Professor : Marco Antonio Rodriguez Martinez

Disciplina : Geometria Analítica

Dirigido : Para todos os que estejam interessados na disciplina

Brasília, Setembro, 2014

Lista de Problemas de Retas

1.- Determine a equação de cada reta que passa pelos pontos: (a) (-1; 1) e (1; 5) (b) (-2;-4) e (-1; 1) (c) (2;-4) e (-1; 5)

2.- Determine a equação da reta que satisfaz as seguintes propriedades: (a) inclinação de 45° e passa pelo ponto médio dos pontos (3;-5) e (1;-1); (b) paralela à reta y = 3x - 4 e passa pelo ponto P = (1; 2) (c) perpendicular à reta y = 3x - 4 e passa pelo ponto P = (1; 2) 3.- Determine se os três pontos dados são colineares: (a) (1;-4); (-2;-13) e (5; 8) (b) (1;-7); (4; 2) e (2; 1)

4.-Determine se os três pontos dados formam um triângulo retângulo: (a) (1;-3); (2; 7) e (-2; 5); (b) (1; 2); (0; 1) e (-1; 2);

Lista de Problemas

5.- Esboce cada par de retas no plano cartesiano e determine o ponto de interseção. (a) y = x - 2 e y = -2x + 4; (b) y = 2x - 7 e y = -2x + 1; 6.- Determine o(s) valor(es) da constante k para que a reta

𝑘 + 4 𝑥 + 9 − 𝑘2 𝑦 + 𝑘 − 6 2 = 0 (a) seja paralela ao eixo x; (b) seja paralela ao eixo y; (c) passe pela origem.

7.- Dada a função f : R → R, tal que f(x) = 3x - 4, determine as constantes a e b sabendo-se que f(a) = 2b e f(b) = 9a - 28.

8.- Uma função linear é tal que f(3) = 2 e f(4) = 2f(2). Determine f.

Lista de Problemas

9.- Se (𝑥0, 𝑦0) é o ponto da reta y = 4x + 3 mais próximo do ponto (2, - 6). Achar 𝑥0 + 𝑦0

10.- Indicar se as seguintes equações são paralelas ou perpendiculares

3x-2y+ 10=0 e 2x+3y+3=0

11.- Considere no plano cartesiano uma reta r de equação 3x + 5y +1 =0 e um ponto Q de coordenadas (5,5). Determine a equação da resta s perpendicular a r passando por Q.

12.- Encontre a equação da reta t que passa pelo ponto b(-1,8) e é perpendicular à bissetriz dos quadrantes ímpares.

13.- Determinar a distância da reta 𝑥𝑐𝑜𝑠45° + 𝑦𝑠𝑒𝑛45° − 3 2 = 0 ao ponto P (0; - 2).

Lista de Problemas

14.- Determinar a área do triângulo PQR da figura abaixo.

Q

45°

Estudo da Elipse

Os pontos 𝐹1 e 𝐹2 são chamados de focos da elipse e a reta que os contém recebe o nome de eixo focal da elipse. O ponto médio do segmento de reta 𝐹1𝐹2 é chamado de centro da elipse. As distâncias 𝑟1 = 𝑑 𝑃, 𝐹1 e 𝑟2 = 𝑑 𝑃, 𝐹2 são chamadas raios focais do ponto P. A distância entre os focos, 𝑑 𝐹1, 𝐹2 = 2𝑐 , é chamada distância focal. A reta perpendicular ao eixo focal passando pelo centro é chamada de eixo normal. Os pontos da elipse sobre os eixos focal e normal são chamados de vértices (𝐴1, 𝐴2, 𝐵1, 𝐵2).

Definição. Sejam 𝐹1 e 𝐹2 pontos do plano cartesiano e 𝑐 =1

2𝑑 𝐹1, 𝐹2 . Dado 𝑎 > 𝑐

, a elipse é uma curva do plano em que qualquer um de seus pontos, por exemplo, 𝑃, satisfaz a relação:

𝑑 𝑃, 𝐹1 + 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎

Estudo da Elipse

Vamos estudar a elipse no caso em que o eixo focal e normal da elipse coincidem com os eixos cartesianos 𝑂𝑋 e 𝑂𝑌, respectivamente, sendo que 𝐶 = 𝑂 como mostra a figura do lado. Os segmentos 𝑂𝐴1 e 𝑂𝐴2 são chamados de semieixos maiores e os segmentos 𝑂𝐵1 e 𝑂𝐵2 são chamados semieixos menores da elipse.

Então a equação da elipse é:

𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1

A relação:

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 É chamada de relação fundamental da elipse.

Estudo da Elipse

b

c

a

Agora, o semieixo maior se encontra no eixo 𝑌, então teremos que:

𝑥2

𝑏2+

𝑦2

𝑎2= 1

Estudo da Elipse

Estudo da Elipse

Exercícios

A partir dos dados disponíveis, a equação desta elipse é

1.-

2.-

3.-

5.-

4.-

Estudo da parábola Definição Considerando um ponto F (foco) e uma reta d (diretriz), sendo F ∉ d, pertencentes a um mesmo plano, definimos parábola como o lugar geométrico dos pontos P do plano equidistante do ponto F e da reta d.

𝐹𝑃 = 𝑃𝑑

F: Foco d: reta diretriz V: vértice p = 2f é o parâmetro 𝐹𝑉 = 𝑉𝑑 = f f: distancia focal A reta que passa por V e F é o eixo de simetria

d P

V

F f

f

Estudo da parábola Consideremos a parábola da figura com o eixo de simetria paralelo ao eixo OX.

Estudo da parábola Consideremos a parábola da figura com o eixo de simetria paralelo ao eixo OY.

Exercícios

Determinar as coordenadas do vértice e do foco da parábola: y = x2 - 4x + 3