Modelagem Matemática Aplicada a Música-revisão_final

XVI Encontro de Modelagem Computacional

IV Encontro de Cincia e Tecnologia de Materiais III Encontro Regional de Matemtica Aplicada e Computacional Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC), Ilhus/BA, Brasil. 23-25 out. 2013.

MODELAGEM MATEMTICA APLICADA A MSICA

Rafael Santos Vieira [email protected]

Emerson de Sousa Costa- [email protected]

Centro Federal de Educao Tecnolgica de Minas Gerais, Campus V, Rua lvares de

Azevedo, 400,CEP 35503-822, Divinpolis, MG, Brasil

Resumo. A histria da matemtica, a fsica do som e a msica esto fortemente

interligadas. A matemtica est presente na ocorrncia natural das propores e

intervalos encontrados na msica e no modo com que as escalas musicais so

formadas. Neste artigo, vamos examinar a matemtica e a msica mais a fundo, e

relacion-las na questo das representaes de ondas sonoras de Fourier, e ver como

estas se relacionam com harmnicos e o timbre dos instrumentos.

Palavras-chave:Modelagem matemtica, Sries de fourier, Matemtica e msica,

Matemtica aplicada.

1. INTRODUO

A quem chegou a estudar matemtica ou msica, seja ele um estudo superficial

ou mais aprofundado, sabe que as duas possuem razes em comum. Porm, no do

conhecimento de todos os alunos de ambas o modo com que as duas matrias se

relacionam de maneira mais detalhada e cientfica. Este artigo busca explorar a relao

entre a matemtica e a msica, focando mais especificamente na anlise de Fourier. A

anlise de Fourier ferramenta de estudo dos harmnicos, que so a base para a

composio musical, e o timbre, ou cor tonal, caracterstica que define a origem

(instrumento) do som formado.

2. HISTRICO DA MATEMTICA E A MSICA

Os primeiros relatos de estudo entre a matemtica e a msica remontam a

Pitgoras, filsofo grego, por volta do sculo VI ac. Pitgoras acreditava que os

nmeros eram os verdadeiros regentes do universo, e com estudos com cordas vibrantes

descobriu a relao entre os nmeros e o som. Com as relaes entre as fraes de



diviso das cordas descobertas, Pitgoras descobriu as primeiras relaes entre os tons e

seus harmnicos, assim como tambm a escala pitagrica, que sero mostrados no

decorrer do texto.

A ideia bsica dos harmnicos que so tons que possuem frequncias que so

mltiplos inteiros de uma dada tonalidade inicial, ou como mais comum de ser dito, o

tom fundamental. Os harmnicos fundamentais juntos soam bem aos ouvidos, pois

possuem uma combinao natural de frequncias. Cada tom possui seus harmnicos

fundamentais, e com isso, sua srie harmnica. Quando por exemplo, um instrumento

toca uma nota, o som ouvido do instrumento a combinao do harmnico fundamental

e sua srie harmnica. Como resultado se obtm o som caracterstico do instrumento.

Aps as descobertas de Pitgoras, muitos outros exploraram a ideia mais a

fundo, em busca de uma definio mais detalhada sobre os harmnicos. Os dois

primeiros estudiosos que muito contriburam para isso foram os franceses Marin

Mersenne (1588-1648), Jean-Philippe Rameau (1683-1754). Mersenne foi um telogo,

filsofo, matemtico e terico da msica. Segundo fontes no oficiais, ele tambm

definiu os mesmos harmnicos que Pitgoras, e os chamou de filhos extraordinrios.

