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제 10 장 제어시스템의 설계 (F)
[예제 10.14] 다음과 같은 전달함수를 가진 시스템을 생각해 보자.
(1) K=0.5,1,2 일 때 a=0.1, T=100 인 뒤짐보상기 를 사용하여 보상한
시스템의 단위계단응답을 구하여라.
(2) K=0.5,1,2 일 때 견실제어기 를 사용하여 보상한 시스템의
단위계단응답을 구하여라.
다음은 CEMTool로 계산된 결과 입니다.
<<풀이>>
(1) 뒤짐보상기로 보상한 시스템의 단위계단응답
CEMTool 프로그램 Ex10_14a.cem
/* Unit step response */
t = 0:1:0.01;
// Lag compensator
numc = [10 1];
denc = [100 1];
// K = 0.5
num1 = 2500*0.5*numc;
den1 = conv([1 25 0], denc) + [0 0 num1];
y1 = step(num1, den1, t);
// K = 1
num2 = 2500*numc;
den2 = conv([1 25 0], denc) + [0 0 num2];
y2 = step(num2, den2, t);
// K = 2
num3 = 2500*2*numc;
den3 = conv([1 25 0], denc) + [0 0 num3];
y3 = step(num3, den3, t);
// Plot step response
plot(t,y1, t,y2, t,y3)
title("Unit-Step Responses of Compensated Systems")
xtitle("t Sec")
ytitle("Outputs")
그림 10-17 뒤짐보상기로 보상한 시스템의 단위계단응답 곡선[예제 10.14]
그림 10-17의 그래프를 보면 K의 값이 변함에 따라 계단응답이 상당히 변함을 알 수 있다.
이것은 시스템이 K의 값에 민감함을 뜻한다. 즉, 외란 등에 의해 K의 값이 변하면 시스템
이 크게 변할 수 있으므로 뒤짐보상기만으로는 견실한 시스템으로 만들 수 없다.
(2) 견실제어기로 보상한 시스템의 단위계단응답
견실제어기 을 사용할 때는 폐루프의 전방에 전향제어기
를 놓아야 한다. 그러면, 전체 시스템에 대한 전달함수는
다음과 같아진다.
CEMTool 프로그램 Ex10_14b.cem
/* Unit step response */
t = 0:1:0.01;
// Lobust control
numc = [1 26 269];
denc = [269];
// K = 0.5
num1 = 2500*0.5*denc;
den1 = conv([1 25 0], denc) + 2500*0.5*numc ;
y1 = step(num1, den1, t);
// K = 1
num2 = 2500*denc;
den2 = conv([1 25 0], denc) + 2500*numc ;
y2 = step(num2, den2, t);
// K = 2
num3 = 2500*2*denc;
den3 = conv([1 25 0], denc) + 2500*2*numc ;
y3 = step(num3, den3, t);
// Plot step response
plot(t,y1, t,y2, t,y3)
title("Unit-Step Responses of Compensated Systems")
xtitle("t Sec")
ytitle("Outputs")
그림 10-18 견실제어기로 보상한 시스템의 단위계단응답 곡선[예제 10.14]
그림 10-18의 응답곡선으로부터 K의 값이 변해도 계단응답이 거의 변하지 않음을 알 수
있다. 이것은 시스템이 K의 값에 둔감함을 뜻한다. 즉, 외란 등에 의해 K의 값이 변해도 시
스템에는 큰 영향을 주지 않는다. 따라서, 보상된 시스템은 견살한 시스템이 된다.
[예제 10.16] 다음과 같은 전달함수를 가진 시스템을 생각해 보자.
보상되지 않은 시스템과 견실제어기 로 보상한 시스템의 K 에
대한 근궤적선도를 그리고, 견실제어기의 영 향을 설명하여라.
다음은 CEMTool로 계산된 결과 입니다.
<<풀이>>
근궤적선도를 그릴 때는 폐루프의 전방경로에 있는 을 고려하지 않음에 유의하라.즉,
의 개루프 전달함수에 대하여 근궤적선도를 그린다. 다음은 두 경우에
대한 근궤적선도를 그리는 프로그램이다.
