Міністерство освіти і науки України ...test.teacherjournal.in.ua/attachments/article/3890/Gusak... · 2017-09-10 · крок за кроком (методичний

Міністерство освіти і науки України

Хмельницька середня загальноосвітня

школа І – ІІІ ступенів № 14

Вивчаємо алгебру

крок за кроком

(методичний посібник для 7 класу

за новою програмою)

Тема 1. Цілі вирази

Гусак Ганна Вікторівна –

вчитель математики вищої категорії

Хмельницької ЗОШ № 14

Хмельницький – 2015

Автор - укладач : Г.В.Гусак – вчитель математики вищої категорії Хмельницької

загальноосвітньої школи І – ІІІ ступенів № 14

Рецензенти :

Т.М.Кисіль, доцент кафедри прикладної математики та соціальної інформатики

Хмельницького національного університету, кандидат фізико – математичних наук;

Л.В.Гринчук., методист математики Хмельницького обласного інституту

післядипломної педагогічної освіти.

Ухвалено науково – методичною радою Хмельницького обласного інституту

післядипломної педагогічної освіти (протокол № 5 від 24.12.2015 року)

Гусак Г.В. Вивчаємо алгебру крок за кроком . Методичний посібник для 7 класу

за новою програмою/ Г.В. Гусак. – Хмельницький, 2015

Методичний посібник створений на основі досвіду роботи з учнями та

призначений для учнів 7 класів та вчителів математики загальноосвітніх

навчальних закладів.

Матеріали посібника відповідають Державному стандарту базової і повної

середньої освіти, новій програмі з математики з урахуванням змін до неї. Наведені

матеріали подані у чітко структурованому вигляді, що дає можливість посилити

сприйняття навчальної інформації, активізує її творче осмислення, сприяє більш

глибокому засвоєнню знань. Запропонований посібник стане надійним помічником

як вчителю, так і учням та їх батькам.

Гусак Г.В.,текст 60.

С

Зміст Передмова…………………………………………………………………………..…..4

Цілі вирази. Вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки

учнів…………………………………………………………………………………..5-6

Цілі раціональні вирази. Вирази зі змінними. Числове значення

виразу…………………………………………………………………………...…...7-13

Тотожність. Тотожні перетворення виразів………………………………..…....13-17

Степінь з натуральним показником. Властивості степеня…………………......18-23

Одночлен. Стандартний вигляд одночлена. Дії з одночленами……..................23-27

Многочлен. Стандартний вигляд многочлена. Дії з многочленами……….......27-35

Розкладання многочленів на множники……………………………………........35-37

Формули скороченого множення. Різниця квадратів двох виразів…………....37-45

Формули скороченого множення. Квадрат двочлена………………...................46-52

Застосування розкладання на множники до розв’язування

рівнянь……………………………………………………………………………...53-58

Список використаної літератури……………………………………………….........59

4

Передмова

Зміст посібника відповідає новій програмі з математики «Математика.

Навчальна програма для учнів 5 – 9 класів загальноосвітніх навчальних закладів»

(авт.. М. Бурда, Ю. Мальований, Є. Нелін, Д. Номіровський, А. Паньков, Н.

Тарасенкова, М. Чемерис, М. Якір) з урахуванням змін до навчальних програм

(наказ № 585 Міністерства освіти і науки України від 29.05.2015). Матеріали

посібника призначені для вчителів, які викладають алгебру у 7 класі та учнів, які

навчаються у 7 класі і роблять перші кроки до вивчення алгебри.

Навчальний матеріал згрупований за програмними темами і поданий у вигляді

алгоритмів, схем, таблиць, малюнків. Також в посібнику подано понятійний

матеріал в повному об’ємі, наведена значна кількість прикладів, розглянуті зразки

розв’язування вправ. Методичні рекомендації та коментарі стануть у нагоді

вчителям у підготовці до уроку та допоможуть учням систематизувати,

узагальнити, закріпити набуті знання та вміння, а також навчитися працювати

самостійно.

Кожна підтема містить теоретичний матеріал, змістовний ілюстративний

матеріал (схеми, таблиці і т. д.), відповідні вправи. Найважливіше виділено у

рубриці «Запам’ятай», а рубрика «Зверни увагу» містить корисні поради і

висновки, які випливають з алгоритмів розв’язування вправ та теоретичних

відомостей. З матеріалом, вивченим в попередніх класах або в попередніх підтемах

можна ознайомитись у рубриці «Пригадай!». Курсивом виділено терміни, основні

означення, правила. Матеріал з позначками «Поміркуй» та «Співстав і зроби

висновки» дає можливість посилити сприйняття навчальної інформації, активізує її

творче осмислення, сприяє більш глибокому засвоєнню знань, допомагає

прослідковувати наслідково – логічні зв’язки, самостійно вивчати певні частини

теми, робити висновки. Корисними є інформація з історії виникнення понять у

рубриці «Цікаво знати» та цікаві вправи з позначкою «Перевір себе».

Запропонований посібник стане надійним помічником як вчителю, так і

учням та їх батькам.

5

Тема. Цілі вирази

Вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів :

Наводить приклади :

– числових виразів;

– виразів зі змінними;

– одночленів;

– многочленів Пояснює:

– як знайти числове значення виразу зі

змінними при заданих значеннях змінних ;

- що таке: тотожні вирази;

– тотожне перетворення виразу;

– одночлен стандартного вигляду;

– коефіцієнт

Формулює : означення:

– одночлена;

– степеня з натуральним показником;

– многочлена;

– подібних членів многочлена;

– степеня многочлена властивості

– степеня з натуральним показником правила:

– множення одночлена і многочлена;

– множення двох многочленів Записує і обґрунтовує :

– властивості степеня з натуральним

показником;

– формули скороченого множення

6

Розв’язує вправи, що передбачають :

– обчислення значень виразів зі змінними;

– зведення одночлена до стандартного вигляду;

– перетворення добутку одночлена і многочлена у

многочлен;

– перетворення суми многочленів у многочлен;

– перетворення різниці многочленів у многочлен;

– перетворення добутку двох многочленів у многочлен;

– розкладання многочленів на множники способом

винесення спільного множника за дужки;

– розкладання многочленів на множники способом

групування;

– розкладання многочленів на множники за формулами

скороченого множення;

– розкладання многочленів на множники із

застосуванням кількох способів;

– використання зазначених перетворень у процесі

розв’язування рівнянь і доведення тверджень.

Алгебра (основні змістовні

лінії) числа

вирази

рівняння і

нерівності

задачі

функції

7

Цілі раціональні вирази. Вирази зі

змінними. Числове значення виразу

Числовий вираз – це математичний запис, що складається з чисел,

знаків дій і дужок.

Приклади числових виразів :

2,34 ; 45 : ( - 9 ) + 0,6 • 1,8 ; ( 31

3+

2

7) : 4,5 ;

4 −1,5

72+1 ; 35 – 8 : 0; 19.

Вираз зі змінними (буквений вираз) – це математичний

запис,що складається з чисел, змінних, знаків дій і дужок.

Приклади виразів зі змінними :

5х + 8 ; – с; (5у – 9)3 + 12р; 8с

4х−3 ;

1

8ху.

Вирази

числові зі змінними

(буквені)

Раціональні

алгебраїчні вирази

цілі дробові

8

Раціональний алгебраїчний вираз – це вираз, який складається з

чисел, змінних і не містить ніяких інших дій, крім додавання,

віднімання, множення, ділення і піднесення до степеня.

Цілий вираз - це раціональний вираз, який не містить ділення на

вираз із змінною.

Дробовий вираз – це раціональний вираз, який містить ділення на

вираз зі змінними.

(Оскільки, згідно вимог до рівня загальноосвітньої підготовки учнів,учень

повинен наводити приклади числових виразів і виразів зі змінними, тобто

вміти розрізняти їх, то доцільними є вправи виду : «Який із записів є виразом,

а який – ні», «Серед наведених виразів вкажіть вирази зі змінними»,

«Прочитайте вирази і випишіть окремо цілі та дробові вирази», «Складіть

числовий вираз, що містить одну (дві або більше дій)» )

Значенням числового виразу називається число, яке отримаємо в

результаті виконання всіх дій в числовому виразі.

Щоб знайти значення числового виразу, потрібно :

1. З'ясувати,дії яких ступенів містить вираз.

2. Визначити порядок виконання дій.

3. Виконати зазначені дії, дотримуючись відомих

правил.

9

(Перш, ніж приступати до обчислення значень виразів, - необхідно

пригадати основні правила дій з натуральними числами,

звичайними дробами, десятковими дробами та обчислення

степенів)

Зверни увагу !

▲ Числовий вираз показує,яку арифметичну дію (дії) потрібно

виконати над числами, але не показує результату цієї дії (дій).

▲ Дужки у виразі змінюють порядок виконання дій.

▲ Числовий вираз має єдине значення, або не має значення.

▲ Числовий вираз не має значення ( не має змісту), якщо він містить

ділення на нуль.

▲ Здебільшого, назва виразу визначається за назвою результату дії,

яка при знаходженні значення виразу виконується останньою.

Приклад 1

Прочитати вираз :

а) (125 + 83) : (23 – 9). Оскільки у даному випадку остання дія ділення, а її результатом є частка, то

заданий вираз можна прочитати так : частка суми чисел 125 і 83 та різниці чисел

23 і 9.

Оскільки частку чисел можна ще вважати відношенням, то заданий вираз можна

прочитати так : відношення суми чисел 125 і 83 та різниці чисел 23 і 9.

Алгебраїчні дії

першого ступеня

другого ступеня

третього ступеня

додавання,

віднімання множення,

ділення

піднесення

до степеня

10

б) 13,2 • 0,2 + 25 – 69 . У цьому виразі остання дія віднімання, а її результатом є різниця, то даний вираз

можна прочитати так : різниця суми добутку чисел 13,2 і 0,2 з числом 25 та числа

63.

