Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Pole grawitacyjne
dr inz. Ireneusz Owczarek
CNMiF PŁ
[email protected]://cmf.p.lodz.pl/iowczarek
1 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Grawitacja Pole fizyczne
Definicje
Pole fizyczne
to przestrzenny rozkład wielkosci fizycznej.
Pole fizyczne jest polem realnie istniejacej wielkosci fizycznej.
W zaleznosci od charakteru tej wielkosci rozróznia sie:
pole skalarne, np. pole temperatury lub cisnienia,
pole wektorowe – gdy kazdemu punktowi przestrzeni przypisany jestpewien wektor. Przykładem jest pole ciezkosci lub pole magnetyczne,
pole tensorowe, np. pole tensora naprezenia–energii w ogólnej teoriiwzglednosci.
Analiza pola sprowadza sie do badania rozkładu pola, wprowadzaniawielkosci charakteryzujacych pola skalarne i wektorowe oraz formułowaniaogólnych zwiazków miedzy nimi.
2 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Grawitacja Pole fizyczne
Rodzaje pól
Ze wzgledu na rozkład przestrzenny wielkosci charakteryzujacych polewyróznia sie:
1 pole jednorodne,2 pole centralne,3 pole zródłowe (lub bezzródłowe),4 pole wirowe (lub bezwirowe).
Ze wzgledu na czasowa zmiennosc tych wielkosci, mozna podzielic na1 stacjonarne (wielkosc charakteryzujaca pole w dowolnym punkcie nie
zmienia sie w czasie),2 niestacjonarne (zmienne w czasie).
Linie pola
to linie, do których styczne w kazdym punkcie maja kierunek zgodnyz kierunkami sił działajacych w tym polu.
3 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Grawitacja Pole fizyczne
Rodzaje pól . . .
Pole centralne
to pole fizyczne, dla którego linie pola maja przebieg radialny – sa wszedzieprostopadłe do sferycznych izopowierzchni.
Linie przechodza przez jeden punkt, zwany centrum sił lub centrum pola.
4 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Notatki
Notatki
Notatki
Notatki
Grawitacja Pole fizyczne
Rodzaje pól . . .
Pole potencjalne
to pole sił, w którym istnieje potencjał V (~r, t) taki, ze
~F = −dVd~r.
Jezeli potencjał V (~r) nie zalezy od czasu, to siła i odpowiednio jej pole sazachowawcze.W polu siły zachowawczej praca wykonana na drodze miedzy dwomapunktami przestrzeni nie zalezy od kształtu drogi (przejscia) miedzy nimi.
5 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Grawitacja Pole fizyczne
Ciazenie powszechne
Prawo powszechnego ciazenia
Miedzy dowolnymi dwoma punktami materialnymi działa siła wzajemnegoprzyciagania wprost proporcjonalna do iloczynu mas tych punktówi odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległosci miedzy nimi
~F = −Gm1m2r2
· ~rr
lubF = −Gm1m2
r2.
Wielkosc
G = 6, 67 · 10−11m3
kg · s2 .
jest stała grawitacji.
Jest to stała uniwersalna równaliczbowo sile grawitacyjnej, jakawywieraja na siebie dwa ciała o masie1 kg kazde z odległosci 1m.
6 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Grawitacja Pole fizyczne
Zródła pola
Pole grawitacyjne jest to przestrzen, w której na umieszczone w niej ciałaobdarzone masa działa siła grawitacyjna.Pole to opisane jest przez:
1 zródła,2 przestrzenny rozkład wielkosci charakteryzujacych pole:
natezenie,potencjał,energie.
Zródłami i obiektami oddziaływania pola grawitacyjnego sa ciała wazkie.Charakteryzuja je ich: masy i rozmieszczenie.
ρ =dm
dV.
7 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Grawitacja Pole fizyczne
Natezenie pola
Miara ilosciowa pola grawitacyjnego jest jego natezenie ~E.
Wartosc natezenia pola grawitacyjnego
jest równa liczbowo sile, z jaka to pole działa na punkt materialny o masiejednostkowej
~E =~F
m= −GM
r3~r = ~g
Wektor natezenia ~E jest równoległy do siły grawitacyjnej i jest tak samozwrócony.Natezenie pola grawitacyjnego i przyspieszenie grawitacyjne sa okreslonetymi samymi wzorami.
