строить систему ли-

нейных уравнений, соответствующих разностной аппроксимации уравнений На-

вье–Стокса с обратимой матрицей, и исключить появление фиктивных колеба-

ний решения без использования регуляризации или стабилизирующих процедур.

В работе приводятся примеры расчетов, демонстрирующие эффективность дан-

ного подхода при моделировании течений в трубах сложной геометрии.

Основной сложностью при расчете поля скорости является вычисление

поля давления. Для решения этой проблемы, как правило, используют уравнение

неразрывности. Известен ряд методов: типа вихрь—функция тока; искусствен-

ной сжимаемости; метод Харлоу с расщеплением по времени [11, 107, 197]. В

работе [96] поле давления вычисляется итерационно из условия выполнения

уравнения неразрывности. Для дискретизации уравнения неразрывности был вы-

бран метод конечного объема (бокс-метод), ориентированный на применение ор-

тогональных сеток. При моделировании течений в каналах со сложным попереч-

ным сечением возникает необходимость использования неструктурированных

сеток [45].

В работе [30] рассматривается задача о ветровом движении жидкости в

сильно стратифицированном по температуре и солености замкнутом водоеме.

Исследована возможность применения для определения ветрового движения

стратифицированной жидкости более простой модели однородной жидкости.

Численные расчеты показывают, что ветровое движение сильно стратифициро-

ванной жидкости можно трактовать следующим образом: нижний слой практи-

76

чески не движется, а верхний слой движется как однородная жидкость в “фик-

тивном” озере, глубина которого определяется толщиной верхнего перемешан-

ного слоя. Поэтому для определения движения сильно стратифицированной

жидкости в верхнем квазиоднородном слое можно применять более простые мо-

дели ветрового движения однородной жидкости, для которых в частных случаях

известны аналитические решения. Течение воды описывается упрощенными

уравнениями движения невязкой жидкости с переменной плотностью. Задача ре-

шается численно с применением методики [54]: для спрямления донной поверх-

ности производится замена переменных; при аппроксимации уравнений движе-

ния используется схема стабилизирующей поправки, для уравнения неразрывно-

сти применяется схема Эйлера, для аппроксимации уравнений переноса и диф-

фузии тепла и соли применяется разностная схема с разностями против потока

для дивергентной формы записи конвективных членов и схема с центральными

разностями для вторых производных.

В работе [46] рассматривается семейство разностных схем, аппроксими-

рующее уравнение Навье-Стокса на единичном квадрате с граничными услови-

ями Дирихле. Задача решается на равномерной ортогональной сетке, где конвек-

тивный оператор аппроксимируется разностями против потока. Здесь же приво-

дится сравнение данной задачи с подобным решением уравнения, записанного в

форме Громеки-Лемба, выражающей гидродинамический напор. Приводится

теорема, гарантирующая возможность осуществления расчетов для неоднород-

ных граничных условий и любых чисел Рейнольдса.

В [201] движение воды описывается уравнением Навье-Стокса для стра-

тифицированного, негидростатического, потоки со свободной поверхностью.

Данная модель достаточно близка к работе [177], но обеспечивает второй поря-

док точности по пространству и времени. Давление расщеплено на гидростати-

ческие и гидродинамические компоненты и неявно интегрируется методом

Кранка-Николсона. Конвективные и диффузионные члены вычисляются с помо-

щью явной схемы предиктор-корректор, что значительно упрощает модель, но

77

накладывает ограничение на шаг по времени. Монотонные модифицированные

схемы против потока аппроксимируют конвективные члены как в уравнениях

движения, так и в уравнении переноса. Это позволяет достичь аппроксимации со

вторым порядком точности [242].

В настоящее время широкое распространение при конструировании чис-

ленных алгоритмов приобрел метод конечных элементов. Высокую вычисли-

тельную эффективность метода обеспечивает выбор функций кусочно-полино-

миального вида [42, 59, 75]. Естественная возможность применения нерегуляр-

ных сеток в методе конечных элементов позволяет эффективно аппроксимиро-

вать криволинейные границы области, а вариационная формулировка задачи

позволяет легко учитывать различные типы граничных условий.

В методе конечных элементов решение дифференциального уравнения,

как и в методе конечных разностей, сведено к решению системы алгебраических

уравнений. Трудности построения базисных функций, удовлетворяющих гра-

ничным условиям в случае криволинейных границ, сужают класс задач, решае-

мых классическим методом Галеркина. Возможности этого метода значительно

расширяются, если выбрать базисные функции специального вида, имеющие ма-

лый носитель, т. е. отличные от нуля лишь в некоторой небольшой части области.

В этом по существу и заключается особенность метода конечных элементов. Вся

рассматриваемая область разбивается на подобласти, называемые конечными

элементами. В одномерном случае эти элементы представляют собой просто от-

резки. В двумерном случае наиболее распространенными являются треугольные

элементы. Базисная функция полагается равной 1 в некотором узле и обращается

в 0 за пределами элементов, которым принадлежит этот узел. Надо отметить, что

учет граничных условий второго и третьего рода производится автоматически

при выводе уравнений методом конечных элементов. При аппроксимации гра-

ничных условий третьего рода в методе конечных разностей, как известно, су-

ществует опасность потери точности.

78

При реализации метода конечных элементов на ЭВМ выписывание и про-

граммирование всех возможных вариантов интегралов достаточно громоздко. В

таком случае проводится численное интегрирование, при котором используются

квадратурные формулы.

Важным шагом при численной реализации метода конечных элементов

является составление матрицы алгебраической системы. Существует два наибо-

лее распространенных способа: первый состоит в последовательном вычислении

всех элементов матрицы, второй способ заключается в последовательном вычис-

лении матриц интегралов на каждом треугольнике. Элементы полной матрицы

получаются суммированием. Для вычисления вектора правой части имеются две

аналогичные возможности.

В работе [161] рассмотрена задача моделирования внутренних течений в

каналах сложных геометрий, описываемых уравнениями Навье — Стокса в при-

ближении пограничного слоя, приводятся результаты анализа алгоритма, осно-

ванного на методах конечных элементов и конечного объема, использующих не-

структурированные сетки (триангуляция в случае 2D, разбиение на тетраэдры в

случае 3-D).

Этап решения системы уравнений является одним из наиболее трудоем-

ких при использовании метода конечных элементов, так и метода конечных раз-

ностей. Матрица системы уравнений метода конечных элементов, как правило,

содержит больше ненулевых элементов, чем аналогичная ей матрица, получае-

мая в методе конечных разностей, что не допускает применения эффективных

простых методов типа прогонки.

Решение получаемых систем линейных алгебраических уравнений пред-

ставляет отдельную сложную задачу и успешное ее решение зависит от пра-

вильно выбранного вычислительного метода.

Для систем средней размерности часто предпочтительными являются

прямые методы (метод прогонки, метод Гаусса, метод квадратного корня).

Они позволяют найти с точностью до ошибок округления решение за конечное

79

число заранее известных операций. Однако, применение прямых методов – до-

статочно дорогая процедура с точки зрения затрат машинного времени и памяти.

Быстрые прямые алгоритмы ориентированы на определенные разностные

схемы и на определенные граничные условия и слабо приспосабливаются к за-

дачам в областях неправильной формы или к сложным граничным условиям.

Более гибкими и требующими меньше памяти являются итерационные

методы. Обзоры этих методов приведены в [77, 107, 112, 113, 115, 191, 115, 191,

230, 249]. Выбор итерационного метода существенно зависит от типа задачи, от

ресурсов используемой вычислительной системы, от имеющихся программ. Ка-

чество алгоритмов и их сравнение производится по числу ( )O арифметических

действий, достаточных для нахождения решения задачи с заданной точностью

> 0 . Кроме того, сходимость итерационных методов существенно зависит от

свойств СЛАУ (симметричность, положительная определенность, диагональное

преобладание, М-матричность и т.п.) [77, 112].

Популярность и активное использование классических итерационных ме-

тодов обусловлены необходимостью решать различные сложные задачи матема-

тической физики, экономики, экологии, которые приводят к СЛАУ больших раз-

мерностей.

При моделировании процессов переноса вещества, распределения соле-

ности или температуры компоненты скорости движения среды являются вход-

ными данными, содержащимися в конвективной части уравнения конвекции-

диффузии. Величина этих компонентов, форма представления конвективных

слагаемых (дивергентная, недивергентная, симметричая), а также способы ко-

нечно-разностной аппроксимации существенно влияют на свойства получаю-

щихся СЛАУ [112].

При ценрально-разностной аппроксимации уравнений переноса в случае

значительной величины скорости течения получаются СЛАУ с сильно несиммет-

ричными матрицами. Решение таких систем связано с определенными трудно-

80

стями. Л.А. Крукиером и его учениками разработан класс эффективных итераци-

онных методов решения подобных систем [60, 63, 64, 66], проведено их теорети-

ческое обоснование и численное исследование [61, 144].

Одной из основных трудностей, с которыми приходится сталкиваться при

решении задач водной экологии и гидродинамики является достаточно сложная

геометрия исследуемых областей расчета. Поэтому одним из путей решения мо-

жет быть замена поставленной задачи на задачу, близкую к исходной, но задан-

ную в более простой области, например, в прямоугольнике в случае двумерной

области или в параллелепипеде, если рассматривается трехмерная задача. При-

менение такого подхода приводит к методу фиктивных областей [77]. Такой

подход оправдан, т.к. для сред с достаточно большими коэффициентами диффу-

зии изменение плотности диффундирующего вещества относительно мало. Если

исходную область дополнить до параллелепипеда, в добавленной области коэф-

фициенты диффузии доопределить достаточно большими значениями и гранич-

ные условия на границе параллелепипеда задать равными нулю, то есть основа-

ния надеяться, что полученное решение будет мало отличаться от нуля в добав-

ленной области и будет близко к решению исходной задачи в начальной области

расчета.

3.2. Построение сетки для водоемов с мелководьем и

глубоководьем

На акваториальной поверхности с использованием массива глубин

0( , )H i j исследуемого водоема строится равномерная по каждому направлению

двухмерная сетка с шагами 1h и

2h . В глубинной области строится также равно-

мерная по каждому направлению трехмерная сетка, причем горизонтальные

узлы совпадают с узлами на слое I, по вертикали шаг равен 3h . В узлы плоской

прямоугольной разностной сетки, покрывающей акваторию, заносятся значения

глубин 0( , )H i j . Разностные ячейки представляют прямой прямоугольный парал-

лелепипед.

81

Учитывая разностный шаг по вертикали и значения глубин в узлах плос-

кой сетки, определяются ячейки-параллелепипеды, находящиеся в воде или на

суше. Логический массив, характеризующий тип ячеек («вода», «суша»), задает

конфигурацию всей расчетной области. Кроме того, более подробная информа-

ция о месте расположения конкретной ячейки в расчетной области содержится в

специальном целочисленном массиве. Каждый элемент данного массива соот-

ветствует определенной разностной ячейке и принимает соответствующее зна-

чение. Это значение представлено в двоичной форме, где в первые шесть разря-

дов заносится 1, если соответствующая грань разностной ячейки не является «во-

дой» (Рис. 3.1.). В седьмой разряд заносится 1, если сама ячейка лежит в воде и

0 в противном случае. Для мелководного слоя устанавливается толщина в соот-

ветствии с установленной для мелководья глубиной.

Рис. 3.1. Схема двоичного представления информации о разностной ячейке

После определения конфигурации области расчета проводится индекса-

ция расчетных ячеек в каждом из двух слоев – мелководном и глубоководном.

При индексации надо учитывать тот факт, что ширина ленты в получаемой после

аппроксимации матрицы СЛАУ, зависит от порядка перебора индексов. Для

сужения ленты необходимо начинать перебор узлов с индекса, соответствую-

щего самой малой размерности области расчета и заканчивать индексом, соот-

ветствующим самой большой размерности.

На построенной сетке выбирается конечно-разностная аппроксимация

уравнений движения с соответствующим разнесением неизвестных по сетке

(Рис. 3.3). Подобное разнесение переменных в плоском случае (Рис. 3.2) было

предложено Фишером и Платцманом [227].

82

Рис. 3.2. Конечно-разностная сетка Фишера: + – ,i ju ; –

,i jv ; – ,i j

На этой сетке все три неизвестные расположены в различных точках рас-

четной ячейки, что делает данную сетку удобной при аппроксимации граничных

условий, так как не надо задавать значения перепада уровня на границе. В этом

случае процесс сгона-нагона отражается верно. Кроме того, как показано в [41],

на этой сетке хорошо выполняется закон сохранения массы и переменные в со-

ответствующей разностной схеме имеют второй порядок аппроксимации по про-

странству. Эта схема использовалась в работах [62, 41, 183, 185].

При проведении индексации учитывается разнесение участвующих в рас-

чете переменных по сторонам разностной ячейки. На (Рис. 3.3) показано разне-

сение переменных по разностным ячейкам. Скорости отнесены к сторонам (гра-

ням) ячейки, а перепад уровня, давление и концентрация отнесены к центру

ячейки(Таблица 1).

83

Рис. 3.3. Разнесение гидродинамических параметров и концентрации по разност-

ным ячейкам

Таблица 1. Координаты переменных в разностной ячейке

Функция Узел

sjiu , 21, ji yx

sjiv , ji yx ,21

ji, 2121 , ji yx

kjiu ,, 2121 ,, kji zyx

kjiv ,, 2121 ,, kji zyx

kjiw ,, kji zyx ,, 2121

kjikji cp ,,,, , 212121 ,, kji zyx

В процессе расчета некоторые ячейки из мелководного слоя с малой глу-

биной могут осушаться в силу сгонного явления и переходить в разряд «суша».

Это происходит в том случае, если величина H перестает быть положитель-

ной. Кроме того, ячейки, перешедшие в разряд «суша», в силу нагонного явления

84

могут возвращаться в разряд «вода». Это происходит в том случае, если наблю-

дается повышение уровня воды и средняя по соседним ячейкам глубина не

меньше 0,05 м. Значение глубины в текущей ячейке задается с учетом закона со-

хранения массы.

Во всех случаях изменения характера разностных ячеек необходимо про-

водить переиндексацию всей расчетной области.

3.3. Вычисление гидродинамических

Расчет гидродинамических параметров реализован с помощью про-

граммы, зарегистрированной в Роспатенте [155].

Задача решается конечно-разностными методами.

Численно установлено, что при больших шагах по времени вычислитель-

ная неустойчивость всего алгоритма наблюдается при расчете гидродинамики в

верхнем, мелководном, слое I. В силу взаимной зависимости перепада уровня и

компонентов скорости эта неустойчивость проявляется в увеличении перепада

уровня, что приводит к увеличению скорости, которая еще больше увеличивает

перепад уровня. Для ослабления этого эффекта использовались полностью неяв-

ные схемы, хотя, как показали расчеты даже полностью неявные схемы не де-

лают алгоритм вычисления гидродинамических параметров абсолютно устойчи-

вым.

Все уравнения движения аппроксимировались неявными схемами. Урав-

нение неразрывности для мелководного слоя I аппроксимировалось следующим

образом.

Учитывая, что

t

H

t

yxhtyx

t

,,,, при вычислении перепада

уровня уравнение неразрывности (1.9) записывается в недивергентной форме в

следующем виде:

0)(

y

v

x

uH

y

Hv

x

Hu

t

H. (1.2)

85

Конечно-разностная противопотоковая неявная схема для уравнения (1.2)

имеет вид

1

11

1

111

,,1,,,1,,,,,

22 h

HHuu

h

HHuuHH nnn

s

n

snnn

s

n

snn

jijijijijijijijijiji

2

11

2

11

,1,,,1,,,,

22 h

HHvv

h

HHvv nnn

s

n

snnn

s

n

sjijijijijijijiji

(1.3)

0

22

,

,

,1

,

ji

nn

n

ji

ji

nn

n

ji

divdivH

divdivH

UUUU

Наличие в уравнении (1.3) разностного аналога выражения

y

v

x

uH ,

который выносится на (n+1)-ый слой, если 0

y

v

x

udivU , и берется с n-го

слоя в противном случае, усиливает диагональное преобладание в получаю-

щейся матрице системы уравнений.

Зная величину jin

jin

ji hH ,,, , легко найти перепад уровня n

ji, .

Уравнение (1.3) перепишем в виде

njiji

njiji

njiji

njiji

njiji

njiji HnHmHmHmHmHm ,,

11,1,

1,1,1

1,,

1,1,1

11,1,

,(1.4)

где

;02

;02

1

;02

;02

2

,,

1,1

,,

,1

,2

,

1

,

,

1

,,

,12

,,

1,

h

vvm

h

uum

dh

v

h

um

h

uum

h

vvm

nji

nji

ji

nji

nji

ji

ji

nji

nji

ji

nji

nji

ji

nji

nji

ji

(1.5)

Кроме того, выполняются неравенства

86

02222 2

1,1,

1

,1,1

2

1,1,

1

,1,1,

h

vv

h

uu

h

vv

h

uud

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

ji (1.6)

jiji dn ,, 1

02222 2

1,1,

1

,1,1

2

1,1,

1

,1,1,

h

vv

h

uu

h

vv

h

uud

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

ji

Уравнение (1.4) можно записать в операторном виде

nn HNHM 1 (1.7)

при этом матрицы М и N могут быть представлены как

DPEM , DEN .

Матрица Р содержит противопотоковые слагаемые из (1.3) и имеет непо-

ложительные внедиагональные элементы. Матрицы D и D являются диаго-

нальными матрицами, содержащими только неположительные и неотрицатель-

ные значения соответственно. Вместе с тем, матрица М имеет диагональное пре-

обладание и, с учетом неположительности внедиагональных элементов, явля-

ется М-матрицей [44]

Известно [77], что для устойчивости схемы (1.7) достаточно выполнение

условия

11 NM .

Существует известная [166]

ТЕОРЕМА. Пусть RCA , где С невырожденная, а RCB 1 неотрицатель-

ная (поэлементно) матрицы. Тогда следующие свойства эквивалентны:

(a) 1B , т.е. RCA – сходящееся расщепление.

(b) BI монотонна.

(c) А невырожденная и 01 RAG .

(d) А невырожденная и GGB 1 , где RAG 1 .

87

Так как матрица DE положительная диагональная, а матрица Р явля-

ется М-матрицей, то усиление диагонального преобладания приводит к тому, что

матрица PDEDPEM также является М-матрицей [44].

Матрица DEN является положительной диагональной матрицей в

том случае, если 0max1 kk

kd . Это условие означает выполнение безуслов-

ной устойчивости неявной схемы.

При равенстве нулю дивергенции во всей области расчета, то есть

0kkd для любого k шаг по времени может принимать сколь угодно большое

значение. В том случае, если хотя бы одно 0kkd , получаем

kkk

dmax

10 . (1.8)

Матрица DDPNMA является невырожденной М-мат-

рицей как сумма матрицы Р с неположительными внедиагональными элемен-

тами и положительной диагональной матрицы DD , которая дает общее диа-

гональное преобладание матрицы А, а следовательно, и монотонность, то есть

01 A (поэлементно). Следовательно, выполняется неравенство 01 NA (по-

элементно), а это приводит к выполнению условия (с) в теореме 1. Тогда в силу

эквивалентности условий (а), (с) и (d) получаем

11 1

11

NA

NANM

, откуда

1

1 1

11

NM

NMNA

.

88

Так как

NMNM 11 , и функция x

xy

1 на интервале (0; 1) яв-

ляется возрастающей, то получаем

NM

NMNA

1

1

1

10 . Откуда

01 1

1

NM

NM, а, следовательно, 11

NM .

Таким образом, достаточным условием устойчивости схемы (1.7) явля-

ется условие (1.8).

Применение описанной выше аппроксимации уравнения неразрывности

в системе уравнений мелкой воды позволило несколько увеличить шаг по вре-

мени (примерно в 1,3 раза) при расчете гидродинамики.

Блок-схема основных шагов алгоритма вычисления гидродинамических

параметров течения представлена на (Рис. 3.4). При расчете переноса вещества

соответствующий блок вставляется после расчета поля скоростей.

Алгоритм вычисления параметров течения воды на (n+1)-ом временном

слое основан на том принципе, что каждое уравнение является «определяющим»

для своего неизвестного. Все остальные переменные считаются известными и

берутся с n-го слоя.

