No Slide Title...Kinematika Kretanje materijalne tačke. Referentni sistem. •Tijela se pri kretanju mogu predstaviti materijalnom tačkom (MT) pri čemu se zanemaruju oblik, dimenzije

Kinematika Oblast mehanike koja proučava kretanje ne uzimajući u

obzir uzroke kretanja i osobine tijela koja se kreću.

• Kretanje materijalne tačke. Referentni sistem.

• Putanja, put i pomjeraj.

• Brzina. Ravnomjerno kretanje.

• Ubrzanje. Pravolinijsko jednako ubrzano kretanje.

• Ubrzanje kod krivolinijskog kretanja. Ravnomjerno kružno

kretanje.

• Kinematika rotacionog kretanja. Ugaona brzina i ubrzanje.

Kinematika Kretanje materijalne tačke. Referentni sistem.

• Tijela se pri kretanju mogu predstaviti materijalnom tačkom

(MT) pri čemu se zanemaruju oblik, dimenzije i masa tijela.

• Kretanjem se naziva promjena položaja MT u vremenu i

prostoru.

• MT se kreće ako mijenja položaj u odnosu na drugu tačku koja se

naziva referentna tačka.

• Za referentnu tačku se vezuje određeni referentni sistem u odnosu na

koga se određuje stanje mirovanja ili kretanja MT.

• MT se nalazi u stanju mirovanja ako ne mijenja položaj u

odnosu na referentnu tačku.

• Stanje mirovanja i kretanja su relativna.

• I mirovanje je oblik kretanja. Nema apsolutnog mirovanja.



• Položaj, odnosno koordinate MT zavise od izabranog

referentnog sistema.

• Obično je referentni sistem nepokretan.

• Položaj MT se određuje koordinatama u izabranom

koordinatnom sistemu.

• Broj koordinata određuje broj stepena slobode.


• Najčešće se koristi pravougli koordinatni sistem.

• MT određena sa tri koordinate x, y i z.

• MT određena vektorom položaja.

• Tri stepena slobode – kretanje u pravcima sve tri ose.

Kinematika Putanja, put i pomjeraj

• Kada se MT kreće njene koordinate se mijenjaju u vremenu.

• Niz uzastopnih položaja MT pri kretanju naziva se putanja.

• Kriva u prostoru koju pri kretanju opisuje MT određena je

jednačinom:

𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑖 + 𝑦 𝑡 𝑗 + 𝑧 𝑡 𝑘

• Dio putanje naziva se put.

• Vektor koji spaja tačke S1 i S2 zove se vektor pomjeraja.

• Pomjeraj je promjena vektora

položaja MT u prostoru.

• Pomjeraj je vektor.

• Put je skalar.

Kinematika Putanja, put i pomjeraj

A B

0 -4 4

Put: Δs=3 m+8 m=11 m

1

Pomjeraj: Δx=-4 m-1 m=-5 m

Kinematika Brzina materijalne tačke

• Pri kretanju MT pređe put ∆s, a pomjeraj iznosi ∆𝑟 :

• Za definisanje kretanja potrebno je poznavati pored pomjeraja, i

koliko dugo se MT kretala (vrijeme) i kojom brzinom.

• Definišu se dvije vrste brzina u funkciji vremena:

• Brzina u odnosu na pređeni put (speed);

• Brzina u odnosu na pomjeraj (velocity).

• Za pravolinijsko kretanje obe brzine imaju istu vrijednost.

• Srednja brzina u odnosu na

put je skalar.

• Srednja brzina u odnosu na

pomjeraj je vektor: • Ima isti pravac i smijer kao i vektor pomjeraja.

• Intenzitet zavisi od pomjeraja i vremena.

Kinematika Brzina materijalne tačke

• Definiše se:

• Srednja brzina u odnosu na put – količnik pređenog puta u nekom

vremenskom intervalu i vremenskog intervala:

𝑣𝑠𝑟 =∆𝑠

∆𝑡

• Srednja brzina u odnosu na pomjeraj– količnik promjene vektora položaja

u nekom vremenskom intervalu i vremenskog intervala u kome je nastupila

promjena:

𝑣 𝑠𝑟 =∆𝑟

∆𝑡

• Srednja brzina ne daje informaciju o

tome šta se dešavalo između početne

i krajnje tačke pređenog puta.

• Potrebno je poznavati trenutnu brzinu.

Kinematika Brzina materijalne tačke • Trenutna brzina u nekom trenutku se određuje kada vremenski

interval teži nuli:

• Vektor trenutne brzine ima pravac tangente u datoj tački putanje a

smjer odgovara smjeru kretanja MT.