Wnioski
Zródłem pola grawitacyjnego jest ciało o okreslonej masie,
Natezenie pola grawitacyjnego jest zwrócone ku masie, która to polewytwarza,
Natezenie pola grawitacyjnego ma wymiar przyspieszenia, tj. ms2
.
8 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Notatki
Notatki
Notatki
Notatki
Grawitacja Pole fizyczne
Potencjał pola
Wielkoscia skalarna charakteryzujaca pole grawitacyjne jest potencjał V .
Potencjał grawitacyjny
jest to praca wykonana przez siły grawitacji przy przemieszczeniu punktumaterialnego o jednostkowej masie z danego punktu pola donieskonczonosci
V =Wr→∞m
=1m
∞∫r
~F · d~r = −GM∞∫r
1r2dr = −GM
r
Znak „–" oznacza, ze pole grawitacyjne jest polem sił przyciagajacych.
Powierzchnie ekwipotencjalne topowierzchnie, których wszystkiepunkty maja taki sam potencjałgrawitacyjny.Powierzchnie ekwipotencjalne i linie siłprzecinaja sie w kazdym punkcie polapod katem prostym.
9 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Grawitacja Pole fizyczne
Energia
Gdy dwa ciała o masach odpowiednio równych M i m znajduja siew odległosci r od siebie, wówczas ich energia potencjalna zwiazanaz oddziaływaniami grawitacyjnymi jest równa pracy, jaka musi wykonac siłagrawitacyjna, aby rozsunac te ciała na odległosc nieskonczenie wielka
Ep = Wr→∞ =
∞∫r
~F · d~r = −GMm
∞∫r
dr
r2= −GMm
r.
Energia potencjalna jest najwieksza w nieskonczonosci i ma wartosc równozeru.Gdy ciało zbliza sie do zródła pola, to jego energia potencjalna maleje
rA > rB ⇒ 1rA
<1rB
⇒ ∆Ep < 0.
WAB =
rB∫rA
~F · d~r =
rB∫rA
(−GMm
r2
)dr.
WAB = GMm
rB−GMm
rA= EpA − EpB .
10 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Grawitacja Prawo Gaussa
Strumien pola
Jezeli w przestrzeni, w której kazdemu jejpunktowi o współrzednych x, y, zprzyporzadkowany jest wektor natezenia pola,np. ~E(x, y, z) przechodzacy przez elementpowierzchni d~S to dΦ = ~E · d~S.
Strumien pola
Φ =
∫~E · d~S
jest wielkoscia skalarna opisujaca pole wektorowe oraz jego zródłowosc.
Jako suma strumieni czastkowych
∆Φi = ~Ei ·∆~Si
ΦS =n∑i=1
~Ei ·∆~Si.
11 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Grawitacja Prawo Gaussa
Strumien pola . . .
Szczególnie waznym przypadkiem jest strumien przechodzacy przezpowierzchnie zamknieta
Φ =
∮~E · d~S.
Jezeli jego wartosc jest rózna od zera, to pole jest polem zródłowym (posiadawewnatrz tej powierzchni zródło).
W przypadku centralnego polagrawitacyjnego prawo Gaussaprzyjmuje postac∮
~E · d~S = −4πGM.
12 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Notatki
Notatki
Notatki
Notatki
Grawitacja Grawitacja wewnatrz Ziemi
Spadek w tunelu
Przykład:Znalezc przyspieszenie pojazdu o masie m w zaleznosci od jego odległosci rod srodka Ziemi.
Jezeli gestosc kuli jest stała to
ρ =M
V
MwewnV(r)
=M43πR
3
toMwewn =
M
R3r3.
Strumien wektora ~E wewnatrz kuli o promieniu r
Φ = −4πGMwewn
E · 4πr2 = −4πGMwewn.
13 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Grawitacja Grawitacja wewnatrz Ziemi
Spadek w tunelu . . .
E · 4πr2 = −4πGMwewn
E · r2 = −GM
R3r3
E = −GM
R3r.
Zaleznosc przyspieszenia grawitacyjnego od odległosci od srodka Ziemi.
14 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Satelity Predkosci w astrofizyce
Układ słoneczny
15 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Satelity Predkosci w astrofizyce
Predkosc kosmiczna
Z równowagi sił grawitacji i odsrodkowej na orbicie o promieniu r
GMm
r2= m
v2
r
Pierwsza predkosc kosmiczna
to najmniejsza pozioma predkosc, jaka nalezy nadac ciału wzgledemprzyciagajacego je ciała niebieskiego, aby ciało to poruszało sie pozamknietej orbicie
vI =
√GM
r.