Первый шаг: перепад уровня на 1n -м временном слое вычисляется

по неявной «противопотоковой схеме» (2.3)

Второй шаг: на слое I значения компонентов скорости us и vs находятся

из разностных аналогов уравнений (0.6) и (0.7). При конечно-разностной аппрок-

симации уравнений количества движения используются неявные "противопото-

ковые" схемы:

1

11

1

111

,,1,,,1,,,,,

22 h

uuuu

h

uuuuuun

s

n

s

n

s

n

s

n

s

n

s

n

s

n

s

n

s

n

sjijijijijijijijijiji

89

, , , ,, , 1 , 1 ,

,

1 1 1 1

2 22 2

i j i j i j i ji j i j i j i j

i j

n n n nn n n ns s s ss s s s

s

v v v vu u u uv

h h

2

2

111

2

1

111

1

,1, 1,,1,,1,,122

h

uuu

h

uuu

hg

n

s

n

s

n

s

n

s

n

s

n

s

xy

n

ji

n

ji jijijijijiji

(1.9)

, 0

1

, , 1

,

i j

n n n

s i j k sx bx

i j

u w

H H H

,

, , 1, 1, 1 , 1

1

4i j i j i j i j i j

n n n n

s s s s sv v v v v

.

Рис. 3.4. Блок-схема алгоритма расчета гидродинамики

, , , ,, , , 1, 1, ,

1 1 1 1 1

1 12 2

i j i j i j i ji j i j i j i j i j i j

n n n nn n n n n ns s s ss s s s s s

u u u uv v v v v v

h h

, , , ,, , 1 , 1 ,

,

1 1 1 1

2 22 2

i j i j i j i ji j i j i j i j

i j

n n n nn n n ns s s ss s s s

s

v v v vv v v vu

h h

2

2

111

2

1

111

2

,1, 1,,1,,1,,122

h

vvv

h

vvv

hg

n

s

n

s

n

s

n

s

n

s

n

s

xy

n

ji

n

ji jijijijijiji

(1.10)

90

, 0

1

, , 1

,

i j

n n n

s i j k sx bx

i j

v w

H H H

,

, , 1, , 1 1, 1

1

4i j i j i j i j i j

n n n n

s s s s su u u u u

.

Третий шаг: вычисляется давление по всей области из (0.12):

1 1

, , , 0 3( , )n n

i j k atm i jp p g H i j kh (1.11)

Четвертый шаг: вычисляются значения горизонтальных компонентов

скорости в слое II. При конечно-разностной аппроксимации уравнений (0.9)–

(0.10) используются неявные "противопотоковые" схемы:

1 1 1 1 1, , , , , , , ,, , , , , , 1, , 1, , , ,

1 12 2

n n n nn n n n n ni j k i j k i j k i j ki j k i j k i j k i j k i j k i j k

u u u uu u u u u u

h h

1 1 1 1, , , , , , , ,, , , 1, , 1, , ,

2 22 2

n n n nn n n ni j k i j k i j k i j ki j k i j k i j k i j k

v v v vu u u u

h h

1 1 1 1, , , , , , , ,, , , , 1 , , 1 , ,

, ,

3 32 2

n n n nn n n ni j k i j k i j k i j ki j k i j k i j k i j k

i j k

w w w wu u u uv

h h

(1.12)

1 1 1 1 1 1

, , 1, , 1, , , , 1, , , 1, , , , 1,

2 2

1 1 2

2 21n n n n n n n n

i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k

xy

p p u u u u u u

h h h

1 1 1

, , 1 , , 1 , , 1 , , , , , , , , 1

2

3

n n n

i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j ku u u

h

,

, , , , 1, , 1, 1, , 1,

1

4

n n n n

i j k i j k i j k i j k i j kv v v v v ;

1 1 1 1 1, , , , , , , ,, , , , , , 1, , 1, , , ,

1 12 2

n n n nn n n n n ni j k i j k i j k i j ki j k i j k i j k i j k i j k i j k

u u u uv v v v v v

h h

1 1 1 1, , , , , , , ,, , , 1, , 1, , ,

2 22 2

n n n nn n n ni j k i j k i j k i j ki j k i j k i j k i j k

v v v vv v v v

h h

1 1 1 1, , , , , , , ,, , , , 1 , , 1 , ,

, ,

3 32 2

n n n nn n n ni j k i j k i j k i j ki j k i j k i j k i j k

i j k

w w w wv v v vu

h h

(1.13)

91

1 1 1 1 1 1

, , , 1, 1, , , , 1, , , 1, , , , 1,

2 2

2 1 2

2 21n n n n n n n n

i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k

xy

p p v v v v v v

h h h

1 1 1

, , 1 , , 1 , , 1 , , , , , , , , 1

2

3

n n n

i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j kv v v

h

,

, , , 1, , , 1, 1, 1,

1

4

n n n n

i j i j k i j k i j k i j ku u u u u ;

Пятый шаг: вычисляется вертикальный компонент скорости w из раз-

ностного аналога уравнения неразрывности (0.11):

03

1,,

11,,

2

1,,

1,1,

1

1,,1

1,,

h

ww

h

vv

h

uu nkji

nkji

nkji

nkji

nkji

nkji

. (1.14)

Затем цикл 1) – 5) повторяется на новом временном слое, пока не будет

выполняться условие окончания счета. Таким условием может быть либо опре-

деленный промежуток времени (в часах, сутках и т.д.), в течение которого надо

проводить расчет, либо расчет до получения установившегося решения, когда

все параметры во времени перестают изменяться.

3.1. Вычисление концентрации вещества

Расчет распределения концентрации переносимого вещества можно про-

водить после окончательного получения поля скоростей, считая течение устано-

вившимся, или включать этот модуль шестым шагом в описанный выше алго-

ритм, если проводится исследование формирования поля концентрации сов-

местно с полем скоростей. На выбранной разностной сетке значение концентра-

ции относится к центру расчетной ячейки (Рис. 3.3). При пространственной ап-

проксимации уравнения переноса (0.22) выбрана противопотоковая схема [107]:

1 1 1 1 1, , , , , , , ,, , , , , , 1, , 1, , , ,

1 1

1 1 1 1, , , , , , , ,, , , 1, , 1, , ,

2 2

2 2

2 2

n n n nn n n n n ni j k i j k i j k i j ki j k i j k i j k i j k i j k i j k

n n n nn n n ni j k i j k i j k i j ki j k i j k i j k i j k

u u u uc c c c c c

h h

v v v vc c c c

h h

92

1 1 1 1, , , , , , , ,, , , , 1 , , 1 , ,

3 32 2

n n n nn n n ni j k i j k i j k i j ki j k i j k i j k i j k

w w w wc c c c

h h

(1.15)

1 1 1 1 1 1

1, , , , 1, , , 1, , , , 1,

2 2

1 2

1 1 1

, , 1 , , 1 , , 1 , , , , , , , , 1

2

3

2 2n n n n n n

i j k i j k i j k i j k i j k i j kxy

s

z n z z n z n

s i j k i j k s i j k s i j k i j k s i j k i j k

c c c c c c

h h

c c c

h

Граничные условия 1-го рода задаются точно. Производные в условиях 2-

го и 3-го рода задаются односторонними разностями.

Условие скольжения (0.14) аппроксимируются следующим образом. Ком-

понента скорости u на правой и левой границах полагаются 0 , , 0i j ku , на верхней

границе 0 0, , , 1,i j k i j ku u , на нижней границе

0 0, , , 1,i j k i j ku u . Компонента скорости

v на верхней и нижней границах полагаются 0, , 0i j kv , на левой границе

0 0, , 1, ,i j k i j kv v , на правой границе 0 0, , 1, ,i j k i j kv v .

Аппроксимации условий (0.23) и (0.24) имеют вид соответственно

0,,

3

1,,,,

Njis

NjiNjicw

h

cc и 1,,

3

1,,2,,

jisbb

jijicwpE

h

cc

Общему виду разностного уравнения количества движения для верхнего

слоя

, 1 , 1 1, 1, , , 1, 1, , 1 , 1 ,i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i ja q a q a q a q a q f , (1.16)

соответствует СЛАУ с пятидиагональной М-матрицей. Коэффициенты в уравне-

нии (1.16) имеют вид

, ,

, 1 2

2 22

s s

i j i jxy

i j

v va

h h

, ,

1, 2

1 12

s s

i j i jxy

i j

u ua

h h

93

, ,

, 2 2

1 2 1 2

1 11 2

s s

i j i j

i j xy

u va

h h h h

, ,

1, 2

1 12

s s

i j i jxy

i j

u ua

h h

, ,

, 1 2

2 22

s s

i j i jxy

i j

v va

h h

После аппроксимации уравнений движения и переноса вещества проти-

вопотоковыми конечными разностями получаются системы уравнений с пяти-

диагональными М-матрицами для уравнений (1.9) и (1.10), и семидиагональ-

ными М-матрицами для уравнений (1.12), (1.13) и (1.15).

Разностное уравнение количества движения для глубоководного слоя, ко-

торое приводит к СЛАУ с семидиагональной М-матрицей, принимает следую-

щий вид:

, , 1 , , 1 , 1, , 1, 1, , 1, , , , , ,

1, , 1, , , 1, , 1, , , 1 , , 1 ,

i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k

i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j

a q a q a q a q

a q a q a q f

(1.17)

. Коэффициенты в уравнении (1.17) имеют вид

, , , ,, , , , 1

, , 1 2

3 32 2

i j k i j kz i j k z i j k

i j k

w wa

h h

, , , ,

, 1, 2

2 22

i j k i j kxy

i j k

v va

h h

, , , ,

1, , 2

1 12

i j k i j kxy

i j k

u ua

h h

, , , , , ,, , , , 1

, , 2 2 2

1 2 3 1 2 3

1 11 2

2

i j k i j k i j kz i j k z i j k

i j k xy

u v wa

h h h h h h

94

, , , ,

1, , 2

1 12

i j k i j kxy

i j k

u ua

h h

, , , ,

, 1, 2

2 22

i j k i j kxy

i j k

v va

h h

, , , ,, , , , 1

, , 1 2

3 32 2

i j k i j kz i j k z i j k

i j k

w wa

h h

В работе использовались параллельные реализации решателей для этих

методов из библиотеки Aztec. Использование пакета Aztec позволило естествен-

ным образом распараллелить вычисление матричных элементов в левой части

системы уравнений, вычисление правых частей и собственно решение системы

уравнений. Остальные вспомогательные вычисления занимают около 10% объ-

ема, и их распараллеливание не дает существенного эффекта. Следует отметить,

что в соответствии с законом Амдала [164]

pS p

1

1,

где pS – ускорение, которое может быть получено на вычислительной системе

из p процессоров, по сравнению с однопроцессорным решением, – доля после-

довательных вычислений от общего числа вычислений, такая доля непараллель-

ного кода не позволяет получить более чем 10-кратное ускорение работы про-

граммы при сколь угодно большом увеличении числа используемых процессо-

ров. На практике, в зависимости от параметров коммуникационной среды и раз-

мерности решаемой системы уравнений число эффективно используемых вычис-

лительных узлов находится в диапазоне от 1 до 7.

95

Глава 4. Применение двухслойной математической модели для расчета течений в различных водоемах

Equation Section (Next)

Построенная двухслойная математическая модель была применена к рас-

чету гидродинамики нескольких водоемов. Самым первым водоемом, на кото-

ром проводилась отладка и настройка модели, было Азовское море, для которого

общепринятым является представление о плоском, выровненном характере ре-

льефа дна. В действительности новые крупномасштабные карты (Рис. 4.1) ука-

зывают на существенную дифференциацию рельефа прибрежного шельфа и от-

крытого моря [86].

Рис. 4.1. Новейшая батиметрическая карта Азовского моря

Основная настройка модели, подбор коэффициентов в уравнениях прово-

дились по натурным данным этого водоема. К сожалению, справочники и еже-

годные метеорологические журналы содержат в основном информацию об изме-

96

нении уровня воды и мало данных о характере течений. Поэтому настройку по-

лученной математической модели проводили сравнением рассчитанных и

наблюденных значений перепада уровня.

В дальнейшем данная методика расчетов течений была использована при

моделировании ветровых течений в Таганрогском заливе, в Керченском проливе,

а также в южной части Цимлянского водохранилища.

4.1. Моделирование течений в Азовском море

Азовское море расположено на юго-востоке Европы, между 45°17` и

47°17` с. ш. и 34°49` и 39°18` в. д. Оно является полузамкнутым внутренним во-

доемом, сообщающимся в его южной части с Черным морем через неглубокий

Керченский пролив, и относится к системе Средиземного моря Атлантического

океана. Площадь Азовского моря около 38000 км2, объем 320 км2. Наибольшая

длина моря от Арабатской стрелки до дельты Дона составляет 360 км, а макси-

мальная ширина с севера на юг– 180 км. Средняя глубина моря 8,4 м, а макси-

мальная – 13,5 м.

В Азовское море впадают две крупные реки – Дон и Кубань, а также около

20 небольших речек, значительная часть которых стекает с северного берега.

Дон, впадающий с северо-востока, в нижнем течении образует небольшую мно-

горукавную дельту, площадь которой 540 км2. Устье Кубани, расположенное в

юго-восточной части моря, представляет собой обширную двухрукавную дельту,

площадь которой равна 4300 м2. Средний суммарный сток Дона и Кубани после

его зарегулирования составляет 28 км3/год.

Сезонные изменения погоды на Азовском море формируются под влия-

нием крупномасштабных синоптических процессов. В осенне-зимнее время на

Азовское море воздействует отрог сибирского антициклона. Это обусловливает

ярко выраженное преобладание северо-восточных и восточных ветров со сред-

ней скоростью 4–7 м/с.

97

В весенне-летнее время на Азовское море воздействует отрог азорского

максимума. Для этого периода характерно преобладание маловетренной, безоб-

лачной и теплой погоды. Ветры неустойчивы по направлению, их скорость не-

значительна (3–5 м/с). Часто наблюдается полный штиль. Весной над морем

наблюдаются средиземноморские циклоны, которые cопровождаются юго-за-

падными ветрами со скоростью 4–6 м/с.

Расчеты проводились на сетке 1449815 при шагах

2500 , 1x y м z м (Рис. 4.2). Это давало 212000 ячеек. После индексации

каждая получаемая система линейных уравнений имела примерно 45000 неиз-

вестных.

Изначально принималось, что 32.6 10 , (над твердой поверхностью),

63.25 10 , 51083,0 , 8 210 /xy см с [62], а значение

z выбиралось из

интервала 2 3 210 10 /см с . В процессе калибровки модели значения , , ,xy z

уточнялись.

Для оценки результатов расчета использовались натурные данные следу-

ющих метеостанций: Геническ, Бердянск, Мариуполь, Таганрог, Ейск, Примор-

ско-Ахтарск, Темрюк, Мысовое [91]. Значения ветрового поля в каждой расчет-

ной точке задавались с помощью интерполяции значений по трем ближайшим

метеостанциям (формулы (0.20)–(0.21)), затем проводилось численное исследо-

вание влияния ветра на уровненный режим Азовского моря.

На Рис. 4.3 показано поведение уровня воды относительно его среднего

значения в течение 24 суток (данные снимались через каждые 6 ч) на метеороло-

гическом посту в районе г. Геническа. Варьирование коэффициентов трения и

вязкости позволило добиться наилучшего согласования результатов расчета с

натурными данными [91]. Из рисунка видно качественное совпадение вычислен-

ных и наблюденных значений.

98

Рис. 4.2. Конечно-разностная сетка для Азовского моря в целом

Аналогичные исследования были проведены для метеостанций г. Ейска

(Рис. 4.4) и г. Темрюка (Рис. 4.5).

99

Рис. 4.3. Сопоставление вычисленных (штриховая кривая) и натурных (сплош-

ная) значений уровня Азовского моря в районе г. Геническа (01-24.10.1974)

Рис. 4.4. Сопоставление вычисленных (штриховая кривая) и натурных (сплош-

ная) значений уровня Азовского моря в районе г. Ейска (01-12.10.1974)

100

Рис. 4.5. Сопоставление вычисленных (штриховая кривая) и натурных (сплош-

ная) значений уровня Азовского моря в районе г. Темрюка (01-12.06.1974)

Оценку качества прогнозируемых значений, вычисляемых с помощью

предлагаемой модели, проводили по методике [92]. В (Таблица 2) приведены

значения стандартной ошибки S рассчитанных значений, среднего квадратиче-

ского отклонения наблюденных значений от среднего их значения, отношения

S и коэффициенты корреляции r между натурными данными и расчетными зна-

чениями по перепадам уровня воды. Согласно пп.6.2.5. и 6.9.1. из [92] предлага-

емый метод расчета дает приемлемые результаты при соотношении 67,0S

для 25n . Полученные результаты более чем удовлетворяют данному условию.

Таблица 2. Значения основных параметров оценки точности метода для пере-

пада уровня воды

Станции n S

S r

Геническ 96 0,134 0,089 0,665 0,77

Ейск 48 0,096 0,045 0,473 0,99

Темрюк 48 0,105 0,051 0,484 0,98

101

На Рис. 4.7 показано поле течений поверхностного слоя, полученное в ре-

зультате расчета [67, 70]. Ветровое поле задавалась по данным с 15:00

01.10.1974 г. (направление ветра от восточного до северо-восточного, сила ветра

7-10 м/с) (Рис. 4.7а) до 15:00 03.10.1974 г. (направление ветра от восточного до

северо-восточного, сила ветра 2-4 м/с) (Рис. 4.7б). Изменение ветровой ситуации

соответствовало, описанному в [91]. На Рис. 4.8 показано поле течений, получен-

ное в результате исследования динамической структуры вод Азовского моря и

приведенное в [103]. Сравнение Рис. 4.7а и Рис. 4.8а, Рис. 4.7б и Рис. 4.8б пока-

зывает подобие полей течений, полученных предложенным методом и приведен-

ных в [103].

Метеорологические наблюдения показали, что циркуляционное течение

в море возможно и при длительном действии ветров восточного направления

[14]. На (Рис. 4.9) показана картина линий тока, полученная при действии северо-

восточного ветра в течение 24 часов. Приведенные результаты расчета хорошо

согласуется с картиной течений в Азовском море (Рис. 4.6), полученной ранее с

помощью двухмерной математической модели [62, 68].

102

Рис. 4.6. Картина течений при действии восточного ветра, полученная с помо-

щью двухмерной модели

103

Рис. 4.7. Рассчитанное поле течений верхнего слоя (см/с) при усилении ветра во-

сточного и северо-восточного направлений (V=7-10 м/с) 15:00 01.10.1974 (а) и ослабева-

нии ветра восточного и северо-восточного направлений (V=2-4 м/с) 03:00 03.10.1974 (б)

104

Рис. 4.8. Поле течений поверхностного слоя (см/с) в момент наиболее сильного

ветра (Т=12 ч, V=15 м/с) (а) и после полного затухания ветра (Т=24 ч, V=0) (б)

105

Рис. 4.9. Картина линий тока после действия северо-восточного ветра

в течение 24 часов

На Рис. 4.10 показано поле скоростей в вертикальном разрезе Азовского

моря по оси Геническ – Приморско-Ахтарск [142, 143]. Расчеты были проведены

при ветровой ситуации на 06, 07.101974, когда преобладал ветер восточного

направления силой 3-7 м/с [91]. В центральной и восточной частях моря отме-

чено восходящее течение, а в западной части, ближе к Геническу, – нисходящий

поток. Такой характер течения можно объяснить, скорее всего, наличием сгона

воды у восточного берега (– 0.15 м) и нагона воды у западного берега (+0.20 м).

Рис. 4.10. Вертикальное поле скоростей (см/с) по оси Геническ – Приморско-Ах-

тарск

106

Неоднородное распределение ветрового поля над акваторией водоема

значительно усложняет характер течений. Задавая наблюденное по состоянию на

3 апреля 1975 года распределение ветрового поля над всей акваторией Азовского

моря (Таблица 3) было рассчитано возможное течение воды. На (Рис. 4.11) пока-

зана возможная картина течений, а на (Рис. 4.12) соответствующая картина ли-

ний тока. Достаточно сложный характер течений с наличием циркуляционных

зон объясняется неоднородным распределением ветрового поля над акваторией

Азовского моря. В (Таблица 3) приведены осредненные данные по ветровой си-

туации на береговых метеорологических станциях.

