Nükleer Fizik 1 Ders Notlar - web.harran.edu.trweb.harran.edu.tr/assets/uploads/sites/61/files/nukleerfizik1dersnotlari-02062016.pdf · Nükleer Fizik 1 Ders Notlar B.1 Nükleer

Nükleer Fizik 1 Ders Notlar


Yrd. Doç. Dr. lker Can Çelik

Kaynaklar

Intoductory to Nuclear Physics (Kenneth S. Krane)Concepts of Nuclear Physics (Bernard L. Cohen)

Nuclear Structure from a Simple Perspective (Richard F. Casten)Practicle Gamma-ray Spectrometry (Gordon R. Gilmore)

May 23, 2016

Yrd. Doç. Dr. lker Can Çelik Nükleer Fizik 1 Ders Notlar


Outline

1 Temel KavramlarNükleer Fizi§in Tarihi Geçmi³iNükleer Özellikler



Outline

2 Kuantum Mekani§inin Ö§eleriKuantum Davran³Kuantum Mekani§inin lkeleri



Outline

3 Çekirde§in ÖzellikleriNükleer YarçapÇekirde§in Yük Da§lmÇekirdeklerin Kütlesi ve Bolluk OranlarNükleer Ba§lanma EnerjisiNükleer Açsal Momentum ve PariteNükleer Elektromanyetik MomentlerNükleer Uyarlm³ Durumlar



Outline

4 Nükleonlar Aras KuvvetNükleonlar Aras KuvvetDöteronNükleon-Nükleon SaçlmasProton-Proton ve Nötron-Nötron Etkile³mesiNükleer Kuvvetin ÖzellikleriDe§i³ Toku³ Kuvvet Modeli



Outline

5 Nükleer ModellerKabuk ModeliÇift-Z, Çift-N'li Çekirdekler ve Kollektif YapNükleer Titre³imler



Outline

6 Radyoaktif BozunmaRadyoaktif Bozunma



Outline

7 Nükleer Radyasyonlarn ÖlçümüElektromanyetik Radyasyonlarn Snandrlmas1-Elektromanyetik Radyasyonlarn Madde ile Etkile³imiDetektörler ve Detektör çindeki Etkile³imler2-A§r Yüklü Parçacklarn Madde ile Etkile³imi3-Elektronlarn Madde ile Etkile³imiDetektör Türleri



Outline

8 Nükleer ReaksiyonlarNükleer Reaksiyonlar Snandrlmas



B.1

Nükleer Fizi§in Tarihi Geçmi³i

Figure: Democritos ve Atomik Modeli

lk atom kri aslndan Democritus'un hocas Leucippustarafndan ortaya atlsada, Democritus tarafndan uyarlanm³tr. Buatom teorisine göre "evren iki ö§eden olu³ur ve bunlar atomlar vebunlarn varoldu§u ve hareket etti§i bo³luktur." Democritus'a göreatomlar sonsuz saydadr. Bu hipotez M.Ö. 465'te ortaya atlm³tr.



B.1


Democritus'un atom teorisi:1 Bütün maddeler atomlar denilen görünmez parçacklardan

olu³maktadr.2 Atomlar parçalanamaz.3 Atomlar katdr ve gözle görünmezler.4 Atomlar homojendirler.5 Atomlar ölçüt, ³ekil, kütle, pozisyon, ve dizilim bakmndan

birbirinden farkldrlar. Örne§in:I Katlar küçük ve noktasal atomlardan olu³urlar.I Svlar büyük ve yuvarlak atomlardan olu³urlar.I Ya§lar çok ince ve küçük atomlardan olu³urlarki kolaycabirbirinin üstünden kayp akarlar. Kaynak için tklaynz.

Nükleer Fizi§in Zaman Skalas


https://the-history-of-the-atom.wikispaces.com/Democritus

http://www.atomicheritage.org/history/timeline


B.1


1 Democritus'un bu kirleri 2400 yl boyunca 19.yy ba³larnakadar bir varsaym olarak kalm³tr. Sonrasnda Dalton,Faraday, Avogadro ve Mendelev gibi kimyaclarn deneyleri ileatomun olu³um özelliklerinin kurallar ve sistematiksnandrlmalar yaplm³tr.

2 1896 ylnda Becquerel'in belirli atomlarn radyoaktii§inike³federken ve Curie'ler 1898'de radyoaktif maddeler daha iyiaçklanm³tr.

3 Daha sonrasnda Rutherford atom çekirde§inin varl§nönermi³tir.

4 1940'l ve 50'li yllarda ise atom çekirde§inden daha temelparçacklarn var oldu§u ke³fedilmi³tir.



B.1


1 Bir atom çekirde§i, çekirdek içindeki pozitif yüklerin toplam vetoplam kütle says ile tanmlanr. En basit AZXN olaraksembolize edilir. Fizikte bir nükleon, nötron ve proton'unortak ismidir ve X çekirde§inin A=Z+N tane nükleonu oldu§usöylenir.

2 Ayn proton saysna (Z) sahip olup farkl nötronu (N)olançekirdekler birbirinin izotopudur.

3 Ayn nötronu ve farkl proton saysna sahip olan çekirdekler isebirbirinin izotonudur.

4 Kütle numaralar (A) ayn olan çekirdeklerede izobarçekirdekler denir.

5 Çekirde§in yükü ise +Z.e kadardr. Atom numaras Z olan birnötr bir atomda Z tane proton, N tane nötron ve Z taneelektron bulunur.



B.1


FHemen hemen bütün çekirdeklerde A, Z'den daha büyüktür,

bu ise çekirdekte protondan daha a§r parçacklarn oldu§unugösterir. 1932'ye kadar çekirde§in içinde A tane proton ve A-Z tanenükleer elektronun bulundu§una inanlyordu. Fakat çekirdekiçindeki elektronun varl§ hipotezi ³öyle çürütülebilinir:

(1) Nükleer elektronlarn protonlara Coulomb kuvvetindendaha güçlü bir kuvvetle ba§lanmalar gerekir. Ama, protonlarlaatom elektronlar arasnda böyle bir kuvvet bulunamam³tr.

(2) E§er elektronlar çekirde§in kaplayaca§ kadar küçük(∆x v 10−14) bir bo³lu§a hapsedersek, belirsizlik ilkesine göre∆p v ~/∆x = 20MeV/c kadar br momentuma sahip olmasgerekir. Ancak radyoaktif β bozunumunda çkan elektronlar1MeV'dan az bir enerjiye sahiptir. Dolaysyla 20 MeV lik enerjilerdebir elektron deneysel olarak gözlenmemi³tir.



B.1


F (3) Yukardada açklanan proton-elektron hipotezine görenormalde 1 proton, 1 elektron ve 1 nötronu bulunan Döteryum'un 2proton ve 1 elektronu varm³ gibi i³lem görüp, çekirdek spinininde1/2 veya 3/2 olmas gerekir. Ancak Döteryum'un gözlenen spini1'dir.

(4) Döteryumun manyetik dipol momenti elektronun 1/2000kat kadardr. Buda yukardaki proton-elektron hipoteziniçürütmektedir.

Proton-elektron hipotezinin tutarszl§ bütün yönleriyleara³trlm³tr ve 1932 ylnda Chadwick tarafndan nötronunke³fedilmesiyle önemini yitirmi³tir. Nötronun kütlesi yakla³k olarakprotonunkinden %0.1 daha büyüktür.



B.1

Nükleer Özellikler

F Bir çekirdek onun ölçülebilir ³u gibi özellikleriyle tanmlanabilir:kütle, yarçap, do§adaki ba§l bollu§u, bozunma modlar, radyoaktifçekirdeklerin yar ömürleri, reaksiyon modlar, tesir kesitleri, spin,manyetik dipol, kuadropol momentleri ve uyarlm³ durumlardr.

Parçack Kütle (kg) Kütle (amu) Elektrik Yükü Yar Ömür SpinNötron 1.6749286× 10−27 1.00866491600(43) 0 881.5(15)s (serbest) 1

2

Proton 1.6726231× 10−27 1.007276466812(90) +1 >2.1× 1029 yl (kararl) 12

Elektron 9.1093897× 10−31 5.4857990946(22)× 10−4 -1 elementer parçack 12

Döteryum 3.343583719(41)× 10−27 2.01355321270 0 kararl 1

Table: Temel parçacklarn baz özellikleri

Bilinen tüm çekirdeklerin özellikleri ³u kaynaklardanbulunabilinir: Table of Isotopes, Nuclear Data Sheets, Atomic Dataand Nuclear Data Tables veya Annual Review of Nuclear andParticle Science.



B.2

Kuantum Davran³

1 Nükleer zikte çekirdek içindeki nükleonlar klasik parçacklarolarak davranmazlar, onun yerine nükleonlarn dalgadavran³lar onlarn hareketini belirler.

2 Çekirdekler içindeki nükleonlarn 10 MeV mertebesindekienerjilerde hareket ettikleri deneysel olarak bilinmektedir.Nükleonun durgun enerjisine (1000MeV) kyasla 10MeV'lukkinetik enerji onun göreceli olmayan bir harekete maruzkald§n gösterir.



B.2

Kuantum Davran³

1 Kuantum mekani§i madde parçacklarnn bir dalga gibi hareketetti§ini varsayarak bize çözümler üretir. 1924 ylnda DeBroglie tarafndan parçack yapsna sahip oldu§u kabul edilen³§n, parçacklarn birle³imi olarak kabul edilen dalgayapsnada sahip olmas gerekti§i ortaya atlm³tr. Ve bunedenle ³kla benzerlik kurularak p momentumlu parçac§adadalgaboyu λ = ~

p olan bir dalgann e³lik etti§i varsaylm³tr.



B.2

Kuantum Davran³

Fakat bu dalga teoremininde açklayamad§ belirsizlikle ilgilibaz konular vardr:

1 ∆x∆px ≥ ~2 Yani, belirli bir p momentumuna sahip bir

parçac§a nadiren rastlarz. Daha sonra Schrödinger tarafndanbuna bir açklama getirilmi³tir. Üstelik açklanmaya çal³lanparçack ve dalga kavramlar tamamen birbirine ztkavramlardr.

2 ∆E∆t ≥ ~2 E§er E = hν ise, frekans yeteri kadar kesin

belirlemek için yeteri kadar uzun bir ∆t aral§nda sistemigözlemlemeliyiz.

3 ∆`z∆φ ≥ ~2 E§er açsal momentumun z bile³enini sabit kabul

edip, onu olu³turan `x ve `y bile³enlerinin z ekseni etrafndadöndü§ünü varsayarsak, φ açsnn belirsizli§ine ula³lr.



B.2

Kuantum Mekani§inin lkeleri

V(x) potansiyeli etkisindeki m kütleli bir parçac§nzamandan ba§msz bir boyutlu Schrödinger denklemi:

− ~2

2m

d2ψ

dx2+ V (x)ψ(x) = Eψ(x) (1)

Genelde bu denklemin enerjinin belirli de§erleri içinçözümleri vardr ve bu de§erlere enerji öz de§erleri denir. Zamanaba§ll§da içeren tam çözüm denklemi ise ³öyledir:

Ψ(x, t) = ψ(x)e−iωt Burada ω =E

~′dir. (2)



B.2


Çok boyutlu sistemlerde dalga vektörünün büyüklü§ünedalga says (k) denir ve bir parçac§n momentumu P = ~k ileverilir. Dalga says bir dalgann uzaysal frekans yani: ya birimmesafedeki döngü says yada birim mesafedeki radyan açsmiktardr. Tanmsal olarak frekansa benzetilebilirken belirli birmesafedeki dalga says diye de tanmlanr.

Kinetik enerji ise klasik olarak P 2

2m ile ifade edilip Schrödingerdenkleminde yerini alm³tr. Dolaysyla bir potansiyel varl§nda

parçac§a e³lik eden dalga sabiti k =√

2m(E−Vo)~2 olmaktadr.