Ele definiu matematicamente os seis primeiros mltiplos inteiros da frequncia do tom

fundamental , 1/1 2/1, 3/1, 4/1, 5/1 e 6/1 (Foster, 2010). Mersenne tambm se dedicou

ao estudo de sistemas de afinao com base em harmnicos. Rameau somou

conhecimentos no entendimento de harmnicos consonantes e dissonantes (que soam de

maneira agradvel oudesagradvel aos ouvidos) e harmonias. Por ser um compositor e

terico de msica, escreveu no artigo, Treatiseon Harmony, publicado em 1720, uma

teoria de harmnicos baseada em sua experincia e bom ouvido, que identificou

diversos harmnicos soando ao mesmo tempo em que uma nota era tocada. Treatiseon

Harmonyde Rameau foi o ponto de partida para o incio de uma revoluo na teoria

musical. Outros msicos comearam a notar os tons harmnicos no som, e com isso

passaram a introduzir em suas composies, conhecimentos adquiridos a partir das

propores dos tons tocados.

No sculo 18, o clculo foi usado para discusses sobre cordas vibrantes. Brook

Taylor, o mesmo da srie de Taylor, encontrou uma equao diferencial que representa

as vibraes de uma corda com base nas condies iniciais, e uma funo seno como

uma soluo para esta equao (Archibald, 2006).Os matemticos suos Daniel

Bernoulli (1700-1782) e Leonhard Euler (1707-1783), e o fsico, filsofo e terico da

msica francs Jean-Baptiste DAlembert (1717-1783), eram os de maior destaque no debate entre a matemtica e a msica. Bernoulli e DAlembert estudaram os princpios que Jean-PhelippeRameau havia proposto. Bernoulli levou os resultados de Rameau em

conta em seu livro de memrias, entre 1741e 1743. E em 1752, DAlembert publicou Elements of theoretical and practical music according to the principals of Monsieur Rameau, clarified, developed, andsimplified (Elementos de teoria e prtica musical de acordo com Rameau). A equao da onda, Eq.(1), foi estudada e apresentada por

DAlembert, que a levou em conta para explicar as vibraes em cordas vibrantes.

(1)



Considerando a origem do sistema de coordenadas como sendo a extremidade da

corda e o eixo x a direo da corda, ento y o deslocamento no tempo t (Archibald,

2006).

Enquanto DAlembert assumiu que a equao representa a corda, Euler questionou a generalidade desta equao. Euler disse que poderia propor qualquer curva

arbitrria inicialmente, e, portanto, requerer mltiplas expresses para modelar a curva.

A ideia bsica era de que uma corda movida da posio inicial representada por duas

funes, as quais no podem ser representadas numa nica equao. Bernoulli

discordou, e depois de seguir conselhos de Rameau, ele fez uma combinao arbitrria

de harmnicos para obter a Eq.(2) (Sawyer, 1955).

= e+ e22+ e33+... (2)

Em sua teoria, Bernoulli defendia que a Eq. (2) poderia representar qualquer

vibrao possvel emitida por uma corda esticada, e liberada de alguma posio. No

ponto t=0, deve ser considerada a posio inicial da corda. Bernoulli disse que sua

soluo era geral, portanto, englobaria as solues de Euler e DAlembert. Isto levou ao estudo da matemtica e msica para o problema da expanso de funes arbitrrias com

sries trigonomtricas. Esta soluo foi recebida com ceticismo pelos matemticos da

poca, at que foi completamente provada pelo matemtico francs Jean Baptiste

Fourier (1768-1830). Fourier publicounafrana,em 1801, o artigoOn the Propagation of

Heat in Solid Bodies [Marks]. Em sua teoria, ele apontava que a soluo para a equao

da onda de calor poderia ser resolvida por uma soma de funes trigonomtricas (Jordan

& Smith, 2003).

3. A SRIE DE FOURIER

A srie de Fourier a chave para a ideia da decomposio de um sinal sonoro

em componentes senoidais. A utilidade de seu poder descritivo enorme, perdendo

apenas para a equao diferencial na modelagem de fenmenos fsicos, de acordo com

Roberto Marks, autor de The Handbookof Fourier Analysisand Its Applications(2009).

