Prof. S. Vélez

Ley de Coseno

Ley de Coseno

• Dado un triángulo ABC, si representamos la altura en

términos de un ángulo podemos obtener tres distintas

fórmulas.

2

C

h

A

B m n

c b

a H

cos2bc - c b a 222

cos2ac - c a b 222

cos2ab - b a c 222

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a2 = b2 + c2 – 2bc cos

b2 = a2 + c2 – 2ac cos

c2 = a2 + b2 – 2ab cos

ab

c

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Ley de Coseno

Estas fórmulas las utilizamos cuando conocemos:

• dos lados del triángulo y el ángulo comprendido entre estos.

• los tres lados.

NOTA: El conocer los tres lados no garantiza que el triángulo

tenga solución.

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Ley de Coseno • Ejemplo 1: Encuentre el valor del lado c en el triángulo dado.

b=5 C

a=3

c

B

solución:

Sabemos que . Entonces:

5

o100

cos2ab - b ac 222

2 2 2 o 2c 3 5 - 2(3)(5) cos 100 c 39.21

c 6.26

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Ley de Coseno • Ejemplo 2: Encuentre el valor del lado b en el triángulo dado.

A C

a=3

c=18 B

solución:

Sabemos que . Entonces:

6

2 2 2a c - 2ac cos b

2 2 2 o 23 (18) - 2(3)(18) cos 50 263.58 b b

16.24b

50

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• Ejemplo 3: Encuentre el valor del ángulo en el triángulo dado.

A C

a=9.87

c=18 B

solución:

Sabemos que Entonces:

7

o97

50

o180

o 180 - -

o o o 180 - 97 - 50

o 33

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Ejemplo 4

Use la Ley de coseno para resolver el triángulo cuyos

lados son: 9c 3,b ,8 a

:Solución2 2 2

2 2 2

a c - 2bc cos

8 3 9 - 2(3)(9) cos

64 9 81 54 cos

64 90 54 cos

64 90 54 cos

26 54 cos

26cos

54

b

8

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Ejemplo 4 Continuación:

Use la Ley de coseno para resolver el triángulo cuyos

lados son: 9c 3,b ,8 a

:Solución

2 2 21

:

3 9 8cos

2 3 9

ó puedes usar

2178.61

1

1

26cos

54

cos (0.48148148)

9

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2 2 21cos

2

a c b

ac

2 2 21 8 9 3

cos2 8 9

1881.19

2 2 21 8 3 9

cos2 8 3

5941.99

Ejemplo 4 Continuación:

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105 , a 10, b 4.5 :Solución

105cos5.41025.410 222c

2c 5437.143

c 143.5437 11.98

Ejemplo 5

Use la Ley de coseno para resolver el triángulo con

cos2ab - b ac 222

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2 2 21cos

2

b c a

bc

2 2 21 4.5 11.98 10

cos2 4.5 11.98

74.53

180 105 53.74

21.26

Ejemplo 5 Continuación:

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