𝑣 = lim∆𝑡→0

𝑣 𝑠𝑟 = lim∆𝑡→0

∆𝑟

∆𝑡=𝑑𝑟

𝑑𝑡

Kinematika Brzina materijalne tačke • Smanjenjem vremenskog intervala vrijednost puta se približava

vrijednosti pomjeraja i u graničnom slučaju imaju jednake vrijednosti:

𝑣 =𝑑𝑟

𝑑𝑡𝑟 0 =

𝑑𝑠

𝑑𝑡𝑟 0 = 𝑣𝑟 0

• 𝑟 0 jedinični vektor tangente na putanju,

• Jedinica u SI je m/s

• Koristi se km/h,

• Vektor trenutne brzine ima tri komponente u Dekartovom koordinatnom sistemu:

𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡𝑖 +𝑑𝑦

𝑑𝑡𝑗 +𝑑𝑧

𝑑𝑡𝑘

𝑣 = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗 + 𝑣𝑧𝑘

Kinematika Vrste kretanja • Za definisanje kretanja potrebno je poznavati neku od

sljedećih zavisnosti:

𝑟 = 𝑟 𝑡 ; 𝑣 = 𝑣 𝑡 ; 𝑎 = 𝑎 𝑡

• Koriste se sljedeće relacije:

𝑣 =𝑑𝑟

𝑑𝑡; 𝑎 =

𝑑𝑣

𝑑𝑡; 𝑎 =

𝑑2𝑟

𝑑𝑡2

Kinematika Vrste kretanja • Prema obliku putanje kretanja MT:

• Pravolinijska

• krivolinijska

• Prema brzini i ubrzanju MT

• Ravnomjerna

• Jednako ubrzana

• Nejednako ubrzana

Ravnomjerno kretanje • Intenzitet brzine je konstantan

• Pravac i smjer brzine može biti promjenljiv

• Pređeni put u vremenskom intervalu (0, t) je lin.

Funkcija.

𝑠 = 𝑣𝑑𝑡

𝑡

0

= 𝑣𝑡 + 𝐶

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣𝑡

Kinematika

s

t

α

𝑠0 v

t

v

Δt

Δs

Ubrzanje materijalne tačke • Vektor promjene brzine:

∆𝑣 = 𝑣 1 − 𝑣

• Vektor srednjeg ubrzanja u tački A jednak je

količniku vektora promjene brzine i

vremenskog intervala:

𝑎 𝑠𝑟 =𝑣 1 − 𝑣

𝑡1 − 𝑡=∆𝑣

∆𝑡

Kinematika

𝑣 1

𝑣

𝑣 1

∆𝑣 1

Ubrzanje materijalne tačke

• Granična vrijednost vektora srednjeg ubrzanja daje vektor

trenutnog ubrzanja:

𝑎 = lim∆𝑡→0

𝑎 𝑠𝑟 = lim∆𝑡→0

∆𝑣

∆𝑡=𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡=𝑑2𝑟

𝑑𝑡2

Kinematika

Ubrzanje materijalne tačke • Kod pravolinijskog kretanja:

– vektor brzine i ubrzanja imaju isti pravac (smjer je različit ako se radi o

usporenom kretanju)

– pređeni put i pomjeraj imaju istu brojčanu vrijednost,

– Jedinica je 𝑚 𝑠2 .

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡

Kinematika

Pravolinijsko jednako ubrzano kretanje • Kretanje po pravoj liniji sa konstantnim ubrzanjem.

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝑎𝑠𝑟 =

𝑣 − 𝑣0𝑡 − 𝑡0

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

• Vektori pomjeraja, brzine i ubrzanja su istog pravca i kolinearni

sa putanjom.

• Kretanje može biti: – Ubrzano (smijerovi vektora brzine i ubrzanja isti)

– Usporeno (smijerovi vektora brzine i ubrzanja različiti, brzina

materijalne tačke se smanjuje)

Kinematika

Pravolinijsko jednako ubrzano kretanje

• Zakon promjene brzine u vremenskom intervalu (0, t) je

linearna funcija:

𝑣 = 𝑎𝑑𝑡 =

𝑡

0

𝑎𝑡 + 𝐶

𝑣 = 𝑣0 ± 𝑎𝑡

• Koeficijent nagiba: 𝑎 = 𝑡𝑔 𝛼

• Kada je početna brzina nula: 𝑣 = 𝑎𝑡

Kinematika

α

t

v

α

𝑣0

a

t

a Δv

Δt


• Pređeni put je kvadratna funcija vremena:

