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Numeri figurati
Numeritriangolari
fine
Abbiamo delle monete ...
e le disponiamo in modo da formare dei triangoli ...
Il numero di monete disposte in modo opportuno a formare un triangolo rappresenta un
fine
Quantemonete?
Costruiamo i numeri triangolari
1
fine
Costruiamo i numeri triangolari
Il primo numero triangolare che indichiamo con T1
… proseguiamoproseguiamo ...
= 1
Quantemonete? 1
fine
Costruiamo i numeri triangolari
T1 = 1
1
T1
Quantemonete?
fine
Costruiamo i numeri triangolari
T1 = 1
1
T1
Quantemonete?
fine
Costruiamo i numeri triangolari
T1 = 1
1+1
T1
Quantemonete?
fine
Costruiamo i numeri triangolari
1+1
T1 = 1
T1
Quantemonete?
fine
Costruiamo i numeri triangolari
1+2
T1 = 1
T1
Quantemonete?
fine
Quantemonete?
Costruiamo i numeri triangolari
… proseguiamoproseguiamo ...
1+2
Il secondo numero triangolare che indichiamo con
T2 = 3T1 = 1
T2 è uguale alla somma dei primi due numeri naturali
T1
fine
Quantemonete?
Costruiamo i numeri triangolari
1+2
T2 = 3T1 = 1
T1 T2
Partiamo da T2 che
abbiamo già costruito
fine
Quantemonete?
Costruiamo i numeri triangolari
1+2+1
T2 = 3T1 = 1
T1 T2
fine
Quantemonete?
Costruiamo i numeri triangolari
1+2+2
T2 = 3T1 = 1
T1 T2
fine
Quantemonete?
Costruiamo i numeri triangolari
1+2+3
T2 = 3T1 = 1
T1 T2
fine
Quantemonete?
Costruiamo i numeri triangolari
1+2+3
T2 = 3T1 = 1
T1 T2
fine
Quantemonete?
Costruiamo i numeri triangolari
Il terzo numero triangolare che indichiamo con T3 = 6
1+2+3
T2 = 3T1 = 1
… proseguiamoproseguiamo ...T3 è uguale alla somma dei primi tre numeri naturali
T1 T2
fine
Quantemonete?
Quanto vale T4?
T3
T2
T1
T3 = 6T2 = 3T1 = 1
T1 T2 T3
Partiamo da T3 che
abbiamo già costruito
fine
Quantemonete?
T3
T2
T1
T3 = 6T2 = 3T1 = 1
1+2+3
T1 T2 T3
Partiamo da T3 che
abbiamo già costruito
Quanto vale T4?fine
Quantemonete?
T3
T2
T1
T3 = 6T2 = 3T1 = 1
1+2+3+1
T1 T2 T3
fine
Quanto vale T4?
Quantemonete?
T3
T2
T1
T3 = 6T2 = 3T1 = 1
1+2+3+2
T1 T2 T3
fine
Quanto vale T4?
Quantemonete?
T3
T2
T1
T3 = 6T2 = 3T1 = 1
1+2+3+3
T1 T2 T3
fine
Quanto vale T4?
Quantemonete?
Quanto vale T4?
T3
T2
T1
T3 = 6T2 = 3T1 = 1
1+2+3+4
T1 T2 T3
fine
Quantemonete?
Quanto vale T4?
T3
T2
T1
T4 = 10
T3 = 6T2 = 3T1 = 1
1+2+3+4
T4 è uguale alla somma dei primi quattro numeri naturali
T1 T2 T3
Abbiamo aggiunto 4
monete per costruire T4
partendo da T3
fine
Riassumendo ...
T2T1
1 3 6 10
T3 T4
… e poi?
fine
Riassumendo ...
T2T1
1 3 6 10
T3 T4 T5
?
… e poi?
fine
Riassumendo ...
T2T1
1 3 6 10
T3 T4 T5
?
T10
?
… e poi?
fine
Riassumendo ...
T2T1
1 3 6 10
T3 T4 T5
?
T10
?
T17
?
… e poi?
fine
Riassumendo ...
T2T1
1 3 6 10
T3 T4 T5
?
T10
?
T17
?
… e poi?
In generale, quanto vale TM?
fine
Quantemonete?
In generale, quanto vale TM?
Per avere TM, si deve costruire un triangolo avente M monete come base e M monete in altezza
TM = ?