Ciało staje sie wtedy satelita ciała niebieskiego.
Przykładowe predkosci dla:
Ziemi (r = RZ ): 7,91 kms ,
Ksiezyca: 1,68 kms ,
Słonca: 436,74 kms .
16 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Notatki
Notatki
Notatki
Notatki
Satelity Predkosci w astrofizyce
Predkosc kosmiczna . . .
Energia mechaniczna w nieskonczonosci równa jest 0, zatem na powierzchniciała niebieskiego
E =mv2
2− GMm
r= 0
Druga predkosc kosmiczna
to predkosc, jaka nalezy nadac obiektowi, aby opuscił na zawsze dane ciałoniebieskie poruszajac sie dalej ruchem swobodnym
vII =
√2G
M
r.
Czyli jest to predkosc (ucieczki), jaka trzeba nadac obiektowi na powierzchnitego ciała niebieskiego, aby tor jego ruchu stał sie parabola lub hiperbola.
W przypadku Ziemi predkosci ta ma wartosc 11,9 kms .
17 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Satelity Predkosci w astrofizyce
Predkosc kosmiczna . . .
Trzecia predkosc kosmiczna
to predkosc poczatkowa potrzebna do opuszczenia Układu Słonecznego.
vIII = 16,7 kms .
Czwarta predkosc kosmiczna
to predkosc poczatkowa potrzebna do opuszczenia Drogi Mlecznej.
vIV = 130 kms .
R
r=384 0006400
= 60
T = 27,3 dnia = 2, 36 · 106 s
18 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Satelity Energia układu ciał
Energia mechanicznaEnergia potencjalna układu
Ep(r) = −GMm
r.
W celu wyznaczenia energiikinetycznej np. satelity na orbiciekołowej
GMm
r2= m
v2
r
wówczasGM
r= v2
i energia kinetyczna
Ek(r) =12mv2 =
GMm
2r.
Całkowita energia układu ciał
E(r) = Ek(r)+Ep(r) =GMm
2r−GMm
r
E(r) = −GMm
2r.
19 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Ruch w polu sił centralnych Tory ruchu ciał niebieskich
Rodzaje orbit
Orbita
to tor ciała niebieskiego lub sztucznego satelity krazacego wokół innego ciałaniebieskiego.
Ciała poruszaja sie wokół wspólnego srodka masy.Pod wpływem siły centralnej ciała poruszaja sie po tzw. krzywychstozkowych.Orbita moze byc otwarta (wtedy ciało nie powraca) lub zamknieta (ciałopowraca), co zalezy od całkowitej energii układu.Otwarte orbity maja kształt hiperboli (czasem bardzo bliskiej paraboli),a zamkniete orbity maja kształt elipsy (okregu).
20 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Notatki
Notatki
Notatki
Notatki
Ruch w polu sił centralnych Tory ruchu ciał niebieskich
Siła centralna
Ogólny przypadek ruchu punktu materialnego o masie m w polu centralnejsiły zachowawczej ~F we współrzednych biegunowych:
x = r cosϕ, y = r sinϕ,
r =√x2 + y2, ϕ = arc tg
y
x.
v2 = v2r + v2ϕ,
v2 =(dr
dt
)2+(rdϕ
dt
)2,
v2 =(dr
dt
)2+ r2ω2.
Z zasady zachowania momentu pedu, wynika, ze jest to ruch w płaszczyznie~r i ~v
L = rmvϕ = mr2dϕ
dt= mr2ω,
v2 =(dr
dt
)2+(L
mr
)2.
21 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Ruch w polu sił centralnych Tory ruchu ciał niebieskich
Siła centralna . . .
Korzystajac z zasady zachowania energii
E = Ek + Ep =12m(dr
dt
)2+
L2
2mr2+ Ep(r) =
12m(dr
dt
)2+ Uef (r).
Efektywna energia potencjalna
Uef (r) =L2
2mr2︸ ︷︷ ︸energia odsrodkowa
+Ep(r),
dlatego istnieje siła odsrodkowa
F = − d
dr
(L2
2mr2
)=
L2
mr3= mrω2.