𝑠 = 𝑣𝑑𝑡

𝑡

0

= 𝑣0 ± 𝑎𝑡 𝑑𝑡

𝑡

0

𝑠 = 𝑣0𝑡 ±𝑎𝑡2

2+ 𝐶

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 ±𝑎𝑡2

2

Kinematika

v

𝑣0

t

s


• Slobodan pad:

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 ±𝑎𝑡2

2 𝑠 =

𝑔𝑡2

2

𝑣 = 𝑣0 ± 𝑎𝑡 𝑣 = 𝑔𝑡

𝑠 =𝑣2

2𝑔

• Kada tijelo pada sa visine h pri udaru dostiže brzinu:

𝑣 = 2𝑔ℎ

Kinematika

Ubrzanje kod krivolinijskog kretanja

• Može se rastaviti na dvije međusobno normalne komponente

tangencijalno ubrzanje u pravcu tangente na putanju

(odnosno u pravcu brzine)

normalno ubrzanje u pravcu normale na putanju

(odnosno u pravcu poluprečnika krivine)

Kinematika

Ravnomjerno kružno kretanje

• MT se kreće po kružnoj putanji.

• Brzina je konstantnog intenziteta a promjenljivog pravca.

• Kretanje MT po kružnoj liniji poluprečnika R.

Kinematika

•Pređeni put jednak je dužini luka ΔS=RΔθ

•Iz jednakokrakog trougla → ∆𝑣 = 𝑣∆𝜃

•Eliminacijom ugla → ∆𝑣 = 𝑣∆𝑆

𝑅

•Normalno ubrzanje: 𝑎𝑛 = lim∆𝑡→0

∆𝑣

∆𝑡= lim∆𝑡→0

𝑣

𝑅

∆𝑆

∆𝑡=𝑣2

𝑅

Kinematika - Ravnomjerno kružno kretanje

• Normalno ubrzanje: 𝑎𝑛 =𝑣2

𝑅

• Tangencijalno ubrzanje je jednako nuli jer nema promjene

intenziteta brzine:

𝑎𝑡 = lim∆𝑡→0

∆𝑣

∆𝑡=𝑑𝑣

𝑑𝑡= 0

• Ubrzanje kod promjenljivog kružnog kretanja ima i normalnu

i tangencijalnu komponentu,

• Ubrzanje kod kružnog kretanja ne može biti nula. – Krivolinijsko kretanje je ubrzano.

Kinematika - Ravnomjerno kružno kretanje

Kinematika Kosi hitac

• Kretanje tijela pod dejstvom zemljine teže

• Kretanje pod uglom u odnosu na horizontalnu osu;

• Kretanje u vertikalnoj ravni.

• Karakteristike:

• Početna brzina;

• Domet hica;

• Maksimalna visina;

• Vrijeme leta.

• Komponente početne brzine: 𝑣𝑜𝑥 = 𝑣0cos𝛼

𝑣𝑜𝑦 = 𝑣0sin𝛼



• Kretanje tijela

• U horizontalnom pravcu – ravnomjerno kretanje

konstantnom brzinom;

• U vertikalnom pravcu – jednoliko usporeno, odnosno

jednoliko ubrzano.

• Trenutne brzine:

𝑣𝑥 = 𝑣𝑜𝑥 = 𝑣0cos𝛼,

𝑣𝑦 = 𝑣𝑜𝑦 − 𝑔𝑡 = 𝑣0sin𝛼 − 𝑔𝑡.

• Pređeni put:

𝑥 = 𝑣𝑥𝑡 = 𝑣𝑜𝑥𝑡 = 𝑣0𝑡cos𝛼,

𝑦 = 𝑣𝑜𝑦𝑡 −𝑔𝑡2

2= 𝑣0tsin𝛼 −

𝑔𝑡2

2.


• Kada se tijelo nalazi na najvećoj visini?

• USLOV

• Najveća visina?

• Putanja ima oblik parabole?

• Maksimalni domet?

• Šta ako je hitac sa visine h? Važe li sad gornje

formule?

Kinematika Kinematika rotacionog kretanja krutog tijela

• Kod rotacionog kretanja tijela dimenzije tijela se ne

mogu zanemariti.

• Sile koje dovode do kretanja deformišu realna tijela.

• Radi uprošćavanja, posmatra se kruto tijelo:

• Ne deformiše se pri dejstvu sile;

• Sastavljeno je od ogromnog broja MT koje su međusobno

nepokretne;

• Svaka tačka tijela se kreće i opisuje svoju putanju.

• Oblici kretanja:

• Translatorno;

• Rotaciono.


• Kod rotacionog kretanja krutog tijela MT opisuje krugove, čiji centri leže na jednoj pravoj koja se naziva osa rotacije.