Mmonete
M monete
fine
In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.
Per avere T5, si deve costruire un triangolo avente 5 monete come base e 5 monete in altezza
Prima strategia Seconda strategia
fine
In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.
Per avere T5, si deve costruire un triangolo avente 5 monete come base e 5 monete in altezza
T5 = 15
5monete
5 monete
Proviamo a spostare le
monete
fine
In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.
T5 = 15
5monete
5 monete
Proviamo a spostare le
monete
fine
In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.
T5 = 15
5monete
5 monete
Proviamo a spostare le
monete
fine
In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.
T5 = 15
5monete
5 monete
Proviamo a spostare le
monete
fine
In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.
Il numero di monete è uguale a 5*3, cioè a 5*(6:2), allora
T5= 5*(6:2)
possiamo anche scrivere
T5= 5*[(5+1):2] oppure
T5= 5*(5+1):2
fine
In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.
fine
Seconda strategia
Il numero di monete è uguale a 5*3, cioè a 5*(6:2), allora
T5= 5*(6:2)
possiamo anche scrivere
T5= 5*[(5+1):2] oppure
T5= 5*(5+1):2 congettura
T5 = 15
Proviamo a disporre
altrettante monete
In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.
5monete
5 monete
Per avere T5, si deve costruire un triangolo avente 5 monete come base e 5 monete in altezza
fine
In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.
T5 = 15
5monete
5 monete
fine
Proviamo a disporre
altrettante monete
In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.
T5 = 15
5monete
5 monete
fine
Proviamo a disporre
altrettante monete
In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.
Ci sono 5*6 monete, ma per T5 ne abbiamo bisogno della metà, cioè
T5= (5*6):2
possiamo anche scrivere
T5= [5*(5+1)]:2 oppure
T5= 5*(5+1):2
fine
In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.
Ci sono 5*6 monete, ma per T5 ne abbiamo bisogno della metà, cioè
T5= (5*6):2
possiamo anche scrivere
T5= [5*(5+1)]:2 oppure
T5= 5*(5+1):2 congettura
fine
Prima strategia
Quantemonete?
In generale, quanto vale TM?Proviamo a fare una congettura.
Congettura:
per ogni M > 1, il numero triangolare TM vale:
TM= M*(M+1):2
Prima strategia Seconda strategia
fine
Congettura: per ogni M > 1, il numero triangolare TM vale:
TM= M*(M+1):2
Abbiamo una bella congettura.Se fossimo sicuri che è valida, potremmo
affermare (senza costruire) che T17= 17*(17+1):2=17*18:2=153
cioè che il 17-esimo numero triangolare è costruito con 153 monete.
Come possiamo dimostrare che la congettura vale per ogni M?
fine
Peano ci aiuta con ilPrincipio (o Metodo) di Induzione
Matematica(Assioma dell’Induzione)
Il metodo si compone di due passi:1. Verifica che la proprietà vale per un numero naturale (di solito, si prova per M = 0 o M = 1)2. Dimostra che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1
L’assioma afferma che:Se sono soddisfatte queste due condizioni, allora la proprietà vale per ogni numero naturale (a partire dal primo per cui è stata verificata, di solito 0 o 1 ).
fine
Applico nel nostro caso ilPrincipio (o Metodo) di Induzione
MatematicaPasso 1
1. Verifico che la proprietà vale per il numero naturale 1 (il primo numero triangolare):- per costruzione sappiamo che T1 = 1- con la formula: T1 = 1* (1+1) : 2 = 1.
fine
Applico nel nostro caso ilPrincipio (o Metodo) di Induzione
MatematicaPasso 1
1. Verifico che la proprietà vale per il numero naturale 1 (il primo numero triangolare):- per costruzione sappiamo che T1 = 1- con la formula: T1 = 1* (1+1) : 2 = 1. OK
fine
Procedo con il passo 2
2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è
Tm = m (m + 1) : 2
allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare èTm+1 = (m + 1) [(m + 1) +1] : 2
cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
fine
2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è(m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
m(m+1):2 monete
mmonete
m monete
Abbiamo Tm
fine
2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è(m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
Abbiamo Tm
Costruiamo Tm+1
m(m+1):2 monete
mmonete
m monete
fine
2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è(m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
Abbiamo Tm
Costruiamo Tm+1 aggiungendo m+1 monete
monete
m+1 monete
m+1
m(m+1):2 monete
fine
2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è(m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
Abbiamo Tm
Costruiamo Tm+1 aggiungendo m+1 monete.