Таблица 3. Среднесуточные за 3 апреля 1975 года значения направления и ско-

рость ветра

Станция Направление Скорость,

м/с

Мысовое ЮЮВ 7

Геническ ЮЮВ 8

Бердянск ВСВ 4

Мариуполь ВСВ 1

Таганрог ЗЮЗ 4

Ейск ЮЮЗ 3

Пр.-Ахтарс ЮВ 2

Темрюк ССЗ 3

107

Рис. 4.11. Течение воды при действии юго-западного ветра 3-4 м/с в центральной

и восточной частях моря и юго-юго-восточного 5-6 м/с в южной части (состояние на 3

апреля 1975 года)

108

Рис. 4.12. Линии тока при действии юго-западного ветра 3-4 м/с в центральной и

восточной частях моря и юго-юго-восточного 5-6 м/с в южной части (состояние на 3 ап-

реля 1975 года)

Для получения картины течений в районах выходящих в море береговых

кос были проведены расчеты на более мелкой сетке с шагом по горизонтали

660 м и по вертикали 0,25 м. Такая сетка содержала 30342542 4 (около

5600000) узлов. После индексации число неизвестных в верхнем слое стало при-

мерно 81000, в глубоководном слое примерно 1025000. Начальные данные и гра-

ничные значения брались из полей скоростей, рассчитанных на более грубой

сетке, построенной для всего Азовского моря

На (Рис. 4.13) показаны течения на горизонте 4 м в восточной части Азов-

ского моря при действии северо-западного ветра силой 5–7 м/с. Видно, что косы

оказывают существенное влияние на течение. Движение воды может проходить

в направлении, перпендикулярном направлению действия ветра (коса Бирючий

Остров), и даже противоположном направлению действия ветра (район Бердян-

ской косы).

109

Рис. 4.13. Рассчитанное поле течений на горизонте 4 м в западной части Азов-

ского моря при действии западного ветра 5-7 м/с

4.2. Моделирование течений в Таганрогском заливе

Таганрогский залив является наиболее крупным из придаточных водое-

мов Азовского моря, в который впадает одна из крупнейших рек юга России –

Дон. Его площадь составляет 5600 км2. Он еще более мелководный, чем Азов-

ское море, его средняя глубина 4,9 м и объем 25 км3.Значительные массы речной

воды сильно опресняют Таганрогский залив, а выносимые рекой наносы обме-

ляют его и ведут к росту Донской дельты, которая занимает площадь 340 км2.

Современная дельта Дона начинается в 6 км ниже Ростова-на-Дону, там, где от

реки вправо отделяется несудоходный рукав Мертвый Донец. При сильных за-

падных ветрах воды Азовского моря устремляются в устье Дона, подпирают реч-

ные воды, Дон выходит из берегов, затопляя не только дельту, но и займище по-

чти на 100 км вверх по течению. Восточные ветры, дующие вниз по течению

Дона, оказывают обратное действие. Происходит сгон вод притом иногда

110

настолько сильный, что мелеют не только рукава реки, но и Таганрогский залив,

что нарушает нормальное судоходство. Амплитуда сгонно-нагонных явлений со-

ставляет от -2 м до +3 м. Дон выносит в море в среднем около 14 млн. тонн реч-

ных наносов и около 9,5 млн. тонн растворенных минеральных веществ. За счет

наносов идет рост Донской дельты, постепенно выдвигающейся все дальше в

море со скоростью примерно 1 км в столетие.

Расчет ветрового течения проводился над всей акваторией Таганрогского

залива для различных ветровых ситуаций. Шаг сетки по горизонтали составлял

200 yx м, по вертикали 5,0z м с числом узлов 617 357 19 , что дало

4200000 ячеек. После индексации ячеек в расчетной области число неизвестных

в верхнем слое стало примерно 116000, в глубоководном слое примерно 533000.

Распределение ветрового поля задавалось интерполированием значений в точках

1, 2, … 8 (имитация береговых метеостанций) (Рис. 4.14) и могло быть

неоднородным.

Расчеты показали, что при действии ветра западного направления со ско-

ростью 8–10 м/с в первые часы движение воды направлено к восточной части

залива (Рис. 4.14–Рис. 4.15), при этом наибольшая скорость течения, 12–18 см/с

наблюдается в центральной его части, в то время как в западной и восточной

частях скорость течения составляет 10–15 см/с. При более длительном действии

ветра течение замедляется, и в восточной части образуется слабое циркуляцион-

ное течение со скоростью 3–5 см/с. Со временем такая зона продолжает форми-

роваться в восточной части залива затем в центральной части (Рис. 4.16–

Рис. 4.17), а затем в западной части Таганрогского залива (Рис. 4.18–Рис. 4.19).

111

Рис. 4.14. Картина течений (см/с) через 4 часа действия западного ветра

Рис. 4.15. Картина линий тока через 4 часа действия западного ветра

112

Рис. 4.16. Картина течений (см/с) через 14 часов действия западного ветра

Рис. 4.17. Картина линий тока через 14 часов действия западного ветра

113

Рис. 4.18. Картина течений (см/с) через 18 часов действия западного ветра

Рис. 4.19. Картина линий тока через 18 часов действия западного ветра

Азовоморское течение располагается ближе к северному берегу Таган-

рогского залива, а компенсационное течение – ближе к южному берегу

(Рис. 4.19).

114

Численно установлено, что возникновение циркуляционных зон происхо-

дит быстрее при неоднородном распространении ветрового поля. Если действие

западного ветра у южного берега Таганрогского залива ослабевает, в то время

как у северного берега продолжает действовать ветер той же силы, то возможно

образование нескольких циркуляционных зон сразу во всем заливе.

Если направление ветра изменить на более южное (например, ЮЗ-ЮЮЗ)

с той же скоростью 8–10 м/с, то циркуляционная зона начинает образовываться

сначала в западной части залива (Рис. 4.20–Рис. 4.21), затем эти зоны появляются

на востоке (Рис. 4.22) и в центре (Рис. 4.23).

Рис. 4.20. Картина течений (см/с) через 4 часа действия юго-юго-западного ветра

115

Рис. 4.21. Картина линий тока через 4 часа действия юго-юго-западного ветра

Рис. 4.22. Картина течений (см/с) через 8 часов действия юго-юго-западного

ветра

116

Рис. 4.23. Картина течений (см/с) через 14 часов действия юго-юго-западного

ветра

Рис. 4.24. Картина течений (см/с) через 18 часов действия юго-юго-западного

ветра

117

Рис. 4.25. Картина линий тока через 18 часов действия

юго-юго-западного ветра

Компенсационное течение при таком действии ветра проходит ближе к

северному берегу, а Азовоморское ближе к южному (Рис. 4.24–Рис. 4.25). Ско-

рость компенсационного течения в центральной части залива составляет 3–

8 см/с на поверхности и 1–3 см/с на глубине 4 метра.

118

Рис. 4.26. Картина течений (см/с) на горизонте 4 м через 18 часов действия юго-

юго-западного ветра

Такое течение воды прослеживается не только на поверхности залива, но

и на глубине. На (Рис. 4.26) показана картина течения на глубине 4 метра, соот-

ветствующая течению на поверхности (Рис. 4.24). Было проведено численное ис-

следование характера течений под действием ветров восточного, а также север-

ного направлений силой 8–10 м/с. Образование компенсационного течения при

этих ветрах установить не удалось.

Учеными Южного научного центра совместно с Мурманским морским

биологическим институтом КНЦ РАН проведено изучение формирования гид-

рологического режима и гидродинамики вод Таганрогского залива. Результаты

анализа полученных данных приведены в [89]. Используя соленость, как основ-

ной консервативный фактор, установлена возможность формирования специфи-

ческой циркуляции воды в заливе под действием ветрового поля. В этой же ра-

боте приводятся схемы течений в Таганрогском заливе в летний период

(Рис. 4.27 а), когда преобладают западные ветра, и осенний период (Рис. 4.27 б),

когда преобладают восточные ветра.

119

Сравнивая результаты расчета с результатами, приведенными в [89],

можно считать, что предлагаемая модель достаточно хорошо согласуются с те-

чениями в летний период, когда преобладают ветра западного направления. Од-

нако, данная модель, вероятно,, рассчитанное с помощью предлагаемой матема-

тической модели, хорошо согласуется с наблюденной картиной течений

(Рис. 4.27 а). Расчетное поле течений при действии восточных ветров не учиты-

вает факторы, влияющие на течения в осенний период, когда преобладают ветра

восточного направлениясовпадает с полем течений (Рис. 4.27 б), определенным

по методике [89].

120

Рис. 4.27. Схема течений в Таганрогском заливе в летний (а) и в осенний период

(б) 2005 г.

Трехмерность модели позволяет рассчитать скорость течения по всей глу-

бине водоема. На (Рис. 4.28) приведено изменение эпюры скоростей в попереч-

ном разрезе центральной части залива в процессе возникновения компенсацион-

ного течения. Приведенные эпюры показывают значения скоростей течения от

поверхности воды до дна. В первые восемь часов происходит ослабление нагон-

ного течения, затем начинает набирать силу компенсационное течение.

121

Полученные результаты хорошо согласуются с подобными результаты,

которые были ранее получены с помощью двумерной математической модели

[68].

Рис. 4.28. Изменение эпюры скоростей в центральной части Таганрогского за-

лива при возникновении компенсационного течения

4.3. Моделирование течений в Керченском проливе

Изучение Керченского пролива началось еще в конце XIX века Ф.Ф.

Врангелем [29]. В 30-е годы XX века был выполнен ряд исследований по выяв-

лению эмпирических связей течений и уклонов уровня между концами пролива,

влияния ветра на течения в проливе [1, 18].

Более полные исследования динамики вод Керченского пролива были

проведены ГОИНом в период 1957-1985 гг. при участии морской гидрометео-

станции Опасное. Проводимые исследования были связаны с решением про-

блемы расчета водообмена Азовского и Черного морей. На основе полученных

122

материалов Э.Н. Альтманом были разработаны и верифицированы новые эмпи-

рико-теоретические методы расчета уровня течений и водообмена в Керченском

проливе [2, 3], рассчитаны характеристики колебаний уровня в проливе [4], пе-

реноса вод и структуры течений [5], горизонтального турбулентного обмена [6].

Основные особенности океанографического режима Керченского про-

лива, в том числе ветрового волнения, колебаний уровня моря, системы течений

и водообмена, ледового режима, гидрохимических условий, транспорта наносов

изложены в [38]. Выделены существующие и потенциальные экологические про-

блемы, связанные с зарегулированием водообмена через пролив. Характер тече-

ний описывается по наблюденным данным.

В работах [162, 174, 175] течения в проливах описываются дифференци-

альными уравнениями импульса и сохранения массы. Течение в Гибралтарском

проливе представляется двухслойной несмешивающейся жидкостью. При по-

строении одномерной модели предполагается, что пролив прямолинеен и сим-

метричен относительно фарватера. Решение задачи проводится конечно-раз-

ностными методами.

Модель течения в проливе Дарданеллы представлена в работе [238]. Как

и в предыдущих работах, пролив представлен прямолинейным каналом перемен-

ной ширины и глубины, симметричным относительно фарватера. Движение

воды в проливе описывается уравнениями Рейнольдса, в которых продольная и

вертикальная скорости берутся усредненными по ширине пролива. В начальный

момент предполагается, что более соленые и теплые воды Эгейского моря отде-

лены от вод Мраморного моря вертикальным барьером, расположенным посере-

дине пролива. Затем этот барьер внезапно убирается и воды начинают переме-

щаться по проливу навстречу друг другу.

В работе [244] представлено исследование потоков в Макасарском про-

ливе по наблюденным данным. Приведены профили частот плавучести за раз-

личные годы наблюдений.

123

На водообмен между Азовским морем и Керченским проливом суще-

ственное влияние оказывает водный баланс Азовского моря. Наряду с климати-

ческими факторами он определяет основные особенности гидрологического и

гидрохимического режима моря [14, 33].

Водный баланс можно выразить по формуле:

r ev BS pr ASV V V V V B ,

где rV – сток рек; evV – осадки, выпадающие на поверхность моря; BSV – приток

воды из Черного моря; prV – испарение с поверхности моря; ASV – сток азовской

воды в Черное море; B – разность между приходной и расходной частями ба-

ланса. Среднегодовые значения составляющих водного баланса представлены в

Приложениях (Ошибка! Источник ссылки не найден.). [103].

Используя данные (Ошибка! Источник ссылки не найден.), было про-

ведено статистическое исследование приведенных параметров до и после заре-

гулирования реки Дон в 1952 году. Значимое отличие (p<0,05) наблюдается для

речного стока rV (Таблица 4). Однако, в целом водный баланс B не претерпел

существенного изменения.

Таблица 4. Сравнение средних значений составляющих водного

баланса до и после зарегулирования р. Дон

После

1952 г.

До

1952 г. p p дисперс.

Vr 34,63 40,38 0,04526 0,27377

Vev 16,05 14,83 0,09051 0,34491

Vpr 35,71 34,37 0,59739 0,00000

VBS 37,27 35,57 0,27443 0,42308

VAS 52,75 54,64 0,36246 0,31344

B 1,51 1,78 0,63392 0,65975

124

Кроме того, подтверждено, что речной сток оказывает существенное вли-

яние на Азовоморский поток (прямая зависимость) и Черноморский поток (об-

ратная зависимость) через Керченский пролив. Ниже приведены данные анализа

корреляционной зависимости этих параметров и линии регрессии (Рис. 4.29,

Рис. 4.30).

VAS= 29,601 + 0,64655 * Vr

Корреляция: r = ,90726

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

Поступление из рек

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

Азо

вски

й п

ото

к

95% доверит. Рис. 4.29. Зависимость Азовоморского потока от поступления воды из рек

125

VBS = 54,322 - 0,4798 * Vr

Корреляция: r = -,8971

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

Поступление из рек

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

50

Че

рн

ом

ор

ски

й п

ото

к

95% доверит. Рис. 4.30. Зависимость Черноморского потока от поступления воды из рек

Границы Керченского пролива определены следующим образом

(Рис. 4.31): северная от м. Хрони (A) до м. Ахиллеон (B); южная от м. Такиль (C)

до м. Панагия (D). В судоходной части Керченского пролива глубины состав-

ляют 8 – 10 м, а в южной его части до 19 м. В то же время в прибрежных районах,

Таманском и Динском заливах глубина составляет 0,5 – 4 м (Рис. 4.31) [49]. Та-

кое распределение глубин позволяет говорить о большой их неоднородности. В

связи с этим для численного исследования течений в Керченском проливе ис-

пользовалась разработанная автором двухслойная модель гидродинамики.

126

Рис. 4.31. Карта Керченского пролива

Особенностью моделирования гидродинамики Керченского пролива яв-

ляется наличие косы Тузла. Тузлинский нанос – это песчаная полоса, полупогру-

женная в илы. Коса растет в результате типичной аккумуляции береговых нано-

сов. В виде сплошной косы она впервые появились на карте 1830 года. В 1925

году для прохода рыбацких лодок у основания косы был прорыт канал, который

по идее не мог нанести ущерб рыболовству. Однако в том же году во время силь-

ного южного шторма в море прорвало косу вблизи Таманского берега и она пре-

вратилась в остров, отделенный от мыса Тузла проливом, достигшим через не-

которое время ширины нескольких километров. Средняя глубина пролива между

мысом Тузла (Тамань) и надземной частью косы не превышает 0,3-0,6 метра. На

расстоянии 2,5 километра от мыса имеется искусственная промоина глубиной

порядка 1,3 метра и шириной не более 30 метров. В 2003 г. со стороны Таман-

ского полуострова на месте прежней косы была частично насыпана дамба.

127

Так как после строительства дамбы в 2003 г. натурные данные по гидро-

динамики не собирались, то настройка модели проводилось без учета современ-

ной береговой линии по натурным данным, полученным до 2003 года, когда Туз-

ловская коса была размыта (период 1925 – 2003 гг.). Натурные данные были вы-

браны с четырех метеорологических станций: станция I (45°19´59´´ с.ш.,

36°37´30´´в.д.), II (45°17´45´´ с.ш., 36°30´18´´в.д.), III (45°13´41´´ с.ш.,

326°36´00´´в.д.), IV (45°11´46´´ с.ш., 36°30´29´´в.д.) (Рис. 4.32). Выбирались те

даты, когда существовали наблюдения хотя бы на трех рассматриваемых стан-

циях одновременно. К таким данным относятся наблюдения, полученные в 1926,

1927 и 1934 гг.

Ниже приводятся результаты расчетов, которые проводились на разност-

ной сетке с шагом 60 м по горизонтали и 1 м по вертикали, что дало порядка

9000000 ячеек. После индексации ячеек в расчетной области число неизвестных

в каждом уравнении стало равным примерно 202000 для глубоководного слоя и

626000 для мелководного слоя.

128

Рис. 4.32. Расположение метеорологических станций в Керченском проливе,

натурные данные которых использовались в модели

Предполагалось, что ветровое поле над всей акваторией равномерно, при

этом бралось нулевое начальное распределение скоростей. Оценка погрешности

проводилась с одновременным учетом данных по всем четырем метеостанциям:

4

1

2

4

1

2

i

nati

i

inati

U

UU

Рассчитанные поля скоростей принимались к рассмотрению, если по-

грешность не превышала 50% (Таблица 5). В противном случае считалось, что

при рассматриваемой ветровой ситуации на течение в проливе сильное влияние

оказывают факторы, которые математическая модель не учитывает.

Полученные поля скоростей могли использоваться в качестве начального

распределения для последующих дней расчета.

129

Таблица 5. Сравнение расчетных и натурных данных по скорости течения

Дата Станции Нат.

данные Расчет

Погр.

% Дата Станции

Нат.

данные Расчет

Погр.,

%

10.09.

1926

I 30 28 6,2%

27.08.

1927

I 24 23 2,9%

II 51 45 12,1% II 69 38 44,9%

III 44 26 41,4% III 29 32 11,8%

IV 18 18 2,1% IV 26 40 54,6%

Общая погрешность 25,5% Общая погрешность 41,4%

11.06.

1927

I 52 38 27,8%

31.08.

1927

I 18 19 5,7%

II 97 55 42,9% II 55 25 54,0%

III 78 41 46,8% III 29 21 29,1%

IV 31 IV 10 15 49,4%

Общая погрешность 42,4% Общая погрешность 47,7%

22.06.

1927

I 13 13 3,6%

26.09.

1927

I 20 29 46,7%

II 43 19 54,8% II 54 34 36,9%

III 68 64 5,3% III 44 32 28,4%

IV 9 16 79,4% IV 18 24 31,6%

Общая погрешность 30,4% Общая погрешность 34,7%

30.06.

1927

I 33 42 26,2%

28.09.

1927

I 19 18 3,4%

II 56 II 27 22 17,1%

III 50 34 32,3% III 12 23 91,0%

IV 13 20 53,2% IV 13

Общая погрешность 32,0% Общая погрешность 33,8%

08.08.

1927

I 13 13 3,6%

14.10.

1927

I 17 6 64,7%

II 36 30 15,7% II 14

III 32 25 23,4% III 21 23 8,5%

IV 13 15 19,1% IV 11 14 23,0%

Общая погрешность 19,4% Общая погрешность 39,7%

На (Рис. 4.33) показано поле скоростей, полученное на 30.06.1927.

130

Рис. 4.33. Картина течений (см/с) в Керченском проливе по расчетам на 30 июня

1927 года

Характерной ситуацией в Керченском проливе является смена течений с

Азовоморского на Черноморское или наоборот. Исследуя таблицу натурных дан-

ных, было замечено, что 26 сентября 1927 г. наблюдалось Азовское течение, а 28

сентября 1927 г. уже было Черноморское течение (Таблица 6). С помощью по-

строенной математической модели была численно исследована возможная дина-

мика изменения течения в указанные дни (Рис. 4.34 – Рис. 4.40).

На первом этапе было рассчитано Азовоморское течение под действием

северо-восточного ветра силой 3 м/с. Затем под действием юго-юго-западного

ветра силой 3,5 м/с проводился расчет течений на протяжении 7 часов модель-

ного времени. Вывод результатов расчета проводился через каждый час.

131

Таблица 6. Наблюденные гидрологические данные 26 и 28 сентября 1927 г.

Станция Дата

Направление

течения,

град

Скорость

течения,

см/с

Направление

ветра

Скорость

ветра

I 26.09.27 220 20 NE 3,000

II 26.09.27 203 54 NNE 2,000

III 26.09.27 226 49 NE 2,000

IV 26.09.27 192 18 NNE 6,000

I 28.09.27 55 19 WSW 2,000

II 28.09.27 69 27 S 4,000

III 28.09.27 355 12 SSW 4,000

На (Рис. 4.34) показана картина течений на поверхности в момент начала

расчета, когда действует Азовоморское течение. На (Рис. 4.35) показано поле

скоростей на горизонте 4 метра.

Рис. 4.34. Картина течения на поверхности Керченского пролива при наличии

Азовского течения

132

Рис. 4.35. Картина течения на горизонте 4 метра Керченского пролива при нали-

чии Азовского течения

133

Рис. 4.36. Картина течения в Керченском проливе через 1 час после смены ветра

с северного на южное направление

134

Рис. 4.37. Картина течения в Керченском проливе через 2 часа после смены ветра

с северного на южное направление

Видно (Рис. 4.35), что в течение первого часа направление течения изме-

нилось, в основном, в примыкающих к проливу заливах.