B.2


E§er yukardaki Schrödinger dalga denklemini yenidendüzenler ve burdan momentum vektörünün bile³enlerinin de§erinibulmaya çal³rsak:

[E − V (x)]ψ(x) = − ~2

2m

d2ψ

dx2=P 2x

2m, Px = −i~ ∂

∂x(3)

E§er bir boyutta, Schrödinger denkleminde düzlemsel dalgaçözümü kullanlrsa: ψ = ei(kx−ωt) bu ifadenin birinci türevikonuma göre alnrsa ∂ψ

∂x = ikei(kx−ωt) = ikψ'dir. k dalga says DeBroglie ili³kisinden p = ~k olarak bilinir. Dolaysyla ∂ψ

∂x = ip~ψ vemomentum operatörü p = −i~ ∂

∂x olarak bulunur.



B.2


kinci seferde e§er zamana kar³ türev alnrsa:

∂ψ∂t = −iωei(kx−ωt) = −iωψ'dir. E§er denklemin her iki yanda i~ile çarplrsa burdan enerji e³leni§i olan E = hν = h

T ifadesineula³lr. T burda dalgann periyodunu göstermektedir.

Sonuç olarak i~∂ψ∂t = ω~ψ = ω2πhψ = hνψ = Eψ elde

edilirki, bu bize enerji operatörünün E = i~ ∂∂t oldu§unu söyler.

Momentum ve enerji operatörlerini bilmek bize en ba³tabahsetti§imiz zamandan ba§msz Shrödinger dalga denkleminindeaslnda nerden türetildi§inide göstermektedir. Bu ifade klasikmekaniktede kar³la³t§mz enerji korunumu ilkesinden ba³ka bir³eyde§ildir.



B.2


E§er Schrödinder dalga denklemini en basite indirgersek:

Eψ = (T + V )ψ , burda T kinetik enerjiyi ve V potansiyel enerjiyi

ifade etmektedir. T yerine P 2

2m =(−i~ ∂

∂x)2

2m yazld§nda,

Eψ(x) = − ~22m

∂2ψ∂x2

+ V (x)ψ(x) ifadesine vard§mz görürüz.

Schrödinger denklemi e§er üç boyutta yazlmak istenirse tümfonksyonlar x, y ve z'nin bir fonksiyonu ³eklinde yazlrlar. Kartezyenkoordinat sisteminde Schrödinger denklemini birdaha zamandanba§msz ve ba§ml olacak ³ekilde yazarsak:

Eψ(x, y, z) = − ~2

2m(∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2+∂2ψ

∂z2)+V (x, y, z)ψ(x, y, z) (4)

Ψ(x, y, z) = ψ(x, y, z)e−iωt (5)



B.2


Çekirdekler yakla³k olarak küresel olduklarndan kartezyenkoordinat yerine küresel koordinat sisteminin kullanlmas dahamantkldr. Schrödinger denklemini küresel koordinatlarda yazarsak:

Eψ(r, θ, φ) =

− ~2

2m[

1

r2

∂

∂r(r2∂ψ

∂r) +

1

r2(

1

sin θ

∂

∂θ(sin θ

∂ψ

∂θ) +

1

sin2 θ

∂2ψ

∂φ2)]

+ V (r, θ, φ)ψ(r, θ, φ) (6)

Kaynak için tklaynz.


http://users.physik.fu-berlin.de/~pascual/Vorlesung/SS06/Slides/AMOL-L1d.pdf


B.2


E§er kartezyen ve küresel kutupsal koordinat sisteminikar³la³trarak:

O2 = (∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2) =

[1

r2

∂

∂r(r2 ∂

∂r) +

1

r2(

1

sin θ

∂

∂θ(sin θ

∂

∂θ) +

1

sin2 θ

∂2

∂φ2)] (7)

iki koordinat sistemi arasndaki dönü³ümü ve burdaki her bile³eni

x = r sin θ cosφ, y = r sin θ sinφ ve z = r cos θ

r =√x2 + y2 + z2, θ = arctan(

z√x2 + y2

), φ = arctan(y

x) (8)

bu ³elikde yazabiliriz. Hacim eleman ise dυ = r2 sin θdrdθdφ'dir.



B.2


Açsal momentum operatörünü ~L = ~r × ~p = −i~r × ~O ³eklindeoldu§unu biliyoruz. Kartezyen koordinatlarda bu operatörünbile³enleri ³öyledir.

Lx = ypz − py z = −i~(y∂

∂z− ∂

∂yz)

Ly = zpx − pzx = −i~(z∂

∂x− ∂

∂zx)

Lz = xpy − pxy = −i~(z∂

∂y− ∂

∂xy) (9)

Detayl kaynak için tklaynz.


http://ocw.mit.edu/courses/nuclear-engineering/22-02-introduction-to-applied-nuclear-physics-spring-2012/lecture-notes/MIT22_02S12_lec_ch4.pdf


B.2


Açsal momentum operatörünün küresel koordinatlardakibile³enlerini ³imdi yazarsak bu bize daha sonra yapaca§mzyorumlarda yardmc olacaktr.

Lx = i~(sinφ∂

∂θ+ cot θ cos θ

∂

∂φ)

Ly = −i~(cosφ∂

∂θ− cot θ sinφ

∂

∂φ)

Lz = i~∂

∂φ

L2 = L2x + L2

y + L2z = −~2[

1

sin θ

∂

∂θ(sin θ

∂

∂θ) +

1

sin2 θ

∂2

∂φ2] (10)



B.2


Küresel koordinatlarda yazlan 6'nolu Schrödingerdenkleminde, e§erki ψ(r, θ, φ) ifadesi onu olu³turan radyal R(r) veaçsal Y (θ, φ) bile³enlerine ayrlabilirse bu denklemin analizinikolayla³tracaktr. Bu yüzden ψ(r, θ, φ) = R(r)Y (θ, φ) e³itli§idenklem 6'da yerine konulup, denklem 6 yeniden düzenlenip

2mr2

R(r)Y (θ,φ) terimiyle çarplrsa a³a§daki denkleme ula³m³ oluruz.

−~2

R(r)

∂

∂r(r2∂R(r)

∂r) + 2mr2[V (r)− E]

− ~2

Y (θ, φ)(

1

sin θ

∂

∂θ(sin θ

∂Y (θ, φ)

∂θ) +

1

sin2 θ

∂2Y (θ, φ)

∂φ2) = 0 (11)



B.2


Denklem 11'daki ifadenin açsal ksmn Y (θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ)ifadesini ve büyüklü§ü |L| =

√`(`+ 1)~2 olan L açsal momentum

e³itli§ini kullanlarak ³öyle düzenleyebiliriz:

−L2 =~2

Y (θ, φ)[

1

sin θ

∂

∂θ(sin θ

∂Y (θ, φ)

∂θ) +

1

sin2 θ

∂2Y (θ, φ)

∂φ2] (12)

Denklem 11'daki ifadenin radyal ksm ise

−L2 =−~2

R(r)

∂

∂r(r2∂R(r)

∂r) + 2mr2[V (r)− E] (13)

³eklindedir. Dikkat edilirse radyal ve açsal ksm bir sabit olan −L2

terimine e³itlenmi³tir.



B.2


Son olarak e§er denklem 11, denklem 10'daki L2 ifadesikullanlp 2mr2'ye bölünürse,

0 =−~2

2mr2R(r)

∂

∂r(r2∂R(r)

∂r) +

L2

2mr2+ [V (r)− E] (14)

kar³mza oldukça sade denklem 14 çkar. Schrödinger dalgadenklemindeki Φ(φ)'in diferansiyel denklemi ³öyle verilmi³tir:

d2Φ(φ)

dφ2+m2

`Φ(φ) = 0 (15)



B.2


Böylelikle denklem 12, denklem 15 ve Y (θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ)ifadesiyle yeniden ³u ³ekilde yazlabilir:

L2 =−~2

sin θΘ(θ)

∂

∂θ(sin θ

∂Θ(θ)

∂θ) +

m2`~2

sin2 θ(16)

`(`+ 1)~2 = − ~2

sin θΘ(θ)

∂

∂θ(sin θ

∂Θ(θ)

∂θ) +

m2`~2

sin2 θ(17)

Denklem 17, Θ(θ)~2 ile çarplp yeniden düzenlenirse:

0 = Θ(θ)[`(`+ 1)−m2`

sin2 θ] +

1

sin θ

∂

∂θ(sin θ

∂Θ(θ)

∂θ) (18)



B.2


Denklem 15'nin çözümü ise bize

Φm`(φ) =1√2πeim`φ (19)

verir. Burada m` = 0,∓1,∓2, ..., ` = 0, 1, 2, ... ve Φ`m` çözümüsin θ yada cos θ'n ` dereceli bir polinomu olarak ifade edilebilir.Θ`m` ve Φm`(φ) birlikte ve normalize edilmi³ olarak Y`m`(θ, φ)küresel harmoniklerini verirler. Bu fonksyonlardan bazlar a³a§dakitabloda verilmi³tir. Bu fonksiyonlar herhangi bir V(r) merkezipotansiyel için Schrödinger denkleminin çözümünün açsal ksmnverirler.



B.2


` m` Y`m`(θ, φ) = Θ`m`Φm`(φ)

0 0√

14π

1 0√

34π cos θ

1 ∓1 ∓√

38π sin θe±iφ

2 0√

516π (3 cos2 θ − 1)

2 ∓1 ∓√

158π sin θ cos θe±iφ

2 ∓2√

1532π sin2 θe±2iφ

Table: Baz küçük ` de§erleri için Küresel Harmonikler

Buradaki tabloda önceden verdi§imiz çözüm 19 ve

Θ`m` = [2`+ 1

2

(`−m`)!

(`+m`)!]Pm`` (θ) (20)

(Pmpp (θ) burada genelle³tirilmi³ Legendre polinomlar olmak üzere)çözüm 20 kullanlm³tr.



B.2


Bir sistemin Ψ(x, t) dalga fonksyonu ile ilgili bilgi, bizimsistemin birçok özelli§ini hesaplamamza olanak klar. Örne§in, birdalga paketinin e³lik etti§i parçac§n x ve x+ ∆x arasndakibulunma olasl§n bulabiliriz. P (x)dx = Ψ∗(x, t)Ψ(x, t)dx'deki Pifadesi bize olasl§ verirken, Ψ∗(x, t) terimi Ψ(x, t)'in komplexe³leni§idir. Örne§in, parçac§n x1 ve x2 arasndaki bulunmaolasl§ tüm sonsuz küçük olaslklarn toplam yani integralidir.

P =

∫ x2

x1

Ψ∗Ψdx ve

∫ ∞−∞

Ψ∗Ψdx = 1 (21)

Bu son ko³ul normalizasyon ko³ulu olarak bilinir ve ψ'nnormalizasyon sabitini yani onu 1 yapmak için çarpmamz gerekensabiti bulmamza yarar.



B.2


x'in fonskiyonu olan f(x) için ortalama de§er x'in her de§eriiçin ortalamaya katks bulunarak ³öyle hesaplanr:

< f >=

∫Ψ∗fΨdx (22)

Kuantum kuramnn tatmin edici olmayan yönlerinden biri, birdeneyin sonucunu kesim olarak tayin etmedeki güçsüzlü§üdür.Bütün yapabildi§imiz istatistiksel ortalama de§eri bulabilmektir.



B.2


Ev ödevi:1 Bir boyutta serbest parçack problemi2 E > Vo iken basamak potansiyeli problemi3 E < Vo iken basamak potansiyeli problemi4 E > Vo iken potansiyel engeli5 E < Vo iken potansiyel engeli6 Sonsuz kuyu durumu7 Sonlu potansiyel kuyusu durumu8 Basit harmonik salnc durumu9 Üç boyutta sonsuz kartezyen kuyusu durumu, sonsuz küresel

kuyu, bast harmonik salnc.



B.2


³lenecek di§er yan ba³lklar:1 Coulomb potansiyeli2 Açsal momentum kuantum teorisi3 Parite4 Kuantum istatisti§i5 Enerji durumlar aras geçi³ler



B.2


1 Coulomb potansiyeli

Figure: 5830Zn28 çekirde§i için mevcut potansiyel kuvvetler

Lütfen kaynak makale için tklaynz.


http://arxiv.org/pdf/1310.3924.pdf


B.2


1 Açsal Momentum



B.2


1 Açsal Momentum

Figure: j toplam açsal momentum z ekseni etrafnda jz sabit kalacak³ekilde presesyon hareketi yaparken ` ve s vektörleri j etranda presesyonhareketi yapar. ` ve s'nin j boyunca bile³en³eri sabit kalr, fakat `z ve szde§i³ir.



