제 10 장 제어시스템의 설계 (C)

[예제 10.5] 다음과 같은 전달함수를 가진 시스템을 생각해 보자.

시스템의 성능을 개선하기 위해 다음과 같은 제어기를 사용하려고 한다.

PD 제어기 :

PI 제어기 :

PID 제어기 :

(1) 각 제어기로 보상한 시스템의 단위계단응답을 구하여라.

(2) 각 제어기로 보상한 시스템의 Bode 선도를 그려가.

다음은 CEMTool로 계산된 결과 입니다.

<<풀이>>

(1) 단위계단응답

CEMTool 프로그램 Ex10_5a.cem

/* Unit step response */

num = 2.718e9;

den = [1 3408.26 400.26*3008 0];

t = 0:0.1:0.001;

// PD control

numc1 = conv(num, [0.002 1]);

denc1 = den + [0 0 numc1];

yc1 = step(numc1, denc1, t);

// PI control

numc2 = conv(num, [0.075 0.15]);

denc2 = [den 0] + [0 0 0 numc2];

yc2 = step(numc2, denc2, t);

// PID control

numc3 = conv(num, [0.0006 0. 309 4.5]);

denc3 = [den 0] + [0 0 numc3];

yc3 = step(numc3, denc3, t);

// Plot step response

plot(t,yc1, t,yc2, t,yc3)

title("Unit-Step Responses of Compensated Systems")

xtitle("t Sec")

ytitle("Outputs")

결과로 나온 단위계단응답 곡선을 그림 10-5 에 나타내었다.

그림 10-5 PD, PI 및 PID 제어기를 가진 시스템의 단위계단응답 곡선[예제 10.5]

상승시간이나 정착시간 사양을 개선시킬 때는 PD 제어가 좋으며 최대오버슈트 사양

을 개선할 때는 PI 제어가 좋다는 것을 알 수 있다. 예상대로 PID 제어기를 사용한

시스템의 단위계단응답은 PD 제어와 PI 제어의 특성을 적당히 혼합한 형태가 나왔

다.

(2) Bode 선도

CEMTool 프로그램 Ex10_5b.cem

/* Bode plot */

num = 2.718e9;

den = [1 3408.26 400.26*3008 0];

w = logspace(-1, 5, 500);

// PD control

numc1 = conv(num, [0.002 1]);

denc1 = den;

bode(numc1, denc1, w);

holdon

// PI control

numc2 = conv(num, [0.075 0.15]);

denc2 = [den 0];

bode(numc2, denc2, w);

// PID control

numc3 = conv(num, [0.0006 0.309 4.5]);

denc3 = [den 0] ;

bode(numc3, denc3, w);

title("Bode Plots of Compensated Systems")

프로그램을 실행시키면 그림 10-6의 Bode 선도를 얻을 수 있다.

그림 10-6 PD, PI 및 PID 제어기를 가진 시스템의 Bode 선도[예제 10.5]

[예제 10.6] 다음과 같은 전달함수를 가진 시스템을 생각해 보자.

앞섬보상기 를 사용하여 시스템을 보상하려고 한다.

(1) 보상되지 않은 시스템과 a=12.5, T=0.004 일 때의 앞섬보상기

를 사용하여 보상한 시스템의 단위계단응답 을 구하고, 결과를 설명하여라.

(2) 보상되지 않은 시스템과 a=2.46, T=0.0106 일 때의 앞섬보상기

를 사용하여 보상한 시스템의 Bode 선도 를 그리고, 결과를

설명하여라.

다음은 CEMTool로 계산된 결과 입니다.

<<풀이>>

(1) 단위계단응답

CEMTool 프로그램 Ex10_6a.cem

/* Unit step response */

t = 0:0.35:0.001;

// Uncompensated system

numu = 2500;

denu = [1 25 0] + [0 0 numu];

yu = step(numu, denu, t);

// System with lead compensator

numc = 2500*12.5*[1 20];

denc = conv([1 25 0], [1 250]) + [0 0 numc];

yc = step(numc, denc, t);

// Plot step response

plot(t,yu, t,yc)

title("Unit-Step Responses of Compensated and Uncompensated System")

xtitle("t Sec")

ytitle("Outputs")

결과를 그림 10-7에 나타내었다. 앞섬보상기를 사용함으로써 최대오버슈트를 줄이고, 상

승시간과 정착시간도 작게 할 수 있음을 알 수 있다.

그림 10-7 보상되지 않은 시스템과 앞섬보상기로 보상된 시스템의 단위계단응답 곡

선[예제 10.6]

(2) Bode 선도

CEMTool 프로그램 Ex10_6b.cem

/* Bode plot */

w = logspace(0, 3, 500);

// Uncompensated system

numu = 2500;

denu = [1 25 0];

bode(numu, denu, w);

holdon

// System with lead compensator

numc = 2500*2.46*[1 38.21];

denc = conv([1 25 0], [1 94.1]);

bode(numc, denc, w);

title("bode Plots of Compensated Systems and Uncompensated System")

결과를 그림 10-8에 나타내었다.

그림 10-8 보상되지 않은 시스템과 앞섬보상기로 보상된 시스템의 Bode 선도[예제

10.6]

앞섬보상기를 사용함으로써 위상여유를 크게 하여 시스템의 안정도 또는 시스템의 주파수영

역 사양을 개선할 수 있음을 알 수 있다. 앞섬보상의 효과를 정리하면 다음과 같다.

1. 전달함수에 하나의 영점과 하나의 극점을 추가하는데 영점이 극점의 오른쪽에 있도록 한

다. 일반적인 효과는 폐루프 시스템의 제동을 더해준다. 상승시간과 정착시간은 일반적으로

감소한다.

2. 이득교차 주파수 근처에서 전달함수의 위상이 증가한다. 이는 폐루프 시스템의 위상여유

를 개선한다.

3. Bode 선도의 크기곡선 기울기가 이득교차 주파수에서 감소한다. 이는 이득여유와 위상여

유의 개선의 형태로 시스템의 상대적인 안정도 개선에 대응한다.

4. 폐루프 시스템의 대역폭이 증가한다. 이는 더 빠른 시간응답에 대응한다.

5. 시스템의 정상상태오차에는 영향을 미치지 않는다.