A srie de Fourier bsica assume a forma de:

()

(

)

(3)

Para uma funo peridica f(x) os coeficientes so os seguintes:



()

(4)

() (

) (5)

() (

)

(6)

A ideia que com , a srie de Fourier para f(x) ter condies suficientes de convergir para uma funo, como mostrado no exemplo abaixo:

() {

(7)

Figura 1 Os grficos mostram uma funo definida por partes (Eq.(7)), em vermelho, e as suas somas parciais, em azul, determinadas pelo nmero, da srie de Fourier da

funo, para n=1, 3, 5, 7, 11, 15. Como n cresce, a srie de Fourier se aproxima de uma

funo real.

A srie de Fourier a soma de funes trigonomtricas contnuas com

coeficientes especficos para uma funo modelada, que podem convergir para uma

funo pontual descontnua, ou, como visto na Figura 1: onde cada soma parcial ser

uma funo contnua. Ela pode ser usada para modelar funes complicadas, e uma

soluo para a equao da onda. A srie pode modelar qualquer funo peridica, mas

tambm pode ser usada com outras funes. O Conceito de somas de funes

trigonomtricas para modelar outras funes no era nova na poca de Fourier.

Bernhard Riemann (1826-1866), fez alguns trabalhos com soma de funes

trigonomtricas para modelar outras funes, assim como Bernoulli.



4. FUNDAMENTOS BSICOS DO SOM

A srie de Fourier tem muitas aplicaes no mundo fsico, incluindo a

modelagem de sinais sonoros. Os tons puros tem frequncia e amplitude, que

determinam a nota e a intensidade do som, respectivamente. Os sons so feitos por

combinaes lineares de tons puros, que juntos formam sons mais complexos, como os

das cordas. As cordas vibram e com isso movimentam a coluna de ar obedecendo a

equao da onda, descrita por DAlembert na Eq.(1). Esta equao uma equao diferencial que examina o comportamento de um pedao de corda com base nas

condies iniciais, deslocamento e posio de descanso. Como a hiptese de Bernoulli,

a srie de Fourier uma soluo para a equao da onda. Isto significa que, a srie de

Fourier pode ser utilizada para modelar as ondas sonoras produzidas por cordas

vibrantes e colunas de ar.

Os tons puros so as ondas sonoras puras e simples, que podem ser modeladas

por uma nica funo trigonomtrica. Por exemplo, o tom puro de frequncia de 220Hz,

que representa a nota A (L) em termos musicais, tem o grfico mostrado na Figura 2.

Figura 2- = asen(2 ()), onde a a amplitude e 220 a frequncia da onda.

O tom puro de freqncia 330Hz, que representa a nota E (M) em termos musicais, tem

o seguinte grfico apresentado na Figura 3:



Figura 3 y = asen(2 (330)x), onde 330 a frequncia da nota E(M).

Pode ser observado a partir dos grficos da Figura 2 e Figura 3, que as notas

musicais se diferem umas das outra pela frequncia, e portanto, tem perodos diferentes,

mas ambas as funes so senoidais simples. Esses sons produzidos por um emissor

digital soam muito simples. Instrumentos no fazem esse tipo de som, pois produzem

sons mais complexos, resultados da soma de tons puros.

5. HARMNICOS E A SRIE HARMNICA

Como mencionado antes, quando um instrumento emite uma nota, a onda

produzida no apenas um som puro, produzido por uma nica funo trigonomtrica,

mas sim um tom complexo, baseado na fsica do instrumento. Quando a nota tocada, a

frequncia fundamental ouvida, bem como os seus harmnicos. Isto o que determina

o timbre do instrumento, ou a cor tonal. por causa do timbre que diferentes

instrumentos tocando a mesma nota no tem o mesmo som emitido. O Timbre do

instrumento o que lhe distingue dos outros instrumentos. A amplitude de cada

harmnico a diferena que notamos quando diferentes instrumentos so tocados. Nos

grficos das figuras abaixo, verificam-se os harmnicos e as ondas sonoras em uma

mesma nota, produzidos por diferentes instrumentos.