(Подібні вирази учням зручніше читати, використовуючи слова «до»

та «від». Наприклад, до добутку чисел 13,2 і 0,2 додати число 25 та

відняти число 63.)

Приклад 2

Знайти значення числового виразу :

а) 9,6 : 0,3 • 5 = 96 : 3 • 5 = 32 • 5 =160.

Цей вираз містить лише дії другого ступеня, тому вони

виконуються за порядком написання зліва направо. б) 32 • 2,2 – 75 : 1,5 = 9 • 2,2 – 75 : 1,5 = 19,8 – 750 :15 = 19,8 – 50 = – 30,2.

Розглянутий вираз містить дії трьох ступенів, тому спочатку

виконують дію третього ступеня ( піднесення до степеня), потім

дії другого ступеня ( множення і ділення по порядку зліва направо),

а після цього – дію першого ступеня – віднімання . в) (325 : 25 + 12) : ( 24 :3 – 23 ) = (13 + 12) : (8 – 8) = 25 : 0.

Отже, щоб знайти значення заданого виразу, потрібно 25 поділити

на нуль. А це зробити неможливо. Тому значення цього виразу

знайти не можна, цей вираз не має змісту.

Співстав і зроби висновки

30 : 6 + 8 – 16 ; 30 : (6 + 8 – 16) ; 30 : 6 + (8 – 16)

♦ Чим відрізняються записані вирази?

♦ Чи залежить значення числового виразу від наявності дужок і того, як вони

розставлені?

♦ Знайдіть значення виразів і порівняйте їх.

30 : 6 + 8 – 16 = 5 + 8 = 13; 30 : (6 + 8 – 16) = 30 : (14 – 16) = 30 : ( - 2 ) = ( - 15 );

11

30 : 6 + (8 – 16) = 5 + ( - 8 ) = - 3. Отже, 30 : 6 + 8 – 16 ≠ 30 : (6 + 8 – 16) ≠ 30 : 6 + (8 – 16) ; 13 > (- 3 )> ( - 15).

( Вправи такого типу дають можливість додатково пригадати

правила порівняння раціональних чисел і підкреслюють значимість

правильності визначення порядку дій у виразах.)

Запам'ятай!

Числовим значенням виразу зі змінними називається число, яке

отримаємо в результаті виконання всіх дій в виразі після заміни

змінних відповідними числами.

Порядок виконання дій у виразах.

1. У виразі, що містить дії тільки одного ступеня, дії виконуються в

тому порядку, в якому вони записані ( зліва направо).

2. У виразі,що містить дії різних ступенів, дії виконуються від

старшого ступеня до нижчого.

3. У виразі з дужками, спочатку виконуються дії в дужках(за

визначеним порядком), а потім - інші дії за відомим порядком.

4. Якщо дужок кілька, то спочатку виконуються дії у внутрішніх

дужках.

5. Якщо вираз записаний у вигляді дробу, то спочатку окремо

знаходять значення чисельника і значення знаменника, а потім

– значення чисельника ділять на значення знаменника.

Щоб знайти значення виразу зі змінними потрібно :

1. Замість змінних, що входять до виразу, підставити числа –

значення змінних.

2. Обчислити значення отриманого числового виразу за відомим

правилом.

12

Приклади

а) Знайти значення виразу 3а + 5, якщо а = 1; 2; 3; ( - 4).

б) Знайти значення виразу 2( 𝑎 + 𝑏) для заданих значень змінних.

в) Знайти значення виразу 12+с

с−3 , якщо с = 0; 5; 3.

Якщо с = 0, то 12+с

с−3 =

12+0

0−3 =

12

−3 = - 4;

якщо с = 5, то 12+с

с−3 =

12+5

5−3 =

17

2 = 8,5;

якщо с = 3, то 12+с

с−3 =

12+3

3−3 =

15

0 - вираз не має змісту.

Будь – яке значення змінної, для якого вираз можна обчислити, є

допустимим значенням змінної для цього виразу.

Значення змінної, для якого вираз не можна обчислити (вираз не має

змісту), є недопустимим значенням змінної для цього виразу.

Усі значення змінної допустимі для даного виразу утворюють

область допустимих значень цього виразу (ОДЗ).

В останньому прикладі допустимими є всі значення змінних, крім с = 3. Можна

записувати так : ОДЗ : с ≠ 3.

Зверни увагу ! ▲ Значення виразу зі змінними залежить від значення змінних,

що до нього входять.

▲ Якщо для всіх допустимих значень змінних,вираз набуває

одного і того ж значення, то кажуть, що значення виразу не

залежить від значення змінної.

13

▲ Якщо для деякого значення змінної отримали ділення на нуль,

то такий вираз не має змісту, а це значення змінної є

недопустимим для даного виразу.

▲ Для цілого виразу ОДЗ кожної змінної – будь – яке число.

▲ Алгебраїчна сума складається з числових і буквених

виразів,з’єднаних знаками «+» та « - ». Тому вираз виду ( с – у )

можна називати сумою, враховуючи, що с – у = с + ( - у).

Тотожність. Тотожні перетворення

виразів

Числова рівність – два числові вирази, які з’єднані знаком «=».

Рівність правильна, якщо значення її лівої і правої частини одне і

те ж число.

Тотожно рівні (тотожні) вирази – два вирази, відповідні

значення яких рівні при будь – яких значеннях змінних.

Два тотожно рівні вирази, сполучені знаком рівності утворюють

тотожність.

Тотожність – це рівність, яка є правильною, для всіх значень

змінних, що до неї входять.

Заміна виразу тотожним йому виразом називають тотожним

перетворенням виразу.

Тотожні перетворення виразів лежать в основі спрощення

виразів, тобто зведення виразів до більш зручного (простішого)

вигляду.

14

Приклади тотожностей

Відповідні рівності (для будь – яких а, b, c)

Переставна властивість додавання і

множення

a + b = b + a

ab = ba

Сполучна властивість додавання і

множення

(a + b) + c = a + (b + c)

(ab) c = a (bc)

Розподільна властивість відносно

додавання і віднімання

a (b + c) = ab + ac

a (b – c) = ab – ac

Основні правила розкриття дужок

a + (b + c) = a + b + c ;

a + (b – c) = a + b – c ;

a – (b + c) = a – d – c ;

a – (b – c) = a – b + c.

Віднімання раціональних чисел

a – b = a + (– b)

Множення раціональних чисел a · (– b) = – ab

(– a) · (– b) = ab

Окремі випадки дій над раціональними

числами

a + 0 = a ; a · 0 = 0 ; a · 1 = a

Додавання протилежних чисел

a + (– a) = 0

Пригадай

♦ Щоб звести подібні доданки, потрібно додати їх

коефіцієнти і результат помножити на спільну

буквену частину.

Приклади тотожних

перетворень виразів

властивості

арифметичних дій

закони

арифметичних

дій

розкриття

дужок

зведення

подібних

доданків

15

1.

2.


▲ Перевіряючи вирази зі змінними на тотожну рівність,

спочатку потрібно переконатися, що їх ОДЗ збігаються.

▲ Подібні доданки, в яких коефіцієнти є протилежними

числами, взаємно знищуються.

Якщо невідомо чи рівність є тотожністю, то цю рівність перевіряють на

правильність, тобто доводять тотожність або спростовують її.

Довести тотожність – означає шляхом логічних міркувань встановити,

що дані два вирази (у лівій і правій частині рівності) є тотожно рівними.

Розпочинати доведення (чи спростування) тотожності бажано з перевірки

того, чи збігається ОДЗ змінних у виразах лівої і правої частин.

Правила розкриття дужок.

1.Щоб розкрити дужки , перед якими стоїть знак «+», потрібно опустити

дужки і всі доданки залишити зі своїми знаками.

2. Щоб розкрити дужки , перед якими стоїть знак « - », потрібно опустити

дужки і знаки доданків у дужках змінити на протилежні.

3. Щоб розкрити дужки , перед якими стоїть числовий множник або

множник зі змінними, потрібно цей множник помножити на кожний

доданок в дужках і результати додати.

16

Якщо збігається ОДЗ змінних у виразах лівої і правої частин, тоді

застосовують один з чотирьох способів доведення тотожностей.

Основні способи доведення тотожностей

*** Шляхом тотожних перетворень звести праву частину

рівності до лівої.

*** Шляхом тотожних перетворень звести ліву частину

рівності до правої.

*** Шляхом тотожних перетворень звести ліву і праву

частини рівності до одного й того ж виразу.

*** Утворюємо різницю правої та лівої частин, спрощуємо її

і порівнюємо результат з нулем.

Приклад 1

Довести тотожність:

а – 3 – ( 4а + 7 ) = – 3а – 10 .

Розв'язання:

Перетворюємо ліву частину рівності:

а – 3 – ( 4а + 7 ) = а – 3 – 4а – 7 = – 3а – 10 .

Розглянемо праву частину рівності:

– 3а – 10 .

Шляхом тотожних перетворень звели ліву частину рівності до правої.

Отже, рівність є тотожністю.

Приклад 2


15 = ( 27 – 5а ) – ( 12 – 3а – 2а ).

Розв'язання

Перетворюємо праву частину рівності:

( 27 – 5а ) – ( 12 – 3а – 2а ) = 27 – 5а – 12 + 3а + 2а = 15.

Розглянемо ліву частину рівності: 15 .

Шляхом тотожних перетворень звели праву частину рівності до лівої.


17

Приклад 3


2с + 3 – 2(3 – 2с) = 3(2с – 3) + 6 .



2с + 3 – 2(3 – 2с) = 2с + 3 – 6 + 4с = 6с – 3 .

Перетворюємо праву частину рівності:

3(2с – 3) + 6 = 6с – 9 + 6 = 6с – 3 .

Шляхом тотожних перетворень звести ліву і праву частини рівності до одного

і того ж виразу 6с - 3.