Через два часа Черноморское течение начинает формироваться в южной

части пролива, но течения в протоках вокруг о. Тузла носят Азовоморский ха-

рактер (Рис. 4.37).

135

Рис. 4.38. Картина течения в Керченском проливе через 3 часа после смены ветра

с северного на южное направление

Через три часа после смены направления ветра Черноморское течение за-

нимает почти всю южную часть пролива (Рис. 4.38). Исключение составляет те-

чение через створ между о. Тузла и Таманским полуостровом. Очень слабые те-

чения наблюдаются в северной (разрез п. Крым–п. Кавказ) и Павловской (разрез

о. Тузла–п-ов Крым) узостях.

136

Рис. 4.39. Картина течения в Керченском проливе через 5 часов после смены

ветра с северного на южное направление

137

Рис. 4.40. Картина течения в Керченском проливе через 7часов после смены

ветра с северного на южное направление

Через пять часов Черноморское течение начинает занимать весь Керчен-

ский пролив (Рис. 4.39).

К концу седьмого часа Черноморское течение полностью формируется

(Рис. 4.40).

Трехмерность модели позволяет рассчитать скорость течения от поверх-

ности до дна. Такие расчеты были проведены в центре Павловской узости. На

(Рис. 4.41) приведено изменение эпюры скоростей при смене течений с Азово-

морского на Черноморское. Приведенные эпюры показывают значения скоро-

стей течения от поверхности воды до дна. В первые три часа происходит ослаб-

ление северного течения, затем, начиная с четвертого часа, начинает набирать

силу южное течение.

138

Рис. 4.41. Изменение во времени эпюры скоростей в Павловской узкости

Создание дамбы вдоль косы Тузла в 2003 г. привело к изменению течений

в центральной части Керченского пролива. К сожалению, за период с 2003 г. по

настоящее время натурных данных по скоростям течений не имеется.

На (Рис. 4.42–Рис. 4.43) показаны поля скоростей при наличии или отсут-

ствии дамбы в случае действия южного ветра со скоростью 8 м/с в течение 8 ча-

сов.

139

Рис. 4.42. Поле скоростей в Керченском проливе при отсутствии дамбы вдоль

косы Тузла

Сравнивая полученные поля течений, можно установить подобие этих те-

чений в проливе в целом. Исключение составляют течения в окрестности

о. Тузла. Так, например, при отсутствии дамбы примерно половина объема воды,

проходящей через разрез III, нагоняется в Таманский залив, а другая половина

движется вдоль северной стороны острова Тузла в сторону Азовского моря

(Рис. 4.42). При наличии дамбы расход воды через разрез III значительно сокра-

щается, и вода в Таманский залив поступает, в основном, с северной стороны о.

Тузла, но движется уже в юго-восточном направлении (Рис. 4.43).

140

Рис. 4.43. Поле скоростей в Керченском проливе при наличии дамбы вдоль косы

Тузла

Используя трехмерность модели, было проведено численное исследова-

ние влияния дамбы на расход воды. В каждой из четырех станций расход вычис-

лялся в поперечном сечении. Установлено (Рис. 4.44), что на разрезе I наличие

дамбы не оказывает никакого влияния. На разрезе II расход увеличился при нали-

чии дамбы, на разрезах III и IV уменьшился. Такое перераспределение потока,

вероятно, объясняется тем, что наличие дамбы естественным образом резко со-

кратило поступление воды через разрез III, а это привело к уменьшению потока

и через разрез IV. В то же время возросла нагрузка на западный створ пролива,

где располагается разрез II.

141

Рис. 4.44. Влияние дамбы на расход воды

Разница в объемных расходах на разрезах I и IV объясняется наличием

значительного нагона воды в Таманский залив.

4.4. Моделирование течений в южной части Цимлянского

водохранилища

Цимлянское водохранилище, образовано плотиной Цимлянской ГЭС

(1952 г.) на р. Дон на территории Ростовской и Волгоградской областях РФ. Оно

является одним из крупнейших искусственных водоемов степной зоны юга Рос-

сии.

Площадь водного зеркала 2702 кв.км при нормальном подпорном уровне

30,0 м. . Объем при нормальном подпорном 23,75 куб. км. Длина береговой ли-

нии 641 км, длина от Цимлянской плотины до г. Калач-на-Дону 180 км, средняя

ширина 14,9 км, максимальная ширина 38 км, средняя глубина 8м, наибольшая

глубина 35 м.

Исследуемый водоем расположен на юго-востоке европейской террито-

рии страны в зоне континентального климата с недостаточным увлажнением,

142

жарким и сухим летом, сравнительно продолжительной и холодной зимой. Цир-

куляция воздушных масс обусловлена западным переносом, однако, ей присущи

черты меридиональной направленности [106].

На ландшафтной карте [72] изображен Приплотинный участок

(Рис. 4.45), прослеживающийся от Кривского сужения до Цимлянской плотины.

Максимальная ширина регистрируется на траверзе устья р. Цимла – 38 км. 60%

акватории участка характеризуются глубинами 15-16 м. Средняя глубина дости-

гает 12,2 м. В целом рельеф ложа водохранилища весьма изменчив. Это связано

с тем, что акватория водоема занимает не только площадь русла и поймы Дона,

но и большую часть надпойменных террас. Поэтому в пределах одного и того же

участка глубины заметно изменяются в зависимости от распределения различ-

ных элементов рельефа на дне водохранилища. Так в отдельных районах глубина

может достигать 20-25 метров (старое русло Дона), и в то же время в районе Вол-

годонска и устья реки Цимла глубина составляет 0,5 – 2 м (Рис. 4.46). В настоя-

щее время на зоны мелководья (до 6 м глубины) приходится свыше 12-15% всей

его площади.

Зарегулирование Дона коренным образом изменило гидрологический ре-

жим реки, его жидкий и твердый сток. На Нижнем Дону изменения гидрологи-

ческого режима, прежде всего, выразились в сезонном и межгодовом перерас-

пределении стока, в уменьшении средней многолетней водности реки, в транс-

формации скоростей и направлений течения воды (особенно в непосредственной

близости от плотины) [106]. Изучению гидрологического режима Цимлянского

водохранилища, исследованию его водного баланса посвящены работы [32, 121,

130].

143

Рис. 4.45. Ландшафтная карта района Ростовской АЭС

144

Рис. 4.46. Карта глубин южной части Цимлянского водохранилища

Водосбор Цимлянского водохранилища имеет древовидную форму с ас-

симетричным строением, в целом вытянутую с севера на юг, и довольно разви-

тую речную сеть (Рис. 4.47). Преобладающими являются малые реки. На их долю

приходится около 87% от общего числа рек.

145

146

Рис. 4.47. Схема гидрографической сети и основных форм рельефа в Донском

районе России. 1–граница водосбора Дона; 2– граница водосбора Цимлянского водохра-

нилища; 3– 30- километровая зона

Боковую приточность, порождаемая гидрографической сетью малых рек

от Калача-на-Дону до плотины Цимлянского гидроузла, состоит из 24 водотоков.

Наиболее значительные из них – Чир, Аксай Курмоярский, Аксай Есауловский,

Донская Царица, Мышкова, Цимла.

Водный баланс и режим уровней воды определяется естественными и ан-

тропогенными факторами, наиболее значимые из которых – приток воды за счет

рек и временных водотоков, осадки, испарение, сток воды через турбины гидро-

узла и забор воды на орошение.

В водном балансе среднемноголетняя (1953-1989 г.г.) сумма среднегодо-

вого прихода воды в Цимлянское водохранилище составляет 17559 млн.куб.м, из

них более 86% или 15108 млн. куб.м дает сток Дона, боковая приточность при-

вносит не более 6%, осадки –7% [90].

В расходной части водного баланса основную роль играет сток через тур-

бины Цимлянской ГЭС (72%), забор воды на хозяйственные нужды, в том числе

на орошение, составляет около 15%, испарение примерно 12%, Аккумуляция

воды в чаше водоема 1%.

Площадка Волгодонской АЭС расположена на левом берегу Цимлян-

ского водохранилища, созданного в нижнем течении реки Дон. Тридцатикило-

метровая зона захватывает на севере Приплотинную часть водохранилища, на

юге – участок среднего течения р. Дон. По этой причине интерес для исследова-

ния представляет непосредственно южная Приплотинная часть Цимлянского во-

дохранилища. (Рис. 4.48).

В области h h вводится равномерная по всем направлениям раз-

ностная сетка с соответствующими шагами h1, h2, h3. Здесь h– множество внут-

ренних узлов сетки, h – множество граничных узлов. Прямоугольная разност-

ная сетка выбирается с шагом 250 м по горизонтали и 0,5 м по вертикали размера

147

417585 , что дает нам число узлов равным порядка 2700000 [147, 150, 151].

После индексации ячеек в расчетной области число неизвестных в каждом урав-

нении стало равным числу порядка 4000 для глубоководного слоя и 50000 для

мелководного слоя.

Рис. 4.48. Расчетная область Цимлянского водохранилища

Многолетние метеорологические наблюдения за ветровой ситуацией в

районе ВоАЭС установили, что наиболее частыми являются ветра восточного и

западного направлений (Таблица 7) [93]. Для ветров данных направлений были

проведены вычислительные эксперименты на построенной модели.

148

Таблица 7. Повторяемость ветра и штилей (%)

Румб

/ Месяц С СВ В ЮВ Ю ЮЗ 3 СЗ Штиль

Теплый период

(IV-XI) 9 15 19 16 9 9 15 8 4

Холодный пе-

риод (XII-III) 6 11 22 18 11 10 15 7 4

Год 8 13 20 17 10 9 15 8 4

На Рис. 4.49 показано векторное поле, а на Рис. 4.50 линии тока течения

при штилевой погоде, наблюдавшейся в течение суток. Непропечатанные на Рис.

4.49 векторы скорости означают очень малую (почти нулевую) скорость течения

воды, а проследить движение воды можно лишь по линиям тока. Данное распре-

деление скоростей использовалось в дальнейших расчетах в качестве начальных

данных.

Рис. 4.49. Поле скоростей течения на поверхности при установившейся штилевой

погоде

149

Рис. 4.50. Картина линий тока на поверхности при установившейся штилевой

погоде

Рис. 4.51. Картина течения в южной части Цимлянского водохранилища в пер-

вые 2 часа действия северного ветра

150

Рис. 4.52. Картина течения в южной части Цимлянского водохранилища в пер-

вые 2 часа действия западного ветра

Рис. 4.53. Картина течения в южной части Цимлянского водохранилища в пер-

вые 2 часа действия восточного ветра

151

Рис. 4.54. Картина течения в южной части Цимлянского водохранилища в пер-

вые 2 часа действия южного ветра

Численно установлено, что в первые 2 часа действия постоянного ветра в

водоеме возникает поступательное по всей акватории движение жидкости, и об-

разования циркуляционных зон не происходит. На Рис. 4.51–Рис. 4.54 показаны

линии тока для течений при действии ветра четырех основных направлений с

силой 5 м/сек.

При продолжительном действии постоянного ветра через 10-12 часов мо-

дельного времени на акватории водохранилища начинают возникать циркуляци-

онные зоны. Такое поведение можно объяснить, скорое всего, возникновением

компенсационного течения, которое особенно сильно прослеживается у запад-

ного берега водохранилища. На Рис. 4.55–Рис. 4.58 представлены подобные кар-

тины течения при постоянном ветре, полученные через 20 часов модельного вре-

мени, когда течение в водохранилище установилось.

152

Рис. 4.55. Картина установившегося течения в южной части Цимлянского водо-

хранилища при действии постоянного ветра северного направления

Рис. 4.56. Картина установившегося течения в южной части Цимлянского водо-

хранилища при действии постоянного ветра западного направления

153

Рис. 4.57. Картина установившегося течения в южной части Цимлянского водо-

хранилища при действии постоянного ветра восточного направления

Рис. 4.58. Картина установившегося течения в южной части Цимлянского водо-

хранилища при действии постоянного ветра южного направления

154

При длительном действии восточного или западного ветра образуется две

больших циркуляционных зоны, расположенных в южной и северной половинах

Приплотинного участка (Рис. 4.56, Рис. 4.57). При длительном действии север-

ного или южного ветра образуется множество мелких циркуляционных зон, раз-

бросанных по всей акватории Приплотинного участка (Рис. 4.55, Рис. 4.58).

Полученные поля скоростей выбирались для дальнейших расчетов пере-

носа и распространения взвешенного вещества. Далее будет использована сле-

дующая терминология:

под течением I типа понимается неустановившееся течение, где отсут-

ствуют циркуляционные зоны;

под течением II типа понимается установившееся течение с наличием

циркуляционных зон.

155

Глава 5. Расчет переноса вещества в водоемах Equation Section (Next)

5.1. Восстановление неполных данных по солености с

помощью математической модели

Гидролого-гидрохимический режим Азовского моря формируется под

воздействием речного стока, водообмена с Черным морем и климатических фак-

торов. Существенную роль играет также мелководность моря. Избыток пресных

вод (речной сток плюс осадки), ограниченное поступление черноморских вод че-

рез Керченский пролив обусловливают низкую соленость вод моря, которая при-

мерно в 1,5 раза ниже солености черноморских вод и почти в 3 раза ниже океан-

ских.

Пространственное распределение солености характеризуется значитель-

ными горизонтальными градиентами в Таганрогском заливе, особенно в его во-

сточной части, и на взморье Кубани, малоградиентным полем в центральной ча-

сти моря и повышенной соленостью в районе, прилегающем к Керченскому про-

ливу. Вследствие малого объема моря и большой временной изменчивости реч-

ного стока межгодовые изменения солености могут достигать 1‰ и более, а мно-

голетние – свыше 4‰.

При исследовании гидрофизических процессов термохалинные измере-

ния производятся, как правило, в ограниченном числе точек моря. Поэтому опре-

деленный научный интерес представляет задача нахождения значений солености

морской воды в произвольной точке исследуемого водоема, используя наблю-

денные значения. Суть задачи заключается в том, что с помощью математиче-

ской модели определить значение солености во всем водоеме, если известна со-

леность только в нескольких точках, где проводились ее измерения.

Ниже описывается решение данной задачи на примере Азовского моря.

Моделирование поля солености в заливе с открытой границей приводится в

[156].

Калибровка и верификация модели распределения солености в Азовском

море проводились по натурным данным (Ошибка! Источник ссылки не

156

найден. в Приложениях), полученным на береговых метеорологических стан-

циях в июне 1974 года [91]. Предполагалось, что изменение солености происхо-

дило за счет ветрового течения при поступлении или оттоке вод Черного моря, а

также за счет поступления пресной воды из рек.

На (Рис. 5.1) представлено изменение солености относительно среднего

ее значения. Видно, что расчетные и натурные данные хорошо согласуются.

Рис. 5.1. Сопоставление вычисленных (штриховая кривая) и натурных (сплош-

ная) значений изменения солености Азовского моря в районе г. Бердянска (01-

30.06.1974)

Аналогичные расчеты приведены для станций Ейска (Рис. 5.2) и Мариу-

поля (бывшего Жданов) (Рис. 5.3) [148, 149].

157

Рис. 5.2. Сопоставление вычисленных (штриховая кривая) и натурных (сплош-

ная) значений изменения солености Азовского моря в районе г. Ейска (01-30.04.1974)

Рис. 5.3. Сопоставление вычисленных (штриховая кривая) и натурных (сплош-

ная) значений изменения солености Азовского моря в районе г. Мариуполя (01-

31.10.1974)

158

Оценку качества прогнозируемых значений, вычисляемых с помощью

предлагаемой модели, проводили по методике [92]. В (Таблица 8) приведены

значения стандартной ошибки S рассчитанных значений, среднего квадратиче-

ского отклонения наблюденных значений от среднего их значения, отношения

S и коэффициенты корреляции r между натурными данными и расчетными зна-

чениями по перепадам уровня воды. Согласно пп.6.2.5. и 6.9.1. из [92] предлага-

емый метод расчета дает приемлемые результаты для оперативных прогнозов

при соотношении 67,0S для 25n . Полученные результаты для Ейска и

Мариуполя удовлетворяют данному условию. Для Бердянска полученный ре-

зультат применим в случае долгосрочных прогнозов. В этом случае допустимо

выполнение соотношения 80,0S для 25n .

Таблица 8. Значения основных параметров оценки точности метода

для солености

Станции n S

S r

Бердянск 30 0,155 0,114 0,735 0,93

Ейск 30 0,385 0,150 0,388 0,86

Мариуполь 31 0,672 0,145 0,216 0,79

Откалиброванная модель с подобранными коэффициентами использова-

лась для восстановления поля солености Азовского моря по натурным данным

natS , полученным в морских экспедициях за период с 1913 года по 2004 год [181].

В расчетах участвовали данные за те месяцы, где число наблюдений (натурных

данных) было не меньше 10.

Алгоритм расчетов следующий (Рис. 5.4). На первом шаге берется началь-

ное распределение солености, и проводится расчет для ветра каждого из восьми

основных направлений. После этого выбирается то направление, скорость и про-

должительность действия ветра, при которых результат расчета наилучшим об-

разом совпадает с данными станций наблюдения. На следующем шаге в качестве

159

начального распределения солености берется полученный на предыдущем шаге

результат и расчет повторяется. Данный процесс проводится до тех пор, пока

расхождение результатов расчета с натурными данными не перестает умень-

шаться. Погрешность оценивается по формуле

2

2

nat L

nat L

S S

S

.

Рис. 5.4. Блок-схема алгоритма

Среднегодовое распределение солености определяется осреднением ре-

зультатов за рассчитываемые месяцы.

Для оценки адекватности результатов моделирования натурным измере-

ниям были использованы средства программного обеспечения геоинформацион-

ных технологий [165]. Они включают возможность геостатистического анализа

полученных результатов и позволяют проводить операции сравнения поверхно-

стей [120].

В отличие от стандартных пространственных методов, используемый ме-

тод предполагает построение прогнозных поверхностей на основе распределе-

160

ния данных наблюдений. Для этого все гидрометеорологические данные отража-

ются в наборе растровых слоев, которые представляют собой сетки из прямо-

угольных ячеек, и каждая точка в каждом слое представлена ее значением [120].

Среда ГИС является удобным инструментом сравнения результатов, и поэтому

была использована для поиска различий между климатическими картами солё-

ности, построенных по данным наблюдений [181], и результатами моделирова-

ния полей.

Характер распределения по водоему имеющихся натурных данных суще-

ственно влияет на качество результатов. Среди использованных наборов натур-

ных данных встречались как распределенные по всем зонам солености, так и ску-

ченные в какой-то одной зоне (Рис. 5.5). Сравнение карт солености по модели с

картами, полученными с помощью ГИС-технологий дает следующий результат.

Вычисленные значения солености с помощью модели даже с меньшем количе-

ством точек измерений, но расположенных по всему морю, дают более близкие

значения солености, чем моделирование по натурным данным, сконцентриро-

ванных в одном районе (Рис. 5.6).

Рис. 5.5. Распределение станций по акватории Азовского моря

161

Рис. 5.6. Рассчитанные поля солености

Проинтерполированное поле натурных данных представлено значениями

S в узлах регулярной сетки размерами 2500 х 2500 метров. При этом, шаг по ме-

ридиану равен 80, шаг по параллели равен 115.

Сопоставление методов проводилось путем сравнения построенной по-

верхности (значения солености) модельных результатов (Рис. 5.7а) с поверхно-

стью, построенной на основе интерполяции натурных данных по единой выбран-

ной сетке (Рис. 5.7б).

162

Рис. 5.7. Сравнение результатов с помощью модели и полученных методом про-

странственной интерполяции

Метод пространственной интерполяции дает лучший результат в юго-во-

сточной части Азовского моря, более точно показывая влияние циркуляции вод-

ных масс на уровень солености. Видно влияние Черноморских вод на относи-

тельно повышенную соленость южной части Азовского моря (Рис. 5.7г). Высо-

кие значения солености, полученные с помощью математической модели,

наблюдаются в юго-восточной и северо-западной частях Азовского моря, при

этом отличия не превышают в среднем 1.5‰. Пониженный уровень солености в

районе устьев рек Дона и Кубани, рассчитанный по математической модели, свя-

зан, возможно, с величиной стока рек при задании граничных условий. Средне-

квадратичное отклонение соответствует 0,65‰ , что говорит о хорошей адекват-

ности модели данным экспедиционных исследований.

Рассмотренный подход к определению термохалинных и гидродинамиче-

ских параметров в произвольной точке водоема и построенное распределение по

163

натурным данным дают незначительные различия в значениях . Метод простран-

ственного распределения океанографических данных, обычно применяемый для

построения полей, проще в реализации и позволяет получать поле распределения

субстанции с высокой точностью при наличии достаточно равномерной сети экс-

педиционных измерений, однако обладает большей зависимостью от натурных

данных.

