Федеральное государственное автономное ...tulpar.kpfu.ru/pluginfile.php/40389/course/summary... · 2014-11-05 · функции. Урав-нения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное учреждение

высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Елабужский институт (филиал)

УТВЕРЖДАЮ Директор Елабужского института КФУ Мерзон Е.Е.

“____”______________20___ г.

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИТКА Б3.В.ОД.1

Направление подготовки: 050100.62 — Педагогическое образование

Профиль подготовки: Математика и информатика Квалификация выпускника: бакалавр Форма обучения: очное Язык обучения: русский Автор(ы): Ганеев Р.М., Ганеева А.Р. Рецензент(ы): Гильмуллин М.Ф. СОГЛАСОВАНО: Заведующий(ая) кафедрой: Анисимова Т.И. Протокол заседания кафедры №__от «___»___________201_г

Елабуга 2013

Содержание 1. Цели освоения дисциплины 2. Место дисциплины в структуре ООП 3. Компетенции обучающего, формируемые в результате освоения дисциплины/ мо-дуля 4. Структура и содержание дисциплины/ модуля 5. Образовательные технологии, включая интерактивные формы обучения 6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттеста-ции по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоя-тельной работы студентов 7. Литература 8. Интернет-ресурсы 9. Материально-техническое обеспечение дисциплины/ модуля согласно утвержден-ному учебному плану

Программу дисциплины разработал доцент, канд. пед. наук Ганеева А.Р. [email protected], кафедра математического анализа, алгебры и геометрии.

1. Цели освоения дисциплины Целями освоения учебной дисциплины Элементарная математика являются формиро-вание систематизированных знаний, умений и навыков в области элементарной мате-матики. 2. Место дисциплины в структуре ООП Дисциплина «Элементарная математика» относится к вариативной части профессио-нального цикла. Ее научный уровень определяется связями с курсами «Математический анализ», «Теория чисел», «Алгебра», «Геометрия», «Методика обучения математике». 3. Компетенции обучающего, формируемые в результате освоения дисциплины/ модуля В результате освоения дисциплины формируются следующие компетенции:

Шифр комп.

Расшифровка приобретаемой компетенции

Общекультурные компетенции

ОК-16 способен использовать навыки публичной речи, ведения дискуссии и по-лемики.

Профессиональные компетенции

ПК-1 способен разрабатывать и реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в различных образовательных учреждениях;

ПК-4 способен осуществлять педагогическое сопровождение процессов соци-ализации и профессионального самоопределения обучающихся, подго-товки к сознательному выбору профессии;

ПК-11 готов использовать систематизированные теоретические и практические знания для определения и решения исследовательских задач в области образования.

Общепрофессиональные компетенции

ОПК-1 осознает социальную значимость своей будущей профессии, обладает мотивацией к осуществлению профессиональной деятельности

ОПК-3 владение основами речевой профессиональной культуры

В результате освоения дисциплины студент должен:

знать: ─ основные понятия школьного курса математики, с точки зрения заложенных в

них фундаментальных математических идей; ─ современные направления развития элементарной математики и ее приложения; ─ литературу по элементарной математике; уметь: ─ работать в школе по различным учебникам математики; ─ работать в классах различной профильной направленности и индивидуальной

работы с учащимися; ─ проводить со школьниками кружки, спецкурсы, факультативные занятия, олим-

пиады по математике. владеть: ─ важнейшими методами элементарной математики, уметь применять их для до-

казательства теорем и решения задач. 4. Структура и содержание дисциплины/ модуля Курс – 2, 3, 4, 5. Семестр – 4, 5, 6, 7, 8, 9.

mailto:[email protected]

Число зачетных единиц – 12 Всего часов по учебному плану – 396 часов Всего часов аудиторных занятий – 198 часа Лекции – 40 часа Практические занятия – 158 часов СРС – всего часов по учебному плану – 198 часа Форма итогового контроля по дисциплине – экзамен Суммарно по дисциплине можно получить 100 баллов, из них текущая работа оценива-ется в 50 баллов, итоговая форма контроля – в 50 баллов. Минимальное количество для допуска к зачету 28 баллов. 86 баллов и более – «отлично» (отл.); 71-85 баллов – «хорошо» (хор.); 55-70 баллов – «удовлетворительно» (удов.); 54 балла и менее – «неудовлетворительно» (неуд.). 4.1 Структура и содержание аудиторной работы по дисциплине/ модулю

Тематический план дисциплины/ модуля

№

Наименование раздела / мо-дуля

Се-местр

Не-

деля се-

местра

Виды и часы аудиторной работы,

их трудоемкость (в часах)

Теку-щие

формы кон-троля

Лекции

Практиче-ские заня-

тия

Лабора-торные работы

1. Элементы тео-рии чисел

4 1-9 4 14 0

2. Комбинаторика. 4 10-18 4 14 0 Зачет

3. Элементарные функции. Урав-нения и нера-венства.

5 1-13 4 22 0

4. Уравнения и не-равенства с па-раметрами

5 14-18 2 8 0 Зачет

5. Тригонометрия 6 1-6 2 10 0

6. Обратные три-гонометриче-ские функции

6 7-13 2 12 0 Экза-мен

7. Планиметрия 7 1-18 12 24 0 Зачет

8. Стереометрия 8 1-11 10 12 0 Зачет

9. Задачи повы-шенной сложно-сти

9 1-18 0 42 0

экза-мен

Итого 40 158 0

4.2. Содержание дисциплины

1. Элементы теории чисел. На лекционные занятия 4 часа и практические занятия 14 часов. Арифметика. Свойства делимости. Деление целых чисел с остатком. Простые и состав-ные числа. Решето Эратосфена. Основная теорема арифметики. НОД. Алгоритм Ев-клида. Линейное представление НОД. Взаимно простые числа. НОК.

Целые систематические числа. Способы перевода из одной системы счисления в дру-гую. Признаки делимости в g-ичной системе счисления. Систематические дроби. Алго-ритм перевода обыкновенной десятичной дроби в g-ичную систематическую дробь. Кри-терий разложимости рационального числа в конечную, чистопериодическую и смешан-ную систематическую g-ичную дробь. Перевод конечных, чистопериодических и смешан-ных g-ичных дробей в обыкновенные. 2. Комбинаторика. На лекционные занятия 4 часа и практические занятия 14 часов. Метод математической индукции. Комбинаторика основные правила комбинаторики. Со-единения без повторений. Соединения с повторениями. Комбинаторные задачи на вы-числение вероятностей. Бином Ньютона. Полиномиальные формулы. Комбинаторные тождества. 3. Элементарные функции. Уравнения и неравенства. На лекционные занятия 4 часа и практические занятия 22 часов. В данном разделе предлагаем сначала изучить элементарные алгебраические функции (рациональные и иррациональные), показательные и логарифмические. Графики функ-ций и их свойства. Тождественные преобразования выражений. Разложение на множи-тели многочленов. Преобразование выражений с корнями. Освобождение от иррацио-нальности в знаменателе дроби. Преобразование трансцендентных выражений. Доказа-тельство неравенств различными методами. Изучение элементарных функций, требует точности построения графиков, поэтому эти занятия предлагаем проводить с использованием системы Mathematica. Этот материал очень важен, т.к. необходим для дальнейшего решения уравнений и неравенств. 4. Уравнения и неравенства с параметрами. На лекционные занятия 2 часа и практические занятия 8 часов. Возвратные уравнения четной и нечетной степеней. Метод неопределенных коэффици-ентов. Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля. Ирраци-ональные уравнения и неравенства. Показательные уравнения и неравенства. Логариф-мические уравнения и неравенства. Решение уравнений и неравенств с параметрами. 5. Тригонометрия. На лекционные занятия 2 часа и практические занятия 10 часов Тригонометрические функции. Обратные тригонометрические функции. Графики функ-ций и их свойства. Тригонометрические уравнения и неравенства. Доказательство тож-деств и неравенств на множестве, содержащих об-ратные тригонометрические выраже-ния. Решение уравнений и неравенств содержащих аркфункции. Изучение тригонометрических функций, требует точности построения графиков, по-этому эти занятия предлагаем проводить с использованием системы Mathematica. Этот материал очень важен, т.к. необходим для дальнейшего решения уравнений и нера-венств. Большое внимание следует уделить на обратные тригонометрические функции, т.к. этот материал не входит в стандарт среднего полного образования базового уровня обучения. Решение уравнений и неравенств с параметрами. 6. Планиметрия. На лекционные занятия 12 часа и практические занятия 24 часов. Аксиоматика I-IV групп (по схеме Гильберта). Основные факты абсолютной геометрии (св-во внешнего угла треугольника, неравенство треугольника, признаки равенства тре-угольников). Аксиома параллельности и ее след-ствия. Сумма углов треугольника. Че-тырехугольники. Прямые в треугольнике, проходящие через одну точку. Окружность.

Диаметры и хорды. Уг-лы, связанные с окружностью (центральный, вписанный, с верши-ной внутри и вне окружности, образованный касательной и хордой). Вписанные и опи-санные четырехугольники. Методы подобия. Пропорциональные отрезки в круге. Сте-пень точки относительно окружности. Радикальная ось двух окружностей. Аффинные теоремы планиметрии (теоремы Менелая и Чевы). Метрические соотношения в тре-угольнике. Теорема синусов и косинусов. Площади плоских фигур. Равновеликость и равносоставленность многоугольников. Длина окружности и площадь круга. Метод пло-щадей. Геометрические места точек. Построения на плоскости. Преобразования плос-кости: движение, подобие, гомотетия, инверсия. Измерение геометрических величин. 7. Стереометрия. На лекционные занятия 10 часа и практические занятия 12 часов. Аксиомы стереометрии. Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве. Многогранные углы. Углы между прямыми и плоскостями. Двугранные углы. Трехгранные углы. Теорема косинусов для трехгранного угла. Теорема синусов и двойственная теорема косинусов для трехгранного угла. Многогранники: выпуклые, не-выпуклые, правильные, полуправильные, звездчатые. Теорема Эйлера для выпуклых многогранников. Тела и поверхности вращения. Изображение пространственных фигур на плоскости. Вычисление объемов и площадей поверхностей. Координатный и вектор-ный методы в геометрии. Лекции по стереометрии предлагаем проводить с использованием ИКТ по следующим темам: 1) Многогранники: выпуклые, невыпуклые, правильные, полуправильные, звезд-чатые. 2) Тела и поверхности вращения. 3) Координатный и векторный методы в геомет-рии. 8. Задачи повышенной сложности. На практические занятия 42 часа. Решение уравнений, неравенств, систем повышенной сложности. Решение задач повы-шенной сложности по планиметрии и стереометрии. Задачи ЕГЭ, уровень С. 4.2 Структура и содержание самостоятельной работы дисциплины (модуля)

№

Раздел дисци-

плины

Се-

местр

Не-

деля се-

местра

Виды самосто-ятельной ра-боты студен-

тов

Трудоем-

кость в часах

Формы кон-троля само-

стоятель-ной работы

1. Тема 1. Элементы теории чисел.

4 1-9 Повторение лек-ционного мате-риала, подго-товка к практи-ческим заня-тиям, подготовка к контрольной работе

36 контрольная работа

2. Тема 2. Комбинато-рика.



3. Тема 3. Элементар-ные функции. Урав-нения и неравен-ства.



4. Тема 4. Уравнения и неравенства с пара-метрами.



5. Тема 5. Тригономет-рия.



6. Тема 6. Обратные тригонометрические функции.



7. Тема 7. Планимет-рия.



8. Тема 8. Стереомет-рия



9. Тема 9. Задачи по-вышенной сложно-сти

9 1-18 Повторение лек-ционного мате-риала, подго-товка к практи-ческим заня-тиям, подготовка


к контрольной работе

Итого 396 0

5. Образовательные технологии, включая интерактивные формы обучения В преподавании дисциплины используются следующие образовательные технологии: Информационные технологии – обучение в электронной образовательной среде с це-лью расширения доступа к образовательным ресурсам (теоретически к неограничен-ному объему и скорости доступа), увеличения контактного взаимодействия с преподава-телем, построения индивидуальных траекторий подготовки и объективного контроля и мониторинга знаний студентов. Проблемное обучение - стимулирование студентов к самостоятельному приобретению знаний, необходимых для решения конкретной проблемы. Контекстное обучение - мотивация студентов к усвоению знаний путем выявления свя-зей между конкретным знанием и его применением. Междисциплинарное обучение - использование знаний из разных областей, их груп-пировка и концентрация в контексте решаемой задачи. Опережающая самостоятельная работа - изучение студентами нового материала до его изучения в ходе аудиторных занятий. На лекционную часть отводится очень мало времени. Курс элементарной математики предполагает, что большую часть времени необходимо отводить на практические заня-тия или решение задач.

Семестр Вид за-

нятия

Используемые интерактивные образователь-

ные технологии

Количество ча-

сов

4 Л Лекция обзор с разъясняющими нюансами на доске. У студентов на партах имеются посо-бия с лекциями. Арифметика. Свойства делимо-сти. Деление целых чисел с остатком. Простые и составные числа. Решето Эратосфена. Основ-ная теорема арифметики. НОД. Алгоритм Ев-клида. Линейное представление НОД. Взаимно простые числа. НОК.

2

ПР Арифметика. Свойства делимости. Деление це-

лых чисел с остатком.

2

ПР Простые и составные числа.

Решето Эратосфена

2

ПР Основная теорема арифметики. НОД. Алгоритм

Евклида. Линейное представление НОД. Вза-

имно простые числа. НОК.

2

4 Л Лекция обзор с разъясняющими нюансами на доске. У студентов на партах имеются посо-бия с лекциями. Целые систематические числа. Способы перевода из одной системы счисления в другую. Признаки делимости в g-ичной си-стеме счисления. Систематические дроби. Алго-ритм перевода обыкновенной десятичной дроби в g-ичную систематическую дробь. Критерий разложимости рационального числа в конечную, чистопериодическую и смешанную систематиче-скую g-ичную дробь. Перевод конечных, чисто-периодических и смешанных g-ичных дробей в обыкновенные.

2

ПР Целые систематические числа. Способы пере-

вода из одной системы счисления в другую.

Признаки делимости в g-ичной системе счисле-

ния. Систематические дроби.

4

ПР Алгоритм перевода обыкновенной десятичной

дроби в g-ичную систематическую дробь. Кри-

терий разложимости рационального числа в ко-

нечную, чистопериодическую и смешанную си-

стематическую g-ичную дробь. Перевод конеч-

ных, чистопериодических и смешанных g-ичных

дробей в обыкновенные.

4

4 Л Метод математической индукции. Комбинато-рика, основные правила комбинаторики. Соеди-нения без повторений.

2

ПР Метод математической индукции. 2

ПР Комбинаторика, основные правила комбинато-рики.

2

ПР Соединения без повторений. 2

Л Соединения с повторениями. Комбинаторные задачи на вычисление вероятностей. Бином Ньютона. Полиномиальные формулы. Комбина-торные тождества.

2

ПР Соединения с повторениями. 4

ПР Комбинаторные задачи на вычисление вероят-ностей.

2

ПР Бином Ньютона. Полиномиальные формулы.

Комбинаторные тождества.

2

5 Л В данном разделе предлагаем сначала изучить элементарные алгебраические функции (рацио-нальные и иррациональные), показательные и логарифмические. Графики функций и их свой-ства. Тождественные преобразования выраже-ний. Разложение на множители многочленов. Преобразование выражений с корнями. Осво-бождение от иррациональности в знаменателе дроби. Преобразование трансцендентных выра-жений. Доказательство неравенств различными методами.

4

ПР Тождественные преобразования выражений.

Разложение на множители многочленов. Преоб-

разование выражений с корнями. Освобожде-

ние от иррациональности в знаменателе дроби.

4

ПР Преобразование трансцендентных выражений.

Доказательство неравенств различными мето-

дами.

4

ПР Возвратные уравнения четной и нечетной степе-ней. Метод неопределенных коэффициентов. Метод интервалов. Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля. Иррациональные уравнения и неравенства. По-казательные уравнения и неравенства. Лога-рифмические уравнения и неравенства.

14

5 Л Уравнения и неравенства с параметрами 2

ПР Уравнения и неравенства с параметрами. Ре-

шение задач С3 и С5 ЕГЭ по математике.

8

6 Л Тригонометрические функции. Графики функций и их свойства. Тригонометрические уравнения и неравенства.

2

ПР Вычисление значений тригонометрических функций. Тождественные преобразования три-гонометрических выражений.

2

ПР Тождественные преобразования тригонометри-ческих выражений. Решение простейших триго-нометрических уравнений.

2

ПР Решение тригонометрических уравнений и нера-венств.

2

ПР Тригонометрические неравенства. 2

ПР Системы тригонометрических уравнений и нера-венств.

2

6 Л Обратные тригонометрические функции. Гра-фики функций и их свойства.

2

ПР Обратные тригонометрические функции. 2

ПР Доказательство тождеств на множестве, содер-жащих обратные тригонометрические выраже-ния.

2

ПР Доказательство неравенств на множестве, со-держащих обратные тригонометрические выра-жения.

2

ПР Решение уравнений, содержащих аркфункции. 2

ПР Решение неравенств, содержащих аркфункции. 2

ПР Решение задач ЕГЭ по математике. 2

7 Л/ПР Аксиомы и теоремы абсолютной геометрии 2/2

Л/ПР Многоугольники: выпуклые, невыпуклые, звезд-

чатые, правильные, вписанные и описанные.

2/2

Л/ПР Замечательные точки и линии в треугольнике 2/2

Л/ПР Геометрические места точек 2/2

ПР Построения на плоскости 2

Л/ПР Преобразования плоскости: движение, подобие,

гомотетия, инверсия.

2/2

ПР Измерение геометрических величин 2

8 Л/ПР Аксиомы стереометрии. Параллельность и пер-пендикулярность прямых и плоскостей в про-странстве.

2/1

Л/ПР Многогранные углы 2/1

Л/ПР Многогранники: выпуклые, невыпуклые, пра-вильные, полуправильные, звездчатые.

2/2

Л/ПР Тела и поверхности вращения. 2/2

Л/ПР Изображение пространственных фигур на плос-кости.

1/1

Л/ПР Вычисление объемов и площадей поверхно-стей.

1/2

Л/ПР Координатный и векторный методы в геометрии 2/3

9 ПР Задачи повышенной сложности по элементар-ной алгебре. Решение уравнений, неравенств, систем повышенной сложности.

20

ПР Задачи повышенной сложности по элементар-ной геометрии. Решение задач повышенной сложности по планиметрии и стереометрии. За-дачи ЕГЭ, уровень С.

22

Итого: 40 ч. лекции и 158 ч. прак. занятий.

6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

Вопросы, выносимые на зачеты, нужно осветить на уровне основных понятий и свойств, применяемых при решении конкретных задач. Вопросы, выносимые на экза-мен нужно обосновывать и строго доказывать.

ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ ПО КУРСУ «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА» 4 СЕМЕСТР

1. НОД. Алгоритм. Евклида. Свойства НОД. 2. Линейное представление НОД двух или нескольких чисел. 3. Систематические числа. Запись числа в произвольной системе счисления. 4. Действия с числами в позиционной системе счисления. 5. Переход от одной системы счисления в другую. 6. Основные правила комбинаторики. 7. Принцип включения и исключения. 8. Размещения с повторениями и без повторений. Их число. 9. Перестановки с повторениями и без повторений. Их число. 10. Сочетания без повторений. Вычисление числа сочетаний без повторений. 11. Сочетание с повторениями. Вычисление числа сочетаний с повторениями. 12. Формула бинома Ньютона. 13. Свойства биномиальных коэффициентов. 14. Полиномиальная формула.


1. Выражения. Классификация выражений. 2. Тождества на множестве. Тождественные преобразования рациональных выраже-

ний. 3. Уравнения. Следствие. Равносильность уравнений. Преобразования уравнений, при

которых получается равносильное уравнение. 4. Степенная функция. 5. Показательная функция. 6. Логарифмическая функция. 7. Функции синус и косинус. 8. Функции тангенс и котангенс. 9. Решение квадратичных уравнений. Двучленные и трехчленные уравнения. 10. Системы уравнений. Тождественные преобразования систем уравнений. Преобразо-

вания систем при которых получается равносильная система. 11. Возвратные и симметрические уравнения.

12. Методы решения целых рациональных уравнений. 13. Иррациональные уравнения. Методы их решений. 14. Решение уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля. 15. Числовые неравенства. Их свойства. Неравенство Коши. 16. Способы доказательства неравенств. 17. Решение дробно-рациональных неравенств. Метод интервалов. 18. Неравенства, содержащие неизвестные под знаком модуля. 19. Решение иррациональных неравенств. 20. Тождественные преобразования логарифмических и показательных выражений. 21. Показательные уравнения. Способы решения отдельных классов показательных

уравнений. 22. Логарифмические уравнения. Способы решения отдельных классов логарифмиче-

ских уравнений. 23. Показательные неравенства. Способы решения отдельных классов показательных

неравенств. 24. Показательные неравенства с переменным основанием. 25. Логарифмические неравенства. Способы решения отдельных классов логарифмиче-

ских неравенств. 26. Логарифмические неравенства с переменным основанием.


1. Тригонометрические функции. Графики функций и их свойства. 2. Обратные тригонометрические функции. Графики функций и их свойства. 3. Решение тригонометрических уравнений. 4. Решение тригонометрических неравенств. 5. Доказательство тождеств и неравенств на множестве, содержащих обратные триго-

нометрические выражения. 6. Решение уравнений и неравенств содержащих аркфункции. 7. Уравнения первой степени с параметром. 8. Неравенства первой степени с параметром. 9. Уравнения второй степени с параметром. 10. Неравенства второй степени с параметром.


1. Аксиомы и теоремы абсолютной геометрии. 2. Окружность. Диаметры и хорды. Углы, связанные с окружностью (центральный, впи-

санный, с вершиной внутри и вне окружности, образованный касательной и хордой). 3. Вписанные и описанные четырехугольники. 4. Методы подобия. 5. Аффинные теоремы планиметрии (теоремы Менелая и Чевы). 6. Многоугольники: выпуклые, невыпуклые, звездчатые, правильные, вписанные и опи-

санные. 7. Замечательные точки и линии в треугольнике. 8. Геометрические места точек. 9. Движение. 10. Инверсия. ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ ПО КУРСУ «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА» 8 СЕМЕСТР 1. Аксиомы стереометрии. 2. Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве. 3. Многогранные углы. Углы между прямыми и плоскостями. Двугранные углы. Трех-

гранные углы. 4. Трехгранные углы. Теорема косинусов для трехгранного угла. Теорема синусов и

двойственная теорема косинусов для трехгранного угла.

5. Многогранники: выпуклые, невыпуклые, правильные, полуправильные, звездчатые. Теорема Эйлера для выпуклых многогранников.

6. Тела и поверхности вращения. 7. Изображение пространственных фигур на плоскости. 8. Вычисление объемов и площадей поверхностей. 9. Координатный метод в геометрии. 10. Векторный метод в геометрии.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА» 9 СЕМЕСТР 1. Классификация выражений. 2. Тождество на множестве. Преобразования выражений. 3. Тождественные преобразования рациональных выражений. Основные тождества. 4. Следствие уравнения. Равносильные уравнения. Преобразования, сохраняющие

равносильность. 5. Равносильность систем уравнений. Преобразования, сохраняющие равносильность

систем. 6. уравнения первой и второй степени. 7. Двучленные и трехчленные уравнения. 8. Возвратные уравнения четной степени. 9. Возвратные уравнения нечетной степени. 10. Симметрические уравнения. 11. Частные случаи решения уравнений (введение новых неизвестных, переход к си-

стеме, использование теоремы Безу). 12. Уравнения, содержащие неизвестные под знаком модуля. 13. Частные случаи решения нелинейных систем. 14. Числовые неравенства и их свойства. 15. Методы доказательства неравенств. 16. Неравенства о средних. Соотношения между средними арифметическим, средним

геометрическим, средним квадратичным и средним гармоническим. 17. Неравенства первой и второй степени. 18. Решение дробно – рациональных неравенств. Метод интервалов и его обоснование. 19. Неравенства, содержащие неизвестные под знаком модуля. 20. Тождественные преобразования иррациональных выражений. Освобождение от ир-

рациональности в знаменателе дроби. 21. Преобразования уравнений, содержащих радикалы. решение простейших иррацио-

нальных уравнений. 22. Частные случаи решения иррациональных уравнений. 23. Иррациональные неравенства. Методы решения простейших иррациональных урав-

нений. 24. Метод интервалов для решения иррациональных неравенств. 25. Уравнения первой и второй степени с параметром. 26. Преобразования графиков функций. 27. Графический метод решения уравнений. 28. Графический метод решения неравенств. 29. Тождественные преобразования выражений. содержащих показательные и логариф-

мические выражения. 30. Решение показательных уравнений. 31. Логарифмические уравнения. 32. Показательные неравенства. 33. Логарифмические неравенства. 34. Логарифмические неравенства с основанием, содержащим неизвестное. 35. Основные правила комбинаторики.

36. Формулы включений и исключений. 37. Размещение без повторений и с повторениями. 38. Перестановки без повторений и с повторениями. 39. Сочетания без повторений. 40. Сочетания с повторениями. 41. Свойства числовых сочетаний. 42. Формула Бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. 43. Полиномиальная формула. 44. Аксиомы и теоремы абсолютной геометрии. 45. Многоугольники: выпуклые, невыпуклые, звездчатые, правильные, вписанные и опи-

санные. 46. Замечательные точки и линии в треугольнике. 47. Геометрические места точек. 48. Преобразования плоскости: движение, подобие, гомотетия, инверсия. 49. Аксиомы стереометрии. 50. Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве. 51. Многогранные углы. 52. Многогранники: выпуклые, невыпуклые, правильные, полуправильные, звездчатые. 53. Тела и поверхности вращения. 54. Вычисление объемов и площадей поверхностей. 55. Координатный и векторный методы в геометрии.

ПЕРЕЧЕНЬ ПРИМЕРНЫХ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ И ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯ-ТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Преобразования выражений, содержащих переменную под знаком логарифма. 2. Определение логарифма, свойства логарифма, переход к новому основанию. 3. Логарифмирование и потенцирование. 4. Системы уравнений. Равносильные системы. 5. Решение систем уравнений методом подстановки, алгебраического сложения, введе-ния нового переменного. 6. Графическое решение систем уравнений. 7. Доказательство неравенств. Методы доказательств. 8. Тригонометрические функции, их свойства, графики. 9. Формулы сложения и вычитания аргументов, формулы привидения, двойного угла. 10. Обратные тригонометрические функции. 11. Простейшие и основные построения на плоскости. 12. Координатный и векторный методы на плоскости. 13. Трехгранный угол и тригонометрия сферы. 14. Связь сферической, гиперболической и евклидовой тригонометрий. 15. Различные способы построения сечений многогранников. 16. Решение задач.

В самостоятельную работу студентов входит выполнение контрольных работ, тестов, индивидуальных заданий и т.д.

Индивидуальные задания к СРС по теме «Решение текстовых задач: проценты, сплавы, смеси»

1. Билет на автобус стоит 30 рублей. Какое максимальное число билетов можно ку-пить на 150 рублей после повышения цены билета на 10%?

2. Имеется два достаточно больших слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит 92% золота, а второй – 80% золота. Из этих слитков надо получить 600 г сплава, содержание золота в котором 85%. Определите массу куска, который для этого необходимо взять от первого слитка.

3. Имеется два раствора кислоты. Первый раствор состоит из 1056 г кислоты и 44 г воды, а второй - из 756 г кислоты и 1344 г воды. Из этих растворов нужно получить 1500

г. нового раствора, содержание кислоты в котором 40%. Сколько граммов первого рас-твора нужно для этого взять?

4. Денежный вклад в банк за год увеличивается на 11 %. Вкладчик внес в банк 7000 рублей. В конце первого года он решил увеличить сумму вклада и продлить срок дей-ствия договора еще на год, чтобы в конце второго года иметь на счету не менее 10000 рублей. Какую наименьшую сумму необходимо дополнительно положить на счет по окончании первого года, чтобы при той же процентной ставке (11 %) реализовать этот план? (Ответ округлите до целых.)

Индивидуальные задания к СРС по теме «Логарифмы»

1. Вычислите: 2 2 2

5log sin log sin log sin .

12 6 12

2. Вычислите 2 3 6log 36 log 2 log 3.

3. Вычислите 1 1

lg24 lg24

4 6log 48 6 4 log 250.

4. Вычислите

1 1

lg6 lg6

5 5log 2 3 2 log 250.

5. Вычислите 6 6log 7 log 7

3 22log 8 log 3 2 3 .

Индивидуальные задания к СРС по теме «Исследование функций»

Уровень I 1. Найдите область определения следующих функций:

3

2 3, .

2 log 5

x xy y

x x

2. Найдите множество значений следующих функций: 10 6cos , 2sin3 1.y x y x

Уровень II

1. Найдите точки максимума функции 2 4

3 4

2

3 24 3 12 .

1

x xy x x

x

2. Найдите наименьшее значение функции 5 3 2( ) 0,2 4 10cos2 20sinf x x x x x x на отрезке

[1; 3].

3. Найдите промежутки убывания функции 3 3 2

1log

3 41( ) ( 1) .

3

x

x x

f x x

Индивидуальные задания к СРС

по теме «Преобразования графиков функций. Графический способ решения уравнений и неравенств»

1. Дана функция y=f (x), где 2, если 2 0,

( ) 1, если 0 3,

31,если 3.

x x

f x x x

xx

а) Вычислить f (-2), f (0), f (1,25). b) Найти D(f) и E(f). c) Выяснить, сколько корней имеет уравнение f (x)=a при различных значениях параметра а (по графику). d) Ре-шить неравенства: f (x)<0,5; f (x)>0,5, используя график функции.

2. Построить график функции 2 4 3 5.y x x

3. Построить график функции 2 2

2

1 5 6.

2

x x xy

x x

4. Решить графически уравнение 1 1.x x

5. Решить графически уравнение 3 4 12 0.x y

6. Решить графически неравенство 22 0.y x

7. Решить графически систему уравнений 2 2 16,

4.

x y

y x

8. Решить графически систему неравенств 2 3 6,

7 0.

x y

x y

Индивидуальные задания к СРС по теме «Системы уравнений»

Уровень I

1. Решить систему уравнений методом подстановки 3 5,

2.

x y

xy

2. Решить систему уравнений методом алгебраического сложения 2 2 0,

4 3 30 0.

x xy

y xy

3. Решить систему уравнений методом введения новой переменной

2 2

2,5,

3.

x y

y x

x y

4. Решить систему уравнений методом введения новых переменных

2 32,

3 2

8 91.

3 2

x y x y

x y x y

Уровень II

1. Найдите количество всех решений системы уравнений:

3

2

7,

11 1.

x xy

yx y

x

2. Докажите, что система уравнений

3 2

3 22 2

2 7 16 15 0,

34 2 7 1 5 2 2 6 2 3 9

y x y

x x x

x y y x x x xx

не имеет решений.

3. Решите систему уравнений

2sin

3 2 2

3

3 1 cos 1,

4 2 1 log (11 41 12 ) 0.

x y

x xy y y x x x

Задание к СРС по темам « Тригонометрические функции, их свойства, графики. Формулы сложения и вычитания аргументов, формулы привидения, двойного

угла. Обратные тригонометрические функции»

После изучения этого теоретического материала по учебному пособию [8], необхо-димо в тетрадях кратко законспектировать: 1) определение тригонометрических функ-ций, их свойства, графики; 2) соотношения между тригонометрическими функциями од-ного аргумента; 3) формулы приведения; 4) теоремы сложения для тригонометрических функций; 5) тригонометрические функции кратных аргументов; 6) формулы половинных

аргументов; 7) формулы преобразования произведения тригонометрических функций в

сумму; 8) формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведе-ние; 9) аркфункции; их определения, свойства и графики; 10) тригонометрические опе-рации над аркфункциями; 11) соотношения между аркфункциями; 12) выполнение об-ратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями.

Индивидуальные задания к СРС по теме «Формулы сложения и вычитания аргументов, формулы привидения, двойного угла»

Вариант №0

1. Найдите значение выражения cos71 cos10 cos80 cos19.

2cos69 cos8 2cos82 cos21

2. Найдите значение выражения sin30 sin12 cos18 cos12 sin18 .

3. Найдите значение выражения cos60 cos25 cos35 sin25 sin35 .

4. Вычислите cos75 cos15.

sin135

5. Вычислите arccos (1/ 2)

.arcctg 3

6. Найдите значение выражения cos15 cos50 sin65 cos65 sin50 .

7. Найдите значение выражения )3

2(arcsinctg52 .

Индивидуальные задания к СРС по теме «Векторы на плоскости»

Вариант №0 1. Векторы иАВ р АF q служат двумя смежными сторонами правильного шести-

угольника АВСDEF. Выразите через векторы ир q векторы , , , , , .АС AD АE ВE CF BF

2. Докажите, что если А, В, С, D, E, F – середины последовательных сторон шести-угольника, то 0.АВ СD ЕF

3. Дан пятиугольник АВСDE; М, K, N и L соответственно середины сторон ВС, CD, DE и EA. Докажите, что отрезок, соединяющий середины MN и KL, параллелен АВ и равен ¼ AB.

Индивидуальные задания к СРС по теме «Декартовы координаты на плоскости»

Вариант №0 1. Даны четыре точки А(0, 2), В(3, 1), С(-5, 3), D(2, 4). Найдите координаты такой точки Q, что 0.QA QB QC QD

2. Дан четырехугольник А(-1, 7), В(5, 5), С(7, -5), D(3, -7). а) Докажите, что отрезки, со-единяющие середины сторон AD и ВС, АВ и CD, пересекаются и делятся точкой пересе-чения пополам; б) показать, что четырехугольник, вершинами которого служат середины сторон данного четырехугольника, есть параллелограмм. 3. Найти координаты центра и радиус окружности, проходящей через точку A(-8, 4) и касающейся осей координат.

Индивидуальные задания к СРС по теме «Различные способы построения сечений многогранников»

Вариант №0 1. Дано изображение пятиугольной призмы

1 1 1 1 1ABC D E ABCDE точек K, M, N, таких что К=А;

М – середина ВС1; N – середина DD1. Построить сечение этой призмы плоскостью KMN. 2. Дано изображение пятиугольной пирамиды АВСDES и точек K, M, N, таких что АК=1/4AS; BМ=1/3BS ; DN =1/2DS. Построить сечение этой пирамиды плоскостью KMN. 3. Дано изображение четырехугольной призмы

1 1 1 1ABCDABC D и точек M, N, К, лежащих на

гранях DAA1D1, ABB1A1, ВСС1В1. Построить сечение этой призмы плоскостью MNK. 4. Дано изображение четырехугольной пирамиды SАВСD и точек M, N, К, лежащих на гранях АВS, CDS, ВСS .Построить сечение этой пирамиды плоскостью KMN.

Контрольная работа по теме «Элементы теории чисел»

Вариант №0 1. Наибольший общий делитель представить в виде линейной комбинации этих чисел с целыми коэффициентами: .74,168 ba

2. Найти наименьшее общее кратное чисел .74,168 ba

3. Выполнить указанные действия, если данные числа написаны в позиционной си-

стеме счисления с основанием 1g . Ответ записать в системе счисления с основанием

2g . 1 214 (214 3117 23), 8, 7g g

4. Докажите, что при любом целом неотрицательном n: 9137 nn

5. Докажите, что если n – натуральное число, то выполняется следующее неравенство:

.2,24

13

2

1...

2

1

1

1

nгде

nnn

6. Определите число цифр в периоде и число цифр в предпериоде при обращении дроби r в десятичную дробь:

1750

1r

Контрольная работа по теме «Комбинаторика. Бином Ньютон»

Вариант №0 1. Сколькими способами можно сформировать пассажирский поезд из 6 купейных ваго-нов, 7 плацкартных, 3 общих, одного вагона ресторана? 2. Из 40 учащихся класса 32 занимаются в математическом кружке, 21 – в кружке «Уме-лые руки», а 15 – в обоих кружках. Сколько учащихся класса не занимаются ни в одном, ни в другом? 3. Сколько кортежей длины 2 получится из элементов множества },,,{ dcbaX ? Сколько

получится кортежей, таких, чтобы в них элементы не повторялись. 4. Сколькими способами можно выбрать из слова «логарифм» две согласных и одну гласную буквы?

5. В разложении n

b

a

a

b

10

3

7 имеется член, содержащий ab. Найти его.

Контрольная работа по теме «Уравнения и неравенства»

Вариант №0

1. Решить неравенство:

3 2

4

3 ( 1) ( 2)0

3 8

x x x x

x

2. Решить неравенство: 2 7 12 6x x x .

3. Решить уравнение: 2 3 1x x x .

4. Решить неравенство: 2 4

1 1x

x

5. Решить уравнение: 1 1lg( 30) lg( 30) 1 2lg2.

2 2x x

Контрольная работа по теме «Тригонометрия»

Вариант №0 1. Доказать

2

2sin

8sin

8sin 22

.

2. Решить уравнение 0

sin

cos3

2cos

2sin

x

x

x

x .

3. Решить систему уравнений

4

1coscos

2

1

2cos

2cos

yx

yxyx .

4. Решить неравенство: 0123 ctgxxctgxctg .

5. Решить систему неравенств

3

3

2

1cos

tgx

x.

Контрольная работа

по теме «Обратные тригонометрические функции» Вариант №0

1. Упростите:

7

4arccos

2

1ctg

.

2. Вычислите:

4

3

13

5arccossin arctg

.

3. Выразите через одну из обратных тригонометрических функций: .

3

2arcsin

13

5arccos

4. Докажите тождество: .

43

5

5arcsin

arcctg

5. Докажите неравенство: .

6

1

3

22

4

3arcsin arcctgarcctg

6. Решите уравнение: 4

)1(

xarcctgarcctgx .

Домашняя контрольная работа

по разделу «Уравнения и неравенства с параметрами» Вариант №0

1. Решить уравнение 2 4 3 0.ax x

2. Решить неравенство 2 3.

( 2)( 3) 2 3

x m m

m x m x

3. Решить уравнение 3 2 2 .x x a

4. Решить неравенство 2 1 3 4.x a x x

5. Решить уравнение 2log 2log ( 2) 1.a ax x

6. Решить неравенство 2sin 2cos 1 0.a x x a

Контрольная работа по разделу «Планиметрия»

Вариант №0 1. Дан треугольник АВС, в котором 5, 6, 7.AC AB BC Биссектриса угла С пересекает

сторону АВ в точке D. Определить площадь треугольника АDС. 2. По основаниям а, b трапеции найдите длину, заключенную между боковыми сторо-нами отрезка прямой, проведенной параллельно основаниям через точку пересечения диагоналей. 3. Три круга – один с радиусом R и два других с радиусами 4R – расположены на плос-кости так, что каждые два из них касаются друг друга внешним образом (имеют только одну общую точку). Определить радиус круга, касающегося ко всем трём кругам внеш-ним образом.

Контрольная работа по разделу «Стереометрия»

Вариант №0 1. В конусе даны радиус основания R и высота Н. В него вписана правильная треуголь-ная призма, у которой боковые грани квадраты. Найдите ребро призмы. 2. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна a, а плоский угол при вершине равен . Найдите радиус вписанного шара в пирамиду.

3. Через вершину прямого кругового конуса проведена плоскость под углом к основа-нию конуса. Эта плоскость пересекает основание по хорде длиной a, стягивающей дугу в основании конуса, которой соответствует центральный угол . Найти объем конуса.

Найти площадь сечения. Найти боковую поверхность конуса

7. Литература. 1. Адамар, Ж. Элементарная геометрия. Ч. 1. Планиметрия / Ж. Адамар. Пер. с 11-го

издания (франц.) Издание 4. – М.: ГУПИ Минпроса РСФСР, 1957. – 608 с. 2. Александров, А.Д. Геометрия для 9-10 классов: учебное пособие для уч-ся шк. и

классов с углуб. изуч. матем. / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М.: Про-свещение, 1988. – 480 с.

3. Болтянский, В.Г. Лекции и задачи по элементарной математике / В. Г. Болтянский, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабунин. – М: Наука, 1974.

4. Виленкин, Н..Я. Алгебра и теория чисел. / Н.Я. Виленкин. – М.: «Просвещение», 1974. – 200 с.

5. Виленкин, Н..Я. Элементарная математика / Н.Я. Виленкин, В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. – М.: «Просвещение», 1970. – 222 с.

6. Ганеев, Р. М. Лекции по элементарной математике: учебно-методическое пособие / Р.М. Ганеев, А.Р. Ганеева. – Елабуга: Изд.-во ЕГПУ, 2009. – 106 с.

7. Ганеев, Р.М. Лекции по элементарной математике (часть 1): учебно-методическое пособие / Р.М. Ганеев, А.Р. Ганеева. – Елабуга: Изд-во ЕГПУ, 2007. – 40 с.

8. Ганеев, Р.М. Обзорные лекции по элементарной математике. Алгебра и тригономет-рия / Р.М. Ганеев. – Елабуга.: Изд-во ЕГПУ, 2004.

9. Ганеева, А. Р. Практикум по тригонометрии: Учебно-методическое пособие / А.Р. Га-неева, Л.Р. Аркатова. – Елабуга: Изд.-во ЕГПУ, 2007. – 64с.

10. Зайцев, В.В. Элементарная математика / В.В. Зайцев, В.В. Рыжов, М.И. Сканави. – М.: Наука, 1967.

11. Капустина, Т.В. Задачник-практикум по элементарной геометрии: Учеб. пособие / Т.В. Капустина. – Елабуга: Изд-во Елабуского государственного педагогического ин-ститута, 2007. – 34 с.

12. Капустина, Т.В. Лекции по элементарной геометрии. Часть I. Планиметрия / Т.В. Ка-пустина. – Елабуга: изд-во Елабуского государственного педагогического института, 2000. – 70 с.

13. Капустина, Т.В. Лекции по элементарной геометрии. Часть II. Стереометрия / Т.В. Ка-пустина. – Елабуга: изд-во Елабужского государственного педагогического института, 2000. – 60 с.

14. Киселёв, А.П. Геометрия: Планиметрия: 7-9 кл.: Учебник и задачник / А.П. Киселёв, Н.А. Рыбкин. – М.: Дрофа, 1995. – 352 с.

15. Коксетер, Г.С.М. Новые встречи с геометрией / Г.С.М. Коксетер, С.Л. Грейтцер. – М.: «Наука», 1978. – 224 с.

16. Куликов, Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учебное пособие для педагогических институ-тов. / Л.Я. Куликов. – М.: Высшая школа, 1979. – 559 с., ил.

17. Литвиненко, В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по решению задач школьной матема-тики. Практикум по тригонометрии / В.Н. Литвиненко. – М.: «Просвещение», 1977.

18. Новосёлов, С.И. Специальный курс тригонометрии / С.И. Новосёлов. – М.: Изд-во «Высшая школа», 1967.

19. Попырин, А.В. Задачи по элементарной математике. Алгебра и тригонометрия / А.В. Попырин, Л.Н. Савина. – Елабуга: Изд-во Елабужского гос. пед. уни-та, 2005.

20. Пособие по математике для поступающих в вузы (под редакцией М.Ф. Гильмуллина) – Елабуга.: Изд-во Елабужского гос. пед. ини-та, 1999.

21. Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии Ч. 1. / В.В. Прасолов. – 2-е изд. – М.: Наука, 1991. – 320 с.

22. Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии Ч. 2. / В.В. Прасолов. – 2-е изд. – М.: Наука, 1991. – 240 с.

23. Скопец, З.А. Задачи и теоремы по геометрии (планиметрия) / З.А. Скопец, В.А. Жа-ров. Учпедгиз. М. – 1962, 164 с.

24. Стефанова, Н.Л. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: Пособие для вузов / Н.Л. Стефанова, Н.С. Подходова. – М.: Дрофа, 2005, – 416 с.

25. Стефанова, Н.Л. Методика и технология обучения математике. Лабораторный прак-тикум / Н.Л. Стефанова, Н.С. Подходова. – М.: Дрофа, 2007, – 320 с.

26. УМК Мордкович А.Г. и др. Алгебра 7, 8, 9; Алгебра начала анализа 10, 11 базовый уровень, профильный уровень, изд-во «Мнемозина».

27. УМК Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 7, 8, 9; изд-во «Просвещение» и изд-во: «Мне-мозина».

28. УМК Виленки Н.Я. Алгебра и начала анализа 10, 11, изд-во «Мнемозина». 29. УМК Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7-9 и 10-11, изд-во «Просвещение». 30. УМК Шарыгин И.Ф. и др. Геометрия 7-9 и 10-11 изд-во «Дрофа» 31. УМК Потоскуев и др. Геометрия 10, 11; изд-во «Дрофа»

8. Интернет-ресурсы. Образовательный математический сайт – http://www.exponenta.ru/ Учебное пособие - http://bars.kfu-elearning.ru/course/view.php?id=1224 Учебные пособия – http://tulpar.kpfu.ru/course/view.php?id=764 9. Материально-техническое обеспечение дисциплины/ модуля согласно утвер-

жденному учебному плану Освоение данной дисциплины предполагает использование следующего материально-технического обеспечения: проектор, экран и интерактивная трибуна. Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО и учебным планом по направлению 050100.62 «Педагогическое образование» и профилю подготовки «Мате-матика и информатика». Автор(ы): Ганеев Р.М.__________ Ганеева А.Р.____________ «___»______________201__г. Рецензент(ы): Гильмуллин М.Ф. «___»______________201__г.

http://www.exponenta.ru/

http://bars.kfu-elearning.ru/course/view.php?id=1224

http://tulpar.kpfu.ru/course/view.php?id=764

Documents

Федеральное государственное автономное ...tulpar.kpfu.ru/pluginfile.php/40389/course/summary... · 2014-11-05 · функции. Урав-нения