B.3

F Belirli bir dereceye kadar bir çekirde§i tanmlamamzayarayan baz özellikler vardr. Bunlar ³öyle sralanabilir:

1 Çekirde§in yük da§lm, çekirdek yarçap, kütle ba§lanmaenerjisi, açsal momentum, parite, manyetik dipol moment,elektrik kuadropol moment ve uyarlm³ durumlarn enerjileriolarak verilebilir. Bu statik özelliklerin yannda birdeçekirde§in bozunma ve reaksiyon olasl§ gibi dinamiközellikleride vardr.



B.3

Nükleer Yarçap

F Nükleon yo§unlu§u ve nükleer potansiyel ksa bir mesafeboyunca oldukça sabitken, bu mesafenin ötesinde sfr olur. Buyüzden çekirde§in yarçap iki parametreyle karakterize edilmeyeçal³lr.

1 Bu parametrelerden birincisi, merkezi yo§unlu§un yaryadü³tü§ü ortalama yarçaptr.

2 kinci parametre ise nükleon yo§unlu§unun maximumseviyesinden minimum seviyesine dü³tü§ü yüzey kalnl§dr.



B.3

Nükleer Yarçap

F

I Kaynak: Nükleer Fizik (Kenneth S. Krane)



B.3

Nükleer Yarçap

1 Yukardaki gürde göze çarpan bir özellik çekirdek yükyo§unlu§unun tüm çekirdekler için yakla³k olarak e³itolmasdr. Nükleonlar gerçekte yüzeye do§ru oldukça sabitsaylabilecek bir da§lma sahiptir. Yani birim hacim ba³nadü³en nükleon says ( A

43πR3 ) hemen hemen sabittir. Burada

R = RoA1/3 iken deneysel olarak Ro ∼= 1.2fm olarak

bulunmu³tur.2 Figürdeki t yüzey kalnl§ parametresi yük yo§unlu§unun

%90'dan %10'a dü³tü§ü mesafe olarak tanmlanr.



B.3

Çekirde§in Yük Da§lm

Bir cismin ³eklini ve büyüklü§ünü incelemenin en iyiyollarndan biri saçlma radyasyonunu incelemektir. Bir cismi veonun ayrntlarn görmek için cisme gönderilen radyasyonun dalgaboyu o cismin dalga boyundan küçük olmaldr.

1 Örne§in, yakla³k 10fm yarçapndaki bir çekirdek için gereklidalga boyu λ ≤ 10fm olup p ≥ 100 MeV de§erine kar³lk gelir.Yani, enerjileri 100 MeV'dan 1 GeV'a de§i³en elektronlar bu i³için uygundur.



B.3


F




B.3


Yukardaki gürde, elektronla yaplan bir saçlma deneyindekiminimum de§erlerin bariz oldu§u e§riler verilmi³tir. Burada ³künitesindeki krnm konusuyla benzerliklere rastlamaktayz. Dyarçapl dairesel bir diskten krlan ³k için birinci minimumθ = sin−1(1.22λ

D ) ile verilir. Buna göre 16O'nin yarçap 2.6fm ve12C'nun yarçap 2.3fm olarak bulunur. Bu sonuçlar, 3 boyutlu birsistemde sadece kabaca do§rudur.



B.3


F




B.3


1 Yukardaki gürde, yarçap ile kütle numaras arasndaki ili³kielektron saçlma deneyiyle verilmi³tir. Yarçapn karesininortalamasnn karekökü < r2 >1/2, saçlan elektronunda§lmndan do§rudan çkarlabilir. R yarçapl düzgün küreiçin < r2 >= 3/5R2' dir. Do§runun e§imi bizeRo = 1.23fm'yi verir.

2 Bizi yarçapa götüren bir di§er yöntem ise ayna çekirdeklerive onlar arasndaki Coulomb enerji farknn hesaplanmasyöntemidir.

3 Ec = 35

14πεo

Q2

R R yarçapl düzgün bir kürenin Coulomb enerjisiiken, iki ayna çekirdek arasndaki enerji fark ise:

4 ∆Ec = 35

e2

4πεoR(Z2 − (Z − 1)2)

Burada A = 2Z − 1 ve R = RoA1/3'dir. Yani

∆Ec = 35

e2

4πεoRoA2/3'dir.



B.3


F




B.3


Nükleer maddenin büyüklü§ünü ölçmek için yaplan birdeneyde 4He parçac§nn 197Au hedef çekirde§i üzerinegönderilmesidir. Bilindi§i gibi her iki parçack arasndaki mesafee§er yarçaplar toplamndan büyükse aralarnda bir nükleeretkile³me olmayacaktr. Bu durumda sadece Coulomb etkile³imimevcuttur. E§er gelen α parçac§nn enerjisi arttrlrsa parçacklarnükleer kuvvetlerin etkili olaca§ kadar birbirlerine yakla³rlar.Budurumda artk Rutherford Saçlma Formülü geçerli de§ildir.



B.3


F

I Kaynak: Nükleer Fizik (Kenneth S. Krane)Yrd. Doç. Dr. lker Can Çelik Nükleer Fizik 1 Ders Notlar


B.3

Çekirdeklerin Kütlesi ve Bolluk Oranlar

F



B.3


Özellikle izotoplarn kütlelerini birbirinden 10−6 duyarllklaayran sistemlere kütle spektroskopu denirken, e§er birbirindenayrlan bu kütleler bir foto§raf pla§ üzerine dü³ürülürse kütlespektrograf adn alr.

Bütün kütle spektroskoplar, iyonla³m³ atom veya moleküldemeti üreten bir iyon kayna§ bulundurur. nceleme altndakimateryalin buhar, iyon olu³turmak için elektronlarlabombardman edilir; di§er durumlarda iyonlar, materyal ile kaplelektronlar arasnda bir yük bo³alm ile meydana gelir.

Kütle spektrograf için formüller:1 ~F = q ~E = qϑ ~B ve ϑ = E

B

2 mϑ = qBr yani: r = mϑqB ve m = qrB2

E



B.3


F Bir atomik kütle birimi (u) atomik ve molekülerderecede kütleyi belirtmek için kullanlan bir ölçü birimidir. Referansolarak do§al 12C atomunun kütlesinin 12'de 1'i baz alnm³tr.

1u = m(12C)12 = 1.660538921(73)× 10−27kg

Birkaç örnekle bunu geni³letecek olursak;m(14N) ≈ 14.003074u, m(3H) ≈ 3.016049u,m(1p) ≈ 1.00782503u, m(1n) ≈ 1.00866491600u,m(0−1e) ≈ 0.00054858u

Burada dikkat edilmesi gereken, çekirde§in kütlenumaras(A) ve kütlesi birbirinden farkl kavramlardr.



B.3


F imdide çekirdeklerin kütlelerini bulabilece§imiz yaygn ikiyöntemden bahsedelim. Bunlardan ilki kütle ikilisi yöntemiyken,di§eri reaksiyon enerjisini (Q de§eri) kulland§mz yöntemdir.

1 Kütle kilisi Yöntemi: Kütle numaralar ayn olan C9H20 veC10H8 bile³iklerini ald§mz ve bunlar arasndaki gerçek kütlefarkn 4 = 0.09390032± 0.00000012u olarak kütlespektrografyla ölçtü§ümüzü varsayalm.

4 = m(C9H20)−m(C10H8) = 12m(1H)−m(12C)

m(1H) = 112 [m(12C) +4] = 1.00782503± 0.00000001u

2 Dikkat edilirse referans olarak tayin edilen 12C'nun kütlesikullanlarak burdan 1H'nin kütlesine ula³lm³tr.



B.3


1 F Çekidek Reaksiyon Enerjisi yöntemi: Genel olarakx+X → y+Y olarak yazilabilecek bir çekirdek reaksiyonunda,reaksiyonun Q de§eri olarak bilinen enerji ³öyle yazlr:

2 Q = [m(x) +m(X)−m(y)−m(Y )]c2

3 Bu ³unu beraberinde getirirki; e§er reaksiyonun enerjisiniölçebilirsek, yukardaki kütle fark denkleminden bilinmeyençekirde§in kütlesine ula³abiliriz. Örne§in,

m(y) = m(x) +m(X)−m(Y )− Qc2



B.3


F



B.3


1 Çekirdek Bolluk Oranlarnn Bulunmas: Yukardaki grakbize kütle spektrometresi ile 36Kr çekirde§inin farklizotoplarnn ba§l bolluk oranlarn göstermektedir. Her pikaltndaki alanlarn oranlanmas sonucu biz bu yüzdelik dilimlereula³abiliriz. Sonuç olarak,

78Kr %0.356, 80Kr %2.27, 82Kr %11.6, 83Kr %11.5,84Kr %57.0 ve 86Kr %17.3 olarak bulunur.

2 Genel olarak kabul gören ve kimyada periyodik tabloda verilenKripton'un kütlesi ise bu 6 izotoptan elde edilen ortalamakütle'dir.

F mort = 0.356100 m(78Kr) + ... = 83.8u



B.3




B.3




B.3

Nükleer Ba§lanma Enerjisi

F1 Ba§lanma Enerjisi:

2 mAc2 = Zmpc

2 +Nmnc2 + Zmec

2 −Z∑i=1

Bi

3 B = [(Zmp + Zme) +Nmn −m(AZX)]c2 =[Zm(1

1H) +Nmn −m(AZX)]c2

4 c2 is 931.5 MeV/u iken kütle eksi§i" ∆ = (m−A)c2'dir.5 Nötron Ayrlma Enerjisi:6 Sn = B(AZXN )−B(A−1

Z XN−1)

7 Sn = [Zmp + Zme +Nmn −m(AZX)]c2

−[Zmp + Zme + (N − 1)mn −m(A−1Z X)]c2

8 Sn = [m(A−1Z X) +mn −m(AZX)]c2



B.3


F1 Proton Ayrlma Enerjisi:2 Sp = B(AZXN )−B(A−1

Z−1XN )

3 Sp = [Zmp + Zme +Nmn −m(AZX)]c2

−[(Z − 1)mp + (Z − 1)me +Nmn −m(A−1Z−1X)]c2

4 Sp = [m(A−1Z−1X) +mp +me −m(AZX)]c2 =

[m(A−1Z−1X) +m(1

1H)−m(AZX)]c2



B.3





B.3


Yukardaki tablo bize kütle eksi§i, nötron ve proton ayrlmaenerjisi niceliklerinin baz çekirdek ve iztoplar için örneklerinigöstermektedir. Burada özetle, ayn atom zi§inde elektronlar içinsöylenile geldi§i gibi, bu seferde çekirdek içindeki de§erliknükleonlarn ba§lanma enerjileri hakknda kabuk yapsna benzerbir yap gözlendi§i yorumu yaplabilir.



B.3


F

Figure: Nükleon Ba³na Ba§lanma Enerjisi



B.3


Yaplan sistematik çal³malarda, B/A olarak gösterilennükleon ba³na ba§lanma enerjisinin nükleon says A'nn birfonksiyonu oldu§u görülmü³tür. Yukardaki grak dikkatli analizedildi§inde göze çarpan belli noktalar vardr:

1 E§ri çok haf çekirdekler d³nda yakla³k olarak 8MeVcivarnda sabittir.

2 A=60 civarnda ise e§ri maximuma ula³r ve çok kararlçekirdekleri temsil eder. Bu maximum de§ere A<60 içinnükleer füzyon yada A>60 bölgesinde nükleer syon ileula³labiliriz.

Ba§lanma enerjisi e§risini anlamak, bizi yarampirik kütleformülü'ne götürür. Srada bunu inceleyece§iz.



B.3


F

Figure: Nükleon ba³na ba§lanma enerjisinin kütle numarasylade§i³iminin syon ve füzyon ile ili³kisi



B.3


F




B.3


1 Toplam ba§lanma enerjisi:B = ahA− ayA

23 − acZ(Z − 1)A

−13 − asim (A−2Z)2

A + δ

2 Yarampirik kütle formülü:M(Z,A) = Zm(1H) +Nmn − B(Z,A)

c2

Bu formüldeki her terim toplam ba§lanma enerjisine bir³ekilde katkda bulunarak bize B/A e§risini vermektedir. Bu e§rikullanlarak bulunan sabit katsaylar ise ah = 15.5MeV ,ay = 16.8MeV , ac = 0.72MeV , asim = 23MeV , acift = 34MeVolarak bulunur.