Quant'è Tm+1? Quante monete?
monete
m+1 monete
m+1
m(m+1):2 monete
fine
2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è(m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
Allora di ha:
m(m + 1) : 2 + (m + 1) =
monete
m+1 monete
m+1
m(m+1):2 monete
fine
2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è(m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
Allora di ha:
m(m + 1) : 2 + (m + 1) =
[m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 =
monete
m+1 monete
m+1
m(m+1):2 monete
fine
2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è(m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
Allora di ha:
m(m + 1) : 2 + (m + 1) =
[m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 =
[m2 + m + 2m + 2] : 2 =
monete
m+1 monete
m+1
m(m+1):2 monete
fine
2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è(m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
Allora di ha:
m(m + 1) : 2 + (m + 1) =
[m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 =
[m2 + m + 2m + 2] : 2 =
[m2 + 3m + 2] : 2 =
monete
m+1 monete
m+1
m(m+1):2 monete
fine
2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è(m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
Allora di ha:
m(m + 1) : 2 + (m + 1) =
[m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 =
[m2 + m + 2m + 2] : 2 =
[m2 + 3m + 2] : 2 =
(m + 1)(m + 2) : 2 =
monete
m+1 monete
m+1
m(m+1):2 monete
fine
2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è(m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
Allora di ha:
m(m + 1) : 2 + (m + 1) =
[m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 =
[m2 + m + 2m + 2] : 2 =
[m2 + 3m + 2] : 2 =
(m + 1)(m + 2) : 2 =
(m + 1)[(m + 1) +1] : 2 monete
m+1 monete
m+1
m(m+1):2 monete
fine
2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è(m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
Allora di ha:
m(m + 1) : 2 + (m + 1) =
[m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 =
[m2 + m + 2m + 2] : 2 =
[m2 + 3m + 2] : 2 =
(m + 1)(m + 2) : 2 =
(m + 1)[(m + 1) +1] : 2 monete
m+1 monete
m+1
m(m+1):2 monete
Fatto!La proprietà
vale per ogni M !!!
fine
Abbiamo trovato e dimostrato una formula
per calcolare l’M-esimo
TM= M*(M+1) 2
Abbiamo usato strategie di tipo figurale
cioè basate su aspetti percettivi.
Abbiamo trovato e dimostrato una formula
per calcolare l’M-esimo
TM= M*(M+1) 2
Avremmo potuto usare anche una strategia aritmetica
come C. F. Gaussuno dei maggiori matematici di
tutti i tempi
Gauss frequentava la scuola elementare.Si racconta che un giorno il suo precettore assegnò il compito di calcolare la somma dei primi 100 numeri naturali.Gauss scrisse subito sulla lavagnetta il numero:
5050
Come lo aveva calcolato?
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)
1 + 2 + 3 + ……………..+ 98 + 99 + 100
101
101
101
.
.
.
.
50 addendi
1 + 2 + 3 + ……………..+ 98 + 99 + 100
101
101
101
.
.
.
.
50 x 101 = 5050
Gauss frequentava la scuola elementare.Si racconta che un giorno il suo precettore assegnò il compito di calcolare la somma dei primi 100 numeri naturali.Gauss scrisse subito sulla lavagnetta il numero:
5050
Come lo aveva calcolato?
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)
50 x 101 = 5050
Numeri figurati
fine
Fino dai tempi di Pitagora, i matematici si interessarono a successioni di numeri rappresentabili secondo schemi geometrici.
Numeri triangolari: 1, 3, 6, 10, 15, 21, …..
Numeri figurati
fine
Fino dai tempi di Pitagora, i matematici si interessarono a successioni di numeri rappresentabili secondo schemi geometrici.
Numeri quadrati: 1, 4, 9, 16, 25, 36, …..
Numeri figurati
fine
Fino dai tempi di Pitagora, i matematici si interessarono a successioni di numeri rappresentabili secondo schemi geometrici.
Numeri pentagonali 1, 5, 12, …..
Numeri figurati
fine
Fino dai tempi di Pitagora, i matematici si interessarono a successioni di numeri rappresentabili secondo schemi geometrici.
Numeri pentagonali 1, 5, 12, …..
E così via
