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O FAZER MODELAGEM MATEMÁTICA: UMA ANÁLISE À LUZ
DA FILOSOFIA DA LINGUAGEM
Bárbara Nivalda Palharini Alvim Sousa Robim
Universidade Estadual do Norte do Paraná
Emerson Tortola
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Lourdes Maria Werle de Almeida
Universidade Estadual de Londrina
Resumo: Este artigo apresenta considerações sobre o fazer modelagem matemática mediada por reflexões
filosóficas embasadas na filosofia da linguagem de Ludwig Wittgenstein. A análise visa
apresentar reflexões com relação à questão de pesquisa: como os alunos trabalham com as
regras matemáticas em atividades de modelagem matemática? Para tanto é analisado o
desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática por duas alunas do ensino
superior no âmbito de um curso de Licenciatura em Matemática. A metodologia de análise dos
dados é de caráter qualitativo e os instrumentos de coleta de dados são: observações diretas dos
alunos, questionários, registros escritos, registros em áudio e vídeo, bem como anotações em
diário de campo. Em linhas gerais, conclui-se que o fazer modelagem matemática possibilita aos
alunos o trabalho com regras que regulamentam o uso de linguagem matemática, bem como sua
interpretação e correção, quando necessário.
Palavras-chave: Educação Matemática. Modelagem Matemática. Linguagem. Regras.
Introdução
No âmbito da Educação Matemática, preocupações com o modo como os alunos
constroem conhecimentos acerca da Matemática conduzem professores e pesquisadores
ao estudo, e uso, de uma série de alternativas pedagógicas para o ensino de matemática:
resolução de problemas, investigações matemáticas, modelagem matemática, o uso de
jogos, entre outras. Independente da alternativa utilizada, a preocupação desses
profissionais está associada às maneiras pelas quais os alunos constroem conhecimentos
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
acerca dos objetos matemáticos e das relações destes com o mundo. Segundo Almeida,
Silva e Vertuan (2012, p. 19) “objeto matemático é um conteúdo, um conceito ou um
ente matemático, seja real, imaginário ou de qualquer outro tipo, que usamos para a
atividade matemática”.
Para Abbagnano (2007, p. 724) a noção de objeto está associada a diferentes
posições filosóficas, e um objeto do conhecimento, como no caso dos objetos
matemáticos, pode ser considerado “uma ideia (como queria Berkeley), uma
representação (como queria Schopenhauer), uma coisa material (como queria a escola
escocesa do senso comum) ou um fenômeno (como queria Kant), mas como objeto é
sempre o termo ou limite da operação cognoscitiva”. Nesse sentido, o próprio conceito
de objeto pode não coincidir com nenhuma de suas especificações. O mesmo autor
aborda que “as coisas, os corpos físicos, as entidades lógicas e matemáticas, os valores,
os estados psíquicos, etc, são todos objetos, especificados ou especificáveis por meio de
modos de ser particulares ou procedimentos de verificação particulares; mas nenhuma
dessas classes de objeto possui uma objetividade privilegiada e nenhuma se presta a
exprimir, em seu âmbito, a característica do objeto em geral” (ABBAGNANO, 2007, p.
725).
De modo geral a matemática é apresentada como um conjunto de objetos, na
maioria das vezes, abstratos, bem como a relação entre tais objetos. No âmbito da
matemática os alunos têm de aprender o sentido de uma proposição, e a utilização de
várias regras que regem a gramática da matemática. Dotada de uma linguagem
específica, a matemática pode ser vista como um campo de conhecimentos próprios que,
no entanto, interage com o dia a dia da humanidade.
Nesse contexto, enxergamos a matemática como um jogo de linguagem que
deve ser apreendido, por meio de seus usos, pelos alunos de diferentes níveis de
escolaridade. Essa apreensão far-se-á por meio da utilização de regras matemáticas, bem
como por meio da construção de artifícios matemáticos para serem utilizados em
diferentes contextos.