Bir önceki slayttaki gür, bize bu terimlerin toplamba§lanma enerjisine bireysel etkilerini göstermektedir.



B.3


Nükleer ba§lanma enerjisini olu³turan terimlerin ³ematikgösterimi:



B.3


F1 Hacim Terimi: E§er her nükleon di§er tüm nükleonlarla

etkile³seydi, istatistiksel olarak ba§lanma enerjisi A(A− 1) ileorantl de§i³ecekti; fakat, B'nin A ile de§i³mesi bize çekirdekiçindeki nükleonlarn sadece en yakn kom³u nükleonlar ileetkile³ti§ini söyler.

Daha önceden bahsetti§imiz gibi çekidek yo§unlu§ununçekirdek içinde kabaca sabit oldu§unu söyledik. Dolaysyla, hernükleonun ba§lanma enerjisine katks ayndr, bu isenükleonlarn yakla³k ayn sayda kom³u nükleona sahipolmasndan ileri gelir.



B.3


F1 Yüzey Terimi: Hacim teriminin aksine yüzeyde bulunan

nükleonlarn çekirdekilere kyasla daha az nükleonla etkile³imdebulundu§u söylenmi³. Bu ise daha az ba§lanma enerjisidemektir.

2 Coulomb Terimi: Coulomb itme kuvveti, adnnda belirtti§igibi protonlar arasnda bir itme kuvveti olu³turup çekirde§inda§lmasna katkda bulunmaya çal³acaktr, yani ba§lanmaenerjisini azaltacaktr.

3 Simetri Terimi: Kararl ve radyoaktif izotoplar incelendi§indeçekirdeklerde Z ∼= A/2 oldu§u gözlenmi³tir. Bu bize nedenyüzlerce nötronlu bir Hidrojen çekirde§i olamayaca§hakkndada bir ipucu vermektedir. A§r çekirdeklerde bu terimönemini kaybeder, çünkü Coulomb itme kuvvetindeki hzl art³çekirdekteki denge için ilave nötronlar gerektirir. ((N − Z)2 ileorantl)



B.3


F1 Çiftlenim Terimi: Tek sayl (A) nükleonlar için δ = 0, çift N

ve Z için aciftA−34 , tek N ve Z için −aciftA

−34 alnr. Bu

etkiye do§ada kant olarak yalnz 4 tane tek N ve Z'li2H,6 Li,10B,14N çekirdek varken; 167 tane çift N ve Z'liçekirdek vardr.

2 Burada açklanan tüm bu terimler aslnda Sv Damlas veKabuk Modeli gibi çekirdek modellerinin açklanmasna ³ktutar.

3 Yarampirik kütle formülü bize sabit bir A için M'nin Z'ye göreparabolünü verir. ∂M

∂Z = 0 ise bize parabolün minimumunuverir:Zmin = [mn−m(1H)]+acA−1/3+4asim

2acA−1/3+8asimA−1



B.3


F




B.3

Nükleer Açsal Momentum ve Parite

Nükleer potansiyelin merkezi olmas durumunda her nükleon`, s ve j kuantum saylaryla temsil edilebilir. A nükleonlu birçekirde§in toplam açsal momentumu tüm nükleonlarn açsalmomemtumlarnn vektörel toplamdr ve ~I = ~j1 +~j2 + ...+~jn ilegösterilir. Bu ifadeye nükleer spin denir. Burada dikkat edilmesigereken de§erlik nükleonu çekirde§in özelli§ini belirlemektedir.E§er bir tek nükleonu d³nda, di§er bütün nükleonlar çiftlenmi³ birçekirde§i dü³ünürsek, bu bize I = j1 = j olan özel bir durumuverir. Ve bu tek kalm³ nükleon çekirde§in spinini belirleyecektir.



B.3


Açsal momentumla ilgili birçok kavramda çekirdek I açsalmomentumuna sahip tek bir parçack gibi davranr. E§er buçekirdek manyetik alana konulursa Normal Zeeman Olay'ndakigibi nükleer spin 2I+1 tane alt durumlara ayrlr. Bu yüzden mI

manyetik kuantum says -I, ...,+I arasnda de§i³ir.1 |~I2| = ~2I(I + 1), |~Iz| = mI~, ve mI = −I, ...,+I2 | ~J2| = ~2j(j + 1), |~jz| = mj~, ve mj = −j, ...,+j



B.3


1 Yalnz çekirdekteki nükleonlar, atomdaki elektronlara kyaslaçok büyük bir kuvvetle birbirlerine ba§l oldu§undan a³a§dakigibi manyetik alan spin ve orbital momentleri 2s+1 ve 2`+ 1alt durumlara ayramaz.

2 |~S2| = ~2s(s+ 1), |~sz| = ms~, ve ms = ±s = ±12

3 |~L2| = ~2`(`+ 1) ve |~z| = m`~, ve m` = −`, ...,+`4 ~j = ~s+ ~ ve ~mj = ~ms + ~m` vektörel toplamlardr.

E§er `+ s bize daima buçuklu de§erler veriyorsa tek Anükleonlu çekirdeklerin çekirdek spini(I)'de buçuklu olacaktr. ÇiftA nükleonlu çekirdeklerin toplam spini ise tam say de§erleri alr.



B.3


Yukardada belirtildi§i gibi çift A sayl çekirdeklerdekinükleonlarn çiftlenim olu³turmas ba§lanma enerjisindegördü§ümüz çiftlenim terimine bir ispat te³kil eder.

Parite: Parite, aslnda matematikte koordinat sisteminini³aretini yani yönünü de§i³tiren bir de§i³im operatörüdür. Quantumzi§inde ise kar³mza genelde uzaysal koordinat sistemlerindeψ(x)'den ψ(−x)'e dönü³üm örne§inde çkar. C.S. Wu tarafndanyaplan me³hur deney β ³masnda paritenin korunmad§gösterilmi³tir. Paritenin matrix gösteriminin determinant herboyutta -1'e e³itken, koordinatlarda yaplan rotasyon i³lemindedeterminant 1'e e³ittir.



B.3


Çekirde§in paritesi bulunurken ise toplam spinden farklolarak tek kalm³ nükleonlarn tek tek spinleri çarplarak toplampariteye ula³lr.

π = π1π2... buradaki herbir pariteye ise tek kalan nükleonunsahip oldu§u (−1)`+1 teriminin de§erinden ula³lr. Nükleonunbulundu§u orbitale göre ` de§erleri s için 0, p için 1, d için 2, f için3, ... ³ekilinde de§i³ir. Pariteyide çekirde§in spini gibi sahip oldu§uba³ka bir genel özellik olarak kabul edebiliriz ve Iπ ³eklinde pozitifveya negatif olarak I+ veya I− ³eklinde gösterilir.



B.3

Nükleer Elektromanyetik Momentler

Nükleonlar bir arada tutan nükleer etkile³meyi incelerkenzayf kuvvetler kapsamna giren elektromanyetik etkile³medenfaydalanlr. Böylelikle çal³malarda nükleer etkile³meyi saptracakherhangi bir d³ kuvvete mahal verilmez.

Bir sistemdeki yük da§lm uzaklkla karakteristik olarakde§i³ir. Bu yük ve bundan dolay olu³an akm da§lmelektromanyetik momentler ile gösterilir. Do§a, çekirdeklerinmanyetik özelliklerinin belirlenmesinde, manyetik momentlerden endü³ük mertebeli multipol momenti seçer.



B.3


Bütün tek pariteli statik multipol momentler sfr olmaldr.Hatrlanaca§ gibi elektrik moment ve manyetik momentler içinparite de§erleri srasyla π = (−1)` ve π = (−1)`+1 ifadeleriylebulunuyordu. E§er bunu farkl orbitaller için bir tabloya dökersek:

Orbital π = (−1)` Moment için isimlendirme / De§eri π = (−1)`+1 Moment için isimlendirme / De§eri` = 0, s + Elektrik Monopol Moment 6= 0 Manyetik Monopol Moment = 0

` = 1, p Elektrik Dipol Moment = 0 + Manyetik Dipol Moment 6= 0

` = 2, d + Elektrik kuadropol Moment 6= 0 Manyetik kuadropol Moment = 0

` = 3, f Elektrik Oktupol Moment = 0 + Manyetik Oktupol Moment 6= 0

` = 4, g + Elektrik ... Moment 6= 0 Manyetik ... Moment = 0

Table: Yukarda + ile gösterilen i³aretli alanlar, multipol momentlerin sfrolmad§ durumlar i³aret eder, geri kalan negatif i³aretliler ise yineyukarda belirtilen, de§erleri sfr olan tek pariteli durumlargöstermektedir.



B.3


De§eri sfr olmayan ilk moment olan Monopol elektrikmomentin tam olarak de§eri Ze net nükleer yüktür. Bir sonrakisfrdan farkl moment manyetik dipol momenttir (µ). Ve bumanyetik dipol moment hem orbital hemde spin bile³eni içerir.Yani µtoplam = µ` + µs ³eklinde bulunur. Genel anlamda, bir Iakm ta³yan ve A alanna sahip dairesel akm halkas |µ| = IAmanyetik momentine sahiptir. Burada A = πr2 ve I = q/t'dir.

µ = q( xϑ

)A = q

( 2πrϑ

)(πr2) = qϑr

2 = qϑr2

mm = e

2m |~|

Burada ~ klasik açsal momentumdur. Kuantum mekanikselde§eri içinse z eksenine göre maximum bile³enden m` = +`alnd§nda |~| = m`~ = `~ olur. Buradaki `, açsal momentumkuantum saysdr. Dolaysyla µ = ( e~2m)` olur.



B.3


Yukarda belirtilen µ = e~2m ifadesine genel olarak manyeton

denir. E§er m = me ise Bohr manyetonu µB = 5.7884× 10−5eV/T ,e§er m = mp ise nükleer manyeton µN = 3.15254× 10−8eV/T adnalr. Burada dikkat edilecek nokta µN << µB ili³kisidir. Bu maddeninmanyetik etkile³mesinin, atomik manyetizma(ferromanyetizma)tarafndan belirlendi§ini, nükleer manyetizmann ise maddeye çok ufaketkisinin oldu§u bilinir.

Yörüngesel manyetik dipol moment ksm olan µ` = g``µNiçin, g` proton için 1 ve nötron için 0 olur. Yani, nötron için yörüngeselbir hareket yoktur. Spin manyetik dipol moment olan µs = gssµN için,teoride, gs 1/2 spinli bir nokta parçack için (elektron gibi) Diracformülünden 2 bulunur. Beklenen gs de§eri nötron için 0 ve proton içindeneysel de§erinden 3.6 kat ufaktr. Deneysel olarak ise; elektron içings = 2.0023, proton için gs = 5.5856912± 0.0000022, nötron içings = −3.8260837± 0.0000018 olarak bulunmu³tur.



B.3


I Nötr olan nötronun bir manyetik momente sahip olmas,onun iç yapsnn yüklü kuarklardan olu³tu§unun aslnda bir ispatdr.Nükleonlarn iç yapsn olu³turan yüklü parçacklarn olu³turdu§uakmlar gözlenen manyetik momentleri verir. Proton ve nötronunbeklenen ve ölçülen gs de§erleri arasndaki farkn ikisi içinde yaknolmas, onlar olu³turan pozitif ve nötr ile negatif ve nötr mezonbulutlarnn e³it ve zt katklaryla açklanabilir. Sonuç olarak;nükleonlarn 3 kuarktan olu³tu§u ve bunlarn toplam manyetikmomentlerinin nükleon manyetik momentlerini verdi§i görülmü³tür.



B.3


Toplam manyetik dipol momentin beklenen de§erininbulunmas:

Figure: j toplam açsal momentum z ekseni etrafnda jz sabit kalacak³ekilde presesyon hareketi yaparken ` ve s vektörleri j etranda presesyonhareketi yapar. ` ve s'nin j boyunca bile³en³eri sabit kalr, fakat `z ve szde§i³ir.



