Obtención de la Ley del Seno y la Ley del Coseno para triángulos MC Carlos Francisco Montoya Mejía

Universidad Politécnica de Sinaloa Página 1

Ley del Seno:

Dado un triángulo cualquiera con vértices ABC.

Se divide el triángulo ABC en dos triángulos de forma tal que se formen dos triángulos rectángulos.

Existen ahora dos triángulos rectángulos: ACD y BCD.

Usando la función trigonométrica ‘seno’ para los ángulos α y β:

Despejando h en ambas ecuaciones e igualando:

Lo que puede escribirse como:

A

C

B D

h

α β

A

C

B β α

δ

( a )

( b )

( c )

( d )

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De manera similar:

Lo que textualmente puede escribirse:

‘La razón (el cociente) entre el seno del ángulo y el lado , que se opone a este ángulo, es

igual a la razón entre el seno del ángulo y el lado , que se opone a ’.

Con un procedimiento similar, trazando una nueva línea que divida al triángulo original en dos

triángulos rectángulos nuevos, se puede demostrar lo mismo para el ángulo faltante, quedando de

manera generalizada como:

( e )

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Ley del Coseno:

Dado un triángulo cualquiera con vértices ABC.

Se divide el triángulo ABC en dos triángulos de forma tal que se formen dos triángulos rectángulos.

Existen ahora dos triángulos rectángulos: ACD y BCD.

Usando el Teorema de Pitágoras para los triángulos formados se tiene:

Como término común se tiene , igualando se tiene:

Despejando ,

Según la figura, el segmento , por tanto

A

C

B D

h

α β

A

C

B β α

δ

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 5 )

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Sustituyendo ( 7 ) en ( 4 ),

Por la figura, es claro que

Por lo tanto

Sustituyendo este resultado en ( 9 ),

Lo que textualmente puede escribirse:

‘El cuadrado del lado es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes ( y

) del triángulo ABC, menos el doble producto de éstos por el coseno del ángulo α, que se

opone al lado ’.

Con un procedimiento similar se puede demostrar lo mismo para los otros dos lados, quedando de

manera generalizada como:

( 6 )

( 7 )

( 8 )

( 9 )

( 10 )

( 11 )

( 12 )