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1 INTERFERENZA DIFFRAZIONE BATTIMENTI L’interferenza di due onde frequenze leggermente diverse (in alto e al centro) dà luogo ad un’onda di duplice periodicità (in basso).

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INTERFERENZA

DIFFRAZIONE

BATTIMENTIL’interferenza di due onde frequenze leggermente diverse (in alto e al centro) dà luogo ad un’onda di duplice periodicità (in basso).

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Infatti, considerando per semplicità l’evolversi nel tempo della situazione nel punto x=0, l’interferenza di due onde y1 e y2, con uguale ampiezza A e pulsazioni ωωωω1 e ωωωω2 (con ωωωω1≈ωωωω2), è data da:

y ==== y1 ++++ y2 ==== A ⋅⋅⋅⋅( sinω1t ++++ sinω2t ) ==== 2A⋅⋅⋅⋅ cos(ω1 −−−− ω2

2t ) ⋅⋅⋅⋅ sin(

ω1 ++++ω2

2t )

ω1 ++++ ω2

2==== ωmedio ≈≈≈≈ ω1 ≈≈≈≈ ω2;

ω1 −−−−ω2

2==== ωmod

Tmod ====

ω mod

( onda modulante)

Tmedio ====

ωmedio

( onda por tante)

In un particolare intervallo di frequenze (20-20000 Hz) le onde elastiche sono dette SUONI.

Esse possono venire generate dalle corde vocali e percepite dall’orecchio umano.

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Caratteristiche di un suono

Altezza:dipende dalla frequenza fondamentale dell’onda(acuto ⇒⇒⇒⇒ alta frequenza, grave ⇒⇒⇒⇒ bassa frequenza)

Timbro: dipende dal numero di armoniche che compongono l’onda e consente l’identificazione del suono

Intensità:dipende dal quadrato dell’ampiezza della vibrazione(debole ⇒⇒⇒⇒ bassa intensità, forte ⇒⇒⇒⇒ alta intensità)

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Le onde sonore esterne vengono percepite e raccolte dal padiglione auricolare (orecchio esterno), entrano nel condotto uditivo esterno dove vengono amplificate e colpiscono la membrana timpanica, che vibra.

Le vibrazioni vengono convogliate agli ossicini dell'orecchio medio, i quali trasmettono gli impulsi alla chiocciola (o coclea), che è costituta da una delicata struttura a spirale ripiena di un fluido.

Gli impulsi giunti all'orecchio interno, viaggiando lungo terminazioni nervose, raggiungono il nervo acustico che li trasporta al cervello, dove vengono riconosciuti come suoni.

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La minima intensità sonora apprezzabile dall’orecchio umano è di 10-12 W/m2, mentre intensità di circa 1 W/m2 sono percepite come dolorose. C’è dunque un range di ben 12 ordini di grandezza!!!

Tuttavia, in questo intervallo di intensità, la percezione del suono non è lineare.

La sensazione sonora σσσσ è legata all’intensità I attraverso la relazione:

(legge di Weber-Fechner)

In cui I0 è l’intensità di soglia (10-12 W/m2).L’unità di misura di σ σ σ σ è il decibel (dB).

σσσσ ==== 10 ⋅⋅⋅⋅ log10

I

I 0

Il ns orecchio è dunque in grado di percepire (senza danni) suoni per cui σσσσ varia tra 0 e 120 dB.E’ però importante osservare che l’intervallo di sensazioni sonore percepibili non è lo stesso per i suoni di tutte le frequenze: il ns orecchio ha una curva di sensibilità:

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Esempio:

Un altoparlante produce una sensazione sonora di 40 dB alla distanza di 10 m. Quanto vale l’intensità in quel punto?Se si affianca un secondo altoparlante uguale al primo, quanto vale la sensazione sonora risultante?

Con 2 altoparlanti

Dunque

40 ==== 10 ⋅⋅⋅⋅ log10

I

10−−−−12

Wm−−−−2

⇒⇒⇒⇒I

10−−−−12

Wm−−−−2

==== 104⇒⇒⇒⇒ I ==== 10

−−−−8Wm

−−−−2

I ==== 2⋅⋅⋅⋅ 10−−−−8

Wm−−−−2

σσσσ ==== 10 ⋅⋅⋅⋅ log10

2⋅⋅⋅⋅10−−−−8

10−−−−12

==== 43dB

Propagazione in mezzi confinati

Tutte le onde viste finora si estendevano indefinitamente nello spazio (ONDE PROGRESSIVE).L’eq più generale è della forma

Y = f (t - x/c) = A sin [ωωωω (t - x/c)]

Immaginiamo ora che l’onda incontri un ostacolo e siariflessa:

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Avremo la sovrapposizione dell’onda incidente e di quellariflessa:

y = f (t - x/c) + g (t + x/c)

poiché in x=0 si ha y=0, g(t) = -f(t)

dunque: y= f( t- x/c ) - f( t +x/c)

e quindi y = A (sin ωωωω(t-x/c) - sin ωωωω(t+x/c))

Infine, applicando le formule di trigonometria si ottiene:

Y = 2 A cos(ωωωωt) sin (ωωωωx/c) (ONDA STAZIONARIA)

In qualunque istante ci sono dei punti che non oscillano, detti NODI, cioè i valori di x per cui sin (ωωωωx/c) = 0,e dei punti che oscillano con ampiezza massima, detti VENTRI.

Supponiamo che la corda di lunghezza L sia fissata ai due estremi (es: corda di chitarra)

Allora y =0 sia per x=0 sia per x=L:sin (ωωωωL/c) = 0, da cui ωωωωL/c = n ππππ

poiché ωωωω = 2 ππππ / T e cT = λλλλ , si ricava che L = n λλλλ/2

La corda può oscillare soltanto con ben determinatefrequenze: quelle per cui la sua lunghezza è multipla di mezza lunghezza d’onda!

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La frequenza corrispondente a n=1 si chiama fondamentale, quelle corrispondenti ai valori successivi di n sono le armoniche.

Fondamentale:(si eccita pizzicando la corda a metà)

Prima armonica: (si eccita pizzicandola corda a un quarto), ecc.

E’ anche possibile che nell’estremo l’oscillazione sia massima (es. canne d’organo).In questo caso sin (ωωωωL/c) = 1 e la relazione che deve essere soddisfatta è del tipo:

L = (2n - 1) λλλλ /4

Anche in questo caso l’onda deve “adattarsi”esattamente alla lunghezza della corda:

SONO PERMESSE SOLTANTO ALCUNE BEN DETERMINATE FREQUENZE

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• Solo le onde STAZIONARIE possono raggiungere valori di ampiezza che le rendono percettibili al nostro udito(questo perché solo onde di definita frequenza possono entrare in risonanza con il mezzo in cui si propagano)

• Quanto visto spiega perché l’orecchio umano èparticolarmente sensibile intorno ai 3 kHz.Infatti il meato acustico è lungo circa 2.5 cm, e si configura come un tubo aperto da un lato e chiuso sul timpano.La lunghezza d’onda che corrisponde alla frequenza fondamentale vale:

λλλλ = 4 L = 10 cm, per cui:f = c/λλλλ = 34000 (cm/s)/10 cm = 3400 Hz

• Lo stesso risultato si può estendere a cavità di forma complicata:il ns spazio naso-buccale determina le caratteristiche dei suoni che emettiamo, e pronunciamo suoni diversi perchéfisicamente mettiamo in oscillazione punti diversi dello spazio,dunque generiamo armoniche diverse

• Su tali concetti si basa tutta l’acustica musicale. Noi percepiamo come piacevoli i suoni emessi contemporaneamente da due corde che hanno lunghezze che stanno tra loro in particolari rapporti (es: 1/2: accordo di ottava; 2/3: accordo di quinta, ecc.)Più sono presenti armoniche più è ricco il timbro del suono, piùle armoniche tra due note all’unisono sono uguali più il risultato è piacevole (non si hanno battimenti).

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Effetto Doppler(sorgente sonora in moto rispettoall’osservatore)

La frequenza percepitadall’osservatore (f) è diversa daquella emessa dalla sorgente (f0)

Sorgente in quiete (f0)

Sorgente in avvicinamento (f>f0) Sorgente in allontanamento (f<f0)

Effetto DopplerUn osservatore in moto relativo rispetto a una sorgente di onde sonore percepisce il suono con una frequenza f diversa da quella f0emessa dalla sorgente.Nel caso di osservatore in quiete e sorgente in moto, lo scostamento in frequenza ∆∆∆∆f = f - f0, denominato Doppler shift, èdato da:

dove c è la velocità del suono nel mezzo e v la velocità relativa della sorgente rispetto all’osservatore.

Il segno + (frequenza percepita maggiore di quella della sorgente) si ha per sorgente in avvicinamento.Il segno - (frequenza percepita minore di quella della sorgente) si ha per sorgente in allontanamento.

∆f ==== ±±±±

2v

cf0

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Se la direzione del movimento relativo non è parallela a quella del percorso acustico, il Doppler shift è dato da:

dove θθθθ è l’angolo tra la direzione del moto ed il percorso acustico

∆f ====

2v

cf0 ⋅⋅⋅⋅ cosθ

θθθθ

Direction of sound