OBSAH

Úvod ............................................................................................................................... 5

1 História peňazí a finančných trhov ......................................................................... 7

2 Úrokový počet ........................................................................................................... 10

3 Jednoduché úrokovanie............................................................................................ 12

3.1 Jednoduchý úrok .................................................................................................. 12

3.2 Budúca hodnota kapitálu pri jednoduchom úrokovaní ........................................ 14

3.3 Výpočet úroku z viacerých istín ........................................................................... 17

3.4 Časová hodnota peňazí a princíp finančnej ekvivalencie .................................... 18

3.5 Diskont................................................................................................................. 20

3.6 Vzťah medzi úrokovou a diskontnou sadzbou..................................................... 24

4 Zložené úrokovanie................................................................................................... 28

4.1 Budúca hodnota kapitálu pri zloženom úrokovaní ............................................... 28

4.2 Nárast kapitálu pri jednoduchom a zloženom úrokovaní ..................................... 30

4.3 Frekvencia úrokovania.......................................................................................... 32

4.4 Efektívna úroková miera....................................................................................... 33

4.5 Diskontovanie pri zloženom úrokovaní................................................................ 34

5 Zmiešané úrokovanie................................................................................................ 37

6 Spojité úrokovanie .................................................................................................... 41

7 Analýza investícií ...................................................................................................... 44

8 Vplyv inflácie a daňového zaťaženia na úrokovú mieru....................................... 48

9 Rentový počet ............................................................................................................ 52

10 Polehotná renta ........................................................................................................ 54

10.1 Dočasná polehotná renta .................................................................................. 54

10.2 Odložená polehotná renta ................................................................................. 60

10.3 Večná polehotná renta ...................................................................................... 62

10.4 p- termínová polehotná renta ........................................................................... 63

11 Predlehotná renta .................................................................................................... 71

11.1 Dočasná predlehotná renta............................................................................... 71

11.2 Odložená predlehotná renta .............................................................................. 76

11.3 Večná predlehotná renta ................................................................................... 77

11.4 p- termínová predlehotná renta ....................................................................... 78

12 Umorovanie dlhu...................................................................................................... 84

12.1 Splácanie úveru rovnakými splátkami.............................................................. 85

12.2 Splácanie úveru vopred danou konštantnou anuitou ........................................ 87

12.3 Úmor úveru nerovnakými splátkami ................................................................ 89

13 Faktoring .................................................................................................................. 93

14 Leasing ...................................................................................................................... 99

15 Forfaiting ............................................................................................................... 109

Literatúra ................................................................................................................... 112

ÚVOD Finančná matematika sa zaoberá aplikáciami matematických metód vo finančníctve,

poisťovníctve a podnikovej praxi.

Predkladaná publikácia sa snaží zrozumiteľným spôsobom vysvetliť základné

pojmy a princípy finančných výpočtov. Prvá kapitola obsahuje historický prehľad

vzniku peňazí a finančných trhov. Ďalšie časti sa venujú úrokovému a rentovému počtu.

Po vymedzení základných pojmov a odvodení dôležitých vzťahov v jednotlivých

kapitolách, resp. podkapitolách vždy nasledujú riešené príklady, ktoré demonštrujú

vyloženú problematiku. Príklady sme sa snažili vybrať aktuálne, ktoré riešia konkrétne

úlohy z praxe. Okrem riešených príkladov obsahuje množstvo úloh na riešenie, na

ktorých si čitateľ môže preveriť svoje vedomosti. Výsledky riešenia sú uvedené

v zátvorkách. Posledné tri kapitoly sú venované dôležitým aplikáciám finančnej

matematiky v praxi ako je umorovanie dlhu, leasing, faktoring a forfaiting.

Publikácia môže slúžiť ako učebnica finančnej matematiky na stredných školách

s ekonomickým zameraním, študentom gymnázií s výučbou voliteľného predmetu

Finančná matematika, obchodných akadémií, ale môže poslúžiť aj pre potreby výučby

základov finančnej matematiky na vysokých školách.

Na záver chcem poďakovať všetkým, ktorí prispeli k skvalitneniu tejto publikácie,

predovšetkým pracovníkom z praxe a recenzentom za starostlivé prečítanie a

pripomienky, ktoré boli zapracované do predkladanej publikácie.

Autorka

7

1 HISTÓRIA PEŇAZÍ A FINANČNÝCH TRHOV

Peniaze sú univerzálne platidlo a slúžia ako všeobecný ekvivalent tovaru. Prvýkrát

sa objavili v podobe kovových mincí v polovici 7. storočia p.n.l. v Malej Ázii.

V Európe začali raziť mince v 6. storočí p.n.l. Gréci. Papierové peniaze sa začali

používať až v 11. storočí n.l. v Číne. V poslednej dobe sa rozšírili aj tzv. počítačové

peniaze, ktoré existujú len ako elektronické údaje, pričom platby sa vykonávajú

kreditnou kartou alebo prostredníctvom počítačovej siete.

Z ekonomického hľadiska majú peniaze časovú hodnotu s klesajúcim trendom , t.j.

peniaze sa časom znehodnocujú. Okrem toho sa súčasná dispozícia zdrojov vždy cenila

viac, ako dostupnosť tých istých zdrojov v budúcnosti, preto je prirodzené požadovať

poplatok (úrok) za dočasné poskytovanie voľných finančných prostriedkov. Úrok, resp.

úroková miera, podobne ako peniaze, majú svoju históriu vzniku a vývoja. Keď si

staroveký farmár prvýkrát požičal obilie, aby mohol kultivovať svoju pôdu, netušil čo

s tým odštartoval. Už 3000 rokov p.n.l. požičiavali starovekí Sumeri obilie na 33%-ný

úrok, striebro na 20%-ný úrok. Významný panovník starovekého Babylonu Chamurabi

vydal v roku 1800 p.n.l. zákonník, ktorý reguloval aj finančné transakcie v Babylone

(bankové vklady, šeky, pôžičky, používané ako prvé cenné papiere). Babylončania tým

položili základy fundovanej finančnej aktivity, ktorá mala vplyv na formovanie

finančných systémov počas nasledujúcich 2000 rokov a tento vplyv pretrváva až do

súčasnosti.

Prvé obchodné banky vznikli v 6. storočí p.n.l. a poskytovali úvery jednotlivcom,

podnikateľom aj vládam. Úroková miera sa v tomto čase pohybovala medzi 10 až 20%

na rok, podľa typu pôžičky. V tomto období neexistovali organizované finančné trhy,

len niekoľko súkromných bánk. Pôžičky mali individuálny charakter a boli väčšinou

krátkodobé – nepresahovali jeden rok.

V oblasti stredozemného mora boli veľmi rozšírené námorné pôžičky, dobre

zaistené loďou alebo lodným nákladom. Úroková miera dosahovala asi 30%, ale

v prípade vojnového konfliktu alebo rozšírenia pirátstva vystúpila na 60 až 100%.

Príspevok Grékov v oblasti rozvoja financií bol podstatne menší ako u Babylončanov.

V 4. storočí p.n.l. boli rozšírené v Grécku dobre zaistené pôžičky na nízke 6%-né úroky.

Mestské štáty Grécka mali ale nízku mieru úveruschopnosti. Rimania, ktorých

ekonomika bola založená na poľnohospodárstve, nemali veľký záujem o obchodovanie

8

a finančníctvo. Cieľom verejnej politiky bolo udržiavanie nízkych úrokových mier. V 3.

st. p.n.l. bola stanovená rímskymi zákonmi maximálna hranica úrokov na 831 %. Neskôr

sa zvýšila na 12% a ostala rovnaká počas niekoľkých storočí.

Doktrína nemorálnosti úrokovania pôžičky, označovaná ako úžerníctvo, začiatkom

nášho letopočtu ovplyvnila vývoj finančníctva na ďalších 1000 rokov. Pôžičky sa

chápali ako pomoc blížnemu v núdzi, teda bolo nemorálne priživovať sa na nešťastí

iných. Obchodné aktivity začali narastať až v 12. storočí n.l. a prispeli k rozvoju

bankovníctva. Doktrína úžerníctva sa nahradila doktrínou kompenzácie veriteľa za

poskytované finančné prostriedky, ale maximálna hranica úrokovej mieri bola len 5%.

V priebehu 12. a 13. storočia sa rozšírili dva druhy dlhodobých cenných papierov.

Prvým bol census, ktorý vyjadroval právo vlastníka pôdy na podiel

z poľnohospodárskej prosperity – napríklad právo na časť úrody. Census sa dal predať,

obchodovalo sa s ním na vzniknutom sekundárnom finančnom trhu. Census je

predchodcom dnešných hypoték. Druhý typ sekundárneho finančného nástroja vznikol

v Benátkach, kde sa iniciovalo poskytovanie pôžičky zo strany občanov štátu na

financovanie zdravotníckych služieb. Boli to prvé štátne obligácie, s ktorými sa dalo

obchodovať.

Rozvoj financií v Západnej Európe začína v 12. storočí n.l. a je charakterizovaný

obchodovaním s krátkodobými cennými papiermi. Z dlhodobých cenných papierov sa

rozšírili vládne obligácie a hypotéky na nehnuteľnosti. Mnohé bankové aktivity sa

uskutočňovali v rámci partnerských vzťahov, často len v rámci rodiny. Príkladom toho

bola rodina Medici vo Florencii. Členovia tejto rodiny boli významní bankári

a obchodníci s kontaktmi v celej Európe, Severnej Afrike a na Blízkom Východe.

Získali rozsiahle poľnohospodárske usadlosti a veľkú politickú moc v Taliansku v 15.

storočí.

Ako prvá banka založená vládou vznikla anglická národná banka (The bank of

England) v roku 1654. K tomuto roku sa viažu počiatky trhu s dlhopismi vo Veľkej

Británii, keď vláda Viliama III. vydaním dlhopisov získala 1 milión libier na

financovanie vojny v severnom Francúzsku. Národná banka prevzala garanciu za

splatenie tohto štátneho dlhu.

Idea vlastniť akcie pochádza tiež zo 17. storočia. Obchodníci kupovali podiely na

jednotlivých obchodných výpravách a rozdeľovali si zisk na konci plavby na základe

veľkosti podielu. Neskôr zistili, že nie je nutné akciovú spoločnosť rušiť po každej

9

plavbe, ale že stačí zaistiť predaj podielov pôvodných investorov novým investorom.

Neformálny trh s podielmi bol základom pre vznik Akciovej burzy (Stock of Exchange)

v Londýne v roku 1773.

Poisťovne založené v 17. storočí nadobudli význam vďaka súkromným investorom,

ktorí špekulovali s rizikom lodných ciest. V 18. storočí sa centrom finančníctva stal

Amsterdam. Na Amsterdamskej burze sa predávali akcie veľkých spoločností, komodity

aj obligácie. Rozšírili sa aj nové formy obchodovania, ako predaj nakrátko a termínové

obchody.

Zlatou érou financií bolo 19. storočie. Priemyselná revolúcia priniesla veľký dopyt

po kapitálových investíciách. Vznikali nové spoločnosti, zavádzali sa nové technológie.

Výstavba železníc v USA priťahovala obrovské množstvo kapitálu, hlavne britského.

Londýn nahradil Amsterdam v úlohe hlavného svetového finančného centra. Vznikali

ďalšie dôležité tipy finančných inštitúcií (napr. sporiteľne, stavebné a úverové

spoločnosti).

Pre 20. storočie je charakteristické rozptýlenie finančnej moci, dôraz na personálne

financie a vznik nových finančných nástrojov. Centrum svetového finančníctva sa

presúvalo do USA. Čo sa týka vývoja úrokových mier v USA, na začiatku storočia boli

nízke. Minimálnu hodnotu 3% dosiahli v tridsiatych rokoch, ale ostali na relatívne

nízkej úrovni až do roku 1965. v sedemdesiatych rokoch začalo vo finančníctve

a ekonomike obdobie dramatických zmien vynútených internacionalizáciou trhov

a troma svetovými krízami dlžníkov. Toto obdobie viedlo ku vzniku nových pravidiel a

finančných produktov v podobe finančných derivátov (opcie, futurity, swapy), ktoré

zaručovali ochranu pred nepriaznivým vývojom trhu obmedzovaním a riadením

finančných rizík. Prudko sa meniace finančné prostredie ovplyvnilo aj trend vývoja

úrokových mier. Po náhlom náraste (až na 16%) začiatkom osemdesiatych rokov nastal

začiatkom deväťdesiatych rokov ich prudký pokles.

Dnešné finančné trhy sú medzinárodné. Momentálne sú poznačené americkou

hypotekárnou krízou, čo spôsobuje ich značnú nestabilitu. Výhodou organizovaného

medzinárodného finančného trhu však je jednoduchosť a rýchlosť komunikácie

a prístup k finančným informačným zdrojom. Najväčšie finančné centrá na svete – New

York, London, Hong Kong, Singapure, Zurich, a Tokio sú v neustálom spojení a tvoria

takto celosvetový finančný trh.

10

2 ÚROKOVÝ POČET

Úrokový počet je základným nástrojom finančnej a poistnej matematiky. Na jeho

základe je založené veľké množstvo ekonomických, finančných a poistných úvah a

prepočtov.

Z hľadiska veriteľa, t. j. subjektu, ktorý poskytuje pôžičku, je úrok odmenou za

dočasné poskytnutie voľných peňažných prostriedkov. Je to odmena za dočasné

pozbavenie práva disponovať s peniazmi, za pokles ich hodnoty počas doby pôžičky

vplyvom inflácie a za rôzne riziká spojené s pôžičkou.

Z hľadiska dlžníka, t. j. subjektu, ktorý si požičiava, je úrok cena za získanie úveru.

Pre dlžníka je získanie úveru prínosom, nakoľko môže získané peňažné prostriedky

ihneď použiť na nákup potrebných vecí alebo ich investovať do podnikateľskej činnosti

a tak zbohatnúť. Aj súčasná svetová ekonomika je poháňaná úverom.

Ak vyjadríme úrok v percentách p z hodnoty kapitálu za časové obdobie, dostaneme

úrokovú sadzbu. Časové obdobie, po uplynutí ktorého sa pripisujú úroky, sa nazýva

úroková perióda. Ak vyjadríme úrokovou sadzbou úrok z kapitálu za rok, hovoríme

o ročnej úrokovej sadzbe. Úrokovou periódou je vtedy jeden rok. Ročnú úrokovú

sadzbu označujeme p. a. (per annum). Napr. úroková sadzba 5 % p. a. znamená, že

veriteľ o rok dostane z každého zapožičaného eura 5 centov. Polročnú úrokovú sadzbu

označujeme p.s. (per semestrem). Štvrťročnú úrokovú sadzbu označujeme p.q. (per

quartale). Mesačnú úrokovú sadzbu označujeme p.m. (per mensem). Dennú úrokovú

sadzbu označujeme p.d. (per diem).

Ak percentuálnu úrokovú sadzbu vyjadríme desatinným číslom, hovoríme

o úrokovej miere.

Doba, počas ktorej sa úroky pravidelne pripisujú, sa nazýva úrokové obdobie alebo

doba splatnosti.

Úroková miera sa v prípade investičných projektov nazýva mierou zisku alebo

výnosnosťou, respektíve výnosovým percentom. Úrok predstavuje výnos.

Výška úrokovej miery v konkrétnom ekonomickom prostredí závisí od množstva

faktorov. Najdôležitejšími sú :

• Výška zapožičaného kapitálu - úroková miera rastie s výškou zapožičanej čiastky.

Niektoré banky používajú pre vklady tzv. pásmové úrokovanie, kde výška úrokovej

miery rastie s výškou vloženej čiastky podľa pásiem.

11

• Doba pôžičky – úroková miera v stabilných ekonomikách väčšinou rastie s dobou

pôžičky. V období vysokej inflácie tomu tak však nie je.

• Riziko pôžičky – s rastúcim rizikom pôžičky úroková miera rastie. Najmenej rizikové

sú štátne cenné papiere, štátne pokladničné poukážky a štátne dlhopisy. V USA sa

nazývajú T-bills.

• Diskontná sadzba – je to úroková miera, za ktorú centrálna banka (na Slovensku NBS)

poskytuje úver ostatným bankám. Zvýšenie, resp. zníženie diskontnej sadzby má za

následok zvýšenie, resp. zníženie úrokových mier v komerčných bankách, ako aj na

celom finančnom trhu. Prostredníctvom diskontnej sadzby centrálna banka pôsobí na

zdražovanie alebo zlacňovanie úverov, na množstvo peňazí v ekonomike, na infláciu,

na oslabovanie alebo posiľňovanie meny, a teda aj na celkový hospodársky vývoj.

Dlhodobejšie znižovanie diskontnej sadzby má za následok zlacnenie úverov, a tým aj

podporu ekonomického rastu. Niektoré komerčné banky určujú úrokové miery

vkladových produktov a úverov pomocou odchýlok od diskontnej sadzby.

• Medzibanková úroková miera

• Stratégia banky

• Daňová politika štátu - v SR od 1.1.2004 platí jednotná 19%-ná daň na všetky

výnosy. V niektorých krajinách sú inak zdaňované výnosy zo štátnych cenných

papierov, inak výnosy z vkladov v bankách a inak kapitálové výnosy.

Existujú dva základné typy úrokovania.

• Jednoduché úrokovanie – úroky sa počítajú stále z pôvodného kapitálu.

• Zložené úrokovanie – úroky sa pripočítavajú k pôvodnému kapitálu a spolu s ním

sa ďalej úročia.

Podľa okamžiku splatnosti rozdeľujeme úrokovanie na:

- polehotné (dekurzívne) – úroky sa vyplácajú na konci úrokového obdobia,

- predlehotné (anticipatívne) – úroky sa vyplácajú na začiatku úrokového obdobia.

V nasledujúcom texte sa budeme zaoberať polehotným úrokovaním, ktoré sa v praxi

využíva najčastejšie.

12

3 JEDNODUCHÉ ÚROKOVANIE

Pri jednoduchom úrokovaní sa úroky nepripočítavajú k pôvodnému kapitálu a ďalej

sa neúročia. Úročí sa stále iba počiatočný kapitál. Jednoduché úrokovanie sa používa

najčastejšie v prípade krátkodobých investícií, ak doba pôžičky je kratšia ako jeden rok.

3.1 Jednoduchý úrok

Úrok vypočítame podľa vzťahu

npKniKu ⋅⋅=⋅⋅=10000 (3.1)

pričom

u je úrok,

0K - počiatočný kapitál,

i - úroková miera vyjadrená ako desatinné číslo,

n - doba pôžičky vyjadrená v jednotkách úrokovej periódy,

p - počet percent v príslušnej úrokovej sadzbe.

Ak t je doba pôžičky vyjadrená v dňoch, tak (3.1) možno napísať v tvare

3600

tiKu ⋅⋅= (3.2)

V tejto súvislosti sa treba zmieniť aj o tom, že vo vzorci (3.2) niektoré peňažné

ústavy nahrádzajú číslo 360 číslom 365. Zlomok 365

t alebo 360

t sa stanovuje podľa

tzv. štandardov.

Najpoužívanejšími štandardmi sú:

1. Štandard 30E / 360 predpokladá, že každý mesiac má 30 dní a rok má 360 dní

2. Štandard ACT / 360 je založený na skutočnom počte dní v čitateli a dĺžke roka

360 dní v menovateli.

13

3. Štandard ACT / 365 je založený na skutočnom počte dní v čitateli a dĺžke roka

365, resp. 366 dní v menovateli.

Platí dohovor, že z dvoch dní zmeny (deň získania pôžičky a deň jej splatenia) sa do

počtu dní úrokového obdobia počíta len jeden z nich.

Príklad 3.1 Aký úrok zaplatí dlžník 14. 12. 2009, ak si 5. 3. 2009 vypožičia čiastku

864 € pri 5 %-nej ročnej úrokovej sadzbe?

Riešenie: Pri výpočte dĺžky úrokového obdobia použijeme štandard ACT / 365

a z dní zmeny budeme brať do úvahy deň získania pôžičky.

28413303130313130313027 =+++++++++=t

613,3336528405,0864

3650 =⋅⋅=⋅⋅=tiKu

Úrok bude činiť 33,613 €, dlžník musí vrátiť čiastku v hodnote 897,613 €.

Príklad 3.2 Hypotekárny úver na byt vo výške 66 600 €, ktorý banka poskytla

s úrokovou mierou 6,5% p. a. je splácaný mesačnými splátkami 650 €. O koľko zníži

hodnotu úveru prvá mesačná splátka?

Riešenie. Každá splátka úveru sa skladá z časti, ktorá spláca úrok a z časti, ktorá

znižuje dlh. Úrok z celého úveru za jeden mesiac vypočítame podľa vzťahu ( 3.1 ) po

dosadení hodnôt 666000 =K , 065,0=i , 121

=n

75,360121065,0.66600 =⋅=u

Úrok predstavuje 360,75 €, prvá mesačná splátka teda splatí iba 289,25 € z hodnoty

úveru.

Príklad 3.3 Výrobca nedodržal termín dodania okien. Podľa zmluvy o dielo má

objednávateľ právo uplatniť si penále vo výške 0,5% za každý deň omeškania dodávky

z fakturovanej ceny 13000 € . Aké veľké bude penále, ak dodávka meškala 23 dní?

Riešenie. Penále vypočítame podľa (3.1) ako úrok za 23 dní pri dennej úrokovej miere

005,0=i . Potom

149523005,0.13000 =⋅=u

Penále bude 1495 €.

14

3.2 Budúca hodnota kapitálu pri jednoduchom úrokovaní

Ak si v banke otvoríme účet s výškou kapitálu 0K a banka platí jednoduchý úrok

s ročnou úrokovou mierou i , tak

po prvom roku bude na účte suma

( )iKiKKuKK +=⋅⋅+=+= 11 00001

po druhom roku bude na účte suma

( ) ( )iKiKiKuKK 2111 00012 +=⋅⋅++=+=

.

.

.

Po n-tom roku bude na účte suma

( )inKK n += 10 (3.3)

Hodnotu nK nazývame budúcou hodnotou počiatočného kapitálu 0K . Je to

hodnota, ktorú dostaneme po uplynutí času n. Zo vzťahu (3.3) máme

niKKKn ⋅⋅+= 00

a teda pri danej výške počiatočného kapitálu K0 a úrokovej miere i je budúca hodnota

kapitálu Kn lineárnou funkciou času. Viď. obr. 1

Obr.1 Budúca hodnota kapitálu

15

Zo základných vzťahov (3.1) a (3.3) možno vypočítať počiatočnú hodnotu

kapitálu 0K , dobu uloženia kapitálu (dobu splatnosti) n a veľkosť úrokovej miery i

in

KK n

+=

10 ( 3.4 )

iK

uiKKK

n n

⋅=

⋅−

=00

0 (3.5 )

a

nK

unKKK

i n

⋅=

⋅−

=00

0 (3.6 )

Príklad 3.4 Akú sumu musí klient vrátiť, ak mu bol poskytnutý spotrebný úver vo

výške 3000€ jednorazovo splatný za 6 mesiacov s úrokovou mierou 8%p.a.

Riešenie: Dosadením do vzťahu (3.3 ) máme

3120126.08,013000 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=nK

Za 6 mesiacov musí klient vrátiť 3120 €.

Príklad 3.5 Klient dostal od banky polročný úver vo výške 25000 € s ročnou úrokovou

sadzbou 11% a s podmienkou, že na svojom bankovom účte musí udržiavať aspoň 15%

z vypožičanej sumy. Aká je skutočná ročná úroková miera tohto úveru?

