INTRODUÇÃO A MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO …felix/MSPQ.pdf · INTRODUÇÃO A MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS ETAPAS ENVOLVIDAS NA SIMULAÇÃO MATEMÁTICA

INTRODUÇÃO A MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS

INTRODUÇÃO A MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO DE PROCESSOSETAPAS ENVOLVIDAS NA SIMULAÇÃO MATEMÁTICA

PROCESSO: unidades ou arranjo de unidades integradas entre si de maneira racional e sistemática (reatores, trocadores de calor, colunas de destilação, racional e sistemática (reatores, trocadores de calor, colunas de destilação, colunas de absorção, evaporadores, tanques de aquecimento, tanques de mistura, etc).

ANÁLISE: corresponde ao desenvolvimento do modelo matemático através da aplicação dos princípios de conservação de massa, energia e quantidade de movimento, da formulação de hipóteses simplificadoras, condições iniciais e condições de contorno.

MODELO: conjunto das equações representativas do processo.

INFORMAÇÕES NECESSÁRIAS: valores dos coeficientes (parâmetros) das equações.

TÉCNICAS DE SOLUÇÃO: métodos numéricos utilizados para a resolução das equações.

CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS MATEMÁTICOS MODELOS FENOMENOLÓGICOS: são modelos que buscam descrever os fenômenos principais envolvidos no processo usando-se, para isso, os princípios básicos de conservação de massa, energia e quantidade de movimento, equações constitutivas, condições iniciais e de contorno. MODELOS EMPÍRICOS: o processo é visto como uma “caixa-preta”, desconhecendo-se totalmente os mecanismos de causa/efeito entre as variáveis independentes (x) e as variáveis dependentes (y) do processo. As variáveisdependentes são correlacionadas empiricamente com as independentes através das chamadas funç~ioes de transferência: f(x).


MODELOS EMPÍRICOS: o processo é visto como uma “caixa-preta”,desconhecendo-se totalmente os mecanismos de causa/efeito entre as variáveisindependentes (x) e as variáveis dependentes (y) do processo. As variáveisdependentes são correlacionadas empiricamente com as independentes atravésdas chamadas funções de transferência: f(x).das chamadas funç~ioes de transferência: f(x).

y=f(x) Funções de transferência usuais: - modelos polinomiais; - modelos exponenciais; - modelos de redes neurais.

das chamadas funções de transferência: f(x).

CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS FENOMENOLÓGICOS a) segundo a natureza das variáveis: - modelos determinísticos: são aqueles em que cada variável ou parâmetro pode ser associado a um número fixo definido. A sua solução fornece valores exatos para a variável de resposta. - modelos estocásticos: os modelos estocásticos são utilizados para fornecer a probabilidade de um determinado valor ocorrer para uma variável. A solução desses modelos é uma probabilidade e não um valor exato.


desses modelos é uma probabilidade e não um valor exato. b) segundo a dependência com a variável tempo: - modelos de estado estacionário: não há termo de acúmulo, isto é, não há variação com o tempo. Normalmente utilizados para o projeto de operações unitárias, as quais são normalmente realizadas em estado estacionário. - modelos de estado dinâmico: nesses modelos há variação com o tempo, normalmente utilizados em controle de processos. c) segundo a natureza das equações resultantes: - modelos representados por equações algébricas; - modelos representados por equações diferenciais ordinárias; - modelos representados por equações diferenciais parciais.

INTRODUÇÃO AO SCILAB

O scilab é um software gratuito que pode ser obtido no site: www.scilab.org Abra o scilab


Irá aparecer a janela principal do scilab, na qual os programas computacionais são rodados.


Manipulação de diretório: - É importante a janela na qual o scilab faz os cálculos estar no mesmo diretório dos programas a serem executados.


Abra a sua pasta de trabalho.


Na janela principal do scilab são realizados os cálculos. 1) Verifique algumas funções: 1+2 pi %pi cos(%pi) sin(%pi/2) sin(%pi) cos(%pi/2) sin(%pi)/cos(%pi/2) tan(%pi/2) exp(1) log(10) log(exp(5)) log10(100) 5^2 5*2 5/2 2-5

INTRODUÇÃO AO SCILAB1) Definindo constantes: a=1 A=5 b=2 a*A a/(A+b) log(10^A) log10(10^A) 2) Utilizando a ajuda do scilab Verifique como utilizar a função poly do scilab -Abra o Help Browser clique na lupa, digite poly e dê enter -Abra o Help Browser clique na lupa, digite poly e dê enter