Метод математического моделирования позволяет определить при задан-

ном ветре не только поле распределения вещества, но и характер течения, нали-

чие циркуляционных зон. Одним из результатов вычислительного эксперимента

может быть отражение динамики изменения гидрофизических явлений на мел-

ководном шельфе Азовского моря.

5.2. Аварийные выбросы нефтяного загрязнения в

центральной части Азовского моря и радионуклида в

растворенной форме в районе города Ейск

Были проведены расчеты, моделирующие аварийные выбросы нефтяного

загрязнения. Расчеты проводились с целью изучения влияния изменения темпе-

ратуры на все процессы, учтенные при моделировании распространения нефти.

Рис. 8 Изменение плотности воды и нефти при изменении температуры

164

Рис. 9 Результаты моделирования растекания нефтяного пятна по поверхности

(сверху) и распределения эмульсии в толще водоема (снизу) при T=0°C (справа) и при

T=22°C (слева)

Были проведены расчеты, моделирующие аварийные выбросы нефтяного

загрязнения в центральной части Азовского моря и радионуклида в растворен-

ной форме в районе города Ейск. Расчеты проводились с целью изучения

процесса образования эмульсии «нефть-вода» в слое смешения, находяще-

гося под нефтяным пятном, растекшимся по поверхности водоема;

процесса сорбции радионуклида частицами взвеси, находящейся в водах

Азовского моря.

В 1-м численном эксперименте тестирование модели распространения

нефтяного пятна проводилось с изменением координат залповых источников вы-

бросов нефти, с изменением количества нефти, попавшей в водоем в результате

залпового выброса. Расчеты проводились при различных ветровых ситуациях.

Результаты расчетов приведены на Рис. 10.

Во 2-м численном эксперименте течение воды формировалось под дей-

ствием ветра северо-восточного направления силой 5м/с. Сравнивались резуль-

таты расчетов, где начальное количество взвеси в одном расчете отличалось от

165

другого в 3 раза (Рис. 11). На начало расчета предполагалось отсутствие в море

всех фаз радионуклидов. Исследовалась скорость образования взвешенной фазы

радионуклида в зависимости от массы сорбирующего вещества.

Рис. 10 Результаты моделирования образования эмульсии (снизу) «нефть-вода» из

нефтяной пленки (сверху) (коэффициент вертикальной диффузии на левом рисунке в 10 раз

больше, чем на правом)

Рис. 11 Распространение растворенной (C, сверху) и взвешенной (CS, снизу) фазы ра-

дионуклида после аварийного выброса на поверхности водоема (начальное количество

взвеси на левом рисунке в 3 раза меньше, чем на правом)

166

5.3. Численное исследование основных случаев поступления

загрязняющего вещества в Цимлянское водохранилище

На экологическую обстановку района Цимлянского водохранилища су-

щественное влияние оказывают выбросы из труб ВоАЭС, поступление в водо-

хранилище загрязнения с береговыми стоками воды во время ливневых павод-

ков, поступление взвеси из малых рек, а также из р. Дон. Необходимо также учи-

тывать гипотетическую ситуацию поступления загрязнения через все зеркало во-

дохранилища в случае аварийного выброса на каком-либо энергетическом объ-

екте, когда облако загрязняющего вещества распространяется на далекие рассто-

яния (случай аварии на Чернобыльской АЭС). В этой связи возникает необходи-

мость решения следующих задач [152, 179]:

исследование случая залпового выброса загрязнения из трубы АЭС на

водную поверхность водохранилища;

исследование случая поступления загрязнения в водохранилище через

береговую линию;

исследование случая поступления загрязнения с притоками малых рек,

например, р.Цимла;

исследование случая поступления загрязнения из створа р. Дон;

исследование случая поступления загрязнения через всю водную поверх-

ность.

Загрязняющие вещества, в том числе радионуклиды, в водных экосисте-

мах определенным образом распределяются между водой, донными осадками и

биомассой. Уровень активности радионуклидов самый высокий в биомассе,

большой – в грунте и наименьший – в воде. По результатам модельных экспери-

ментов [71] радионуклиды по характеру распределения в объектах экосистемы

разделены на 4 группы: гидротропы (преимущественно остающиеся в воде); эв-

ритропы (распределяющиеся достаточно равномерно по объектам); педотропы

(преимущественно накапливающиеся в грунте) и биотропы (преимущественно

концентрирующиеся в биомассе).

167

Проблеме поведения осадочного вещества в Цимлянском водохранилище

посвящены работы [55, 104, 128]. Установлено, что основная часть осадочного

материала поступает в водохранилище вследствие абразии берегов [13, 21, 22,

53]. Поступление минерального вещества в водохранилище складывается из

взвешенной (90%) составляющей и влекомых донных наносов (10%) [106]. Так

как количество взвешенного вещества значительно преобладает над влекомыми

наносами, то при численном исследовании процесса распространения загрязня-

ющего вещества рассматриваться будет только взвешенная его составляющая.

Из радионуклидов во взвешенном состоянии находится стронций-90, который

относятся к эвритропам.

Когда прямые измерения нельзя реализовать практически, в этих случаях

требуются модели для определения доз и дозовых распределений по данным о

величинах и скоростях поступления радионуклидов в окружающую среду. Как

правило, модели окружающей среды, являются упрощенным математическим

описанием действительных процессов переноса. Некоторые из этих процессов

изучены достаточно хорошо и могут быть адекватно описаны с помощью мате-

матических моделей, которые основаны на результатах экспериментальных ис-

следований. Тип использованной модели зависит от требуемой информации, от

характеристик радионуклидов и способов их поступления в окружающую среду.

Эти модели переноса являются примерами такого типа моделей, в которых цепь

событий представлена рядом камер, и процессы переноса осуществляются

между камерами - их называют "камерными моделями". В некоторых случаях

понятию "камера" придается некоторый физический смысл, например, она

должна представлять данный объем воды, но это необязательное требование.

Другими примерами таких моделей являются модели пищевых цепей и некото-

рые океанические модели. Некоторые камерные модели больше подходят для

прогнозирования равновесных условий, хотя многие из них применимы в дина-

мических условиях [28].

168

Модель Basin [28], по сути, является развитием камерной модели для изо-

лированных водоемов, использованной НКДАР ООН. В [47] она признана при-

менимой для изолированных водоемов типа озер, но может использоваться и как

приемлемое приближение для относительно изолированных хорошо перемеши-

вающихся частей больших водоемов. При построении модели прогноза Basin

принимается ряд предположений и допущений:

1. Радиоактивные вещества, внесенные в водоем, распределяются по

всему объему водной массы мгновенно и равномерно.

2. Механизмы переноса радионуклидов в водоеме описываются реакци-

ями первого порядка с постоянными коэффициентами.

3. Миграция радионуклидов на взвеси полидисперсного гранулометриче-

ского состава описывается процессами, определяемыми монодисперсной взве-

сью характерного размера с эквивалентными сорбционными свойствами.

4. Процессы сорбции, десорбции радионуклидов взвесью и донными от-

ложениями мгновенны, обратимы и описываются линейной изотермой с посто-

янным коэффициентом распределения.

5. Динамические факторы (течения) на величину диффузионного коэффи-

циента массообмена радионуклидов не влияют.

6. Предполагается, что донные отложения, участвующие в процессах об-

мена, являются средой с изотропными сорбционными и водно-физическими

свойствами. В процессах взаимодействия с водой главную роль играет эффек-

тивный слой донных отложений, мощность которого определяется эксперимен-

тально.

7. Активность биомассы, по сравнению с содержанием радионуклидов в

донных отложениях, пренебрежительно мала.

В настоящей модели переноса и оседания вещества предполагается, что в

начальный момент вещество на дне отсутствует, а само дно не размывается. Это

делается для более четкого отслеживания поведения самого выброшенного ве-

щества. Так как на данном этапе исследования количественная верификация

169

предлагаемой модели по натурным данным затруднено, количество выброшен-

ного вещества, концентрация взвеси и величина донного осадка измерялись в

условных единицах.

5.3.1. Исследование процесса распространения радионукли-

дов в случае их залпового выброса в районе ВоАЭС

Оседание на водную поверхность пылевого пятна, выброшенного из труб

ВоАЭС, возможно при действии ветров южного или восточного направлений.

Поэтому при исследовании процесса распространения радионуклидов брались

поля скоростей, полученные при указанных ветровых ситуациях [146].

В случае течения I типа выброшенное вещество переносится к плотине

ГЭС и в акваторию порта Волгодонск при восточном ветре (Рис. 5.12) и к пра-

вому берегу в район створа р. Дон при южном ветре, оставляя южную часть При-

плотинного плеса чистой (Рис. 5.13).

Рис. 5.12. Распределение концентрации вещества после его выброса для течения

I типа при действии восточного ветра

170

Рис. 5.13. Распределение концентрации вещества после его выброса для течения

I типа при действии южного ветра

Для течения II типа для восточного и южного ветров поля распределения

вещества отличаются незначительно (Рис. 5.14). Все вещество находится в юж-

ной части Приплотинного плеса, охватывая районы ВоАЭС, акваторию порта

Волгодонск и плотину ГЭС.

171

Рис. 5.14. Распределение концентрации вещества после его выброса для течения

II типа при действии южного или восточного ветра

Распределение донного осадка для течений I типа подобно распределе-

нию взвешенного вещества. При южном ветре наибольшее накопление осадка

наблюдается в районе створа р. Дон (Рис. 5.15). При восточном ветре значитель-

ное количество взвеси оседает в районе порта Волгодонск, плотины Цимлянской

ГЭС и г. Цимлянск (Рис. 5.16).

172

Рис. 5.15. Распределение донного осадка после залпового выброса в районе

ВоАЭС при течении I типа под действием южного ветра

Рис. 5.16. Распределение донного осадка после залпового выброса в районе

ВоАЭС при течении I типа под действием восточного ветра

173

В случае течения II типа на распределение выпадающего осадка суще-

ственное влияние оказывают циркуляционные зоны. Так при действии восточ-

ного ветра наибольшее накопление осадка происходит в центральной части При-

плотинного плеса, уменьшаясь при приближении к плотине ГЭС (Рис. 5.17), и

лишь малая часть оседает в районе створа р.Дон.

Рис. 5.17. Распределение донного осадка после залпового выброса в районе

ВоАЭС при течении II типа под действием восточного ветра

5.3.2. Исследование процесса распространения загрязнения

через береговые стоки

Цимлянское водохранилище в 30-км зоне РоАЭС практически не имеет

притоков, поэтому смыв радионуклидов с подстилающей поверхности в этой

зоне будет иметь место лишь по временным водотокам (балкам) в периоды лив-

невых и сезонных паводков. Такие водотоки располагаются в районе акватории

порта г. Волгодонск, с южной и северной сторон ВоАЭС, а также имеются две

балки на правом берегу Приплотинного плеса водохранилища (Рис. 4.45)

При действии северного ветра вещество, поступившее во время смыва с

берегов в водохранилище, удерживается в районе порта Волгодонска и немного

у плотины ГЭС, а при действии восточного ветра вещество удерживается еще и

174

в районе Терновской балки. При действии южного или западного ветра пятно

загрязнения выносится в район створа р. Дон.

При наличии течения II типа, когда существуют циркуляционные зона,

наибольшее количество загрязнения удерживается в районе Терновской балки, а

при действии восточного ветра загрязненная область образуется еще и в районе

ВоАЭС (Рис. 5.18).

Рис. 5.18. Распределение концентрации вещества после его смыва с берегов для

течения II типа под действием восточного ветра

На (Диагр. 1) приведено остаточное содержание в водохранилище загряз-

нения в процентном отношении к поступившему веществу при его смыве с бере-

гов во время ливневого паводка.

175

Диагр. 1. Относительное суммарное количество оставшегося вещества после его

смыва с берегов

Для течений I типа концентрации удерживаемого вещества при действии

северного ветра примерно в 2 раза больше, чем при действии восточного. Это,

возможно, объясняется тем, что при северном ветре происходит накопление ве-

щества в акватории Волгодонского порта, а при действии восточного ветра ве-

щество в большей степени удаляется из водохранилища. Акватория Волгодон-

ского порта не загрязняется при действии южного ветра, но при этом вещество в

большой степени накапливается у левого берега в районе створа р. Дон. В случае

течения II типа различия в распределении концентрации вещества для различных

направлений ветра несущественны. Это можно объяснить тем, что наличие боль-

шого количества циркуляционных зон размывает вещество для всех румбов

ветра примерно одинаково.

При действии восточного или северного ветра накопление донного осадка

для течений I типа происходит в районе плотины ГЭС и г. Цимлянска, а при дей-

ствии западного ветра еще и в районе створа р. Дон. При действии южного ветра

вещество удерживается большей своей частью в районе Терновской балки, и

лишь небольшая часть в районе створа р. Дон.

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

С Ю З В

направление ветра

Только ветровое течение Ветровое и компенсационное течения

176

При всех ветрах кроме южного направления для течений II типа образо-

вание донного осадка происходит в южной части Приплотинного плеса, причем

наиболее активно у плотины ГЭС (Рис. 5.19). При этом распределение донного

осадка для ветров западного, северного и восточного направлений друг от друга

отличаются незначительно. При действии южного ветра накопление донного

осадка происходит, в основном, в районе Терновской балки и немного у плотины

ГЭС.

Рис. 5.19. Распределение донного осадка при его смыве с берегов при течении II

типа под действием северного, восточного или западного ветра

5.3.3. Исследование процесса распространения загрязнения

через реку Цимла

Для течений I типа при действии северного ветра вещество удерживается

в районе г. Цимлянска и в акватории порта Волгодонск. При действии восточ-

ного ветра основная часть вещества собирается в районе Терновской балки.

Для западного и южного ветров распределения вещества отличаются не-

значительно: основная часть вещества накапливается в районе устья р. Цимла

(Рис. 5.20).

177

Рис. 5.20. Распределение вещества в поверхностном слое после поступления за-

грязнения из р. Цимла для течения I типа под действием западного или южного ветра

Для течений II типа расположения пятна распределения вещества для

всех ветровых ситуаций отличаются между собой незначительно и подобны

предыдущему случаю (Рис. 5.20). Отличие наблюдается только в количествен-

ном значении концентраций.

На (Диагр. 2) представлено общее количество оставшегося в воде веще-

ства для различных ветровых ситуаций.

178

Диагр. 2. Общее количество оставшегося в воде вещества через 6 часов модель-

ного времени после его поступления из р. Цимла

Наименьшее количество удерживаемого вещества для течения I типа при

действии южного ветра объясняется, возможно, тем, что создаваемое течение

«запирает» поступление взвеси из р. Цимла, в то время как течение при северном

ветре позволяет большему количеству вещества поступить в Приплотинный уча-

сток водохранилища. Этот факт хорошо согласуется с распределением донного

осадка: при действии северного ветра большая часть вещества проходит через

Приплотинный участок и оседает районе плотины ГЭС, при действии южного

ветра взвесь оседает в районе устья р. Цимла.

Для течений II типа при действии южного или северного ветра большее

количество вещества оседает в центральной части Приплотинного плеса

(Рис. 5.21). Картины распределения осадка подобные, но в случае действия се-

верного ветра количество осевшего вещества в 3-4 раза меньше. Это объясняется

более быстрым течением при действии северного ветра, что препятствует оседа-

нию взвешенного вещества.

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

40,00%

С Ю З В

пр

оц

ен

т о

т н

ач

ал

ьн

ой

массы

направление ветра

Течение I типа

Течение II типа

179

Рис. 5.21. Распределение донного осадка при поступлении загрязнения из

р. Цимла для течения II типа под действием южного или северного ветра

При действии ветров западного или восточного направлений часть веще-

ства оседает в районе створа р. Дон, а часть в районе Терновской балки.

5.3.4. Исследование процесса поступление вещества из

створа р. Дон

Для течений I типа, когда действуют ветры северного или восточного

направлений, поля распределения концентрации подобны. Взвесь, в основном,

собирается в акватории порта Волгодонск, а также в районе плотины ГЭС. При

действии южного или западного ветра, взвесь собирается в северной части При-

плотинного участка в районе створа р. Дон.

Для течений II типа при всех ветровых ситуациях взвешенное вещество

собирается большей частью в районе створа р. Дон (Рис. 5.22). Различия в распо-

ложении полей концентрации незначительны.

180

Рис. 5.22. Распределение концентрации вещества после поступления его через створ

р. Дон для течения II типа при любых ветровых ситуациях

Диагр. 3. Общее количество оставшегося в воде вещества через 6 часов модель-

ного времени после его поступления из створа р. Дон

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

С Ю З В

ко

ли

честв

о (

у.е

.)

направление ветра

Течение I типа

Течение II типа

181

На (Диагр. 3) представлено общее количество оставшегося в воде веще-

ства для различных ветровых ситуаций.

Для течений I типа при северном и восточном ветре загрязняющее веще-

ство вносится в Приплотинный участок водохранилища, поэтому содержание ве-

щества в воде больше, чем при южном и западном ветрах. Ветра южного и за-

падного направлений препятствуют попаданию веществ в Приплотинный уча-

сток водохранилища.

В случае течений II типа количество удерживаемого вещества для всех

ветровых ситуаций примерно одинаково.

На ( Рис. 5.23) показано распределение донного осадка при поступлении

вещества через створ р. Дон, кода действует северный ветер. Вещество оседает,

в основном, вдоль старого русла Дона. При действии восточного ветра картина

аналогичная.

Рис. 5.23. Распределение донного осадка при поступлении вещества из створа

р. Дон для течения I типа под действием северного ветра

182

Проведенные замеры проб извлеченного грунта показали, что в случае

поступления взвешенного вещества из створа р. Дон основная часть взвеси осе-

дает вдоль старого русла Дона [12]. С этим фактом хорошо согласуются резуль-

таты вычислительного эксперимента.

При действии ветров западного или южного направлений взвесь оседает,

в основном, в районе створа.

5.3.5. Исследование процесса распространения вещества,

осевшего на всю водную поверхность Цимлянского

водохранилища

С помощью построенной модели был исследован процесс распростране-

ния загрязняющего вещества и оседания взвеси в случае, когда пылевое облако

оседает на все зеркало Приплотинного участка. Такое возможно в случае вне-

штатного выброса в атмосферу большого количества радионуклидов на энерге-

тическом объекте, расположенном на значительном расстоянии от Цимлянского

водохранилища. Подобная ситуация случилась при аварийном выбросе на Чер-

нобыльской АЭС в 1986 году.

Для течений I типа при действии северного или восточного ветра взве-

шенное вещество остается в большей степени в акватории порта Волгодонск и у

плотины ГЭС (Рис. 5.24). Под действием южного ветра вещество удерживается

в районе Терновской балки, устья р. Цимла и створа р. Дон, а при действии за-

падного ветра только у створа р. Дон.

Для течений II типа действие северного и восточного ветра оказывает

одинаковое влияние на распределение вещества – оно скапливается на участке

между устьем р. Цимла и створом р. Дон (Рис. 5.25). При действии южного ветра

больше всего вещества остается в районе порта Волгодонск. Под действием за-

падного ветра большая часть вещества собирается еще и в районе Терновской

балки.

183

Рис. 5.24. Распределение концентрации вещества после его оседания на всю по-

верхность воды для течения I типа под действием северного или восточного ветра

Рис. 5.25. Распределение концентрации вещества после его оседания на всю по-

верхность воды для течения II типа под действием северного или восточного ветра

184

Для течений I типа при северном или восточном ветре вещество осажива-

ется в акватории порта Волгодонск и у плотины ГЭС. При действии южного или

западного ветра вещество осаживается, в основном, в районе Терновской балки,

устья р. Цимла, створа р. Дон и плотины ГЭС.

В случае течения II типа оседание вещества происходит по всей площади

водоема, и для всех ветровых ситуаций картины распределения донного осадка

подобны (Рис. 5.26).

Рис. 5.26. Распределение донного осадка при оседании загрязнения на всю вод-

ную поверхность для течения II типа при ветре любого направления

185

Глава 6. Специализированное программное обеспечение, реализующее математические модели экологии для высокопроизводительных вычислительных систем

В созданном программном пакете GFAM трехмерные математические мо-

дели гидрофизики фодоема представлены в виде отдельных программных моду-

лей, реализованных на многопроцессорных вычислительных системах. Общий

пользовательский интерфейс решен в виде Web-форм (см. Рис. 27).

