Numeri Reali e Radicali - I Parte

5/10/2018 Numeri Reali e Radicali - I Parte - slidepdf.com

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ISTITUTO PROVINCIALE DI CULTURA E LINGUE “NINNI C ASSARÀ”

I NUMERI REALI E I RADICALI – I PARTE CLASSI III A E III B

Prof. Erasmo [email protected]

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INTRODUZIONE AI NUMERI IRRAZIONALI – NOTA STORICA

La teoria delle monadi è stata elaborata dai Pitagorici nel V secolo a.C. Secondo taleteoria un punto è un corpuscolo indivisibile che prende il nome di monade. Questadefinizione lascia intuire che un segmento è dato da un insieme finito di tantissime monadie, di conseguenza, tutti i segmenti sono commensurabili, cioè il loro rapporto è sempreesprimibile mediante un numero razionale.Infatti, dati i due segmenti a e b, il segmento a è costituito da m monadi e il segmento b ècostituito da n monadi, cioè:

a = m monadi e b = n monadi

con m ed n numeri naturali diversi da zero. Di conseguenza il rapporto:

I Pitagorici dovettero quindi confrontarsi con due realtà: secondo la teoria delle monadi il rapporto tra la diagonale di un quadrato e il lato è un

numero razionale; per il teorema di Pitagora il rapporto tra la diagonale di un quadrato e il lato è un

numero irrazionale.Essendo vero il teorema di Pitagora, i Pitagorici conclusero che la teoria delle monadi erafalsa, ma nascosero questa scoperta per mantenere alto il prestigio della scuola. Questoperché sulla teoria delle monadi erano stati costruiti tutti i ragionamentimatematici. Negata la teoria delle monadi, i Pitagorici dedussero che non esistono lemonadi, che un segmento non è costituito da un numero finito di punti e che esistonocoppie di segmenti incommensurabili.

Nel dialogo Menone del filosofo Platone, l’autore riporta, già nel IV secolo a.C. il seguente problema: « Determinare la misura inmetri della diagonale di un quadrato il cui lato misura 1

metro».Per il teorema di Pitagora1 si ha:

√

Bisogna quindi dimostrare la seguente proposizione: « Il numero √ non è razionale».Per dimostrare ciò procediamo per assurdo supponendo che esso sia razionale. Quindipossiamo scrivere:

√

con e .

1 Si ricordi che il teorema di Pitagora afferma che in un triangolo rettangolo, il quadrato costruitosull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti .

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E. Modica, 2011/2012www.galois.it

2

Si possono presentare due possibilità:1. la frazione può essere semplificata, quindi va ridotta ai minimi termini e poi si ragiona

come nel punto seguente;2. la frazione è già ridotta ai minimi termini (ovvero m e n non hanno fattori comuni) e

quindi si elevano al quadrato ambo i membri della precedente uguaglianza, ottenendo:

Poiché e non hanno fattori comuni, nemmeno e avranno fattori comuni, inquanto sono formati dagli stessi fattori di e con esponenti raddoppiati. Quindi la

frazione non può essere semplificata, ovvero non può mai essere uguale a 2.

La contraddizione nasce dall’aver supposto che √ è un numero razionale. Dobbiamoquindi concludere che √ .

NUMERI IRRAZIONALI E NUMERI REALI

Definizione: Dicesi numero irrazionale un numero che non può essere rappresentatocon una frazione.

Sono esempi di numeri irrazionali: √ , √ , .

Osservazione. Ogni numero irrazionale può essere rappresentato da un numero decimaleillimitato e non periodico. Infatti si ha: √

Definizione: Dicesi numero reale ogni numero razionale o irrazionale.

Osservazione. L’insieme dei numeri reali può essere considerato come l’unionedell’insieme dei numeri razionali e dell’insieme dei numeri irrazionali, cioè:

PROPRIETÀ DELL’INSIEME DEI NUMERI REALI

L’insieme dei numeri reali è un insieme infinito e ordinato, ma gode di una proprietà di

cui non gode l’insieme dei numeri razionali. Infatti, dato un numero razionale, è possibile associare ad esso un punto su una retta; viceversa non a tutti i punti della retta si può associare un numero razionale. Infatti, se siconsidera la figura seguente:





3

è possibile notare che esiste il punto P che ha una distanza da O pari a √ al quale noncorrisponde nessun numero razionale.Per tale ragione si dice che l’insieme dei numeri reali completa la retta e quindi vale laseguente proprietà: esiste una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei numeri reali e ipunti di una retta. Grazie a tale proprietà l’insieme si dice completo.