Figura 4 Grfico de um tom puro com uma frequncia de 349 Hz. composto por uma onda sino senoidal, isto , no possui harmnicos do tom fundamental. Por isso,

no caracteriza o som emitido por um instrumento.

Figura 5 Grfico de um Obo tocando a mesma nota. A diferena entre o formato das ondas devido aos harmnicos tambm emitidos pelo instrumento, observados pelas

amplitudes em vermelho na parte inferior da onda.

Figura 6 Grfico de uma onda produzida por um clarinete tocando a mesma nota (349 Hz). H uma semelhana com a forma de onda do Obo, porm ainda assim diferente,

pelas diferentes amplitudes dos harmnicos em vermelho.



A onda de azul a onda de som, e as barras vermelhas so as amplitudes dos

respectivos harmnicos, variando do , ao harmnico. Os harmnicos so mltiplos inteiros da frequncia fundamental de uma nota. A srie harmnica, de uma

determinada frequncia, a soma de seus harmnicos. A Frequncia harmnica de um tom ( ) , onde a frequncia fundamental, a qual definida como a frequncia mais baixa descrita pelo comprimento da coluna de ar ou da corda que forma

o som. Ento, para recapitular, a frequncia fundamental o tom, ou a nota, quando

ouve-se um som tocado. As harmnicas determinam o timbre, ou o tom de cor, do som.

Isto o que diferencia os sons de diferentes instrumentos.

O timbre do som, tambm infere a ele sua riqueza ou aspereza. Esta no ,

necessariamente, uma definio tcnica, mas sim como o som descrito pelo ouvinte.

Essas duas qualidades podem ser diretamente atribudas aos harmnicos superiores ou

inferiores. Para os sons que contm harmnicos mais altos, tendem a soar mais

brilhantes, ou speros. Os que contm harmnicos mais baixos so definidos como sons

mais ricos ou suaves.

A serie harmnica a srie de tons criados pela multiplicao de uma

frequncia fundamental por inteiros. Isto pode ser feito com base em qualquer

frequncia fundamental (ou tom puro), com intervalos de frequncias relacionados por

pequenas propores de nmeros inteiros, como encontrado por Pitgoras quando ele

dividiu as cordas em fraes de uma corda inteira. O numerador das fraes o mltiplo

da frequncia fundamental, e o denominador o nmero de oitavas entre os dois. O

denominador tem esse valor para que ao dividirmos o mltiplo da frequncia

fundamental, pelo nmero de oitavas entre os dois, o valor do tom encontrado estar na

mesma oitava do tom fundamental.

Na anlise da srie harmnica de C (D), onde C a frequncia fundamental, o

primeiro harmnico uma oitava acima, o que significa que a taxa de frequncia entre

as oitavas de

. O segundo harmnico uma quinta maior, de uma frequncia trs

vezes maior que a frequncia fundamental. Ento, divide-se por dois, para deixar a

quinta na mesma oitava da frequncia fundamental, e assim, subir uma quinta perfeita.

Com isso, a proporo fica

. Da mesma forma, a razo para uma quarta perfeita na

mesma oitava de

. Expandindo, a srie harmnica ir produzir as notas de uma escala

maior, onde os primeiros cinco tons so os da trade maior de D, que so C ( D ) , F (

F ) e G ( Sol ). A trade um recurso musical muito usado na msica moderna

ocidental. Assim, multiplicando-se a frequncia fundamental por n , sobe-se a srie de

harmnicos. Para ir no sentido contrrio, para baixo da srie, chamada de srie sub

harmnica, multiplica-se por

. Considerando-se a srie harmnica para cima e para

baixo, tem-se as escalas maiores e menores de notas, para que possa preencher todas as

notas da escala cromtica, com exceo de uma, o chamado tritono, ou diablus em

musica , traduzido ao p da letra como diabo na msica. O Tritono a primeira e nica

nota entre um quarto e um quinto perfeito, e pelos padres ocidentais, soa horrvel. Na

srie harmnica de C, o tritono o F# (F sustenido). Para terminar a escala cromtica,

necessrio compilar as escalas de harmnicos e sub harmnicos em uma oitava, e

preencher com a nota que falta, no caso, o tritono.