Рис. 27 Стартовая страница Web-интерфейса

Web-интерфейс имеет ряд преимуществ:

не привязывает пользователя к конкретным операционным системам, что

дает возможность использовать созданный программный комплекс на различ-

ных вычислительных платформах;

не требует установки специального программного обеспечения на клиент-

скую машину пользователя, исключая Web-браузер, наличие которого предпо-

лагается для компьютера подключенного к сети Интернет;

не предъявляет высоких требований к используемым ресурсам.

186

На Рис. 28 – Рис. 32 приведен вид Web-форм для воода данных для расче-

тов распределения примесей в акватории Азовского моря и Керченского про-

лива.

Рис. 28 Web-интерфейс (ввод данных для расчета полей солености)

Рис. 95 Web-интерфейс (ввод данных для расчета распространения однородной

примеси)

187

Рис. 96 Web-интерфейс (ввод данных для расчета распространения радионуклидного

загрязнения)

Рис. 97 Web-интерфейс (ввод данных для расчета поведения нефтяных пятен)

188

Рис. 32 Web-интерфейс (ввод данных для расчета поведения нефтяного загрязнения)

Программный комплекс реализован на едином гетерогенном вычислитель-

ном кластере, работающем под управлением общей диспетчерской системы

управления заданиями OpenPBS (Portable Batch System) с использованием про-

токола MPI (Message Passing Interface). В кластер сконфигурированы вычисли-

тельные системы:

INFINI – Linux-кластер, состоящий из 20 вычислительных узлов, соединен-

ных скоростной коммуникационной сетью SDR Infiniband. Каждый вычисли-

тельный узел представляет собой компьютер с процессором Intel Pentium 4 3.4

Ггц и оперативной памятью DDR2 2Гб.

IBMX – Linux-кластер, состоящий из 13 вычислительных узлов, соединен-

ных скоростной коммуникационной сетью DDR Infiniband. Каждый вычисли-

тельный узел представляет собой компьютер с одним 2-х ядерным процессором

Intel Xeon 5160 c тактовой частотой 3.0 Ггц и оперативной памятью 8Гбайт.

LINUX – вычислительный кластер из 10 узлов, соединенных вычислитель-

ной сетью Gigabit Ethernet. Каждый из узлов представляет собой компьютер с

процессором Pentium 4 2.4 Ггц, c 512 Мб оперативной памяти.

189

WSD – кластер из 8-ми рабочих станций DELL c двух ядерными процессо-

рами Intel Core 2 Duo, оперативной памятью 4 Гб и коммуникационной сетью

Gigabit Ethernet.

Диспетчерская система OpenPBS позволяет одновременно обрабатывать

до 34 обычных однопроцессорных программ или объединять мощности несколь-

ких процессоров для решения одной задачи.

Для проверки вводимых данных используется JavaScript. Этим обеспечи-

вается мгновенная обратная связь с пользователем и уменьшение числа запросов

к серверу, так как часть работ, которые необходимо было бы выполнять на сер-

вере, перекладывается на клиента. Проверка элементов Web-формы подразуме-

вает контроль их соответствия некоторому диапазону возможных значений или

же соответствия его некоторому формату. Эта проверка обеспечивает коррект-

ность входной информации передаваемой программам расчета.

Все данные из HTML-форм, поступающие от клиента на сервер, обрабаты-

ваются CGI-скриптами, которые написаны на языке Perl[11]. CGI-скрипты поз-

воляют скрыть механизм формирования входных файлов и специфику поста-

новки задачи на счет. В процессе выполнения CGI-сценарии формируют вход-

ные файлы для счетной программы, создают соответствующие скрипты для по-

становки задания в очередь на счет и после их создания запускают эти скрипты,

при этом генерируются HTML-страницы с соответствующими сообщениями

пользователю (см. Рис. 99 – Рис. 101).

190

Рис. 99 Информационная страница Web-интерфейса (постановка задания на счет)

Рис. 100 Информационная страница Web-интерфейса (сообщение о прохождении

счета)

191

Рис. 101 Информационная страница Web-интерфейса (окончание счета, визуализация

результатов расчета)

Для работы через Web-интерфейс с программным комплексом от пользо-

вателя требуется наличие выхода в Интернет, установленный Web-браузер, а

также наличие прав доступа к счетной высокопроизводительной системе, на ко-

торой установлен программный комплекс.

Программные модули комплекса написаны на языке Фортран 90. Фортран

90 занимает лидирующее положение среди языков программирования, ориенти-

рованных на решение научно-технических задач, требующих большого объема

вычислений. Особенно актуальным является применение Фортрана при решении

крупномасштабных вычислительных задач с использованием современных па-

раллельных вычислительных систем. Решение таких задач требуется в различ-

ных сферах фундаментальных научных исследований и во многих прикладных

областях. Одной из наиболее важных причин популярности и живучести Форт-

рана является огромный фонд прикладных программ, который накоплен за деся-

тилетия существования языка. Фортран постоянно развивается и совершенству-

ется в соответствии с развитием вычислительной техники, языков и технологии

программирования.

192

На всех многопроцессорных системах единого гетерогенного кластера

установлена одна из библиотек параллельных подпрограмм – Aztec, предназна-

ченная для решения систем линейных алгебраических уравнений с разреженной

матрицей. Программы, использующие этот пакет, могут выполняться на любой

вычислительной системе без каких-либо модификаций.

Aztec включает в себя процедуры, реализующие ряд итерационных мето-

дов подпростанства Крылова – метод сопряженных градиентов (CG), обобщен-

ный метод минимальных невязок (GMRES), квадратичный метод сопряженных

градиентов (CGS), метод квазиминимальных невязок (TFQMR), метод бисопря-

женных градиентов (BiCGSTAB) со стабилизацией. Все методы используются

совместно с различными переобуславливателями (полиномиальный метод и ме-

тод декомпозиции областей, использующий как прямой метод LU, так и непол-

ное LU разложение в подобластях). Возможность выбора одного из этих методов

предусмотрена в пакете GFAM при постановке задачи на счет.

По окончании расчетов на информационной HTML-странице будут разме-

щены выходные данные в виде текстовых и графических файлов, а также анима-

ционных представлений результатов расчетов (см. Рис. 102 - Рис. 103).

Рис. 102 Вид итоговой HTML-страницы с результатами работы модуля расчета пове-

дения радионуклидного загрязнения (цветные карты).

193

Рис. 103 Вид итоговой HTML-страницы с результатами работы модуля расчета

поведения радионуклидного загрязнения (линии уровня)

Блок-схема разработанного специализированного пакета GFAM представ-

лена на

Рис. 104

Общий алгоритм расчета гидродинамических параметров представлен на

Рис. 105

Общий алгоритм расчета транспорта примесей в акваториальной зоне во-

доема, реализующий соответствующие трехмерные математические модели,

приведен на Рис. 106

194

Клиент Сервер

Кластер

Транспорт примесей

Гидродинамика Экология (хим.

заражение

воды, почв)

Ввод данных

Вывод данных

БД

пак

ета Данные пользователя

Ги

др

ом

етц

ентр

JavaScript

скрипты SH, скрипты GNUPLOT

Perl, CGI

GNUPLOT

СЛАУ специального вида

HTML-формы Транспорт примесей

195

Кластер

Рис. 104. Блок-схема специализированного программного обеспечения реализации математических моделей экологии для высо-

копроизводительных вычислительных систем

CG

Карты

полей

распре-

деле-

ния ве-

щества

Выход-

ные

файлы

данных

Ан

има

ция

AZTEC

IN-

FINI

IBMX

WSD

DELL

WSD

DELL

DELL LINU

X

CGS GMRES BiCGSTAB TFQMR

OPEN PBS

IBMX

DELL

196

Рис. 105 Блок-схема счетного модуля "Гидродинамика"

197

да

нет

Рис. 106 Блок-схема счетного модуля "Транспорт примесей"

ввод дан-ных

индексация ветровое течение

1 –ое вещество N–ое вещество

…

…

…

концентра-ция на по-верхности

концентра-ция в аквато-

рии

концентра-ция в донных

осадках

концентра-ция на по-верхности

концентра-ция в аквато-

рии

концентра-ция в донных

осадках

окон-чание счета

вывод ре-зультатов

198

Глава 7. Тестовые задачи для высокопроизводительных вычислительных систем

7.1. Тестовая задача двухслойной модели течений в

водоеме прямоугольной формы с выступом,

имитирующим мелководную область

В качестве модельной задачи для сравнения двухмерной, трехмерной и

предложенной в работе двухслойной моделей был выбран водоем прямоуголь-

ной формы с выступом, имитирующим мелководную область (Рис. 7.1). Тече-

ние инициировалось действием ветра на обе половины поверхности водоема,

но в противоположных направлениях. Таким образом, в водоеме образовыва-

лось циркуляционное течение.

Рис. 7.1. Схема водоема в модельной задаче

Все задачи решались конечно-разностными методами на равномерных

прямоугольных сетках. Число узлов по горизонтали было равно 200 в каждом

199

направлении. Число узлов по вертикали было различным для каждой из моде-

лей.

Численное исследование показало, что все три модели достаточно по-

добны между собой. Трехмерная модель позволяет определить поле скоростей

на любом горизонте от поверхности до дна (Рис. 7.2 а, Рис. 7.3 б). Двумерная

модель, основанная на уравнениях мелкой воды, считает гораздо быстрее дру-

гих моделей, но дает картину течений только на поверхности водоема

(Рис. 7.2 б). Двухслойная модель описывает течения как на поверхности водо-

ема, содержащего глубоководные и мелководные районы, так и на всех гори-

зонтах до самого дна (Рис. 7.2 в, Рис. 7.3 б).

Рис. 7.2. Картина течения на поверхности, полученная с помощью трехмерной

модели (а), двухмерной модели (б), двухслойной модели (в)

Рис. 7.3. Картина течения в придонном слое, полученная с помощью трехмер-

ной модели (а), двухслойной модели (б)

200

Величина изменения уровня воды для всех моделей примерно одина-

ковая. На (Рис. 7.4, Рис. 7.5) показано поведение уровня воды в точках его ми-

нимума и максимума. Различие наблюдается только в первые 20-30 минут по-

сле начала движения, затем, при установлении, значения перепадов уровня

становятся одинаковыми.

Рис. 7.4. Поведение перепада уровня воды в точке его минимума

201

Рис. 7.5. Поведение перепада уровня воды в точке его максимума

Если двумерную модель взять за точку отсчета трудозатрат, то двух-

слойная модель содержит неизвестных в 8–15 раз больше (в зависимости от

шага по вертикали) и требует большее время счета в такое же количество раз.

Число неизвестных в трехмерной модели может быть в 30–50 раз больше, чем

в двухмерной, и в 5–10 раз больше, чем в двухслойной модели. Соответ-

ственно, время счета увеличивалось в такое же количество раз.

Кроме того, использование в поверхностном слое уравнений мелкой

воды, то есть применение двухслойной модели, значительно упрощает проце-

дуру переопределения ячеек в силу сгонно-нагонного явления. Значения глу-

бины мелководья yxh , , по которым определяются осушаемые или затапли-

ваемые ячейки, входят в уравнения движения и не зависят от количества раз-

ностных шагов по вертикали, как это происходит в случае применения трех-

мерных уравнений по всей области (Рис. 7.6). Такое переопределение ячеек

202

значительно сокращает количество процедур переиндексации, что также со-

кращает время счета.

Рис. 7.6. Вертикальная сетка в мелководном районе в случае трехмерной ап-

проксимации

203

Литература

1. Аксенов А.А. Предстоящие изменения в гидрологическом режиме Азов-

ского моря//Труды ГОИН, 1955. Вып. 20, с.27-59.

2. Альтман Э.Н. Водообмен через Керченский пролив в условиях зарегу-

лиованного стока рек Азовского бассейна//Океанология, 1973, т.13, вып. 3,

с. 416-423.

3. Альтман Э.Н. Исследование водообмена между Черным и Азовским мо-

рями//Сб. работ ЛЮМ ГОИН, 1972. Вып. 11, с.3-47.

4. Альтман Э.Н. Об изменчивости уровня и уклонах водной поверхности в

Керченском проливе//Сб. работ БГМО ЧАМ, 1966. Вып. 4, с.49-74.

5. Альтман Э.Н. Структура течений Керченского пролива//Труды ГОИН,

1975. Вып. 125, с.3-16.

6. Альтман Э.Н. Турбулентный обмен в Керченском проливе//Труды

ГОИН, 1976. Вып. 132, с.17-28.

7. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеха-

ника и теплообмен. т.1. М.: Мир, 1990, 384 с.

8. Аниканов А.А. Свидетельство об официальной регистрации программы

для ЭВМ «ВизАЭффект 1.1» 2003612270. Зарегистрировано в Реестре про-

грамм для ЭВМ 6 октября 2003 г.

9. Аристова Е. Н., Асоцкий Д. И., Тишкин В. Ф. О параллельном алгоритме

расчета течений излучающего газа LATRANT-P. Математическое моделиро-

вание, 2004, т. 16, 4, с. 105–113

10. Белолипецкий В.М., Генова С.Н.. Вычислительный алгоритм для опре-

деления динамики взвешенных и донных наносов в речном русле // Вычисли-

тельные технологии, Т.9, 2, 2004, с.9-25.

11. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных

сред. М.: Физматлит, 1994, 442 с.

204

12. Бессонов О.А., Давыдов М.Г. и др. Содержание радионуклидов в донных

отложениях Цимлянского водохранилища. Атомная энергия, 1994. т.77, вып. 1.-

С.48-50.

13. Бессонов О.А.. Казьмина Л Н . Молодкин П.Ф Динамика переформиро-

вания берегов Цимлянского водохранилища //Водные ресурсы. Наука,-1994 -

Т.21. 2, с. 218-224.

14. Бронфман А.М. Современный гидролого-гидрохимический режим

Азовского моря и возможные его изменения. Труды АзНИИРХ, 1972, вып. 10,

с.20–40.

15. Бронфман А.М., Домбровский Ю.А. Экологические закономерности и

статистические модели формирования химических основ продуктивности

Азовского моря. Изв. Сев.-Кав. научного центра высшей школы. Естественные

науки, 1975, 1, с. 71-77.

16. Бубенчиков А.М., Фирсов Д.К. Разностная схема для интегрирования

уравнений Навье–Стокса несжимаемой жидкости на неразнесенной неортого-

нальной сетке // Вест. Томского ун-та. 2001. 4. С. 5–22.

17. Бухановский А.И., Зильберштейн О.И., Иванов С.В., Ковальчук С.В.,

Лопатухин Л.И., Попов С.К. Чумаков М.М. Моделирование экстремальных

явлений в атмосфере и океане как задача высокопроизводительных вычисле-

ний. Вычислительные методы и программирование, 2008, т.9, 1, с.145–157.

18. Васильев К.П. Способ предвычисления течений в Керченском про-

ливе//Труды ЦИП. Вып. 14 (41), с.38-44.

19. Васильев О.Ф. Математическое моделирование качества воды в реках и

водоемах. Тез. Докл. 4 Всесоюзного гидрологического съезда. Л.: Гидрометео-

издат, 1973, с. 31-36

20. Васильев О.Ф., Квон В.И. О теоретическом описании гидротермических

явлений в водоемах-охладителях//Проблемы теплофизики и физической гид-

родинамики. Новосибирск: Наука, Сиб. Отделение, 1974, с. 100-111.

205

21. Вендров С. Л. О динамике береговой зоны Цимлянского водохранилища

// Изв. АН СССР. Сер. геогр. 1955. 5, с. 16–19.

22. Вендров С.Я. Клюева В.А. Деформация берегов и дна Цимлянского во-

дохранилища за 20 лет.-/Геоморфология, 1972, 4, с. 26–32.

23. Воеводин В.В., Кузецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984,

320 с.

24. Волков К. Н. Дискретизация конвективных потоков в уравнениях На-

вье-Стокса на основе разностных схем высокой разрешающей способности.

Вычислительные методы и программирование, 2004, т.5, с. 129-145

25. Волков К. Н. Реализация схемы расщепления на разнесенной сетке для

расчета нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости. Вычисли-

тельные методы и программирование, 2005, т.6, с. 269-282

26. Волосевич П. П., Леванов Е. И., Северина Е. В. Математическое моде-

лирование теплопереноса в движущейся среде с учетом релаксации потока

тепла и объемных источников энергии. Известия высших учебных заведений.

Математика. 2005, 1, с. 31–39

27. Вольцингер Н.Е., Пясковский Р.В. Теория мелкой воды. Океанологиче-

ские задачи и численные методы. Л.: Гидрометеоиздат, 1977. 206 с.

28. Воробьев В.А., Киселев В.П., Коржов М.Ю, Крылов А.Л.. Замкнутая си-

стема базовых моделей и их компьютерная реализация для расчета оценки и

анализа радиационной обстановки при загрязнении радионуклидами гидроло-

гической системы (поверхностных вод). Препринт IBRAE-97-14.

29. Врангель Ф.Ф. О физических исследованиях в Черном и Азовском мо-

рях//Морской сборник.–1875, 12, с. 9-29.

30. Гаврилова Л.В., Компаниец Л.А. О ветровом движении жидкости

в сильно стратифицированном замкнутом водоеме // Вестник КрасГУ. «Фи-

зико-математические науки». 2006. 4. С. 92-97.

206

31. Галлахер Л., Хоббс Дж.Л. Распространение загрязнений в эстуарии // В

кн. Математические модели контроля загрязнения воды, под ред. Джеймса А.,

М.: Мир, 1981, с.229-243.

32. Гидрометеорологический режим озер и водохранилищ СССР. Цимлян-

ское, водораздельные и Манычские водохранилища.: Гидрометеоиздат.-1977,

204 с.

33. Гоптарев Н.П., Шлыгин И.А. О критических значениях элементов гид-

рологического режима Азовского моря. Труды ГОИН. 1980, вып. 159.

34. Гулич Скотт, Гундаварам Шишир, Бирзнекс Гюнтер CGI программиро-

вание на Perl. С-Пб.: Символ, 2001, 480 с.

35. Гущин В.А., Коньшин В.Н. Нестационарные отрывные и переходные

течения жидкости около тел конечных размеров. Этюды о турбулентности. М.:

Наука, 1994. с. 259-274.

36. Гущин В. А., Матюшин П. В. Математическое моделирование простран-

ственных течений несжимаемой жидкости. Математическое моделирование.

2006, т. 18, 5, с. 5–20.

37. Гущин В.А., Щенников В.В. Об одной монотонной разностной схеме

второго порядка точности // Журнал вычислительной математики и математи-

ческой физики. 1974, т. 14, 3, с. 789–792.

38. Еремеев В. Н., Иванов В. А., Ильин Ю. П.. Океанографические условия

и экологические проблемы Керченского пролива. Морський екологічний жур-

нал, 3, Т. 2, 2003, с.27-40.

39. Жданов Ю.А., Ворович И.И., Горстко А.Б., и др. Имитационная модель

экосистемы Азовского моря. Разработка и использование // Известия СКНЦ

ВШ. Естественные науки, 1981, 2, С.7-13.

40. Жданов Ю.А., Горстко А.Б. Математическая модель рационального ис-

пользования ресурсов Азовского моря//Водные ресурсы, 1975, 3, с.188-192.

207

41. Загускин В.Л., Крукиер Л.А. Об одном методе расчета течений и пере-

пада уровне в мелком море// Известия СКНЦ ВШ. Естественные науки, 1981,

2, с.22-26.

42. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике М- Мир, 1975 541 с.

43. Ибраев Р.А. Исследование чувствительности модели динамики течений

Черного моря к граничным условиям на поверхности моря// «Океанология»,

2001, Т.41, 5, с.645-562.

44. Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эл-

липтических уравнений.– Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000, 345 с.

45. Ильин В. П., Туракулов А. А. Об интегро-балансных аппроксимациях

трехмерных краевых задач. Новосибирск, 1993 (Препр. ВЦ СО РАН, 986).

46. Имранов Ф.Б. Об одной разностной схеме для уравнений Навье-Стокса

динамики вязкой неоднородной несжимаемой жидкости с неоднородными

граничными условиями. Transaction of Azerbaijan National Academy of Sci-

ences, Series of Physical-Technical and Mathematical Sciences: Informatics and

Control Problems, Vol. XXV, No.3, 2005, с.109–113.

47. Ионизирующее излучение: Источники и биологические эффекты. Науч-

ный комитет Организации Объединенных Наций по действию атомной радиа-

ции. Доклад за 1982 год Генеральной Ассамблее (с приложениями). Организа-

ция Объединенных Наций, Нью-Йорк, 1982.

48. Казьмина Л.Н. Трансформация вещественного обмена в гидрологиче-

ских процессах крупным искусственным водоемом степной зоны (на примере

Цимлянского водохранилища). Диссертация...к.г.н. М.1996. 143 с.

