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Chapter 2

Limits

Límites

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2.1

The Idea of Limits

La idea del limite

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Alt

ura

Tiempo(s)

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Alt

ura

Tiempo(s)A

ltura

Tiempo(s)

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Tiempo(s)

Alt

ura

Slide 2 - 7

La velocidad tiende a 64ft/s, cuando el

tiempo tiende a 1(s)

Slide 2 - 8

A medida que el intervalo de tiempo es más pequeño,

la velocidad promedio se aproxima a 64ft/s (La

velocidad instantánea en t=1s)

Slide 2 - 9

Por el momento, imagine que hacemos zoom en un punto P. A medida que incrementamos el

zoom, la curva se parece más y más a una línea que pasa sobre P. Esta línea es la línea tangente.

Slide 2 - 10

Las líneas secantes se aproximan a la línea

tangente

Alt

ura

Tiempo(s)

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2.2

Definition of Limits

Definición de límites

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Definición del Límite:

Suponga que la función f es definida para toda x cerca de a, excepto posiblemente

a. Si f(x) esta arbitrariamente cerca de L (tan cerca de L como deseemos) para todo

x suficientemente cerca de a, escribimos

Y decimos el limite de f(x) a medida que x se aproxima a a es igual a L.

lim f(x)=Lx a

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Cerca de x=2

Cerca de x=3

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Cerca de x=1, f(x)

se aproxima a 2

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Cerca de x=12, f(x)

se aproxima a 3

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Cerca de x=3, f(x) se

aproxima a 4

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Definición Limite laterales

1. Limite derecho. Suponga que f es definida para toda x cerca

de a con x>a. Si f(x) esta arbitrariamente cerca de L para

todo x suficientemente cerca de a con x>a, .escribimos

Y decimos que el limite de f(x) a medida que x se aproxima a a

por la derecha es igual a L

lim f(x)=Lx a

Slide 2 - 18

A medida que x se aproxima a 2

por la derecha, f(x) se aproxima a 3

A medida que x se aproxima a 2 por

la izquierda, f(x) se aproxima a 3

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A medida que x se aproxima a 2

por la derecha, f(x) se aproxima a 3

A medida que x se aproxima a 2 por

la izquierda, f(x) se aproxima a 3

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Relación entre limites unilaterales y bilaterales

Asuma que f es definida para todo x cerca de a excepto

posiblemente a. Luego si y solo si y lim f(x)=Lx a

lim f(x)=Lx a

lim f(x)=Lx a

Slide 2 - 21

• El limite cuando x tiende a 2 por la derecha tiende a 1

• El limite cuando x tiende a 2 por izquierda tiende a 4

• El limite cuando x tiende a dos no existe

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Podríamos erróneamente

concluir que cos(1/x) se

aproxima a -1 a medida

que x se aproxima a 0 por

la derecha

Slide 2 - 23

Los valores de cos(1/x) oscilan entre -1 y 1,

en intervalos cada vez mas cortos, a medida

que x se aproxima a 0 por la derecha

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2.3

Techniques for Computing LimitsTécnicas para calcular límites

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Suponga que a,b y m son números reales.

Para funciones lineales f(x)=mx+b,

lim f(x)=f(a)=ma+bx a

Slide 2 - 27

Leyes de los limites

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Limites de polinomios y funciones racionales. Asuma que p(x) y

q(x) son polinomios y a es una constante

Funciones poligonales

Funciones racionales

lim p(x)=p(a)x a

p(x) p(a)lim =

( ) ( )x a q x q a ( ) 0q a

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• El limite cuando x tiende a 1 por la derecha tiende a 1

• El limite cuando x tiende a 1 por izquierda tiende a 2

• El limite cuando x tiende a dos de f(x) no existe

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El limite cuando x tiende a 2 de f(x) es -0.5

Slide 2 - 31

Slide 2 - 32

2

2 1 2*2 1 5lim

3 2 3*2 2 8x

x

x

2

3 3 3

9 ( 3)( 3)lim lim lim( 3) 6

3 3x x x

x x xx

x x

Slide 2 - 33

2

21 1 1

4 5 ( 5)( 1) ( 5)lim lim lim 6

( 1)x x x

x x x x x

x x x x x

Slide 2 - 34

3 2 2

22 .2 .2

8 ( 2)( 2 4) ( 2 4) 12lim lim lim 3

4 ( 2)( 2) ( 2) 4x x x

x x x x x x

x x x x

Slide 2 - 35

2 2 2 2 2

2 2 ( 2)( 2) ( 2)( 2) ( 2)lim lim lim lim lim 2

2 2 2( 2) 2( 2)( 2) 2( 2) 2x x x x x

x x x x x x x

x x x x x

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2.4

Infinite Limits

Límites infinito

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Límite cuando x tiende a 0 es

infinito

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• Límite cuando x tiende a infinito es 0