B.3


Öncelikle baz beklenen de§erleri ve e³itlikleri ö§renmeliyiz.`z = m`~, sz = ms~, jz = mj~ Buradaki manyetik kuantumsaylar m` = +`, ...,−`, ms = +1/2,−1/2 ve mj = +j, ...,−jde§er aralklarna sahiptir. Gözlenebilme açsndan bu de§erlerdenen büyükleri alnr. Sonuç olarak, maximum de§erler m` = `,ms = s ve mj = j kullanlrken; `z = `~, sz = s~, jz = j~de§erleride beklenen de§erler olarak kullanlr. Büyüklük olarak|~|2 = ~2`(`+ 1), |~s|2 = ~2s(s+ 1) ve |~j|2 = ~2j(j + 1) kullanlr.Vektörel toplam olarak ise ~j = ~+ ~s'dir. Bu toplam bizej2 = `2 + 2`s+ s2 ve ordanda `s = 1/2(j2 − `2 − s2) ifadesinibuldurur.

E§er beklenen de§erler yerine konulursa zikte çok i³eyarayan < `s >= ~2

2 [j(j + 1)− `(`+ 1)− s(s+ 1)] beklenende§erine ula³rz.



B.3


Yukardaki açsal momentum güründende dikkat edilece§igibi, vektörlerin prosesyon hareketi srasnda `z ve sz süreklibüyüklükçe ve yönce de§i³irken; onlarn ~j vektörü üzerindekiizdü³ümleri (`j ve sj) ve ~j vektörünün kendisi de§i³mez. Bu yüzdentoplam manyetik dipol momentin beklenen de§eri j kuantum sayscinsinden bulunmaldr. Öyleyse büyüklükçe de§i³meyen s'nin j

boyuncaki bile³eni sj bulunmaldr. j boyunca birim vektör~j

|~j|ve

s'nin j boyuncaki bile³eni |~s~j||~j|

oldu§una göre

~sj =~j

|~j||~s~j||~j|

=~j

|~j|2|~s~j| = ~j

|~j|2|~s(~+ ~s)| olur. sz = s~ ve önceden

bulunan < `s > bekelenen de§er ifadesiyle < sz > beklenen de§eria³a§daki gibi bulunur.

< sj >= [~j

j(j+1)~2 ]~2

2 [j(j + 1)− `(`+ 1) + s(s+ 1)]

< sz >=~j~

j(j+1)12 [j(j + 1)− `(`+ 1) + s(s+ 1)]



B.3


Toplam manyetik dipol momentµ = µ` + µs = µN (g``+ gss) = µN

~ (g``z + gssz)'dir. ~j = ~+ ~s ve`z~ = jz

~ −sz~ kullanlrsa, µ = µN

~ [g`jz + sz(gs − g`)] elde edilir. jzyerine j~ ve sz yerinede < sz > beklenen de§eri kullanlarak < µ >beklenen de§erine ula³labilinir.

< µ >= µN [g`j + (gs−g`)<sz>~ ] . Bu de§er mevcut spin

yöneliminin do§urdu§u j = `+ 12 ve j = `− 1

2 durumlarna göreöncelikle < sz > de§erlerinin srasyla < sz >= ~

2 ve< sz >= −~j

2(j+1) olarak bulunmasyla iki türlü yeniden yazlabilir:

j = `+1

2< µ >= µN [g`(j −

1

2+

1

2gs)]

j = `− 1

2< µ >= µN [g`

j(j + 32)

j + 1− 1

2

j

j + 1gs]



B.3




B.3




B.3


Hesaplanan ve koyu çizgilerle gösterilen bu çizgilereSchmidt çizgileri denir. Tek A'l çekirdekler için kabuk modeliyleyaplan hesaplamalar ve deneysel de§erlerin tam uyu³mad§görülür. Nedenlerinden biri ise çekirdek içindeki bir nükleonun gsde§erinin serbest nükleonunkiyle ayn alnmasdr. E§er gs de§erinin,1/2 spinli temel parçacklar için beklenen de§erinin 2'den farkloldu§unun hatrlarsak, bu farkn mezon bulutundan kaynakland§nfarsaym³tk. Bu mezon bulutu serbest nükleonlar için farkldr,buda gs de§erini azaltr. Bu yüzdendirki yukardaki gürdeki kesikçizgi, referans olmas için normal hesaplamalrn yüzde 60'ngöstermektedir.



B.3


De§eri sfr olmayan üçüncü moment ise elektrikkuadropol momenttir. Bir noktasal yük e'nin eQ kuadropolmomenti, e(3z2 − r2)'ye e³ittir. E§er parçack küresel simetriylehareket ederse, x2 = y2 = z2 = r2

3 oldu§u için Q=0 olur. E§erparçack xy düzleminde hareket ederse, z=0 yani Q = −r2 olur.E§er |ψ|2 z ekseni boyunca yo§unla³m³sa (z ∼= r) Q = 2r2 olur.Quantum mekani§inde tek bir proton için kuadropol moment:

eQ = e∫ψ∗(3z2 − r2)ψdυ 'dir. Bir yörüngesel nötron için

ise Q=0'dr.Birçok çekirdek için kuadropol moment, yüzeye yakn

yörüngede hareket etti§ini varsayd§mz, (r = RoA1/3), bir de§erlik

nükleonundan bulunurki |eQ| 6 eR2oA

2/3'dir. Küresel simetrikyörüngelerde hareket eden nükleonlar çiftlenim kuvvetinden ötürüQ'ya katkda bulunmazlar.



B.3


I Bu de§erler çiftlenim kuvvetine ve nükleer yapya ³ktutmaktadr. Q de§erlerinin, daha çok tesir kesitinde kullanlan barnbirimiyle gösterilebilece§ine dikkat ediniz. (1b = 10−28m2)

Kaynak: http://nist.gov/data/PDFles/jpcrd85.pdf Tablonun sol tarafndakimanyetik dipol momentler µs = µN (gss) de§erinin µN 'nin kaç katoldu§unu göstermektedir.


http://nist.gov/data/PDFfiles/jpcrd85.pdf


B.3




B.3


Kabuk modeli kuadruopol momenentlerini gösterenyukardaki gürdeki hesaplanan Qtp de§erleri bir j kabuk modelidurumunda bulunan tek bir proton göz önünde bulundurularakhesaplanm³tr.

Düzgün yüklü bir küre için < r2 >= 35R

2 = 35R

2oA

23 iken

< Qtp >= −(2j−1)2(j+1) < r2 >

Normalde dolu bir alt kabuk d³ndaki yüksüz bir nötronunkuadropol momentinin olmamas gerekirken, tek nötron de§erlerinintek proton de§erlerinden daha küçük fakat sfr olmad§ görülür. Biralt kabukta birden fazla parçack oldu§u zaman alt kabuktaki tümparçacklar kuadropol momente katkda bulunurlar. Bu alt dolukabuktaki toplam nükleon says (2j+1) oldu§undan dolmam³ altkabuktaki muhtemel nükleon says(n) 1 6 n 6 2j arasnda de§i³ir.



B.3


Yeni kuadropol moment:< Q >=< Qtp > [1− 2 n−1

2j−1 ] Bu de§er, dolmam³ alt kabuktakimuhtemel nükleon says(n) minimum 1 oldu§unda Q = Qtp iken nmaximum 2j oldu§unda ise Q = −Qtp'dir. A³a§daki gürdegösterilen deneysel de§erler ve teorik çizgiler tam olarakuyu³mazken, pozitif ve negatif de§erlerin tam bir simetrigöstermedi§ide görülmektedir. Ayrca, baz çekirdekler için gözlenenyüksek Q de§erlerini teorik de§erlerin verdi§i çizgiyledeaçklayamayz. Bu bize nükleer kabuk modelinin tam açklayamad§³eylerin oldu§unu gösterir.



B.3




B.3

Nükleer Uyarlm³ Durumlar

Çekirdeklerdeki uyarlm³ durumlar bize çekirde§in yapshakknda bilgi vermektedir. Uyarlm³ bir çekirdek elde etmenin biryoluda çekirde§i olu³turan nükleonlarn enerji seviyielerini veyakongürasyonlarn de§i³tirmektir. Böylece çekirdeklerin herbiruyarlm³ durumu aslnda bize nükleonlarn tek tek yörüngelerihakknda bilgi verir.

Bir di§er yöntem ise, çiftlenmi³ nükleonlarn olu³turdu§uçekirdek ksma titre³im veya dönme enerjisi ³eklinde enerji vererekyada çiftlenimlerden bir veya birkaçn krarak olabilir.



B.3

Nükleer Uyarlm³ Durumlar



B.4

Nükleonlar Aras Kuvvet

Nükleon-nükleon kuvvetinin baz temel özellikleri:1 Coulomb kuvvetine kyasla çok küçük mesefelerde etkindir.

Zira çekirde§in içinde var olmaktadr. Örne§in, atomik boyuttaönemsenmeyecek kadardr.

2 Baz parçacklar nükleer kuvvetten etkilenmezler. Örne§in,atomik yapda bulunan elektronlarn çekirdekten etkilenipetkilenmedi§i kantlanmam³tr.

3 Nükleon-nükleon kuvveti nükleonun türünden ba§mszdr.Buna yük ba§mszl§ denir.

4 Nükleon-nükleon kuvveti nükleonlarn spinlerine ba§ldr.5 Nükleon-nükleon kuvveti nükleonlarn belirli bir uzaklkta

bulunmasn sa§layan bir itici terim içerir.6 Nükleon-nükleon kuvvetinin merkezi olmayan tensör adnda

bir bile³eni vardr. Dolaysyla bu kuvvet için orbital açsalmomentumu korunmaz.



B.4

Döteron

Atom zikçiler için bir Hidrojen atomu(11H), nasl di§eratomlar açklamada bir temel olu³turuyorsa; nükleer zikçiler içindeatomlarn çekirde§inde olup biten davran³lar ve tek teknükleonlarn etkile³imini açklamak için döteryum atomunun(21H1)çekirde§i yani döteron temel olu³turmaktadr. Bu yüzden bubölümde a§rlkl olarak döteron ve onu olu³turan bir nötron ve birprotonun etkile³iminden bahsedece§iz.

Döteron uyarlm³ durumlar olmayan bir çekirdektir, buyüzden uyarlm³ durumlar yalnz serbest bir proton ve nötronunolu³turdu§u sistemlerde görünür.



B.4

Döteron

Döteron için ba§lanma enerjisi: Daha öncede kütlespektrometresinde bahsetti§imiz kütle ikilisi yöntemini kullanarakdöteryumun kütlesinin bulabiliriz. Örne§in, kütle farklar bilinenC6H12 ve C6H6 veya C5H12 ve C6H6 bile³ikleri kullanlabilir.Sonrasnda ise bulunan m(2H) kütlesi veB = [m(1H) +m(1

0n)−m(2H)]c2 formülüyle B ba§lanma enerjisiyani 1 proton ve 1 nötronu bir arada tutmak için bize gereken enerjibulunur. Bu enerji B = 2.22463± 0.00004MeV olarak hesaplanr.

Bir di§er yöntem ise γ ³n enerjisi ölçülerek yaplanyöntemdir. 1

1H+10n −→ 2

1H+γ reaksiyonu ele alnp, gammaenerjisi ölçülür. Uyarlm³ haldeki döteron içinEinitial = Efinal + Eγ + Trecoil ve 0 = precoil + pγ enerji vemomentum korunumunu temsil eder.



B.4

Döteron

Gamma ³n için relativistik enerji ifadesi (Eγ = c.pγ)kullanlarak, çekirde§in ilk ve son durumlar arasndaki enerji fark,gamma ³n yayp geri tepen parçac§n kinetik enerjiside göz önünealnarak ³öyle yazlr: Einitial = Efinal + Eγ + Trecoil ve

∆E = Eγ +E2γ

2.MR.c2

Dü³ük enerjili γ ³nlar için:

Eγ = MR.c2[−1±

√1 + 2. ∆E

MR.c2]

Eγ ∼= ∆E − ∆E2

2.MR.c2yani ∆E ∼= Eγ bulunurki, bu bize uyarlm³

çekirde§in yayd§ γ ³n enerjisin, hemen hemen iki enerji seviyesiarasndaki farka e³it oldu§unu gösterir. Yani dü³ük enerjili γ'lar içingeri tepen parçac§n enerjisi ihmal edilebilir.