Jesli L 6= 0 to zasada zachowania momentu pedu “zapobiega” zblizeniu sieciała do zródła siły (~r 6= 0).
22 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Ruch w polu sił centralnych Tory ruchu ciał niebieskich
Ruch radialny
Jesli moment pedu jest rózny od zera,L 6= 0, istnieje ograniczenie naodległosc najmniejszego zblizeniaciała do centrum siły:
r rmin.
Jesli całkowita energia ciała jestmniejsza niz graniczna wartoscenergii potencjalnej dla duzychodległosci, E < Uef (∞), to ciało niemoze dowolnie oddalic sie od centrumsiły i ruch odbywa sie w ograniczonymobszarze
r ¬ rmax.Charakter ruch ciała w tym polu zalezy od jego energii całkowitej
E > 0 – tor otwarty,
E < 0 – tor zamkniety,
E = Emin – ruch po okregu
23 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Ruch w polu sił centralnych Tory ruchu ciał niebieskich
Ruch katowy
Tor planety zalezy od energii układu. JesliE > 0, to e > 1, co oznacza, ze tor jest hiperbola,E = 0, to e = 1, co oznacza, ze tor jest parabola,E < 0, to e < 1, co oznacza, ze tor jest elipsa.
Jedyna mozliwoscia odpowiadajaca ograniczonemu ruchowi planety wokółgwiazdy jest elipsa, co tym samym dowodzi pierwszego prawa Keplera.
W przypadku orbity eliptycznej energiamechaniczna satelity na orbicieeliptycznej o półosi wielkiej a
E = −GMm
2a.
24 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Notatki
Notatki
Notatki
Notatki
Ruch w polu sił centralnych Planety i satelity
Prawa Keplera
Pierwsze prawo Keplera
Kazda planeta porusza sie po orbicie eliptycznej, w której ognisku znajdujesie Słonce.
Równanie toru planety wewspółrzednych biegunowych
r =p
1 + e cos θ
gdzier jest promieniem wodzacym,e – mimosrodem,p – parametrem elipsy.
25 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Ruch w polu sił centralnych Planety i satelity
Prawa Keplera . . .
Drugie prawo Keplera
Promien wodzacy planety zakresla w równych odstepach czasu równe pola.
Szybkosc zmian pola
dS
dt=
12r2dθ
dt=
12r2ω,
co oznacza, ze predkoscpolowa planety
dS
dt=
L
2m
jest wielkoscia stała
σ =12r2dθ
dt=
L
2m= const.
26 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Ruch w polu sił centralnych Planety i satelity
Prawa Keplera . . .
Trzecie prawo Keplera
Kwadraty okresów obiegu planet dookoła Słonca sa wprost proporcjonalnedo szescianów wiekszych półosi ich orbit
T 2
a3= const.
Gdy tor jest elipsa, półosie elipsy mozna zapisac w postaci
a =p
1− e2 , b =p√
1− e2.
Pole elipsy o półosiach a i b wynosi
S = πab.
27 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Ruch w polu sił centralnych Planety i satelity
Prawa Keplera . . .
Poniewaz predkosc polowa planety w jej ruchu wokół gwiazdy jest stała, tookres obiegu planety mozna obliczyc ze wzoru
TdS
dt= πab,(
TL
2m
)2= π2a2
(L2
GMm2
)2 G2M2m32L2E
.
Przekształcajac otrzymuje sie okres obiegu planty wokół gwiazdy
T =
√4π2a3
GM,
lub w postaci4π2
GM=T 2
a3= const.
28 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Notatki
Notatki
Notatki
Notatki
Ruch w polu sił centralnych Planety i satelity
Literatura
Halliday D., Resnick R, Walker J.Podstawy Fizyki t. 1-5.PWN, 2005.
Praca zbiorowa pod red. A. JustaWstep do analizy matematycznej i wybranych zagadnien z fizyki.Wydawnictwo PŁ, Łódz 2007.
Jaworski B., Dietłaf A.Kurs Fizyki t. 1-3.PWN, 1984.
Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁhttp://cmf.p.lodz.pl/efizykae-Fizyka. Podstawy fizyki.
Kakol Z. Zukrowski J.http://home.agh.edu.pl/˜kakol/wyklady_pl.htmWykłady z fizyki.
29 dr inz. Ireneusz Owczarek Pole grawitacyjne
Notatki
Notatki
Notatki
Notatki