Приклад 4


3х – 2(2х – 3у) = 2х + 3(2у – х) .


Утворюємо різницю лівої і правої частин рівності і спростимо її:

3х – 2(2х – 3у) – (2х + 3(2у – х)) = 3х – 2(2х – 3у) – 2х – 3(2у – х) =3х – 4х +

6у – 2х – 6у + 3х = 0.

Різниця лівої і правої частин рівності дорівнює нулю (різницеве

порівняння) , тому ці частини є тотожно рівними виразами .



▲ Щоб спростувати правильність рівності зі змінними,

достатньо дібрати лише один набір значень змінних, за

яких ліва і права частина набувають різних значень.

18

Степінь з натуральним показником.

Властивості степеня

Степенем називається добуток кількох рівних множників.

Степінь числа а з натуральним показником n (n –ий степінь

числа а) – це добуток n однакових множників ( n>1), кожен з яких дорівнює а.

разівn

naaaaa ,...

Основа степеня – число , яке підносять до степеня .

або

Основа степеня – число , яке множать на себе n разів .

Показник степеня – число , яке показує , до якого степеня підносять основу.

або

Показник степеня – число , яке показує , скільки разів потрібно множити

основу на себе .

аn – степінь ,

а – основа ,

n – показник степеня .

24

читають обчислюють складається з

«два в четвертому

степені»

або

«четвертий степінь

числа два»

24 = 2 ۰ 2 ۰2 ۰2 основа – 2;

показник - 4

19

Перевір себе !

Продовжити ряд:

« Сім у квадраті» 72 = 7 ۰ 7 7 – основа 2 - показник

«Шість у кубі» …. …. ….

…. 85 = 8 ۰8۰8۰8۰8 …. ….

…. .... 4 – основа 4 – показник

Обчислення значення степеня є арифметичною дією, яку називають

піднесення до степеня.

«а в другому степені»

« а

в квадраті»

«другий степінь

числа а»

«квадрат

числа а» читають

а2

«а в третьому

степені»

« а

в кубі»

«третій степінь числа а»

«куб числа а»

а3

читають

20


▲ Піднесення до степеня – дія третього ступеня.

▲ У виразах, що містять степені, спочатку виконують

піднесення до степеня, потім – множення і ділення, потім –

додавання і віднімання.

▲ Не плутайте слова «степінь» і « ступінь». «Степінь»

розуміють як вираз виду аn, який є добутком; « ступінь» розуміють

як дію певного порядку.

Властивості степенів

***** Щоб помножити степені з однаковими основами, потрібно основу

залишити без змін, а показники степенів додати.

с𝟐 ∙ с = с𝟐+𝟏 = с𝟑; 𝟎, 𝟐𝟓 ∙ 𝟎, 𝟐𝟖=𝟎, 𝟐𝟓+𝟖 = 𝟎, 𝟐𝟏𝟑;

(𝟑

𝟓)𝟒 ∙ (

𝟑

𝟓)𝟑 = (

𝟑

𝟓)𝟕

Властивості степенів

аn ∙ аm = аn + m ; аn : аm = аn – m , n > m ; а ≠ 0

(аn) m = аn m ; (аb)n = аn ∙ bn ;

n

nn

c

a

c

a)( , с0 ;

21

***** Щоб поділити степені з однаковими основами (при умові, що показних

діленого більший показника дільника), потрібно основу залишити без змін, а

показники степенів відняти.

у𝟓: у𝟐=у𝟓−𝟐 = у𝟑; (−𝟑)𝟗 : (−𝟑)𝟑 = (−𝟑)𝟗−𝟑 = (−𝟑)𝟔 ;

(𝟏

𝟐)𝟖 : (

𝟏

𝟐) = (

𝟏

𝟐 )𝟖−𝟏 = (

𝟏

𝟐)𝟕

***** Щоб піднести степінь до степеня, потрібно основу залишити без змін,

а показники степенів перемножити.

(х3)6= х3•6=х18 ; (27)5= 235 ; ( (𝟐

у)𝟓) 2= (

𝟐

у)𝟏𝟎

***** Щоб піднести добуток до степеня, потрібно кожний множник

піднести до цього степеня і результати перемножити.

(ху)4 = х4 • у4 ; (5с)2 = 52 • с2 = 25с2 ; ( 3 • 4)3 = 33 • 42

***** Щоб піднести дріб до степеня при умові, що знаменник не дорівнює

нулю, потрібно піднести до цього степеня і чисельник, і знаменник, і

результати записати відповідну у чисельник і знаменник.


▲ Дії другого ступеня зі степенями з однаковими основами

зводяться до відповідних дій першого ступеня з їх показниками :

- множення степенів – до додавання їх показників;

- ділення степенів – до віднімання їх показників.

22

▲ Дія третього ступеня зі степенями зводиться до

відповідних дій другого ступеня:

- піднесення степеня до степеня - до множення двох показників;

- піднесення до степеня добутку – до множення степенів

множників;

- піднесення до степеня частки (дробу) – до ділення степенів

діленого і дільника (чисельника і знаменника).

У тотожностях, що виражають властивості степенів, ліву і праву частини

можна міняти місцями. Тобто, розглянуті властивості можна

використовувати,як в прямому, так і в зворотному вигляді.

Запам'ятай! ▲ У виразі (аn)m n і m називаються відповідно внутрішнім і

зовнішнім показниками.

▲ Перший степінь будь – якого числа є саме це число.

▲ 0 у будь – якому степені з натуральним показником дорівнює 0.

▲ Будь – який натуральний степінь числа 1 дорівнює 1.

▲Вважають,що а0 = 1, а≠0.

▲ Нульовий степінь нуля не визначається.

▲( -1) в парному степені дорівнює 1, а (-1) в непарному степені

дорівнює (-1).

а1 = а ; а0 = 1 ; 1n = 1; 0n = 0; (- 1)2n = 1 і ( - 1)2n – 1 = - 1 .

Якщо а ≥ 0 , то аn ≥ 0 .

Якщо а < 0 , то а2n > 0 і a2n – 1 < 0 .

23

Зверни увагу ! ▲ Якщо значення степеня з натуральним показником дорівнює

нулю,то основа степеня дорівнює нулю. Якщо аn = 0, то а = 0. ▲ Будь – який натуральний степінь додатного числа – число додатне,

тобто, аn > 0, якщо а > 0, n – натуральне число.

▲ Будь – який парний натуральний степінь від’ємного числа – число додатне,

тобто, аn > 0, якщо а ˂ 0, n = 2k, k – натуральне число.

▲ Будь – який непарний натуральний степінь від’ємного числа – число

від’ємне , тобто, аn ˂ 0, якщо а ˂ 0, n = 2k – 1 , k – натуральне число.

▲ Якщо а – додатне число, то аn – додатне число за будь – якого n, а ( - аn) –

від’ємне число за будь – якого n.

▲ (-а)n – степінь числа,протилежного до а; але ( - аn) – число, протилежне до

степеня числа а.

▲ Степені протилежних чисел рівні, якщо показники рівні і парні, та

протилежні, якщо показники рівні і непарні.

Приклади

Одночлен. Стандартний вигляд

одночлена. Дії з одночленами

Одночлен – цілий вираз, що є добутком чисел, змінних та їх

натуральних степенів.

Наприклад:

24

Одночлен стандартного вигляду – це одночлен, який містить тільки

один числовий множник, відмінний від нуля, який стоїть на першому місці, а

усі інші множники є степенями різних змінних.

Числовий множник одночлена стандартного вигляду називають

коефіцієнтом одночлена.

Степінь одночлена кількох змінних – це сума показників всіх змінних, що

входять до нього.

Цікаво знати

Найпростіші

одночлени

самі числа

змінні

степені чисел

або натуральні

степені змінних

5; – 3 ; 0,9 ; −𝟔

𝟏𝟏

с; – р; х

73; - 56; у8; (- с)4

Стандарт

standart (англ..)

норма зразок

об’єкт, який

береться за

основу. Для

співставлення з

іншими,

подібними йому

25


▲ Одночлен стандартного вигляду,який складається лише з

буквених множників, має коефіцієнт 1.

▲ Знак «мінус» перед одночленом стандартного вигляду,який

складається лише з буквених множників, вказує на коефіцієнт ( -

1).

▲ Число нуль, а також одночлени,які тотожно дорівнюють нулю (0х; 0рс і

т.д.), називають нуль – одночленами. Їх не відносять до одночленів

стандартного вигляду.

▲ Нуль – одночлен степеня не має, тобто степінь такого одночлена не

визначений.

▲ Якщо одночленом є число, відмінне від нуля, або степінь числа, то степінь

такого одночлена дорівнює нулю.

Приклади

В одночлена 8сх4у3 сума показників усіх змінних становить : 1 + 4 + 3 = 8.

Отже, 8сх4у3 – одночлен восьмого степеня. Коефіцієнт цього одночлена 8.

Одночлен (– mn) є одночленом другого степеня (1 + 1 = 2) з коефіцієнтом ( -1).

Одночлен 6 має нульовий степінь і коефіцієнт 6.


▲ В одночлені стандартного вигляду степені з різними

основами записуються в алфавітному порядку їх основ.

▲ Найпростіші одночлени відносяться до одночленів


▲ Одночлени, які мають однакові буквені частини, є подібними.

▲ До подібних одночленів також відносяться і числа.

Приклади

;

В одночленів буквені частини не

однакові, хоча й складаються з тих самих змінних. Тому вони не є подібними.

26

Перетворення, внаслідок якого з даного одночлена отримують одночлен

стандартного вигляду, називають зведенням одночлена до стандартного

вигляду.

Приклади

Щоб перемножити одночлени, потрібно перемножити окремо ٭٭٭

їхні коефіцієнти і окремо степені відповідних змінних, а потім

результати перемножити.