Para falar da utilização das regras matemáticas em contextos de ensino e
aprendizagem de matemática abordamos, neste artigo, a modelagem matemática na
Educação Matemática por meio do desenvolvimento de uma atividade de modelagem
por alunos de um curso de Licenciatura em Matemática. Não constitui objeto de
pesquisa do artigo o ensino ou a aprendizagem da matemática, mas vislumbramos, por
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meio da filosofia da linguagem, abordar o modo como os alunos utilizam as regras
matemáticas em atividades de modelagem matemática.
Para tanto, esboçamos considerações sobre o fazer modelagem matemática e
sobre os usos da linguagem, em particular, as regras, sob a ótica da filosofia da
linguagem de Wittgenstein, apresentamos uma atividade de modelagem matemática
desenvolvida e uma análise que contempla observações filosóficas sobre a questão:
como os alunos trabalham com as regras matemáticas em atividades de modelagem
matemática?
Modelagem Matemática: o que é e como fazer
A modelagem matemática, no âmbito da Educação Matemática, está associada,
de modo geral, a busca por alternativas para as práticas de ensino e aprendizagem de
matemática em sala de aula, alternativas que contemplem a matemática sob um olhar
que não a trata de maneira isolada, desconexa da realidade, mas como parte integrante
de nossas práticas e atividades humanas.
Segundo Rosa e Orey (2012), há situações da vida diária que podem ser
interpretadas por meio da linguagem matemática, ou seja, alguns aspectos das situações
podem, de alguma forma, ser matematizados. Nesse contexto a modelagem matemática
surge, com o intuito de tratar, por meio da matemática, problemas de temas
diversificados, oriundos de situações do cotidiano ou de outras áreas do conhecimento
(BARBOSA, 2003).
Um dos principais objetivos de uma atividade de modelagem é, segundo Rosa e
Orey (2012), auxiliar os alunos na compreensão das relações e conexões entre a
matemática e a vida cotidiana. Atividades de modelagem matemática colocam os
estudantes diante de situações-problema que se aproximam de práticas de seu dia a dia
ou que eles podem vir a presenciar algum dia.
Contudo, uma das preocupações mais comuns de quem se propõe a trabalhar
com modelagem é o como fazer. Como ir além dos exercícios-padrão de sala e aula e
auxiliar os alunos a pensar, criticar e argumentar matematicamente uma situação? Como
tratar o tema de modo a estimular a problematização e a investigação, características
intrínsecas ao fazer modelagem, como assinala Barbosa (2003)?
Essa é uma preocupação recorrente, pois como ressalta Lingefjärd (2006), o
fazer modelagem matemática não se limita a encontrar uma função que se ajusta aos
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dados da situação-problema. Trata-se de “um processo matemático que envolve
observar um fenômeno, conjecturar relações, aplicar análises matemáticas (equações,
estruturas simbólicas, etc.), obter resultados matemáticos e reinterpretar o modelo”
(LINGEFJÄRD, 2006, p. 96).
Em geral, esse processo, inicia-se com uma problemática, que desencadeia um
estudo matemático da situação. Essa, conforme Almeida (2010), pode ser entendida
como a situação inicial de uma atividade de modelagem, pois é a partir dela que se dão
os encaminhamentos necessários à resolução do problema: escolhe-se um tema,
formula-se ou identifica-se um problema, selecionam-se as variáveis envolvidas no
problema, levantam-se hipóteses e, se preciso for, realizam-se simplificações da
situação, usa-se linguagem matemática para produzir um modelo matemático para a
situação em questão e utiliza-se dos resultados matemáticos encontrados como
subsídios para a análise e interpretação da situação, bem como do próprio modelo, com
a intenção de validá-lo. Esse momento, em que o modelo matemático para a situação é
encontrado e uma solução para o problema é fornecida, é, para Almeida (2010), a
situação final da atividade. No âmbito da sala de aula, recomenda-se que os alunos
desenvolvam a atividade em grupos e comunique os resultados obtidos aos demais
colegas da turma, consistindo em mais um momento de reflexão sobre o estudo
realizado (ALMEIDA; SILVA, VERTUAN, 2012).
