Atom wodoru i jony wodoropodobne

dr inż. Ireneusz OwczarekCMF PŁ

ireneusz.owczarek@p.lodz.plhttp://cmf.p.lodz.pl/iowczarek

2012/13

Spis tresci

Spis tresci

1. Model Bohra atomu wodoru 21.1. Porządek wśród atomów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Energia elektronu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Atom wodoru w mechanice kwantowej 42.1. Równanie Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Rozwiązanie równania Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3. Liczby kwantowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1. Model Bohra atomu wodoru

1.1. Porzadek wsród atomów

Doswiadczenie Rutherforda (1911)

Analiza kątów rozproszenia cząstek alfa pozwoliła określić rozmiary ładunku dodatniegowchodzącego w skład atomu Au.

Prawie cała masa atomu skupiona jest w bardzo małym obszarze – jądrze atomowym.Rozmiar jądra zależy od pierwiastka, ale może być oszacowany jako ok. 10−14m, rozmiary

atomu rzędu 10−10m, a masa protonu to 1836me.Model atomu wprowadzał bliskie współczesnemu modelowi założenia:

• ładunek dodatni zgromadzony jest w niewielkim a przez to bardzo gęstym jądrzegromadzącym większość masy atomu,

• ładunek jądra jest równy iloczynowi liczby atomowej i ładunku elektronu,

• ujemnie naładowane elektrony okrążają jądro, podobnie jak planety okrążają Słońce.

Model Bohra atomu wodoruZakładając, że elektron porusza się po orbitach kołowych o promieniu r ze środkiem w

jądrze, a środek masy pokrywa się ze środkiem jądra (protonu). Z równowagi sił

Fc = ma,

14πε0

e2

r2= m

v2

r,

c© Ireneusz Owczarek, 2013 2

można obliczyć energię kinetyczną

Ek =mv2

2=

e2

8πε0r.

Energia całkowita

Ec = Ek + Ep =e2

8πε0r− e2

4πε0r= − e2

8πε0r.

Postulaty Bohra

1. Elektron w atomie porusza się po orbicie kołowej pod wpływem przyciągania kulom-bowskiego pomiędzy elektronem a jądrem.

2. Elektron może poruszać się tylko po takich orbitach, dla których moment pędu L jestrówny całkowitej wielokrotności stałej Plancka podzielonej przez 2π

L = nh

2π= n~ n=1, 2, 3,..

gdzie n oznacza liczbę kwantową.

3. Elektron poruszając się po orbicie nie wypromieniowuje energii. Jego całkowita energiapozostaje stała.

4. Przejściu elektronu z orbity o energii En na orbitę o energii Em towarzyszy emisja lubabsorpcja fotonu o energii

En − Em = hν.

1.2. Energia elektronu

Z postulatu Bohra

v =n~mr

,

energia kinetycznae2

8πε0r=12m(n~mr

)2,

Promień Bohra

rn =4πε0~2

me2n2 = r0n

2,

gdzie r0 = 5, 29 · 10−11m.

Energia elektronu

En = −me4

32π2ε20~2· 1n2= −E0

n2,

gdzie E0 = 13, 59eV jest energią jonizacji atomu (przejście ze stanu n = 1 do nieskończono-ści).

c© Ireneusz Owczarek, 2013 3

Po czasie 10−8s następuje samorzutne przejście elektronu z poziomu n na poziom k (n >k). Atom emituje kwant promieniowania o częstotliwości

ν =En − Ek

h=

me4

64π3ε20~3( 1k2− 1n2

).

Ponieważν =

c

λ

Długość fali emitowanego fotonu1λ=

me4

64π3cε20~3( 1k2− 1n2

)= R0

( 1k2− 1n2

),

gdzie R0 = 1, 09737 · 107m−1 jest stałą Rydberga.

Grupę linii z jednakowymi wartościami n nazwano serią widmową.Dla jonów wodoropodobnych (Z jest liczbą porządkową w układzie okresowym pierwiast-

ków)1λ= Z2R0

( 1k2− 1n2

).

2. Atom wodoru w mechanice kwantowej

2.1. Równanie Schrödingera

Sprzecznosci z prawami fizyki klasycznejNiestety model atomu Bohra jest niewystarczający:

• zbyt prosty, nie pasuje do atomów wieloelektronowych,

• dlaczego moment pędu elektronu jest skwantowany?