Щоб піднести одночлен до степеня, потрібно піднести до цього ٭٭٭

степеня кожний множник і отримані результати перемножити.

Алгоритм зведення одночлена до стандартного вигляду

1. Перемножити числа, що входять до нього, отримавши єдиний

числовий множник (коефіцієнт).

2. Добутки однакових змінних замінити степенями з відповідними

основами.

3. Приписати до отриманого числового множника кожну змінну (або

відповідний степінь) по одному разу в алфавітному порядку

змінних.

27

Зверни увагу ! ▲ Добутком будь – яких одночленів є одночлен стандартного

вигляду.

▲ Натуральним степенем будь – якого одночлена є одночлен.

▲ При множені одночленів використовують властивості дії

множення та властивості степенів.

▲ При піднесенні одночлена до степеня використовують

властивості степенів.

Запам'ятай! ▲ З одночленами можна виконувати дії всіх трьох

ступенів.

▲ Подібні одночлени додають за правилом зведення

подібних доданків.

▲Додпвання одночленів підкоряється переставному і

сполучному законам.

▲ Сума подібних одночленів е одночленом, подібним одночленам

доданків.

▲ сума неподібних одночленів не є одночленом.

Многочлен. Стандартний вигляд

многочлена. Дії з многочленами

Многочленом називається сума кількох одночленів.

Одночлени, з яких складається многочлен, називаються членами

многочлена.

Члени многочлена, що мають однакову буквену частину,

називаються подібними членами.

Заміна суми подібних членів одним одночленом називається

зведенням подібних членів.

28

Пригадай ♦ Щоб звести подібні доданки. Потрібно додати їх

коефіцієнти і результат помножити на спільну буквену

частину.

Окремі види

многочленів

одночлени двочлени тричлени

два доданки

три доданки

сm + ху; 2р – 3 t

2х2 – 6х + ср ;

3у3 + ху – 5х2у

7х2у ; - bmn ; 5

29

Цікаво знати

многочлен

(інша назва)

поліном

πολυ

( грец.) nοmen

(лат.) +

багато назва

одночлен


моном

mοnος

( грец.)

nοme ( грец.)

один частина

( член)

+

двочлен


біном

bis

(лат.) +

nοmen (лат.)

двічі назва

30

Многочлен стандартного вигляду – це многочлен, який складається з

одночленів стандартного вигляду, серед яких немає подібних.

Степенем ненульового многочлена стандартного вигляду

називають найбільший зі степенів одночленів, з яких цей многочлен

складений, якщо його зведено до стандартного вигляду.

Запам'ятай !

▲ Число нуль, а також многочлени, що тотожно

дорівнюють нулю ( 0х + 0у; р – р і т. д.)називають нуль

– многочленами. Їх не відносять до многочленів стандартного

вигляду.

▲ Нуль – многочлен степеня не має.

▲ Степенем довільного многочлена називають степінь тотожно

рівного йому многочлена стандартного вигляду.

Алгоритм зведення многочлена до

стандартного вигляду 1. Записати кожний член многочлена у стандартному

вигляді.

2. Звести подібні доданки, якщо вони є.

31

Зверни увагу ! ▲ Члени многочлена можна записувати в довільній

послідовності.

▲ Для многочленів стандартного вигляду, які містять одну змінну,

члени упорядковують за зростанням або спаданням показників

степенів цієї змінної.

▲ Будь – який многочлен є цілим виразом. Але не кожний цілий

вираз є многочленом.

Це не многочлени, оскільки вони не є сумою одночленів.

Пригадай ♦ Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак «плюс»,

потрібно дужки опустити, знак «плюс» опустити, а знаки всіх

чисел в дужках залишити без змін.

♦ Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак «мінус», потрібно дужки

опустити, знак «мінус» опустити, а знаки всіх чисел в дужках змінити на

протилежні.

Алгоритм додавання (віднімання) многочленів

1. Взяти многочлени – доданки в дужки, поставивши між ними знак

«плюс» ( « мінус» ).

2. Розкрити дужки за відповідним правилом.

3. Звести подібні доданки в утвореному виразі.

32


▲ Щоб записати многочлен у вигляді суми або різниці

кількох многочленів слід пам’ятати, що знаки членів

многочлена, взятого в дужки не змінюються, якщо перед

дужками стоїть «плюс», і змінюються на протилежні,

якщо перед дужками ставлять знак « мінус».

▲ Щоб змінити знаки членів многочлена, який стоїть у дужках, на

протилежні, потрібно змінити на протилежний знак, що стоїть

перед дужками.


▲ В результаті додавання або віднімання будь – яких

многочленів отримуємо многочлен стандартного вигляду٭

33

Щоб помножити одночлен на многочлен, потрібно помножити٭٭٭

одночлен на кожний член многочлена і отримані добутки додати.


▲ Множення одночлена на многочлен виконується на основі

розподільного закону множення відносно додавання ( віднімання)

▲ Правило знаходження добутку одночлена і многочлена можна вважати

правилом розкриття дужок, перед якими стоїть множник.

▲ Результатом множення многочлена на одночлен є многочлен


▲ При перетворенні добутку одночлена і многочлена у многочлен проміжні

записи можна пропускати.

Поміркуй та проаналізуй результати

34

(Запропонована вправа дає можливість прослідкувати логічний

зв'язок між множенням одночлена на многочлен з множенням

многочленів).

Щоб помножити многочлен на многочлен, потрібно кожний٭٭٭

член одного многочлена помножити на кожний член іншого

многочлена і отримані добутки додати.


▲ Щоб знайти добуток трьох і більше многочленів,потрібно

помножити два многочлени, а потім знайдений добуток

помножити на третій многочлен і т. д.

▲ Якщо добуток многочленів стоїть після знаку «мінус», то

потрібно спочатку перемножити многочлени, взявши отриманий

добуток в дужки, а потім відкрити дужки, перед якими стоїть

знак « мінус».

35


▲ Добуток будь – яких многочленів є многочленом стандартного

вигляду.

▲ За правилом множення многочленів можна перетворювати на

многочлен стандартного вигляду добуток будь – якої кількості

многочленів.

▲ При піднесенні многочлена до степеня потрібно спочатку

перетворити степінь на добуток.

▲ Якщо у виразі є інші дії над многочленами, окрім множення

многочленів або їх степенів, то перетворення такого виразу на

многочлен стандартного вигляду виконується за відомими

правилами про порядок виконання дій у виразах.

Розкладання многочленів на множники Розкладанням многочлена на множники називається заміна його

добутком кількох множників, тотожним даному многочлену.


▲ Розкласти многочлен на множники означає подати його у

вигляді добутку одночлена на многочлен або добутку кількох

многочленів, щоб цей добуток був тотожно рівний даному

многочлену.

Основні способи розкладання

многочленів на множники

Винесення спільного

множника за дужки

Спосіб групування

Використання формул

скороченого множення

Застосування кількох

способів

36


▲ Щоб запобігти помилкам, слід враховувати, що

кількість доданків (членів) у виразі в дужках має співпадати

з кількістю доданків (членів) початкового виразу.

▲ Винесення спільного множника за дужки виконується на

основі розподільного закону множення відносно додавання

(віднімання).

▲ Многочлен, який виноситься за дужки, обов’язково береться в

дужки.

▲ Для винесення спільного множника за дужки потрібно вміти

записати кожний член многочлена у вигляді добутку спільного

множника і відповідного одночлена.

Винесення спільного множника за дужки виконується за таким

правилом:

1. Спільний числовий множник є найбільшим спільним дільником

(НСД) коефіцієнтів доданків.

2. Спільний буквений множник (змінна або многочлен) виноситься з

меншим показником.

Щоб винести спільний множник за дужки достатньо :

1. Утворити спільний множник за попереднім правилом.

2. Поділити кожний доданок (член) даного многочлена на спільний

множник і скласти суму з отриманих результатів (вираз у дужках).

3. Помножити спільний множник на отриманий вираз.

37

Запам'ятай! ▲ Потрібно утворювати такі групи членів,щоб вони

мали спільний множник.

▲ Після винесення у кожній групі спільного множника

за дужки має утворитися спільний множник для всіх

груп. Якщо такий множник не утворився, слід

повернутися і утворити нові групи.

Формули скороченого множення. Різниця

квадратів двох виразів

Пригадай

♦ Як можна записати добуток кількох однакових множників?

(у вигляді степеня)

♦ Подати у вигляді степеня:

Розкладання многочлена на множники способом групування

виконується за таким правилом:

1. Групуємо члени даного многочлена на вирази, що мають спільний

множник.

2. Виносимо за дужки спільний множник – одночлен у кожній групі.

3. Виносимо за дужки спільний множник – многочлен.

38

х·х = 13

1 · 1

3

1 =

5·5 = ( – 8 )·(– 8) =

0,2 · 0,2 = 8

5 ·

8

5 =

♦ Як ще можна назвати другий степінь числа? (квадрат)

♦ Прочитати словами вирази: а – b ; b2 ; 5 + а ; (1,5х)2 ; – 3 – у ; m2 – n2 .

♦ Проаналізувати вираз m2 – n2 за такою схемою:

*** прочитати словами даний вираз;

*** вказати кількість членів виразу;

*** яким виразом є кожний з доданків.

♦ Пригадати правило множення многочленів.

(Щоб помножити многочлен на многочлен, потрібно кожний член першого

многочлена помножити на кожний член другого многочлена і знайдені добутки

додати)

♦ Виконати множення за загальним правилом: (m – n)(m + n) = (а – 3)(а + 3) = (5 – х)(5 + х) =

Поміркуй та проаналізуй результати.

♦ Яку цікаву особливість помітили? Чи можливо ,на вашу думку, узагальнити ці

міркування,щоб використовувати у подібних вправах?