C ALCOLO APPROSSIMATO

L’insieme dei numeri reali è costituito da tutti e soli i numeri che possono essererappresentati in forma decimale. Si ha:

{

Quando siamo in presenza di un numero decimale, è possibile stabilire quale cifra bisogna

considerare. Per esempio, partendo dal numero:

se ci si ferma alla prima cifra decimale, allora ; se ci si ferma alla seconda cifra decimale, allora ; se ci si ferma alla terza cifra decimale, allora .Tutti i numeri inferiori a vengono detti valori approssimati per difetto di , tutti inumeri maggiori di vengono detti valori approssimati per eccesso di .Poiché:

si dice che il numero 25,7 è il valore approssimato per difetto a meno di

del numero ;

mentre 25,8 il valore approssimato per eccesso a meno di

del numero .

Dato il numero 31,25488

i valori approssimati per difetto a meno di

sono 3,2 3,25 3,254 3,2548mentre

i valori approssimati per eccesso a meno di

sono 3,3 3,26 3,255 3,2549

La differenza fra il valore approssimato dato e la sua approssimazione prende il nome dierrore assoluto di approssimazione.

Esistono due metodi di approssimazione di un numero e sono descritti di seguito.





4

A PPROSSIMAZIONE PER ARROTONDAMENTO

Se si considera il numero 4,37457291, arrotondato alla: terza cifra decimale diventa 4,375; quinta cifra decimale diventa 4,37457.

Regola. Per arrotondare un numero decimale all’n-esima cifra decimale, bastaconsiderare il valore della cifra successiva e:

se tale cifra è minore o uguale a 4, allora la si trascura insieme a tutte quelle che laseguono;

se tale cifra è maggiore o uguale a 5, allora si aumenta di uno la cifra stabilita e si trascurano tutte le cifre successive.

A PPROSSIMAZIONE PER TRONCAMENTO

Per approssimare un numero decimale per troncamento, basta trascurare tutte le cifre

successive a quella stabilita. Per esempio il numero 4,37457291, troncato alla: seconda cifra decimale diventa 4,37; terza cifra decimale diventa 4,374.

LE RADICI QUADRATE

Definizione: Si dicono radici quadrate 2 di un numero reale tutti quei numeri che,elevati al quadrato, danno come risultato .

Osservazione: Lo 0 ha come unica radice quadrata se stesso! Infatti

√ .

“Perché i numeri reali negativi non ammettono alcuna radice quadrata?”

La risposta alla domanda è semplice, basti pensare al fatto che qualsiasi numero realeelevato al quadrato dà come risultato un numero positivo!

Notazione: Il simbolo utilizzato per indicare la radice quadrata di un numero è 3, main realtà esso indica solamente il valore assoluto delle radici quadrate del numero, cioè:

||

Per tale ragione il simbolo suddetto prende il nome di radice quadrata assoluta.Inoltre, il simbolo viene detto segno di radice quadrata e il numero a viene dettoradicando. Bisogna quindi stare attenti e ricordare che nell’insieme dei numeri reali:

ogni numero positivo a ammette due radici quadrate opposte tra loro: √ ; lo zero ammette come unica radice quadrata se stesso; i numeri negativi non ammettono alcuna radice quadrata.

2 Il termine radice quadrata deriva dal fatto che √ esprime il lato di un quadrato di area a.3

Simbolo introdotto dal matematica tedesco Christoph Rudolff (1500 – 1545) come abbreviazione della parola radix.





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Dalle precedenti considerazioni appare evidente che di fronte alla scrittura √ , si debbaavere: , perché i numeri reali negativi non ammettono radice quadrata; √ , perché il simbolo √ rappresenta la radice quadrata assoluta.