• Sve MT nemaju istu periferijsku brzinu koja zavisi od rastojanja MT od ose rotacije – dalje rotiraju brže.

• Uvodi se pojam ugaonog pomjeraja:

• vektor;

• Intenzitet brojno jednak promjeni ugla;

• Pravac - osa rotacije;

• Smijer pravilo desnog zavrtnja.

• Ravnomjerno rotaciono kretanje:

• Svaka MT kreće se po kružnici koja leži

u ravni normalnoj na osu rotacije;

• Brzina rotacije na kružnici je konstantna.


• Sve MT imaju istu ugaonu brzinu:

• vektor;

• Intenzitet brojno jednak promjeni ugla u jedinici vremena;

• Pravac - osa rotacije;

• Smjer pravilo desnog zavrtnja,

• Jedinica rad/s.

𝜔 =Δ𝜃

Δ𝑡


• Dodatne veličine:

• Period rotacije t [s] – vrijeme za koje tijelo izvrši pun obrt;

• Frekvencija 𝜈 [Hz] – broj obrtaja u jednoj sekundi (jednaka

je recipročnoj vrijednosti perioda rotacije);

𝜈 =1

𝑇

• Za period rotacije T tijelo izvrši pun obrtaj pa je

ugaona brzina:

• Obrnuto srazmjerna periodu rotacije;

• Direktno srazmjerna frekvenciji.

𝜔 =Δ𝜃

Δ𝑡=2𝜋

𝑇= 2𝜋𝜈


• Pređeni put MT po kružnoj liniji za period ∆t jednak je

dužini luka, pa je periferijska brzina:

𝑣 =∆𝑠

∆𝑡=𝑅∆𝜃

∆𝑡= 𝑅

∆𝜃

∆𝑡= 𝑅𝜔

• Intenzitet periferijske brzine srazmjeran je ugaonoj brzini i

poluprečniku.

• Tačka se brže kreće što je veći prečnik i veća ugaona brzina.

𝑣

C

∆S R

∆θ


• Periferijska brzina se može predstaviti i kao vektorski

proizvod:

𝑣 = 𝜔 × 𝑅


• Kod neravnomjernog rotacionog kretanja:

• Intenzitet periferne brzine se mijenja;

• Mijenja se i ugaona brzina i određuje kao prvi izvod ugaonog

pomjeraja po vremenu:

𝜔 = lim∆𝑡→0

∆𝜃

∆𝑡=𝑑𝜃

𝑑𝑡

• Periferijsko ubrzanje nije isto za sve MT i ima dvije

komponente:

• Normalnu (radijalnu)

𝑎𝑛 =𝑣2

𝑅

• Tangencijalnu.

𝑎𝑡 =𝑑𝑣

𝑑𝑡=𝑑

𝑑𝑡𝜔𝑅 = 𝑅

𝑑𝜔

𝑑𝑡


• Kod neravnomjernog rotacionog kretanja sve MT

imaju isto ugaono ubrzanje:

• Vektor koaksijalan sa ugaonom brzinom,

• Smijer zavisi od priraštaja ugaone brzine (isti smijer kod

ubrzanog kretanja, suprotan kod usporenog kretanja),

• Intenzitet je definisan promjenom ugaone brzine sa

vremenom:

𝛼 =𝑑𝜔

𝑑𝑡

• Tangencijalna komponenta ubrzanja može se

izračunati i kao:

𝑎𝑡 = 𝑅𝛼 𝑎 𝑡 = 𝛼 × 𝑅

Test pitanja - kolokvijum

1. Šta su putanja, put i pomjeraj?

2. Šta je srednja brzina u odnosu na put?

3. Šta je srednja brzina u odnosu na pomjeraj?

4. Podjela kretanja prema obliku putanje promjeni brzine i ubrzanja?

5. Karakteristike ravnomjernog kretanja?

6. Šta je vektor srednje brzine?

7. Karakteristike pravolinijskog ubrzanog kretanja?

8. Karakteristike vektora ubrzanja kod krivolinijskog ubrzanja?

9. Komponente vektora ubrzanja kod krivolinijskog ubrzanja?

10. Karakteristike ravnomjernog kružnog kretanja?

11. Karakteristike ravnomjernog rotacionog kretanja?

12. Veza između periferijske i ugaone brzine?

13. Karakteristike neravnomjernog rotacionog kretanja?

Documents

No Slide Title...Kinematika Kretanje materijalne tačke. Referentni sistem. •Tijela se pri kretanju mogu predstaviti materijalnom tačkom (MT) pri čemu se zanemaruju oblik, dimenzije