Notes de cours de géodynamique

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  • Geodynamique

    S. Labrosse

    5 octobre 2012

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  • Introduction

    Depuis Sadi Carnot qui, dans la premiere page de son livre (Carnot, 1824) souligne limportancede la chaleur comme origine de la dynamique de la Terre, on a coutume de dire que la Terre estune machine thermique. Si lanalogie entre le fonctionnement de la Terre et celui des machines avapeur, dont la comprehension etait le principal objectif du travail de Carnot et a ete en grandepartie a lorigine du developpement de la thermodynamique, nest pas si evident que cela a yregarder de plus pres, il est indeniable que levolution thermique de la Terre est a lorigine detoute sa dynamique interne. Ou pour etre plus precis car une telle dynamique a egalement pufonctionner durant des periodes de rechauffement si jamais elles ont existe, cest le transfert dechaleur qui est a lorigine de la dynamique interne de la Terre.

    Le lien entre le transfert de chaleur et la dynamique de la Terre se cree parce quun des modesde transfert est la convection, cest a dire le transport par mouvement de matiere. Dans laTerre, ce mode se manifeste par la tectonique des plaques qui est a lorigine de la formationdes chanes de montagnes, du volcanisme et des seismes. Cette convection est aussi a loriginedu champ magnetique de la Terre, par le biais de la dynamo a luvre dans le noyau terrestre.Cependant, la convection ne supprime pas la conduction, qui reste le mode de transfert dechaleur principal lorsque le mouvement vertical de la matiere est empeche, cest a dire lorsquelon sapproches des limites horizontales, soit rigides (dans une experience de laboratoire) soitlibre et imposees par des differences de densite chimiques trop importantes, comme cest le casa la frontiere noyau-manteau (FNM) et a la surface de la Terre. Le transfert conductif se faitpar transmission de lagitation moleculaire de proche en proche et il sagit donc dun processusmicroscopique, que lon ne considerera ici que dans ses effets macroscopiques quantifies par laloi de Fourier et la conductivite thermique.

    Enfin, un troisieme mode de transfert de chaleur existe, le transfert radiatif, et il peut savererimportant dans la Terre. La chaleur dans ce mode de transfert est transportee par rayonnementelectromagnetique, cest a dire par de la lumiere. Cest un mode de transfert qui interesseparticulierement la dynamique de latmosphere mais beaucoup moins la Terre interne, plutotopaque. Cependant, a haute temperature, le rayonnement de la matiere peut devenir importantcomme toute personne appreciant le chauffage par un feu de bois le sait. Linterieur de laTerre etant chaud et les cristaux qui la composent comme lolivine non-totalement opaque, lapossibilite dun tranport de chaleur radiatif dans la Terre nest pas totalement exclue. Un teltransport peut alors etre pris en compte par une conductivite effective, un point qui sera discuteen fin de cours.

    Pour des raisons pedagogiques, nous commencerons par traiter quelques problemes simples dediffusion de la chaleur. Les generalites sur le transfert de chaleur, basees sur les principes de

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    la thermodynamique, seront ensuite presentes. Des methodes plus generales de resolution desproblemes de diffusion pourront alors etre exposees. Nous aborderons alors le probleme dela convection de Rayleigh-Benard et pourront ainsi comparer ses predictions aux observationsterrestre. Les modeles devolution thermique de la Terre pourront alors etre exposes et discutes.

  • Chapitre 1

    Loi de Fourier et premieresapplications

    1.1 Introduction

    Dans un premier temps, pour introduire les approches utilisees, le cas de la conduction dela chaleur sera discute, la loi de Fourier introduite. Des applications a quelques problemesstationnaires permettront de fixer les idees.

    1.2 Loi de Fourier

    La loi de Fourier est une relation empirique entre la difference de temperature et le flux dechaleur. Il ne sagit ici que de flux diffusif dans lequel la chaleur est transportee en transmettantde proche en proche lagitation moleculaire. Selon la theorie cinetique des gaz, la temperature apour origine microscopique lenergie cinetique moyenne des molecules, avec la relation 3kT/2 =m < v2 > /2, k etant la constante de Boltzmann. Les chocs entres molecules permettentalors de tranmettre lenergie cinetique et donc la chaleur. Dans le cas des solides, ce sont lesvibrations des molecules autour de leur position dequilibre qui se transmettent via les liaisonsinter-atomiques. Des ondes de vibrations se propagent et on parle de phonons. Nous nironspas plus loin dans la discussion de la base microscopique de la diffusion thermique et nousnous contenterons dintroduire sa quantification macroscopique via le coefficient de conductivitethermique, k.