INTRODUÇÃO AO SCILAB1) Criando um polinômio p=5+4x^2-3x^4+x^5 p=poly([5 0 4 0 –3 1],"x","coeff") calcular as raizes do polinômio roots(p5) 2) Calculando o valor de y para z=f(x,y) em uma função (utilizando o editor de texto) z=f(x,y)=sen(x)/cos(y) Obs: tenho que fornecer um valor de x e um de y para calcular z a) criando a função a) criando a função - abra o editor de texto do scilab (clique em editor) - digite o comando: function zcalc(x,y) “aqui você criará a função e diz para o

programa principal fornecer x e y”; - escreva a função: z=sin(x)/cos(y); “o programa calcula z não esquecer do ; no final ” - manda imprimir o valor de z no programa principal do scilab: print(%io(2),z); - mande retornar o valor de z ao programa: z=return[z]; - salve o programa com o nome zcalc.sci no seu diretório de trabalho - retorne a janela principal do scilab - chame o programa que você criou: getf(‘zcalc.sci’) - forneça os valores de x=%pi/2 e y=0: zcalc(%pi/2,0) “valor esperado=1” - de enter “valor esperado=1” - faça zcalc(0,%pi/2) “valor esperado 0/0=indeterminação” - faça zcalc(%pi/2,%pi/2) “valor esperado 1/0=infinito”


b) alguns comandos lógicos (em caso de dúvidas utilize o help do scilab) - comando if (se), faz um teste lógico (= = igual, ~= diferente, > maior que, > = maior ou igual que, < menor que, <= menor ou igual que, & (e), | (ou) ,then (faça se verdadeiro), else (se falso), end (fim) ; - while (faça enquanto) teste lógico for verdadeiro, end; - for (para) i=a:passo:b (i variando de a até b com o passo) “poderia ser também i=a:b (i variando de a até b com o passo igual a 1)” end; - abra o seu programa zcalc “function zcalc(x,y) z=sin(x)/cos(y); print(%io(2),z)” antes de calcular o valor de z, faremos os testes com os valores de sin(x) e cos(y) antes de calcular o valor de z, faremos os testes com os valores de sin(x) e cos(y) se sin(x) e cos(y) forem iguais a zero deve imprimir “indeterminação 0/0” se sin(x) for diferente de zero e cos(y) for igual a zero imprimir “infinito” se cos(x) for diferente de zero imprimir “z=sin(x)/cos(y)=”

1) Trabalhando com vetores e matrizes Os argumentos da matriz devem ser colocados entre colchetes [ ] As linhas são separadas por ponto e vírgula (;) As colunas são separadas por vírgula (,) ou espaço Na janela principal do scilab digite: A=[11 12;21 22;31 32] B=[11 12 13;21 22 23] A*B B*A B*B A*(A*B) B*(A*B)


B*(A*B) A*(A*B) B*(B*A) Matriz transposta A' Matriz inversa C=B*A inv(C) C^(-1) 1/C C*inv(C) C/C C*C^(-1) C^(-1)/C

Dimensões (size), máximos (max), mínimos (min) e módulo (abs) size(A) size(A,1) size(A,2) [m,k]=max(A) [n,j]=min(A) o=min(inv(C)) O=min(abs(inv(c)) Adicionando linhas e colunas a uma matriz: Ex:


Ex: D=[13;23;33] A E=[A D] E=[E;D']

Plotando Gráficos Utilizar sempre vetores Criando os vetores (matrizes com uma coluna) x=-1:0.1:1 x= x' y=x z=x^2 w=x^3


plotagem simples plot2d(x,y) plotando gráfico em outra janela scf(1) plot2d(x,z)

plotando vários gráficos e adicionando legendas scf(2) plot2d(x,[y,z,w]) legends(["y","z","w"],[1,2,3]) plotando curvas e pontos scf(3) plot2d(x,[y,z,w],[-1,1,-2]) legends(["y","z","w"],[-1,1,-2])


PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

ELIMI�AÇÃO GAUSSIA�A Considere o seguinte sistema de equações: -x1+3x2+5x3+2x4=10 x1+9x2+8x3+4x4=15 x2+x4=2 2x1+x2+x3-x4=-3 No scilab: x=linsolve([-1 3 5 2;1 9 8 4;0 1 0 1;2 1 1 -1],[-10;-15;-2;3]) Resposta: x = - 1. 3.672D-16 1. 2.