Apesar da passagem da situação inicial à situação final ser um caminhar repleto
de idas e vindas, os procedimentos anteriormente elencados podem ser organizados em
algumas fases, como o fazem Almeida, Silva e Vertuan (2012). Para os autores o
processo envolvido em uma atividade de modelagem pode ser descrito em quatro fases:
inteiração – que envolve a escolha e familiarização com o tema, bem como a busca por
informações; matematização – referente ao uso de linguagem matemática para
interpretar o problema; resolução – fase em que os conteúdos matemáticos entram em
jogo e a linguagem matemática é utilizada na produção de um modelo matemático para
a situação; e interpretação de resultados e validação – cujos resultados obtidos por meio
do modelo são avaliados e obtêm-se uma solução para o problema.
Nesse sentido, a matemática é utilizada para lidar com situações, como meio de
argumentação e tomada de decisão (BARBOSA, 2003).
“Como a matemática tem uma linguagem e um modo de pensar próprios, temos,
também, como objetivo, auxiliar levar os alunos ao entendimento desta linguagem e à
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aplicação do raciocínio matemático na resolução de situações-problema
contextualizadas” (ROSA; OREY, 2012, p. 272-273). Desse modo, uma das
possibilidades da modelagem matemática está associada ao uso de argumentações, bem
como aos usos da linguagem e seu entendimento por meio de situações
contextualizadas.
Segundo Bassanezi (1999, p. 11) “a consistência de uma teoria ou sua própria
validação depende, em grande parte, de interpretação/explicação em linguagem
matemática”. Uma linguagem que envolve uma sintaxe e uma semântica próprias,
regulamentadas pelo uso de regras que, segundo Levy e Santo (2011), faz da
matemática um complexo sistema de rigor e sistematização. É o uso de tais regras que
assegura à modelagem matemática a possibilidade de usar a matemática e sua
linguagem para lidar com temas da realidade.
Ao abordar os termos realidade, matemática e modelagem matemática, Souza
(2012, p. 105) aponta que:
Outro entendimento possível a respeito da não identidade entre a
matemática e a realidade, pode ser delineado a partir de uma
compreensão de matemática como normativa. Nessa direção, abordar
matematicamente uma situação-problema real poderia ser concebida
como uma maneira de lidar e de organizar essas situações. Em
modelagem, as palavras presentes nas situações-problema de natureza
empírica são usadas com base nas regras referentes ao sistema
matemático escolar. Podemos dizer que a aprendizagem matemática
dos alunos na modelagem compreende a atribuição de usos peculiares
ao sistema matemático escolar às palavras presentes nas diversas
situações-problema de natureza empírica.
Tendo em vista essas considerações, olhamos, neste artigo, para uma atividade
de modelagem matemática, cujas análises são orientadas pelos pressupostos da filosofia
da linguagem, sob uma perspectiva wittgensteiniana.
Linguagem e Regras: um olhar a partir da filosofia
Ao abordar linguagem e regras, logo pensamos no significado de tais palavras.
No dicionário, a acepção do termo linguagem está associada, de modo geral, à
comunicação e o termo regra remete à regulamentação (HOUAISS, 2009). Neste texto,
estamos alinhados com a perspectiva de linguagem assumida pelo filosofo Ludwig
Wittgenstein em que “o filósofo instiga os leitores a analisar os usos que atribuímos às
palavras, a fim de compreender a sua significação. Ele também nos sugere conceber a
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linguagem como uma atividade regida por regras” (SOUZA, 2012, p. 17). Assim,
consideramos que a linguagem não deve ser analisada com expectativas de defini-la, de
buscar uma concepção última para o que chamamos de linguagem, mas com vistas a
compreender seu funcionamento, seus usos, suas regras, nos diferentes contextos e
práticas. Desse modo nos preocupamos com o modo como a linguagem acontece em
situações de ensino e aprendizagem de matemática, bem como com os usos que são
feitos da linguagem, em particular, da linguagem matemática em atividades de
modelagem matemática. Nesse contexto, emergem as regras associadas ao uso da
linguagem matemática, regras essas que regulamentam esse uso e cujo entendimento
faz-se importante para construção de conhecimentos.