Quando Pitgoras estava investigando as cordas, essas pequenas propores

apresentadas acima, foram os nicos valores que ele encontrou, a Figura 7 mostra as

relaes de uma corda.

Figura 7 Se A representado por y = senx, onde x a frequncia, ento B representado por y = sen2x e C representado por y = sen3x. A primeira imagem

apresenta a corda com seu comprimento total vibrando, a segunda mostra a corda

dividida em duas, reproduzindo uma frequncia duas vezes maior que em A. A terceira

corda divida por trs, e portanto, produzindo a quinta do tom original.

A primeira imagem (A) o comprimento total da corda vibrando. A segunda (B)

a corda divida em dois, o que duplica a frequncia e produz um tom uma oitava acima.

A terceira (C) a corda divida em trs, o que triplica a frequncia e produz um tom um

quinto mais elevado. Como estes harmnicos so de ocorrncia natural com base na

fsica do som, e soam de maneira natural e agradvel, pode evidencia que a srie

harmnica no apenas uma ideia conveniente criada pelos tericos da msica, e que

ela realmente existe, naturalmente, na fsica do som, como Pitgoras descobriu.

6. A SRIE DE FOURIER E A MODELAGEM MUSICAL

Como mencionado acima, a equao da onda pode ser usada para modelar os

sons, pois o som produzido por ondas. A srie de Fourier uma soluo para a



equao da onda, e pode, portanto, ser usada para esse modelo. O que to conveniente

sobre a serie de Fourier, que ela pode dividir a onda sonora em pedaos dentro do

domnio da funo da onda, e esses pedaos so descritos como funes trigonomtricas

com frequncias e amplitudes. Estas funes so as da frequncia fundamental e suas

harmnicas. O tom fundamental pode ser representado como o primeiro termo aps o

constante na soluo da srie de Fourier da onda(Eq.(3)), o que seria o primeiro termo da soma, que constitui um termo de seno e cosseno. Enquanto as frequncias de

tons puros podem ser representadas por uma nica funo senoidal, a forma da srie de

Fourier usadas para sons mais complexos tem duas funes para cada termo, que podem

formar uma nica onda. Note que um dos termos pode ser 0(zero). O Primeiro termo

no constante, o qual representa o fundamental :

(8)

Se o som de um tom puro, a srie de Fourier apenas uma onda com uma

frequncia, por isso o tom fundamental seria o nico no-constante. O primeiro

harmnico pode ser representado como o segundo termo da soma da srie de Fourier.

(9)

E assim por diante com os termos da srie, deixando o ensimo termo da forma

de:

(10)

Os coeficientes dos harmnicos do a amplitude de cada harmnico, e

determinam a cor tonal. Assim , a frequncia do tom fundamental determina o tom que

ouvimos, e a contribuio harmnica, como pode ser visto na serie de Fourier,

determina o timbre.

7. APLICAES PRTICAS PARA A TRANSFORMADA DE FOURIER

Apesar de toda a teoria por trs da msica e matemtica juntas ser bastante

interessante, ela tambm possui aplicaes prticas. A Derivada da srie de Fourier, a

transformada de Fourier, pode ser usada para transformar os sinais musicais em

frequncias e amplitudes, que o necessrio para compreender a descrio de uma srie



harmnica. A forma simples da transformada de Fourier, [ ( )]( ), dada pela Eq.(11):

[ ( )]( ) ()

(11)

Ela pode ser derivada a partir da forma generalizada da srie de Fourier e a

chave para a aplicao da anlise de Fourier para a descrio de formatos de udio. Esta

ideia transforma as equaes do domnio do tempo para o domnio da frequncia, ou

vice-versa.