B.4

Döteron

Sonuç olarak, 2.2 MeV civarnda bulunan döteryumba§lanma enerjisi, önceden gösterilen 8 MeV'lik ortalama çekirdekba§lanma enerjine kyasla çok zayf ba§l bir çekirde§e i³aret eder.

I Kaynak: NükleerFizik (Kenneth S. Krane)E§er Schrödinger denklemidöteryum için çözülürse,bize Vo potansiyelinin de§erini−35 MeV olarak verecektir.Döteron için nükleon-nükleonkuvvetinin yüzeyene kadar yakn oldu§u, yani çokzayf ba§ll§ ³ekilde görülür.



B.4

Döteron

Döteron için spin ve parite: Döteronun toplam açsalmomentumu, I = sn + sp + ` olarak verilir. Buradaki ` nükleonlarnortak kütle etrafndaki orbital açsal momentumudur. Döteronunölçülen spini 1'dir. Bunu elde etmek için de§i³ik spin ve orbitalaçsal mementum kongürasyonlar denenebilir. Döteronun spininegelince, döteronun olu³umu srasnda yaylan fotonlarn spinleri bizebu bilgiyi verir. Parite, yani r −→ −r dönü³ümü altnda dalgafonksiyonunun gösterdi§i davran³, incelendi§inde Döteryum içinçift parite gözlenmi³tir. Bu ise (−1)` formülünden, muhtemelorbitallerin ` = 0 ve ` = 2 olabilece§ine i³aret eder. Bunu söylerken,hangi vektörel toplamlarn I = 1 toplam açsal momentumunuverece§ini göz önünde tutmak gerekir.



B.4

Döteron

Döteron için manyetik dipol moment: imdi yukardabelirtti§imiz bilgiler ³§nda Döteronun manyetik moment kavramnve onun çekirdek hakknda verdi§i ipuçlarn inceleyece§iz.

E§er döteronun alabilece§i orbital momentum de§erlerininsadece ` = 0 yani s orbitalinden olu³tu§unu varsayarsak;µ = µn + µp = gsnµN

sn~ + gspµN

sp~ = 1

2µN (gsn + gsp) ³eklindeveririz. Görüldü§ü gibi s=0 için hiçbir yörüngesel katk yoktur.Ayrca sz bile³enin en büyük de§eri +1/2 bize s = sz~ = 1/2~'verir. Burada asl önemli olan deneysel ve teorik sonuçlar azda olsafarkl bulunan µ(` = 0) = (0.8574376± 0.0000004)µN veµ(` = 0) = 0.879804µN de§erleridir.



B.4

Döteron

Bu uyu³mazl§n, proton ve nötron arasndaki mezon de§i³-toku³undan veya döteronun dalga fonksyonundaki muhtemels(` = 0) ve d(` = 2) dalga fonksiyonlar kar³mndan ileri geldi§ivarsaylabilir. Böylelikle döteronun dalga fonksiyonunuψ = asψ(` = 0) + adψ(` = 2) ³eklinde yazabiliriz. kinci seferde budalga fonksiyonuyla hesaplanan manyetik moment:µ = a2

sµ(` = 0) + a2dµ(` = 2) de§erini verir. Yukarda bulunan

µ(` = 0) de§erine ek olarak µ(` = 2) teorik de§eri1/4(3− gsp − gsn)µN olarak bulunmu³ olur. Önceden bulunandeneysel de§er bize s ve d kar³m orannn a2

s = 0.96 ve a2d = 0.04

olmas gerekti§ini söylemektedir.Buradan döteronun s ve d'nin kar³m bir dalga

fonksiyonuna sahip oldu§u ispatlanm³ olur.



B.4

Döteron

Döteron için elektrik kuadropol moment: Kuadropolmomente geçmeden önce, döteronu olu³turan nükleonlarnçekirde§e ba§l olmakla olmamak arasnda bir yerde oldu§unuhatrlamak gerekir. Sonrasnda ise serbest nükleonlarn elektrikmomente sahip olmad§n bilinir. Buna ra§men, gözlenenkuadropol moment Q = 0.00288± 0.00002b olarak ölçülmü³tür.Bunun ise yörüngesel hareketten ileri geldi§i söylenir. Elektrikkuadropol momenti bulmak için döteron için bir önceki slayttabuldu§umuz s ve d'nin kar³m olan dalga fonksyonunu kullanpeQ = e

∫ψ∗(3z2 − r2)ψdν formülüyle Q de§eri bulunabilir.

Q =√

210 asad < r2 >sd − 1

20a2d < r2 >dd ifadesindeki

< r2 >sd=∫r2Rs(r)Rd(r)r

2dr ve< r2 >dd=

∫r2Rd(r)Rd(r)r

2dr, r2'nin radyal dalga fonksiyonlarüzerinden integralidir.



B.4

Döteron

Yukarda ifade edilen döteronun elektrik kuadropolmomentinin bulunmasnda, öncedende özetle bahsedilen döteronundalga fonksiyonundaki s ve d kar³m oranlarndaki yüzdelikbelirsizlik, spin-yörünge etkile³imleri, göreceli etkiler ve protonve nötronlarn olu³umunda rol alan mezon de§i³-toku³unun µüzerindeki etkileri d-durumunun Q de§erine yapt§ katkdan fazlaolabilir.

Özellikle hedef olarak döteronlarn kullanld§ saçlmadeneylerinde d-durumlar kar³mnn dalga fonksiyonu içindekiyüzdesi %4 aral§nda verilirki buda manyetik dipol momentslaytnda söylenilen %4'lük de§erle uyu³ur.

Döteron örne§i için verilen, döteron dalga fonksiyonun birkar³m içerdi§i hipotezi nükleer kuvvetin merkezi olmayan vetensör denilen bir bile³eni oldu§unun delilidir.



B.4

Nükleon-Nükleon Saçlmas

Döteron (21H1) üzerinde yaplan çal³malar özellikle ta³d§tek proton ve nötrondan dolay önemlidir; zira bize nükleon-nükleonsaçlmasna ³k tutacak örnekler sunmaktadr. Döteron çekirde§ininuyarlm³ durumlar yoktur; yanlz yörünge açsal momentumu ` = 0,paralel spinli ve aralarndaki uzaklk 2fm dolaylarnda olan ikinükleonu vardr. Buda, zaten nükleon-nükleon saçlmasna temelolu³turan teorilere ve deneylere imkan sunar. Tabiki, çal³lmakistenen çekirdek birden fazla nükleonlu olabilir. Nükleonlarn, temelhal durumu d³nda enerji seviyelerinde yapaca§ farklkongürasyonlar o çekirdek için de§i³ik uyarlm³ durumlarverecektir. (Derste verdi§imiz 25

11Na14 örne§ini hatrlaynz.) Buyüzden, tek bir nükleona odaklanmak için çok nükleonlu çekirdekyerine hidrojen hedef seçilebilir.I Kaynak: Nükleer Fizik (Kenneth S. Krane)



B.4





B.4


I Kaynak: Quantum Mechanics (Nouredine Zettili)



B.4


I Kaynak: Quantum Mechanics (Nouredine Zettili)



B.4

Proton-Proton ve Nötron-Nötron Etkile³mesi

Bu konunun detayl açklamas için lütfen kitabn (Krane'nin)86-100 sayfalarn okuyunuz. Konunun detayl olmas ve kuantumzi§ine kaymas sonucu sadece sonuç olarak dikkat etmeniz gerekenksm ifade edilecektir.

ki parçackl bir sistemi dü³ünürsek e§er, toplam dalgafonsiyonunu ³öyle yazabiliriz: ψ = ψA(r1).ψB(r2) Yerleride§i³-toku³ edilen bu parçacklarn dalga fonksiyonu iseψ′ = ψB(r1).ψA(r2)'dir. E§er de§i³-toku³tan sonra ψ(1,2) = ψ(2,1)

oluyorsa, dalga fonksiyonu simetrik; ψ(1,2) = −ψ(2,1) oluyorsa,dalga fonksiyonu antisimetrikdir denir.

Toplam dalga fonksiyonu iseψ(1,2) = 1√

2[ψA(r1)ψB(r2)± ψB(r1)ψA(r2)] ³eklinde ifade edilir.



B.4


Yukardaki formülde unutulmamas gereken ise, özde³parçacklarn olu³turdu§u sistemlerin toplam dalga fonksiyonlarnnya tamamen simetrik ya da tamamen antisimetrik oldu§udur.Yani, kar³k simetri izinli de§ildir. Hatrlamamz gereken bir di§ernokta ise temel parçacklar olan fermiyonlar (elektron,...) buçukluspinlere ve simetrik toplam dalga fonksiyonlarna sahipken;daha büyük parçacklar olan baryonlar (proton, nötron,...) tamsayl spinlere ve antisimetrik toplam dalga fonksiyonlarnasahiptir.



B.4


Yukardaki bilgiler ³§nda, iki nükleonun (proton-protonveya nötron-nötron) saçlmasn incelersek, E§er ` = 0 dü³ük enerjilisaçlma ele alnrsa, dalga fonksiyonlarnn uzay koordinatlarnnde§i³-toku³u açsndan simetrik oldu§u, bu nedenlede antisimetrikolmas beklenen toplam dalga fonsksiyonu için spin koordinatlarnnde§i³-toku³u açsndan antisimetrik olmas gerekti§i sonucunavarlr. Zira, toplam dalga fonsiyonu, uzay ve spin dalgafonksiyonlarnn çarpmdr. Sonuç olarak, saçlmaya sadece tekspinli durumlar neden olur denir.

Bulunan bir di§er sonuç ise; difransiyel saçlma tesir kesitininverilen formülündeki tek bilinmeyen olan açnn (δo) bir fonksiyonuolarak yazlabilece§idir. A³a§daki ³ekle baknz.



B.4





B.4

Nükleer Kuvvetin Özellikleri

1 ki nükleon arasndaki etkile³me en dü³ük mertebeli çekici birmerkezi terim içerir.

2 Nükleon nükleon etkile³mesi kuvvetli spin ba§mldr.3 Nükleonlar arasndaki potansiyel, Tensör potansiyeli olarak

bilinen ve merkezi olmayan bir terim içerir.4 Nükleon nükleon kuvveti yük simetrilidir.5 Nükleon nükleon kuvveti hemen hemen yükten ba§mszdr.6 Nükleon nükleon etkile³mesi ksa mesafelerde iticikarekterdedir.

7 Nükleon nükleon etkile³mesi nükleonlarn ba§l hz veyamomentumuna da ba§l olabilir.



B.4

De§i³ Toku³ Kuvvet Modeli

Lütfen, nükleer zik kitabnzdan (Krane) 108-112 arasndakisayfalar inceleyiniz.



B.5

Kabuk Modeli

Atomik yap:



B.5

Kabuk Modeli

Nükleer kabuklarn varl§n destekleyen deneysel kantlar:



B.5

Kabuk Modeli

Geli³mi³ spin-orbital modeli bulunmadan önceki enerjiseviyeleri:



B.5

Kabuk Modeli

V (r) = Vo1+exp[

(r−R)a

]Burada R ortalama yarçap iken, a

yüzey kalnl§n verir. R = 1.25fmA13 iken, a=0.524fm ve

Vo = 50MeV olarak alnd§ zaman bir sonraki slayttakiWoods-Saxon durumundaki ara enerjilere ve ayrlmalaraula³lacaktr.



B.5

Kabuk Modeli

Spin-orbital etkile³mesi altndaki potansiyelin verdi§i modellebulunan yeni enerji seviyeleri en sa§da gösterilmi³tir.



B.5

Kabuk Modeli

Potansiyelin sihirli saylar (2,8,20,28,50,82,126,184) tamolarak vermesi için onu nasl de§i³tirebiliriz? Tabiki en kestirme yol,bir önceki potansiyele yeni terimler eklemek olacaktr. 1949 ylndaMayer, Haxel, Suess ve Jensen bunu ba³arm³tr.

Yeni enerji düzeyleri, Vso.`.s ³eklinde spin-yörünge etkile³imigöz önünde bulundurularak yazlm³tr ve bu enerjilerin yenidendüzenlenmesine neden olan `.s katsaysdr. Burada tek birnükleonun spini s = 1

2 iken toplam açsal momentum kuantumsays j = `+ s yani; j = `+ 1/2 veya j = `− 1/2 olacaktr.