Nesse sentido, os escritos de Wittgenstein têm muito a contribuir, uma vez que
sua filosofia é pautada em questões que envolvem a linguagem e o conhecimento
matemático. Para Wittgenstein a linguagem se fundamenta em jogos que dependem do
contexto envolvido, e estes são denominados jogos de linguagem (WITTGENSTEIN,
2013, p. 19, § 7).
Ao considerar os diversos modos como as palavras são utilizadas nos diferentes
contextos é possível dizer que o significado de cada palavra se constrói a partir de suas
aplicações nas diferentes situações que se relacionam por meio do que Wittgenstein
denomina semelhanças de família. Assim, não há uma essência comum a todas as
aplicações da palavra, mas apenas “uma rede complicada de semelhanças que se
envolvem e se entrecruzam. Semelhanças em grande e em pequena escala”
(WITTGENSTEIN, 2013, p. 52, § 66).
Em cada contexto, as formas de vida é que determinam os usos da linguagem. A
expressão formas de vida utilizada por Wittgenstein serve para designar os nossos
modos comuns de agir – os hábitos, costumes, ações e instituições – que fundamentam
as atividades em geral, envolvidas com a linguagem. Algumas dessas ações empíricas
se cristalizam na forma de regras e passam a traçar os limites do que faz e não faz
sentido (GOTTSCHALK, 2008).
As regras, segundo Wittgenstein (2013, p. 61-62, § 85), estão aí como:
uma placa de orientação [...]. Posso dizer, portanto, que a placa de
orientação não deixa nenhuma dúvida em aberto. Ou antes: algumas
vezes ela deixa uma dúvida em aberto, outras vezes não. E isso já não
é mais uma proposição filosófica, mas uma proposição empírica.
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No âmbito da matemática, as proposições são normas ou princípios de juízo de
como os sujeitos devem proceder ao lidar com determinadas situações. Para Souza
(2012, p. 32):
[...] as regras, mesmo possuindo a aparência de serem anteriores em
relação ao uso da linguagem, elas são consideradas orientadoras,
normas de direção. Elas não ditam como as palavras devem ser
usadas, garantindo o seu uso correto, apenas sugerem quais usos
podem ser assim considerados.
Tanto as proposições como as regras só fazem sentido se utilizadas dentro das
formas de vida, e em determinado jogo de linguagem. A atuação do sujeito se dá de
acordo com as regras que são estabelecidas, desse modo as regras têm o poder de alterar
o contexto e ao mesmo tempo o contexto tem o poder de alterar as regras que serão
utilizadas. Nesse sentido, os significados são encontrados nos usos que o sujeito faz das
proposições.
Mas, seguir uma regra em um contexto e alterá-la para outro contexto pode
confundir o sujeito, particularmente, em situações de ensino e aprendizagem de
matemática em que para aprender a regulamentação da matemática é necessário se
apropriar das regras que a regulamentam. Um dos problemas, associados às regras
matemáticas, colocados por Silveira (2008, p. 95) é que as regras são especificas de
cada contexto e “esse fato mostra ao professor que a regra que ele ensina pode ter um
sentido diferente para o aluno e a regra compreendida num contexto pode ser
compreendida diferentemente em outro contexto”.
Nesse sentido, são os usos das regras que podem ser alterados, dependendo do
contexto em questão. Wittgenstein (2013) aborda os jogos de linguagem que se definem
como parte de nossas formas de vida e consistem de linguagem e das atividades com as
quais estão entrelaçadas.
Gottschalk (2004) refere-se aos jogos de linguagem como os meios para que os
significados sejam entendidos e ampliados. Ainda segundo a autora, “aprender o
significado de uma palavra pode consistir na aquisição de uma regra, ou um conjunto de
regras, que governa seu uso dentro de um ou mais jogos de linguagem”
(GOTTSCHALK, 2004, p. 321). Entendemos que a utilização correta dessas regras
pode elucidar, em contextos educacionais, se os alunos compreendem ou não
determinados conceitos matemáticos. Podemos considerar a Matemática como um
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conjunto de regras a serem seguidas e, portanto, como um jogo de linguagem em que
diversos outros jogos de linguagem podem emergir ao considerar diferentes conceitos,
diferentes objetos e, portanto, diferentes contextos. Segundo Lacerda e Silveira (2013,
p. 79):
Nas aulas de matemática, a explicitação das regras matemáticas pelo
professor mostra aos alunos, por meio de jogos de linguagem, como
devemos seguir corretamente tais regras, utilizando exemplos por
meio de signos escritos. O jogo de linguagem esclarece o significado
da palavra e da regra no uso, ou seja, que jogando aprendemos a jogar
e que só jogamos os jogos se tivermos a oportunidade de praticá-los.