(Розгляд запропонованих вправ, що супроводжувався відтворенням вже

відомого алгоритму виконання, аналізом отриманих результатів,

корегуванням інформації та можливістю зробити відповідні висновки, дає

змогу активізувати мисленнєву та пізнавальну діяльність учнів і підводить до

усвідомлення необхідності вивчення теми в загальному і конкретної формули

зокрема.)

Важливо, щоб учні усвідомили, що множення за загальним правилом є

громіздким і займає багато часу. Існують групи виразів, множення яких можна

39

виконувати за спрощеною схемою. В таких випадках користуються формулами

скороченого множення.

Перемноживши двочлени (а – b) та (а + b), як вже виконували, за загальним

правилом :

(а – b)(a + b) = а2 – аb + аb – b2 = а2 – b2

і, записавши відповідну рівність, виключивши проміжні результати, отримуємо:

(а – b)(a + b) = а2 – b2

Співстав і зроби висновки

♦ Чи такого типу результати ми отримали в попередніх вправах?

♦ А чи правильними були ваші міркування щодо отриманої відповіді?

Дана рівність є формулою скороченого множення і називається

формулою різниці квадратів двох виразів.

(Оскільки, згідно вимог до рівня загальноосвітньої підготовки учнів, учень

повинен вміти не тільки записати, а й обґрунтувати формули скороченого

множення, то наведені міркування і логічні кроки на шляху до отримання

формули є досить доцільними. Обов’язково варто зазначити, що і в цій

формулі, і у всіх інших, а та b – це саме вирази, які можуть бути як

окремими числами та змінними, так і одночленами чи многочленами і не

тільки ( у 8 – 9 класах та в старшій школі будуть розглянуті ще й інші, нові

типи виразів))

Розглянуту формулу використовують як у прямому, так і у зворотному записі.

***** Добуток різниці двох виразів та їхньої суми дорівнює

різниці квадратів цих виразів. Приклади. 1) (х – у)(х + у) = х2 – у2 ;

2) (4 – р)(4 + р) = 42 – р2 ;

3) (2а – 6)(2а + 6) = (2а)2 – 62 = 4а2 – 36 .

(Варто зазначити, що результатом такого прямого перетворення є

многочлен. У зв’язку з цим, доцільними є вправи виду « Подати у вигляді

многочлена вираз», «Виконати множення двочленів»,Який многочлен є

результатом добутку» і т. д.)

40

***** Різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різниці і

суми цих виразів.

Приклади. 1) а2 – с2 = (а – с)(а + с) ;

2) 81 – у2 = 92 – у2 = (9 – у)(9 + у) ; 3) 16х2 – 9р2 = (4х)2 – (3р)2 = (4х – 3р)(4х + 3р).

(Результатом такого оберненого перетворення є добуток. Таке перетворення

є ні чим іншим, як розкладом многочлена на множники У зв’язку з цим,

доцільними є вправи виду « Подати у вигляді добутку вираз», «Розкласти на

множники двочлен» і т. д.)


Щоб запобігти помилкам, слід враховувати наступні властивості:

▲ Різниця квадратів двох виразів записується у тому ж порядку, в

якому записана різниця цих виразів.

(х + у)(у – х) = у2 – х2,

( помилковим буде запис: (х + у)(у – х) = х2 – у2.)

▲ Квадрати протилежних чисел рівні,

тобто (– а)2 = а2.

▲ Якщо вирази відрізняються знаком, то досить винести «мінус» за

дужки, щоб звести один з виразів до іншого.

– а – b = – (а + b) ;

– а + b= – (а – b) ;

а – b = – (b – а).

Приклад. (– х + у)(х + у) = – (х – у) (х + у) = – (х2 – у2) = у2 – х2.

Вчимося розв’язувати вправи

1. Вправи відтворюючого характеру на безпосереднє застосування

розглянутих правил і формул .

1) Піднести до квадрата:

42 = … (2m)2 =… (-3)2= … (х у)2 = …

41

(13

1 )2= … (n2)2 =…

2) Записати у вигляді квадрата: 4 = (…)2 х4 = (…)2 16 = (…)2 у6 = (…)2 0,25 = (…)2 m4 n8 = (…)2 144 = (…)2 121р2 = (…)2

3) На який вираз потрібно помножити двочлен (4х – с), щоб дістати 16х2 – с2 ?

4)На який вираз потрібно помножити двочлен (2 + 3у2), щоб дістати 9у4 – 4 ?

5) Подати у вигляді многочлена:

(х + у)(х – у) = (3р – 4)(3р + 4) = (1 + а)(1 – а) = (10 + n2)(10 – n2 ) = (d – 4)(d + 4) = (m – 4)(4 + m) = (1 + 2m)(1 – 2m) = (– 3 – x)(3 – x) = 6) Записати у вигляді добутку:

а2 – в2 = 16а2 – в2 = х2 – 52 = 9х2 – 81m2 = 9 – у2 = 25х2у4 – 121k6 =

Зразки виконання вправ можуть бути наступними:

Завдання 1

Подайте у вигляді многочлена вираз :

а) (х – а)(а + х) = х2 – а2 ; б) (z – 3х)(z + 3х) = z2 – (3х)2 = z2 – 9х2 ; в) (7с + ху)(7с – ху) = (7с)2 – (ху)2 = 49с2 – х2у2.

Завдання 2

Перемножте вирази:

а) (– х – у)(– х + у) = (– х)2 – у2 = х2 – у2 ; б) (– 1 + 3а)(– 1 – 3а) = (– 1)2 – (3а)2 = 1 – 9а2 ; в) (– с – 7)(7 – с) = – (с + 7)(7 – с) = – (72 – с2) = с2 – 72 =с2 – 49 .

42

Завдання 3

Подайте у вигляді многочлена вираз: а) (х2 – у2)(у2 + х2) = (х2)2 – (у2)2 = х4 – у4 ; б) (4а + в3 )(4а – в3) = (4а)2 – (в3)2 = 16а2 – в6 ; в) (5 + авс )( 5 – авс ) = 52 – (авс)2 = 25 – а2в2с2. Завдання 4

Розкладіть многочлен на множники :

а) 25 – х2 = (5 – х)(5 + х) ; б) m2 – 4 n2 = (m – 2n)(m + 2n) ; в) 100a2 – 9 b2 = (10а)2 – (3b)2 = (10а - 3b)( 10а + 3b) ;

г) )26

5)(

26

5()

2()

6

5(

436

25 222 nnnn

.

(В більшості цих вправ не є можливим безпосереднє використання вивчених

формул. Вони вимагають певного аналізу і виконання таких додаткових

перетворень, як винесення „ – „ за дужки, подання одночленів у вигляді

квадрата,піднесення одночленів, що є добутком або степенем,до квадрату,

знання правила про квадрати протилежних чисел).

2. Застосування формули різниці квадратів до вправ на обчислення

Поміркуй

Як, на вашу думку, пов’язані між собою групи чисел 39, 41, 1, 40;

11, 21, 16, 5;

10,2; 9,8; 10; 0,2 ?

Як, маючи першу пару чисел, отримати останні два числа ?

(Вислухавши міркування учнів, слід поступово підвести їх до думки, що кожне

з двох останніх чисел є або півсумою, або піврізницею двох перших чисел).

1) Обчислити без калькулятора : 91·109.

Під час розв’язування вправ такого типу користуються наступним правилом :

Щоб записати добуток двох чисел у вигляді різниці квадратів,

потрібно:

а) знайти середнє арифметичне множників;

43

б) знайти різницю більшого з множників і середнього

арифметичного;

в) записати добуток різниці і суми отриманих чисел;

г)застосувати до отриманого добутку формулу різниці квадратів .

Приклад. Обчислити 91·109.

(91 + 109) : 2 = 100 ; 109 – 100 = 9 ;

91 · 109 = (100 – 9)(100 + 9) = 1002 – 92 = 10000 – 81 = 9919.

Завдання 1

Обчислити без калькулятора:

а) 96 · 104 = (100 – 4)(100 + 4) = 1002 – 42 = 10000 – 16 = 9984 ;

б) 1007 ∙ 993 = (1000 – 7)(1000+7) = 10002 – 72 = 1000000 – 49 = 999951 ;

в) 0,95 · 1,05 = (1 – 0,05)(1+0,05) = 12 – 0,052 = 1 – 0,0025 = 0,9975.

2) Безпосереднє застосування формули різниці квадратів до вправ на обчислення

Приклад. Обчислити 912 – 412 . 912 – 412 = (91 – 41)(91 + 41) = 50 ∙ 132 = 6600. Завдання 2

Обчислити:

а) 352 – 152 = (35 – 15)(35 + 15) = 20 · 50 = 1000 ; б) 51,52 – 49,52 = (51,5 – 49,5)(51,5 + 49,5) = 2 · 101 = 202 ;

в) (3

23 )2 – (

3

11 )2 = .

3

211

3

355

3

12)

3

11

3

23()

3

11

3

23(

3. Застосування формули різниці квадратів до вправ на подільність

Пригадай (Пригадати правила подільності виразів)

*** Добуток ділиться на число, якщо хоч один множник ділиться на

це число.

*** Сума ділиться на число, якщо кожен з доданків ділиться на це

число.

44

Приклад.

Довести, що (8n + 5)(8n – 5) – (7n – 5)(7n + 5) ділитися на 15.

Перетворимо даний вираз :

(8n + 5)(8n – 5) – (7n – 5)(7n+5) = (64n2 – 25) – (49n2 – 25) =

= 64n2 – 25 – 49n2 + 25 =15n2 ;

Оскільки значення виразу 15n2 ділиться на 15, то значення виразу (8n+5)(8n – 5)

– (7n – 5)(7n+5) також ділиться на 15 при кожному цілому значенні n.

Завдання 3

Довести, що число 9572 – 432 ділитися на 1000.


9572 – 432 = (957 + 43)(957 – 43) = 1000 ∙ 914.

Оскільки значення виразу 1000 ∙ 914 ділиться на 1000, то значення виразу 9572 –

432 ділиться на 1000.