Riešenie: Dosadením hodnôt 250000 =K , 11,0=i , 5,0=n , 15,0=p

do vzťahu (3.1) vypočítame úrok, ktorý bude musieť klient banke zaplatiť.

13755,011,025000 =⋅⋅=u

Skutočná hodnota prostriedkov, s ktorými môže klient disponovať je

212502500015,025000000 =⋅−=⋅−= KpKK s

Preto skutočná ročná úroková miera bude

129,05,021250

1375

0

=⋅

=⋅

=nK

uis

s

Skutočná úroková miera daného úveru je 12,9% p.a.

16

Banky často ako podmienku k úveru vyžadujú, aby pomerná časť úveru bola

udržiavaná na účte. Toto spôsobuje, že skutočná úroková miera úveru je vyššia ako

oficiálne udávaná hodnota, pretože časť úveru je pre klienta prakticky nedostupná

Príklad 3.6 Akciu nominálnej hodnoty 90 € kúpil investor 2. 1. 2007 za trhovú cenu

70 €. Dividendy za rok 2007 boli vyplatené v januári 2008 a na jednu akciu

predstavovali 2 % z nominálnej hodnoty akcie. Aká bola pre investora skutočná ročná

miera zisku?

Riešenie: Po uplynutí času 1=n prinesie akcia investorovi zisk (úrok) 2 % z 90 €,

teda

8,1102,090 =⋅⋅=u

Tento zisk investor získal z kapitálu 700 =K €. Zo vzťahu (3.6) pre i dostaneme

0257,0170

8,1

0

=⋅

=⋅

=nK

ui

Skutočná miera zisku bola pre investora 2,57 % p. a.

Príklad 3.7 Záujemca o kúpu technologického zariadenia má dve možnosti. Buď

uskutoční kúpu teraz a za zariadenie zaplatí 440 000 € alebo ho kúpi za 480 000 € o 10

mesiacov neskôr. Má tiež možnosť hotovosť 440 000 € uložiť na účet úročený

úrokovou sadzbou 9,5% p.a.. Zistite, ktorá z možností je pre záujemcu výhodnejšia.

Riešenie: Dosadením hodnôt 4400000 =K , 65

1210

==n , 095,0=i do vzťahu ( 3 .3)

zistíme, ako by sa suma 0K zhodnotila na účte počas 10-tich mesiacov.

47483365095,01440000 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅=nK

Zistili sme, že hotovosť investovaná v banke po dobu 10 mesiacov, by nestačila na

nákup technologického zariadenia za 480 000 € o 10 mesiacov neskôr, preto je

výhodnejšie kúpu uskutočniť hneď.

Príklad 3.8 Za koľko dní vzrastie vklad 1000 € na 1010 €, ak je úročený úrokovou

mierou 5% p.a. a banka používa štandard 30E / 360?

Riešenie: Dosadením do vzťahu (3.5 ) máme

17

2,005,01000

10001010

0

0 =⋅−

=⋅

−=

iKKK

n n

Vklad vzrastie za 0,2 roka, čo po prepočítaní na dni pri danom štandarde je 72 dní.

3.3 Výpočet úroku z viacerých istín

V bankovej praxi sa často počítajú úroky z viacerých istín rôznych hodnôt, s rôznou

dĺžkou úrokového obdobia, ale s rovnakou úrokovou mierou. Pri ich výpočte pri

jednoduchom úrokovaní je výhodné použiť tzv. úrokové čísla UC a úrokové delitele

UD. Úrokové číslo sa definuje ako

100

tKUC ⋅= , (3.8)

kde K je výška kapitálu, ktorý bol uložený počas t dní. Úrokový deliteľ sa definuje ako

p

UD 360= , (3.9)

kde p udáva počet % v ročnej úrokovej sadzbe.

Uvažujme bežný účet s ročnou úrokovou sadzbou p %. Nech kapitál K1 je úročený t1

dní, kapitál K2 je úročený t2 dní, ..., kapitál Kr je úročený tr dní. Celkový úrok z

kapitálov K1, ..., Kr bude

UD

UCpt

Ku

r

jj

jr

jj

∑∑ =

=

=⋅⋅= 1

1 100360 (3.10)

t.j. sčítame úrokové čísla jednotlivých istín a výsledok vydelíme úrokovým deliteľom.

Príklad 3.9 Podnikateľ mal k 1.1.2007 na účte s úrokovou sadzbou 4% p.a. zostatok

16425 € . 18.2.2007 naň vložil 4000 € a 4.7.2007 z neho vybral 9000 €. Do konca roku

už nebol na účte žiadny pohyb. Aké úroky mu pripísala banka na konci roku?

Riešenie: Úroky sa počítajú z troch rôznych istín, v rôznych úrokových obdobiach, ale

s rovnakou úrokovou mierou 04,0=i . Bude teda výhodné použiť UC a UD. Počet dní

vypočítame podľa štandardu 30E/360. Jednotlivé istiny sú uložené nasledovne:

164251 =K ............... 471 =t dní

18

204254000164252 =+=K .......... 1362 =t dní

114259000204253 =−=K .......... 1773 =t dní

( ) 096,61990

17725,11413624,2044725,164321

3

1 =⋅+⋅+⋅

=++

==∑=

UDUCUCUC

UD

UCu j

j

Zmeny na účte môžeme zhrnúť do tabuľky:

Dátum Zostatok v € Počet dní UC

1.1.2007 16 425 47 7719,75

18.2.2007 20 425 136 27778

4.7.2007 11 425 177 20225,25

31.12.2007 11 425

∑ 55 723

Na konci roka pripísala banka na účet úrok 619,096 € .

3.4 Časová hodnota peňazí a princíp finančnej ekvivalencie

V praxi sa často stretávame s úlohami, keď jednu finančnú povinnosť treba zameniť

inou. Napr. zmeniť dátum splatnosti zmenky, spojiť niekoľko finančných povinností do

jednej a pod. Pri riešení úloh takéhoto typu používame princíp finančnej ekvivalencie.

Princíp finančnej ekvivalencie umožňuje porovnávať platby uskutočňované v rôznych

termínoch tak, že ich vyjadríme k rovnakému dátumu. Tento dátum nazývame

porovnávací alebo referenčný dátum.

Všeobecná metóda riešenia úloh zámenou platieb spočíva v zostavení rovnice

ekvivalencie – hodnotovej rovnice, v ktorej súčet známych platieb k porovnávaciemu

dátumu sa rovná novej neznámej platbe k tomu istému dátumu.

Príklad 3.10 Klient si dohodol kúpu domu v hodnote 200 000 €. Zálohu 100 000 €

zložil hneď pri podpise kúpnopredajnej zmluvy a zvyšnú sumu má splatiť tromi

splátkami do jedného roka pri 10%-nej ročnej úrokovej sadzbe. Prvú splátku vo výške

45 000 € uskutočnil hneď po mesiaci, ďalších 25 000 € splatil po uplynutí ďalších troch

19

mesiacov. Aká veľká bola posledná splátka, ktorú vyplatil 9 mesiacov po podpise

zmluvy?

Riešenie: Klient má doplatiť 100 000 €. Pri zostavovaní rovnice ekvivalencie

zoberieme za porovnávací dátum deň poslednej splátky. Označme výšku poslednej

splátky A . Pri zostavovaní rovnice ekvivalencie si pomôžeme tzv. časovým diagramom

Z časového diagramu zostavíme rovnicu ekvivalencie. Budúca hodnota dlhu o 9

mesiacov sa musí rovnať súčtu budúcich hodnôt jednotlivých splátok. Pre 1,0=i

dostaneme rovnicu

A+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅

1251,0100025

1281,0100045

1291,01000100

458330422600048500107

=−−=

AA

Posledná splátka bola vo výške 33 458 €.

Príklad 3.11 Dlžník chce vrátiť dlh 20 000 € zapožičaný pri úrokovej sadzbe 9%p.a.

dvomi rovnakými splátkami s polročným odstupom. Prvú splátku vyrovná po polroku

odo dňa pôžičky. Aké veľké budú splátky?

Riešenie: Nech porovnávacím dátumom je deň pôžičky . Prítomná hodnota dlhu je

v tento deň 20 000 € a túto hodnotu musí mať i súčet prítomných hodnôt oboch splátok.

Označme veľkosť splátky A.

Z diagramu dostaneme rovnicu ekvivalencie:

109,015,009,0120000

⋅++

⋅+=

AA

30,10670=A

Obe splátky budú v hodnote 10 670,30 €.

20

Príklad 3.12 Dlžník má splatiť zvyšok dlhu, ktorý bol zapožičaný pri úrokovej sadzbe

9% p.a. ešte dvoma splátkami. Prvou vo výške 12 000 € o 5 mesiacov, druhou vo výške

10 000 € o 8 mesiacov. Rozhodne sa dlh vyrovnať jednou splátkou o pol roka. Aká

veľká bude táto splátka?

Riešenie: Za porovnávajúci dátum si zvolíme dátum vyrovnania dlhu, teda koniec

šiesteho mesiaca. Hľadanú splátku označme A.

Z časového diagramu zostavíme rovnicu ekvivalencie v tvare

A=⋅+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅

12209,01

1000012109,0112000

2,21942=A

Na konci šiesteho mesiaca dlžník zaplatí 21 942,2 €.

3.5 Diskont

Výpočet prítomnej hodnoty kapitálu 0K v závislosti od budúcej hodnoty kapitálu

nK sa nazýva diskontovanie (odúrokovanie). Hodnotu 0K nazývame diskontnou

hodnotou kapitálu nK . Rozdiel 0KK n − medzi budúcou hodnotou kapitálu a jej

prítomnou hodnotou nazývame matematickým diskontom a označujeme Dm.

inK

KKKD nnnm +−=−=

10

in

inKD nm +⋅=1

(3.11)

Ak položíme nK = 1 , 1=n , dostaneme

ii

iDm ⋅=+

= υ1

Veličina i+

=1

1υ sa nazýva diskontný faktor – odúročiteľ .

21

V bankovej praxi je zaužívané (pri krátkodobých cenných papieroch, pri eskonte

zmeniek), že úroky, ktoré si banka ponecháva vo forme diskontu, sa nepočítajú

z množstva peňazí v súčasnosti, ale z množstva peňazí v budúcnosti. Takto určený

diskont sa nazýva bankový diskont alebo obchodný diskont. Viď. obr.2

Pri použití tohto princípu s diskontnou sadzbou 10 % p.a. dlžník obdrží zo zapožičaného

eura iba 90 centov, ale po uplynutí jedného roka musí vrátiť celé 1 euro .

Bankový diskont označujeme bD .

360

tdKndKD nnb ⋅⋅=⋅⋅= (3.12 )

pričom nK je splatná čiastka,

d - ročná diskontná miera,

n - doba pôžičky vyjadrená v rokoch,

t - doba pôžičky vyjadrená v dňoch.

Obr.2 Diskont

Vyplatená suma z pôžičky nK ( z nominálnej hodnoty kapitálu), ktorú dlžník

skutočne obdrží pri diskontnom princípe je

bn DKK −=0

Po dosadení za bD máme

( )dnKK n −⋅= 10 (3.13)

alebo

22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅=

36010

tdKK n (3.14)

S diskontom sa možno stretnúť pri odkupovaní pohľadávok. Ak finančná inštitúcia

prevezme nejakú pohľadávku pred dobou splatnosti tejto pohľadávky, nevyplatí celú

výšku pohľadávky, ale istú časť si ponechá dopredu ako náhradu. Diskont je teda

odmena odo dňa odkúpenia do dňa splatnosti pohľadávky.

Príklad 3.13 Finančná spoločnosť poskytuje úvery s 10%-nou ročnou diskontnou

sadzbou. Klient si zobral úver vo výške 15 000 € splatný o 6 mesiacov. Akú sumu

dostal od finančnej spoločnosti?

Riešenie: Dosadením hodnôt 15000=nK , 1,0=d , 21

126==n do vzťahu

( )ndKK n ⋅−⋅= 10

máme 14250211,01150000 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅=K

Klientovi poskytli sumu vo výške 14 250 €, ale o pol roka musí splatiť 15 000 €.

Príklad 3.14 Finančná spoločnosť zakúpila 1. 7. 2008 zmenku v nominálnej hodnote

100 000 €, splatnú 1. 11. 2008. Dňa 1. 9. 2008 eskontuje túto zmenku v banke, ktorá si

účtuje eskontnú províziu 0,05 % z nominálnej hodnoty a má diskontnú sadzbu

5,95 % p. a.. Vypočítajte, koľko zaplatí banka finančnej spoločnosti za zmenku.

Riešenie: Dosadením hodnôt 0595,0,122,000100 === dnK n do vzťahu (3.13)

máme 333,00899

1220595,010001000 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−=K

Vypočítame veľkosť provízie p a odčítame ju od 0K

33,98958500333,00899500001000005,0

=−=⋅=p

Banka zaplatí za zmenku 98 958,33 €.

23

Príklad 3.15 Slovenský dovozca importoval zásielku vína za 275 000 € od

francúzskeho výrobcu. Sprostredkovaním kontraktu bola poverená slovenská banka,

ktorá bola ochotná ručiť francúzskemu vývozcovi za jeho pohľadávku, s čím vývozca

súhlasil. Po doručení zásielky, 15.2.2008 slovenská banka akceptovala zmenku na

275 000 € s dátumom splatnosti 15.4.2008. Zmenka sa stala bankovým akceptom.

1.3.2008 vývozca eskontoval tento bankový akcept vo svojej francúzskej banke

s ročnou diskontnou sadzbou 9%. 10.3.2008 francúzska banka eskontovala zmenku v

slovenskej banke s ročnou diskontnou sadzbou 7,8%. Akú sumu vyplatila francúzska

banka vývozcovi a slovenská banka francúzskej banke ?

Riešenie: Postupným dosadením 275000=nK , 09,01 =d , 078,02 =d do

vzťahu ( )ndKK n ⋅−⋅= 10 dostaneme:

Vývozca od francúzskej banky obdržal sumu:

2719063604509,012750000 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅=K

Do vzorca sme za n dosadili 36045 , lebo od dátumu, kedy vývozca eskontoval zmenku

vo svojej francúzskej banke (1.3.2008), do dátumu splatnosti zmenky (15.4.2008)

uplynulo 45 dní.

Francúzska banka od slovenskej obdržala sumu:

27285536036078,01275000'0 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅=K

Do vzorca sme za n dosadili 36036 , lebo od dátumu, kedy francúzska banka eskontovala

zmenku v slovenskej banke (10.3.2008), do dátumu splatnosti zmenky (15.4.2008)

uplynulo 36 dní.

Francúzska banka zaplatila vývozcovi za zmenku 271906 € a slovenská banka

vyplatila francúzskej banke za zmenku čiastku 272855 €.

24

3.6 Vzťah medzi úrokovou a diskontnou sadzbou

Zaoberajme sa teraz vzťahom medzi diskontnou a úrokovou sadzbou. Vzťah medzi

diskontnou a úrokovou sadzbou dostaneme z nasledujúcej úvahy. Súčasnú hodnotu pri

použití diskontného princípu vyjadríme ako

( )dnKK n −⋅= 10

a pri použití jednoduchého úrokovania

inK

K n

+=

10

Ak sa súčasné hodnoty rovnajú, tak

( )in

KdnK n

n +=−⋅

11

a odtiaľ

dn

di−

=1

( 3.15 )

alebo analogicky

in

id+

=1

( 3.16 )

Príklad 3.16 Akou ročnou úrokovou mierou sa zhodnotí 9-mesačný depozitný certifikát

v nominálnej hodnote 10 000 € s diskontnou sadzbou 6,5 % p. a.. ?

Riešenie: Dosadením ,065,0=d 75,0129==n do vzťahu (3.15 ) dostaneme

0683,075,0065,01

065,01

=⋅−

=−

=dn

di

Depozitný certifikát sa zhodnotí 6,83 % p. a..

Poznámka: Všeobecne platí, že i > d.

Pri odkupovaní zmeniek si finančné inštitúcie okrem diskontu strhnú aj manipulačný

poplatok, zrážky za prevod zmenky a iné. Suma týchto zrážok sa nazýva ážio.

25

ÚLOHY NA RIEŠENIE:

1. Na akú sumu vzrastie počiatočný kapitál 8 500 € pri úrokovej sadzbe 6,5% p.a. od

12.7. do 15.12.?

[8 736 € ]

2. Aký veľký úver môže poskytnúť banka klientovi, ak doba splatnosti je 6 mesiacov a

po tejto dobe bude mať klient na splácanie úveru a úroku k dispozícií 10000 € .

Ročná úroková sadzba je 8,5 % p.a..

[959 2,33 € ]

3. Banka poskytuje na vkladoch 11%-ný ročný úrok. Akú sumu musíte dnes uložiť, aby

ste o 10 mesiacov mohli zaplatiť dovolenku v hodnote 70 000 € ?

[64 122 € ]

4. Za ako dlho prinesie vklad 15 000 € pri 8%-nej ročnej úrokovej sadzbe úrok 300 € ?

[3 mesiace]

5. Klient si 14.1. 2007 na účet v banke vložil 4500 €. Peniaze plánuje vybrať

18.11.2007. Koľko si bude môcť v tento deň vybrať, ak banka ponúka úrokovú

sadzbu 10% p.a. a neuvažujeme zdanenie?

[487 9,73 € ]

6. Zistite, ktorá z nasledujúcich možností je pre investora výhodnejšia, ak má záujem o

kúpu bytu. Uskutočniť kúpu teraz a za byt zaplatiť 120000 €, alebo počkať pol roka

a za byt zaplatiť 125000 €. Investor má možnosť hotovosť 120000 € uložiť na

polročný terminovaný účet s úrokovou sadzbou 9% p.a..

[Kn=122 700 €, teda 1. možnosť je výhodnejšia]

7. Dlžník Vám ponúka 2 možnosti splatenia svojho dlhu:

1. zaplatiť o 5 mesiacov 10 000 €

2. zaplatiť o 11 mesiacov 11 000 €

Ktorá z možností je pre Vás výhodnejšia pri úrokovej sadzbe 13% p.a.?

[2. možnosť je pre nás výhodnejšia]

26

8. Klient si vypožičal 1.7.2008 sumu 130 000 €, ktorú chce splatiť dvomi rovnakými

splátkami. Prvá bude 15.10.2008 a druhá 30.5.2009. Úroková sadzba pôžičky je 10%

p.a. Aká bude veľkosť splátok?

[68 807 €]

9. Klient si vypožičal sumu 250 000 € pri 6,8%-nej ročnej úrokovej sadzbe. O mesiac

splatil časť dlhu vo výške 50 000 €, o ďalšie 2 mesiace zaplatil 70 000 €. Zvyšok

dlhu chce splatiť jednou splátkou o 10 mesiacov od dátumu pôžičky. Aká bude výška

poslednej splátky?

[138 840 €]

10. Pôžičku máme splatiť dvomi splátkami. Prvá splátka je naplánovaná o 3 mesiace

vo výške 20 000 €, druhá o 9 mesiacov vo výške 35 000 €. Rozhodneme sa

pôžičku splatiť jednou splátkou o 7 mesiacov. Aká bude jej výška, ak ročná

úroková sadzba je 7%?

[55 063 €]

11. Zistite, ktorý z nasledujúcich úverov je výhodnejší pre dlžníka.

• Úver založený na eskonte zmenky splatnej o 3 mesiace s nominálnou hodnotou

500 000 € pri diskontnej sadzbe 8% p.a.

• Úver založený na jednoduchom úrokovaní s ročnou úrokovou sadzbou 8% p.a.,

pričom o 3 mesiace musí byť splatená suma 500 000 €.

[2. možnosť je pre dlžníka výhodnejšia]

12. Banka prijala k eskontu zmenku na sumu 3 500 000 € splatnú o 7 mesiacov.

Ročná diskontná sadzba je 8,5%. Koľko vyplatí banka pri eskonte zmenky jej

majiteľovi, ak si okrem diskontu účtuje aj províziu 0,05% z nominálnej hodnoty

tejto zmenky?

[3 324 708 €]

13. Spoločnosť A vydala zmenku na sumu 10 000 000 Kč splatnú 5.2.2008.

Spoločnosť B ju odkúpila 16.5.2007 pri diskontnej sadzbe 10% p.a.. Dňa

27.6.2007 však zmenku odpredala pri diskontnej sadzbe 9,8% p.a.. Akú ročnú

27

mieru zisku realizovala spoločnosť B pri tejto transakcii?

[11,9%]

14. Banka diskontuje zmenku nominálnej hodnoty 25 000 € splatnú o rok pri

diskontnej sadzbe 9,8% p.a. Aká úroková miera zodpovedá tejto transakcii?

[0,1086]

15. Banka odkúpila v ten istý deň dve zmenky pri rovnakej ročnej diskontnej sadzbe.

Za obe zaplatila rovnakú sumu. Prvá zmenka mala nominálnu hodnotu 10 000 € a

bola splatná o 2 mesiace, druhá mala nominálnu hodnotu 10 100 € a bola splatná o

3 mesiace. Vypočítajte výšku diskontnej sadzby.

[11,7%]

28

4 ZLOŽENÉ ÚROKOVANIE

Pri zloženom úrokovaní sa úroky pripočítavajú k pôvodnému kapitálu a spolu s ním

sa ďalej úročia. Zložené úrokovanie sa používa väčšinou vtedy, ak úrokové obdobie je

dlhšie ako úroková perióda. V obchodnej praxi je to najmä v prípade dlhodobých

investícií, v prípade dlhodobých cenných papierov a pod..

4.1 Budúca hodnota kapitálu pri zloženom úrokovaní

Nech je 0K - počiatočná hodnota kapitálu,

i - úroková miera pre danú úrokovú periódu,

n - dĺžka úrokového obdobia vyjadrená v jednotkách úrokovej

periódy,

nK - hodnota kapitálu po n úrokových periódach.

Zistíme, aký bude stav kapitálu po n úrokových periódach pri použití zloženého

úrokovania.

Nech kapitál na začiatku prvej periódy je 0K .

Kapitál na konci prvej periódy bude ( )iKiKKuKK +⋅=⋅+=+= 100001

Kapitál na konci druhej periódy bude ( ) ( ) 201112 11 iKiKiKKK +⋅=+⋅=⋅+=

Kapitál na konci tretej periódy bude ( ) ( ) 302223 11 iKiKiKKK +⋅=+⋅=⋅+=

.

.

.

.

Kapitál na konci n -tej periódy bude ( ) nn iKK +⋅= 10

Veličinu nK nazývame budúcou hodnotou kapitálu, veličinu 0K nazývame

prítomnou (súčasnou, počiatočnou) hodnotou kapitálu. Na ich výpočet budeme

používať vzťahy

( ) n

n iKK +⋅= 10 (4.1)

29

( ) ( ) nnn

n iKi

KK −+⋅=+

= 110 (4.2)

Súčasná hodnota nám hovorí, aký veľký kapitál musíme dnes uložiť, aby sme po

čase n , pri úrokovej miere i a za predpokladu kapitalizácie úrokov, dosiahli kapitál

nK . Veľký význam súčasnej hodnoty tkvie v tom, že nám umožňuje porovnávať

kapitál v čase. Súčasná hodnota nám umožňuje rozhodnúť, akým spôsobom máme

naložiť s hotovosťou. Postupujeme tak, že porovnáme súčasnú hodnotu budúcich

príjmov z investície s jej cenou, pričom uvažujeme úrokovú sadzbu, pri ktorej by sme

mohli danú hotovosť uložiť. Ak bude súčasná hodnota budúcich príjmov z investície

vyššia než jej cena, investícia je výhodná. Naopak, ak bude súčasná hodnota budúcich

príjmov nižšia ako cena investície, je lepšie neinvestovať.

Zo základného vzťahu (4.1) možno získať vzťah pre výpočet úrokovej miery, resp.

výnosnosti a vzťah na výpočet dĺžky uloženia kapitálu

10

−= nn

KK

i (4.3)

( )iKKn n

+−

=1ln

lnln 0 (4.4)

V praxi sa používajú aproximácie pre približné určenie počtu rokov n potrebných

k zdvojnásobeniu resp. strojnásobeniu základu pri ročnej úrokovej sadzbe p %:

• pravidlo 72- počet rokov pre zdvojnásobenie základu

p

n 72≈

• pravidlo 69- počet rokov pre zdvojnásobenie základu

35,069+≈

pn

• pravidlo 110- počet rokov pre strojnásobenie základu

52,0110+≈

pn

30

Príklad 4.1. Klient si v banke uložil sumu 8 000 € pri ročnej úrokovej sadzbe 8%. Aká

bude výška tohto kapitálu po 6 rokoch?

Riešenie: Úlohu budeme riešiť pomocou vzťahu (4.1) pre 80000 =K , 08,0=i a 6=n .

Potom

( ) 1269508,018000 6 =+⋅=nK

Kapitál po 6 rokoch vzrastie na 12 695 €.

Príklad 4.2 Za akú dobu vzrastie vklad 2 000 € pri úrokovej sadzbe 12% p.a. na

2 500 €?

Riešenie: Dosadením 20000 =K , 2500=nK , 12,0=i do (4.4) máme

( ) ( ) 96,112,01ln

2000ln2500ln1ln

lnln 0 =+−

=+−

=i

KKn n

Vklad sa zvýši na 2 500 € približne za 2 roky.

Príklad 4.3 Zahraničná firma kúpila nehnuteľnosť za 800 000 €. Pritom 400 000 €

zaplatila okamžite a ďalej vystavila zmenku na 300 000 € splatnú o rok. Aká zmenka

splatná o 2 roky splatí zvyšok dlhu, ak si veriteľ účtuje úrokovú sadzbu 18 % p.a. ?

Riešenie: Firma má doplatiť 400 000 €. Pri zostavovaní rovnice ekvivalencie vezmeme

za porovnávací dátum deň kúpy nehnuteľnosti.

( )

60029218,130000018,1400000

18,0118,01300000400000

2

2

=⋅−⋅=

++

+=

KK

K

Druhá zmenka musí byť v nominálnej hodnote 2 029 60 €.

4.2 Nárast kapitálu pri jednoduchom a zloženom úrokovaní

Porovnajme teraz nárast kapitálu pri jednoduchom a zloženom úrokovaní. Pri

jednoduchom úrokovaní je daný vzťahom ( )inKKn +⋅= 10 , teda je lineárnou funkciou

času. Pri zloženom úrokovaní je nárast kapitálu daný vzťahom ( ) nn iKK +⋅= 10 , teda

31

je exponenciálnou funkciou n . Pre 1=n je v oboch prípadoch výsledný kapitál

( )iKKn +⋅= 10 .

Vyjadrime ( ) ni+1 pomocou binomického rozvoja:

( ) ( ) ( ) ( )⋅⋅⋅+

−⋅−⋅+

−⋅++=+ 32

!321

!21

!111 innninnini n

Pre 0 < i < 1 môžeme zanedbať vyššie členy. Potom

( ) ( ) 2

!2111 innnii n −⋅

++≈+

Pre 0 < n < 1 je ( ) ni+1 < in+1 a teda ( ) niK +⋅ 10 < ( )inK +⋅ 10

Pre 1=n je ( ) ini n +=+ 11 a ( ) ( )inKiK n +⋅=+⋅ 11 00

Pre n >1 je ( ) ni+1 > in+1 a ( ) niK +⋅ 10 > ( )inK +⋅ 10

Situáciu znázorníme na nasledujúcom obrázku.

Obr.3 Nárast kapitálu pri jednoduchom a zloženom úrokovaní

Z uvedeného vyplýva, že ak doba uloženia kapitálu je kratšia ako jedna úroková

perióda, je pre sporiteľa výhodnejšie použiť jednoduché úrokovanie, zatiaľ čo pri dlhšej

dobe uloženia kapitálu je výhodnejšie použiť zložené úrokovanie.

32

4.3 Frekvencia úrokovania (úrokovanie s m konverziami)

V praxi sa často stretávame s prípadmi, že pripisovanie úrokov prebieha častejšie než

jedenkrát za rok. To znamená, že úroková perióda je napr. mesačná, štvrťročná,

polročná. Predpokladajme, že k pripisovaniu úrokov dochádza m-krát ročne. Dobu

medzi dvoma nasledujúcimi pripisovaniami úrokov nazývame konverziou. Teda počet

konverzií je m. Postup výpočtu kapitálu v rámci jedného roka po uplynutí 1, 2, …, m

častí roka je nasledovný:

m

mmmmmmmm

mmmm

m

miK

miK

miKKK

miK

miK

miKKK

miK

miKKK

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⋅+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⋅+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⋅+=

−−− 11

11

1

0111

2

01112

0001

kde 0K je počiatočný kapitál, i je nominálna ročná úroková miera, mi je úroková

miera za jednu m-tinu roka. Z uvedeného vyplýva, že stav kapitálu po n rokoch, ak

pripisujeme úrok m-krát ročne, je

mn

n miKK ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += 10 (4.5)

Pri pripisovaní úroku m-krát do roka pre výpočet doby splatnosti platí

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=

mim

KKn n

1ln

lnln 0 (4.6 )

Príklad 4.4 Nájdite budúcu hodnotu vkladu 2 000 € uloženého v banke na 6 rokov pri

úrokovej sadzbe 8% p.a , ak banka pripisuje úroky na účte mesačne.

Riešenie: Dosadením 20000 =K , 6=n , 12=m , 08,0=i do vzťahu ( 4.5) máme

32271208,012000

612

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=

⋅

nK

Hodnota vkladu po 6 rokoch bude 3 277 €.

33

4.4 Efektívna úroková miera

Nech i je nominálna úroková miera pri m ročných konverziách. Potom ročná

úroková miera ei , ktorá za jeden rok poskytuje ten istý výnos sa nazýva efektívna

úroková miera. Z tejto definície pre ei platí

( )m

e mii ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+ 11 1

11 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

m

e mii (4.7)

Ročná efektívna úroková miera nám hovorí, aká veľká ročná úroková miera pri

ročnom pripisovaní úrokov zodpovedá ročnej úrokovej miere pri častejšom pripisovaní

úrokov. Preto sa používa na porovnanie rôznych nominálnych úrokových mier, ktoré sa

líšia frekvenciou pripisovania úrokov.

Vzhľadom na (4.7) vždy platí iie ≥ . Efektívna úroková miera so zvyšujúcou sa

frekvenciou pripisovania úrokov rastie. Z uvedeného vyplýva, že čím častejšie sa počas

roka úroky pripisujú, tým je to pre vkladateľa výhodnejšie.

Príklad 4.5 Vypočítajte efektívne úrokové miery, ktoré zodpovedajú úrokovej sadzbe

9% p.a., ak úroky sú pripisované

a) polročne

b) štvrťročne

c) mesačne

Riešenie: Pre 09,0=i dosadíme do vzťahu ( 4.7) postupne 2=m , 4=m a 12=m ,

Potom

a) 092,01209,01

2

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=ei ... 9,2%

b) 093,01409,01

4

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=ei ... 9,3%

34

c) 0938,011209,01

12

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=ei ... 9,38%

Vidíme, že efektívna úroková miera so zvyšujúcou sa frekvenciou pripisovania úrokov

skutočne rastie.

4.5 Diskontovanie pri zloženom úrokovaní

Matematický diskont je rozdiel medzi budúcou a prítomnou hodnotou kapitálu, čo

pri zloženom úrokovaní predstavuje

( ) ( ) ( )nnnnn

nnnm K

iK

iK

KKKD υ−⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=+

−=−= 11

1110

pričom veličina i+

=1

1υ je diskontný faktor.

Bankový (obchodný) diskont je úrok zo splatnej čiastky nK pri danej diskontnej

sadzbe d. Pre

( )nn dKK −= 10 (4.8 )

dostaneme

( ) ( )( )nn

nnnnb dKdKKKKD −−⋅=−⋅−=−= 1110

Zaoberajme sa teraz vzťahom medzi diskontnou mierou d a úrokovou mierou i. Pre

prítomné hodnoty 0K platí

( ) ( ) nnn

n dKKai

KK −⋅=

+= 1

1 00

Úroková miera i a diskontná miera d budú ekvivalentné, ak sa rovnajú prítomné

hodnoty pri tej istej splatnej čiastke nK a rovnakom období n. Platí teda

( ) ( ) nnn

n dKi

K−⋅=

+1

1

Potom

d

di−

=1

(4.9)

35

υ⋅=+

= ii

id1

( 4.10 )

Príklad 4.6 Finančná spoločnosť poskytuje úvery s 8%-nou ročnou diskontnou

sadzbou. Klient si zobral úver vo výške 30 000 € splatný o 2 roky. Akú sumu dostal od

finančnej spoločnosti?

Riešenie: Úlohu riešime dosadením 08,0=d , 30000=nK , 2=n do vzťahu

( )nn dKK −= 10 . Potom

( ) 2539208,0130000 20 =−⋅=K

Klient od finančnej spoločnosti dostal sumu 25 392 €.

Príklad 4.7 Finančná spoločnosť zakúpila zmenku v nominálnej hodnote 250 000 €

splatnú o 3 roky. Po roku zmenku eskontuje v banke, ktorá si účtuje eskontnú províziu

0,05 % z nominálnej hodnoty a diskontnú sadzbu 6,5% p.a.. Vypočítajte, koľko zaplatí

banka finančnej spoločnosti za zmenku.

Riešenie: Úlohu riešime dosadením 250000=nK , 2=n a 065,0=d do vzťahu

( )nn dKK −= 10 . Potom

( ) 218556065,01250000 20 =−⋅=K

Vypočítame províziu P, ktorú si účtuje banka za eskont zmenky:

1252500000005,0 =⋅=P

Sumu S, ktorú vyplatí banka za zmenku vypočítame ako rozdiel K0 a P:

218431125218556 =−=S

Banka finančnej spoločnosti za zmenku zaplatí 218 431 €.

ÚLOHY NA RIEŠENIE:

1. Klient si otvoril v banke účet a vložil naň 16 000 €. Po dvoch rokoch z účtu vybral

3 500 €. Akú sumu bude mať na účte po ďalších 5 rokoch, ak banka poskytuje

úrokovú sadzbu 9% p.a.?

[23 864 €]

36

2. Zistite budúcu hodnotu vkladu 12 000 € uloženého v banke pri 9,5%-nej ročnej

úrokovej sadzbe na dobu 10 rokov, ak úroky sú pripisované:

a) polročne

b) štvrťročne

c) mesačne.

[30 357 €, 30 686 €, 30 913 €]

3. Zistite výšku úrokovej sadzby a výšku počiatočného kapitálu, ak po 2 rokoch sa

zúročili na 1 000 € a po ďalších 2 rokoch na 1 080 € pri zloženom úrokovaní

a ročnom pripisovaní úrokov.

[3,92%, 926 €]

4. Pri akej ročnej úrokovej sadzbe sa zdvojnásobí uložený kapitál pri zloženom

úrokovaní a ročnom pripisovaní úrokov za 5 rokov?

[14,87%]

5. Klient dlhuje finančnej inštitúcii 80000 € splatných za rok a 100000 € splatných za 2

roky. Disponuje dostatočným finančným obnosom a preto chce vyrovnať dlh

okamžite. Koľko zaplatí ak úroková miera pôžičky bola 9 % p.a. s ročným úročením

a úver môže byť splatený predčasne bez sankcii.

[157 562 €]

6. Otec odkázal svojim trom synom 800000€, pričom každý má pri dovŕšení 18 rokov

dostať rovnaký podiel. Peniaze sú uložené na účte úročenom 4,5 % p.a. s ročným

pripisovaním úrokov. Koľko dostane každý syn, ak teraz majú 10, 12 a 16 rokov?

[335174,7 €]

7. Klient si chce uložiť v banke istú sumu peňazí na 2 roky. Ktorá možnosť je pre neho

výhodnejšia?

a) systém opakovaných polročných termínovaných vkladov pri úrokovej sadzbe

9,2% p.a.

b) systém opakovaných trojmesačných termínovaných vkladov pri úrokovej sadzbe

9,1% p.a.

[ možnosť b) je výhodnejšia]

37

5 ZMIEŠANÉ ÚROKOVANIE

Predpokladajme, že doba splatnosti vyjadrená v rokoch nie je celé číslo. Pri analýze

vývoja splatnej čiastky v závislosti od času sme zistili, že pre veriteľa je výhodnejšie

použiť jednoduché úrokovanie, ak je doba splatnosti kratšia ako jeden rok. Pri dlhšom

období je výhodnejšie použiť zložené úrokovanie. Tento fakt akceptuje zmiešané

úrokovanie. Zmiešané úrokovanie je kombináciou jednoduchého a zloženého

úrokovania.

Predpokladajme, že úroky sa pripisujú na konci roka. Nech dobu splatnosti n

možno napísať tnn += 0 , kde 0n je prirodzené číslo udávajúce počet rokov a t je

číslo menšie ako 1, označujúce necelú časť roka.

Konečnú výšku kapitálu za dobu n určíme tak, že najskôr vypočítame zloženým

úrokovaním výšku kapitálu po 0n rokoch a tú potom za t–tu časť roka úrokujeme

jednoduchým úrokovaním. Dostaneme

( ) ( )tiiKK nn +⋅+⋅= 11 0

0 (5.1)

V prípade, že by sme na výpočet konečnej výšky kapitálu použili vzťah

( ) nn iKK +⋅= 10 s tým, že za n dosadíme racionálne číslo, dostali by sme konečnú

výšku kapitálu nižšiu.

Banky pripisujú úroky z vkladov väčšinou k tomu istému dátumu. Vtedy uvažujeme

presahovanie celočíselného násobku úrokovej periódy na začiatku aj na konci doby

splatnosti. Nech 201 tntn ++= . Potom

( ) ( ) ( )itiitKK nn 210 111 0 +⋅+⋅+⋅= (5.2)

kde 1t < 1 je necelá časť úrokovej periódy na začiatku doby splatnosti a 2t < 1 je necelá

časť úrokovej periódy na konci doby splatnosti.

Doteraz sme uvažovali, že úroky sa pripisujú jedenkrát na konci úrokového obdobia.

Predpokladajme teraz, že úroky sa pripisujú m–krát do roka a doba splatnosti n nie je

celé číslo. Nech tnn m += , kde mn je počet ukončených m–tin roku, počas ktorých

je kapitál uložený a t je číslo menšie než m–tina roka. Konečnú výšku kapitálu za dobu

38

n určíme tak, že najprv vypočítame zloženým úrokovaním výšku kapitálu po mn

úrokových obdobiach a tú potom jednoduchým úrokovaním úrokujeme za dobu t.

Dostaneme

( )itmiKK

mn

n +⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += 110 (5.3)

Zo vzťahov (5.1) a (5.2) možno vyjadriť ostatné veličiny.

Príklad 5.1. Klient si 27.11.2004 uložil v banke 2500 €. Na akú sumu vzrástol tento

vklad do 12.2.2007 pri úrokovej sadzbe 4% p.a., ak neuvažujeme zdanenie?

Riešenie. Dosaďme 25000 =K , 095,0=i . Situáciu znázornime graficky

Potom 360422

36034

201 ++=++= tntn a využijeme vzťah

( ) ( ) ( )itiitKK nn ⋅+⋅+⋅⋅+⋅= 210 111 0 .

( ) 88,27263604204,0104,01

3603404,012500 2 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅=nK

Vklad počas uloženej doby vzrástol na 2726,88 €.

Príklad 5.2. Klient si uložil v banke sumu 4900 € na 5 rokov a 4 mesiace. Na akú sumu

vzrastie tento vklad pri úrokovej sadzbe 10% p.a., ak úroky sú pripisované štvrťročne?

Riešenie: Zo zadania máme 49000 =K , 21145 =+⋅=mn , 121

=t , 1,0=i , 4=m

Úlohu riešime dosadením do vzťahu ( 5.3 ). Potom

5,82981211,01

41,014900

21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=nK

Vklad počas uloženej doby vzrastie na sumu 8298,5 €.

Príklad 5.3. Za akú dlhú dobu (presne na dni) vzrastie suma 80 000 € na 105 000 € pri

úrokovej sadzbe 6% p.a. s polročným pripisovaním úrokov?

39

Riešenie: Zo zadania máme 800000 =K , 06,0=i , 2=m

Príklad budeme riešiť v dvoch krokoch:

1. Použijeme zložené úrokovanie (n – počet polrokov). n

n miKK ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅= 10

199,9

206,01ln

80000ln105000ln

1ln

lnln 0

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=

n

mi

KKn n

2. Použijeme zmiešané úrokovanie. Za 0n zoberieme celočíselný počet úrokovacích

období, teda 90 =n . Za t dosadíme360

x , kde x je zostávajúci počet dní, počas

ktorých sa používa jednoduché úrokovanie.

5,35360

06,01206,0180000105000

36011

9

0

0

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=

x

x

ximiKK

n

n

Vklad 80 000 € sa zúročí na 105 000 € za 4,5 roka a 36 dní.

ÚLOHY NA RIEŠENIE:

1. Koľko bude mať klient na dôchodkovom účte po 2 rokoch a 4 mesiacoch, ak naň

dnes uložil sumu 2500 € pri ročnej úrokovej sadzbe 4,5%?

[2771 €]

2. Zistite výšku kapitálu 1850 € uloženého v banke na 1 rok, 11 mesiacov a 11 dní

s ročnou úrokovou sadzbou 8,25% a s mesačným úročením.

[2171,14 €]

40

3. Počas akej doby (vypočítanej presne na dni) vzrastie vklad 1 000 € na 1 200 € ak je

uložený pri úrokovej miere 4 % p.a. s polročným pripisovaním úrokov

[ 4roky 6 mesiacov 37dní]

4. Koľko je potrebné dnes uložiť do banky, ak si o 14 mesiacov chceme kúpiť motorku

za 4000 €? Ročná úroková sadzba je 7,9% a banka uplatňuje štvrťročné úročenie.

[3650,8 €]

41

6 SPOJITÉ ÚROKOVANIE

Vo všetkých doterajších úvahách sme predpokladali, že úroky sa počítajú

v diskrétnych časových okamihoch. Ukázali sme, že efektívna úroková miera rastie

s frekvenciou pripisovania úrokov. Proces úrokovania, v ktorom počet konverzií m v

roku rastie do nekonečna, t. j. proces úrokovania, pri ktorom sa úrokovanie uskutočňuje

v časových intervaloch blížiacich sa k nule, sa nazýva spojité úrokovanie.

Odvoďme vzťah pre výpočet budúcej hodnoty kapitálu po čase n. Označme

( )mii = nominálnu úrokovú mieru i v závislosti od m.

Veličinu ( )mim ∞→

= limδ nazývame úrokovou intenzitou, resp. úrokovou sadzbou

spojitého úrokovania.

Vzhľadom na definíciu spojitého úrokovania určíme budúcu hodnotu nK

zodpovedajúcu prítomnej hodnote 0K vzťahom

mn

mn mKK ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=

∞→

δ1lim 0

mn

mn mKK ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=

∞→

δ1lim0

a teda

nn eKK δ⋅= 0 (6.1)

Veličinu δe nazývame úrokovým faktorom spojitého úrokovania.

Zo vzťahu (6.1) možno vyjadriť vzťah pre výpočet počiatočnej hodnoty kapitálu 0K ,

dobu uloženia kapitálu (dobu splatnosti) n a intenzitu úrokovaniaδ

n

n eKK δ−⋅=0 (6.2)

nKK n 0lnln −

=δ (6.3)

δ

0lnln KKn n −= (6.4)

42

Poznámka: Z praktického hľadiska je medzi denným pripisovaním úrokov a spojitým

úrokovaním zanedbateľný rozdiel. Treba však podotknúť, že použitie vzorcov spojitého

úrokovania je pri mnohých výpočtoch jednoduchšie ako použitie analogických vzorcov

zloženého úrokovania.

Pre zodpovedajúce veličiny zloženého a spojitého úrokovania platia vzťahy

1−= dei

(6.5)

( )i+= 1lnδ

(6.6)

δυ −=+

= ei1

1

Príklad 6.1. Nájdite budúcu hodnotu kapitálu 1150 € uloženého v banke na 2 roky a 5

mesiacov pričom úroková sadzba spojitého úrokovanie je 7%.

Riešenie: Zo zadania máme 11500 =K , 416,21252 =+=n , 07,0=δ

Dosadením do vzťahu (6.1) máme

9,13611150 416,207,0 =⋅= ⋅eKn

Budúca hodnota kapitálu je 1361,9 €.

Príklad 6.2. Cena nehnuteľnosti vzrástla zo sumy 4 500 000 € na 6 000 000 €, pričom

ceny nehnuteľností podľa realitných maklérov rástli 6% ročne. Za akú dlhú dobu nastal

tento nárast ceny?

Riešenie: Využijeme spojité úrokovanie, pričom 45000000 =K , 6000000=nK ,

06,0=δ . Potom

δ0lnln KKn n −= .

8,406,0

4500000ln6000000ln=

−=n

Vzrast nastal počas 4,8 roku.

43

ÚLOHY NA RIEŠENIE:

1. Kapitál vzrástol za 6 rokov pri spojitom úrokovaní s úrokovou sadzbou 6% na

10000 €. Akú výšku mal kapitál v čase uloženia do banky?

[6976,8 €]

2. Aká ročná úroková miera pri spojitom úrokovaní zodpovedá ročnej úrokovej miere

4,4% p.a. pri zloženom úrokovaní?

[4,305 % ]

3. Akú dlhú dobu je potrebné nechať sumu 300 000 € v banke pri spojitom úrokovaní

s úrokovou sadzbou 6,5%, ak si chceme kúpiť rodinný dom za 490 000 €.

[7,5 roka]

44

7 ANALÝZA INVESTÍCIÍ

V ďalšom sa budeme zaoberať základmi investičnej analýzy. Investícia je väčšinou

tvorená systémom peňažných tokov rozložených v čase. Peňažné toky predstavujú

postupnosť príjmov a výdajov. Príjmy vstupujú do vzorcov s kladným znamienkom,

výdaje so záporným znamienkom. Aby sme mohli sústavy peňažných tokov

porovnávať, musíme ich hodnoty prepočítať k jednému časovému okamihu,

k porovnávaciemu dátumu.

Vyhodnotenie investičných projektov možno robiť na základe:

• čistej súčasnej hodnoty,

• vnútorného výnosového percenta,

• doby návratnosti.

Nikdy však nesmieme zanedbať riziko a stupeň likvidity investície.

Čistá súčasná hodnota NPV (Net Present Value) je súčet diskontovaných príjmov

a výdavkov (s prihliadnutím na ich znamienko) k porovnávaciemu dátumu. Za tento

referenčný dátum sa berie súčasná časová pozícia.

Nech jC sú peňažné toky realizované na konci j-teho roku pre j= 0, 1, …, n. Nech i

je požadovaná ročná výnosnosť investície, rovnaká počas celej doby investície, vo

všetkých prípadoch - ak si investor peniaze vypožičiava, ak ich investuje alebo ich sám

požičiava. Potom čistú súčasnú hodnotu vypočítame zo vzťahu

( ) ( ) ( ) nn

iC

iC

iC

CiNPV+

+⋅⋅⋅++

++

+=111 2

210 (7.1)

Podotýkame, že jC môžu byť aj záporné. Veľmi často je záporné 0C , nakoľko

väčšina investícií začína výdajom, napr. nákupom nehnuteľností, cenných papierov,

strojných zariadení.

Pri posudzovaní projektu postupujeme nasledovne:

Ak NPV( i ) > 0, projekt je pre investora výhodný.

Ak NPV( i )< 0, projekt je pre investora nevýhodný.

Ak NPV( i ) = 0, projekt je krajne akceptovateľný.

Na výpočet čistej súčasnej hodnoty možno použiť počítačový software typu EXCEL.

45

Veľa investičných rozhodnutí je založených na výbere spomedzi niekoľkých

vzájomne sa vylučujúcich alternatív. Ak postupujeme metódou čistej súčasnej hodnoty,

uprednostníme alternatívu s najväčšou kladnou NVP.

Ak máme vybrať spomedzi viacerých investičných variantov najvýhodnejší, často

pritom využívame tzv. vnútorné výnosové percento. Postupujeme tak, že hľadáme pre

každý investičný variant takú úrokovú mieru, pri ktorej sa bude súčet súčasných hodnôt

všetkých tokov z investície rovnať nule, teda NPV = 0. Túto úrokovú mieru nazývame

vnútorné výnosové percento alebo vnútorná miera výnosnosti. Je to teda tá úroková

miera, ktorá vyhovuje rovnici.

( ) ( ) 0111 2

210 =

++⋅⋅⋅+

++

++ n

n

iC

iC

iC

C (7.2)

Ak pre každý investičný variant vypočítame príslušné vnútorné výnosové percento,

vyberieme tú alternatívu, ktorej prislúcha najväčšie vnútorné výnosové percento.

Poznámka. Rovnicu (7.2) možno len zriedkavo riešiť algebraicky. Ak jej ľavá strana je

monotónnou funkciou úrokovej miery i , riešenie je jednoduché. Rovnica (7.2) má

koreň práve vtedy, ak existujú také hodnoty 1i a 2i , že po dosadení za i do ľavej

strany rovnice dostaneme hodnoty s opačnými znamienkami. V takom prípade výnos

leží medzi 1i a 2i a určíme ho napríklad lineárnou interpoláciou alebo metódou

pokusov a omylov.

Doba návratnosti projektu je čas potrebný na opätovné získanie investovaných

prostriedkov z peňažných tokov projektu. Projekt je akceptovateľný, keď má dobu

návratnosti kratšiu ako je hraničná doba určená manažmentom. Pri porovnávaní

viacerých projektov preferujeme investíciu, ktorá má najkratšiu dobu návratnosti.

Príklad 7.1 Jednorazová investícia vo výške 1 000000 € prinesie finančnej spoločnosti

o rok výnos 410 000 €, o dva roky výnos 456 000 € a o tri roky výnos 492 000 €.

Zistite, či daná investícia bola pre finančnú spoločnosť výhodná, ak porovnateľný

46

kapitál bol na kapitálovom trhu v tej dobe zhodnocovaný 13 % p. a.. Ak áno, vpočítajte

výnos tohto projektu.

Riešenie: Pri vyhodnocovaní projektu použijeme vzťah (7.1), pričom

00000010 −=C , 13,0,000492,000456,000410 321 ==== iCCC . Potom

9276013,1

00049213,1

00045613,10004100000001 32

=

+++−=

NPV

NPV

NPV > 0

Čistá súčasná hodnota je kladná, teda investícia je výhodná.

Vnútornú mieru zisku vypočítame podľa vzťahu (7.2). Rovnicu

( ) ( )0

1492000

1456000

14100001000000 32 =

++

++

++−

iii

riešime rovnicu metódou pokus – omyl.

Pre 15,01 =i máme

( ) ( )

2482115,01

49200015,01

45600015,01

4100001000000 32 =+

++

++

+−

Pre 2,02 =i dostaneme

( ) ( )

569442,01

4920002,01

4560002,01

4100001000000 32 −=+

++

++

+−

Rovnica má koreň, lebo existujú hodnoty 1i a 2i také, že po dosadení do ľavej strany

rovnice dostaneme hodnoty s opačnými znamienkami. Vnútorné výnosové percento sa

nachádza medzi hodnotami 1i a 2i a zistíme ho metódou pokusu a omylu.

Pre 165,0=i máme

( ) ( )

926165,01

492000165,01

456000165,01

4100001000000 32 −=+

++

++

+−

Vnútorné výnosové percento bude rovné približne 16,45% p.a.

Príklad 7.2 Firma má dve možnosti ako investovať kapitál :

1. Jednorázová investícia 10000 € prinesie počas nasledujúcich 6 rokov postupne

výnos 2400 € o rok, 2500 € o dva roky, 2700 € na konci tretieho a štvrtého roku,

2600 € o pať rokov a 2200 € o šesť rokov.

2. Jednorázová investícia 10 000 € prinesie počas nasledujúcich 6 rokov výnos

2500 € ročne.

47

Zistite, ktorá investícia je pre spoločnosť výhodnejšia

Riešenie: Pre obe investície vypočítame vnútorné výnosové percento

V prvom prípade 100000 −=C , 24001 =C , 25002 =C , 27003 =C , 27004 =C ,

26005 =C , 22006 =C Vnútorné výnosové percento vypočítame podľa vzťahu (7.2).

Dostaneme rovnicu

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

12200

12600

12700

12700

12500

1240010000 65432 =

++

++

++

++

++

++−

iiiiii

Výpočtom metódou pokus omyl, alebo využitím EXCELu dostaneme i= 0,1328, teda

výnos v prvom prípade je 13,8%.

V prípade druhej investície 100000 −=C , 2500654321 ====== CCCCCC .

Vnútorné výnosové percento vypočítame podľa vzťahu ( 7.2). Dostaneme rovnicu

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

12500

12500

12500

12500

12500

1250010000 65432 =

++

++

++

++

++

++−

iiiiii

Výpočtom dostaneme i= 0,1298, teda výnos v druhom prípade je 12,98%.

Z výpočtu vyplýva, že prvá alternatíva je pre firmu výhodnejšia, nakoľko dáva vyšší

výnos.

ÚLOHY NA RIEŠENIE:

1. Investor očakáva, že daná investícia mu prinesie nasledujúce peňažné toky v €.

Obdobie 0 1 2 3 4 5

Peňažné toky - 5 000 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200

Určte vnútorné výnosové percento a čistú súčasnú hodnotu pri požadovanom výnose

15 % p,a..

[i=6,3%, NPV= -977]

2. Od investície do technologického zariadenia s dobou životnosti 10 rokov očakávate

stabilné výnosy 100 000 € ročne počas celej životnosti. Celkové prevádzkové

náklady predstavujú 60 000 € ročne. Akú sumu ste ochotný dnes zaplatiť, ak

požadujete výnos minimálne 20 % ročne a na konci životnosti musíte zaplatiť za

likvidáciu zariadenia 20 000 € .

[164 469]

48

8 VPLYV INFLÁCIE A DAŇOVÉHO ZAŤAŽENIA NA

ÚROKOVÚ MIERU

Úrokové sadzby, o ktorých sme doteraz hovorili, sú tzv. nominálne úrokové

sadzby, to znamená také, pri ktorých sme nezohľadňovali infláciu.

Inflácia je pokles hodnoty peňazí v dôsledku rastu cien. Zvyčajne sa meria

pomocou cenových indexov založených na maloobchodnej cene spotrebného koša

vybraných tovarov a služieb. Miera inflácie za nejaké obdobie je relatívna zmena

cenového indexu za toto obdobie.

Pri porovnávaní inflácie rôznych štátov sa miera inflácie odvodzuje od pomeru

nominálneho a reálneho hrubého domáceho produktu, nazývaného deflátor hrubého

domáceho produktu. Miera inflácie sa najčastejšie uvažuje za kalendárny rok.

Inflácia, ktorá znehodnocuje peniaze, samozrejme znehodnocuje aj úroky. Ak

zahrnieme do hodnoty úrokovej miery aj infláciu, hovoríme o reálnej úrokovej miere.

Nech rK je reálna výška kapitálu na konci úrokového obdobia, ri je reálna úroková

miera, ii je miera inflácie, 0K je kapitál na začiatku úrokového obdobia, i je

nominálna úroková miera.

Potom reálnu výšku kapitálu na konci úrokového obdobia vypočítame tak, že najprv

počiatočný kapitál úrokujeme nominálnou úrokovou mierou, a potom diskontujeme

mierou inflácie. Dostaneme

( )i

r iiKK

+⋅+⋅=1

110 (8.1)

Reálnu výšku kapitálu získame aj tak, že počiatočný kapitál úrokujeme reálnou

úrokovou mierou. Dostaneme

( )rr iKK +⋅= 10 (8.2)

Porovnaním (8.1) a (8.2) dostaneme

( ) ( )ri

iKi

iK +⋅=+

⋅+⋅ 11

11 00

Z toho dostaneme Fischerovu rovnicu

irir iiiii ⋅++=

49

Pre nízke hodnoty ri a ii zanedbávame ir ii . a reálnu úrokovú mieru možno

aproximovať

ir iii −≈ (8.3)

V predchádzajúcich výpočtoch sme neuvažovali o zdanení. Počítali sme výšku

úrokov (výnos) pred zdanením, teda hrubý výnos. Úrokové výnosy však podliehajú

zdaneniu. Ak od hrubého výnosu odpočítame daň, dostaneme čistý výnos. V SR je od

1. 1. 2004 19 %-ná daň z výnosov.

Podľa predchádzajúcich častí hrubý výnos pri jednoduchom úrokovaní vypočítame

niKu ..0=

Čistý výnos bude

niKdniKu sč ⋅⋅⋅−⋅⋅= 00

( ) ndiKu sč ⋅−⋅⋅= 10 (8.4)

kde sd je daňová sadzba vyjadrená ako desatinné číslo. Z toho čistá ročná výnosnosť

( )sč

č dinK

ui −== 1

.0

( )sč dii −= 1 (8.5)

Príklad 8.1. Vypočítajte čistú ročnú výnosnosť, ktorú dosiahne klient, ak si na začiatku

roku uložil v banke sumu 15 000 € na 6 mesiacov pri úrokovej sadzbe 11% p.a. Po

šiestich mesiacoch peniaze vybral a vložil ich na 6- mesačný termínovaný vklad pri

úrokovej sadzbe 12,5% p.a. Úroky z vkladov podliehajú 19%-nej dani.

Riešenie: Zo zadania máme 1500000 =K , 5,01 =n , 11,01 =i , 5,02 =n , 125,02 =i ,

19,0=sd , 121 =+= nnn .

Hodnotu kapitálu Kn po 1 roku vypočítame tak, že počiatočný kapitál najskôr zúročíme

o 6 mesiacov s úrokovou mierou 1i a túto sumu následne zúročíme o ďalších 6

mesiacov s úrokovou mierou 2i

( )[ ] ( )[ ] 5,164615,0125,019,0115,011,019,01115000 =⋅⋅−+⋅⋅⋅−+⋅=nčK

Vypočítame čistú ročnú výnosnosť:

50

nKKčK

nKu

i ncc ⋅

−=

⋅=

0

0

0

0974,0115000

150005,16461=

⋅−

=ci

Klient dosiahne čistú ročnú výnosnosť 9,74%.

Príklad 8.2. Akú sumu musíme dnes vložiť na účet do banky, ak o 5 rokov potrebujeme

vybrať 50000 €. Úroky sú pripisované štvrťročne pri ročnej úrokovej sadzbe 8%

a úroky podliehajú 19%-nej dani.

Riešenie: Úlohu riešime pomocou vzťahu pre výpočet budúcej hodnoty kapitálu pri

zloženom úrokovaní s m konverziami ročne:

( ) nms

n mdi

KK⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+⋅=

110

Odtiaľ vyjadríme K0 a dosadením 50000=nK , 5=n , 4=m , 08,0=i , 19,0=sd máme

( ) ( )5,36256

419,0108,01

500001

1540 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+

= ⋅⋅nms

n

mdi

KK

Na účet je potrebné vložiť 362 56,5 €. ÚLOHY NA RIEŠENIE:

1. Klient uložil 25.11 2005 do banky kapitál 9500 € pri úrokovej sadzbe 8% p.a.. 26.1.

2007 všetok kapitál z účtu vybral a následne ho vložil na iný účet s úrokovou

sadzbou 8,9% p.a. Akú čistú výnosnosť dosiahne klient do dnešného dňa, ak úroky

z vkladu podliehajú 19%-nej dani?

2. Na trojročný terminovaný vklad klient vložil sumu 25 000 €. Koľko bude môcť po 3

rokoch vybrať, ak úroky sú pripisované mesačne pri 5 %-nej ročnej úrokovej sadzbe

a úrok podlieha 19%-nej dani?

[28223,9 € ]

51

3. Vypočítajte pri akej úrokovej miere sa zdvojnásobí počiatočný kapitál za 10 rokov,

ak úroky z vkladu podliehajú 19 % dani a sú pripisované na konci každého roku k

vkladu a spolu s ním úročené rovnakou úrokovou sadzbou

[8,86 %]

4. Vypočítajte na koľko vzrástla suma 6500 € uložená na účte, úročenom počas celej

doby trvania vkladu 6%-nou ročnou úrokovou sadzbou, od 27.4.2000 do 31.12.2007,

ak úroky sú pripisované ročne vždy k 31.12. a daňová sadzba bola do 31.12.2003

15% a od 1.1.2004 je 19%.

[9439,635 €]

52

9 RENTOVÝ POČET

V ekonomickej praxi, vo finančníctve a v poistení sa veľmi často stretávame so

systémom pravidelne sa opakujúcich platieb.

Postupnosť pravidelne sa opakujúcich platieb, ktoré sú buď rovnaké alebo sa menia

podľa určitého pravidla, budeme nazývať renta alebo dôchodok. Jednotlivé platby

nazývame anuity alebo splátky. Typickým príkladom dôchodku, renty je pravidelné

sporenie, výplata starobného dôchodku, splácanie úveru, lízingové splátky, výplata

kupónových platieb a iné. Časové obdobie trvania renty nazývame dobou splatnosti

renty. Periódou renty budeme rozumieť dĺžku časového intervalu, na konci (začiatku)

ktorého sa uskutočňujú splátky.

Renty môžeme klasifikovať podľa rôznych kritérií. My si pomenujeme len tie,

ktoré budeme používať v ďalšom texte.

Podľa podmienok splácania delíme renty na nepodmienené (isté) a podmienené.

Príkladom nepodmienenej renty, teda renty, kde jednotlivé splátky renty nepodliehajú

splneniu žiadnej podmienky, môže byť napríklad splácanie úveru. S podmienenými

dôchodkami sa stretávame v poistení, kde výplata dôchodku je podmienená nastatím

poistnej udalosti, ktorá je náhodného charakteru.

Podľa počtu splátok rozoznávame renty konečné ( dočasné) a nekonečné ( večné).

Dočasná renta má konečnú dobu splatnosti a večná renta má časovo neobmedzenú dobu

splatnosti. Príkladom večnej renty je napr. výplata dividendy.

Podľa veľkosti jednotlivých splátok rozoznávame renty konštantné a premenlivé.

Jednotlivé splátky premenlivej renty sa môžu počas doby splatnosti meniť podľa

určitého pravidla. Pri konštantnej rente sa veľkosť splátok nemení.

Podľa dĺžky periódy medzi jednotlivými splátkami delíme renty na ročné, polročné,

mesačné, všeobecne p - termínové renty, kde číslo p udáva počet splátok za l rok.

Podľa termínu platieb v jednotlivých periódach, rozlišujeme predlehotnú rentu

(duálnu anuitu) a polehotnú rentu(ordinárnu anuitu). Splátky predlehotnej renty sa

uskutočňujú vždy na začiatku periódy. Splátky polehotnej renty sa uskutočňujú vždy na

konci periódy.

Podľa začiatku vyplácania delíme renty na bezprostredné a odložené. Ak sa

začína s výplatou renty „hneď“, t.j. keď sa prvá splátka realizuje na začiatku alebo na

konci prvej periódy renty, hovoríme o bezprostrednej rente. Ak sa prvá splátka

53

realizuje neskôr ako v prvej perióde, po určitom období t, hovoríme o odloženej rente.

Tento čas odkladu t nazývame čakacou dobou (doba sporenia, nedostatku).

Rentu nazývame prerušenou, ak medzi niektorými platbami renty je čakacia doba.

Nakoľko na každú rentu sa môžeme pozerať ako na systém peňažných tokov,

môžeme počítať jeho súčasnú ( prítomnú) hodnotu a jeho budúcu hodnotu.

Súčasná (začiatočná) hodnota renty predstavuje súčet všetkých splátok renty

prepočítaných k začiatku doby splatnosti renty.

Budúca (akumulovaná) hodnota renty predstavuje súčet všetkých splátok renty

prepočítaných ku koncu doby splatnosti renty.

V ďalšom texte sa budeme zaoberať len istými rentami s konštantnými anuitami.

Keďže pri rente ide o systém finančných tokov uskutočňovaných v určitom čase a za

konkrétnych úrokových podmienok, budeme sa odvolávať na pojmy a poznatky

uvedené v úrokovom počte. V celom rentovom počte budeme používať nasledovnú

symboliku:

n – počet splátok renty, počet časových periód,

R – splátka za 1 časovú periódu, člen renty,

i – úroková sadzba za 1 časovú periódu.

54

10 POLEHOTNÁ RENTA

Polehotná renta je renta, ktorej platby sa uskutočňujú na konci jednotlivých

intervalov počas určitej doby.

10.1 Dočasná polehotná renta

Uvažujme konštantnú, nepodmienenú, polehotnú rentu s n splátkami veľkosti R,

s úrokovou sadzbou i za 1 časovú periódu renty.

Najskôr pre jednoduchosť predpokladajme, že platobné obdobia sa zhodujú

s úrokovacími. n je doba splatnosti renty v rokoch, a teda aj počet splátok a úrokových

periód.

Odvodíme vzťah pre výpočet prítomnej a budúcej hodnoty takejto polehotnej renty.

Súčasná hodnota dočasnej polehotnej renty sa označuje symbolom nA . Súčasná

hodnota renty sa rovná súčtu súčasných hodnôt všetkých v budúcnosti realizovaných

platieb renty. Súčasná hodnota renty nám udáva, koľko si musíme dnes uložiť, aby sme

si zaistili pri danej úrokovej sadzbe vyplácanie príslušných splátok renty počas danej

doby. Z pohľadu dlžníka je nA výška pôžičky, ktorú treba splatiť n splátkami veľkosti R

peňažných jednotiek ročne polehotne. Uvažovanú rentu môžeme znázorniť

nasledujúcim časovým diagramom. Obr.4

nA

Obr.4 Súčasná hodnota polehotnej renty

Súčasnú hodnotu každej výplaty renty vypočítame tak, že ju odúročíme k východziemu

dátumu, teda k času 0, využitím vzťahu (4.2). Postup je v nasledujúcej tabuľke

55

Poradie výplaty Súčasná hodnota

1. ( ) 11 −+⋅ iR

2. ( ) 21 −+⋅ iR

: : :

: : :

n-1. ( ) )1(1 −−+⋅ niR

n. ( ) niR −+⋅ 1

Tab.1 Súčasná hodnota

Potom

( ) ( ) nn iR

iR

iRA

++⋅⋅⋅+

++

+=

111 2

Použitím vzorca na výpočet súčtu prvých n členov klesajúcej geometrickej

postupnosti , ktorej ( ) niRa −+= 1.1 a ( ) 11 −+= iq máme

( ) ( )( )

( )i

iRiiiRA

nn

n −−+

⋅=−+−+

⋅+⋅=−

−

−− 11

11111 1

1

Po jednoduchej úprave dostaneme vzťah pre výpočet prítomnej hodnoty polehotnej

renty

( )i

iRAn

n

−+−⋅=

11 ( 10.1 )

prípadne použitím odúročiteľa i+

=1

1υ

i

RAn

nυ−

⋅=1

V poistnej matematike sa v základných vzorcoch často používajú jednotkové

renty, t.j. renty so splátkami v hodnote jednej peňažnej jednotky. Súčasná hodnota

jednotkovej renty sa označujeme symbolom an⎤ a nazýva sa polehotný zásobiteľ.

Jeho hodnoty sú pre rôzne i a rôzne n uvedené vo finančných tabuľkách. Udáva

prítomnú hodnotu renty so splátkou R =1 pri úrokovej sadzbe i za l periódu renty. an⎤

určuje, aké množstvo peňazí by sme mali teraz deponovať na účte, aby táto suma spolu

56

s úrokmi priniesla za n periód ten istý výnos ako n periodických splátok veľkosti R = 1

pri rovnakej úrokovej sadzbe.

an⎤ ( )

iii nn υ−

=+−

=− 111 (10. 2 )

Budúcu hodnotu dočasnej polehotnej renty označme symbolom Sn.. Budúca

(akumulovaná) hodnota renty predstavuje súčet všetkých splátok renty, prepočítaných

ku koncu doby splatnosti renty. Budúca hodnota renty udáva, koľko by sme získali ku

koncu posledného roku, keby sme všetky výplaty renty okamžite po ich vyplatení pri

danej úrokovej sadzbe uložili. Budúca hodnota renty je rovnaká ako nasporená suma.

Môžeme ju znázorniť nasledujúcim časovým diagramom

Sn

Obr.5. Budúca hodnota polehotnej renty

Pri jej výpočte musíme vypočítať hodnotu všetkých splátok ku koncu n-tej periódy

a potom ich spočítať. Postup je uvedený v nasledujúcej tabuľke.

Poradie splátky Počet období kedy

je úročená

Hodnota splátky na

konci n-tého obdobia

1. n-1 ( ) 11 −+⋅ niR

2. n-2 ( ) 21 −+⋅ niR

: : :

: : :

: : :

n-1. 1 ( )iR +⋅ 1

n. 0 R

Tab. 2 Budúca hodnota

57

Prvá splátka sa zúročí o ( )1−n rokov, predposledná o jeden rok, posledná ostane

nezmenená . Teda

( ) ( ) ( ) RiRiRiRS nnn ++⋅+⋅⋅⋅++⋅++⋅= −− 111 21

Analogickými úvahami ako pri úprave vzťahu pre výpočet súčasnej hodnoty, použitím

vzorca pre výpočet súčtu geometrického radu, kde Ra =1 a iq += 1 , dostaneme pre

budúcu hodnotu vzťah

( )iiRS

n

n11 −+

⋅= (10.3)

Položením R = 1 a dosadením do vzťahu (10.3) získame hodnotu polehotného

sporiteľa, ktorého hodnoty sú uvedené vo finančných tabuľkách. Budúca hodnota

jednotkovej dočasnej polehotnej renty sa označuje symbolom sn⎤ a platí

sn⎤ ( )

ii n 11 −+

= (10.4)

Vzťah medzi prítomnou a budúcou hodnotou renty môžeme určiť na základe rovnice

ekvivalencie, ak za dátum porovnávania zoberieme začiatok, resp. koniec výplaty renty.

Potom

( ) nnn iSA −+= 1. , resp. (10.5)

( )nnn iAS += 1. (10.6)

Zo vzťahov (10.1) a (10.3) môžeme vyjadriť veličiny R a n.

Veľkosť splátky R renty, ktorá má prítomnú hodnotu nA , resp. budúcu hodnotu Sn pri n

periódach a pri úrokovej sadzbe i za periódu je

( ) nn i

iAR −+−=

11. , resp. (10.7)

( ) 11

.−+

= nn iiSR (10.8)

Dobu splatnosti renty, v našom prípade aj počet splátok renty a počet periód renty,

ktorej splátky sú veľkosti R, budúca hodnota je Sn pri úrokovej sadzbe i za jednu

periódu, dostaneme nasledujúcimi úpravami vzťahu (10.3 )

( )nn iR

iS+=+

⋅11

58

( )inR

iSn +⋅=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

1ln1ln

( )iR

iS

n

n

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅

=1ln

1ln (10.9)

Počet periód renty, ktorej periodická splátka je R, prítomná hodnota je nA , pri úrokovej

sadzbe i za 1 periódu, dostaneme nasledujúcimi úpravami vzťahu (10.1)

( ) nn iR

iA −+=⋅

− 11

( )inR

iAn +⋅−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅− 1ln1ln

( )iR

iA

n

n

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−

−=1ln

1ln (10.10)

Hodnotu n v predchádzajúcom vzťahu môžeme určiť len za predpokladu, že platí

0.

1 >−R

iAn

Teda ak iAR n .< . V opačnom prípade ide o tzv. večnú rentu, o ktorej budeme hovoriť

neskôr.

Hodnota n podľa vzorcov (10.9), resp. (10.10) je vo všeobecnosti desatinné číslo. V tom

prípade n zaokrúhlime na najbližšie menšie celé číslo a poslednú splátku dopočítame

s využitím rovnice ekvivalencie. Veličina n vo vzorcoch (10.9) a (10.10) udáva tiež

počet splátok renty.

Na výpočet hodnôt nA , Sn,, R a n podľa vyššie uvedených vzorcov môžeme využiť

tabuľkový procesor EXCEL.

Príklad 10.1 Dedič rozsiahleho majetku, ktorý zahŕňa aj les, sa rozhodol založiť účet,

z ktorého chce zabezpečiť financie na úpravu terénu a výsadbu nových drevín ročne vo

výške 15000 € počas 6 rokov. Prvá platba sa uskutoční o rok. Koľko musí dnes vložiť

na účet úročený úrokovou mierou 3% p.a.?

Riešenie: Máme vypočítať prítomnú hodnotu polehotnej renty, pričom 15000=R ,

n = 6, i = 0,03. Použitím vzťahu (10.1) dostaneme:

59

9,8125703,003,1115000

6

=−

⋅=−

nA

Dedič musí uložiť na účet 81257,9 €, aby pokryl financie na údržbu lesa počas

nasledujúcich 6 rokov..

Príklad 10.2 Rodičia sa rozhodli, že začnú svojmu 12 ročnému synovi ukladať ku

koncu každého roka na účet, ktorý poskytuje 5% ročnú úrokovú mieru, čiastku 700 €.

Akú sumu dostane chlapec k 18-tym narodeninám?

Riešenie: Ide o výpočet budúcej hodnoty polehotnej renty, pričom poznáme: R = 700,

n = 6, i = 0,05. Dosadením daných hodnôt do vzťahu (10.3) dostaneme :

3,476105,0

105,17006

=−

⋅=nS

Chlapec dostane od rodičov k 18-tym narodeninám sumu 4761,3 €.

Príklad 10.3 Zamestnanec sa dohodol so svojim šéfom, od ktorého si požičal peniaze

na dostavbu domu, že vyrovná dlžobu 3 rovnakými splátkami po 8000 € koncom

každého nasledujúceho roku pri 6% úrokovej miere. Ten však nebol schopný zaplatiť

prvú splátku a tak sa dohodol so šéfom, že celú dlžobu vyrovná jednou ekvivalentnou

splátkou na konci 3. roku. Aká bude výška tejto splátky?

Riešenie: Najskôr určíme prítomnú hodnotu polehotnej renty dosadením R = 8000,

i = 0,06, n = 3 do vzťahu (10.1). Následne z tejto sumy určíme budúcu hodnotu.

1,2138406,006,118000

3

=−

⋅=−

nA

Teraz určíme budúcu hodnotu zo sumy nA .

8,2546806,11,2138406,1 33 =⋅=⋅= nn AS

Zamestnanec splatí svoj dlh na konci 3. roku vo výške 25468,8 €.

Príklad 10.4 Koľko rokov možno vyberať z vkladu 20000 € koncom každého roku

sumu 3500 €, ak vklad je uložený na účte úročenom úrokovou mierou 10% p. a.?

Riešenie: V tomto prípade máme ako neznámu, dobu splatnosti n, pričom poznáme

An = 20000, R = 3500, i = 0,1. Použitím vzťahu (10.10) dostaneme:

60

8,51,1ln

35001,0200001ln

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−

−=n

Z vkladu 20000 € môžeme vyberať každoročne sumu 3500 € počas doby 5 rokov.

Príklad 10.5 Účastník doplnkového dôchodkového sporenia má na svojom účte

úročenom 5% p.a. k 1.1.2008 nasporenú sumu 10000 €. Z tohto účtu mu bude

vyplácaný pravidelný ročný dôchodok vždy k 31.12. počas 10 rokov. Aká bude výška

dôchodku?

Riešenie: Ide o výpočet výšky splátky renty, ak poznáme jej prítomnú hodnotu.

Dosadením do vzťahu (10.7 ) máme

( )045,1295

05,01105,0.10000 10 =

+−= −R

Výška dôchodku bude 1295 €.

10.2 Odložená polehotná renta

Odložená renta je renta, pri ktorej sa platby začínajú až po určitom období t . Tento

čas odkladu nazývame čakacou dobou. Typickým príkladom takejto renty je výplata

starobného dôchodku, ktorého výplaty sú odložené k dôchodkovému veku.

Uvažujme konštantnú, nepodmienenú, polehotnú rentu s n splátkami veľkosti R,

s úrokovou sadzbou i za 1 časovú periódu renty, ale so splátkami odloženými o t rokov.

t An An nt S

Obr.6 Odložená renta

Máme teda polehotnú rentu odloženú o t rokov. Jej súčasná hodnota sa označuje

symbolom nt A (resp. pre jednotkovú t an⎤ ), budúca hodnota symbolom nt S (resp.

61

t sn⎤ ). Nakoľko sa prvá splátka uskutoční až na konci ( )1+t –ho roku a posledná na

konci ( )nt + - tého roku, pri výpočte súčasnej hodnoty dostaneme

( ) ( ) ( ) ntttnt iR

iR

iRA +++ +

+⋅⋅⋅++

++

=111 21

( ) tnnt iAA −+⋅= 1 ( 10.11)

( ) ( ) tn

tn

nt iRi

iiRA υυ

⋅−

⋅=+⋅+−

⋅= −− 1111 (10.12)

t an⎤( ) ( ) t

nt

n

ii

ii υυ

⋅−

=+⋅+−

= −− 1111 ( 10.13)

Je zrejmé, že budúca hodnota odloženej renty sa nezmení, nakoľko prvú splátku by

sme úrokovali opäť len 1−n rokov a poslednú, i keď zaplatenú v čase tn + , by sme

neúrokovali. Teda

nt S = ( )iiRS

n

n11 −+

⋅= (10.14 )

t sn⎤ = sn⎤

Príklad 10.6 Renta sa bude vyplácať počas 12-tich rokov pravidelnou splátkou rovnou

1200 € koncom každého roka. S vyplácaním sa začne o 3 roky. Určite prítomnú a

budúcu hodnotu tejto renty pri úrokovej miere 5%p.a.

Riešenie: Dosadením hodnôt: n = 12, R = 1 200, t = 3, i = 0,05 do vzťahov (10.12) a

(10.14) získame riešenie úlohy.

1910105,0

105,1120012

=−

⋅== nnt SS

7,918705,005,1105,11200

123 =

−⋅⋅=

−−

nt A

Zistili sme, že prítomná hodnota renty je 9187,7 € , budúca hodnota 19101 € .

62

10.3 Večná polehotná renta

Ak je doba splatnosti renty neohraničená, čiže aj počet výplat renty je neohraničený,

hovoríme o večnej polehotnej rente.

A∞ S∞

Obr.7 Večná polehotná renta

Prítomnú hodnotu A∞ večnej renty aj budúcu hodnotu S∞ takejto renty dostaneme

limitným prechodom pre ∞→n vo vzťahoch pre výpočet príslušných hodnôt

dočasnej renty. Potom máme

( ) ( )( )n

n

n

nnni

iR

iiRAA −

∞→

−

∞→∞→∞ +−⋅=+−

⋅== 11lim11limlim

iRA =∞ (10.15 )

Prítomná hodnota jednotkovej večnej polehotnej renty bude

a∞⎤ ∞→

=nlim an⎤ = i

1

Prítomná hodnota odloženej večnej polehotnej renty bude

tntnt AA

∞→∞ = lim

( ) ttt i

RiiRA υ⋅=+⋅= −

∞ 1 (10.16 )

Prítomná hodnota odloženej jednotkovej večnej polehotnej renty bude

t a∞⎤ = tn ∞→lim an⎤ = ( )

ii

i

tt υ=+⋅ −11

Je zrejmé, že budúce hodnoty večnej renty musia byť neohraničené vo všetkých

uvažovaných prípadoch.

Príklad 10.7 Akú sumu musíme koncom každého roka vložiť na účet, aby sme za 25

rokov vytvorili fond, z ktorého bude vyplácaná výročná cena v hodnote 10 000 €,

63

udeľovaná vždy na konci roka, 26-tym rokom počnúc, ak uvažujeme nemennú úrokovú

sadzbu 3 % p.a.?

Riešenie: Budúca hodnota vytváraného fondu s neznámou anuitou R sa musí rovnať

súčasnej hodnote večnej renty so splátkou 10 000 €. Pre 03,0,25 == in dostaneme

( )

6,1429103,1

0001003,000010

03,0103,01

25

2525

=−

=

=−+

⋅

= ∞

R

R

AS

Na vytvorenie fondu večnej renty treba ukladať 9 142,6 € ročne.

Príklad 10.8 Zistite minimálnu sumu, ktorá musí byť v zabezpečovacom fonde, aby

mohol poskytovať pravidelné polehotné ročné platby v sume 5000 € neobmedzene dlho,

pričom je úročený 7% p.a..

Riešenie: Ide o prítomnú hodnotu večnej polehotnej renty, pričom i = 0,07, R = 5 000.

Dosadením do vzťahu (10.15) dostaneme:

7142907,0

5000==∞A

Zabezpečovací fond musí byť vo výške 71 429 €.

10.4 p - termínová polehotná renta

Rentu, ktorá sa realizuje p platbami ročne počas n rokov v rovnakých časových

intervaloch, budeme nazývať p-termínová renta.

Uvažujme p - termínovú polehotnú rentu, ktorá obsahuje p splátok veľkosti R ročne

počas n rokov s nominálnou úrokovou sadzbou i(m) pri m- konverziách za rok. Nech

p ≠ m a 1≥p . Počet všetkých členov renty teda bude n · p.

Budúcu hodnotu p-termínovej polehotnej renty značíme Sn(p). Súčasnú hodnotu

p – termínovej polehotnej renty označujeme symbolom )( pnA .

64

An

(p) Sn(p)

Obr.8 p-termínová polehotná renta

Odvoďme vzťah pre výpočet budúcej hodnoty tejto renty. Prvá splátka bude

splatená po uplynutí p1 -tiny roka a bude úrokovaná m – krát do roka efektívnou

úrokovou mierou mi počas doby

pn 1− . Hodnota tejto splátky na konci n-tého roka

bude ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

pnm

miR

1

1 . Druhá splátka bude za tých istých podmienok úrokovaná počas

doby p

n 2− , jej hodnota na konci n-tého roka bude

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

pnm

miR

2

1 . Predposledná

splátka bude úrokovaná počas jednej p1 -tiny roka, jej hodnota na konci n-tého roka

bude pm

miR ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅ 1 . Posledná splátka nebude úrokovaná, nakoľko je realizovaná na

konci n-tého roka. Budúcu hodnotu p-termínovej polehotnej renty vypočítame ako

súčet jednotlivých výplat renty zúročených ku koncu posledného roka kedy sa renta

vypláca. Dostaneme

RmiR

miR

miRS

pmpnmp

nmp

n +⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⋅⋅⋅+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

−−121

)( 111

Po úprave exponentov

( ) ( )

RmiR

miR

miRS

pmpn

pmpn

pm

pn +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⋅⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

−⋅−⋅

11121

)(

65

Použitím vzorca na výpočet súčtu prvých n.p členov geometrickej postupnosti, kde

Ra =1 a pm

miq ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += 1 dostaneme

11

11)(

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=

⋅⋅

pm

pnpm

pn

mi

mi

RS ,

a teda

11

11)(

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=

pm

nm

pn

mi

mi

RS (10.17 )

Súčasnú hodnotu p – termínovej polehotnej renty dostaneme zo vzťahu (10.17 )

odúročením za obdobie n rokov

nm

pn

pn m

iSA⋅−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅= 1)()(

Po dosadení a úprave

11

11)(

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⋅=

−

pm

nm

pn

mi

mi

RA ( 10.18 )

Súčasnú hodnotu p – termínovej polehotnej večnej renty dostaneme limitným

prechodom

11

lim )()(

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

==∞→∞

pm

pnn

p

mi

RAA ( 10.19)

Budúca hodnota večnej renty )( pS∞ musí byť neohraničená.

66

Súčasnú hodnotu p –termínovej polehotnej renty odloženej o t rokov označujeme

symbolom .)( pnt A Použitím vzťahov (10.11) a (10.12) dostaneme

tm

pn

pnt m

iAA⋅−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅= 1)()(

tm

pm

nm

pnt m

i

mi

mi

RA−

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⋅= 1

11

11)( (10.20)

Budúca hodnota p – termínovej polehotnej renty odloženej o t rokov sa rovná budúcej

hodnote p – termínovej renty vyplácanej bezprostredne a teda

11

11)()(

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅==

pm

nm

pn

pnt

mi

mi

RSS (10.21)

Príklad 10.9 Dlžník sa zaviazal splácať 1 500 € na konci každého mesiaca po dobu 10

rokov. Začiatkom 5. roku (hneď potom, ako bola zaplatená 48. splátka) veriteľ túto

pohľadávku predal. Aká bola cena pohľadávky, ak úroková miera bola 12 % p.a. a

úrokovacie obdobie bolo 1 mesiac?

Riešenie: Ide o prítomnú hodnotu p – termínovej polehotnej renty, v tomto prípade

o cenu pohľadávky, ktorá má byť splácaná ešte ďalších 6 rokov mesačne, dokopy teda

72 splátkami. Hodnoty R = 1 500, n = 6, i = 0,12, m = 12, p = 12 dosadíme do vzťahu

(10.18) a dostaneme:

6,76725

1212,01212,011

1500

72

)( =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⋅=

−

pnA

Cena pohľadávky bola 76 725,6 €.

Príklad 10.10 Nájomca musí platiť koncom každého mesiaca nájom za byt vo výške

500 €. Kvôli finančným problémom nemohol zaplatiť nájom za apríl a máj.

S prenajímateľom sa dohodol, že na konci júna vyrovná nedoplatok a navyše zaplatí

67

nájomné až do konca roka. Akú čiastku bude musieť koncom júna zaplatiť pri 6%

úrokovej miere s mesačným pripisovaním úrokov?

Riešenie: Najskôr musíme vypočítať budúcu hodnotu nájmu za 3 mesiace (apríl, máj,

jún) a potom prítomnú hodnotu nájmu do konca roka, t.j. za 6 mesiacov (júl –

december),pričom vieme, že: R = 5 000, i = 0,06, m = 12, p = 12

15075

1206,0

11206,01

5000

3

)( =−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=p

nS

29482

1206,01206,011

5000

6

)( =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⋅=

−

pnA

Nájomca teda zaplatí koncom júna 15 075 + 29 482 = 44 557 €.

Príklad 10.11 Stavebný úver vo výške 1 milión € s úrokovou sadzbou 6 % p.a a

štvrťročným úrokovaním, ktorý získala firma 1.5.2000, má byť splatený do 1.6. 2010.

V úverových podmienkach je zakotvené, že jednotlivé splátky budú splácané v rovnakej

výške na konci každého mesiaca, pričom prvá splátka sa uskutoční 31.5.2002.

Vypočítajte výšku splátok a celkové úrokové náklady úveru.

Riešenie: Jedná sa o polehotnú p-termínovú rentu odloženú o dva roky, pričom m = 4,

p = 12, i = 0,06, t = 2, n = 8, 6)12(82 10=A

Použitím vzťahu (10.20) dostaneme

( ) ( )

4,78714

015,11

015,11015,110

406,01

1406,01

406,011

10

32

831

6

24

124

84

6

=

−

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⋅=

−

⋅−

⋅−

R

R

R

68

Za 8 rokov sa uskutoční 128 ⋅ splátok po 14 787,40 €, čo spolu predstavuje sumu

1 419 590 €. Celkové úrokové náklady úveru teda sú 419 590 €.

Príklad 10.12 Pani Zdenka vyhrala v lotérii. Výhra jej bude vyplácaná v 20 splátkach

vo výške 10000 € vždy na konci štvrťroku a to prvý krát po 3 rokoch. Určte súčasnú

hodnotu výhry pri úrokovej miere 10% p.a..

Riešenie: Máme vypočítať prítomnú hodnotu p – termínovej polehotnej renty

odloženej o 3 roky, pričom p = 4, n = 5, R = 10000, t = 3, i = 0,1. Hodnoty dosadíme do

vzťahu (10.20) a dostaneme:

763,19021711,1

11,11,11000041

53)( =

−

−⋅⋅= −p

nt A

Súčasná hodnota výhry je 190217,763 €.

Príklad 10.13 Akú sumu musí klient uložiť do banky na účet, ktorý poskytuje

štvrťročný úrok pri 7% p.a., ak chce vždy koncom mesiaca z účtu vyberať 800 €?

Riešenie: V tomto príklade ide o večnú p – termínovú polehotnú rentu. Máme zistiť

výšku vkladu, ak vieme, že R = 800, i = 0,07, m = 4, p = 12. Dosadením do vzťahu

(10.19) dostaneme:

773,137939

1407,01

800

124

)( =

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=∞pA

Klient musí vložiť na účet 137 939,77 €.

ÚLOHY NA RIEŠENIE: 1. Klient mal splatiť úver v banke 6 splátkami vo výške 7500 € postupne na konci 1. až

6. roku. Po finančných problémoch klienta banka pripustila, že dlžník môže

vyrovnať dlh jednorazovo na konci 6. roku. O akú čiastku pôjde, keď banka používa

pre úvery úrokovú mieru 10% p.a.?

[57867 €]

69

2. Rodičia chcú dať dcére k promócii za 5 rokov do daru dovolenku v hodnote 1000 €.

Koľko musia koncom každého roku uložiť do fondu, ktorý garantuje výnos

5,5% p.a.?

[179,176 €]

3. Spoločnosť zaoberajúca sa výrobou nábytku uvažuje o projekte, ktorý vyžaduje

začiatočnú investíciu 1 106 022 € a ktorý prinesie 180 000 € na konci každého

z nasledujúcich 10 rokov. Nájdite vnútornú mieru výnosnosti projektu za

predpokladu 0-vej inflácie.

[10%p.a.]

4. Úver 240 000 € s úrokovou mierou 10% p.a. má byť splatený dvadsiatimi

polehotnými rovnakými ročnými splátkami. Dlžník zaplatil splátky za prvých 5

rokov, no v ďalších rokoch nebol schopný svoj záväzok voči banke splniť. Banka

súhlasila s odkladom splátok s tým, že na konci 9. roku splatí naraz celú zostávajúcu

časť úveru. O akú sumu pôjde?

[313929 €]

5. Pán Kováč investoval do kúpy cenných papierov 25000 € s nominálnou úrokovou

sadzbou 7% p.a. s tým, že obdrží 8 rovnakých platieb na konci každého roku, pričom

prvá platba sa uskutoční po uplynutí 4 rokov. Aké veľké budú platby ktoré obdrží?

[5129 €]

6. Klient uložil na účet, ktorý poskytuje úrok 6% p.a., sumu 200000 €. Akú veľkú

sumu môže vždy koncom roka vyberať, aby počiatočná hodnota vkladu zostala

zachovaná?

[R =12000 €]

7. Rodičia založili dcére pri narodení účet úročený počas celej doby trvania vkladu

úrokovou mierou 4 % p.a. so štvrťročným pripisovaním úroku a s počiatočným

vkladom l00000 €. Od 20-teho roku života jej má byť na konci každého mesiaca po

dobu 40 rokov z tohto účtu vyplácaná istá suma. O akú sumu ide?

[924,61€]

70

8. Istá nitrianska firma sa rozhodla, že podporí miestny futbalový klub sumou 5000 €

každý rok po dobu 6 rokov. Rozhodli sa kvôli tomu založiť v banke nadačný fond,

ktorý je úročený 5%-nou ročnou úrokovou mierou s polročným pripisovaním

úrokov. Akú sumu musela firma vložiť do fondu?

[25 328 €]

9. Klient ukladá mesačne polehotne 30 € na účet úročený úrokovou mierou 4% p.a. s

mesačným pripisovaním úrokov po dobu 10 rokov. Aká bude hodnota na účte 5

rokov po poslednej platbe?

[5393,75€]

71

11 PREDLEHOTNÁ RENTA

Predlehotná renta je renta, ktorej platby sa uskutočňujú na začiatku jednotlivých

intervalov počas určitej doby.

11.1 Dočasná predlehotná renta

Uvažujme konštantnú, nepodmienenú, predlehotnú rentu s n splátkami veľkosti R,

s úrokovou sadzbou i za 1 časovú periódu renty.

Na úvod uvažujme opäť o rente, ktorej perióda aj úroková perióda sú rovné jednému

roku.

Súčasnú hodnotu dočasnej predlehotnej renty budeme označovať symbolom nA .

Je to hodnota renty v čase platby prvej anuity. Viď obrázok 9.

Än

Obr.9 Súčasná hodnota predlehotnej renty

Vypočítame ju ako súčet súčasných hodnôt všetkých výplat renty. Teda musíme každú

splátku odúrokovať za príslušný počet úrokových periód. Prvá splátka, ktorá je platená

na začiatku prvej periódy, zostane nezmenená a do Än prispeje sumou R , posledná

splátka, ktorá je platená na začiatku n-tej periody sa odúrokuje o 1−n rokov a do Än

prispeje sumou ( ) )1(1 −−+⋅ niR . Potom

( ) 111 −+

+⋅⋅⋅++

+= nn iR

iRRA

Použitím vzorca pre výpočet súčtu geometrickej postupnosti kde prvý člen Ra =1 a

( ) 11 −+= iq dostaneme:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )i

iiRi

iiRiiRA

nnn

n

−−

−

− +−⋅+⋅=

−−+

⋅+⋅=−+−+

⋅=111111

1111

1

..

72

Pre prítomnú hodnotu dočasnej predlehotnej renty teda platí:

( ) ( )i

iiRAn

n

−+−⋅+⋅=

111..

(11.1)

Alebo

υυ⋅−

⋅=i

RAn

n1

Položením 1=R a dosadením do tohto vzorca získame hodnotu predlehotného

zásobiteľa na ⎤ , ktorého hodnoty možno nájsť vo finančných tabuľkách. Udáva

prítomnú hodnotu jednotkovej predlehotnej renty.

na ⎤( ) ( )

dii

ii nnn υ

υυ −

=⋅−

=+⋅+−

=− 11111

(11.2)

Budúcu hodnotu dočasnej predlehotnej renty označujeme symbolom nS .

nS

Obr.10 Budúca hodnota predlehotnej renty

Budúca (akumulovaná) hodnota renty predstavuje súčet všetkých splátok renty,

prepočítaných ku koncu doby splatnosti renty, teda jednu časovú (a teda aj úrokovú)

periódu po platbe poslednej anuity. Pri jej výpočte musíme zúročiť každú splátku

príslušným počtom úrokových periód. Prvú splátku uskutočnenú na začiatku prvej

periódy zúročíme o n rokov, druhú splátku zúročíme o n-1 rokov, až postupne

predposlednú splátku uskutočnenú na začiatku n-1-ej periódy zúročíme o 2 roky a

poslednú splátku uskutočnenú na začiatku n-tej periódy zúročíme do konca tejto

periódy, teda o jeden rok. Potom

( ) ( )iRiRS nn +⋅+⋅⋅⋅++⋅= 11

73

Použitím vzorca pre výpočet súčtu geometrickej postupnosti kde ( )iRa +⋅= 11 a

iq += 1 dostaneme:

( ) ( )11

111..

−+−+

⋅+⋅=i

iiRSn

n

Pre budúcu hodnotu dočasnej predlehotnej renty teda platí:

( ) ( )iiiRS

n

n111

.. −+⋅+⋅= (11.3)

Položením R = 1 a dosadením do vzťahu (2.4) získame hodnotu predlehotného

sporiteľa ns ⎤, ktorého hodnoty možno nájsť vo finančných tabuľkách. Udáva budúcu

hodnotu jednotkovej predlehotnej renty.

ns ⎤ ( ) ( )i

ii n

+⋅−+

= 111 (11.4)

Porovnaním vzťahov pre výpočet budúcej a prítomnej hodnoty polehotnej a

predlehotnej renty zistíme, že sa líšia iba o úrokovací faktor (1+i) . To vyplýva z faktu,

že splátky v predlehotnej rente sú za rovnakú dobu splatnosti úročené o jednu úrokovú

periódu dlhšie. Platí:

( ) nn AiA ⋅+= 1 (11.5)

( ) nn SiS ⋅+= 1 (11.6)

Zo vzťahov pre výpočet budúcej a prítomnej hodnoty predlehotnej renty môžeme

vyjadriť R a n.

Veľkosť splátky R predlehotnej renty pri úrokovej sadzbe i za jednu periódu pri danom

n a danej prítomnej, resp. budúcej hodnote je

( ) ( )( )n

n

iiiAR −+−⋅+⋅

=111

..

, (11.7)

resp.

74

( ) ( )( )111

..

−+⋅+⋅

= nn

iiiSR (11.8)

Počet periód n predlehotnej renty pri úrokovej sadzbe i za jednu periódu, pri danom R

a danej prítomnej, resp. budúcej hodnote je

( )

( )i

iRiA

n

n

+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+⋅

−

−=1ln

1.1ln

..

(11.9)

resp.

( )

( )i

iRiS

n

n

+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

+⋅

=1ln

11.

ln..

(11.10)

Príklad 11.1 Koľko nasporíme za 5 rokov, ak ukladáme na účet 15 000 € začiatkom

každého roka a banka poskytuje na tomto type účtu úrok 5% p.a. s ročným pripisovaním

úrokov?

Riešenie: Ide o budúcu hodnotu predlehotnej renty, pričom n = 5, i = 0,05, R = 15 000.

Hodnoty veličín dosadíme do vzťahu (11.3) a dostaneme:

( ) ( ) 692,8702805,0

105,0105,01150005..

=−+

⋅+⋅=nS

Za 5 rokov pri danej úrokovej miere nasporíme 87028,692 €.

Príklad 11.2 Úver má byť banke splatený piatimi splátkami vo výške 30000 € postupne

na začiatku prvého, druhého až piateho roku. Banka súhlasí s požiadavkou dlžníka

zaplatiť dlh jednorázovo na konci piateho roku. O akú čiastku sa jedná, ak úroková

miera úveru je 10 % p. a. s ročným pripisovaním úrokov?

Riešenie: Ide len o inú alternatívu zadania na sporenie, teda počítame budúcu hodnotu

splátok úveru. Do vzťahu (11.3) dosadíme hodnoty R = 30000, n = 5, i = 0,1.

75

3,2014681,0

11,11,1300005..

=−

⋅⋅=nS

Úver bude splatený splátkou vo výške 201468,3 €.

Príklad 11.3 Pán Novotný má svojej bývalej manželke vyplatiť po rozvode podiel

z majetku v hodnote 150000 €. Suma má byť splatená 6 rovnakými splátkami vždy na

začiatku roku pri úrokovej miere 6% p. a. Aká bude výška jednej splátky?

Riešenie: Výšku splátky vypočítame dosadením hodnôt 150000..

=nA , n = 6, i = 0,06

do vzťahu

( ) ( )( )nn

iiiAR −+−⋅+⋅

=111

..

Potom

( ) 73,2877706,1106,1

06,01500006 =

−⋅⋅

= −R

Výška splátky, ktorú obdrží pani Novotná každý rok, je 28777,73 €.

Príklad 11.4 Ako dlho musíme ukladať na účet začiatkom každého štvrťroka sumu

2000 € aby sa nám na účte naakumuloval kapitál 50 000 €, ak účet je úročený úrokovou

mierou 8% p.a. a úroky sú pripisované štvrťročne?

Riešenie: Našou úlohou je zistiť hodnotu n, pričom i = 0,08/4 = 0,02, R = 2000,

50000..

=nS

( )

( )i

iRiS

n

n

+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

+⋅

=1ln

11.

ln..

14,2002,1ln

102,1200002,050000ln

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⋅⋅

=n

Treba uskutočniť 20,14 splátok (približne 5 rokov a 1,5 mesiaca).

Určíme, aká suma bude na účte po 5 rokoch (20 splátkach):

63,4956602,0

102,102,1200020..

=−

⋅⋅=nS

Do sumy 50 000 € na konci 5. roka teda chýba ešte čiastka 433,37 €.

76

11.2 Odložená predlehotná renta

Uvažujme konštantnú nepodmienenú predlehotnú rentu s n splátkami veľkosti R,

s úrokovou sadzbou i za 1 časovú periódu renty, ale prvú splátku odložíme o t rokov.

Takúto rentu budeme nazývať odložená predlehotná renta.

nt A

..

nA..

nt S..

Obr.11 Odložená predlehotná renta

Prítomnú hodnotu predlehotnej renty odloženej o t rokov označujeme nt A .

Dostaneme ju odúročením prítomnej hodnoty predlehotnej renty bez odkladu nA..

o t

rokov. Teda

( ) tnnt iAA −+⋅= 1....

(11.11)

nt A ( ) ( ) ( ) tn

tn

iRi

iiiR υυ

⋅−

⋅=+⋅+−

⋅+⋅= −− 11111 (11.12)

Pre prítomnú hodnotu predlehotnej renty odloženej o t rokov platí aj

nt A ( ) nt Ai ⋅+= 1 (11.13)

( ) ( )i

iiRAn

tnt

−+− +−⋅+⋅=

111 1..

(11.14)

Budúcu hodnotu predlehotnej renty odloženej o t rokov označujeme nt S a platí:

( ) ( )iiiRSS

n

nnt111

.... −+⋅+⋅== (11.15)

A tiež

nt S ( ) ( ) nnt SiSi ⋅+=⋅+= 11 (11.16)

77

Príklad 11.5 Podnikateľ investoval do kúpy cenných papierov čiastku, ktorá mu má

o 4 roky priniesť pri úrokovej miere 7% p.a. platby vo výške 100 000 € vyplácané na

začiatku každého roku po dobu 6 rokov. Akú sumu investoval?

Riešenie: Musíme zistiť čomu sa rovná prítomná hodnota predlehotnej renty odloženej

o 4 roky, pričom R = 100000, i = 0,07, t = 4, n = 6. Dosadením hodnôt do vzťahu

(11.14) dostaneme:

68,37736408,008,1107,1100000

63

..

=−

⋅⋅=−

−nt A

Podnikateľ investoval 377 364,68 €.

11.3 Večná predlehotná renta

Ak je doba splatnosti neohraničená, hovoríme o večnej predlehotnej rente.

∞

..

A ∞

..

S

Obr.12 Večná predlehotná renta

Prítomnú hodnotu ∞A predlehotnej večnej renty aj budúcu hodnotu ∞

..

S takejto

renty dostaneme limitným prechodom pre ∞→n vo vzťahoch pre výpočet

príslušných hodnôt dočasnej predlehotnej renty .

( ) ( ) ( ) ( )( )n

n

n

nnni

iiR

iiiRAA −

∞→

−

∞→∞→∞ +−⋅+⋅

=+−

⋅+⋅== 11lim1111limlim

υ⋅

=+

⋅=∞ iR

iiRA 1 ( 11.17)

∞a ⎤∞→

=nlim na ⎤

υ⋅=

+=

iii 11

( )υ

υ⋅

⋅=+⋅+

⋅== −

∞→∞ iRi

iiRAA

tt

ntnt 11lim ( 11.18)

78

t na ⎤ tn→∞= lim na ⎤ ( )

υυ⋅

=+⋅+

= −

ii

ii t

t11

Budúce hodnoty večnej predlehotnej renty musia byť vo všetkých uvažovaných

prípadoch neohraničené.

Príklad 11.6 Akou úrokovou mierou musí byť úročený vklad na účte, aby sme mohli

začiatkom každého roka neobmedzene dlho vyberať sumu 7 000 € pri počiatočnom

vklade 120 000 €?

Riešenie: V tomto príklade je našou úlohou zistiť úrokovú mieru, vypočítame ju

odvodením zo vzťahu (11.17), pričom R = 7000, 120000..

=∞A . Potom

RA

Ri−

=∞

..

061946,07000120000

7000=

−=i

Výška úrokovej miery musí byť 6,19%p.a..

11.4 p – termínová predlehotná renta

Nech je renta vyplácaná p-krát ročne predlehotne pravidelnými splátkami vo výške

R, pri ročnej úrokovej miere i konvertovanej m – krát do roka, pričom uvažujme

1≥p a mp ≠ . Nech je doba splatnosti n rokov.

)(..

pnA )(

..p

nS

Obr. 12 p – termínová predlehotná renta

79

Označme budúcu hodnotu p – termínovej predlehotnej renty symbolom )( pnS .

Keďže splátky sa uskutočňujú na začiatku každej p-tiny roka, pri výpočte jej budúcej

hodnoty musíme každú splátku v porovnaní s polehotnou p – termínovou rentou úročiť

o p1 - tinu roka dlhšie, čo pri daných podmienkach znamená každú splátku násobiť

ešte úrokovacím faktorom pm

mi⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +1 . Potom

)(

1

)( 1 pn

pmp

n SmiS ⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

11

111)(

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

pm

nm

pm

pn

mi

mi

RmiS (11.19)

Pre budúcu hodnotu jednotkovej p – termínovej predlehotnej renty

ns ⎤)( p ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += p

m

mi1 sn⎤

)( p

Označme súčasnú hodnotu p – termínovej renty symbolom )( pnA . Pri jej výpočte

v porovnaní s polehotnou rentou budeme každú splátku odúrokovávať o časové obdobie

dĺžky p1 menej , a tak

)( pnA )(1 p

n

pm

Ami

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += (11.20)

Analogicky by sme odvodili vzťahy pre súčasné a budúce hodnoty p – termínovej

predlehotnej renty odloženej o t rokov a večnej p – termínovej predlehotnej renty.

pm

mt

pm

nm

pm

pnt

pnt

mi

mi

mi

mi

RmiAA ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=

⋅−

⋅−

11

11

111)()(

..

(11.21)

80

pm

pm

nm

pm

pnt

pnt

mi

mi

mi

RmiSS ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=

⋅

1

11

111)()(

..

(11.22)

11

111limlim )(

..)(

..

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅==

⋅−

∞→∞→∞

pm

nm

pm

n

pn

n

p

mi

mi

miRAA

)(..

pA∞

11

1

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

=pm

pm

mi

miR

(11.23)

Príklad 11.7 Akú sumu treba na konci každého mesiaca odvádzať do penzijného fondu,

aby jeho účastník mohol o 20 rokov začať poberať mesačný dôchodok vo výške 700 €,

vyplácaný na začiatku mesiaca po dobu 10 rokov? Fond garantuje výnos 6 % p.a

s mesačným pripisovaním úrokov.

Riešenie: Budúca hodnota polehotnej renty s neznámou anuitou R sa musí rovnať

súčasnej hodnote predlehotnej renty s anuitou 700 €. V polehotnej rente je

20,12,06,0 ==== npmi .

11206,01

11206,01

1212

2012

20

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=

⋅

RS

V predlehotnej rente je 10,007,12,06,0 ===== nRpmi .

11206,01

1206,011

1206,01007

1212

1012

1212

10

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=

⋅−

A

( )005,0005,11005,1007

005,01005,01 120240 −−

⋅⋅=−+

⋅R

15,371=R

Do penzijného fondu treba odvádzať mesačne 137,15 €.

81

Príklad 11.8 Podnikateľ investoval 350000 € do kúpy cenných papierov s nominálnou

úrokovou mierou 5%p.a. s polročným úrokovaním s tým, že obdrží 20 rovnakých

platieb na začiatku každého štvrťroka, pričom prvá platba sa uskutoční po uplynutí 3

rokov. Aké veľké budú tieto platby?

Riešenie: Ide o odloženú predlehotnú 4 – termínovú rentu. Zo vzťahu pre prítomnú

hodnotu p – termínovej odloženej predlehotnej renty (11.21) odvodíme R a dosadíme

)(..

pnt A = 350 000, i = 0,05, m = 2, n = 5, p = 4, t = 3.

pm

mtnm

pm

pnt

mi

mi

mi

miA

R

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

=⋅−⋅−

1111

11)(..

48,22762

205,01

205,01

205,011

1205,01350000

21610

21

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

=−−

R

Podnikateľ obdrží platby vo výške 22 762,48 €.

Príklad 11.9 Mladomanželia získali pôžičku na malý domček pri polročnom úrokovaní

a 5%-nej nominálnej úrokovej miere. Súčasne sa dohodli, že prvú splátku zaplatia na

začiatku 3. roku pôžičky a potom budú platiť pravidelné mesačné splátky začiatkom

každého mesiaca vo výške 800 € po dobu ďalších 20 rokov. Aká je výška pôžičky ktorú

získali?

Riešenie: Máme vypočítať prítomnú hodnotu p-termínovej predlehotnej renty odloženej

o 3 roky. Do vzťahu (11.21) dosadíme hodnoty: i = 0,05, t = 3, p = 12, m = 2, n = 20,

R = 800

0392,105411205,01

205,01

1205,01

205,011

80061

6

61

40

)(..

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⋅=−

−

pnt A

Výška pôžičky ktorú banka poskytla mladomanželom bola 105 411 €.

82

Príklad 11.10 Koľko musí byť uložené na účte s nominálnou úrokovou mierou 7%p.a.

a štvrťročným pripisovaním úrokov ak chceme začiatkom každého mesiaca vyberať

čiastku 500 € ?

Riešenie: V tejto úlohe budeme uvažovať večnú predlehotnú rentu, pričom poznáme:

i = 0,07, m = 4, p = 12, R = 500. Hodnoty dosadíme do vzorca (11.23) a dostaneme:

358,86712

1407,01

407,01500

31

31

)(..

=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

=∞pA

Aby sme mohli vyberať z účtu každý mesiac sumu 500 € , musí byť na účet uložený

počiatočný vklad vo výške 86 712,358 € .

ÚLOHY NA RIEŠENIE:

1. Starí rodičia chcú dať svojmu vnukovi za 6 rokov k jeho 25-tym narodeninám

50 000 €. Akú sumu musia na začiatku každého roku ukladať na účet úročený

úrokovou mierou 6 % p.a.?

[6 762,39 €]

2. Koľko rokov môžeme vyberať z vkladu vo výške 350 000 € začiatkom každého

roku sumu 55 000 €, ak je vklad uložený pri 8% - nej ročnej úrokovej miere?

[9,24]

3. Klient uložil na účet 56 228 €, z ktorého bude počas 7 rokov vyberať na začiatku

každého roka sumu 10 000 €. Akou úrokovou mierou musí byť účet úročený?

[8% p. a.]

4. Ekonóm istej firmy navrhol investíciu 2 085 740 €, ktorá jej má po niekoľkých

rokoch pri 6% úrokovej miere vyniesť sumu 500 000 € vždy na začiatku každého

z nasledujúcich 7 rokov. Po koľkých rokoch začnú poberať tieto platby?

[4]

83

5. Klient vložil na účet úročený úrokovou mierou pri 6% p.a. 200000 € s tým, že 5

rokov musia zostať peniaze nedotknuté. Akú sumu bude môcť vyberať z účtu

začiatkom každého roku počas nasledujúcich 8 rokov?

[43100,483€]

6. Koľko musíme mať na účte aby sme mohli pri úrokovej miere 7% p. a. vyberať

každoročne 12 000 €?

[183 428,57 €]

7. Koľko budete ochotný zaplatiť za investíciu, ktorej životnosť je 15 rokov a

začiatkom každého polroku z nej plynie platba vo výške 16 000 € ? Požadujeme

minimálny výnos vo výške 8% p.a.

[279 275,998 € ]

8. Akú výšku konta musí mať účastník penzijného fondu, aby on sám, prípadne jeho

pozostalí, mohli poberať po dobu 15 rokov mesačnú penziu vo výške 800 €

vyplácanú vždy začiatkom mesiaca? Fond garantuje zhodnotenie 5 % p.a. s ročným

pripisovaním úroku.

[102 323,313 € ]

9. Klientka si zaistila večný dôchodok vyplácaný na konci každého polroku vo výške

30 000 € . Chce ho zmeniť na predlehotný štvrťročný dôchodok vo výške 15 000 €

trvajúci 30 rokov. Úroková sadzba je 7 % p.a. s polročným pripisovaním úroku.

Koľko musí doplatiť?

[vrátia jej preplatok 89 156,85 € ]

10. Koľko musí pán Kováč ukladať začiatkom každého mesiaca na účet do banky po

dobu 20 rokov, ak si chce zabezpečiť rentu po dobu ďalších 15 rokov vyplácanú

začiatkom každého štvrťroka so splátkami 1500 €. Účet je úročený úrokovou

sadzbou 5% p.a., pričom úroky sú pripisované dvakrát ročne.

[156 € ]

84

12 UMOROVANIE DLHU Jednou z najdôležitejších aplikácií úrokového a rentového počtu je umorovanie dlhu.

V tejto kapitole sa budeme zaoberať metódami splácania úverov ( pôžičiek).

Úverom budeme rozumieť poskytnutie peňažnej sumy na určitú dobu za dohodnutý

úrok. Podľa doby splatnosti rozdeľujeme úvery na krátkodobé ( doba splatnosti

nepresahuje 1 rok), strednodobé (doba splatnosti je 1 až 4 roky) a dlhodobé ( doba

splatnosti viac ako 4 roky).

Umorovanie (splácanie) úveru z hľadiska veriteľa môžeme považovať za príjem

renty.

Každá splátka úveru sa skladá z úmoru a z úroku. Umorovacia zložka splátky úveru

postupne znižuje dlžnú sumu (zostatok dlhu). Úroková zložka splátky úveru spláca úrok

zo zostatku dlhu. Postupným znižovaním zostatku dlhu klesá aj veľkosť úrokovej

zložky splátok. Úver môže byť umorený rôznymi spôsobmi. Podľa spôsobu

umorovania úvery rozdeľujeme:

1. Úver splatný jednorázovo vrátane úrokov po uplynutí doby splatnosti.

V tomto prípade ide o problém výpočtu budúcej hodnoty z poskytnutej sumy na

základe dohodnutej doby splatnosti a úrokovej sadzby.

2. Úver bez záväzného splácania tzv. úrokové dlžoby. Dlžník spláca v určených

termínoch iba dohodnuté úroky, má však právo kedykoľvek vykúpiť pôžičku. Takúto

pôžičku považujeme za večnú rentu, v ktorej jedna splátka reprezentuje dohodnuté

úroky z pôžičky.

3. Úver splácaný pravidelnými platbami od začiatku. Podľa charakteru týchto

platieb rozlišujeme 2 možnosti:

a) Platby sú stále rovnaké. Hovoríme o konštantnej anuite.

b) Výška platieb nie je rovnaká. V tomto prípade je väčšinou rovnaká čiastka, ktorá

znižuje dlh – úmor. Hovoríme o konštantnom úmore. Ďalší možný prípad je keď

ani úmory nie sú konštantné.

Najčastejšie sa stretávame s úvermi (hypotekárne, spotrebné), ktoré sa splácajú

pravidelnými platbami. Banky a finančné inštitúcie, ktoré poskytujú úvery

vypracovávajú pre klientov umorovacie plány. Plán udávajúci pre každé obdobie, koľko

z pravidelnej splátky pripadá na zaplatenie úroku z úveru, koľko na umorenie dlhu a aký

je zostatok dlhu po zaplatení umorovacej splátky, nazývame umorovací plán.

85

12.1 Splácanie úveru rovnakými splátkami – konštantná anuita

Uvažujme úver veľkosti D, ktorý má byť splatený aj s úrokmi n rovnakými anuitami

a, splatnými vždy koncom úrokovacieho obdobia pri nemennej ročnej úrokovej sadzbe

i. Budeme predpokladať, že úrokovacie obdobie je ročné. Tento spôsob splácania úveru

sa dá previesť na úlohy o rente. Počiatočnú hodnotu úveru možno považovať za

počiatočnú hodnotu renty a jednotlivé anuity možno považovať za výplaty dôchodku

(renty).

Na základe uvedenej analógie veľkosť anuity určíme podľa vzťahu (10.1) tak, že za

nA dosadíme výšku poskytnutého úveru D a výška splátky renty R sa bude rovnať

výške anuity a. Potom

( )i

iaDn−+−

⋅=11 (12.1)

a odtiaľ

( ) nn

iDi

iDaν−

=+−

= − 1.

11. (12.2)

kde

D je počiatočná výška úveru

a je výška anuity

ν je diskontný faktor

n – doba splatnosti úveru vyjadrená v rokoch

Podiel n

iν−1

sa nazýva umorovateľ.

Umorovací plán zostavíme nasledovne:

Označme počiatočný stav úveru 0D .

Z prvej anuity pripadá na úrok 1U čiastka iD0 . Využitím (12.1) dostaneme

)1(01naiDU ν−==

Na úmor bude pripadať teda nn aaaUaM νν =−−=−= )1(11

Zostatok úveru po zaplatení prvej splátky bude

86

naDMDD ν.0101 −=−=

Nech po zaplatení r splátok je zostatok úveru rD . Potom pre výšku úroku v (j+1)-ej

anuite platí

)1.(.1jn

jj aiDU −+ −== ν (12.3)

Výšku úmoru v (j+1)-ej anuite vypočítame ako anuita mínus úrok a teda

jnjj aiDaM −

+ =−= ν..1 (12.4)

Vidíme, že jednotlivé úmory tvoria geometrickú postupnosť s kvocientom

iq +== − 11ν . Potom výška úmoru v (j+1)-ej anuite bude

( )iMM jj +=+ 1.1

Umorovací plán bude

obdobie anuita úrok úmor zostatok

úveru

0 D

1 a iDU .1 = 11 UaM −= 1MD −

2 a 2U 2M 21 MD −

3 a

a

n-1 a

n a nU nM 0

Príklad 12.1 Úver 40000 € na nákup strojného zariadenia má byť umorený rovnakými

polehotnými ročnými anuitami za 6 rokov pri fixovanej úrokovej sadzbe počas celej

doby splácania úveru 12% p.a. Vypočítajte výšku anuity a zostavte umorovací plán.

Riešenie: Pre hodnoty D=40000, n=6, i=0,12 vypočítame výšku anuity

03,972912,1112,040000

1 6 =−

=−

= −n

iDaν

Výška každej annuity bude 9729 €. Teraz vyplníme postupne umorovací plán. Najskôr

vyplníme počiatočnú hodnotu úveru a potom celý stĺpec s anuitami. Ďalej vypočítame v

každom riadku výšku úroku a úmoru s použitím vzťahov (12.3) a (12.4).

87

obdobie anuita úrok úmor zostatok dlhu

0 40000

1 9729 4800 4929 35071

2 9729 4208 5520 29551

3 9729 3546 6183 23368

4 9729 2804 6925 16443

5 9729 1973 7756 8687

6 9729 1042 8687

12.2 Splácanie úveru vopred danou konštantnou anuitou

V praxi sa často stretávame s prípadmi, keď úver D s úrokovou sadzbou i chce

klient splácať vopred danou konštantnou anuitou a . Tento prípad umorovania dlhu je

bežnejší. Obvykle sú anuity zaokrúhlené na stovky, tisíce, alebo desaťtisíce.

V takomto prípade potrebujeme určiť počet dopredu daných konštantných anuít a

veľkosť poslednej splátky , t.j. potrebujeme určiť ako dlho sa bude úver splácať , teda

n a aká veľká bude posledná splátka , ktorá splatí zbytok úveru.

Vychádzame zo vzťahu

iaD

nν−=

1 ,

odkiaľ

νln

).1ln(a

iD

n−

= (12.5)

Ak je n celé číslo , postupujeme ako v predchádzajúcom príklade. Ak n nie je celé

číslo, určíme celé číslo 0n , ktoré je rovné celej časti čísla n. Úver potom splácame

10 +n splátkami. 0n krát zaplatíme anuitu a a potom poslednú splátku veľkosti X.

Poslednú splátku veľkosti X vypočítame z rovnice ekvivalencie. Za porovnávací dátum

vezmeme dátum poskytnutia pôžičky. Potom výška pôžičky sa musí rovnať súčtu

súčasných hodnôt všetkých splátok úveru.. Teda

1001 ++

−= n

n

Xi

aD νν

88

( ) 100

11 ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−= n

n

ii

aDX ν (12.6)

Stav úveru po 0n -tej splátke je νX . Výška úmoru bude νXM n =+10 a, iXU n ..10

ν=+

Príklad. Úver 50000€ , ktorý poskytla banka klientovi s úrokovou mierou 12% p.a sa

má splácať polehotnými ročnými anuitami vo výške 9000 €. Určte počet anuít, výšku

poslednej splátky a zostavte umorovací plán.

Riešenie: Dosadením hodnôt D = 50000, a = 9000, i = 0,12 do vzťahu pre výpočet

počtu splátok dostaneme

69,9

12,11ln

900012,0.500001ln

ln

1ln=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=ν

aD

n

i

Počet splátok bude 10. Klient zaplatí deväť krát splátku 9000 € a posledná splátka bude

nižšia.. Jej veľkosť bude

( ) 795,6353)12,01).(12,0

)12,01(1.900050000(11 109

100

=++−

−=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

−+n

n

ii

aDX ν

Zostavíme umorovací plán

obdobie anuita úrok úmor zost. úveru

0 50000

1 9000 6000 3000 47000

2 9000 5640 3360 43640

3 9000 5236,8 3763,2 39876,8

4 9000 4785,2 4214,8 35662

5 9000 4279,4 4720,6 30941,5

6 9000 3713 5287 25654,4

7 9000 3078,5 5921,5 19733

8 9000 2368 6632 13100,9

9 9000 1572,1 7427,9 5673

10 6353,8 680,8 5673

89

Poznámka: Pri dobe splatnosti úveru kratšej ako 10 rokov sú zaplatené úroky pomerne

nízke na rozdiel od mesačných anuít. Pri dobe splatnosti medzi 10 a 20 rokov je

mesačná splátka výrazne nižšia ako pre päťročný úver a úroky sú ešte prijateľné. Pre

úvery s dobou splatnosti nad 20 rokov sa mesačná anuita už oveľa nezníži, zatiaľ čo

zaplatené úroky sa blížia niekoľko násobku vypožičanej čiastky.

Doteraz sme sa zaoberali prípadom splácania úverov, keď sa splátky platili jeden krát

za úrokovacie obdobie, vždy na konci roku. V praxi však veľa úverov je splácaných

mesačnými anuitami.

V prípade anuitného umorovania, pri ktorom treba dlh splatiť v stanovenom termíne

a výplata umorovacích splátok a úrokov za pôžičku sa vykonáva m - krát do roka, sa

výška anuity a vypočíta tak isto ako v (12.2), ale miesto i píšeme mi a miesto n

píšeme nm . Potom

nm

mi

mi

Da −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=

11 (12.7)

12.3 Úmor úveru nerovnakými splátkami

V tomto prípade môžu nastať dve alternatívy:

1. Úmor úveru rovnakými (konštantnými) úmormi

2. Úmor úveru nerovnakými úmormi

ÚMOR ÚVERU ROVNAKÝMI (KONŠTANTNÝMI) ÚMORMI

Daný úver D má byť splácaný aj s úrokmi n splátkami splatnými vždy koncom

úrokovacieho obdobia pri nemennej ročnej úrokovej sadzbe i . Každá splátka sa skladá

z konštantného úmoru ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

nD a premenlivého úroku, ktorý sa znižuje s rastúcim počtom

splátok.

90

Pri tomto spôsobe umorovania úveru úmory nDMMMM n ===== …21 a

jednotlivé úrokové platby tvoria aritmetickú postupnosť s diferenciou

( ) inDi

nDni

nDnUU =−−=− 121 .

Pretože jednotlivé úrokové platby tvoria aritmetickú postupnosť a úmory sú konštantné,

tak aj celkové splátky tvoria aritmetickú postupnosť.

Príklad 12.3 Klient získal úver 50000 € s dobou splatnosti 10 rokov a s úrokovou

mierou 12% p.a., pričom bude splácaný vždy pravidelnými splátkami s rovnakými

úmormi na konci roku. Vytvorte umorovací plán.

Riešenie: Dosaďme hodnoty D=50000, n=10, i=0,12 a vypočítajme výšku úmoru

500010

50000===

nDM

Umorovací plán:

obdobie splátka úrok úmor zost. úveru

0 50000

1 11000 6000 5000 45000

2 10400 5400 5000 40000

3 9800 4800 5000 35000

4 9200 4200 5000 30000

5 8600 3600 5000 25000

6 8000 3000 5000 20000

7 7400 2400 5000 15000

8 6800 1800 5000 10000

9 6200 1200 5000 5000

10 5600 600 5000 0

V tabuľke sme najskôr vyplnili stĺpec úmor, potom stĺpce zostatok úveru, úrok a splátka

V porovnaní s predchádzajúcim príkladom vidíme, že celkové splátky sú pri konštantnej

anuite až do 5. roku splácania nižšie než v prípade konštantných úmorov. Celkový

zaplatený úrok je však pri konštantnej anuite vyšší, lebo základ pre výpočet úrokov

(zostatok) sa znižuje pomalšie.

91

ÚMOR ÚVERU NEROVNAKÝMI ÚMORMI

V tomto prípade je obtiažne odvodiť všeobecné vzťahy. Riešenie tohto problému

ukážeme na konkrétnom príklade.

Príklad 12.4 Úver 12000 € má byť splatený ročnými polehotnými splátkami vrátane

úrokov. V úverových podmienkach bolo zakotvené, že prvá splátka vo výške 2400 €

bude o rok odložená, teda bude splatná o 2 roky. Každá ďalšia splátka bude vždy o 2000

€ vyššia ako predchádzajúca. Zostavte umorovací plán, ak úroková sadzba úveru je

10% p.a.

Riešenie:

obdobie anuita úrok úmor zost. úveru

0 12000

1 1200 13200

2 2400 1320 1080 12120

3 4400 1212 3188 8932

4 6400 893,2 5506,8 3425,2

5 3767,72 342,52 3425,2 0

ÚLOHY NA RIEŠENIE:

1. Úver 40 000 € na nákup automobilu má byť umorený rovnakými polehotnými

ročnými anuitami za 6 rokov pri fixovanej úrokovej sadzbe počas celej doby

splácania úveru 13% p.a. Vypočítajte výšku anuity, zostavte umorovací plán

a vypočítajte celkové úrokové náklady úveru.

[a= 1006 €, celkové úrokové náklady sú 20036,8 € ]

2. Úver 4000 €, ktorý poskytla banka klientovi s úrokovou mierou 12% p.a sa má

splácať polehotnými ročnými anuitami vo výške 1000 €. Určte počet anuít, výšku

poslednej splátky a zostavte umorovací plán.

[Úver bude splácaný 5 splátkami vo výške 1000 € ajednou splátkou vo výške 780,1€]

92

3. Hypotekárny úver vo výške 100 000 € poskytnutý s úrokovou mierou 6% p.a.

a mesačným úročením má byť splácaný rovnakými mesačnými splátkami na konci

jednotlivých mesiacov počas 25 rokov. Určte výšku splátky, zostavte umorovací plán

a vypočítajte celkové úrokové náklady úveru.

[a= 644,4 €, celkové úrokové náklady sú 93320 € ]

4. Pôžička 5000 € poskytnutá s úrokovou sadzbou 6,5% p.a. má byť umorená za 5

rokov konštantnými úmormi ročnými polehotnými splátkami. Vypočítajte výšku

druhej splátky.

[ 1260 €]

93

13 FAKTORING

Faktoring je špecializovaná finančná služba zameraná na urýchlenie hotovostných

tokov spomalených v dôsledku predaja s odloženou splatnosťou v tuzemskom a

medzinárodnom obchode.

Táto služba vytvára nové možnosti prístupu dodávateľov (predávajúcich)

k finančným zdrojom, keďže dodávateľ nemusí viazať svoj kapitál v pohľadávkach

a dovozcom umožňuje nakupovať tovar s odloženou splatnosťou. Je to financovanie

krátkodobých obchodných pohľadávok (so splatnosťou 14 – 180 dní), vyplývajúcich

z dodávateľsko-obchodnej zmluvy, uzatvorenej medzi klientom faktoringovej

spoločnosti ako dodávateľom a jeho dlžníkom ako odberateľom, ktoré už vznikli a ešte

nie sú splatené, alebo ktoré vzniknú v budúcnosti.

Odkupovanie pohľadávok uskutočňuje faktoringová spoločnosť (banka) buď s

možnosťou spätného regresu na dodávateľa, alebo s bez spätného regresu.

V prípade, že zmluva o faktoringu je uzatvorená bez regresu – t.j. bez spätného

postihu predávajúceho, ručenie za prípadné neplnenie zo strany kupujúceho v dôsledku

jeho platobnej neschopnosti uhradiť si svoje finančné záväzky voči predávajúcemu

preberá faktoringová spoločnosť až do výšky 100%. V prípade, že faktoringová zmluva

je uzatvorená s regresom – t.j. so spätným postihom predávajúceho, ručenie za

prípadné neplnenie zo strany kupujúceho v dôsledku jeho platobnej neschopnosti

uhradiť si svoje finančné záväzky voči predávajúcemu ostáva v plnej miere na

predávajúcom.

Fungovanie faktoringu je znázornené na nasledujúcom obrázku

Obr. Schéma fungovania faktoringu

94

pričom 1. kúpna zmluva

2. dodanie tovaru

3. zmluva o odplatnom postúpení pohľadávky

4. oznámenie (notifikácia)

5. preddavok ( predfinancovanie)

6. zaplatenie pri splatnosti

7. vyúčtovanie

Faktoring možno rozdeliť na: 1. Tuzemský faktoring

2. Vývozný faktoring

3. Dovozný faktoring

4. Nákupný faktoring

5. Správa pohľadávok

Pri využívaní faktoringu vznikajú pre podnik určité náklady (cena), ktoré môžeme

rozdeliť na úrok a poplatok (provízia) faktoringovej spoločnosti.

Faktoringový poplatok zahŕňa náklady na administratívne spracovanie faktoringu,

ako aj náklady za záruku pred platobnou neschopnosťou (úverové riziko). Jeho výška je

priamo úmerná:

- stupňu rizika platobnej neschopnosti

- celkovému objemu fakturovaného predaja

- počtu postúpených faktúr a ich priemernej hodnote

Poplatok (provízia) sa môže stanoviť aj odstupňovane (intervaly obratu), ak podnik

nedokáže odhadnúť predpokladaný vývoj.

Úrok sa platí za predfinancovanie. Úroková sadzba môže byť stanovená ako fixná

alebo pohyblivá. Je približne zhodná so sadzbou, ktorú aplikujú komerčné banky pri

poskytovaní krátkodobých úverov na financovanie pohľadávok do lehoty splatnosti,

pričom sa počíta iba z toho objemu zdrojov, ktoré by sa v danom účtovnom období

využili. V niektorých prípadoch, hlavne pri vývoznom a dovoznom faktoringu úroková

sadzba môže vychádzať z úrokových sadzieb mien, v ktorých je export fakturovaný.

Skutočnú cenu faktoringu možno vyjadriť ako vnútornú mieru výnosu. Rovnicu na

jej výpočet zostavíme tak, že navzájom porovnáme súčasnú hodnotu cash - flow (napr.

ku dňu odkúpenia pohľadávky), ktoré faktoringová spoločnosť dostáva, tzn. provízia,

95

úrok, úhrada pohľadávky, a naopak, to, čo platí vo forme predfinancovania a

vyúčtovania. Pre vnútornú mieru výnosu potom platí:

( ) ( )nn i

uPRPOPRi

POFP+

−−+=

++

11 (13.1)

kde:

PR - je výška pohľadávky, uhradená na predfinancovanie

FP - je faktoringový poplatok (provízia)

PO - je úhrada pohľadávky v dobe jej splatnosti

n - doba splatnosti v rokoch

u - úrok z predfinancovania

i - vnútorná miera výnosu.

Úpravou vzťahu vyjadríme vnútornú mieru výnosu nasledovne:

( )niPOuPRPOPRFP

+−−−

=−1

( )PRFP

uPRi n

−−−

=+1

1−−+

= n

FPPRuPRi ( 13.2)

Priklad 1: Vypočítajte ročné náklady podniku na faktoring v absolútnom a relatívnom

vyjadrení na základe týchto podmienok a údajov: Úroková sadzba 9,5 % p. a.. Poplatok

pri obrate do 1,5 mil. € ročne 1,25 %. Zálohu faktoringová spoločnosť uhrádza vo výške

75 % do troch dní od doručenia faktúry. Doba splatnosti faktúr je 60 dní. Podnik mal v

priebehu roka nasledovné pohľadávky:

1. štvrťrok 2. štvrťrok 3. štvrťrok 4. štvrťrok

Pohľadávky v € 250 000 385 600 185 000 432 800

96

Riešenie:

1. štvrťrok 2. štvrťrok 3. štvrťrok 4. štvrťrok Rok

Pohľadávky v € 250 000 385 600 185 000 432 800 1 253 400

Záloha (do 3 dní) 187 500 289 200 138 750 324 600 940 500

Úrok z

predfinancovania *1 2 968,8 4 579 2 196,9 5 139,5 14 884,2

Faktoringový

poplatok 3 125 4 820 2 312,5 5 410 15 667,5

Náklady celkom 6 093,8 9 399 4 509,4 10 549,5 30 551,8

Doplatok 56 406,2 87 001 41 740,6 97 650,5 282 798,4

Záloha + doplatok 243 906,2 376 201 180 490,6 422 250,5 1222848,4

∗ 1 úrok z predfinancovania sa počíta za príslušné obdobie lehoty splatnosti z objemu

poskytnutej zálohy

Náklady v relatívnom vyjadrení vyčíslime takto:

1539,057360

12534008,30551

57360

=⋅=⋅=∑∑

pohladavoknakladov

r

Celkové náklady na cudzí kapitál (faktoring) predstavujú 15,39 % ročne.

Poznámka: Keďže riešenie príkladu je pomerne prácne, tak na zjednodušenie výpočtu

je vhodné použiť program Excel, ktorý nám sprehľadní riešenie a urýchli počítanie. Do

jednotlivých buniek pomocou základných funkcií nadefinujeme (vložíme) vzorce a tým

urýchlime výpočty príkladov takéhoto typu.

Príklad 2: Vypočítajte vnútornú mieru výnosu poskytnutého úveru vo výške 1 mil. €;

so splatnosťou 3 mesiace refinancovaného pomocou faktoringu za týchto podmienok:

Faktoringová provízia: 1 %

Úrok z predfinancovania: 9 % p. a.

97

Výška predfinancovania: 90 %

Riešenie: Výpočet uskutočníme podľa uvedeného vzťahu.

( ) 14304,0101,0100000090000012309,0900000900000

41

=−⋅−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+

=i

Vnútorná miera výnosu je 14,304%.

ÚLOHY NA RIEŠENIE:

1. Vypočítajte ročné náklady podniku na faktoring v relatívnom vyjadrení na základe

nasledovných podmienok a údajov: Úroková sadzba 8 % p. a.. Poplatok pri obrate do

10 mil. € ročne 1,5 %. Zálohu faktoringová spoločnosť uhrádza vo výške 80 % do

troch dní od doručenia faktúry. Doba splatnosti faktúr je 50 dní. Podnik mal v

priebehu roka takéto pohľadávky:

1. štvrťrok 2. štvrťrok 3. štvrťrok 4. štvrťrok

Pohľadávky v € 2 200 000 3 256 000 1 350 000 3 128 000

[18,29% p.a.]

2. Vypočítajte ročné náklady podniku na faktoring v relatívnom vyjadrení na základe

nasledovných podmienok a údajov: Úroková sadzba je pohyblivá, a to EURIBOR +

0,80 % p.a. Faktoringový poplatok z ročného obratu je 0,85 %. Zálohu faktoringová

spoločnosť uhrádza vo výške 80 % do 5 dní od doručenia faktúry. Lehota splatnosti

faktúr je 75 dní. Podnik mal v priebehu roka takéto pohľadávky:

1. štvrťrok 2. štvrťrok 3. štvrťrok 4. štvrťrok

Pohľadávky v € 39 000 45 000 50 000 78 000

[EURIBOR = 6,324%, 16,478 % p.a.]

98

3. Porovnajte výhodnosť dvoch rôznych podmienok od dvoch faktoringových

spoločností pre podnik na základe vyčíslenia relatívnych nákladov:

A. Úroková sadzba 8 % p. a., faktoringový poplatok 1,2 % z ročného obratu,

záloha 70 % do 3 dní

B. Úroková sadzba 9 % p. a., faktoringový poplatok 1 % z ročného obratu, záloha

75% do 4 dní. Podnik uvádza splatnosť faktúr 50 dní pri nasledovných objemoch

pohľadávok:

1. štvrťrok 2. štvrťrok 3. štvrťrok 4. štvrťrok

Pohľadávky v € 5 930 000 3 752 000 9 758 000 6 328 000

[Výhodnosť je porovnateľná A: 15,149% p.a., B: 15,163% p.a.]

4. Podnik sa rozhoduje medzi ponukami dvoch faktoringových spoločností. Ktorá z

nich je pre podnik za nasledovných podmienok výhodnejšia z hľadiska nákladov

v relatívnom vyjadrení?

A. Úroková sadzba 7,5 % p. a., faktoringový poplatok 1,1 % z ročného obratu,

záloha 75 % do 3 dní.

B. Úroková sadzba 6,5 % p. a., faktoringový poplatok 1,8 % z ročného obratu,

záloha 85 % do 5 dní.

Podnik uvádza splatnosť faktúr 50 dní pri nasledovných objemoch pohľadávok:

1. štvrťrok 2. štvrťrok 3. štvrťrok 4. štvrťrok

Pohľadávky v € 70 000 39 000 23 500 105 000

[ A: 14,409%]

99

14 LEASING

V slovenskom zákonodarstve je leasing charakterizovaný ako prenájom s právom

kúpy prenajatej veci. Je to trojstranný vzťah, ktorého aktérmi sú dodávateľ tovaru,

nájomca – užívateľ tovaru a leasingová spoločnosť – prenajímateľ, vlastník tovaru.

Leasing možno definovať z dvoch pohľadov. Z vecného hľadiska ide o prenájom

tovaru dlhodobej spotreby zákazníkom, ktorí ho používajú za úplatu (leasingové platby)

podľa zmluvne dohodnutých podmienok, s právom kúpy prenajatej veci. Vlastníkom

prenajímaného majetku je leasingová spoločnosť (lessor). Z finančného hľadiska

predstavuje leasing špeciálnu formu úverového krytia dlhodobých potrieb fyzických

a právnických osôb.

Leasingové splátky sú platby platené pravidelne (mesačne, štvrťročne) alebo

nepravidelne (sezónne) leasingovej spoločnosti. Ich výška je dohodnutá v leasingovej

zmluve a predstavuje nájomné za možnosť využívať predmet leasingu. Leasingové

splátky môže byť po celú dobu leasingu konštantné alebo nerovnomerné. Leasingová

platba pokrýva cenu obstarania predmetu leasingu u a leasingovú maržu. Obstarávacia

cena je cena predmetu leasingu , za ktorú ho nadobudla leasingová spoločnosť.

Leasingové spoločnosti spravidla požadujú tzv. akontáciu, t.j. peňažnú čiastku, ktorú

zaplatí nájomca pri podpise leasingovej zmluvy. Predstavuje určité percento z

obstarávacej ceny predmetu leasingu. Akontáciu majú leasingové spoločnosti zvyčajne

vymedzenú v rozmedzí od desať, dvadsať až do sedemdesiat percent. Akontácia

zároveň slúži ako určitá forma záruky za realizáciu obchodného prípadu.

Cena leasingu je suma, ktorú nájomca zaplatí leasingovej spoločnosti za jej služby

spojené s poskytnutím leasingu. Je to súčet prvej navŕšenej splátky, všetkých splátok,

poplatkov, zostatkovej hodnoty, prípadne ďalších poplatkov.

Koeficient leasingu vyjadruje percentuálne preplatenie leasingu. Je to pomer ceny

leasingu a obstarávacej ceny, ktorý je stále vyšší ako 1 a jeho hodnota závisí od

mnohých faktorov, akými sú: dĺžka leasingovej zmluvy, výška akontácie, úroková

sadzba, zisk leasingovej spoločnosti a pod. Nie je však zákonom stanovené, čo by mal

leasingový koeficient obsahovať, preto to nie je najlepší spôsob porovnania ponúk

leasingových spoločnosti.

Ročná percentuálna miera nákladov vyjadruje koeficient nákladov leasingu

vypočítaný podľa zákona o spotrebiteľských úveroch.

100

Doba leasingu je doba, počas ktorej je leasingová spoločnosť a nájomca v

zmluvnom vzťahu. Minimálna doba leasingu je stanovená v zákone a závisí od doby

odpisovania hmotného investičného majetku a jeho zaradenia do odpisovej skupiny.

Musí vždy predstavovať najmenej 60 percent z doby odpisovania v príslušnej odpisovej

skupine.

Spracovateľský poplatok je suma, ktorú nájomca zaplatí leasingovej spoločnosti

jednorazovo pri uzatvorení leasingovej zmluvy. Je určený buď fixne alebo ako percento

z obstarávacej ceny.

Zostatková hodnota je suma, ktorú vo forme splátok a akontácie nesplatí nájomca

z obstarávacej ceny. Zostatkovú hodnotu uhrádza zákazník na konci leasingu

jednorazovo. Môže byť nulová, stanovená ako pevná čiastka alebo percentuálne.

Môžeme sa stretnúť s tromi typmi leasingu: Finančný leasing, operatívny leasing

a spätný leasing.

Finančný leasing

Je najbežnejšou a najčastejšie využívanou formou prenájmu. Predmet leasingu,

ktorý si nájomca vyberie kúpi od dodávateľa leasingová spoločnosť. Predmet leasingu

je od momentu kúpi až po ukončenie leasingovej zmluvy majetkom prenajímateľa –

leasingovej spoločnosti. V okamihu, keď nájomca a leasingová spoločnosť podpíšu

leasingovú zmluvu a klient uhradí prvú splátku, takzvanú akontáciu, môže predmet

leasingu využívať. O prevádzku a údržbu predmetu leasingu sa stará nájomca, ktorý

má naň po ukončení obdobia prenájmu predkupné právo. Od leasingovej spoločnosti ho

odkupuje za vopred dohodnutú zostatkovú cenu.

Operatívny leasing

Využívajú ho väčšinou nadnárodné spoločnosti na obstaranie a správu svojho

firemného vozového parku. Ide iba o krátkodobý zmluvný vzťah medzi leasingovou

spoločnosťou a nájomcom. Základom operatívneho leasingu je prenájom majetku,

ktorý nájomca využíva, avšak po ukončení doby nájmu vlastnícke práva ostávajú

leasingovej spoločnosti. Tá môže po ukončení nájomnej zmluvy s majetkom nakladať

podľa svojho uváženia. Podstatou operatívneho leasingu je používanie prenajatej veci,

nie jej získanie. Trvanie operatívneho leasingu býva zvyčajne kratšie ako pri finančnom

leasingu. Leasingová spoločnosť poskytuje väčšinou nájomcovi aj sprievodné služby,

101

napríklad servis, údržbu, úhradu poistného. V prípade poruchy prenajatého zariadenia

poskytuje leasingová spoločnosť zvyčajne náhradu. Operatívny leasing sa využíva aj

pri prenájme počítačovej a kancelárskej techniky alebo pri sezónnych technológiách.

Spätný leasing

Tento typ leasingových operácií nie je využívaný v takej miere ako dva

predchádzajúce. Jeho podstatou je odpredaj majetku zákazníka, najčastejšie automobilu

alebo strojného zariadenia, leasingovej spoločnosti, ktorá sa stane jeho majiteľom.

Leasingová spoločnosť následne spätne prenajme majetok formou finančného alebo

operatívneho leasingu bývalému majiteľovi – novému užívateľovi. Ten takto získava

dodatočnú hotovosť a navyše môže využívať daňové úľavy leasingu.

Hlavnou výhodou leasingu je, že podnik môže užívať majetok i vtedy, keď nemá

jednorazové zdroje na jeho nákup. Leasingové financovanie je flexibilné a podnik nie je

ohrozený nedostatkom likvidity. Podnik si leasingové platby zakalkulováva do

nákladov a znižuje svoje daňové zaťaženie.

Predchádzajúce výhody leasingu pomáhajú podniku udržať úverovú schopnosť.

Nevýhodou leasingu môže byť fakt, že leasingové financovanie je spravidla

drahšie než financovanie prostredníctvom úveru, alebo dlhopisov. Neuvážené

financovanie prostredníctvom leasingu môže zhoršiť finančnú stabilitu podniku. Ďalšou

nevýhodou je, že na podnik (nájomcu) je prenesená väčšina vlastníckych rizík, ale

pritom pri svojich užívacích právach je obmedzený leasingovou zmluvou.

Pri hodnotení efektívnosti leasingu vzhľadom k ostatným formám financovania sa

berú do úvahy daňové aspekty, ktoré výdavky možno zahrnúť do nákladov, výška

akontácie a úspory pri jednotlivých spôsoboch financovania, časové rozloženie

leasingových splátok, dĺžka trvania leasingového vzťahu, sadzba a výška odpisov,

zvolená metóda odpisovania.

Pokiaľ porovnávame možnosti financovania prostredníctvom lízingu s nejakou inou

formou financovania, napr. Prostredníctvom úveru, obyčajne porovnávame čisté

súčasné hodnoty peňažných tokov jednotlivých variant.

Príklad 1: Nitrianska obchodná spoločnosť uvažuje o kúpe zariadenia v hodnote

3,5 mil. € , ktoré je zaradené do prvej odpisovej skupiny, životnosť zariadenia sa

102

predpokladá počas odpisovania, teda obdobie 4 rokov. Spoločnosť sa rozhoduje

financovať zariadenie prostredníctvom lízingu alebo prostredníctvom úveru.

Leasingová spoločnosť navrhuje nasledujúce podmienky: splátka zálohy vo výške

3 500 € na začiatku kontraktu a potom pravidelné štvrťročné splátky počas 4 rokov pri

k = 1,15

Banka navrhuje nasledujúce podmienky: úrok vo výške 9 % p. a., pravidelné polročné

splátky po dobu 4 rokov formou anuity.

Daň z príjmov je 19 % a predpokladáme, že spoločnosť si zvolí rovnomerný spôsob

odpisovania, pričom odpisy vchádzajú do nákladov priebežne po celý kalendárny rok.

Oba spôsoby financovania sa začínajú v januári 2009 a končia v decembri 2010.

Porovnajte oba spôsoby financovania, pri diskontnej sadzbe 10 % p. a.

Riešenie:

obdobie leasingová splátka daňová úspora

náklady na leasing po

zdanení

0 35 000 6 650 28 350

1 249 375 47 381 201 994

2 249 375 47 381 201 994

3 249 375 47 381 201 994

4 249 375 47 381 201 994

5 249 375 47 381 201 994

6 249 375 47 381 201 994

7 249 375 47 381 201 994

8 249 375 47 381 201 994

9 249 375 47 381 201 994

10 249 375 47 381 201 994

11 249 375 47 381 201 994

12 249 375 47 381 201 994

13 249 375 47 381 201 994

14 249 375 47 381 201 994

15 249 375 47 381 201 994

16 249 375 47 381 201 994

SPOLU 4 025 000 764 750 3 260 250

103

Keďže nakúpené zariadenie sa zaraďuje do prvej odpisovej skupiny, tak výška ročného

odpisu bude 1/4. Výšku ročného odpisu určíme ako podiel vstupnej ceny a doby

odpisovania. Podľa návrhu leasingovej spoločnosti budú splátky platené štvrťročne,

potom leasingovú splátku vypočítame nasledovne:

( ) 16/3500015,13500000 −⋅=splátka

Keďže leasingové splátky podliehajú zdaneniu, určíme výšku splátky po zdanení.

Náklady na leasing po zdanení musíme diskontovať na ich súčasné hodnoty. Diskontná

sadzba na jedno štvrťročné obdobie bude 0,10/4 = 0,025. Hodnota odúročiteľa je

( )obdobieodurocitel

025,011

+=

Súčasná hodnota budúcich nákladov na leasing je uvedená v tabuľke:

obdobie

náklady na leasing

po zdanení odúročiteľ

súčasná hodnota na

leasing po zdanení

0 28 350 1 28 350

1 201 994 0,976 197 067

2 201 994 0,952 192 261

3 201 994 0,929 187 571

4 201 994 0,906 182 996

5 201 994 0,884 178 533

6 201 994 0,862 174 179

7 201 994 0,841 169 930

8 201 994 0,821 165 786

9 201 994 0,801 161 742

10 201 994 0,781 157 797

11 201 994 0,762 153 948

12 201 994 0,744 150 194

13 201 994 0,725 146 530

14 201 994 0,708 142 956

15 201 994 0,690 139 470

16 201 994 0,674 136 068

SPOLU 3 260 250 2 665 379

104

Získali sme súčasnú hodnotu leasingu po zdanení. Cena leasingu bude smerodajná pre

rozhodnutie spoločnosti o investícii.

Nakoľko firma má ešte jednu možnosť financovania nákupu zariadenia, a to bankový

úver, je potrebné zostaviť umorovací plán. Umorovací plán zostavíme s rovnakou

výškou splátky (anuitou). Umorovací plán je v nasledujúcej tabuľke.

( ) nn iiDa −+−

⋅=11

obdobie anuita úrok úmor zostatok

0 3 500 000

1 530 634 157 500 373 134 3 126 866

2 530 634 140 709 389 925 2 736 941

3 530 634 123 162 407 471 2 329 470

4 530 634 104 826 425 808 1 903 662

5 530 634 85 665 444 969 1 458 693

6 530 634 65 641 464 993 993 701

7 530 634 44 717 485 917 507 784

8 530 634 22 850 507 784 - 0

SPOLU 4 245 070 -

V prípade financovania prostredníctvom úveru si spoločnosť môže dať do nákladov

úroky i odpisy z nakupovaného zariadenia. Odpisy sú rovnomerné, za polročné obdobie

do nákladov vchádza polovica ročných odpisov.

obdobie úrok

odpisy za

obdobie daňové daňová úspora

1 157 500 437 500 595 000 113 050

2 140 709 437 500 578 209 109 860

3 123 162 437 500 560 662 106 526

4 104 826 437 500 542 326 103 042

5 85 665 437 500 523 165 99 401

6 65 641 437 500 503 141 95 597

7 44 717 437 500 482 217 91 621

8 22 850 437 500 460 350 87 467

105

V nasledujúcej tabuľke je výpočet nákladov na úver po zdanení.

obdobie splátka daňová úspora

náklady na úver po

zdanení

1 530 634 113 050 417 584

2 530 634 109 860 420 774

3 530 634 106 526 424 108

4 530 634 103 042 427 592

5 530 634 99 401 431 232

6 530 634 95 597 435 037

7 530 634 91 621 439 013

8 530 634 87 467 443 167

Získané náklady na úver musíme diskontovať na súčasnú hodnotu nákladov na úver po

zdanení. Pretože sa plánujú polročné anuitné platby,

( )obdobieodurocitel05,011

+=

obdobie

náklady na úver po

zdanení odúročiteľ

súčasná hodnota na úver

po zdanení

1 417 584 0,952 397 699

2 420 774 0,907 381 654

3 424 108 0,864 366 360

4 427 592 0,823 351 781

5 431 232 0,784 337 882

6 435 037 0,746 324 631

7 439 013 0,711 311 998

8 443 167 0,677 299 953

SPOLU 2 771 959

Na základe výpočtu súčasnej hodnoty nákladov na leasing po zdanení a súčasnej

hodnoty na úver po zdanení je vidno, že firme sa oplatí predmet kúpy prefinancovať

leasingom. Financovanie leasingom bude pre obchodnú spoločnosť lacnejšie o 105 580

€ ako financovanie prostredníctvom úveru. Pre leasing sa firma rozhodne aj napriek

106

tomu, že daňová úspora je v prospech financovania prostredníctvom úveru, nakoľko nie

je až taká výrazná, aby jej využitie bolo rentabilné pre investujúcu firmu. Uvedená

daňová úspora je výhodou pre podnikajúci subjekt ale v tomto prípade nie dostačujúcou.

Uvedený model financovania leasingom je základným modelom, kde pri

rozhodovaní firma neuvažuje poistenie, poplatky leasingovej spoločnosti a ďalšie

náklady spojené s leasingom. Na základe tohto modelu je však pre firmu výhodnejšie

financovanie prostredníctvom leasingu, aj keď v skutočnosti býva forma financovania

leasingom drahšia.

Príklad 2 Podnik sa rozhodol prenajať si osobné motorové vozidlo na dobu 12

mesiacov, na ktorom hodlá najazdiť 58 000 km počas prenájmu. Vypočítajte mesačné

náklady na operatívny leasing pre podnik za takýchto zmluvných podmienok:

Základná cena vozidla: 900 000 €

Zmluvný počet najazdených km/rok: 40 000

Pod limitná sadzba na 1 km: 1,42 €

Nadlimitná sadzba na 1 km: 2,1 €

Amortizácia: 25 % ročne

Úrok: 9 % p. a.

Povinné ručenie ročne: 18 000 €

Havarijné poistenie ročne: 20 400 €

Servis: 2 000 € /mesiac

Pneuservis: 500 € /mesiac

Náhradné vozidlo: 4 800 € /ročne

Rádio s CD prehrávačom: 1 800 € /rok

Riešenie:

1. Prekročenie počtu kilometrov nad limit:

18 000 * 2,1 = 37 800 na rok; 37 800/12 = 3 150 € /mesiac

2. Amortizácia:

900 000 * 25/100 = 225 000 ročne; 225 000/12 = 18 750 € /mesiac

3. Úrok:

900 000 * 0,09/12 = 6 750 € /mesiac

4. Povinné ručenie:

18 000/12 = 1 500 € /mesiac

107

5. Havarijné poistenie:

20 400/12 = 1 700 € /mesiac

6. Servis:

2 000 € /mesiac

7. Pneuservis:

500 € /mesiac

8. Náhradné vozidlo:

4 800/12 = 400 € /mesiac

9. Rádio s CD prehrávačom:

1 800/12 = 150 € /mesiac

10. Náklady mesačne spolu:

3 150 + 18 750 + 6 750 +1 500 + 1 700 + 2 000 + 500 + 400 + 150 = 34 900 €

ÚLOHY NA RIEŠENIE:

1. Dopravná firma plánuje kúpiť nákladné auto za 800 000 €. Na jeho nákup nemá

voľné vlastné zdroje a rozhoduje sa medzi dvomi spôsobmi financovania:

A. čerpať na celú sumu štvorročný bankový úver pri úrokovej sadzbe 8 % p. a..

Úver sa bude splácať polročne s rovnakou výškou platby (anuitou)

B. získať auto leasingom, pričom leasingové platby sa platia 4 roky

(polročne).

Akontácia je vo výške 100 000 €, ostatné splátky sú vo výške 100 000 €. Odpisy sú

degresívne, zrýchlené a daň z príjmov je vo výške 19 %. Porovnajte obidva spôsoby

financovania pri diskonte 10 % p. a.

[Výhodnejšie financovanie bude prostredníctvom lízingu]

2. Podnik si prenajal osobné motorové vozidlo formou operatívneho leasingu na 12

mesiacov. Počas prenájmu na ňom najazdil 75 000 km. Vypočítajte mesačné náklady

na operatívny leasing pre podnik za nasledovných zmluvných podmienok:

Základná cena vozidla: 110 000 €

Zmluvný počet najazdených km/rok: 30 000

Pod limitná sadzba na 1 km: 1,31 €

108

Nadlimitná sadzba na 1 km: 2,7 €

Amortizácia: 25 % ročne

Úrok: 8 % p. a.

Povinné ručenie ročne: 16 000 €

Havarijné poistenie ročne: 22 500 €

Servis, pneuservis: 22 000 € /rok

Náhradné vozidlo: 5 000 € /ročne

[38 933,10 € /mesiac]

3. Podnik má možnosť si vybrať do prenájmu na dobu 6 mesiacov a 50 000 km formou

operatívneho leasingu nákladný automobil (kamión) v základnej cene 4 mil. € z

dvoch ponúk. Vypočítajte celkové náklady na operatívny leasing v jednotlivých

leasingových spoločnostiach za nasledovných podmienok:

A B

Zmluvný počet km/6

mesiacov 60 000 45 000

Odpisy v % ročne 20 25

Úroková sadzba v % 9,5 10

Diaľničná nálepka mesačne

€ 100 120

Povinné ručenie ročné € 25 000 22 000

Havarijné poistenie ročné € 40 000 37 000

Údržba,servis, pneumatiky/

€ ročne 15 000 13 000

Pod limitná sadzba € /l km 1,45 1,18

Nadlimitná sadzba € /l km 2,1 2,33

Tankovacia karta € /mesiac 50 -

[Výhodnejšia je ponuka A: 80 316,50 € /mesiac]

109

15 FORFAITING

Forfaiting patrí k novším a modernejším spôsobom financovania, ktorého objem vo

svete i u nás vzrastá. Je alternatívou k bankovým úverom.

Forfaitingom sa rozumie odkup pohľadávky bez spätného postihu na klienta.

Forfaiting je flexibilná možnosť financovania, ktorá umožňuje predávajúcemu

poskytnúť dodávateľský úver kupujúcemu bez toho, aby musel viazať svoje peňažné

prostriedky a znášať riziko z oneskorenej platby resp. z nezaplatenia. Vzhľadom na to,

že forfaiting je odkúpenie pohľadávky bez spätného postihu voči predajcovi, banky

požadujú zabezpečenie pohľadávky niektorým zo zabezpečovacích inštrumentov, ako

sú: neodvolateľný, dokumentárny akreditív (L/C) s odloženou splatnosťou minimálne

30 až 45 dní, vlastná alebo cudzia zmenka avalovaná bankou, alebo účtovnou

pohľadávkou krytou bankovou zárukou. Forfaitingová spoločnosť si vyžaduje aby

postupca odoslal dlžníkovi oznámenie o postúpení pohľadávky (tzv. tichá cesia nie je

možná)

Pohľadávka môže byť odkúpená iba pred splatnosťou a odkup prebieha na

diskontnej báze. Forfaitingové spoločnosti (banky) odkupujú v rámci forfaitingu

strednodobé a dlhodobé pohľadávky. Forfaiting sa používa najmä v zahraničných

obchodoch. Banka ako forfaitér v rámci odkupu pohľadávok vypláca vývozcovi

hodnotu pohľadávky ihneď, pričom hodnota pohľadávky je znížená o diskont

a poplatky spojené s touto operáciou. Výška diskontnej sadzby vychádza z úrokovej

miery pre úvery na medzibankovom trhu, je ovplyvnená rizikovosťou a bonitou

dlžníckeho subjektu. Výška spracovateľského poplatku je závislá od zložitosti

(dokumentárnej náročnosti) operácie. K tejto úrokovej miere sa pripočíta prirážka, ktorá

kryje jeho náklady, riziká a zahrňuje aj zisk.

Pre výpočet diskontu sa používa vzorec:

dnFD ..= (15.1)

kde:

D - výška diskontu

n - dĺžka kontraktu v rokoch

F - fakturovaná čiastka

d - diskontná sadzba vyjadrená ako desatinné číslo.

Na výpočet ceny odkupu 0K platí vzorec:

110

( )dnFDFK −=−= 10 (15.2)

Výhody forfaitingu sú:

• Promptné vyplatenie predajcu ihneď po dodaní tovaru a akceptovaní dokumentov

spoločnosťou, zlepšenie bilancie a cash – flow predajcu

• Premena úverového obchodu (dodávateľského úveru) na obchod v hotovosti a s tým

spojené zlepšenie likvidity, resp. eliminácia rizika platobnej neschopnosti,

výhodnejšie konkurenčné postavenie predávajúceho na trhu tým, že poskytuje

kupujúcemu dodávateľský úver

• Možnosť forfaitovania v predstihu v predkontačnej etape a forfaitingové náklady

môžu byť zapracované do ceny kontraktu

• Vhodný pre exportérov vo všetkých hospodárskych odvetviach, nakoľko pre

forfaiting nie je presne vymedzený okruh tovarov a služieb, ktoré môžu byť týmto

spôsobom prefinancované

• Financovanie bez spätného postihu na predávajúceho

• Predávajúci neznáša kurzové ani úrokové riziko

• Jednoduchá dokumentácia a administrácia obchodného prípadu

Príklad 12: Podnik má pohľadávku u zahraničného odberateľa v hodnote 500 000 € s

dvojročnou splatnosťou. Úroková miera na medzibankovom trhu pre dvojročné úvery je

9 % p. a. a k tejto úrokovej miere si forfaiter pripočíta prirážku vo výške 2,5 %, jeho

diskontná sadzba je 11,5 % p. a. vypočítajte diskont a výšku odkupu pohľadávky.

Riešenie: Zo zadania máme F= 500 000 €, n = 2 roky, d = 0,115

Potom diskont vypočítame podľa (15.1):

D= 500 000 . 2 . 0,115 = 115 000€

Cenu odkupu vypočítame podľa (15.2).

0K = 500 000 - 115 000 = 385 000 €

Forfaiter odkúpi pohľadávku za 385 000 €

111

ÚLOHY NA RIEŠENIE:

1. Podnik má pohľadávku u domáceho odberateľa v hodnote 37 500 € s ročnou lehotou

splatnosti. Úroková miera na medzinárodnom bankovom trhu na ročné úvery je 8 %

p. a. K tejto úrokovej miere si forfaiter pripočíta 1,25 %. Vypočítajte výšku diskontu

a sumu, za ktorú pohľadávku forfaiter odkúpi.

[3468,75 €, 34 031,25 €]

2. Dodávateľ má pohľadávku u domáceho odberateľa v hodnote 5 mil. € s ročnou

lehotou splatnosti. Úroková miera na medzibankovom trhu pre 12 mesačné úvery je

9 % p.a. K tejto úrokovej miere si forfaiter pripočítava prirážku vo výške 1,5 %.

Vypočítajte výšku diskontu a sumu, za ktorú forfaiter pohľadávku odkúpi.

[525000 €, 4 475 000 €]

112

LITERATÚRA

[1] BUJNOVÁ, D., - VARGOVÁ, A.,: Podnikanie v malých a stredných podnikoch –

Praktikum. Bratislava: EKONÓM 2006. ISBN 80-225-2254-6

[2] BRONDOŠOVÁ. J.,: Lízing rástol nečakane rýchlo. In: TREND TOP vo

finančníctve, JÚN 2006, s. 56

[3] CIPRA,T.: Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. HZ Praha 2001,

ISBN 80-901918-0-0

[4] FETISOVOVÁ, E., a kol.: Podnikové financie – Zbierka príkladov. Bratislava:

IURA EDITION 2005.

[5] HYRÁNEK, E., - JÁNOŠOVÁ, V.: Dlhové financovanie – Zbierka príkladov.

Bratislava: EKONÓM 2006. ISBN 80-225-2160-4.

[6] MACHÁČEK, O.: Finanční a pojistní matematika (2. doplněné vydání),

Prospektrum, Praha, 2001, ISBN 80-7175-104-9

[7] POTOCKÝ, R.: Finančná matematika. UK Bratislava, 1997. ISBN 80-223-1090-5

[8] RADOVÁ, J. – DVOŘÁK, P.: Finanční matematika pro každého. (4. rozšírené

vydání), GRADA Publishing 2003. ISBN 80-247-04730

[9] RADOVÁ, J. A KOL.: Finanční matematika pro každého příklady. GRADA

Publishing 2008. ISBN 978-80-247-2346-8

[10] RADOVÁ, J.- CHÝNA, V.-MÁLEK, J.: Finanční matematika v příkladech..

PROFESSIONAL Publishing 2005. ISBN 80-86419-86-X

[11] SKŘIVÁNKOVÁ, V.- SKŘIVÁNEK, J.: Kvantitatívne metódy finančných

operácií. IURA EDITION 2006. ISBN 80-8078-074-9

[12] URBANÍKOVÁ, M. – VACULÍKOVÁ, Ľ: Aktuárska matematika, 1. vydanie,

STU, Bratislava, 2006, ISBN 80-227-2442-4