No ensino e na aprendizagem, a linguagem é condição primordial para que
significados e relações com os objetos matemáticos sejam construídos, seja para
comunicar algo para os outros, seja para organizar o próprio pensamento.
Considerando o fazer modelagem matemática, bem como os usos da linguagem,
em particular, das regras que são utilizadas no âmbito de atividades de modelagem,
analisa-se, neste artigo, uma atividade de modelagem matemática desenvolvida por
alunos no contexto do ensino superior.
Aspectos metodológicos
A pesquisa abordada neste artigo foi desenvolvida em uma turma do segundo
ano do curso de Licenciatura em Matemática. A pesquisa conta com um corpus de
dados provenientes do trabalho de quatorze alunos com atividades de modelagem
matemática, dos quais dois disponibilizaram os dados que analisamos neste texto.
A coleta de dados aconteceu no âmbito de uma disciplina de modelagem
matemática, de modo que durante a disciplina os alunos tiveram contato com essa
alternativa pedagógica, com atividades provenientes da literatura, bem como foram
responsáveis pelo desenvolvimento de atividades de modelagem matemática desde a
escolha do tema até a validação e interpretação do modelo obtido.
Os dados foram coletados por meio de observações diretas dos alunos, registros
escritos, questionários, registros em áudio e vídeo, bem como por meio das anotações,
feitas por um dos pesquisadores, em diário de campo. A coleta de dados e os
instrumentos para coleta adotados apoiam-se na pesquisa empírico-analítica, de modo
que a partir dos dados empíricos seja possível encontrar padrões na manifestação da
linguagem dos alunos no desenvolvimento de atividades de modelagem matemática.
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Desse modo, considerando as características dos dados, bem como os
procedimentos de análise adotados para esse artigo, fazemos uma abordagem qualitativa
e, a partir da descrição dos dados coletados, esses são analisados à luz da modelagem
matemática e da filosofia da linguagem de Ludwig Wittgenstein.
A análise contempla observações filosóficas sobre a questão de pesquisa: como
os alunos trabalham com as regras matemáticas em atividades de modelagem
matemática?
A atividade de modelagem: os usos da linguagem e as regras matemáticas
A atividade de modelagem matemática denominada “Desflorestamento da
Amazônia legal” foi desenvolvida por uma dupla de alunas, e conta com uma
introdução (Quadro 1), coleta de dados, organização dos dados em tabelas e gráficos, e
o desenvolvimento de métodos e técnicas matemáticas para obtenção de um modelo
matemático de modo a possibilitar a interpretação e validação do modelo com vistas à
situação-problema inicial, conforme indicam Almeida, Silva e Vertuan (2012).
Quadro 1: Introdução da atividade desenvolvida
Introdução
Autossuficientes, as árvores retiram o CO2, limpando e purificando o ar que respiramos,
além de fornecerem um sombreamento capaz de livrar-nos de doenças como insolação, câncer,
queimaduras solares, etc. e dar-nos frutos, flores, sementes, fibras, madeiras, látex, resinas e
pigmentos, por conseguinte, embelezando naturalmente o nosso cotidiano.
Sendo árvores tão preciosas, decidimos trabalhar com elas em nosso trabalho,
modelando o desflorestamento no Brasil, especificamente da Amazônia Legal que mede cerca
5,2 milhões de quilômetros quadrados e se encontra nos estados do Amazonas, Pará, Mato
Grosso, Acre, Rondônia, Roraima, Amapá, Tocantins e Maranhão. Fonte: registros escritos das alunas
De acordo com as informações contidas no Quadro 1 e com os registros em
áudio e vídeo é possível destacar o problema estudado pelas alunas como: é possível
extinguir o desmatamento?