ELIMI�AÇÃO GAUSSIA�A Considere o seguinte sistema de equações: -x1+3x2+5x3+2x4=10 x1+9x2+8x3+4x4=15 x2+x4=2 2x1+x2+x3-x4=-3 No scilab: x=linsolve([-1 3 5 2;1 9 8 4;0 1 0 1;2 1 1 -1],[-10;-15;-2;3]) Resposta: x = - 1. 3.672D-16 1. 2.

PROCESSO CONTÍNUO DE EXTRAÇÃO Anilina é removida da água através de uma operação de extração utilizando tolueno como solvente. O processo é realizado em uma torre com 10 estágios em contracorrente, conforme esquematizado na figura. A reação de equilíbrio válida para cada estágio é:

9==i

i

X

Ym

Onde: Yi = (lb de anilina na fase orgânica)/(lb de tolueno na fase orgânica);

Água com anilina: W=100 lb/h 0,05 lb de aninina/lb de água

Extrato: Tolueno rico em anilina

1, X1, Y1

2, X2, Y2

3, X3, Y3

4, X4, Y4


orgânica); Xi= (lb de anilina na fase aquosa)/ (lb de água na fase aquosa); a) Realize os balanços de massa em cada estágio da torre e combine as equações de balanço com as de equilíbrio a fim de se obter um sistema com 10 equações. b) Resolva o sistema de equações e simule a concentração em cada fase de cada estágio da torre ( valores de Xi e Yi ). c) Analise, comente os resultados obtidos e faça uma verificação da validade do resultado obtido realizando o balanço material considerando como volume de controle toda a torre.

Tolueno reciclado: F = 13 lb/h 0,003 lb de anilina/lb de tolueno

Água com baixa concentração de anilina.

5, X5, Y5

6, X6, Y6

7, X7, Y7

8, X8, Y8

9, X9, Y9

10, X10, Y10 Tolueno puro: S = 10 lb/h

PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES NÃO LINEARES

Métodos numéricos:

-Equação não linear: Método de Newton-Raphson, Bisseção, entre outros.-Sistema de equações não lineares: Método de Newton-Raphson multivariado.

Método de Newton Raphson:

-Método iterativo;-Necessita de estimativa(s) inicial(is) do(s) parâmetros;-Necessita da derivada ou da matriz jacobiana da(s) função(ões) com relação aos parâmetros a serem estimados.parâmetros a serem estimados.-Função fsolve do scilab (ver a ajuda do scilab).


Exemplo: Solução da equação de Colebrook.

Desenvolva um programa computacional para calcular o fator de atrito em função darugosidade relativa (e/D) e do número de Reynolds (Re) utilizando a equação deColebrook:

a) Apresente uma forma a ser utilizada para a obtenção da estimativa inicial;b) Calcule o fator de atrito para e/D=10-4 e Re=105. Compare o valor estimado com o

obtido ao se utilizar o diagrama de Moody.

+−=

fD

e

f Re

51,2

7,3ln86,0

1

obtido ao se utilizar o diagrama de Moody.c) Plote um gráfico de f em função de Re para tubos lisos, e/D=10-4, e/D=10-3 e

e/D=10-2. Compare com as curvas apresentadas no diagrama de Moody.


PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES

Exemplo: Projeto de reatores contínuos em série

Considere o projeto de um conjunto de reatores contínuos em série que será utilizadona conversão A+B�C+D, para a qual a constante de velocidade é k. A cinética é desegunda ordem com relação a concentração de A (a):rA=ka2

Considere que o projeto prevê a utilização de n reatores com um determinado volume V.Os reatores serão operados a volume constante, com uma taxa de alimentação F deuma solução contendo iguais concentrações de A e B na entrada do conjunto deCSTRs. Considere a0 a concentração de A na entrada do primeiro reator e a1, a2, ..., anCSTRs. Considere a0 a concentração de A na entrada do primeiro reator e a1, a2, ..., anas concentrações na saída do primeiro, segundo, ..., enésimo reator, respectivamente.

A etapa do projeto que coube a você, como engenheiro, é justamente criar umametodologia ou um programa computacional capaz de calcular o volume dos reatores Vem função do número de reatores n, para ser utilizado em uma futura análise financeira.Além disso, para ter controle sobre o processo, o programa também deverá simular asconcentrações de A na saída de cada reator.

O projeto prevê uma conversão global de 80% (ou seja, an/a0=0,2) e as seguintescondições: k=0,075 L/(mol min), F=30L/min, a0=1,6 M. Para testar o programa simulepara n=1, 2, 5, 10, 30, 50, 70, 100.