• dlaczego elektron nie emituje promieniowania i nie spada na jądro?

Mimo tego wskazuje on, że elektrony w atomie przyjmują pewne stacjonarne (trwałe)„stany energetyczne”.

Atom wodoru jest swego rodzaju studnią potencjału (naturalną pułapką) dla elektronu.Energia potencjalna oddziaływania elektron–jądro jest postaci

U(r) = − e2

4πε0r.

Równanie Schrödingera dla przypadku trójwymiarowego w układzie kartezjańskim

∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2+∂2ψ

∂z2= −2m

~2(E − U)ψ.

c© Ireneusz Owczarek, 2013 4

Układ sferyczny

Potencjał ma symetrię sferyczną więc należy wprowadzić sferyczny układ współrzędnych

x = r sinϑ cosϕ,

y = r sinϑ sinϕ,

z = r cosϑ.

Równanie Schrödingera w układzie sferycznym

1r2

∂

∂r

(r2∂ψ

∂r

)+

1r2 sinϑ

∂

∂ϑ

(sinϑ

∂ψ

∂ϑ

)+

1r2 sin2 ϑ

∂2ψ

∂ϕ2= −2m

~2(E − U)ψ,

gdzie szukana funkcja falowa we współrzędnych sferycznych ma postać

ψ(r, ϑ, ϕ) = R(r)Y (ϑ, ϕ).

Podstawiając tą funkcję do równania Schrödingera otrzymuje się trzy równania z którychkażde opisuje zachowanie się funkcji falowej w zależności od r, ϑ, ϕ – równanie radialne,biegunowe i azymutalne.

2.2. Rozwiazanie równania Schrödingera

Kwantowanie energiiRozwiązanie równania radialnego Rn(r) istnieje jeśli energia elektronu przyjmuje ściśle

określone wielkości

En = −me4

32π2ε20~2· Z2

n2= −13, 59eV Z2

n2,

dla wartości r = r0

r0 =4πε0~2

me2= 5, 29 · 10−11m.

• wyrażenia dla r0 i En są identyczne jak w modelu Bohra,

• kwantyzacja jest wynikiem rozwiązania równania Schrödingera, a nie postulatem,

• r0 nie jest promieniem orbity, lecz odległością od jądra, przy której prawdopodobień-stwo znalezienia się elektronu osiągnie wartość maksymalną,

c© Ireneusz Owczarek, 2013 5

• przyjęcie klasycznej orbity traci sens,

• moment pędu nie jest równy n~, lecz L =√l(l + 1)~.

Kwantowanie modułu momentu peduFunkcja Y (ϑ, ϕ) jest funkcją własną i pozwala znaleźć wartości własne (rozwiązanie), gdy:

L =√l(l + 1)~ l = 0, 1, 2, . . . , n− 1,

to znacz, że moment pędu elektronu w atomie wodoru L jest skwantowany, a liczba l jesttu tzw. orbitalną (azymutalną) liczbą kwantową.

Przyjmuje się następujące oznaczenia stanów elektronu w atomach:

• l = 0 – stan s,

• l = 1 – stan p,

• l = 2 – stan d,

• l = 3 – stan f ,. . .

Wektora L nie można w żaden sposób zmierzyć, można jedynie zmierzyć składową tegowektora wzdłuż danej osi np. określonej przez pole magnetyczne.

Kwantowanie przestrzenne momentu peduFunkcje Y (ϑ, ϕ) są tzw. funkcjami kulistymi oznaczanymi – Ylm(ϑ, ϕ).Liczba ml jest tu tzw. magnetyczną liczbą kwantową,

ml = 0,±1,±2, . . . ,±l.

Magnetyczna liczba kwantowa opisuje wartość rzutu momentu pędu elektronu na oś okre-ślającą wyróżniony kierunek w atomie, np. zewnętrznego pola elektrycznego lub magnetycz-nego

Lz = ml~.