Após a introdução da situação-problema as alunas apresentaram os dados, bem
como a fonte de coleta. Os dados foram coletados por meio do INPE (Instituto Nacional
de Pesquisas Espaciais) que, desde 1988, produz as Taxas Anuais do desflorestamento
da Amazônia Legal, por meio do programa PRODES (Programa de Cálculo do
Desflorestamento da Amazônia). A partir do ano de 2002, essas estimativas são
produzidas por classificação digital de imagens do satélite LANDSAT seguindo a
Metodologia Prodes. Com base nos desflorestamentos identificados em cada imagem,
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as taxas anualizadas são estimadas para a data de 1º de agosto do ano de referência. Os
dados podem ser vistos no Quadro 2.
Quadro 2: Desflorestamento da Amazônia Legal
Fonte: Registros escritos das alunas
Para obter um modelo que se ajustasse aos dados do desflorestamento na
Amazônia legal foi feito um gráfico de dispersão dos dados.
Envolvidas com os dados da situação-
problema, as alunas deram sequência ao
desenvolvimento da atividade sem definir as
variáveis em estudo, ou seja, tempo e número
de desflorestamento da Amazônia Legal (em
km2) no decorrer do tempo. A sequência se
dá pela interpretação dos dados por meio de
um gráfico de dispersão (Figura 1).
Figura 1: Gráfico de dispersão dos dados
referentes ao desflorestamento da
Amazônia Legal.
Fonte: Registros escritos das alunas
Ao analisar a dispersão dos dados por meio do auxílio de um software as alunas
informaram que:
O que o torna assim, próximo de uma função polinomial é o ano de 2008, em que se
intensificaram as queimadas, limpeza de pastos, preparo de plantios, desmatamentos,
disputas fundiárias, vandalismo, colheita manual de cana-de-açúcar, etc., vendo estes
resultados o governo implanta medidas para sanar e controlar como fiscalização das
fazendas, recadastramento de imóveis rurais e reforço da polícia federal nas regiões
afetadas. Logo, decidimos retirar o ponto de 2008.
Registros escritos das alunas.
O gráfico de dispersão conduz as alunas a um ajuste polinomial para os dados.
Mas, se o software indicava o ajuste polinomial, porque não utilizá-lo? A utilização
„cega‟ do ajuste polinomial indicado pelo software seria a utilização de uma regra, nesse
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caso, fora de contexto. Mas, é o contexto que determina a utilização da regra
(SILVEIRA, 2008) e, no contexto do desflorestamento da Amazônia legal, o que faz
sentido é a consideração de um ajuste exponencial, visto que os dados de
desflorestamento decrescem de acordo com o tempo, mas não chegarão a zero, ponto
também discutido pelas alunas sobre o fenômeno. Nesse momento, observa-se que as
alunas estão jogando o jogo de linguagem da modelagem matemática no que tange à
interpretação dos dados da realidade por meio da linguagem matemática. E, é no uso da
linguagem que se altera a „placa de orientação‟ indicada pelo software.
Analisando os fatos ocorridos no ponto em questão as alunas fazem uma
simplificação nos dados que as levam a um novo gráfico de dispersão e à busca por um
decaimento exponencial para o desflorestamento da Amazônia Legal.
O desenvolvimento do modelo exponencial para os dados coletados foi feito
pelo método dos mínimos quadrados (Quadro 3).
Quadro 3: Desenvolvimento do modelo matemático
Baseados na função , onde A e B são as constantes da função de ajuste exponencial
iniciamos (tabela 1): Tabela 1
x y x² x.y x. ln y Lny
0 27772 0 0 0 10,2317836
1 19014 1 19014 9,852930829 9,852930829
2 14286 4 28572 19,13407063 9,567035316
3 11651 9 34953 28,08944188 9,363147292
4 7464 16 29856 35,67138697 8,917846743
5 7000 25 35000 44,26832714 8,853665428
6 6418 36 38508 52,60117093 8,766861822
7 4571 49 31997 58,99241095 8,427487278
28 98176 140 217900 248,6097393 73,98075831
Onde:
{ ∑
∑ ∑
∑ ∑
(1) e (2)
Logo, substituindo com os valores da tabela 2:
(1)
B28+A8=73,98075831 (2)
Multiplicando (2) por 5:
(1)
(2)
Subtraindo (1) e (2):
(3)
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Substituindo (3) em (2):
Aplicando-se ln em (3):
(4)
Encontraremos o modelo:
Fonte: Registros escritos das alunas
O Quadro 3 aborda o desenvolvimento do modelo matemático feito pelas alunas.