Завдання 4

Довести, що (3n + 2)2 – (3n – 2)2 ділитися на 24.


(3n + 2)2 – (3n – 2)2 = (3n + 2 + 3n – 2)(3n + 2 – (3n – 2)) = 6n(3n + 2 – 3n + 2) =

6n ∙ 4 = 24n.

Оскільки значення виразу 24n ділиться на 24, то значення виразу (3n + 2)2 – (3n –

2)2 також ділиться на 24 при кожному цілому значенні n.

(Варто звернути увагу на те, що завдання 4 може бути виконане із

застосуванням формули квадрата двочлена, яка буде вивчена пізніше.)

4. Застосування формули різниці квадратів до розв’язування рівнянь

Приклад.

Розв’язати рівняння:

х2 + ( – 4 – х)(х – 4) = 8(х + 1) ; х2 – (4 + х)(х – 4) = 8(х + 1) ; х2 – (х2 – 16) = 8х + 8 ;

х2 – х2 + 16 = 8х + 8 ; – 8х = 8 – 16 ; – 8х = – 8 ; х = 1. Відповідь. 1

45

Завдання 5


а) (9 – х)(х+9) = – х2 + 3х ; б). 4х2 + (3 – 2х)(3+2х) = 81х ; 81 – х2 = – х2 + 3х ; 4х2 + 9 – 4х2 = 81х ; – х2 + х2 – 3х = – 81 ; 4х2 – 4х2 – 81х = – 9 ;

– 3х = – 81 ; – 81х = – 9 ; х = – 81 : (– 3) ; х = – 9 : (– 81) ;

х = 27 х = 9

1;

Відповідь. 27. Відповідь. 9

1.

5. Застосування формули різниці квадратів до доведення тотожностей

Пригадай ( Пригадати основні способи доведення тотожностей)

*** Шляхом тотожних перетворень звести праву

частину рівності до лівої.

*** Шляхом тотожних перетворень звести ліву частину

рівності до правої.

*** Шляхом тотожних перетворень звести ліву і праву

частини рівності до одного й того ж виразу.

*** Утворюємо різницю правої та лівої частин, спрощуємо її

і порівнюємо результат з нулем.

Завдання 6


а8 – х8 = (а2 + х2)(а4 + х4)(а – х)(а + х).


а8 – х8 = (а4 + х4)(а4 – х4) = (а4 + х4) (а2 + х2)(а2 – х2) = (а4 + х4) (а2 + х2)(а – х)(а +

х).

Розглянемо праву частину рівності:

(а2 + х2)(а4 + х4)(а – х)(а + х).

Шляхом тотожних перетворень звести ліву частину рівності до правої.


46

Формули скороченого множення.

Квадрат двочлена

Пригадай

♦ Пригадати правило множення многочленів.

(Щоб помножити многочлен на многочлен, потрібно кожний

член першого многочлена помножити на кожний член другого

многочлена і знайдені добутки додати)

♦ Записати у вигляді виразу:

*** суму чисел а і b ;

*** добуток чисел х і у ;

*** півдобуток чисел m і n ;

*** різницю чисел k і р ;

*** подвоєний добуток а і b ;

*** квадрат суми с і а ;

*** квадрат різниці m і у ;

*** різницю квадратів m і у.


Зроби висновки

Окремою і важливою групою формул скороченого

множення є формули квадрата двочлена. Сюди відносяться формули

квадрата суми і квадрата різниці двох виразів.

Учням пропонується самостійно вивести кожну з цих формул за наступною

схемою:

*** записати квадрат суми а і b (квадрат різниці а і b) ;

*** використовуючи означення степеня, записати цей вираз у вигляді

добутку;

*** виконати множення за загальним правилом множення

многочленів;

*** прочитати словами отриманий вираз і сформулювати відповідне

правило.

(а + b)2 = (a + b)(a + b) = а2 + аb + аb + b2 = а2 + 2ab + b2

47

Записавши відповідну рівність, виключивши проміжні результати, отримуємо:

(а + b)2 = а2 + 2ab + b2

Одержану рівність називають формулою квадрата суми двох виразів.

***** Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс

подвоєний добуток цих виразів плюс квадрат другого виразу.

(а – b)2 = (a – b)(a – b) = а2 – аb – аb + b2 = а2 – 2ab + b2

Записавши відповідну рівність, виключивши проміжні результати, отримуємо:

(а – b)2 = а2 – 2ab + b2

Одержану рівність називають формулою квадрата різниці двох

виразів.

***** Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус

подвоєний добуток цих виразів плюс квадрат другого виразу.

Приклади. 1) (х + у)2 = х2 + 2ху + у2 ;

2) (5 – m)2 = 52 – 2·5m + m2 = 25 – 10m + m2 ;

3) (2а + 3b) = (2а)2 + 2·2а·3b + (3b)2 = 4а2 + 12аb + 9b2.

(Варто нагадати, що а та b – це саме вирази, які можуть бути як окремими

числами та змінними, так і одночленами чи многочленами)

Формули квадрата двочлена використовують як у прямому, так і у зворотному

записі, тобто :

а2 – 2ab + b2 = (а – b)2 ; а2 + 2ab + b2 = (а + b)2 . Приклади. 1) а2 + 2ау + у2 = (х + у)2 ; 2) 16 – 8m + m2 = 42 – 2·4m + m2 = (4 – m)2 3) 25р2 + 20рх + 4х2= (5р)2 + 2·5р·2х + (2х)2 = (5р + 2х)2 . (Варто зазначити, що результатом прямого перетворення є многочлен. У

зв’язку з цим, доцільними є вправи виду «Подати у вигляді многочлена вираз»,

«Піднести двочлен до квадрату», «Якому тричлену тотожно дорівнює вираз»

і т. д.)

(Результатом такого оберненого перетворення є квадрат двочлена, тобто

добуток. Таке перетворення є ні чим іншим, як розкладом многочлена на

множники У зв’язку з цим, доцільними є вправи виду «Подати у вигляді

добутку вираз», «Записати тричлен у вигляді квадрата двочлена» і т. д.)

48


▲ Враховуючи, що квадрати протилежних чисел рівні, зручно користуватися

рівностями:

(– а – b)2 = (а + b)2 ;

(– а + b)2 = (а – b)2 = (b – а)2 .

▲ Знак перед подвоєним добутком залежить від знаку між членами двочлена,

який підносять до квадрату

Приклади. (– 5 – m)2 =( -5)2 – 2·(-5m) + m2 = 25 + 10m + m2 ;

або (– 5 – m)2 = ( 5 + m)2 = 52 + 2·5۰m + m2 = 25 + 10m + m2

Вчимося розв’язувати вправи

1. Вправи відтворюючого характеру на безпосереднє застосування

розглянутих правил і формул

Завдання 1

Якому тричлену тотожно дорівнює вираз ?

а) (а + с)2 ;

б) (х + 1)2 ;

в) (х – 1)2 .

Завдання 2 Піднесіть до квадрата двочлен:

а) 1 + с ;

б) у – с ;

в) 5 + р.

Завдання 3

Піднесіть до квадрата двочлен :

а) (а + с)2 = а2 + 2ас + с2 ;

б) (2 + n) = 4 + 4n + n2 ;

в) (2х + 4)2 = (2х)2 + 2∙2х∙4 + 16 = 4х2 + 16х +16 ;

г) (3а + b)2 = (3а)2 + 2∙3а ∙b + b2 = 9а2 + 6аb + b2 .

ґ) (1 + аb)2 = 1 + 2аb + а2b2

49

Завдання 4

Піднесіть до квадрата двочлен :

а) (3с – 5)2 = (3с)2 – 2·3с·5 + 52 = 9с2 – 30с + 25 ; б) (3а – 7с)2 = (3а)2 – 2·3а·7с + (7с)2 = 9а2 – 42ас + 49с2 ; в) (2а – 3сх2)2 = (2а)2 – 2·2а·3сх2 + (3сх2)2 = 4а2 – 12асх2 + 9с2х4.

Завдання 5

Подайте у вигляді многочлена стандартного вигляду:

а) (– b + с)2 = (b – с)2 = b2 – 2bс + с2 ; б) (– х – у)2 = (х + у)2 = х2 + 2ху + у2 ; в) (– 2а + 3)2 = (3 – 2а)2 = 32 – 2·3·2а + (2а)2 = 9 – 12а + 4а2 ; г) (– 4х + 5у)2 = (5у – 4х)2 = (5у)2 – 2·5у·4х + (4х)2 = 25у2 – 40ху +16х2. ґ) (1,2 + 2q3)2 = (1,2)2 + 2∙1,2∙2q3 + (2q3)2 = 1,44 +4,8q3 + 4q6 ; д) (а2 – 8с5)2 = (а2)2 – 2·а2·8с5 + (8с5)2 = а4 –16а2с5 + 64с10 ; е) (– х + у3)2 = (у3 – х)2 = (у3)2 – 2∙у3∙х + х2 = у6 – 2ху3 + х2 .

Завдання 6

Подайте у вигляді многочлена вираз :

а) 42222222222 25,05

1

25

1)5,0(5,0

5

12)

5

1()5,0

5

1()5,0

5

1( acacaaccacac

б) 23623232323

4

92

9

4)

2

3(

2

3

3

22)

3

2()

2

3

3

2()

2

11

3

2( xxmmxxmmxmxm .

Завдання 7

Подайте тричлен у вигляді квадрата двочлена : а) х2 + 12х + 36 = (х + 6)2 ; б) 9а2 – 30ав + 25в2 = (3а)2 – 2∙3а∙5в + (5в)2 = (3а – 5в)2 ; в) 0,25х2 – х + 1 = (0,5х)2 – 2∙0,5х∙1 + 12 = (0,5х – 1)2 . г) 4х2 + 25у2 – 20ху = 4х2 – 20ху+ 25у2 = (2х)2 – 2∙2х∙5у + (5у)2 = (2х – 5у)2 ; ґ) а2b2 +36с2 +12аbс = а2b2 + 12аbс + 36с2 = (аb)2 + 2∙аb∙6с + (6с)2 = (аb + 6с)2 ; д) 40а2b2 – 4b2 – 100а4b2 =– ( – 40а2b2 + 4b2 + 100а4b2) = – ( 4b2 – 40а2b2 + 100а4b2) = – (4b – 10а2b)2 .