Atom zi§inde toplam dejenere durum says 2(2`+ 1) iken;nükleer zikte her düzeyin dejenerelik saysna (2j + 1) ileula³abiliriz. E§erki mj 'nin +j ve -j arasnda de§i³en de§erler alaca§dü³ünülürse, bu dejenerelik says mj kuantum saylarnn toplamnatekabül edecektir.



B.5

Kabuk Modeli

Burada dejenerelikten kast, ayn enerji seviyesinde bulunannükleon says kastedilmi³tir. Fakat; spin-yörünge etkile³meleri ilems ve m`'nin artk dejenereli§i açklamada iyi kuantum saylarolmad§ kantlanm³tr. Herhangi bir spin-yörünge ikilisi arasnda< `s > beklenen de§eri ile orantl bir enerji fark vardr.~j = ~+ ~s j2 = `2 + 2`s+ s2 `s = 1

2(j2 − `2 − s2)

< `s >= ~22 [j(j + 1)− `(`+ 1)− s(s+ 1)]

∆E =< `s >j=`+ 12− < `s >j=`− 1

2= ~2

2 (2`+ 1)

Buradan enerji yarlmasnn artan ` ile artaca§görülmektedir.



B.5

Kabuk Modeli

Figure: 15O ve 17O'de kabuklarn doldurulmas. Dolmu³ proton kabuklarnükleer yapya katkda bulunmazlar; taban durumlarnn özellikleri esasolarak tek kalan nötronla belirlenir.



B.5

Kabuk Modeli

Bir nükleon nasl olurda etrafnda çarp³acak birçok ba³kanükleon olmasna ra§men ve büyük bir kuvvetle birbirlerinida§lmamak için çekerken, hiçbir çarp³ma yapmakszn kendiyörüngesinde bir tam tur yapabiliyor?

Bunu açklamas Pauli D³arlama lkesi içinde yatmaktadr.Aslnda çekirdek, içinde nükleonlarn, snrlanm³ belirli orbitallerdebulunabildi§i bir sistemdir. Pauli ilkesi, bu snrlamaya bir yenisinidaha ekler. Buna göre, sadece bir nükleon verilen belli bir enerjidurumunu doldurabilir. Bu durum, çarp³ma olasl§n oldukçaazaltm³tr. Nükleonlar, orbitalleri dü³ük enerjili olandan yüksekenerjili olana do§ru doldururlar.



B.5

Kabuk Modeli

Bir nükleonun hareketi, genelde çekirdek di§er nükleonlarladoluyken gerçekle³mektedir. Di§er nükleonlarn bir nükleonauygulad§ kuvvet nötron ve protonun nükleer potansiyelitarafndan yönetilir. Bu potansiyelleri sol a³a§daki gürdeninceleyebiliriz. Proton potansiyelinin ³ekli, nötron potansiyelineCoulomb potansiyeli eklenerek bulunabilir.



B.5

Kabuk Modeli

8.1 Neutron, proton, and Coulomb po-tentials

8.2 Spin and orbital coupling

Figure: Solda:Nötron, proton ve Columb potansiyelleri Sa§da: Spin veorbital birle³mesi



B.5

Kabuk Modeli

Fizikteki di§er önemli bir fenomen olan nükleer potansiyelinorbital ve spin kuantum saylarnn birle³im durumuna göre de§i³imisa§ yukardaki gürde gözlenmektedir. Kabuk modeli potansiyelininbu birle³imin zt veya paralel olmas durumuna göre nasl daralpgeni³ledi§ine dikkat ediniz. Geni³leyen potansiyel, içinde çe³itliorbitallerde bulundurdu§u nükleonlarn enerjisini a³a§ çekerken;daralan potansiyelde durum tam tersi olacaktr.



B.5

Kabuk Modeli

A³a§da, çekirdekte nükleonlar ve kabuk modeli enerjiseviyeleri tarafndan olu³turulan merkezkaç potansiyelinihesaplamada kullanlan formüller verilmi³tir. Bu bize çekirdek içindenükleonlarn orbital enerjilerinin nasl ³ekillendi§i hakknda bilgivermektedir.

2πr = lλθ =lh

MVθ=

lh

MωrL = Mr2ω =

lh

2π= l~

(23)

L =√l(l + 1)~ Fcf = Mω2r =

L2

Mr3=l(l + 1)~2

Mr3

(24)

Vcf = −∫ r

∞Fcfdr =

l(l + 1)~2

2Mr2(25)



B.5

Kabuk Modeli

Nükleonun dalga boyunu hesaplamak için kullanlacak tampotansiyel, kuvvetlerin olu³turdu§u V(r) potansiyeli ve Vcfmerkezkaç potansiyelinin toplamdr. Bu yüzden ~rψ(r) olaraktanmlanan u(r) ifadesinin difransiyel denklemi

− ~2

2M

d2u

dr2+ [V (r) +

l(l + 1)~2

2Mr2]u = Eu (26)

³eklinde verilir.



B.5

Kabuk Modeli



B.5

Kabuk Modeli

Yukardaki gürdeki enerjiler ve dalga fonksiyonlar yineyukardaki kare kuyu için verilen enerji denklemiyle bulunmu³tur.Figürdeki 4 ksm srasyla orbital kuantum numaralar ` =0, 1, 2 ve3 içindir. Kaln çizgiyle verilen etkin potansiyel, kesikli çizgiyleverilen V(r) and Vcf potansiyellerinin toplam olarak görülmektedir.Potansiyellerin altnda dalgalarla gösterilen farkl n seviyesindekiorbitaller, çekirde§in r yarçap snrlarnda toplam n tane yarmdalga içerir. Yani 1s için 1 yarm dalga görülürken, 2s için 2× yarmdalgadan bir tam dalga görülür.



B.5

Kabuk Modeli

Figürler ` orbital kuantum says arttkça potansiyelin daralps§la³t§n göstermektedir. Meydana gelen bu daralma, yüksekorbital momentumlu bir parçac§n merkazkaç kuvvet tarafndanküçük yarçaptan kuvvetlice itilmesinden olu³ur. Potansiyel kuyusudaraldkça, kuyunun dalga boyu küçülmektedir. Buda ancakλ = h√

2M(E−V )formülüne göre daha büyük (E − V ) de§eri

gerektirmektedir. Bu sebepledirki potansiyel kuyusu içindeki E1l

enerji de§erleri ` de§eri arttkça artarak bir öncekinden yüksek birenerjiye tekabül edecektir. Artan ` de§eriyle yükselen potansiyelkuyusunun alt ksm, E1s, E1p, E1d ve E1f için her defasnda dahayüksek enerji de§erlerini gösterecektir. Dalga fonksiyonlar ise artan` de§eriyle daha ksa dalga boyuna sahip olarak, giderekdaralacaktr.



B.5

Kabuk Modeli

Kuyu potanasiyeli d³ndaki potansiyellerde, nicelik olarakbenzer durumlar söz konusudur. Örne§in, Hidrojen atomundagörülen 1/r kuyusunda, E1p'nin enerjisinin E2s ile ayn düzeydeoldu§u görülür. Benzer ³ekilde E1d, E2p veE3s enerji seviyeleri ayndüzeyde bulunur. Bu ili³ki ksacaEn` = E(n+`)(`−1) = ... = E(n+`)(0) ³ekilnde gösterilir. n kuantumsays atom zi§inde sklkla kullanlr. Bu enerji benzerli§i sadece1/r potansiyeli için geçerlidir. Nükleer zikte uygulanabilir olanpotansiyeller, 1/r potansiyeli kadar kare kuyu potansiyelinden sapmagöstermez. Bu yüzdendirki atom §indeki En` için artan ` ilegözlenen enerji kaymas nükleer zikte daha azdr.



B.5

Kabuk Modeli

A³r ba§msz parçack modeli ve kollektif kabukmodelinin kar³la³trlmas:



B.5

Kabuk Modeli

Yukardaki 178 09 ve 17

9 F8 çekirdeklerinin sahip oldu§u temelhal düzeyindeki ve ba³lca uyarlm³ durumlardaki aldklar baz spinve parite de§erleri örneklendirilmi³tir. Dikkat edilmesi gereken buçekirdekler için tek pariteli durumlar için çok daha karma³k nükleondizilimlerine gerek duyulmasdr.

A³a§da verilen 4120Ca21, 41

21Sc20, 4320Ca23, 43

21Ca22 ve 4322Ca21

çekirdeklerindede benzer bir örnekle kar³la³lr. E§er tek kalanparçack çekirde§in özelliklerini belirleyen tek faktör olsayd, enerjidüzeylerindeki fark bariz olarak görülen 43

20Ca23 ve 4121Ca21

çekirdekleri tek kalan nükleonlarndan ötürü ayn enerji düzeylerinivermeliydi. Fakat, bu do§ru de§ildir. Sebebi ise, son kalan 3nükleonun birden 43

20Ca23'nin enerji diyagramnda rol alarakkollektif çekirdek modelini kantlamasdr.



B.5

Kabuk Modeli

A³r ba§msz parçack modeli ve kollektif kabukmodelinin kar³la³trlmas:



B.5

Çift-Z, Çift-N'li Çekirdekler ve Kollektif Yap



B.5


Yukarda gruplanm³ halde birçok de§i³ik spinde ve 2 MeVenerjisi civarnda uyarlm³ 130

50 Sn80 çift-çift çekirde§i görülürken,1.2 MeV civarnda tek bir anormal 2+ durumu gözlenmektedir.Sonralar bu durumun 130Sn çekirde§ine özgün olmayp, bütünçift-çift çekirdeklerin bir özelli§i olup, onlarn en dü³ük seviyeliuyarlm³ düzeylerini gösterdi§i anla³lm³tr. Ve bu özellik,çekirdekteki nükleonlarnn kollektif özelli§ine dayanr.



B.5


13050 Sn80 çift-çift çekirde§i için yukarda verilen enerji

düzeylerine bakarak, 'saf kabuk modelinin' böyle karma³k enerjidüzeylerini veremeyece§i kestirilebilir. E§er, bu enerji yapsn kabukmodeliyle yorumlamak istersek, mevcut 2+ enerji seviyesinin,çekirde§in kabuk modeli durumlarnn bir kombinasyonu ³eklindea³a§daki gibi yazlmaldr.ψ(2+) =aψ(νh11/2⊕ νh11/2) + bψ(νd3/2⊕ νd3/2) + cψ(νd3/2⊕ νs1/2) + ...Burada ν nötronu sembolize ederken, protonu göstermek için πi³areti genel olarak kullanlmaktadr. ⊕ ise bize iki nükleonun 2+

uyarlm³ durumunu elde etmek için gereken açsal momentumba§la³m durumunu ifade eder.



B.5


Figure: Çift-Z, Çift-N'li Çekirdeklerin Kollektif Davran³



B.5


ekil 5.15a'da sihirli saylar veren bölgeler d³nda genelolarak 2+ enerjisi azalma trendi göstermektedir. 190 > A > 150arasnda E(2+) de§erleri sabite yakn de§erler izlemi³tir. Yine ³ekil5.15b E(2+)/E(2+) enerji oranlar A'nn bir fonksyonu olarakA < 150'de kabaca 2 civarnda seyrederken, 150 < A < 190 veA > 230 bölgesinde 3.3 civarnda bir oran yakalam³tr.



B.5





B.5





B.5


ekil 5.16a'da, 2+ durumlarnn manyetik momentlerinin0.7-1.0 de§erleri arasnda sabit kald§ ve yine ³ekil 5.16b'de elektrikkuadropol momentlerin A<150 bölgesinde çok küçük, di§erbölgelerde ise çok daha büyük de§erler ald§ görülür.



B.5





B.5


Çift-çift çekirdekler hakkndaki bu ve benzeri çkarmlar,farkl kütle numarasna sahip çekirdeklerin gruplar halinde farklözellikte olabilece§ini ortaya çkarr. A < 150 olan çekirdekler genelolarak küresel bir denge ³ekli etrafnda titre³imleri esas alan birmodelle incelenirken, 190>A>150 arasndaki çekirdekler küreselolmayan bir sistemin dönme hareketini gösterir. Bu titre³im vedönme hareketi kollektif nükleer hareketin iki ana türüdür vebuna uyan çekirdekler kollektif model veya sv damlas modeliad altnda incelenir.