Com base nos registros do Quadro 3 e na fala das alunas: “Então nós vamos, agora,
fazer os cálculos para obter o modelo. Usamos a linearização, aqui estão os cálculos
para substituir na fórmula [...]” (Tabela 1), é possível inferir que elas utilizaram o
método dos mínimos quadrados para ajuste de uma função linear.
No âmbito da matemática a linearização da função exponencial ( ) é
dada por . É possível fazer um ajuste linear para , de
modo a obter os parâmetros da função ( ) , no entanto, a reta ajustada pelo
método dos mínimos quadrados não contém os mesmos parâmetros da função
exponencial, visto que é preciso identificar que o parâmetro obtido no ajuste da reta não
representa o parâmetro A da função exponencial, mas sim , isso remete à utilização
das regras relacionadas a logaritmos e exponenciais. No desenvolvimento dos cálculos
as alunas cometeram erros associados às regras matemáticas aplicadas e não obtiveram
os parâmetros corretos do modelo. Para obtenção do parâmetro A, associado à função
exponencial correspondente, é preciso obter um valor a partir do valor
=10,10783769, obtido com o ajuste pelo método dos mínimos quadrados. Esse valor
é obtido por meio da definição de logaritmo, ou seja, como , então
.
A aplicação incorreta de uma regra matemática provoca um erro no modelo.
Para Wittgenstein (2013), a regra atua como uma placa de orientação e regulamenta a
utilização de um jogo de linguagem. A utilização incorreta das regras matemáticas, na
obtenção do modelo, provoca um erro de construção. O jogo de linguagem utilizado
nesse momento diz respeito à matemática, aos procedimentos e regras da matemática
que são utilizados incorretamente, mas é no âmbito dos dados da situação-problema que
esse erro é notado e faz-se a busca por sua correção (Tabela 2 e Figura 2).
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Tabela 2
x y Validação 1 Validação 2
0 27772 2,313311132 23133,11132
1 19014 1,809220707 18092,20707
2 14286 1,414975928 14149,75928
3 11651 1,106640483 11066,40483
4 7464 0,865493987 8654,939874
5 7000 0,676895391 6768,953911
6 6418 0,529394054 5293,940537
7 4571 0,414034529 4140,345286
Figura 2
Na busca por um novo resultado que contemple a resposta para a situação-
problema em estudo as alunas realizam uma nova validação (Gráfico – validação 2)
observando:
Apesar do modelo não ter dado certo corretamente nas casas decimais, fizemos um
ajuste a “olhômetro” delas para validar, a previsão que pode ser feita através dele se
compara aos dados encontrados na mídia, logo se aproxima do ano de 2040 a redução
encontrada do desflorestamento.
Mas, não podemos dizer que próximo de 2040 não existirá desmatamento, temos de
levar em conta a consciência do homem, que tem o poder de mudar o sinal desta função
exponencial com suas atitudes mediante a natureza.
Registros escritos das alunas.
De acordo com os dados da Tabela 2 (Validação 1) e considerando a fala das
alunas, constatamos que o modelo matemático produzido pelo grupo
( ) não se ajusta corretamente aos dados da situação-
problema real. O grupo percebe que o modelo não está adequado, mas não consegue
corrigir a aplicação das regras matemáticas para obter os parâmetros do modelo
matemático. Note que há uma adequação da regra matemática, indicada nos registros
das alunas como feita a “olhômetro” (as alunas alteram os valores obtidos com o
modelo, Tabela 2 – Validação 1, multiplicando-os por 10.000 e obtém valores mais
próximos dos reais, Tabela 2 – Validação 2). No entanto, a experiência não altera as
regras matemáticas, visto que a inadequação do modelo obtido se deve ao uso incorreto
de determinadas regras matemáticas.