Quando ci si trova di fronte alla radice quadrata di un numero reale a si possono verificarei due casi seguenti:

il numero a è un quadrato perfetto e quindi la sua radice quadrata assoluta è unnumero intero: ad esempio √ ;

il numero a non è un quadrato perfetto e quindi la sua radice quadrata assoluta è unnumero irrazionale: ad esempio √

Concludiamo questo paragrafo osservando che, se si considerano i soli numeri reali nonnegativi, la radice quadrata assoluta o aritmetica è l’operazione inversa dell’elevazione alquadrato:

(√ )

In base a quanto abbiamo osservato, se il radicando di una radice quadrata èun’espressione letterale, bisogna determinare le cosiddette condizioni di esistenza (C.E.) in , cioè quei valori delle variabili del radicando per cui il radicale sia definito.

Esistenza del radicale

Il radicale , con polinomio, è definito in corrispondenza di tutti i valori dell’indeterminata x per cui risulta:

e assume, per tali valori di x, valore positivo o nullo.

Esempio 1. Determinare le condizioni di esistenza del radicale √ .

Tale radicale è definito purché sia:

ovvero per i valori di . Quindi .

Esempio 2. Determinare le condizioni di esistenza del l’espressione √ √ .

Tale espressione è definito purché i radicandi di entrambe le radici sianocontemporaneamente maggiori o uguali a zero, cioè:

Risolvendo il sistema si ottiene che ].





6

LE RADICI CUBICHE

Definizione: Si dice radice cubica4 di un numero reale a quel numero che, elevato alcubo, dà come risultato a.

Si osserva facilmente che la radice cubica di un numero mantiene sempre lo stesso segnodel numero in quanto sappiamo che il cubo di un numero reale conserva sempre lo stessosegno della base.

Esempi:

o √ o √ o √

Quando ci si trova di fronte alla radice cubica di un numero reale a si possono verificare idue casi seguenti:

il numero a è un cubo perfetto e quindi la sua radice cubica è un numero intero; il numero a non è un cubo perfetto e quindi la sua radice cubica è un numero

irrazionale.

In base a quanto abbiamo osservato, poiché la radice cubica di un numero esiste sempre eha lo stesso segno del numero, non serve imporre le condizioni di esistenza che sono stateimposte nel caso della radice quadrata.

Esistenza del radicale

Il radicale , con polinomio, è definito in corrispondenza di ogni valore

del l’indeterminata x e risulta: positivo se ; nullo se ; negativo se .

LE RADICI N-ME

Definizione: Si dicono radici n-esime di un numero reale a quei numeri che, elevati adn, danno come risultato a:

( √ )

⏟

⏟

4Il termine radice cubica deriva dal fatto che √

esprime il lato di un cubo di volume v.





7

Quando si tratta con le radici n-esime di un numero reale, bisogna fare attenzione al fattoche l’indice sia pari o dispari. Si presentano infatti i seguenti casi:

se l’indice n è dispari la √ è definita per qualsiasi valore di , inoltre è negativa se

, positiva se e nulla se ;

se l’indice n è pari la √ è definita solo per i valori di e si ha che √ .

Definizione: Siano , con e , si chiama radice aritmetica n-esima di e si indica con √

l’unico numero reale e positivo tale che . Se si pone, diconseguenza, (ovvero 0 ha come unica radice n-esima se stesso).

Si ritiene utile ribadire i concetti precedentemente discussi mediante le seguenti:

Osservazioni :

1. Se

si parla di radice quadrata e la scrittura

√ indica tutti quei numeri reali

che, elevati al quadrato, danno come risultato a.Ogni numero positivo a ammette due radici quadrate opposte tra loro: √ ,infatti: (√ ) ( √ ) e (√ ) ( √ ) ;

2. √ 3. √ non esiste perché non esistono le radici n-esime di numeri negativi

quando n è pari.4. √ perché la radice cubica di un numero mantiene sempre lo stesso segno

del numero, in quanto sappiamo che il cubo di un numero reale conserva sempre lostesso segno della base, ma si può generalizzare e dire che esistono le radici n-esime di numeri negativi quando n è dispari.

Osservazione: Attenzione! Se si calcola la radice aritmetica di poiché lascrittura ha significato ma non sappiamo a priori se a è positivo o negativo, quindi è unerrore scrivere:

È invece corretto scrivere:

|

| Se si considerano i soli numeri reali non negativi, la radice quadrata assoluta o aritmetica èl’operazione inversa dell’elevazione al quadrato:

(√ ) In questo caso non si ricorre al valore assoluto perché la scrittura ha significato se equindi il quadrato della radice aritmetica di un numero positivo è il numero stesso.

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