Exemplo: Destilação flash para misturas multicomponentes

F moles por hora de uma mistura de n- componentes de gás-natural liquefeito sãoexpandidos em um tambor de flash a120 ºF e 1600 psia. O vapor e o líquido saem dotambor a taxas V e L (moles por hora), respectivamente. As frações molares doscomponentes em F, V e L são dados por zi, yi e xi (i=1,2,...,n), respectivamente.Assumindo as condições de equilíbrio líquido vapor e de operação em estadoestacionário, obtém-se:Balanço material global:F=L+VBalanço material por componente:Balanço material por componente:ziF=xiL+yiV (i=1,2,...,n)Relação de equilíbrio por componente:Ki=yi/xi (i=1,2,...,n)Onde Ki é a constante de equilíbrio para o componente i.Assumindo F=1000moles/h, calcule as frações molares na fase líquida (xi), na fasevapor (yi) e os fluxos na fase líquida L e vapor V.Sendo:Σxi=Σyi=1Pode-se calcular V e L utilizando-se a seguinte relação para o cálculo de V:Σ{zi(Ki-1)/[V(Ki-1)+F]}=0Obs: O cálculo de V e L antes de se resolver o sistema de equações é importante parafacilitar a convergência do método para as raízes corretas.


Dados:

PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

Métodos numéricos: Runge-Kutta, Adams, etc... No scilab: função ode � ver a ajuda do scilab Crescimento Microbiano em Biorreator Batelada Considere o crescimento de uma determinada bactéria em um biorreator batelada. Sendo a concentração inicial de microrganismos igual a X0 e a de substrato S0, se considerarmos que apenas um substrato limite o crescimento, que a quantidade de substrato consumida para a manutenção celular e para a formação de produtos seja insignificante, e que não haja inibição ao crescimento celular, a velocidade específica de crescimento celular (µx) pode ser descrita pelo modelo de Monod: µx=rx/X=µmáx*S/(ks+S) (1) onde: r =velocidade de crescimento celular (g/[Lh]); rx=velocidade de crescimento celular (g/[Lh]); X= concentração de bactérias (g/L); t=tempo (h); S=concentração de substrato (g/L); µmáx=velocidade específica máxima de crescimento (h-1); ks=concentração de substrato quando µx=µmáx/2 (g/L). A velocidade específica de consumo de substrato (µs) é dada por: µs=rs/X=(1/Yx/s) µx (2) onde: Yx/s= conversão de substrato em células; rs = velocidade de consumo de substrato (g/[Lh]); Considerando X0=0.5g/L; S0=50g/L; µmáx=0.5h

-1; ks=1g/L; Yx/s=0.5(g de células/grama de substrato), plote o gráfico das concentrações de substrato e células (X e S) no reator, em função do tempo, até que todo o substrato seja consumido.

PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

Simulação e otimização de reator em batelada: Considere que um reator industrial (em batelada) processe as seguintes reações:

k1 �D

A+B 2C k3 k2 k4� E Sendo inicialmente adicionados 1 kmol/m3 de A e 0,8 kmol/m3 de B, e considerando que a cinética das reações obedeça às seguinte equações: r1= k1*CA*CB r2= k2*CC

2 r3= k3*CC

2 r4=k4*CC

2 Considerando as constantes cinéticas em m3/(kmol*h) iguais a: k =10; k =1;k =5 e k =10. Considerando as constantes cinéticas em m3/(kmol*h) iguais a: k1=10; k2=1;k3=5 e k4=10. Para a otimização do processo, foi feita uma análise financeira. Nessa análise, obteve-se a seguinte relação entre custo (C em reais) e tempo de reação (em horas) no reator: C=100*et

Através de uma análise de mercado, obteve-se a seguinte expressão relacionando o preço de venda (PV em reais) em função da concentração do produto de interesse (no caso CE em kmol/m3) PV=1000*CE Portanto o lucro, é: L=PV-C=1000*CE-100*e

t a) plote as curvas CA, CB, CC, CD e CE em função do tempo(em horas) de reação até o final da reação. b) Estime o tempo economicamente ótimo de reação. c) Em qual intervalo de concentração de E você poderá atender ao cliente sem ter prejuízo? Justifique a sua resposta.

REGRESSÃO NÃO LINEAR

Métodos Numéricos: Newton, Gauss-Newton, Levenberg-Marquardt, entre outros.

