Onde 330 novembre 2012

InterferenzaDiffrazione (Battimenti)

Fenomeni ondulatori

• Interferenza e diffrazione sono fenomeni esclusivamente ondulatori e sono dovuti alla sovrapposizione di due o più onde

• La sovrapposizione può essere costruttiva o distruttiva, in dipendenza della fase relativa tra le onde che si sovrappongono

• Noi studieremo i seguenti fenomeni– Interferenza tra due fenditure (Young)– Diffrazione da una fenditura

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Coerenza

• Un concetto importante è quello di coerenza: due o più onde sono coerenti se mantengono costante la loro differenza di fase relativa

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Interferenza

• L’interferenza riguarda la distribuzione spaziale della sovrapposizione di onde di ugual frequenza e coerenti

• Il risultato è diverso da punto a punto, a seconda dello sfasamento relativo delle singole onde

• Per semplicità sovrapporremo due onde armoniche, di ugual direzione e ampiezza

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Interferenza

• L’esempio classico è l’esperienza di Young, in cui un’onda piana monocromatica incide su uno schermo su cui sono praticate due fenditure (distanti D l’una dall’altra)

• Per il PdH le due fenditure si comportano da sorgenti di onde sferiche coerenti, la cui sovrapposizione al di là dello schermo, dà luogo al fenomeno dell’interferenza

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Interferenza

• Per semplicità geometrica studiamo l’interferenza su uno schermo a grande distanza (potenzialmente infinita) dalle fenditure, in tal caso i cammini ottici sono semirette parallele

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6

Interferenza

• Analizziamo l’interferenza per ciascuna direzione e diciamo la coordinata relativa ad

• Per la simmetria delle fenditure, le due onde hanno ugual ampiezza A per lo stesso (A e` funzione di )

• Hanno inoltre una differenza di fase fissa dovuta alla differenza di cammino ottico

• La differenza di fase è data dalla proporzione

• E quindi

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l Dsin

l : : 2

sin22Dl

l

D

1

2

7

Interferenza

• Le due onde hanno dunque forma

• La funzione che ne rappresenta la sovrapposizione è la loro somma

• Applicando le formule di Werner, otteniamo

• L’espressione in parentesi quadre è l’ampiezza dell’onda risultante

tkAf

tkAf

cos

cos

2

1

21 fff

2cos

2cos2

tkAf

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Interferenza

• L’ampiezza dipende dallo sfasamento e può assumere il valore minimo, zero, per o 2n+1) e il valore massimo, 2A, per o 2n

• Il valore minimo corrisponde ad una differenza di cammino di un numero dispari di mezze lunghezze d’onda: interferenza distruttiva

• Il valore massimo corrisponde ad una differenza di cammino di un numero intero di lunghezze d’onda: interferenza costruttiva

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l 2

n 1

2

l n

Interferenza

• Poiché l’intensità di un’onda è proporzionale al quadrato dell’ampiezza, l’intensità dell’onda di interferenza sullo schermo varia tra zero e quattro volte l’intensità delle singole onde sulle fenditure

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sincos4

2cos4 222 D

IAI interfIinterf

Grafico dell’intensita`nel caso particolare in cui A sia costante rispetto ad

Interferenza

• Commento sul fattore 4: questo non comporta una violazione della conservazione dell’energia, ma solo una redistribuzione spaziale dell’energia

• Nel caso le onde abbiano ampiezza diversa, un’analisi piu’ approfondita porta al risultato che l’intensità dell’onda risultante varia tra

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212121

2

1

2

1

2

21max 22 IIIIAAAAAAI 212121

2

1

2

1

2

21min 22 IIIIAAAAAAI

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Diffrazione • Consideriamo un’onda piana

monocromatica di ampiezza A0 incidente su uno schermo con una fenditura di larghezza D

• Per il PdH tutti i punti della fenditura si comportano da sorgenti di onde sferiche coerenti, la cui sovrapposizione al di là dello schermo, dà luogo al fenomeno della diffrazione

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Diffrazione

• Per semplicità geometrica studiamo la diffrazione su uno schermo a grande distanza (potenzialmente infinita) dalla fenditura, in tal caso i cammini ottici sono semirette parallele

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Diffrazione

• Analizziamo la diffrazione per ciascuna direzione e diciamo la coordinata relativa ad

• Le onde elementari hanno ugual ampiezza dA per lo stesso

• Un punto Q della fenditura a distanza y dal punto più alto P, ha una differenza di fase dovuta alla differenza di cammino ottico

• La differenza di fase è data da

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sinyl

yyl

y

sin22

l

y

P

Q

P

Q

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Diffrazione

• Detta dA l’ampiezza infinitesima di ciascuna onda elementare, queste hanno forma

• Ove A =dA/dy=A0/D (NB: A non dipende da y)

• Detto l’onda risultante sarà data dall’integrale delle onde elementari su tutta la fenditura

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ytkdyytkdAdf coscos A

uDudyyufD

sinsincos0

AA

tku

Diffrazione

• Applicando le formule di Werner

• e sostituendo i valori di e u

• L’ampiezza dell’onda diffratta risultante è quindi

• Con AD=A0 ampiezza dell’onda incidente16

2cos

2sin2

Du

Df

A

sincossin

sinsin Dtk

D

DDf A

sin

sinsin

D

DDA A

Idiff

Diffrazione • Se per semplicità assumiamo che A0 sia costante rispetto

ad , l’intensità dell’onda diffratta sullo schermo è

• Notare che l’intensità è diversa da zero anche per (e ) diversa da zero

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22

2

0

sin

sin

sinsin

ID

DAI diff

Battimenti

• Il fenomeno dei battimenti è in un certo senso complementare a quello dell’interferenza: riguarda l’evoluzione temporale della sovrapposizione di onde di frequenza diversa in un punto determinato dello spazio

• Consideriamo due onde che per semplicità supponiamo armoniche e di ugual ampiezza

f1 Acos k1x 1t 2 f2 Acos k2x 2t 1

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• Nel punto arbitrario x* assumono la forma

• La loro sovrapposizione in questo punto si calcola ricordando la formula del coseno di una somma

• con

Battimenti

f1 Acos k1x* 1t 1 Acos 1t k1x

* 1 Acos 1t 1

f2 Acos k2x* 2t 2 Acos 2t k2x

* 2 Acos 2t 2

f f1 f2 Acos 1t 1 Acos 2t 2

2Acos t cos t

2 1

2

2 1

219

Battimenti

• A parte due fasi inessenziali, la funzione è del tipo

• Il fenomeno vero e proprio dei battimenti si riferisce alla sovrapposizione di due onde sonore le cui frequenze sono circa uguali, allora

• Cioè si ottiene un’onda sinusoidale di frequenza molto vicina a quella delle onde che si sovrappongono:

con un’ampiezza che non è costante, ma modulata secondo una funzione sinusoidale di frequenza molto minore, che è poi quella che dà la sensazione acustica di battimento:

f 2Acost cost

1 2

0

cost

2Acost

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Battimenti

• Quel che l’orecchio percepisce è l’intensità dell’onda risultante, che è proporzionale al quadrato dell’ampiezza

• La modulazione dell’intensità ha frequenza doppia rispetto all’ampiezza

• L’intensità varia da un minimo di 0 ad un massimo di 4I0

ttI

ttkAttAkI

20

22222

cos2cos12

cos2cos12coscos4

21