49. Карамзин Ю.Н., Попов И.В., Поляков С.В. Разностные методы в задачах

механики сплошной среды на треугольных и тетраэдральных сетках // Мате-

мематическое моделирование, 2003. T.15, 11, с. 3–12.

50. Карамзин, Ю. Н., Трапезникова, М. А.; Четверушкин, Б. Н.; Чурбанова,

Н. Г. Двумерная модель автомобильных потоков // Математическое моделиро-

вание, 2006. - Т. 18, 6. с. 85-95.

208

51. Карамзин Ю.Н., Сухоруков А.П., Трофимов В.А.. Математическое мо-

делирование в нелинейной оптике. М. МГУ 1989г. 154с.

52. Карта Керченского пролива М 1:100000. Главное управление навигации

и океанографии, С.-Пб, 2003.

53. Качугин Е.Г. Инженерно-геологические исследования и прогнозы пере-

работки берегов водохранилищ.-//Рекомендации по изучению переработки бе-

регов водохранилищ.- М.: Наука.-1975.-146.

54. Квон В.И. Гидротермический расчет водоемов-охладителей // Известия

АН СССР. Энергетика и транспорт. 1979. 5. С. 129-137.

55. Клюева В.А., Долженко Г.П., Осадконакопление в водохранилищах бас-

сейна Нижнего Дона. Ростов-на-Дону.: РГУ.-1983.-142с.

56. Книпович Н.М. Гидрологические исследования в Азовском море. Труды

Азово-Черноморской научно-промысловой экспедиции, 1932, вып.5.

57. Кокошинская Н.С., Павлов Б.М., Пасконов В.М. Численное исследова-

ние сверхзвукового обтекания тел вязким газом. М.: Изд-во МГУ, 1980. 248 с.

58. Колдоба А.В., Повещенко Ю.А., Самарская Е.А., Тишкин В.Ф. Методы

математического моделирования окружающей среды. – М.: Наука, 2000. – 254

с.

59. Корнеев В Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков

точточности. Л : Изд-во ЛГУ, 1977. 236 с.

60. Крукиер Л.А, Чикина Л.Г. Кососимметрические итерационные методы

решения стационарных задач конвекции-диффузии.// Изв. ВУЗов, Матем.,

2000. 11. - с.62-76.

61. Крукиер Л.А. Мартынова Т.С. О влиянии формы записи уравнения кон-

векции-диффузии на сходимость метода верхней релаксации.// ЖВМиМФ, т.

39, 11, 1999, стр. 1821-1827

62. Крукиер Л.А. Математическое моделирование гидродинамики Азов-

ского моря при реализации проектов реконструкции его экосистемы // Мате-

матическое моделирование. 1991. Т. 3. 9. С. 3-20.

209

63. Крукиер Л.А. Неявные разностные схемы и итерационный метод их ре-

шения для одного класс систем квазилинейных уравнений.// Изв. ВУЗов. Ма-

тематика, 1979, 7, стр. 41-52

64. Крукиер Л.А. Решение сильно несимметричных систем линейных ал-

гебраических уравнений итерационным методом, основанным на кососиммет-

ричной части исходной положительной матрицы.// Математическое модели-

рование, том 13, 3, 2001, стр. 49-56

65. Крукиер Л.А., Бердников С.В., Титова Л.И. Математическое моделиро-

вание гидродинамических режимов и распространения консервативной при-

меси в районе Ждановского дампинга.–Деп. в ВИНИТИ, 2715-В88 от

11.04.88, 28 с.

66. Крукиер Л.А., Бочев М.А. Об итерационном решении сильно несиммет-

ричных систем линейных алгебраических уравнений.// ЖВМ и МФ, т. 37,

11, 1997, стр. 1283-1293

67. Крукиер Л.А., Муратова Г.В., Никитенко О.Б., Чикин А.Л. Модель тер-

мического режима водоема. В кн. Экосистемные исследования Азовского

моря и побережья. Отв. ред. Матишов Г.Г. Издательство КНЦ РАН, Апатиты,

2002. С.139-150.

68. Крукиер Л.А., Муратова Г.В., Сурков Ф.А. Численное моделирование

динамики Азовского моря при сужении гирла Таганрогского залива//Морской

гидрофизический журнал, 1989, 6, XI-XII, с.55-62.

69. Крукиер Л.А., Муратова Г.В., Чикин А.Л. ППП POLLUTION для рас-

чета распространения загрязнения в мелких водоемах//Вычислительные тех-

нологии, т.2, 6, Новосибирск, 1993, Институт вычислит. технологий СО

РАН, с.133-146.

70. Крукиер Л.А., Чикин А.Л., Шабас И.Н. Трехмерная модель гидродина-

мики Азовского моря и ее численная реализация. В кн. Среда, биота и модели-

рование экологических процессов в Азовском море. Отв ред. Матишов Г.Г.

Издательство КНЦ РАН, Апатиты, 2001. С. 282-297

210

71. Крышев И.И., Сазыкина Т.Г. Математическое моделирование миграции

радионуклидов в водных экосистемах. М., Энергоатомиздат, 1986.- 152 с.

72. Кулешов А.А. Математическое моделирование в задачах промышлен-

ной безопасности и экологии //Информационные технологии и вычислитель-

ные системы, 2003, 4, с.56–70.

73. Ландшафтная карта СССР. Под ред А.Г. Исаченко. М.: ГУГК, 1988.

74. Макарова Г.Д. Кислородный режим Азовского моря и условия его фор-

мирования в период зарегулирования стока р. Дон. В кн: Химические ресурсы

морей и океанов. М.: Наука, 1970, 256 с.

75. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы.

М.: Наука, 1981. 416 с.

76. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей

среды. М.: Наука, 1982, 319 с.

77. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989,

608с.

78. Марчук Г.И., Гордеев Р.Г., Каган Б.А., Ривкинд В.Я. Численный метод

решения динамики приливов и результаты его испытаний. Новосибирск,

Наука, 1972, 78 с.

79. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залессный В.Б. Математические модели

в геофизической гидродинамике и численные методы их реализации – Л., Гид-

рометеоиздат, 1987, 296 с.

80. Марчук Г.И., Каган Б.А. Океанские приливы (математические модели и

численные эксперименты). Л.: Гидрометеоиздат, 1977. 296 с.

81. Марчук Г.И., Каган Б.А., Тамсалу Р.Э. Численный расчет приливных

движений в окраинных морях. Изв. АН СССР, сер. Физики атмосферы и оке-

ана, 1969, 5, 7, с. 694-703.

82. Математические модели контроля загрязнения воды. М.: Мир, 1981, 472

с.

211

83. Математические модели циркуляции в океане. – Новосибирск, Наука,

1980, 288 с.

84. Математическое моделирование динамики атмосферы и океана. Ново-

сибирск, ВЦ СО РАН, 1992, 88 с.

85. Матишов Г.Г. Сейсмопрофилирование и картирование новейших отло-

жений дна Азовского моря//Вестник южного научного центра РАН, Т. 3, 3,

2007, с.32-40.

86. Матишов Г.Г. Экосистемные исследования Азовского, Черного, Кас-

пийского морей. Т. VIII. Апатиты: Изд. КНЦ РАН, 2006. С. 31–42.

87. Матишов Г.Г., Польшин В.В., Болдырев М.А., Мысливец В.И.,

Маев Е.Г., Зверев А.С. Новые представления о голоценовых отложениях

шельфа Азовского моря (по данным картирования и сейсмопрофилирования

дна). // Экосистемные исследования Азовского, Черного, Каспийского морей

и их побережий. Том IХ. Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 2007. С. 42-50.

88. Матишов Г.Г., Польшин В.В.,. Ильин Г.В., А. Карагеоргис. Особенно-

сти геохимического состава современных донных отложений Азовского моря.

// Экосистемные исследования Азовского, Черного, Каспийского морей и их

побережий. Том IХ. Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 2007. С. 68-81.

89. Матишов Д.Г., Ильин Г.В., Моисеев Д.В. Сезонная термохалинная из-

менчивость водных масс в Таганрогском заливе Азовского моря. Вестник юж-

ного научного центра РАН, Т.3, 1, 2007, с.28-35.

90. Многолетние характеристики притока воды к водохранилищам круп-

ных ГЭС СССР. Государственный водный кадастр.-: Гидрометеоиздат.-1987.-

87 с.

91. Морской гидрометеорологический ежемесячник. Черное и Азовское

моря. Севастополь, 1974. 10. С.22-32.

92. Наставление по службе прогнозов (служба морских гидрологических

прогнозов), раздел 3, часть 3. - Л: Гидрометеоиздат, 1975. 136 с.

212

93. Научно-прикладной справочник по климату СССР, серия 3, выпуск 13,

- Л., Гидрометеоиздат. 1990, 724 с.

94. Никаноров А.М., Иваник В.М., Пирумова Е.И. Особенности и тенден-

ции пространственно-временных изменений качества воды р. Дон под влия-

нием длительного регулирования стока Цимлянским водохранилищем / Гид-

рохимический институт. - Ростов н/Д, 2002. - 20с.: рис. 10.- Библиогр.: 7 назв.

- Рус. - Деп. в ИЦ ВНИИГМИ-МЦД 28.06.02 N 1224-гм02

95. Никифоров А.Н., Бузало Н.С. Моделирование полей загрязненности ат-

мосферы в мезометеорологическом пограничном слое // Изв. вузов, Сев.- Кав.

регион, естественные науки, спецвыпуск "Математическое моделирование",

2001, с.126-128.

96. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики

жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с.

97. Пейре Роже, Тейлор Томас Д. Вычислительные методы в задачах меха-

ники жидкости. Л.: Гидрометеоиздат, 1986, 352 с.

98. Пененко В. В. Методы численного моделирования атмосферных про-

цессов. – Л. : Гидрометеоиздат, 1981. – 352 с.

99. Пененко В. В., Алоян А. Е. Модели и методы для задач охраны окружа-

ющей среды. Новосибирск : Наука, 1985. – 256 с.

100. Пененко В. В., Цветова Е. А. Математические модели для изуче-

ния рисков загрязнения природной среды. Прикладная механика и техниче-

ская физика, 2004, 2, т. 45, с. 136-146.

101. Петров А. Г., Петров П. Г. Вектор расхода наносов в турбулентном

потоке над размываемым дном//Прикладная механика и техническая физика.

2000 г. Т. 41, 2. с. 102-112.

102. Польшин В.В. Распределение современных донных отложений в

открытой части Азовского моря. // Экосистемные исследования Азовского,

Черного, Каспийского морей. Том VIII. Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 2006.

с. 42-49.

213

103. Проект «Моря СССР». Гидрометеорология и гидрохимия морей

СССР. СПб.: Гидрометеоиздат, 1991. Т.5. 238 с.

104. Режим мутности и движения наносов в Цимлянском водохрани-

лище /Технический отчет за 1975 г. - Цимлянск, 1976. Архив ГГИ, арх.

39567.

105. Ресурсы поверхностных вод СССР.-: Гидрометеоиздат.-1973.-Т.4.

Донской район.-460 с.

106. Ростовская АЭС. Проект. Оценка воздействия на окружающую

среду (Доработанный по замечаниям и предложениям Госэкспертизы Мин-

природы РФ). Общие положения. Природные условия района размещения

АЭС, Том 1 Книга 1 – 1, Арх. А-65288, г. Н. Новгород, 1999г.

107. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980, 284 с.

108. Самарская Е.А., Сузан Д.В., Тишкин В.Ф. Математическая модель

распространения загрязнений в атмосфере //Математическое моделирование,

1997. Т. 9. 11, С. 59-71

109. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука,

1971, 552 с.

110. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987,

288 с.

111. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977, 656 с.

112. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения за-

дач конвекции-диффузии, М.: Изд.УРСС, 1998, 272 с.

113. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.:

Наука, 1973, 415 c.

114. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование.

М.: Наука. Физматлит, 1997, 320~с.

115. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных урав-

нений. М.: Наука, 1978, 590 c.

214

116. Сидиропуло С.Г., Чикин А.Л. Моделирование заиления судоход-

ных каналов в мелких водоемах. Тезисы докладов XVI Всероссийской конфе-

ренции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и

решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным

системам», посвященная памяти К.И. Бабенко. Дюрсо, 2006, с.50-52.

117. Сидоров А.Ф., Вершинин С.В. (Ред.) Приближенные методы ре-

шения краевых задач механики сплошной среды. Свердловск, Ур. научн.

центр АН СССР, 1985, 93 с.

118. Сидоров А.Ф., Ушакова О.В. Об одном алгоритме построения

адаптивных сеток и его приложениях//Численные методы механики сплошной

среды, 1985, т.16, 5, с.101-115.

119. Сидоров А.Ф., Хайрулина О.Б. Применение полиномов Берштейна

для приближенного решения задачи естественной конвекции в горизонталь-

ном слое.//В кН. «Приближенные методы решения краевых задач механики

сплошной среды», Свердловск, 1985, с.52-63.

120. Скорытченко М.В., Сурков Ф.А., Архипова О.Е. //Комплексные

гидробиологические базы данных: ресурсы, технология, использование. Ро-

стов-на-Дону, 2005, с.97-100

121. Сорокина Т.Н. Непродуктивные потери стока в Цимлянском водо-

хранилище и пути их уменьшения.-//Водные ресурсы.-.:Наука.-1980, 1,

с.93-107.

122. Сурков Ф.А., Бронфман А.М., Черноус Е.А. и др. Моделирование

абиотических факторов экосистемы Азовского моря. Изв.СКНЦ ВШ. Ест.

науки. 1977, 2, c.21-50.

123. Сурков Ф.А., Крукиер Л.А., Муратова Г.В. Численное моделиро-

вание динамики Азовского моря при сужении гирла Таганрогского залива.

Морской гидрофизический журнал, 1989, 6, с.55-62.

124. Сухинов А.И. Прецизионные математические модели мелких во-

доемов. // Математическое моделирование, 2003, 10, с. 17-34

215

125. Сухинов А.И., Сурков Ф.А., Белоконь А.В., Наседкин А.В. Реали-

зация проектов геоэкологической направленности на корпоративной кафедре

математического моделирования и прикладной математики РГУ, ТРТУ и

ЮРГТУ. Издательство СКНЦ ВШ, Ростов-на-Дону, 2005.

126. Сухинов А.И., Цирулик Д.В. Пространственно-трехмерная модель

циркуляции вод в Геленджикской бухте и ее применение для прогноза эколо-

гического состояния. - Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки, 2001.

Спецвыпуск. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент

в механике и физике.

127. Терещенко И. В. Моделирование бризовой циркуляции вод в Кер-

ченском проливе. Материалы 5-ой международной конференции молодых

ученых Pontus Euxinus – 2007, Севастополь, 25-27 сентября.

128. Усовершенствование методики расчета транспорта взвешенных и

влекомых наносов в реках и водоемах на основе концептуальной модели их

движения, учитывающей структуру потока /Годовой отчет за 1986 г. - Цим-

лянск, 1987.

129. Фельзембаум А.М. Динамика морских течений. В кн.: Итоги

науки. Гидродинамика, 1968. М.: Изд. ВИНИТИ АН СССР, 1970, с. 97-338.

130. Филатова Т.Н. Исследования течений в озерах и водохранилищах.-

Л.:Гидрометеоиздат.-1972.-320 с.

131. Филиппов Ю.Г. Некоторые результаты расчета неустановившихся

течений в Азовском море. Тр. ГОИН, 1972, 112, с. 94-105.

132. Филиппов Ю.Г. Об одном способе расчета морских течений //Тр.

ГОИН. 1970. Вып. 103. С.87-94.

133. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.:

Мир, 1991, 504 с.

134. Халфин И.Ш. Моделирование и расчет размыва дна вокруг верти-

кального цилиндра большого диаметра под воздействием волн//Водные ре-

сурсы, 2007, Е. 34,в 1, с.56-67.

216

135. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы.- М.: Мир,

1986, 448 с.

136. Хромов С.П., Петросянц М.А. Метеорология и климатология.

Изд.: "КолосС", 2004, 582 с.

137. Цветова Е. А. Математическое моделирование циркуляций вод

озера // Течения в Байкале. – Новосибирск : Наука, 1977. – С. 63–81.

138. Цветова Е. А. Нестационарные ветровые течения в озере Байкал

//Численные методы расчета океанических течений. – Новосибирск : ВЦ СО

АН СССР, 1974. – С. 115–128.

139. Четверушкин Б.Н. Кинетические схемы и высокопроизводитель-

ные многопроцессорные вычисления в газовой динамике. Вычислительные

технологии. Т.7, 2002, 6, с. 65–89.

140. Чикин А.Л. Об одном из методов расчета параметров течений в

водоемах с большой неоднородностью глубин// Водные ресурсы, 2005. Т. 32.

1. С. 55-60.

141. Чикин А.Л. Один из подходов к математическому моделированию

гидрофизических процессов в водоемах. //Материалы молодежных школ

«Комплексные гидробиологические базы данных: ресурсы, технологии и ис-

пользование» и «Адаптация гидробионтов», Ростов-на-Дону, 2005 – с. 111-

124.

142. Чикин А.Л. Построение и численное исследование 3D модели гид-

родинамики Азовского моря. Тр. Межд. конференции, посвященной 80-летию

академика Н.Н.Яненко «Современные проблемы прикладной математики и

механики: теория, эксперимент и практика». Новосибирск, Академгородок, 24

- 29 июня 2001 года. «Вычислительные технологии», т.6, спецвыпуск, 2001 г.,

с. 686-692.

143. Чикин А.Л. Трехмерная задача расчета гидродинамики Азовского

моря.//Математическое моделирование. Т.13. 2, 2001. С.86-92.

217

144. Чикин А.Л., Крукиер Л.А. Численное исследование поведения не-

которых разностных схем при решении уравнений мелкой воды. Вычисли-

тельные технологии, Новосибирск, 1995, т. 4, 10, с. 300 – 311.

145. Чикин А.Л., С.Г. Сидиропуло, М.В. Циркунова, И.Н. Шабас. Ма-

тематическая модель переноса загрязнения в Цимлянском водохранилище.

Материалы VI Международной конференции по неравновесным процессам в

соплах и струях (NPNJ-2006), 26 июня – 1 июля 2006 г., C.-Петербург, М.:Ву-

зовская книга, 2006. С. 336-338.

146. Чикин А.Л., Сидиропуло С.Г. Математическая модель гидродина-

мики Цимлянского водохранилища. // Сборник трудов XI Всероссийской

школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования»

– Ростов-на-Дону: Изд. РГУ, 2005 – с. 399-406.

147. Чикин А.Л., Сидиропуло С.Г. Математическая модель процесса за-

иления подводных судоходных каналов. В сб. Исследования по математиче-

скому анализу, математическому моделированию и информатике. Владикав-

каз: Владикавказский научный центр РАН и РСО-А, 2007, с. 237-244.

148. Чикин А.Л., Шабас И.Н. Построение трехмерной гидрофизиче-

ской модели Азовского моря.// Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион.

Естественные науки. 3, 2001. С.33-37.

149. Чикин А.Л., Шабас И.Н., Никитенко О.Б. Трехмерная модель гид-

рофизических процессов Азовского моря и ее численное исследование.//Изве-

стия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Спецвыпуск,

2001. С.158-160.

150. Чикин А.Л., Шабас И.Н., Сидиропуло С.Г. Математическая мо-

дель распространения радионуклидов в Цимлянском водохранилище в случае

их залпового выброса //Вестник Южного научного центра РАН, Т.2, 3, 2006,

с.78-81.

151. Чикин А.Л., Шабас И.Н., Сидиропуло С.Г. Моделирование пере-

носа загрязнения при его залповом выбросе в Цимлянское водохранилище в

218

районе Ростовской АЭС. В сб. Исследования по математическому анализу, ма-

тематическому моделированию и информатике. Владикавказ: Владикавказ-

ский научный центр РАН и РСО-А, 2007, с. 245-248.

152. Чикин А.Л., Шабас И.Н., Сидиропуло С.Г. Моделирование про-

цесса переноса загрязняющего вещества в Цимлянском водохранилище. Вод-

ные ресурсы, 2008, т. 35. 1, с. 53-59.

153. Чикин А.Л., Шабас И.Н., Сидиропуло С.Г. Свидетельство об офи-

циальной регистрации программ для ЭВМ 2008611654 «Расчет гидродина-

мических параметров, переноса и оседания вещества в Цимлянском водохра-

нилище на многопроцессорных вычислительных системах с использованием

Web-интерфейса». Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 29 мая

2008 года

154. Чикин А.Л., Шабас И.Н., Сидиропуло С.Г.. Математическая мо-

дель распространения радионуклидов в Цимлянском водохранилище в случае

их залпового выброса //Вестник Южного научного центра РАН, Т.2, 3, 2006,

с.78-81.