(Деякі вправи можна віднести до нестандартних, оскільки в них не

є можливим безпосереднє використання вивчених формул . Вони

вимагають певного аналізу і виконання таких перетворень , як запис

членів тричлена у відповідному порядку , винесення „ – „ за дужки,

подання одночленів у вигляді квадрата, піднесення одночленів, що є

добутком або степенем, до квадрату.)

50

2. Застосування формул квадрата двочлена до доведення

тотожностей

Пригадай

( Пригадати основні способи доведення тотожностей)

*** Шляхом тотожних перетворень звести праву частину рівності до

лівої.

*** Шляхом тотожних перетворень звести ліву частину рівності до

правої.

*** Шляхом тотожних перетворень звести ліву і праву частини

рівності до одного й того ж виразу.

*** Утворюємо різницю правої та лівої частин, спрощуємо її і

порівнюємо результат з нулем.


(а + b)2 + (а – b)2 = 2(а2 + b2).


(а + b)2 + (а – b)2 = (а2 + 2аb + b2) + (а2 – 2аb + b2) = а2 + 2аb + b2 + а2 – 2аb + b2 =

2а2+ +.2b2 = 2(а2 + b2).

Права частина : 2(а2 + b2).

Шляхом тотожних перетворень звели ліву частину рівності до правої.


3. Застосування формул квадрата двочлена до розв’язування рівнянь


а) (3 – 5х )2 = 25х2; 32 – 2∙3∙5х + (5х)2 = 25х2; 9 – 30х + 25х2 = 25х2 ; – 30х + 25х2 – 25х2 = – 9 ; – 30х = – 9 ; х = (– 9) : (– 30) ;

х = 10

3 . Відповідь.

10

3.

51

Слід звернути увагу на рівняння, що вимагають додаткового пояснення.

б) (х + 7)2 + х2 = 0 ; Значення виразів (х + 7)2 і х2 невід'ємні при кожному значенні х , тобто (х + 7)2

0 і

х2 0 . Розв’язком рівняння буде таке значення х , при якому значення виразів

(х + +7)2 і х2 одночасно дорівнюють нулю. Оскільки такого значення х не

існує , то задане рівняння не має розв’язків .

Знайдіть корінь рівняння :

в) 4х2– 12х + 9 = 0;

(2х)2 – 2∙2х∙3 + 32 = 0;

(2х – 3)2 = 0 ;

2х – 3 = 0;

2х = 3;

х = 3 :2;

х = 1,5.

Відповідь. 1,5 .

Розв’язуючи це рівняння ми скористалися правилом :” Нуль у будь – якому

степені дорівнює нулю.”

0n = 0, n – натуральне число.

4. Застосування формул квадрата двочлена до вправ на обчислення

Під час розв’язування вправ такого типу користуються наступним правилом :

Щоб піднести ціле число до квадрата, не користуючись таблицями,

потрібно:

а) округлити його до десятків;

б) записати задане число у вигляді суми або різниці кількох

чисел, одним з яких є знайдене округлене число;

в) застосувати відповідну формулу.

Приклади.

Обчислити :

1) 292 = (30 – 1)2 = 302 – 2·30·1 + 1 = 900 – 60 +1 = 841;

2) 942 = (90 + 4)2 = 902+ 2·90·4 + 42 = 8100 + 720 + 16 = 8836.

52

Учням можна запропонувати наступні вправи:

Обчислити , використовуючи формули квадрата двочлена :

а) 2022 = (200 + 2)2 = 2002 + 2∙200∙2 + 22 = 40000 + 800 + 4 = 40804;

б) 792 = (80 – 1)2 = 802 – 2·80·1 + 12 = 6400 – 160 + 1 = 6241 ;

в) 812 = (80 + 1)2 = 802 + 2∙80∙1 + 12 = 6400 + 160 + 1 = 6561. 5. Застосування формул квадрата двочлена до вправ на подільність

Пригадай

(Пригадати правила подільності)

*** Добуток ділиться на число, якщо хоч один множник

ділиться на це число.

*** Сума ділиться на число, якщо кожен з доданків ділиться

на це число.

Приклади .

Довести, що при кожному цілому значенні n значення виразу (2n + 7)(8n – 8) –

(4n + 5)2 не ділитися на 6.

Перетворимо даний вираз:

(2n + 7)(8n – 8) – (4n+5)2 = (16n2 + 56n – 16n – 56) – (16n2 +40n + 25) =

= 16n2 + 40n – 56 – 16n2 – 40n – 25 = – 81 ;

Оскільки значення виразу (– 81) не ділиться на 6, то значення виразу

(2n + 7)(8n – 8) – (4n+5)2 також не ділиться на 6 при кожному цілому

значенні n.

Довести, що (3n + 2)2 – (3n – 2)2 ділитися на 24.


(3n + 2)2 – (3n – 2)2 = (9n2 + 12n + 4) – (9n2 – 12n + 4) = 9n2 + 12n + 4 – 9n2 + 12n + 4

= 24n

Оскільки значення виразу 24n ділиться на 24, то значення виразу (3n + 2)2 – (3n –

2)2 також ділиться на 24 при кожному цілому значенні n.

(Варто звернути увагу на те, що таке завдання вже розглядалося

при вивченні формули різниці квадратів, тому тепер його можна

розв’язувати, використовуючи будь – яку з вивчених формул).

53

Застосування розкладання на множники

до розв’язування рівнянь (Ставиться за мету закріпити основні способи розкладання многочленів на

множники; засвоїти методи розв’язування рівнянь виду ( a x + b ) ( c x + d ) =

0; розвивати вміння аналізувати запропоновані завдання,вибирати спосіб

розв’язування та робити відповідні висновки).

Перевір себе !

(В ігровій формі пропонується повторити основні теоретичні

питання. Запитання підібрані таким чином, що відповіді

розпочинаються на літеру « Р » .)

1. Два вирази, з’єднані знаком « = ».

(рівність)

2. Рівність, що містить невідомі числа, позначені буквами.

(рівняння)

3. Число, що задовольняє рівняння.

(розв'язок)

4. Рівняння, які мають однакові розв'язки, або ж не мають розв’язків.

(рівносильні)

5. Що означає – знайти розв'язки рівняння, або показати, що їх немає.

(розв’язати рівняння)

6. Подання многочлена у вигляді добутку.

(розкладання на множники)

7. На основі якого закону виносять спільний множник за дужки.

(розподільного)

8. Результат дії віднімання.

(різниця)

9. Добуток суми двох виразів на їх різницю.

(різниця квадратів)

10. Добуток різниці двох виразів на неповний квадрат суми.

(різниця кубів)

54

(Далі можна запропонувати учням пригадати основні правила, терміни і

поняття, які лежать в основі вивчення теми.)

Пригадай

(Пригадати визначення : а) рівняння ; б) розв'язку рівняння)

▲ Рівняння – це рівність , що містить невідоме число.

▲ Розв'язок або корінь рівняння – значення невідомого, при якому

рівняння перетворюється у правильну числову рівність.

♦ Скільки коренів може мати рівняння виду a x = b?

- якщо a ≠ 0 , то рівняння має один розв'язок х = b : a = a

b ;

- якщо а = 0 , але b ≠ 0 , то рівняння має вигляд 0x = b і не має розв’язків

- якщо а = 0 і b = 0 , то рівняння має вигляд 0x = 0 і має безліч розв’язків.

▲ Розв’язати рівняння – означає знайти всі його корені або показати, що

їх немає.

▲ Рівносильні рівняння – це рівняння, які мають одні і ті ж корені або

взагалі їх не мають.

▲ Варто пам’ятати, що говорячи про одні і ті ж корені, маємо на увазі –

однакову кількість коренів і однакові значення коренів.

Основні властивості рівнянь

1. Обидві частини рівняння можна множити або ділити на

одне і теж число або вираз, що не дорівнюють нулю.

2. До обох частин рівняння можна додавати або від обох

частин рівняння можна віднімати одне і теж число.

3. Доданки можна переносити з однієї частини рівняння в

іншу, змінюючи їх знаки на протилежні.

4. В кожній частині рівняння можна розкривати дужки і

зводити подібні доданки.

55


Зроби висновки

♦ Перевірити чи є значення змінної х = 3 коренем рівняння :

0,4 х = 1,2 ; 2 х + 1 = 3 х – 4 ; х ( х – 3 ) = 0 ; х – 3 = 2 х – 6 .

♦ Перевірити, чи є коренями рівнянь

( х – 1 ) ( х – 2 ) = 0 ; ( х + 2 ) ( х – 5 ) = 0

значення змінної : 1 ; 2 ; – 2 ; 5 .

♦ Пояснити, чому задані значення змінної перетворюють рівняння у правильну

рівність ? Яку відому властивість при цьому використали ?

(Важливо, щоб учні помітили, що особливістю розглянутих рівнянь є те,

що права частина кожного рівняння – нуль, а ліва є добутком кількох

множників.

*** Добуток дорівнює нулю, якщо один з множників – нуль

Розв’язуючи такі рівняння, достатньо прирівняти до нуля кожний з

множників, що містить змінну, і записати відповідь, об’єднавши всі знайдені

розв'язки.

Загальна схема розв’язування рівнянь. 1. Позбутися знаменників, якщо вони є.

2. Розкрити дужки, якщо вони є.

3. Перенести члени рівняння зі змінною в ліву частину, а інші – в праву,

змінюючи знаки доданків, що переносяться на протилежні.