Nesse sentido, vale lembrar que na matemática, conforme salienta Gottschalk
(2008, p. 79), as proposições devem ser seguidas “sem correr perigo de entrar em
conflito com a experiência”, pois tem uma função normativa, e não descritiva. Desse
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modo, ao mesmo tempo em que as proposições organizam a experiência empírica, a
própria experiência serve de orientação para a (re)organização das proposições
utilizadas pelas alunas, como no caso do desenvolvimento desta atividade. Aqui, regras
e experiência ditam os padrões de correção. No desenvolvimento da atividade, as alunas
corrigem o erro no âmbito do que faz sentido dentro do problema proposto, visto que a
aplicação do logaritmo no valor encontrado não valida os dados empíricos.
Durante a apresentação da atividade, cientes do erro, as alunas refazem o
caminho percorrido na atividade de modelagem para a obtenção de um novo modelo,
condizente com o jogo de linguagem da matemática, e cientes do uso correto da regra
matemática para obtenção do parâmetro A para o modelo ( ) , por meio do
procedimento matemático , as alunas obtém
o modelo ( ) e apresentam uma nova validação (tabela
3).
Tabela 3
x Y Validação 1
0 27772 24534,55
1 19014 19188,26
2 14286 15006,97
3 11651 11736,83
4 7464 9179,27
5 7000 7179,03
6 6418 5614,66
7 4571 4391,17
Nesse contexto, elas (re)organizam sua experiência com a matemática trabalhada
no desenvolvimento da atividade de modelagem matemática.
Finalizando: sobre o uso da linguagem e das regras matemáticas na prática da
modelagem
O uso de regras é intrínseco às nossas práticas diárias, seja na confecção de um
bolo, ao seguir uma receita, no processo de produção de uma fábrica, ao realizar uma
ligação, ao jogar um jogo, seja na realização de cálculos matemáticos.
O pensar matematicamente é uma atividade permeada por regras, que
regulamentam e dão sentido aos usos que fazemos da linguagem matemática. Essas
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regras devem ser aprendidas para que professores, alunos e profissionais possam se
comunicar sem barreiras.
Segundo Wittgenstein, o aprendizado dessas regras só faz sentido dentro de uma
prática, de uma forma de vida, em um jogo de linguagem. E é nesse jogo, que a
linguagem ganha sentido. Ou seja, é usando a linguagem que se aprende a usá-la.
No que se refere à modelagem matemática existem características a se
considerar na situação-problema, as quais devem ser levadas em conta na hora de
escolher que matemática utilizar. No caso da atividade relatada, por exemplo, as alunas
observaram que os dados aproximavam-se de uma curva exponencial e buscaram
artifícios matemáticos para fazer tal ajuste. Ao optarem pelo método dos mínimos
quadrados, um conjunto de regras orienta a obtenção do modelo matemático e
determina o uso da linguagem para expressá-lo.
É na aplicação destas regras que as alunas cometem um erro, e é na análise do
modelo matemático obtido que elas percebem o erro no ajuste e regulam esse erro, de
modo a validar o modelo matemático em relação aos dados observados empiricamente,
fazendo as adequações necessárias na interpretação dos resultados obtidos por meio
dele.
Dessa maneira, na atividade de modelagem as regras matemáticas normatizam e
regulamentam os procedimentos das alunas para obtenção do modelo matemático.
Aplicar regras, no entanto, envolve saber qual regra é apropriada para determinada
situação, respeitando-se o contexto; e, se usadas de maneira coerente, pode levar a
construção de novos conhecimentos. Durante o desenvolvimento da atividade, as alunas
utilizaram seus conhecimentos prévios e construíram novos conhecimentos, de modo
que o trabalho com a modelagem proporcionou a aplicação de regras matemáticas que
já faziam parte de sua estrutura de conhecimentos, bem como a aplicação e correção de
regras matemáticas que se tornaram passíveis de significação.
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