155. Чикин А.Л., Шабас И.Н., Чикина Л.Г. Свидетельство об официаль-

ной регистрации программ для ЭВМ 2005612497 «Расчет гидродинамиче-

ских параметров в Азовском море на многопроцессорных вычислительных си-

стемах с использованием WEB-интерфейса». Зарегистрировано в Реестре про-

грамм для ЭВМ 26 сентября 2005 года.

156. Чикина Л.Г., Чикин А.Л. Моделирование распространения загряз-

нения в Мобилском заливе (США).// Математическое моделирование. Т.13.

2, 2001. С.93-98.

157. Чугаев Р.Р. Гидравлика: Учебник для вузов. Л.: Энергоиздат, 1982.

672 с.

219

158. Шабас И.Н., Чикин А.Л. Трехмерная задача распространения со-

лености и загрязнений в водоеме // Труды Всероссийской конференции "Ма-

тематическое моделирование и проблемы экологической безопасности", Ро-

стов-на-Дону, 2000, с.238-244.

159. Шабас И.Н., Чикин А.Л., Мерзляков В.А., Белоконь О.А., Чи-

кина Л.Г. Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ

2005612496 «Расчет распространения примесей в Азовском море на много-

процессорных вычислительных системах с использованием WEB-

интерфейса». Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 26 сентября

2005 года.

160. Шокин Ю.И., Чубаров Л.Б., Марчук А.Г., Симонов К.В. Вычисли-

тельный эксперимент в проблеме цунами. Новосибирск, Наука, Сиб. отд-ние,

1989. – 168 с.

161. Шурина Э. П., Войтович Т. В. Анализ алгоритмов методов конеч-

ных элементов и конечного объема на неортогональных сетках при решении

уравнений Навье-Стокса. Вычислительные технологии, том 2, 4, 1997,

с. 84–104.

162. Яненко Н.Н., Неуважаев В.Е. Один метод расчета газодинамиче-

ских движений с нелинейной теплопроводностью. Труды МИАН СССР, 1966,

т. 74, с.138–140.

163. Alonso del Rosario J.J., E. Odriozola Andonegui. A high order linear

model for the prediction of internal lee waves at the main sill of the Strait of Gibral-

tar. Journal of Marine Systems 53 (2005) 197– 216

164. Amdahl G. Validity of the single-processor approach to achieving

large-scale computing capabilities. // Proc. 1967 AFIPS Conf., AFIPS Press. - 1967.

- V. 30. - P. 483.

165. ArcGis 9 Spatial Analyst. Руководство пользователя. 1999-2001

ESRI.

220

166. Axelsson O. Iterative solution Methods. Cambridge University Press,

Cambridge, 1994, 654 p.

167. Balzano, A., 1998. Evaluation of methods for numerical simulation of

wetting and drying in shallow water flow models. Coastal Eng. 34, pp. 83–107.

168. Bangalore P. V. , Zhu J., Huddleston D., Skjellum A., Welsh D. J. S.,

Bedford K. W., Wang R., Sadayappan P. Parallelization of a Coupled Hydraulics

and Sediment Transport Model. Technical Report CEWES MSRC/PET TR/99-23,

The Mississippi State University and The Ohio State University, 1999, 15 p.

169. Beardsley R.C., Boicourt W.C. On estuarine and continental-shelf cir-

culation in them Middle Atlantic Bight, in Evolution of Physical Oceanography, ed-

ited by B.A. Warren and C. Wunsch, MIT Press, Cambridge, Vass., 1981, pp. 198-

234.

170. Bennett, J.R.P. Hydrological Study of the Lagan Valley. Geological

Survey of Northern Ireland Open Report, 1976No. 57.

171. Blumberg, A. F., Kantha L. H. (1985) Open boundary condition for cir-

culation models, Journal of Hydraulic Engineering, 111, pp. 237-255.

172. Blumberg, A.F., Mellor, G.L. A Description of a three-dimensional

coastal ocean circulation model. In: Heaps, N.S. (Ed.), Three-Dimensional Coastal

Ocean Models, American Geophysical Union, Washington, 1987,DC, pp. 1-16.

173. Borthwick A.G.L., Akponasa A.G., Reservoir flow prediction by con-

travariant shallow water equations, ASCE J. Hydraul. Eng. 123 (1997) (5), pp. 432–

439.

174. Castro Manuel J., Garcıґa-Rodrıґguez Joseґ A., Gonzaґlez-Vida Joseґ

M., Macıґas Jorge, Pareґs Carlos. Improved FVM for two-layer shallow-water mod-

els: Application to the Strait of Gibraltar. Advances in Engineering Software 38

(2007) pp. 386–398

175. Castro Manuel J., Garcıґa-Rodrıґguez Joseґ A., Gonzaґlez-Vida Joseґ

M., Macıґas Jorge, Pareґs Carlos, Vazquez-Cendon M. Elena. Numerical simulation

221

of two-layer shallow water flows through channels with irregular geometry. Journal

of Computational Physics 195 (2004) pp. 202–235

176. Casulli V., Cheng R.T., Semi-implicit finite difference methods for

three-dimensional shallow water flow, Int. J. Num. Meth. Fluids 15 (1992), pp. 629–

648.

177. Casulli, V. and Stelling, G.S. (1998), “Numerical Simulation of 3D

Quasi-Hydrostatic, Free-Surface Flows”, Journal of Hydraulic Engineering, Vol.

124, pp. 678—686.

178. Cheng. R.T. and P.E. Smith, 1990. “A survey of three dimensional nu-

merical estuarine models”. Estuarine and coastal modeling ,proceedings of the 2nd

international conference. ASCE, New York, NY, pp:1-15

179. Chikin A. L., Shabas I. N. and Sidiropulo S. G. Modeling Pollutant

Transport in the Tsimlyanskoe Reservoir. Water Resources, 2008, Vol. 35, No. 1,

pp. 51–57.

180. Chorin A.J. Numerical solution of Navier-Stokes equations // Mathe-

matics of Computations. 1968. 22. pp. 745-762.

181. Climatic Atlas of the Sea of Azov 2006. World Data Center for Ocean-

ography, Silver Spring, International Ocean Atlas and Information Series, Volume

10, 106 p.

182. Devies H.C. On the initial-boundary value problem of some geophysi-

cal fluid flows.– J. of Comput. Physics, 1973, v. 13, h. 398-422.

183. Dube S.K. & ets. Numerical modeling of storm surges in the Arabian

Sea///Appl. Math. Model, 1985,v.9,4, pp. 289-294.

184. Falconer, R.A., Chen, Y., 1991. An improved representation of flood-

ing and drying and wind stress effect in a two-dimensional tidal numerical model.

Proc. Inst. Civ. Engrs., Part 2 91 (December), pp. 659–678.

185. Flather R.A., Heaps N.S. Tidal computations for Morecable bay. Ge-

ophys. J. of the Royal Ast. Sol., 1975, v. 42, 2, pp. 489-517.

222

186. Flather, R.A., Hubbert, K.P., 1990. Tide and surge models for shallow-

water-Morecambe Bay revisited. In: Davies, A.M. (Ed.), Modeling Marine Systems,

vol. I. CRC Press, pp. 135–166.

187. Fofonoff, N.P., Physical properties of seawater. In The Sea: Ideas and

observations on progress in the study of the seas, Vol, 1: Physical Oceanography,

1962. M.N. Hill, ed., Wiley, Interscience, new York, pp. 3-30.

188. Freeman, N.G., A.M. Hale, and M.B.Danard. 1972. “A modified sigma

equations’ approach to numerical modeling of Great Lake hydrodynamics”. J. of

Geophysical Research, 77(6), pp. 1050-1060

189. Freund R.W., Golub G.H. and Nachtigal N.M. QMR: a quasi-minimal

residual method for non-Hermitian linear systems // Numer. Math., 60(1991),

pp. 315-339.

190. Gary, J.M., 1973. “Estimate of truncation error in transformed coordi-

nate primitive equation atmospheric models”. J. Atmos. Sci., 30, pp. 223-233

191. Greenbaum A. Iterative methods for solving Linear Systems // SIAM,

Philadelphia, PA, 1997, 220 pp.

192. Hageman L.A. and Young D.V. Applied Iterative Methods. Academic

Press. New York, 1981.

193. Hagen, S.C., 2001. Estimation of the truncation error for the linearized,

shallow water momentum equations. Engineering with Computers, 17, pp. 354-362.

194. Hagen, S.C., Westerink, J.J., Kolar, R.L., Horstmann, O., 2001. Two-

dimensional, unstructured mesh generation for tidal models. Intern. J. Num. Meth.

Fluids, 35, pp. 669-686.

195. Hamrick, J.M. A Three-Dimensional Environmental Fluid Dynamics

Computer Code: Theoretical and Computational Aspects. The College of William

and Mary, Virginia Institute of Marine Science. Special Report, 1992, 317, 63 pp.

196. Haney R.L. On the pressure gradient force over steep topography in

sigma coordinate ocean models, Journal of Physical Oceanography 21 (1991),

pp. 610–619.

223

197. Harlow F. H., Welch J. E. Numerical calculation of time-dependent vis-

cous incompressible flow of fluid with free surface. Phys. Fluids, 8, 12, 1965,

2182-2189.

198. Harris Courtney K., Wiberg Patricia L. A two-dimensional, time-de-

pendent model of suspended sediment transport and bed reworking for continental

shelves//Computers & Geosciences, V. 27, Issue 6 , July 2001, p. 675-690

199. Hervouet, J.M., Van Haren, L., 1996. Recent advances in numerical

methods for fluid flows. In: Anderson, M.G., Walling, D.E., Bates, P.D. (Eds.),

Floodplain Processes. Wiley, Chichester, UK, pp. 183–214.

200. Johnson B.H. Numerical modeling of estuarine hydrodynamics on a

boundary-fitted coordinate system//Appl. Math. & Comput., 1982, v.10-11, pp. 409-

436.

201. Katopodes N. D., Kao Kuo-Cheng. Nested grid model for nearshore

hydrodynamics. 16th ASCE Engineering Mechanics Conference, July 16-18, Uni-

versity of Washington, Seattl.

202. Klein, P., A simulation of the effects of air-sea transfer variability on

the structure of the marine upper layers, J. Phys. Oceanogr., 10, 1980, pp. 1824-

1841.

203. Koçyigit M. B., Falconer R. A. Three-dimensional numerical modelling

of wind-driven circulation in a homogeneous lake. Advances in Water Resources

Volume 27, Issue 12, December 2004, pp. 1167-1178

204. Koutitas C.G., Gousidou-Koutita M., A comparative study of three

mathematical models for wind-generated circulation in coastal areas, Coast. Eng. 10

(1986), pp. 127–138.

205. Krukier L. A., Chikin A.L., Chikina L. G., Sidiropulo S.G., Mathemat-

ical modeling of radionuclide pollution in the water basin. // Тезисы международ-

ной конференции «Тихонов и современная математика» - М.: Изд. ВмиК МГУ,

2006, Т.2. - P. 118

224

206. Lin B., Falconer R.A., A three-dimensional layer-integrated modelling

of estuarine flows, Estuar. Coast. Shelf Sci. 44 (1997), pp. 737–751.

207. Liu Wen-Cheng, Hsu Ming-His, Kuo Albert Y. Modelling of hydrody-

namics and cohesive sediment transport in Tanshui River estuarine system, Tai-

wan//Marine Pollution Bulletin, V. 44, Issue 10 , October 2002, p. 1076-1088.

208. Liu, X and Huang, W. Reducing Horizontal pressure gradient errors in

3-D sigma coordinate coastal hydrodynamic and transport models.

ASME/ASCE/SES mechanics and materials conference at University of Colorado,

Boulder, June 25-30, 2006.

209. Luettich, R.A. Jr., Westerink, J.J., Scheffner, N.W. ADCIRC: An Ad-

vanced Three-Dimensional Circulation Model for Shelves, Coasts, and Estuaries.

Report 1, Technical Report DRP-92-6, Dredging Res. Prog., USACE, 1992.

210. Lumborg U. and Windelin A. Hydrography and cohesive sediment

modelling: application to the Rømø Dyb tidal area .Journal of Marine Systems Vol-

ume 38, Issues 3-4 , January 2003, pp. 287-303.

211. Mahieux G., Lerche I. Dynamic modeling of turbidite erosion, transport

and deposition in three dimensions//Comptes Rendus de l’Académie des Sciences -

Series IIA - Earth and Planetary Science, V. 331, Issue 5 , 15 September, 2000, pp.

345-351.

212. Malcherek A., LeNormant C., Peltier E., Teisson C., Markofsky M. and

Zielke W. Three Dimensional Modelling of Estuarine Sediment Transport. // Estua-

rine and Coastal Modeling. 1998, pp.42-55.

213. McCalpin, J.D, 1994. “A comparison of second-order and fourth-order

pressure gradient algorithms in a sigma coordinate ocean model”. International Jour-

nal for Numerical Methods in Fluids, 18, pp. 361-383

214. McDonald E.T., Cheng R.T. Issues Related to Modeling the Transport

of Suspended Sediments in Northern San Francisco Bay, California. // Estuarine and

Coastal Modeling. 1998, pp.551-563.

225

215. Mellor G, Häkkinen S, Ezer T. and Patchen R. A Generalization of a

Sigma Coordinate Ocean Model and an Intercomparison of Model Vertical Grids.

In: Ocean Forecasting: Conceptual Basis and Applications. N.Pinardi,J.Woods

(Eds.), Springer, Berlin, 2002, pp. 55-72.

216. Mellor, G.L., and T. Yamada, A hierarchy of turbulence closure models

for planetary boundary layers, J. Atmos. Sci., 31, 1974, pp. 1791-1806.

217. Mellor, G.L., and T. Yamada, Development of a turbulence closure

model for geophysical fluid problems, Rev. Geophys. Space Phys., 20, 1982,

pp. 851-875.

218. Miller G. A once in 50-year wind speed map for Europe derived from

mean sea level pressure measurements. Journal of Wind Engineering and Industrial

Aerodynamics V. 91, Issues 12-15 , December 2003, pp. 1813-1826.

219. Nikolaev I.A., Krukier L.A., Surkov F.A., Dombrovsky Yr.A. Numer-

ical methods in water ecology. Mathematical Modelling and Applied Mathematics,

IMACS, 1992, pp.337-343.

220. Oey Lie-Yauw. A wetting and drying scheme for POM. Ocean Model-

ling 9 (2005), pp. 133–150

221. Oey Lie-Yauw. An OGCM with movable land–sea boundaries. Ocean

Modelling 13 (2006) pp. 176–195

222. Pandoe W.W., Edge B.L. Three-dimensional hydrodynamic model,

study cases for quarter annular and idealized ship channel problems//Ocean Engi-

neering, 30 (2003), p. 1117-1135

223. Pandoe Wahyu W., Edge Billy L. Cohesive sediment transport in the

3D-hydrodynamic-baroclinic circulation model, study case for idealized tidal inlet.

Ocean Engineering, Volume 31, Issues 17-18 , December 2004, pp. 2227-2252.

224. Partheniades, E. Estuarine sediment dynamics and shoaling processes.

In: Herbich, J.B. (Ed.), Handbook of Coastal and Ocean Engineering, Vol. 3, Gulf

Publishing Co., Houston, 1990, pp. 985-1071.

226

225. Phillips, N.A. “A coordinate system having some special advantages

for numerical forecasting”. J. of Meteorology, 14, 1957, pp. 184-185.

226. Pique J., Vasseur X. Multigrid Preconditioned Krylov Subspace

Method for Three-dimen-sional Numerical Solutions of the Incompressible Navier-

Stokes Equations // Numerical Algorithms. 1998. Vol. 17. 1, 2. pp. 1–32.

227. Plazman G.W. A numerical computation of the surge of 26 June 1954

on lake Michigan//Geophysics, 1959, v.6, pp.407-438.

228. Rhie C.M., Chow W.L. Numerical Study of the Turbulent Flow Past an

Airfoil with Trailing Edge Separation // AIAAA Journal, 1983. Vol. 21, No.11. pp.

1525–1532.

229. Saad Y. Schultz M.H. GMRES: a generalized minimal residual algo-

rithm for solving nonsymmetrical linear systems.// SIAM J. Scientific and Statistical

Computing, 1986, pp. 856-869.

230. Saad Y. Van der Vorst H. A. Iterative solution of linear systems in the

20th century // J. of Computanional and Applied Mathemetics , Elsevier Science,

2000, 123, pp. 1-33.

231. Schroeder W.W., Sukhinov A.I., Volovik S.P., Nicolayev I.A.,

Krukier L.A., Chikin A.L. The Response of the Azov Sea to Changes in River In-

flow. 9th Conference "Physics of Estuaries and Coastal Seas". Matsuyama, Japan,

24–26 September 1998.

232. Schroeder W.W., Sukhinov A.I., Krukier L.A., Nicolayev I.A., Volovik

S.P., Wiseman Wm.J., Chikin A.L. Aspects of the Oceanography of the Azov Sea.

Joint ECSA and CERM Symposium at the University of Port Elizabeth. Port Eliza-

beth, 13–17 July 1998.

233. Sheng, Y.P. “ Evolution of three-dimensional curvilinear-grid hydrody-

namic model for estuaries, lakes and coastal water: CH3D”. Estuarine and coastal

modeling, proceedings of the 2nd international conference. ASCE, New York,

pp. 40-49.

227

234. Smolarkiewicz P.K., Clark T.L., The multidimensional positive definite

advection transport algorithm further development and applications, Journal of

Computational Physics 67 (1986), pp. 396–438.

235. Smolarkiewicz, P. K., Grabowski W. W. The multi-dimensional posi-

tive definite advection transport algorithm: Nonoscillatory option. J. Comput. Phys.,

1990, 86, pp. 355–375.

236. Smolarkiewicz, P.K., Margolin L.O., 1993: On Forward-in-Time Dif-

ferencing for Fluids: Extension to a Curvilinear Framework. , 121, pp. 1847–1859.

237. Soulsby, R., 1997. Dynamics of Marine Sands. Thomas Telford Publ.,

London, UK.

238. Stashchuka N., Hutter K. Modelling of water exchange through the

Strait of the Dardanelles. Continental Shelf Research 21, (2001), pp. 1361–1382

239. Stelling G.S., Duinmeijer S.P.A. A staggered conservative scheme for

every Froude number in rapidly varied shallow water flows. Int. J. Numer. Methods

Fluids 43, 2003, pp. 1329–1354.

240. Sundquist H. “On truncation errors in sigma system models”. Atmos-

phere, 1975, 13, pp. 81-95.

241. Sundquist H. “On vertical interpolation and truncation in connection

with use of sigma system models”. Atmosphere, 1976, 14, pp. 37-52.

242. Van Leer B. “Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme.

V. A Second Order Sequel to Godunov’s Method,” Journal of Computational Phys-

ics, (1979), Vol. 32, pp. 101—136.

243. Van Rijn L.C. Principles of Sediment Transport in Rivers, Estuaries

and Coastal Seas. Aqua Publications, Amsterdam, The Netherlands, 1993.

244. Wajsowicz Roxana C., Gordon Arnold L., Ffield Amy, Susanto R. Dwi.

Estimating transport in Makassar Strait. Deep-Sea Research II 50 (2003), pp. 2163–

2181.

245. Wang Sam S.Y., Wu W. River sedimentation and morphology model-

ing - the state of the art and future development // National Center for Computational

228

Hydroscience and Engineering. Proceedings of the Ninth International Symposium

on River Sedimentation. The University of Mississippi, October 18-21, 2004, Yi-

chang, China, pp.71-94.

246. Welsh D. J. S., Bedford K. W., Wang R., Sadayappan P.A Parallel-Pro-

cessing Coupled Wave/Current/Sediment Transport Model. Technical Report

CEWES MSRC/PET TR/00-20, Ohio State University, 1998, 21 p.

247. Whitehouse R., Soulsby R.R., Roberts W., Mitchener H. Dynamics of

Estuarine Muds. Thomas Telford Publ., London, UK, 2000.

248. Wu J., Tsanis I.K., A vertical/horizontal integration wind-induced cir-

culation model (VHI3D): a method for including surface and bottom logarithmic

profiles, Adv. Water Resour. 18 (1995), pp. 77–87.

249. Young D.M. Iterative solution of large linear systems.- N.Y. & London,

Academic Press, 1971, 589 p.

250. Zheleznyak M.J. The mathematical modelling of radionuclide transport

by surface water flow from the vicinity of the Chornobyl Nuclear Power Plant. Con-

densed Matter Physics, 12, 1997, pp.37-50.