Dr. Jason Brown, matemtico da Universidade de Dalhousie, no Canad, aplicou

a anlise de Fourier recentemente em uma cano popular dos Beatles, A Hard Days Night. Para os msicos, sua nota de abertura tem sido um mistrio. Muitos acordes da

cano tentam reproduz-la, mas nenhuma com exatido. Brown decidiu aplicar a

Transformada de Fourier em uma segunda gravao utilizando um computador, que

possui uma lista com mais de 29.000 frequncias. Ele descreveu apenas as frequncias

com maiores amplitudes, como estas mais provavelmente seriam as frequncias

fundamentais, e possivelmente, alguns de seus harmnicos principais. Ele ento

comparou estas frequncias a frequncia de um A (L), de 220Hz. Utilizando as

propores de harmnicosdiscutidas acima para escala do A, ele pode facilmente

converter os valores obtidos para a escala do A em uma lista de notas que so tocadas

na msica original. Valores de semitons que no estavam semelhantes aos tons

fundamentais poderiam ser explicados por instrumentos de melodia. Em seguida, com

base nos instrumentos da banda e suas capacidades fsicas, tais como quantas cordas do

piano e da guitarra so tocadas para dar origem a uma dada nota. O resultado foi que ele

recriou com sucesso o acorde como ele foi concebido para a msica, diferente de vrios

msicos que sempre s tinham conseguido apenas aproximar (Brown, 2009).

Outro possvel uso da anlise de Fourier na msica em us-la para compor uma

msica. Gerada por computador, a msica spectral originou se na frana, na dcada de 1970. Ela enfatiza o timbre, o compasso e o ritmo, assim como uma composio de uma

msica tradicional. Compositores utilizam a anlise de Fourier para ver e mudar o

timbre de sons que eles criam. Permitindo que criem sons inteiramente novos, no se

limitando as capacidades fsicas dos instrumentos musicais.

8. CONCLUSES

Este trabalho apresentou uma reviso sobre a modelagem matemtica aplicada a

msica. As combinaes de notas harmnicas utilizadas nas msicas so to agradveis

por causa dos princpios matemticos por trs destas combinaes. Toda musica

ocidental baseada na srie harmnica. A Anlise de Fourier til na modelagem e

diviso de um som, e a Transformada de Fourier abre possibilidades mais concretas para

modelagem e definio de som, a partir da Anlise de Fourier.



Agradecimentos

Agradeo aos meus pais pela oportunidade de estudo, ao meu professor e

orientador Emerson de Sousa Costa pela orientao na elaborao deste artigo, e ao

CEFET-MG pelo apoio financeiro e institucional.

REFERNCIAS

Archibald, R.C. (1923), Disponvel em :< http://www-history.mcs.st- andrews.ac.uk/Extras/Archibald_music_1.html>. Acesso em: 15 jul. 2013. Brown, J. I. (2009), Mathematics, Physics and A Hard Days Night, Dalhousie University, Canad. Foster, C. (2010), Music Mathematics: On the Art and Science of Acoustic Instruments, Chronicle Books.

Jordan, D. W.; Smith, P. (2003), Mathematical Techniques, Oxford University Press, 3rd Edition, Chapter 26.

Sawyer, W.W. (2011), Prelude to Mathematics, Dover Publications; Revised edition, Nova York.



MODELING APPLIED MATHEMATICS MUSIC

Abstract: The history of mathematics, the physics of sound and music are strongly

interlinked. The math is present in naturally occurring proportions and intervals found

in music and in the way that the musical scales are formed. In this article, we examine

the mathematics and music further, and relate them to the question of representations of

sound waves Fourier, and see how they relate harmonics and timbre of the instruments.

Key-words: Mathematical modeling, Fourier series, Mathematics and music, Mathematics applied.

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