• Limite cuando x tiende a menos

infinito es 0

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• Límite cuando x tiende a infinito es M

• Limite cuando x tiende a menos

infinito es L

• Limite cuando x tiende a a es infinito

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• Límite cuando x tiende a a es infinito

• Limite cuando x

tiende a a es menos

infinito

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• Límite cuando x tiende a -1

es menos infinito

• Límite cuando x tiende a a

es infinito

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Definición: Limites unilaterales infinitos

Suponga que f es definida para toda x cerca a a con x>a. Si f(x)

se vuelve arbitrariamente grande para toda x suficientemente

cerca de a con x>a, escribimos

lim f(x)=x a

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Límite cuando x tiende a a por la

derecha

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Asíntota vertical

Slide 2 - 46

Limite cuando x tiende a 0 por la

derecha es infinito

Slide 2 - 47

La grafica (b) es la correcta, porque f(1)

no esta definida

Slide 2 - 48

Limite cuando teta tiende a cero no existe

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2.5

Limits at Infinity

Límites al infinito

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Asíntotas horizontales

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• Limite cuando x tiende a infinito de f(x) es igual a L

• Limite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es igual a M

Slide 2 - 52

Limites al infinito y asíntotas horizontales

Si f(x) esta arbitrariamente cerca a un numero finito L para

todo numero x lo suficientemente grande y positivo,

escribimos

Decimos que el limite de f(x) a medida que x se acerca a

infinito es L

lim f(x)=Lx

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Limites infinitos en el infinito

Si f(x) es arbitrariamente grande a medida que x se vuelve

muy grande

lim f(x)=x

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Limites al infinito de potencias y polinomios

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Caso m<n

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Caso m=n

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Caso m=n

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2.6

Continuity

Continuidad

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Continuidad en un puntoUna función es continua en un punto a si . Si f

no es continua en a, a es un punto de discontinuidad.

lim ( ) ( )x a

f x f a

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La función es

discontinua en

x=0,15,30,35

La fLa función es continua

en el intervalo de 0 a 4

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Es h(x) continua

en x=0?

x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,00000001

x*sin(1/x) 0,841471 -0,0544 -0,00506 0,000827 -3,1E-05 3,57E-07 9,3164E-09

Si, porque el limite cuando x

tiende a cero es igual a f(0)

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Es continua la función es x=1,2,3?

No, porque el limite cuando x

tiende a 1 es diferente a f(1)

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Para que f sea continua en a, las siguientes condiciones

se deben satisfacer

esta definida

existe

(el valor de f en a es igual a el limite cuando es

tiende a a de f)

( )f a

lim ( )x a

f x

lim ( ) ( )x a

f x f a

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Si f y g son continuas en a, luego las siguientes funciones son

también continuas en a. Asuma c es una constante y n>0 es un

entero

f g f g

cf fg

/ g(a) 0f g ¨

( )n

f x

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Función polinomiales y racionales

Una función polinomial es continua para todo x.

Una función racional de la forma es continua

para todo x para el cual

( )

( )

p x

q x

( ) 0q x

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Continua en todo punto,

excepto x=3 y x=4

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Continuidad en los extremos

Una función es continua desde la izquierda en a si

Y una función es continua desde la derecha en a si

.lim ( ) ( )x a

f x f a

lim ( ) ( )x a

f x f a

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Continuidad en un intervalo

Una función es continua en el intervalo I si es continua

en todos los puntos de I. Si I contiene los extremos,

continuidad en I significa continuidad desde la derecha o

la izquierda de los extremos

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Continuidad de funciones con raíces

Asuma que m y n son enteros positivos sin factor común.

Si m es un entero impar, luego es continua en todos

los puntos en los cuales f es continua.

Si m es par, luego es continua en todos los puntos a

en los cuales es continua y f(a)>0

¨

( )n

mf x

¨

( )n

mf x

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La función seno es continua

en el intervalo ( , )

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Teorema del valor intermedio

Suponga que f es continua en el intervalo

y es un número entre f(a) y f(b). Luego hay

aunque sea un numero en que satisface

,a b

L

c ( , )a b ( )f c L

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