Jeżeli długość orbity elektronu jest równa całkowitej wielokrotności λ, fale de Broglie’anie wygaszają się – orbita jest dozwoloną

mlλ = 2πr.

c© Ireneusz Owczarek, 2013 6

2.3. Liczby kwantowe

Liczby kwantowe w modelu Bohra

Stan elektronu określony jest przez

główna liczbę kwantową n i oznacza numer orbity (odpowiada odległości od jądra). Przyj-muje wartości całkowitych liczb dodatnich, n = 1, 2, 3, ....,

orbitalna liczbę kwantową l i oznacza wartość bezwzględną orbitalnego momentu pędu.Przyjmuje wartości liczb naturalnych z zakresu < 0, n− 1 >,

magnetyczna liczbę kwantową ml i oznacza rzut orbitalnego momentu pędu na wybranąoś. Przyjmuje wartości liczb całkowitych z zakresu < −l, 0,+l >,

magnetyczna spinowa liczbę kwantową ms określającą spinowy moment elektronu. Dlaelektronu przyjmuje wartości + 12 (prawoskrętny) lub − 12 (lewoskrętny).

W swobodnym atomie wodoru i jonie wodoropodobnym wszystkie stany o danej wartościliczby kwantowej n i różnych wartościach liczb kwantowych l i m mają tę samą energię.

Orbital atomowy

Orbital atomowy to funkcja falowa ψ opisująca stan elektronu w atomie zależna odtrzech liczb kwantowych: n, l i ml.

Prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu w elemencie objętości dV określone jestprzez |ψ|2dV .

Każdy orbital atomowy jest związany z pewną symetrią obszaru, w którym znajduje sięelektron.

Obszar w którym występuje duże prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu nazywasię chmurą elektronową.

Kolejnosc obsadzania poziomów elektronowych

Reguła HungaPoziomy o jednakowej energii są najpierw obsadzane przez pojedyncze elektrony o takimsamym spinie.

Zakaz PauliegoW atomie dwa elektrony nie mogą mieć identycznych czterech liczb kwantowych

Z zasady tej wynika,że:

c© Ireneusz Owczarek, 2013 7

• na każdej powłoce znajduje się maksymalnie Z = 2n2 stanów do obsadzenia,

• Na każdej podpowłoce znajduje się 2(2l + 1) stanów do obsadzenia.

n l ml ms Z1 0 0 − 12 ,+

12 2

2 0 0 ± 121 -1 ± 12 81 0 ± 121 1 ± 12

Systematyka zapełniania stanów elektronowych w atomach i okresowość zmian własnościchemicznych pierwiastków umożliwiają umieszczenie wszystkich pierwiastków w układzieokresowym pierwiastków Mendelejewa.

Energia jonu wodoropodobnegoEnergia jonizacji równa jest energii wiązania elektronu w atomie. Największą energię joni-

zacji mają atomy gazów szlachetnych. Pierwiastki te mają zapełnione powłoki walencyjne.Najmniejszą energię jonizacji mają pierwiastki z pierwszej grupy układu okresowego po-

siadające na powłoce walencyjnej jeden elektron.

Układ okresowy pierwiastkówZałożenia:

• Liczba porządkowa Z pierwiastka chemicznego określa liczbę protonów znajdującychsię w jądrze atomowym – równa jest także liczbie elektronów w atomie gdy atom niejest „zjonizowany”.

• Stan elektronu w atomie określony jest przez zestaw liczb kwantowych n, l, ml i ms.

• Obsadzenie stanów energetycznych w atomie przez elektrony powinno zachodzić zgod-nie z zakazem Pauliego.

Tablica Mendelejewa

• ułożenie znanych pierwiastków chemicznych według wzrastających liczb atomowych,

• pierwiastki w pionowych kolumnach (grupach układu) mają podobne właściwości che-miczne,

• fizyka kwantowa systematyzuje atomy poprzez podanie ich konfiguracji elektronowej,

• numer porządkowy okresu odpowiada głównej liczbie kwantowej n.

c© Ireneusz Owczarek, 2013 8

Literatura

[1] Halliday D., Resnick R, Walker J. Podstawy Fizyki t. 1-5. PWN, 2005.

[2] Praca zbiorowa pod red. A. Justa Wstęp do analizy matematycznej i wybranych zagad-nień z fizyki. Wydawnictwo PŁ, Łódź 2007.

[3] Jaworski B., Dietłaf A. Kurs Fizyki t. 1-3. PWN, 1984.

[4] Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ http://cmf.p.lodz.pl/efizyka e-Fizyka.Podstawy fizyki.

[5] Kąkol Z. Żukrowski J. http://home.agh.edu.pl/˜kakol/wyklady_pl.htm Wykłady z fizy-ki.

c© Ireneusz Owczarek, 2013 9