Паралельність прямих і площин

у просторі

Паралельність прямої і площини

1. Пряма лежить в площині.

2. Пряма і площина мають одну спільну точку, тобто

перетинаються.

3. Пряма і площина не мають спільних точок.

Можливі випадки взаємного

розташування прямої і площини:

Пряма і площина називаються паралельними, якщо

вони не мають спільних точок.

Позначення: 𝑎||𝛼.

Означення

Якщо пряма, що не лежить в даній площині,

паралельна якій-небудь прямій, яка лежить в цій

площині, то вона паралельна даній площині.

Ознака паралельності прямої і площини

Нехай 𝑏 ∈ 𝛼, 𝑎 ∉ 𝛼, 𝑎||𝑏.

Доведемо, що 𝑎||𝛼.

Нехай це не так, тоді 𝑎∩𝛼≠∅,𝑎||𝑏.

⇒ 𝑏 ∩ 𝛼 ≠ ∅ - протиріччя.

А отже 𝑎||𝛼.

Якщо одна з двох паралельних прямих паралельна

даній площині, то друга пряма або також паралельна

даній площині, або лежить в цій площині.

Теорема

Нехай 𝑎||𝛼, 𝑎||𝑏.

Якщо 𝑏 ∩ 𝛼 ≠ ∅, то 𝑎 ∩ 𝛼 ≠ ∅ -

протиріччя.

А отже або 𝑏||𝛼 або 𝑏 ∈ 𝛼.

Якщо площина проходить через пряму, яка

паралельна другій площині, і перетинає цю площину,

то пряма перетину площин паралельна даній прямій.

Теорема

Маємо 𝑎||𝛼,𝑎 ∈ 𝛽,𝛼 ∩ 𝛽 = 𝑏.

Доведемо, що 𝑏||𝑎.

Теорема

Треба довести, що:

1. прямі лежать в одній площині;

2. прямі не перетинаються.

1. 𝑎 ∈ 𝛽,𝑏 ∈ 𝛽.

2. Якщо 𝑎 ∩ 𝑏 = 𝑋, то 𝑎 ∩ 𝛼 = 𝑋 -

протиріччя. Отже 𝑎 ∩ 𝑏 = ∅.

Тому 𝑎||𝑏.

Якщо пряма паралельна до двох площин, які

перетинаються, то вона паралельна і до прямої

перетину цих площин.

Наслідок

Наслідок

Нехай 𝑎||𝛼, 𝑎||𝛽,𝛼 ∩ 𝛽 = 𝑏.

Доведемо, що 𝑏||𝑎.

Розглянемо т. 𝐴 ∈ 𝑏, тоді 𝐴 ∉ 𝑎.

Проводимо площину 𝛾 = (𝑎, 𝐴).

Нехай 𝛼∩𝛾=с1𝛽∩𝛾=с2

Тоді с1||𝑎с2||𝑎

і т. 𝐴 ∈ с1т. 𝐴 ∈ с2

Отже через одну точку – дві прямі паралельні 𝑎.

с1 ≡ с2 ≡ 𝑏 ⇒ 𝑏||𝑎.

Через будь-яку точку простору, що не

лежить в даній площині можна

провести пряму, паралельна до цієї

площини.

Теорема

Така пряма буде не єдина.

Взагалі можна провести

безліч таких прямих.

1. Прямі 𝑎 і 𝑏 паралельні. Як розміщена пряма 𝑏 відносно

площини 𝛼, якщо пряма 𝑎 належить площині 𝛼?

2. Прямі 𝑎 і 𝑏 паралельні. Як розміщена пряма 𝑏 відносно

площини 𝛼, якщо пряма 𝑎 перетинає площину 𝛼?

3. Прямі 𝑎 і 𝑏 паралельні. Як розміщена пряма 𝑏 відносно

площини 𝛼, якщо пряма 𝑎 паралельна площині 𝛼?

4. Точка 𝐴 не належить площині 𝛼. Скільки існує прямих, які

проходять через точку 𝐴 і паралельні площині 𝛼?

Задачі:

1. Паралельна або належить.

2. Перетинає.

3. Паралельна або належить.

4. Безліч.

Відповіді: