GOVERNO DO PARANÁ SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

NILTON CESAR GARCIA SALGUEIRO

CADERNO PEDAGÓGICO:

O USO DA LÓGICA NA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE 1º GRAU

IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA – UEL

ORIENTADOR: PROFº. Dr. TÚLIO OLIVEIRA DE CARVALHO

ÁREA CURRICULAR: MATEMÁTICA

LONDRINA 2008

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA

Nilton Cesar Garcia Salgueiro

O Uso da Lógica na Resolução de Equações de 1º Grau

Caderno pedagógico apresentado ao

Programa de Desenvolvimento Educacional.

Orientador: ProfºDr.Túlio Oliveira de Carvalho

UEL LONDRINA – 2008

SUMÁRIO

Capítulo Assunto Página Introdução 4

1 A Investigação Matemática 6 1.1 – O Raciocínio Abstrato – As Operações

Intelectuais Formais 6

1.2 – O Conhecimento Como Fator Social 7 1.3 – A Investigação Matemática – Fazer

Matemática Como os Matemáticos 9

2 A Lógica 14 2.1 – A Lógica de Aristóteles 14 2.2 – A Transitividade e a Reversibilidade 16 2.3 – A Indução 17 3 Resolvendo Equações de 1º Grau Utilizando a

Lógica 19

3.1 – O Sepulcro de Diofante 19 3.2 – O Papiro de Ahmes e a Regra do

Montão Falso – A Origem da Regra de Três 20

3.3 – A Resolução Invertida 21 3.4 – Interpretando Equações – Al Jabr 21 3.5 – A Balança de Dois Pratos 22 3.6 – Resolvendo Equações Logicamente 24 4 O Uso da Lógica na Resolução de Equações de

1º Grau 28

4.1 – Metodologia dos Trabalhos 28 4.2 – Os Exercícios Envolvendo Lógica 30

Referências Bibliográficas 45 Anexos 47

INTRODUÇÃO O interesse no tema deste trabalho remonta à constatação de que

muitos alunos saídos da 6ª série do ensino fundamental permaneciam, na

minha escola, inaptos a resolverem equações, e quando o faziam não

demonstravam clareza ou certeza de suas soluções. Decidi trabalhar com

alunos desta série, que se situam na passagem entre o concreto e o

abstrato, buscando desenvolver um material que despertasse o

entendimento claro. O material que ora se apresenta se destina a

professores e alunos que pretendem ensinar/aprender a resolução de

equações do 1º grau de uma maneira alternativa à apresentada nos livros

didáticos tradicionais. Pela experiência com a abordagem usando a lógica,

temos obtidos bons resultados com o fim de desenvolver alunos críticos e

comprometidos com o entendimento dos conteúdos estudados.

Pretende-se mostrar que o uso do raciocínio lógico pode levar a um

aprendizado significativo, estendendo-se além do estudo de equações.

Pelas observações que tenho feito como educador, os alunos que

compreendem o que estão estudando não esquecem os conteúdos

posteriormente.

Quantos de nós, como educadores, já escutamos alunos dizendo

que não estudaram determinado assunto no ano anterior, enquanto nós

sabíamos que haviam estudado, até porque por vezes eles haviam sido

nossos próprios alunos?

A investigação matemática foi a tendência metodológica

considerada apropriada para o ensino e aprendizagem da matemática.

Numa pesquisa da Universidade de Lisboa, descreve-se o aprendizado

através desta técnica de alguns alunos das séries iniciais, destacando a

retenção do conteúdo (detalhes sobre esta pesquisa encontram-se em:

Oliveira; Boavida & Ponte; Oliveira & Serrazina; Brocardo; Ponte, Fonseca

& Brunheira; Segurado & Ponte, com títulos completos disponíveis nas

referências bibliograficas).

Observou-se a relevância da proposta de um trabalho diferenciado

para atender às dificuldades de entendimento crítico dos conteúdos

matemáticos. Concebemos o presente trabalho como uma contribuição na

direção de tal proposta metodológica.

O eixo deste trabalho é colocar a lógica como fator de maior

retenção, por parte dos alunos, dos conteúdos – particularmente àqueles

ligados às equações. O objetivo do trabalho é focar a lógica dentro da

metodologia de resolução de problemas, justificada pelos efeitos benéficos

para o aprendizado.

A estrutura do trabalho é a seguinte: o capítulo 1 contém a

descrição e fundamentação de uma aula investigativa. No capítulo 2,

traçamos uma perspectiva histórica demonstrando a importância da lógica

no contexto pedagógico matemático. No capítulo 3 aplicamos a lógica no

ensino e resolução de equações. No capítulo 4, há uma seleção de

problemas que envolvem o tema de equações.

Para uma leitura mais imediata deste caderno, sugerimos os

problemas complementares de lógica apresentados na seção 4.2.

Quaisquer questões quanto à resolução destes problemas podem ser

encaminhadas para o e-mail salgueiro@seed.pr.gov.br.

CAPÍTULO 1 – A INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA

1.1 – O RACIOCÍNIO ABSTRATO – AS OPERAÇÕES INTELECTUAIS

FORMAIS

Os estudos de Piaget (Parra 1983) o levaram a uma sistematização

do desenvolvimento do raciocínio no ser humano, propondo os estágios

das estruturas da inteligência:

1. Inteligência Sensório-Motora (de 0 a 24 meses de idade,

aproximadamente): caracteriza-se pela evolução através da

percepção e dos movimentos, de todo o universo que cerca a

criança;

2. Inteligência Pré-operatória (de 2 a 7 anos, aproximadamente): são

assinalados importantes acontecimentos nesta fase:

• Início da socialização de ação;

• Interiorização da palavra e da ação, através de imagens

mentais.

3. Operações Intelectuais Concretas (de 7 a 11 anos,

aproximadamente): há nesta fase o desenvolvimento pleno da

reversibilidade lógica dando ao pensamento da criança maior

mobilidade, permitindo-lhe um afastamento de seu egocentrismo e

consequentemente gerando a cooperação.

4. Operações Intelectuais Formais (no período da adolescência,

aproximadamente): a plenitude do raciocínio formal pode ser

atingida na adolescência, sem no entanto, fixarmos obrigatoriedade

de ocorrência neste período. Ela pode variar de pessoa para pessoa

levando-se em conta que um fator preponderante para este

desenvolvimento é o meio em que esse jovem se encontra, segundo

Piaget e Fraisse (1969):

“Essas novas operações, porém, não surgem ex-nihilo e a variabilidade de sua data de aparição conforme os meios em que vivem os sujeitos impede de atribuí-las unicamente à maturação” (FRAISSE 1969, P 153)

Observamos que o estudo de equações se situa no último estágio,

exatamente aquele que não teria que ser efetivamente completado.

O raciocínio formal caracteriza-se principalmente pela inversão entre

a realidade e a possibilidade, e o conseqüente uso da dedução. Neste

aspecto, Parra (1983) explica que:

“O raciocínio assim desenvolvido, com base nas relações das proposições e não em seu conteúdo (verdadeiro ou falso), caracteriza-se por ser dedutivo. Assim é possível ao adolescente construir proposições até contrárias aos fatos, em um sistema de múltiplas possibilidades.” (PARRA 1983, P 16).

Observa-se que o sujeito nesta fase tenta inicialmente imaginar as

relações entre as condições apresentadas no problema (hipótese) e

depois, por experimento ou raciocínio, combiná-las para concluir quais

relações se mantêm como verdadeiras (dedução ou indução).

A partir disso o adolescente não necessita mais recorrer

constantemente aos dados concretos, podendo encontrar mais

possibilidades na resolução de problemas. Parra (1983) comenta a

respeito:

“A dependência do real ao possível faz com que este tipo de raciocínio seja, basicamente, hipotético-dedutivo. Ao adolescente é possível, por exemplo, colocar a hipótese: “Vamos supor que a cal seja preta”; o que não acontece com crianças mais jovens, que, frente a essa mesma hipótese, retrucariam: “Mas a cal é branca””(op.cit., p. 16).

1.2 – O CONHECIMENTO COMO FATOR SOCIAL

Outra característica importante nesta fase é a busca do uso do

conhecimento como fator social, em contraste com a criança nas fases

iniciais que, egocêntrica, chega a pensar, no período sensório motor, que

o mundo tenha sido criado para ela.

Segundo D’Ambrosio (2005), a troca de experiências está ligada ao

compartilhamento de conhecimentos entre as pessoas de um grupo. Assim

trabalhar em grupo gera a possibilidade de socialização de seus

conhecimentos, e provê ao adolescente um ambiente mais adequado ao

seu pleno desenvolvimento.

“O conhecimento gerado pelo indivíduo que é resultado do processamento da totalidade das informações disponíveis, é, também via comunicação, compartilhado, ao menos parcialmente, com o outro. Isso se estende, obviamente, a outros e ao grupo. Assim, desenvolve-se o conhecimento compartilhado pelo grupo” (D’AMBROSIO 2005, P 32)

Boavida e Ponte (2002) apresentam ainda outras características

importantes para o uso do trabalho em grupo:

“não será de admirar que a colaboração se tenha vindo a afirmar como uma importante estratégia de trabalho no mundo da educação – tal como antes já tinha acontecido no mundo da ciência e no mundo empresarial. A colaboração tem-se revelado importante em campos como o desenvolvimento de projectos curriculares ou à realização de projectos de intervenção educativa centrados em problemas específicos como a tóxico-dependência, questões ambientais ou à salvaguarda do patrimônio.” (BOAVIDA & PONTE 1998, P 44)

Há ainda uma característica a ser apresentada: o uso de situações

relacionadas ao cotidiano do indivíduo. Schibner (1996) nos fornece pistas

sobre esta situação:

“A maioria dos adultos, independentemente do grau de escolarização é capaz de resolver problemas silogísticos contendo fatos familiares.” (SCHIBNER apud DIAS 1996, P 21)

Freire (1996) também reforça a necessidade da utilização de

conteúdos ligados ao cotidiano do educando:

“Por que não discutir com os alunos a realidade concreta a que se deva associar a disciplina cujo conteúdo se ensina, a realidade agressiva em que a violência é a constante e a convivência das pessoas é muito maior com a morte do que com a vida? Por que não estabelecer uma necessária “intimidade” entre os saberes curriculares fundamentais aos alunos e a experiência social que eles têm como indivíduos?” (FREIRE 1996, P 33)

Isso nos apresenta indícios sobre a importância do conteúdo

estudado sobre o raciocínio, pois mesmo Piaget admite que pessoas com

pouca instrução são capazes de pensar formalmente em problemas

relacionados à sua área de experiência.

Utilizar situações relacionadas ao cotidiano do educando que exijam

em sua resolução a aplicação do raciocínio hipotético-dedutivo (e

consequentemente da lógica) pode favorecer o aprendizado e o

desenvolvimento pleno do educando.

Muitas vezes não é possível chegar ao ponto determinado no início

do planejamento pelo professor. Exatamente nestes casos acreditamos ser

essencial o papel do educador, buscando fechar o tema através de formas

diversificadas, seja usando de novas mídias, da história da Matemática, ou

ainda levando outros materiais didáticos para a sala de aula (livros de

apoio, por exemplo). Esta metodologia pode ainda propiciar aos alunos a

oportunidade de se tornarem autodidatas, favorecendo a leitura.

1.3 – A INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA – FAZER MATEMÁTICA

COMO OS MATEMÁTICOS

Segundo o DCE 2008 “na investigação matemática o aluno é

chamado a agir como um matemático”.

Partindo da alegria da descoberta de um raciocínio que,

desencadeado de maneira consistente, possibilita a resolução de um

problema, desenvolveu-se a idéia de apresentar aos alunos a possibilidade

de estudar Matemática como os matemáticos.

Alguns autores dividem uma aula investigativa em três etapas:

1. Apresentação do problema ou introdução da tarefa a ser

apresentada;

2. Elaboração de estratégias de resolução ou desenvolvimento do

trabalho;

3. Tomada de consciência da atividade ou discussão final/reflexão.

A base para o início de uma aula investigativa é a apresentação de

um problema interessante e a forma desta apresentação é também

essencial, como podemos observar em Ponte, Fonseca e Brunheira

(2000):

“é determinante o modo de apresentação da proposta de trabalho à turma. Pode optar-se pela distribuição do enunciado escrito acompanhado por uma pequena apresentação oral... Pode ser feita uma leitura em grande grupo, pensando principalmente em alunos mais novos, acompanhada por alguns comentários... Pode-se, simplesmente, apresentar a tarefa por escrito, sem que se faça uma discussão inicial do enunciado... Em alguns casos, a tarefa pode ser proposta apenas oralmente, sem nenhum suporte escrito, podendo o professor eventualmente ir registrando no quadro algumas informações essenciais. Finalmente, podemos pensar ainda no caso da introdução da proposta de trabalho não ser preparada previamente pelo professor, surgindo a tarefa espontaneamente na aula, a partir da atividade dos alunos.” (PONTE, FONSECA & BRUNHEIRA 2000)

Deseja-se propiciar ao aluno a possibilidade desta investigação, o

pensar como os matemáticos, mas como sabemos os alunos e os

professores não estão acostumados com esta situação.

Sabe-se, por vários relatos de caso, que a atitude inicial dos alunos

é de manter a total dependência em relação ao professor e muitas vezes

recusar a opinião do grupo não participando de maneira ativa das

atividades.

Uma característica importante em uma aula investigativa é a

constante disposição do professor em propiciar ao aluno um meio de

buscar a resposta de um problema, orientando-o sem, no entanto,

apresentar a solução pronta.

Esta busca pode gerar no aluno o espírito investigativo e

consequentemente o aprender com significado, pode-se ainda quebrar no

aluno o estigma de que Matemática “não é para todos”, como nos revela

Segurado e Ponte (1998):

“Para os alunos, uma idéia ou resultado matemático é certo ou errado, não existindo áreas nebulosas em que o julgamento pessoal, preferências ou valores possam desempenhar um papel importante. Para eles, a Matemática é desenvolvida por pessoas prodigiosas e criativas – os matemáticos – não estando ao seu alcance fazer algo de interessante. Estas concepções conduzem os

alunos a pensar, por exemplo, que não é bom deduzir coisas de forma pessoal, que nada se aprende a partir dos erros, que demorar muito num problema é uma perda de tempo e que um bom professor nunca deve confundir o aluno.” (SEGURADO & PONTE 1998, P 12)

Se o aspecto mais interessante ao matemático é a descoberta, não

permitir esta descoberta é impedir o aluno de usufruir deste prazer. Nas

palavras de Matos (1991):

“a conceitualização da atividade matemática, como a resolução de tarefas com vista a ter sucesso escolar, influencia uma relação com a Matemática que é caracterizada por um grande pragmatismo, dificultando o gosto por um trabalho independente e propiciando uma aceitação acrítica de métodos e resultados” (MATOS 1991).

Finalmente tanto nos debates no “grande grupo” (tomadas de

consciência propostas no final da aula) como nos debates nos “pequenos

grupos” são propiciados momentos interessantes de interação aluno-

professor e aluno-aluno. O confronto de opiniões pode conduzir à

resolução de conflitos levando os alunos a explicitar e procurar perceber

diferentes pontos de vista.

A realização das aulas investigativas necessita uma postura

investigativa também por parte do professor, uma vez que uma das

características necessárias a este professor é a constante auto-avaliação

buscando um pensamento reflexivo. Há autores que defendem a

emancipação do professor como alguém que decide e encontra prazer na

aprendizagem e na investigação do processo de ensino e aprendizagem.

Oliveira e Serrazina (2002) também apresentam como condição para

o professor investigador a disponibilidade em observar de maneira crítica

suas práticas.

“Os professores são conduzidos, através da reflexão na sua própria prática e, especialmente, através da reflexão sobre ela, a obter uma visão crítica do contexto estrutural ou ideológico em que estão a trabalhar.” (OLIVEIRA & SERRAZINA 2002, P 33)

Inicialmente o professor deve explicitar as suas teorias defendidas (o

que dizem sobre ensino) e as suas teorias em uso (como agem em sala de

aula).

Refletindo sobre a ação pode-se reformular o pensamento e

consequentemente progredir no desenvolvimento das aulas.

Outra característica importante ao professor investigador é a

disponibilidade para trocar conhecimentos que contribuam para a tomada

de decisões. Aceitar a abertura para novas hipóteses é uma forma de

descobrir novos caminhos, construir e concretizar algumas soluções.

Refletir sobre o conteúdo a ensinar, suas práticas e o que é o ensino

e a aprendizagem da Matemática torna-se importante ao professor

investigador.

Para Stenhouse (1975) o profissionalismo do professor investigador

envolve:

• “o empenho para o questionamento sistemático do próprio ensino como uma base para o desenvolvimento; • o empenho e as competências para estudar o seu próprio ensino; • a preocupação para questionar e testar a teoria na prática fazendo uso dessas competências; • a disponibilidade para permitir a outros professores observar o seu trabalho – diretamente ou através de registros e discuti-los numa base de honestidade” (STENHOUSE 1975, P 144).

A investigação matemática preocupa-se, como apresentado pelo

DCE 2008, com a idéia da visão sobre a forma como deve ser observada a

Matemática:

“não somente por sua beleza ou pela consistência de suas teorias, mas para que, a partir dela, o homem amplie seu conhecimento e, por conseguinte, contribua para o desenvolvimento da sociedade” (DCE-Matemática 2008).

Trabalhando-se com alunos em aulas investigativas, naturalmente

professor e alunos têm que se adaptar a uma nova realidade. As respostas

não partem sempre do professor, pois é necessária uma atitude

investigativa por parte dos alunos.

Sabemos também que pode causar angústia a muitos professores

perceber no decorrer de uma atividade que algo vai diferente do previsto e

precisam apenas mostrar o caminho resistindo a mostrar a solução

completa. Cabe ao mestre a tarefa de dar indicações do caminho, mas não

é ele quem deve trilhá-lo.

O debate propicia o surgimento de opiniões e interpretações para os

problemas, além de perguntas que não estariam planejadas.

Evidentemente, é possível (e até provável) que surjam questões que

fogem do conhecimento do mestre. Consideramos estes momentos

importantes por permitirem também o desenvolvimento do professor

investigador: estabelece-se uma troca de questões que pauta a busca de

conhecimento. Aos educadores que neste ponto sentem-se preocupados

em não saber alguma resposta a determinada situação, convém lembrar:

“...quem forma se forma e re-forma ao formar e quem é formado forma-se e forma ao ser formado. É neste sentido que ensinar não é transferir conhecimento, conteúdos, nem formar é ação pela qual um sujeito criador dá forma, estilo ou alma a um corpo indeciso ou acomodado.” (FREIRE 1996, P 25).

Posteriormente muitos professores relatam grande satisfação em

observar a evolução no poder de resolução, participação, empenho e

principalmente interesse dos alunos pelas aulas e consequentemente pela

Matemática.

Nestes mesmos relatos há consenso entre os professores que nas

atividades investigativas uma aula de cinquenta minutos é muito escassa

para iniciar e terminar a atividade (Oliveira, 1998), muitas vezes diante do

interesse demonstrado nos debates. É imprescindível o uso de aulas

geminadas na execução dos trabalhos investigativos.

Desta maneira a investigação matemática apresenta-se como uma

possibilidade de ensino e cabe ao professor com espírito investigativo

questionar-se sobre suas práticas, sobre a possibilidade de sua aplicação e

sobre a forma como deseja formar seus alunos.

CAPÍTULO 2 – A LÓGICA

2.1 – A LÓGICA DE ARISTÓTELES

O ponto de partida para o estudo da Lógica pode ser situado em Aristóteles na Grécia no século IV a.C., apesar de se saber que anteriormente ao mesmo o homem já organizava seus pensamentos de maneira “racional”. Aristóteles buscou entender a estrutura do funcionamento deste pensamento racional.

A Lógica teria derivado da palavra grega “logos” que apresenta como

significado uma noção de “linguagem racional”, o que nos diferenciaria os

humanos de outros animais.

Os trabalhos de Aristóteles foram ajudados por estudos realizados

anteriormente por outros filósofos. Como podemos observar a seguir:

“As idéias segundo as quais a predicação não idêntica e a negação não tinham sentido, teriam constituído um grande embaraço e bloqueado seriamente o desenvolvimento da lógica. Os esforços de Platão permitiram a Aristóteles tratar estas dificuldades como simples curiosidades históricas. Certamente que não o perturbaram.” (KNEALE 1980, P 24).

Dentro dos estudos de Aristóteles estudaremos inicialmente a lógica

dedutiva ou silogismo. Aristóteles estudou de maneira especial estas

situações.

“as propriedades desses silogismos são as seguintes:

- possuem duas sentenças, que servem como ponto de partida para a dedução; elas são denominadas premissas. Das premissas decorre uma sentença, chamada conclusão.” (LUNGARZO 1990, P 20).

Por exemplo:

Premissa 1 – Todo londrinense é paranaense.

Premissa 2 – Todo paranaense é brasileiro.

Conclusão – Todo londrinense é brasileiro.

No silogismo não se pretende descobrir nada novo, mas apenas

deduzir-se algo a partir do que já se conhece.

Vejamos este outro exemplo:

Premissa 1 – João disse ontem que se chovesse iria ao cinema.

Premissa 2 – João foi ontem ao cinema.

Conclusão – Ontem choveu.

Veremos que este tipo de dedução é incorreto, pois pode não ter

chovido e mesmo assim ele ter ido ao cinema. Para ficar com “perfeição”

lógica a premissa 1 deveria ser apresentada da seguinte maneira:

João disse ontem que iria ao cinema se, e somente se, chovesse.

Ocorre que nem toda dedução é um silogismo. Vejamos o seguinte

exemplo:

Premissa: Alguns paranaenses são empresários.

Conclusão: Alguns empresários são paranaenses.

Dessa maneira se buscou demonstrar a dedução de maneira simples

para o entendimento de todos. Parte-se de alguma(s) informação(ões)

que podem ser verificadas como verdadeira(s) ou não e então tiram-se

conclusões desta(s) situação(ões).

No silogismo a verdade da(s) premissa(s) assume o sentido de

orientação na conclusão, pois quando se parte de premissa(s)

verdadeira(s) sempre se obtem conclusão(ões) verdadeira(s). Porém não

se coloca em questão verificar a veracidade das premissas o que torna a

utilização da lógica muito importante para o desenvolvimento do raciocínio

formal, pois como foi explicitado anteriormente citando-se Parra (1983)

esta fase caracteriza-se pela inversão entre a possibilidade e a realidade.

Aristóteles estudou os argumentos e estabeleceu regras para

distinguir os que são válidos daqueles que não são. Estes últimos

chamamos de falácias ou sofismas.

Os estudos de Aristóteles foram explicados por Euler em diagramas

quando o mesmo tentava explicar a uma princesa da Alemanha “o

significado das quatro proposições básicas da classificação de Aristóteles.”

(MACHADO, 1996 P 20). Estes diagramas podem ser vistos no anexo 1

deste material.

2.2 – A TRANSITIVIDADE E A REVERSIBILIDADE

Outros conceitos importantes a serem utilizados nos trabalhos serão

a transitividade e a reversibilidade.

A transitividade é exemplificada pelo fato da igualdade ser transitiva

assim temos que:

Primeira premissa: x = y.

Segunda premissa: y = 8.

Conclusão: x = 8.

Já a reversibilidade caracteriza-se pelo fato de podermos “ler” a

igualdade nos dois sentidos em uma sentença.

Premissa: a = b;

Conclusão: b = a.

Nos trabalhos utilizaremos a lógica elementar partindo dos conceitos

de silogismo, reversibilidade e transitividade aplicando-as na resolução de

problemas.

Centraremos inicialmente nossos estudos na lógica formal dedutiva,

com premissas verdadeiras, cujo assunto é:

“- A dedução.

- A relação entre dedução e verdade.

- As linguagens nas quais são expressadas essas deduções e são formuladas as sentenças cuja verdade interessa.” (LUNGARZO 1990, P 55).

A opção por este tipo de situação é também justificada por Willian

Kneale:

“As investigações em que se pretende ou procura uma demonstração é que naturalmente dão origem à reflexão lógica, uma vez que demonstrar uma proposição é inferi-la validamente de premissas verdadeiras. Há duas condições para a demonstração: premissas verdadeiras e argumentos válidos.” (KNEALE 1980, P 5).

2.3 – A INDUÇÃO

Se por um lado o raciocínio dedutivo parte da idéia de proporcionar

de maneira aceita logicamente válida a veracidade de uma conclusão, ao

raciocínio indutivo cabe a pretensão de fornecer pistas sobre a veracidade

da situação.

“(...) nem todos os argumentos pretendem ser dedutivos. Numerosos argumentos não desejam demonstrar a verdade de suas conclusões como decorrentes, necessariamente, de suas respectivas premissas, limitando-se a estabelecê-las como prováveis, ou provavelmente verdadeiras. Os argumentos deste último tipo recebem, geralmente, o nome de indutivos e são radicalmente diferentes da variedade dedutiva. Talvez o mais correntemente usado desses argumentos não-dedutivos ou indutivos seja o argumento por analogia.” (COPI 1981, P 314).

Após resolvermos alguns problemas por dedução serão apresentados

problemas onde o argumento apropriado é a analogia ou indução. Não é

sobre a indução matemática, na qual as exceções são controladas, que

estamos falando. Por esta razão, há espaço para debate em argumentos

desta natureza.

A conclusão da situação-problema deve, de alguma forma, ter sua

validade verificada no contexto. Uma via interessante em tais casos é

examinar se a negação da tese leva a alguma contradição. O raciocínio por

absurdo pode ser ampliado ao contexto da dialética, que permite colocar

em evidência as contradições em um diálogo.

Os primeiros mestres no uso da dialética teriam sido Sócrates (de

fato, atribui-se a este a arte da ironia), Zenão de Eléia e Heráclito

(BRASIL ESCOLA).

Essencialmente, um argumento que envolve a dialética se faz em

três partes:

1ª – a tese: surge como base em um diálogo que proponha a defesa

de uma idéia considerada pelo interlocutor como válida, ou em nosso

trabalho, surge na solução de um problema apresentado;

2ª – a antítese: é a oposição à tese;

3ª – a síntese: esta última trata-se do resultado gerado no debate

entre a tese e a antítese.

Este tipo de argumentação tem uma proximidade maior com

assuntos mundanos. Ao pensarmos em nosso cotidiano conseguimos

observar a dialética com clareza. Somos componentes de uma sociedade

politizada composta por “situação” que, por exemplo, apresenta a sua tese

e “oposição” que apresenta a antítese. A síntese pode ser a própria tese, a

antítese, uma miscelânea das duas partes, ou ainda uma possibilidade

para o estudo de outras teses formuladas a partir do confronto. De fato, a

política é o palco primordial da dialética.

CAPÍTULO 3 – RESOLVENDO EQUAÇÕES DE 1º GRAU

UTILIZANDO A LÓGICA

3.1 – O SEPULCRO DE DIOFANTE

Os matemáticos gregos que viviam no início da era cristã preferiam

o estudo da Geometria em detrimento da Álgebra. No entanto Diofante

escreveu à época uma obra denominada Aritmética onde tratava de

problemas envolvendo números. A série era composta por 13 livros, dos

quais apenas seis resistiram às guerras e o período medieval.

Quanto à sua vida não se sabe muito, porém o epitáfio que aparece

em seu sepulcro nos instiga ao estudo da Álgebra:

“Caminhante!

Aqui descansam os restos de Diofante.

Os números podem mostrar a duração da sua vida, cuja sexta parte

constou da encantadora infância.

Tinha passado mais uma duodécima parte da vida quando lhe

apareceu a barba.

A partir daí, a sétima parte da sua existência passou num

matrimônio sem filhos.

Passou um qüinqüênio mais quando o fez feliz o nascimento do seu

primogênito.

Este filho entregou seu corpo à terra, tendo vivido metade do que

seu pai viveu.

Quanto a Diofante sobreviveu apenas mais quatro anos após a

morte de seu filho.

Diz-me, caminhante, quantos anos viveu Diofante?”

Observe que a resolução que hoje nos aparenta simplicidade a partir

do uso de equações, deve, para a época, ter representado difícil problema

que poderia propiciar a busca pela resolução aos visitantes de todos os

tempos.

3.2 – O PAPIRO DE AHMES E A REGRA DO MONTÃO FALSO – A

ORIGEM DA REGRA DE TRÊS

Outra fonte histórica do início da aventura humana com a Álgebra é

o Papiro de Rhind ou Papiro Ahmes. A sua parte principal é composta por

oitenta e quatro problemas, muitos deles sobre questões do cotidiano do

povo egípcio.

A maior parte destes problemas é resolvida apenas com

conhecimento das operações fundamentas, mas há alguns que necessitam

da álgebra para que sua resolução seja simplificada.

Nos problemas que irão nos interessar neste momento a palavra

usada para representar o número desconhecido é sempre a mesma:

montão. Guelli, nos apresenta um destes problemas:

Um montão, sua metade, seus dois terços, todos juntos são 26.

Digam-me: Qual é a quantidade? (GUELLI 1997, P 8)

Os egípcios não utilizavam a álgebra como conhecemos hoje, porém

utilizavam um mecanismo interessante intitulado a regra do falso, veja:

Partindo-se da idéia:

montão + montão/2 + 2xmontão/3 = 26

Aplicavam um valor ao montão, por exemplo, 24:

24 + 24/2 + 2 x 24 / 3 =

24 + 12 + 16 =

52

A partir daí os egípcios demonstravam ser capazes de resolver

situações utilizando-se de mecanismos equivalentes à regra de três, veja:

Valor aplic. montão Resultado encontrado

Montão verdadeiro 26

24 52

Montão/24 = 26/52

52 . montão = 24 . 26

Montão = 624/52

Montão = 12

3.3 – A RESOLUÇÃO INVERTIDA

Outro mecanismo utilizado pelos povos antigos, em especial por

Bhaskara é o método da inversão, onde a partir de um problema vai se

percorrendo o caminho inverso até se chegar à resposta, observe a

seguinte situação:

Qual é o número que somado com sete, dividido por cinco e

multiplicado por 12, resulta 180?

Invertendo: Se encontramos 180 como resultado de uma

multiplicação por 12, então devemos dividir para descobrir que número

foi multiplicado, então:

180 : 12 = 15

Se quando chegamos ao resultado 15, havíamos dividido o número

por 5, então para descobrirmos o número que nos gerou este resultado

devemos multiplicar para descobrir o número que foi dividido, então:

15 x 5 = 75

Se quando chegamos ao resultado 75, havíamos somado o número

com 7, então devemos subtrair para descobrir o valor que recebeu esta

adição, então:

75 – 7 = 68.

Agora podemos conferir a resolução utilizado o próprio problema,

pois já conhecemos a resposta (68), assim:

Somando 68 com 7, encontramos 75, que dividido por 5, resulta 15.

Ao multiplicarmos este valor por 12, finalmente encontramos 180.

3.4 – INTERPRETANDO EQUAÇÕES – AL-JABR

A palavra Álgebra é uma variante da palavra árabe AL-jabr, usada

no título do livro de Mahammed ibn-Musa al Khowarismi, escrito em 825

d.C. em Bagdá.

A tradução completa do título do livro é “ciência da restauração”,

mas matematicamente seria mais interessante denominá-lo “ciência da

transposição e cancelamento”.

Guelli (1997) nos apresenta a forma que Al Khowarismi utilizava-se

para explicar a resolução de equações utilizando de três conceitos: raízes

(que chamaremos de x), quadrados (chamados de x ao quadrado) e

números. Veja este exemplo utilizando raízes iguais a números:

Livro Al-jabr Livro atual

“É preciso, em primeiro lugar,

que vocês somem seis raízes

com quatro raízes e com duas

raízes

x. (6 + 4 + 2) = 36

Como doze raízes valem o

mesmo que trinta e seis

unidades,

12x = 36

Então o valor de uma raiz é

três unidades.”

x = 3

(GUELLI 1997, P 26)

3.5 – A BALANÇA DE DOIS PRATOS

Alguns livros didáticos apresentam ainda conceitos ligados à

utilização de uma balança de dois pratos, onde conhecemos alguns pesos

e desconhecemos outros.

Veja como podemos resolver uma equação utilizando-se deste

artifício para resolver a equação 2x + 2 = x + 6:

Se retirarmos dois quilos de um prato da balança, então para

continuar com a balança equilibrada precisam-se retirar dois quilos

também do outro prato, ficando assim:

2x = x + 4

Se retirarmos um peso x de um prato da balança, então para

continuar com a balança equilibrada precisam-se retirar um peso x do

outro prato da balança.

x = 4

3.6 – RESOLVENDO EQUAÇÕES LOGICAMENTE

Como é possível observar tanto no tópico 3.3, quanto nos tópicos

3.4 e 3.5, a partir do entendimento do raciocínio estudado em equações, é

realmente possível resolver as equações utilizando-se da lógica partindo-

se da hipótese (do entendimento) para a dedução, utilizando-se desta

maneira da lógica dedutiva e conseqüentemente do silogismo estudado no

capítulo anterior.

Também após a resolução de algumas equações pode-se utilizar a

indução, também explicitada no capítulo anterior.

Vejamos a resolução de algumas equações de 1º grau pelas formas

apresentadas nos tópicos anteriores:

2x + 8 = 26

Pela resolução invertida:

Ao dobro de um número foi somado oito e encontrou-se 26.

Se somamos 8 e encontramos 26, então se subtrairmos 8,

descobriremos o número que foi somado com 8 para encontrar o 26.

Desta forma o dobro do número é 18.

Se o dobro do número é 18, então se dividirmos por dois

encontraremos o número que é 9.

Interpretando equações – Al-jabr:

Livro Al-jabr Livro atual

É preciso, em primeiro lugar,

que vocês somem duas raízes

com oito números e encontrem

26 números

2x + 8 = 26

Agora se subtrairmos 8

números em cada membro,

descobriremos que duas raízes

equivalem a 18.

2x = 18

Se duas raízes equivalem a 18

números, então cada raiz

equivale a 9.

x = 9

A balança de dois pratos:

Se retirarmos oito quilos de um prato da balança, então para

continuar com a balança equilibrada precisam-se retirar oito quilos

também do outro prato, ficando assim:

Se dois pesos x equilibram 18 quilos, então um peso x equivale a 9

quilos, veja:

A resolução utilizando-se da balança fica comprometida quando

tratamos com valores negativos, pois não existem pesos negativos, porém

torna-se claro que o uso de operações inversas é essencial na resolução

das equações, observe as equações resolvidas pelas duas maneiras e

agora se utilizando da idéia das operações inversas.

Vejamos a resolução desta outra equação:

3x – 8 = 82

Pela resolução invertida:

Do triplo de um número devem-se subtrair oito, então

encontraremos oitenta e dois como resultado.

Se subtrairmos oito para encontrar 82, então se somarmos

(operação inversa da subtração) oito ao número, descobriremos o triplo do

número, assim:

3x = 90

Se um número multiplicado por três resulta 90, então se dividirmos

(operação inversa da multiplicação) por três, descobriremos o número

procurado, assim:

x = 30

Interpretando equações – Al-jabr:

Livro Al-jabr Livro atual

É preciso, em primeiro lugar,

que vocês subtraiam oito

números de três raízes, para

encontrarem 82 números

3x - 8 = 82

Agora se usarmos a operação

inversa e somarmos 8 números

em cada membro,

descobriremos que três raízes

equivalem a 90.

3x = 90

Se três raízes equivalem a 90

números, então cada raiz

equivale a 30.

x = 30

Desta forma observa-se a necessidade da utilização da operação

inversa na resolução das equações.

Observe-se que em cada situação é importante o entendimento das

equações e o que cada uma quer explicitar quando apresentadas. De fato,

o que nos conduziu a este trabalho foi tornar explícito aos alunos as

interpretações da linguagem algébrica, em cada caso. Pode-se dizer que,

por sua versatilidade, a linguagem algébrica se desconecta da realidade, o

que gera dificuldades de entendimento. Portanto, é boa prática enfatizar

as conexões em cada problema.

CAPÍTULO 4 – O USO DA LÓGICA NA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE 1º GRAU

4.1 – METODOLOGIA DOS TRABALHOS

Iniciaremos os trabalhos apresentando dois problemas semanais

cuja solução faz uso da lógica. Essa atividade baseia-se em trabalho

realizado em Portugal com o título de “Problemas da Semana”. Os

problemas permitirão que posteriormente os alunos pensem na resolução

de equações, como no exemplo a seguir:

Problema – Ana Karla, Natalia e Matheus foram fazer um piquenique.

Matheus levou 4 sanduíches e Ana Karla levou 5. Natalia não levou

sanduíches, mas pagou R$ 9,00. Como Matheus e Ana Karla devem dividir

o dinheiro, sabendo que todos comeram o mesmo número de sanduíches?

Questionamentos e sugestões: Quais são os dados apresentados pelo

problema?

Quantos sanduíches cada um comeu?

Quantos sanduíches Ana Karla repassou para a Natalia comer?

Quantos sanduíches Matheus repassou para a Natalia comer?

Resposta: A partir dos questionamentos acima, partiremos para uma

dedução da situação.

Premissa 1 - Levaram 9 sanduíches e cada um comeu 3 sanduíches.

Premissa 2 - Natalia pagou R$ 9,00 por três sanduíches e então pagou R$

3,00 por sanduíche.

Premissa 3 - Matheus tinha um sanduíche sobrando ele vendeu para

Natalia.

Premissa 4 - Ana Karla vendeu dois sanduíches para Natalia.

Conclusão – Se cada sanduíche custou R$ 3,00 e Matheus vendeu um

sanduíche, então ele tem direito a R$ 3,00. Da mesma forma, se Ana

Karla vendeu dois sanduíches, então ela tem direito a R$ 6,00.

Levando-se os problemas durante uma semana para casa, a família

poderá também se envolver e na semana seguinte formam-se grupos de

três a seis alunos onde discutem a forma como cada aluno pensou a

resolução dos problemas apresentados. Depois de cada grupo chegar à

resolução que consideram a mais adequada o problema é apresentado no

quadro com todas as resoluções encontradas.

Desta forma realizamos as três etapas sugeridas em uma aula de

investigação:

• apresentação de um problema interessante;

• elaboração de estratégia de resolução;

• tomada de consciência da atividade.

É interessante que os alunos não apaguem a resolução que tiveram,

mesmo que abandonem as soluções que propuseram em favor da de outro

grupo. Eles devem copiar ao lado da sua resposta a resolução deste outro

grupo, com o intuito de propiciar a possibilidade posterior de verificar

como pensava e como passou a pensar após a discussão do trabalho.

Caso não cheguem à resolução (ou à resposta) esperada no

problema, o professor pode sugerir que as resoluções encontradas ainda

não são aquelas, dar novo tempo (em sala ou em casa) para pensarem

sobre a situação e posteriormente voltarem ao assunto.

É essencial lembrar que a resposta não é o mais importante. Nestas

situações é relevante a prática do raciocínio lógico formal, indutivo ou

dedutivo, durante as resoluções, o entendimento dos problemas com

clareza e o confronto de idéias para o desenvolvimento da síntese através

da dialética.

A resolução dos problemas com a utilização de lógica ocorrerá de

março até julho, pois a partir de agosto iniciaremos o estudo de equações

onde utilizaremos o raciocínio hipotético-dedutivo nas atividades deste

conteúdo como apresentamos acima.

Como entre os meses de março e julho há aproximadamente vinte e

duas semanas, apresentamos a seguir quatro problemas comentados com

os possíveis questionamentos para o desencadeamento do raciocínio dos

alunos e respostas, que complementados com os demais apresentados no

final deste capítulo possibilitarão atender ao professor com a quantidade

de material necessário para a execução da atividade.

4.2 – OS EXERCÍCIOS ENVOLVENDO LÓGICA

Problema 1 – Kleber diz ter sido enviado para outro planeta e conhecido

outra civilização onde seus habitantes escreviam as palavras num idioma

desconhecido. Por exemplo, os dias da semana eram escritos assim:

GBDJM CPMAJM GMUMFS CPVNJM JBATM FSHVNES GBEPNFM

E tinha a mesma quantidade de letras das palavras correspondentes na

nossa língua. Quanto a palavra feira eu não lembro como eles escreviam.

Você deve escrever neste novo idioma conhecido por Kleber a

expressão: MESES DO ANO.

Em seguida procure escrever o nome de alguns meses do ano, tais

como: MAIO, AGOSTO, SETEMBRO E OUTUBRO.

Questionamentos e sugestões: Quantas letras os dias da semana tem

do nosso idioma?

Apenas com essa informação é possível descobrir algum dos dias da

semana?

Neste momento faremos uso da idéia de indução em um

questionamento: Comparando a letra inicial dos nossos dias da semana

com a quantidade de dias que começam com a mesma letra é possível

descobrir algo. Confira.

Resposta: Trata-se de um exercício do tipo mensagem secreta. Cada

letra representa outra letra no nosso alfabeto.

Novamente utilizaremos a dedução para resolvermos esta situação:

Premissa 1 - Temos dois dias da semana (terça e sexta) que têm cinco

letras e “batem” com GBDJM e JBATM.

Premissa 2 – Sexta, segunda e sábado começam com a mesma letra e

“batem” com GBDJM, GMUMFS e GBEPNFM.

Conclusão – Podemos observar que se sexta-feira deve ser GBDJM ou

JBATM (primeira premissa) e sexta-feira deve ser GBDJM, GMUMFS ou

GBEPNFM (segunda premissa). Desta maneira a única possibilidade que

atende às duas premissas é GBDJM.

Podemos concluir ainda que sábado é GMUMFS, pois tem seis letras

e que GBEPNFM é segunda, pois tem sete letras.

Continuando o problema desta maneira, concluiremos ao final que

MESES DO ANO = HBGBG FS MNS.

Problema 2 – Flávia, Therezinha, João, Fernanda e Claúdia são irmãos.

Nós sabemos que:

• Flávia não é a mais velha;

• João não é o mais novo;

• Flávia é mais velha que João;

• Therezinha é mais velha que Fernanda;

• Claúdia é mais velha que João e mais nova que Flávia.

Você deve descobrir a ordem em que nasceram essas pessoas.

Questionamentos e sugestões: Organize uma tabela com a

“classificação” de cada irmão.

Resposta: Podemos utilizar nesta tabela a reversibilidade, pois se Claúdia

é mais velha que João, então João é mais novo que Claúdia e assim

sucessivamente. Desta maneira concluiremos que a sequência, a partir da

mais velha é Therezinha, Flávia, Claúdia, João e Fernanda.

Problema 3 – Entre a Terra e Marte realizou-se uma corrida espacial

entre cinco naves:

• Poderosa chegou antes de Caramujo;

• Tartaruga e Adventure chegaram ao mesmo tempo;

• Rápida chegou antes de Poderosa;

• Quem ganhou chegou sozinho.

Quem ganhou a corrida?

Questionamentos e sugestões: Espera-se que os alunos utilizem-se da

analogia partindo do exercício anterior, então não há questionamentos e

sugestões para a resolução deste problema.

Resposta: A transitividade é essencial neste problema, pois se

Poderosa chegou antes que Caramujo e Rápida chegou antes que

Poderosa, então Rápida chegou antes que Caramujo e consequentemente,

se quem ganhou chegou sozinho, Rápida venceu a corrida.

Obviamente as formas acima apresentadas representam uma das

possíveis formas de solucionar as situações, mas pode haver outras

maneiras.

A seguir sugerimos outros problemas para serem aplicados.

Problema Complementar 1 – Carmen chegou em uma festa onde

estavam três amigas suas. Ela deu um abraço em cada uma das amigas.

Nesse momento suas amigas lembraram que não haviam se abraçado

quando chegaram e resolveram então todas se abraçarem (em duplas).

Quantos abraços foram dados?

E se fossem 5 pessoas, quantos abraços seriam?

E se fossem 6 pessoas?

Problema Complementar 2 – Três crianças: Ana, Bruno e Isabel moram

na mesma rua. Seus sobrenomes são Garcia, Salgueiro e Dias, não nesta

ordem e suas idades 7, 9 e 10, também não respectivamente. Partindo

das pistas abaixo, você poderá descobrir o nome completo e a idade de

cada uma delas.

• A menina de sobrenome Garcia tem três anos a mais que Izabel;

• A criança cujo sobrenome é Dias tem 9 anos.

Problema Complementar 3 – Luís Henrique fez uma aposta com seu

pai. A cada problema de Matemática que acertar, ganharia R$ 10,00 e

perderia R$ 7,00 por cada problema que errasse.

Resolveu 20 problemas e recebeu R$ 115,00. Quantos problemas

acertou?

Problema Complementar 4 – André diz a José Roberto:

• Tenho três amigas que são irmãs. A soma das suas idades é 13 e o

produto é o número da casa que moram que é 36.

Depois de pensar um pouco, José Roberto responde:

- Falta-me um dado para saber a idade de cada uma das amigas.

Você tem razão, diz André, esqueci de dizer que a mais velha toca

piano.

Quais as idades das amigas de André?

Problema Complementar 5 – Descubra qual foi a regra utilizada no

quadro a seguir e depois complete-o:

3 3 3 3 3

3 9 15 21 27

3 15 39 75 123

3 21 75

3 27

Problema Complementar 6 – Um proprietário de uma quitanda possui

apenas uma balança de dois pratos e pesos de 1, 3 e 9 quilogramas,

porém com apenas este material consegue pesar em uma balança de dois

pratos pesos exatos de 1 a 13 quilogramas. Como isso é possível?

Problema Complementar 7 – Colocando-se uma planta em uma lagoa

ela multiplica-se rapidamente, dobrando de quantidade a cada dia, ou

seja, no primeiro dia há uma planta, no segundo dia, duas, no terceiro dia,

quatro e assim sucessivamente. Em apenas vinte dias a lagoa está

completamente cheia de plantas. Se ao invés de usarmos uma planta,

usarmos duas, quantos dias levará até que a lagoa esteja completamente

cheia?

Problema Complementar 8 - Como repartir este queijo em oito partes

iguais com apenas três golpes de faca?

Problema Complementar 9 – Segundo uma lenda havia na Transilvânia

um conde que após um pacto com um ser maligno adquiriu o direito à

imortalidade. Para manter-se vivo ele deveria conseguir uma vítima

semanalmente que passaria também a ser vampiro. Esta é em poucas

palavras a história de Drácula. Justifique matematicamente porque não

existem vampiros.

Problema Complementar 10 – Na quitanda haviam seis cestas com

ovos: umas com ovos de galinha, outras com ovos de pata. Cada cesta

tinha uma etiqueta com o número de ovos que continha:

5 6 12 14 23 29

“Se vendesse esta cesta”, pensava a vendedora, “ficarei com duas

vezes mais ovos de galinha que de pata”.

A que cesta se referia a vendedora?

Problema Complementar 11 – Quantas vezes utilizamos o algarismo 9

para escrevermos todos os números naturais entre 0 e 100?

Problema Complementar 12 – Um esquilo encontrou 50 nozes num

período de 5 dias. Em cada dia o esquilo encontrou 3 nozes a mais que no

dia anterior. Quantas nozes ele encontrou em cada dia?

Problema Complementar 13 – Maria Cezira saiu de sua casa com uma

certa quantia de dinheiro no bolso.

No caminho ela encontrou três pessoas.

A primeira propôs:

- Cezira você me dá R$ 200,00 se eu duplicar a quantia de dinheiro

que você tem no bolso?

Cezira aceitou a proposta.

A segunda e a terceira fizeram a mesma proposta e novamente

Cezira aceitou.

No final ela ficou sem dinheiro algum. Quanto Cezira tinha no bolso

quando saiu de casa?

Problema Complementar 14 – Oito bolinhas de gude têm o mesmo

tamanho e a mesma cor. Sete delas têm o mesmo peso e a última é mais

pesada que as demais. Usando uma balança de dois pratos, como posso

encontrar a bolinha mais pesada efetuando apenas duas pesagens?

Problema Complementar 15 – Ricardo, Giovana e Valmira foram ao

restaurante. A conta ficou em R$ 25,00. Cada um deu R$ 10,00. O garçom

devolveu-lhes R$ 5,00 em cinco notas de R$ 1,00. Como ficaria difícil

dividir o troco resolveram dar R$ 2,00 para o garçom e pegaram R$ 1,00

para cada um.

Se refizermos os cálculos podemos pensar assim:

Se cada um deu R$ 10,00 e recebeu R$ 1,00 de troco, então na

verdade cada um deu R$ 9,00. Se eram três amigos temos que 3 x R$

9,00 = R$ 27,00 com mais R$ 2,00 do garçom dá R$ 29,00.

Mas está faltando R$ 1,00, pois eles deram R$ 30,00. Onde está o

erro nesta situação?

Observação: Neste problema é essencial o uso da dialética, proposto

nos estudos de Zenão apresentados neste material.

Problema Complementar 16 – Um grupo de 12 bolinhas de mesmo

tamanho e cor apresenta uma bolinha que pesa mais que as outras 11,

tendo estas o mesmo peso. Como se pode, com apenas três pesagens,

numa balança de dois pratos, descobrir qual bolinha é mais pesada?

Problema Complementar 17 – Paula, Vera e Marisi são três amiguinhas

e têm características diferentes: loira, morena e mulata.

Elas foram brincar com a minha filha e levaram uma boneca, um

piano e um chocalho. Em certo momento que brincavam, observei que:

• Marisi, que não é mulata, brincava com o piano;

• Paula não brincava com a boneca;

• Vera é morena.

Você deve identificar o nome, a característica de cada menina e o

brinquedo que cada uma brincava no momento em que foram feitas as

observações.

Problema Complementar 18 – Uma senhora foi ao mercado e não

propositalmente derrubou certa quantidade de ovos. Após a contagem dos

ovos quebrados notou que o número de ovos quebrados quando era

dividido por 2, ou por 3, ou por 5, ou por 6, sempre apresentava resto 1.

Quando dividido por 7 o resultado dava exato. Sabendo que a quantidade

de ovos que a mulher quebrou foi menor que 100, quantos ovos ela

quebrou?

Problema Complementar 19 – Luci Mara estava jogando dardo. Atirou

seis dardos e todos atingiram o alvo (abaixo). Baseando-se no valor de

acerto no alvo para as cores (descritas na tabela), informe aual (ou quais)

das pontuações a seguir ela pode ter obtido?

4 17 56 28 29 31

Alvo

Localização no alvo Pontuação

Círculo central 9

Primeira coroa 7

Segunda coroa 5

Terceira coroa 3

Coroa externa 1

Problema Complementar 20 – Temos dois recipientes. Um com

capacidade para 7 litros e o outro com capacidade para 11 litros e ainda

uma banheira com água. Como podemos medir exatamente 2 litros?

7 5 3 1 9

Problema Complementar 21 – Temos duas vasilhas com capacidade

para 3 e 5 litros, vazias e uma vasilha de 8 litros cheia de água. Como

separar a água de forma a obter duas vezes quatro litros?

Problema Complementar 22 – Um cientista apanhou aranhas e

escaravelhos (aranhas têm 8 patas e escaravelhos 6 patas). Ao todo há 10

animais e 66 patas. Quantas são as aranhas e quantos são os

escaravelhos?

Problema Complementar 23 – Num quintal existem patos e carneiros:

ao todo 28 cabeças e 72 patas. Quantos são os patos e quantos são os

carneiros?

Problema Complementar 24 – Quais são os algarismos representados

na soma pelas letras A, B e C?

A A A A

B B B B

+ C C C C

B A A A C

Problema Complementar 25 – Utilizando os números 2, 3, 5, 7 e 9 uma

e somente uma vez cada um e escolhendo as operações convenientes

obtenha o número 73.

Problema Complementar 26 – Um carro gasta 40 litros de combustível

para percorrer 600 quilômetros. Em condições similares quanto gastará

um carro para percorrer 900 quilômetros?

Problema Complementar 27 – Natalia comprou um casaco, um chapéu

e uma mala que custaram ao todo R$ 200,00.

• O casaco custou R$ 90,00 a mais que o chapéu;

• O chapéu e o casaco custaram R$ 160,00 a mais que a mala.

Qual o preço de cada um dos artigos?

Problema Complementar 28 – Temos seis bolinhas, todas iguais no

tamanho e cor. Uma delas, no entanto, é mais pesada. Diga qual é o

menor número de pesagens que devem ser feitas para descobrir a bolinha

mais pesada.

Problema Complementar 29 – Uma lesma sobe um muro de 10 metros.

Sobe dois metros durante o dia, mas à noite escorrega um metro. Quantos

dias levará para chegar até o ponto mais alto do muro?

Problema Complementar 30 – Se um tijolo pesa um quilo mais meio

tijolo. Quantos quilos pesam dois tijolos?

Problema Complementar 31 – Uma criança subiu na cama e ficou da

altura do seu pai. Qual é a diferença entre a altura do pai e da criança?

Problema Complementar 32 – Durante um cerco, 45 soldados têm

comida suficiente para dois meses. Quantos soldados deverão ir embora

para que a comida dure três meses sem que as refeições sejam

diminuídas?

Problema Complementar 33 – Matheus comprou uma bicicleta por R$

120,00 e vendeu por R$ 130,00. Voltou a comprar a mesma bicicleta por

R$ 140,00 e voltou a vender agora por R$ 150,00. Qual foi seu lucro ao

final de todas estas transações?

Problema Complementar 34 – Um tijolo pesa quatro quilogramas.

Quanto pesa uma miniatura desse tijolo feita com o mesmo material e

cujas dimensões sejam todas pela metade?

Problema Complementar 35 – Um avô tem 62 anos e seus quatro netos

5, 7, 11 e 12 anos. No fim de quantos a idade do avô será igual à soma

das idades dos netos?

Problema Complementar 36 – Tenho vinte metros de tecido. Quantos

cortes devo fazer no tecido para obter pedaços de dois metros?

Problema Complementar 37 – Uma academia de esportes funciona de

segunda a sábado.

• a turma do vôlei, se reúne diariamente, exceto às quartas-feiras;

• há jogos de tênis todos os dias, exceto terças e sábados;

• são oferecidas aulas diárias de tênis de mesa;

• as aulas de natação são em dias alternados, a partir das segundas;

• há aulas de ginástica diariamente, a partir das terças.

Qual é o dia mais movimentado na academia?

Problema Complementar 38 – Numa balança de dois pratos são

colocados de um lado um pacote que não sabemos quanto pesa e um peso

de 3 quilogramas. Do outro lado é colocado um peso de 15 quilogramas.

Quanto pesa o pacote de peso desconhecido?

Problema Complementar 39 – Os povos antigos utilizavam a palavra

montão para representar uma quantidade desconhecida. Descubra o valor

do montão na situação apresentada a seguir:

Um montão foi multiplicado por 5, depois somado com 30 e deste

resultado foi subtraído 40 obtendo-se 120 como resultado. Qual é o valor

do montão?

Problema Complementar 40 – Numa balança de dois pratos foram

colocados em um dos pratos um pacote de peso desconhecido e outro

pacote de 20 kg. No outro prato, em equilíbrio, foram colocados dois

pacotes iguais ao pacote de peso desconhecido. Quanto pesam os pacotes

de peso desconhecido?

Apresentamos a seguir alguns problemas que baseiam a sua

resolução no conteúdo de equações de 1º grau convidando os alunos a,

em grupo, formalizarem os conhecimentos através de relatórios

descrevendo o conteúdo estudado, sem, no entanto ter sido citado nome

ou características do conteúdo.

Caso não seja possível um fechamento o professor poderá utilizar-se

das idéias observadas na história da humanidade, pois como estudamos

nos capítulos 2 e 3 deste material o homem buscou dominar a Álgebra

entendendo as situações apresentadas utilizando-se da lógica para

interpretar estas situações. As idéias do uso da hipótese (premissa)

seguida de uma conclusão ficaram muito claras nos tópicos 3.3, 3.4 e 3.5.

A forma de apresentação aos alunos deve ser de maneira a

possibilitar a busca pelo conhecimento, ou seja, apresentando os estudos

em textos ou situações similares que possibilitem que, por indução,

consigam desenvolver o conceito e consequentemente seus entendimentos

sobre equações de 1º grau.

A seguir apresentam-se alguns problemas que podem envolver o uso

de equações em suas resoluções. Há nos livros didáticos outros problemas

para serem utilizados e neste momento podemos mais uma vez verificar

se os alunos realmente desenvolveram seu raciocínio lógico, porém essa

verificação tem um caráter especial, pois chegamos na conclusão dos

trabalhos a resolução de equações utilizando-se da lógica, motivo maior

deste trabalho.

Problema 1: Somando-se o triplo de um número com 36, encontramos

186. Qual é esse número?

Problema 2: A soma do quádruplo de um número com 78 é igual a 308.

Que número é esse?

Problema 3: A metade de um número aumentada de 40 é igual a 120.

Qual é esse número?

Problema 4: Eu e meu amigo temos juntos 277 figurinhas. Tenho 23 a

mais que meu amigo. Quantas figurinhas cada um de nós tem?

Problema 5: A soma de três números é 300. O segundo supera o

primeiro em 20 unidades, e o terceiro supera o segundo em 60 unidades.

Quais são os números?

Problema 6: O perímetro de um retângulo é 80 centímetros. Qual é a

medida dos seus lados se um dos lados é 10 centímetros maior que o

outro?

Problema 7: Reparta 400 em três partes ficando a segunda parte com o

triplo da quantidade da primeira e a terceira com o dobro da segunda.

Problema 8: Descubra o valor de x na seguinte igualdade:

2x – 8 = 8

Problema 9: Quero repartir 98 bolinhas de gude em três caixas. Nas duas

primeiras caixas pretendo colocar quantidades iguais e na terceira

pretendo colocar 23 a mais que cada uma das outras duas. Quantas

bolinhas devo colocar em cada caixa?

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS D’AMBRÓSIO, Ubiratã. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. SINGH, Simon. O Último Teorema de Fermat. Rio de Janeiro: Editora Record, 2002. FRAISSE, Paul; PIAGET, Jean. Tratado de Psicologia Experimental. Vol. VII, Rio de Janeiro: Companhia Editora Forense, 1969. DIAS, Mª da Graça (ORG). Tópicos em Psicologia Cognitiva. Recife: Editora Universitária da UFPE, 1996. PARRA, Nélio. O Adolescente Segundo Piaget. São Paulo: Pioneira, 1983. MATOS, J.F. Logo na Educação Matemática: Um estudo sobre as concepções e atitudes dos alunos. Lisboa, 1991. (Tese de doutoramento, Universidade de Lisboa). OLIVEIRA, H. Actividades de Investigação na Aula de Matemática – Aspectos da prática dos professores. Lisboa, 1998. (Tese de Mestrado, Universidade de Lisboa). STENHOUSE, L. A. An introduction to curriculum research and development. London: Heineman Educational, 1975. BROCARDO, J. As investigações na aula de matemática: um projeto curricular no 8º ano. Lisboa, 2001. (Tese de Doutorado, Universidade de Lisboa). BOAVIDA, A.M.& PONTE, J.P. Investigação colaborativa: Potencialidade e Problemas. Refletir e investigar sobre a prática profissional, Lisboa, 2002. OLIVEIRA, I. & SERRAZINA, L. A reflexão e o professor como investigador. Reflectir e investigar sobre a prática profissional (pp 29-42). Lisboa: 2002. Disponível em <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/ jponte/fp/#Bibliografia%20geral>. Acesso em 19 jun. 2008.

PONTE, J.P., FONSECA, Helena & BRUNHEIRA, Lina. As atividades de investigação, o professor e a aula de Matemática. Lisboa: FCUL, 2000. SEGURADO, I. & PONTE, J.P. Concepções sobre a matemática e trabalho investigativo. Lisboa: Quadrante, 1998.

GUELLI, Oscar. Equação: O Idioma da Álgebra. Coleção Contando da História da Matemática. São Paulo: Ática, 1997. MACHADO, Nilson J. Lógica? É Lógico! Coleção Vivendo a Matemática. São Paulo: Scipione, 1996. LUNGARZO, Carlos. O Que é Lógica. Coleção Primeiros Passos. São Paulo: Brasiliense, 1990. COPI, Irving M. Introdução à Lógica. São Paulo: Mestre Jou, 1981. KNEALE, William e KNEALE, Martha. O Desenvolvimento da Lógica. Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 1980. FREIRE, Paulo. Pedagogia da Autonomia – Saberes necessários à prática educativa. 18.ed. São Paulo: Editora Paz e Terra, 1996.

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ANEXO 1

Euller utilizou-se de diagramas para explicar as quatro proposições

categóricas estudadas por Aristóteles:

Consideremos o conjunto A como o conjunto dos homens e B o

conjunto das pessoas confiáveis.

1º - Todos elementos de A são elementos de B.

Exemplo: Todos os homens são confiáveis.

2º - Nenhum elemento de A é elemento de B.

Exemplo: Nenhum homem é confiável.

3º - Alguns elementos de A são elementos de B.

Exemplo: Alguns homens são confiáveis.

B

A

U

A B

U

4º - Alguns elementos de A não são elementos de B.

Exemplo: Alguns homens não são confiáveis.

B A

A-B

U

A B A e B