4. Звести подібні доданки в лівій та правій частинах рівняння.

5. Розглянути отримане просте рівняння: a x = b :

- якщо a ≠ 0 , то рівняння має один розв'язок х = b : a

- якщо а = 0 , але b ≠ 0 , то рівняння має вигляд 0x = b і не має

розв’язків ;

- якщо а = 0 і b = 0 , то рівняння має вигляд 0x = 0 має

безліч розв’язків.

6. Виконати перевірку (бажано)

7. Записати відповідь.

56

Розглянуту властивість можна використати для розв’язування деяких

типів рівнянь, що зводяться до вигляду

( a x + b ) ( c x + d ) = 0,

Розглянемо приклади, попередньо поділивши вправи на групи.

1. Рівняння виду ( a x + b ) ( c x + d ) = 0

1) ( y + 6 ) ( e – 4 ) = 0 ; 2) x ( x – 3 ) ( x + 4 ) = 0 ;

у + 6 = 0 , або y – 4 = 0 ; x = 0 , або x – 3 = 0 , або x + 4 = 0 ;

у = – 6 , y = 4. x = 3 , x = – 4 .

Відповідь : – 6 ; 4 . Відповідь : 0 ; 3 ; – 4 .

2. Використання способу винесення спільного множника за дужки для

розкладання многочлена на множники

1) b 2 + 12 b = 0 ; 2) 3 x 2 + 6 (x + 2 ) = 12 ;

b ( b + 12 ) = 0 ; 3 x 2 + 6 x + 12 – 12 = 0 ;

b = 0 , або b + 12 = 0 ; 3 x 2 + 6 x = 0 ;

b = – 12 . 3 x ( x + 2 ) = 0 ;

Відповідь : – 12 ; 0 . 3 x = 0 , або x + 2 = 0 ;

x = 0 , x = – 2 .

Відповідь : 0 ; – 2 .

(За дужки виносили спільний множник – одночлен)

3) ( x + 4 ) 2 – 5 (x + 4 ) = 0 ;

( x + 4 ) ( x + 4 – 5 ) = 0 ;

( x + 4 ) ( x – 1 ) = 0 ;

x + 4 = 0 , або x – 1 = 0 ;

x = – 4 , x = 1 .

Відповідь : – 4 ; 1 .

(За дужки виносили спільний множник – многочлен)

Алгоритм розв’язування рівнянь,

що зводяться до вигляду

( a x + b ) ( c x + d ) = 0 1. Перенести доданки з правої частини рівняння в ліву, щоб у правій

був нуль .

1) 2. Якщо можливо розкласти ліву частину на множники .

2) 3. Поступово прирівнюючи до нуля множники, що містять змінну,

розв’язати відповідні лінійні рівняння.

3) 4. Записати відповідь до даного рівняння, об’єднавши всі отримані

розв'язки лінійних рівнянь.

57

3. Використання способу групування для розкладання многочлена на

множники

1) b 3 – 4 b – 2 b 2 + 8 = 0 ; 2) x 2 – x – 6 = 0 ;

( b 3 – 4 b ) – ( 2 b 2 – 8 ) = 0 ; x 2 – 3 x + 2 x – 6 = 0 ;

b ( b 2 – 4 ) – 2 ( b2 – 4 ) = 0 ; ( x 2 – 3 x ) + ( 2 x – 6 ) = 0 ;

( b 2 – 4 ) ( b – 2 ) = 0 ; x ( x – 3 ) + 2 ( x – 3 ) = 0 ;

b 2 – 4 = 0 , або b – 2 = 0 ; ( x – 3 ) ( x + 2 ) = 0 ;

( b – 2 ) ( b + 2 ) = 0 , b = 2 ; x – 3 = 0 , або x + 2 = 0 ;

b – 2 = 0 , або b + 2 = 0 ; x = 3 , x = – 2 .

b = 2 , b = – 2 . Відповідь : – 2 ; 3.

Відповідь : ± 2 .

4. Використання формул скороченого множення для розкладання многочлена

на множники

1) x 2 = 9 ; 2) 4 x 2 – 1 = 0 ;

x 2 – 9 = 0 ; ( 2 x – 1 ) (2 x + 1 ) = 0 ;

( x – 3 ) ( x + 3 ) = 0 ; 2 x – 1 = 0 , 2 x + 1 = 0 ;

х – 3 = 0 , або x + 3 = 0 ; 2 x = 1 , або 2 x = – 1 ;

х = 3 , x = – 3 . x = 2

1 , x = –

2

1 .

Відповідь : ± 3 . Відповідь : ± 2

1.

3) 25 – 10 х + х 2 = 0 ; 4) 07

2516 2

х

;

( 5 – х ) 2 = 0 ; 16 х 2 – 25 = 0 ;

5 – х = 0 ; 4 х – 5 ) ( 4 х + 5 ) = 0 ;

х = 5 . 4 х – 5 = 0 , або 4 х + 5 = 0 ;

Відповідь : 5 . 4 х = 5 , 4 х = – 5 ;

х = 4

5, х = –

4

5 ,

х = 1 4

1, х = – 1

4

1,

Відповідь : ± 1 4

1.

58

Розв’яжіть рівняння:

– використання способу винесення спільного множника за дужки для

розкладання многочлена на множники.

а) у2 – 3у = 0 ; б) х2 + 2х = 0 ;

у(у – 3) = 0 ; х(х + 2) = 0 ;

у = 0 , або у – 3 = 0 ; х = 0 , або х + 2 = 0 ;

у = 3. х = - 2 .

Відповідь. 0 ; 3. Відповідь. 0 ; - 2 .

– використання способу групування для розкладання многочлена на

множники.

а) х2 – 5х + 6 = 0 ;

х2 – (2 + 3)х + 6 = 0 ;

х2 – 2х – 3х + 6 = 0 ;

(х2 – 2х ) – (3х – 6 ) = 0 ;

х(х – 2) – 3(х – 2) = 0 ;

(х – 2)(х – 3) = 0 ;

х – 2 = 0 ; або х – 3 = 0 ;

х = 2 , х = 3.

Відповідь. 2 ; 3.

б) 2х3 – х2 + 8х – 4 = 0 ;

(2х3 – х2 ) + (8х – 4) = 0 ;

х2(2х – 1) + 4(2х – 1) = 0 ;

(2х – 1)(х2 + 4) = 0 ;

2х – 1 = 0 , або (х2 + 4) = 0 .

2х = 1 ; Вираз (х2 + 4) набуває лише додатних значень.

х = 0,5.

Відповідь. 0,5

– використання формул скороченого множення для розкладання многочлена

на множники.

а) 25х2 – 16 = 0 ; б) х2 – 8х + 16 = 0 ;

(5х -4)(5х + 4) = 0 ; (х – 4)2 = 0 ;

5х – 4 = 0 ; або 5х + 4 = 0 ; х – 4 = 0 ;

5х = 4 ; 5х = – 4 ; х = 4.

х= 5

4 ; х =

5

4 . Відповідь. 4

Відповідь. 5

4

59

Список використаної літератури

1. Бевз Г. П. Алгебра : підруч. для 7 класу загальноосвіт. навч. закл. / Г. П. Бевз, В. Г. Бевз. —

К.: Видавництво «Відродження», 2015. — 288 с.

2. Кравчук В. Р. Алгебра : підручник для 7 класу загальноосвіт. навч. закл./ В. Р. Кравчук, М.

В. Підручна, Г. М. Янченко. — Тернопіль :Підручники і посібники, 2014. — 224 с. ISBN

978-966-07-0846-4

3. Мальований Ю.І. Алгебра : підручник для 7 кл. загальноосвітн. навч.закл. / Ю.І.

Мальований, Г.М. Литвиненко, Г.М. Бойко. —Тернопіль : Навчальна книга – Богдан, 2015.

— 256 с : іл.+ 1 електрон. опт. диск (CD). — Електрон. версія. — Режим доступу:

http://www.bohdan-digital.com/edu. ISBN 978-966-10-4110-2

4. Математика. Навчальна програма для учнів 5 – 9 класів загальноосвітніх навчальних

закладів» (авт.. М. Бурда, Ю. Мальований, Є. Нелін, Д. Номіровський, А. Паньков, Н.

Тарасенкова, М. Чемерис, М. Якір) з урахуванням змін до навчальних програм (наказ № 585

Міністерства освіти і науки України від 29.05.2015).

5. Мерзляк А. Г. Алгебра : підруч. для 7 кл. загальноосвіт. навч. Закладів / А. Г. Мерзляк, В. Б.

Полонський, М. С. Якір. —Х. : Гімназія, 2015. — 256 с.: іл. ISBN 978-966-474-000-0.

6. Тарасенкова Н. А. Математика : підруч. для 7 класу загальноосвіт.навч. закл. / Н. А.

Тарасенкова, І. М. Богатирьова,О. М. Коломієць, З. О. Сердюк. — К. : Видавничий дім

«Освіта», 2015. — 288 с.

7. Ткачёва М.В. Домашняя математика: Книга для учащихся 7 кл. общеобразовательных

учреждений. – 2 – е изд. – М.: Просвещение, 1994. – 190 с., ил. – ISBN 5 – 09 – 006819 – 4.

8. Цейтлін О. Алгебра : підруч. для 7 класу загальноосвіт. навч. закладів / О. І. Цейтлін. —Х. :

Видавництво «Ранок», 2015. — 208 с. : іл. ISBN

9. Шевчук В.С. Навчальний посібник. – Тернопіль. Навчальна книга- Богдан, 2003. – 96 с.

ISBN 966 – 692 – 037 -9

http://www.bohdan-digital.com/edu

2015 р

Documents

Міністерство освіти і науки України ...test.teacherjournal.in.ua/attachments/article/3890/Gusak... · 2017-09-10 · крок за кроком (методичний