CEMTool 프로그램 Ex10_16.cem
/* Root locus */
K = 0:500:1;
// Uncompensated system
numu = [10000];
denu = [1 100 10000 0];
rlocus(numu, denu, K);
title("Root-locus of Uncompensated Systems")
// System with robust control
numc = numu*[1 110 5050];
denc = 5050*denu;
figure
rlocus(numc, denc, K);
title("Root-locus of Compensated Systems")
결과를 그림 10-19와 그림 10-20에 나타내었다.
그림 10-19 보상되지 않은 시스템의 근궤적선도[예제 10.16]
그림 10-20 견실제어기로 보상한 시스템의 근궤적선도[예제 10.16]
보상되지 않은 시스템은 K의 값이 증가하면 근궤적이 허수축을 지나는(s의 오른쪽반평면에
근이 존재하는)것을 알 수 있다. 즉, 어떤 이유(외란)로 인해 K값이 증가하면 시스템이 불안
정해지기 때문에 시스템은 견실하지 않다. 그러나. 견실제어기를 사용하면 K값이 아무리 증
가하여도 근궤적이 허수축을 지나지 않으므로 시스템은 견실하다.
[예제 10.18] 다음과 같은 시스템 방정식을 가진 시스템을 생각해 보자.
이다. 여기서
이다. 상태되먹임 제어 를 사용하여 폐루프극점을
에 위치시키려고 한다. 필요한 상태되먹임 이득행렬 K를 구하여라.
다음은 CEMTool로 계산된 결과 입니다.
<<풀이>>
CEMTool 프로그램 Ex10_18.cem
/* Determination of state feedback gain matrix K */
A = [0 1 0; 64.4 0 -16; 0 0 -100];
B = [0; 0; 100];
// Define the controllability matrix M
M = [B A*B A 2̂*B];
JA = poly(A);
a1 = JA(2); a2 = JA(3); a3 = JA(4);
// Define matrices W and T
W = [a2 a1 1;a1 1 0;1 0 0];
T = M*W;
J = [-20 0 0 ;0 -6+4.9*i 0;0 0 -6-4.9*i];
JJ = poly(J);
aa1 = JJ(2); aa2 = JJ(3); aa3 = JJ(4);
// Compute state feedback gain matrix K
K = [aa3-a3 aa2-a2 aa1-a1]*(inv(T))
K =
-2.0381 -0.2278 -0.6800
그러므로, 상태되먹임 이득행렬은 이다.
[예제 10.20] 다음과 같은 시스템 방정식을 가진 시스템을 생각해 보자.
이다. 여기서
이다. 상태되먹임 제어 를 사용하여 폐루프극점을
에 위치시키려고 한다. 필요한 상태되먹임 이득행렬 K를 구하여라.
다음은 CEMTool로 계산된 결과 입니다.
<<풀이>>
적분제어를 이용한 상태되먹임 공식을 적용하면
이다. 따라서, 다음과 같은 프로그램으로 상태되먹임 이득행렬 K를 구할 수 있다.
CEMTool 프로그램 Ex10_20.cem
/* Determination of state feedback gain matrix K */
A = [0 1 0; 0 -25 0; -2500 0 0];
B = [0; 1; 0];
// Define the controllability matrix M
M = [B A*B A 2̂*B];
JA = poly(A);
a1 = JA(2); a2 = JA(3); a3 = JA(4);
// Define matrices W and T
W = [a2 a1 1;a1 1 0;1 0 0];
T = M*W;
J = [-200 0 0 ;0 -50+50*i 0;0 0 -50-50*i];
JJ = poly(J);
aa1 = JJ(2); aa2 = JJ(3); aa3 = JJ(4);
// Compute state feedback gain matrix K
K = [aa3-a3 aa2-a2 aa1-a1]*(inv(T))
K =
1.0e+004 *
2.5000 0.0275 -0.0400
그러므로, 상태되먹임 이득행렬은 이다.