No scilab: Função lsqrsolve (ver ajuda do scilab).

MODELAGEM E DETERMINAÇÃO DO TIPO DE INIBIÇÃO PARA REAÇÕES ENZIMÁTICAS Conceitos demonstrados: Correlação de dados de velocidade para uma reação enzimática utilizando a equação linearizada Correlação de dados de velocidade para uma reação enzimática utilizando a equação linearizada (Lineweaver-Burk) e modelos não lineares utilizando vários modos de inibição enzimática. Métodos numéricos utilizados: Regressão linear (função reglin do scilab) e regressão não linear pelo método de Levenberg Marquardt (função lsqrsolve do scilab).

Descrição do problema: Dados de velocidade para reações enzimáticas são determinados a partir da análise de resultados experimentais em um reator batelada para diferentes valores de concentração de enzimas [E0] e de substrato [S]. A equação de Michaelis-Menten é comumente empregada:

SK

SEk

SK

SVv

mm

m

+=

+=

]][[

][

][ 02


Onde os parâmetros k2 e Vm variam com a temperatura. Para se determinar os parâmetros k2 e Vm, usualmente, utiliza-se a equação na forma de Lineweaver-Burk, dado pela expressão:

][

111

SV

K

Vv m

m

m

+=

Algumas espécies químicas podem atuar como inibidores ligando-se aos sítios ativos da enzima reduzindo a velocidade da reação. Quatro modelos para vários tipos de inibição são apresentados na tabela, onde [I] representa a concentração de inibidor.


Tabela. Dados experimentais: [E0] g/L

T oC

[S] mol/L

[I] mol/L

v mol/(Lmin)

1,3 32 0,2 0 3,11 1,3 32 0,15 0 2,81 1,3 32 0,1 0 2,4 1,3 32 0,075 0 2,06 1,3 32 0,05 0 1,64 1,3 32 0,025 0 1,04 1,3 32 0,01 0 0,467 1,3 32 0,005 0 0,256 2,1 32 0,2 0,7 2,33 2,1 32 0,15 0,7 2,11 2,1 32 0,1 0,7 1,74 2,1 32 0,075 0,7 1,54 2,1 32 0,075 0,7 1,54 1,6 32 0,2 0,4 2,31 1,6 32 0,15 0,4 2,1 1,6 32 0,1 0,4 1,75 1,6 32 0,075 0,4 1,57 0,8 45 0,2 0 4,36 0,8 45 0,15 0 3,89 0,8 45 0,1 0 3,55 0,8 45 0,075 0 3,07 0,8 45 0,05 0 2,53 0,8 45 0,025 0 1,65 0,8 45 0,01 0 0,777 0,8 45 0,005 0 0,430

Material de apoio: Arquivo marq.sce

Ex. Considere o processo de produção de penicilina, onde o microrganismo Penicillium crysogenum cresce em um reator batelada em condições controladas. O crescimento do microrganismo pode ser modelado considerando o modelo logístico:

�� = �1�1 �1 − �1�2

onde y1 é a concentração de células expressa em % massa seca. A produção de penicilina é expressa pelo seguinte

��

�� seca. A produção de penicilina é expressa pelo seguinte modelo:

��2�� = �3�1 − �4�2

Onde y2 é a concentração de penicilina em unidades/mL. Os dados experimentais foram obtidos em réplicas conduzidas, essencialmente, de forma idêntica. Estime os parâmetros (bi) da equação e avalie os resultados obtidos na análise estatística.

t(h) y1 y2 y1 y2

0. 0.4 0. 0.18 0. 10. 0.4 0. 0.12 0. 22. 0.99 0.0089 0.48 0.0089 34. 1. 0.0732 1.46 0.0062 46. 0.95 0.1446 1.56 0.22661 58. 2. 0.523 1.73 0.4373 70. 2.52 0.6854 1.99 0.6943 82. 2.7 1.2566 2.62 1.2469 94. 3.09 1.6118 2.88 1.4315 94. 3.09 1.6118 2.88 1.4315 106. 3.5 1.8243 3.43 2.0402 118. 4.06 2.217 3.37 1.9278 130. 4.2 2.2758 3.92 2.1848 142. 4.48 2.8096 3.96 2.4204 154. 4.4 2.6846 3.58 2.4615 166. 4.25 2.8738 3.58 2.283 178. 4.3 2.8345 3.34 2.7078 190. 4.36 2.8828 3.47 2.6542

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