    Considerons un mur, depaisseur d, initialement maintenu a une temperature uniforme T0, quisepare une piece de lexterieur, les deux etant a la meme temperature T0. Au temps t = 0,on chauffe la piece et on la maintient a une temperature T1. Comment est la distribution detemperature dans le mur ? Clairement, celle-ci ne depend que de la distance aux bords du mur,notee par exemple x, et pas de la position le long du mur. Au cours du temps, la temperaturedans le mur change, celle sur ses faces etant maintenue constante (fig. 1.1). Apres un temps treslong (infini en fait), la temperature dans le mur ne change plus et varie lineairement en fonction

  • 6 Loi de Fourier et premieres applications

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    t=0,002t=0.01t=infini

    Distance

    Tem

    pra

    ture

    Figure 1.1 Distribution de temperaturedans un mur, initialement a T0 = 0 et dontune face est brusquement portee a T1 = 1.Au cours du temps, la temperature passede la courbe rouge a la verte et atteint fi-nalement la courbe bleue apres un tempsinfini.

    de x. Si lon arrete de chauffer la piece, la temperature va baisser et lexperience montre quepour maintenir la temperature dans la piece avec le profil de temperature lineaire atteint apresun temps long, il faut fournir un flux de chaleur egal a

    Q

    A= k

    T1 T0d

    , (1.1)

    A etant la surface du mur. Ceci peut se mesurer facilement en regardant sa facture delectriciteou de gaz. Le parametre k est appele conductivite thermique. La relation lineaire entre le fluxde chaleur et la difference de temperature est valide tant que cette difference nest pas tropgrande. Le flux de chaleur Q a pour unite le Watt, W.

    Une telle experience peut etre fate pour tout type de materiaux, quil soit solide, liquide ougazeux, tant quaucun mouvement convectif ne se declenche et que la radiation est negligeable.Cependant, la valeur de la conductivite thermique depend du materiau considere et egalementde parametres physiques tels que la temperature, la pression.

    Le temps pour atteindre la distribution lineaire de temperature dans le mur depend de saconductivite thermique, de sa capacite calorifique et de son epaisseur. Plus le mur est fin, plusvite cette distribution limite sera etablie. A la limite dun mur infiniment fin, le profil lineairede temperature est etablit instantanement et on voit que le terme de droite de lequation (1.1)fait apparatre la derivee de la temperature en fonction de la direction x. Avant decrire expli-citement cette relation differentielle, il est necessaire dintroduire le caractere vectoriel du fluxde chaleur. Dans lexemple represente sur la figure 1.1, la temperature elevee est du cote des xfaibles et le flux de chaleur va vers lexterieur, cest a dire vers les x eleves. On voit donc que levecteur flux de chaleur a une composante sur laxe des x (uniquement celle-la dans ce cas), qx,qui est positive, cest a dire que la chaleur va de linterieur vers lexterieur, alors que la deriveede la temperature par rapport a x est negative. On a donc la relation suivante

    qx = kdT

    dx, (1.2)

    qx etant une densite de flux de chaleur, cest a dire un flux de chaleur par unite de surface, avecpour unite le W m2.

    Lequation (1.2) est la forme unidimensionnelle de la loi de Fourier, valide uniquement dansle cas ou la temperature ne depend que de x. Dans le cas general, le flux de chaleur a trois

  • 1.3 Diffusion de chaleur en etat stationnaire 7

    composantes et secrit pour un materiau isotrope

    q = kT. (1.3)

    Un materiau est dt isotrope si son comportement, en particulier sa conductivite thermique, nedepend pas de la direction. Les materiaux cristallins ne sont generalement pas isotropes et lemanteau terrestre presente par exemple une anisotropie des vitesses de propagations sismiques.il est probable quune anisotropie de conductivite soit egalement presente. Dans ce cas la, laloi de Fourier doit faire intervenir un tenseur dordre 2 des conductivites au lieu du parametrescalaire introduit precedemment. La discussion de ce type de materiau depasse lobjet de cecours.

    Le fait que la conductivite thermique est un parametre positif est apparu naturellement dansla discussion precedente et le signe negatif de la loi de Fourier (1.2) est une consequence du faitque la chaleur va du cote chaud vers le cote froid. On verra plus loin que lon peut relier cetteobservation au second principe de la thermodynamique.

    1.3 Diffusion de chaleur en etat stationnaire

    Le cas dun mur solide a deja ete aborde ( 1.2) et nous allons maintenant nous interesser aun cas plus pertinent pour les sciences de la Terre : la distribution de temperature dans unesphere chauffee par radioactivite.

    La resolution du probleme de la conduction en etat stationnaire pour un probleme ayant unesymetrie elevee est generalement simple. Il sagit decrire un bilan de chaleur en etat stationnairequi secrit sous la forme suivante : chaleur sortante = chaleur entrante + chaleur produite.Ce bilan peut se