B.5

Nükleer Titre³imler



B.5


ekil 5.17, nükleer yüzey üzerindeki bir (θ, φ) noktasnn R(t)koordinatn Y (θ, φ) küresel harmonikler cinsinden a³a§daki gibibelirleriz. Burada αλµ(t) küresel harmonik bile³i§in genli§idir.

R(t) = Rort +∑λ≥1

λ∑µ=−λ

αλµ(t)Yλµ(θ, φ)

Rort de§eri ise RoA1/3'e e³itken, λ titre³im modlarn gösterir. Titre³imenerjisinin her bir kuantumuna fonon denir. λ = 1 titre³imine Dipol,λ = 2 titre³imine Kuadropol ve λ = 3 titre³imine Oktupol ad verilir.Üretilen herbir mekanik titre³ime kar³lk kendi ismiyle anlan titre³imfononu üretilir. Örne§in, bir λ = 1 nükleer titre³iminin birimi bir Dipolfononudur. Titre³im enerjisinin genel özellikleri: iki özde³ fonon birfononun iki kat enerji ta³r, örne§in λ = 3'e kar³lk gelen oktupoltiter³im modu 3 birim açsal momentum ta³r ve paritesi negatiftir,örne§in her λ = 2 kuadropol fononun 5 mümkün µ bile³eni vardr. kifonon için λµ'nün 25 muhtemel kombinasyonu tablo 5.2'de gösterilmi³tir.



B.5




B.5


Naslki ` = 2 de§eri için m` = 2, 1, 0,−1,−2 de§erlerinialyorsa; λ = 2 için µ de§erleride 5 farkl de§er almaktadr. kikuadropol fononun(λ = 2) olu³turdu§u sistemin alabilece§i farkltoplam µ de§erler tablo5.2'de görülmektedir. E§er toplam µde§erlerini gösteren (µ1, µ2) ikililerini tablodan çkarp, tek tekyazp, simetrik olan ikilileri tek bir dalga fonksiyonu gibi dü³ünürsek,toplamda 25 de§il 15 farkl ikili durum elde edilece§i görünür.



B.5




B.5


5.2'den yaplan çkarm:

µ = +4 ikili (2,2) tek kombinasyon var.µ = +3 ikili (2,1), (1,2) iki kombinasyon var; fakat biri izinli.µ = +2 ikili (2,0), (0,2), (1,1) üç kombinasyon var; fakat ikisi izinli.µ = +1 ikili (1,0), (0,1), (-1,2), (2,-1) dört kombinasyon var; fakat ikisiizinli.µ = 0 ikili (0,0), (1,-1), (-1,1), (2,-2), (-2,2) be³ kombinasyon var; fakatüçü izinli.µ = −1 ikili (-2,1),(1,-2), (0,-1), (-1,0) dört kombinasyon var; fakat ikisiizinli.µ = −2 ikili (-1,-1), (0,-2), (-2,0) üç kombinasyon var; fakat ikisi izinli.µ = −3 ikili (-2,-1), (-1,2) iki kombinasyon var; fakat biri izinli.µ = −4 ikili (-2,-2) tek kombinasyon var; fakat biri izinli.Toplam 15 farkl izinli kombinasyon bulunur.



B.5


Sonuç olarak ³ekil 5.19'u baz alrsak, 0+ temel hal enerjisi ileba³lanan 120Te için eklenen tek kuadropol fonon titre³im enerjisi, 2 birimaçsal momentum ta³yarak ilk 2+ enerjisini verir. ki fonon titre³imenerjisi ise iki kat olacaktr. Ve bu, enerji diyagramnda bize 3'lü enerjigrubunu (0+, 2+, 4+) verir. Bir önceki slayta yaplan ikili çkarmlarnfarkl bir ³ekilde daha gösterebiliriz.` = 4 ise µ = 4, 3, 2, 1, 0,−1,−2,−3,−4 toplam µ = µ1 + µ2 de§erlerinitablo 5.2 de belirtildi§i gibi alacaktr.` = 2 ise µ = 2, 1, 0,−1,−2 toplam de§erlerini alrken,` = 0 ise µ = 0 de§erini alr.Yani, toplam 15 farkl de§er bulunaca§ yine görülmektedir. Ayrca birinci2+ ve 4+ uyarlm³ düzeylerin enerji oranlarnn 2 olaca§ ³ekil 5.19'dagörülmektedir. Yine benzer gruplamalar, üç kuadropol fonon için0+, 2+, 3+, 4+, 6+ durumlarn verecektir. Bir sonraki uyarlm³ durum iseλ = 3 oktupol modu ile 3−'da 2 MeV üzerinde gözlenir.



B.5




B.5


E§er denge ³ekli, kuadropol titre³imdeki gibi küresel ise, 2+

durumunun kuadropol momentleri ³ekil 15.6b'deki gibi A<150bölgesinde ço§unlukla sfrdr. Birinci 2+ durumlarnn manyetikmomentlerinin de§erleri ise ³ekil 5.16a'daki gibi 0.8 ve 1.0arasndadr. Hem 5.15b'de A<150 aral§nda hemde 5.19'da ilkuyarlm³ durumlar için E(4+)

E(2+)= 2 olarak gözlenebilir. Dolaysyla,

küresel titre³im modeli bu çekirdeklerin titre³im yapsnn birksmn do§rulamaktadr.



B.5




B.5


R(θ, φ) = Rort[1 + βY20(θ, φ)] ve β = 43

√π5

∆RRort

ve

Qo = 3√5πR2ortZβ(1 + 0.16β) ve E = ~2

2 I(I + 1) burada eylemsizlik momentidir. Açsal momentum ` = ω ve dönen cisminkinetik enerjisi 1

2ω2 = `2

2



B.5




C.1

Radyoaktif Bozunma

Krane, ünite 6

1 Bozunma Kanunu2 Radyoaktii§in üretilmesi, bozunumu ve bozunma serileri3 Bozunma türleri(α, β, γ bozunumu, kendili§inden zyon,

nükleon yaynlanmas, dallanma oranlar ve ksmi yar ömürler)4 Do§al radyoaktiik5 Radyasyon ölçüm birimleri



D.1

Elektromanyetik Radyasyonlarn Snandrlmas



D.1

1-Elektromanyetik Radyasyonlarn Madde ile Etkile³imi

Elektromanyetik Radyasyon: Gamma ve X ³nlar maddeile esas olarak üç ³ekilde etkile³irki bunlar srasyla: fotoelektrikso§urma, Compton saçlmas ve çift olu³umdur.

Fotoelektrik olay: Atomca so§urulan gamma ³n, tümenerjisini bir elektrona aktararak bu elektronun serbest halegeçmesini sa§lar. (Not: Serbest elektron için çarp³madamomentumun korunumu olmayaca§ndan, elektron her zaman biratoma ba§l olmaldr.) Enerjinin korunumu ise Eγ = Te +Be³eklinde ifade edilip; elektronun ba§lanma enerjisi gelen fotontarafndan a³lmaldrki, atomdan kopan elektron belirli bir kinetikenerjiyle yoluna devam edebilsin.



D.1




D.1


Pb atomunun K-kabu§undan elektron sökmek için 88 keV veyadaha fazla enerjideki gamma ³nlarnn gerekti§i görülmektedir. Bu enerjiseviyesi fotoelektrik so§urma olasl§nda ani artmaya neden olup, bunoktaya K-snr denir.



D.1




D.1


Compton Saçlmas:



D.1


Durgun kütlesi mo olan bir cisim, relativistik hzlardam = mo√

1−ϑ2c2

kütlesine sahiptir. E§er momentumu p = mϑ olarak

alrsak ve kütle formülünün karesini alp tekrardan düzenlersek:m2 −m2(ϑc )2 = m2

o e³itli§in her tarafn c4 ile çarparsak,(mc2)2 − (pc)2 = (moc

2)2

E2 − (pc)2 = E2o yani (pc)2 = E2 − E2

o bulunur.Kütlesiz parçack olan foton için enerji E = hν = pc = hc

λolarak verilir.



D.1


Sadece enerjinin korunumu ile elektronun momentumunubulabiliriz.

hν + Eo = hν ′ + Ee = hν ′ +√

(p′ec)2 + E2

o

pc+ Eo = p′c+√

(p′ec)2 + E2

o

(p− p′)c+ Eo =√

(p′ec)2 + E2

o

(p− p′)2c2 + E2o + 2(p− p′)cEo = (p′ec)

2 + E2o

(p′e)2 = p2 + (p′)2 − 2pp′ +

2(p− p′)Eoc

(27)



D.1


Sadece momentumun korunumu ile elektronunmomentumunu bulabiliriz.

p = p′ cos θ+p′e cosφ X eksenindeki momemtum korunumu

0 = p′ sin θ − p′e sinφ Y eksenindeki momemtum korunumu

(p′e)2 cos2 φ = p2 + (p′)2 cos2 θ − 2pp′ cos θ

(p′e)2 sin2 φ = (p′)2 sin2 θ

(p′e)2(sin2 φ+ cos2 φ) = p2 + (p′)2(sin2 θ + cos2 θ)− 2pp′ cos θ

(p′e)2 = p2 + (p′)2 − 2pp′ cos θ

(28)



D.1


E§er enerji ve momentumun korunumuyla bulunanelektronun momentumu formüllerini birle³tirirsek;

(p′e)2 = p2 + (p′)2− 2pp′+

2(p− p′)Eoc

= p2 + (p′)2− 2pp′ cos θ

2(p− p′)Eoc

= 2pp′ − 2pp′ cos θ = 2pp′[1− cos θ]

1

p′− 1

p=

c

Eo[1− cos θ]

p =E

c=h

λ=hν

c1

E′− 1

E=

1

Eo[1−cos θ] ve Ee = E−E′ = E[1− 1

1 + Emec2

.(1− cos θ)]

(29)

Burada E gelen photonun toplam enerjisiyken, E′ saçlanfotonun enerjisiyken, Eo elektronun durgun kütle enerjisidir.



D.1




D.1


Önceki slayttaki en son formül, Compton Teorisinikantlamada kullanlr. Örne§in, gelen gamma ³n enerjisi olan Ebir sintillasyon detektörüyle kolayca ölçülebilir. Saçlan gamma ³nenerjisi E′ ise saçlma açs θ'nin fonksiyonu olarak ayn sistemleölçülebilir. E§er, 1

E′ −1E 'e kar³n [1− cos θ] gra§i çizilirse; 1

Eosabit lineer e§risi e§im olarak bulunur.

E§er gerekli i³lemler yaplrsa Compton saçlmassonrasndaki ve öncesindeki gamma ³n enerjileri oran θ açsnnbir fonksiyonu olarak ³öyle verilir:

P (Eγ , θ) = 1

1+(Eγ

mec2).(1−cos θ)

Buradaki Eγ gelen fotonun

enerjisi olup, bir önceki slaytta E olarak gösterilmi³tir.



D.1


Klein-Nishina Formülü olarak bilinen ve tek bir serbestelektrondan saçlan fotonlarn en dü³ük seviyedeki quantumelektrodinamik yasalaryla bulunan diransiyel tesir kesiti ³öyleverilir:

dσdΩ = α2r2

cP (Eγ , θ)2 [P (Eγ ,θ)+P (Eγ ,θ)−1−1+cos2 θ]

2

Burada dΩ saçlmann oldu§u kat aç olarak bilinir, αkatsays ince yap sabiti olup, de§eri yakla³k 1

137.04 'tür. θ saçlmaaçs olup, rc = ~

mecindirgenmi³ Compton dalga boyu olarak bilinir

ve de§eri yakla³k 0.38616pm'dir.Bu formül ayn zamanda klasik elektron yarçap olan

re = αrc ∼= 2.8179fm ile de gösterilebilir.(r2e∼= 7.9406× 10−30m2)

dσedΩ = r2

eP (Eγ , θ)2 [P (Eγ ,θ)+P (Eγ ,θ)−1−sin2 θ]

2

Referans: Davisson ve Evans (D12) veya The Atomic Nucleus by Evanspage 683.



D.1


Bilindi§i gibi kat aç dΩ = sin θdθdφ'dr. Compton olayndasaçlan her foton θ ve θ + dθ arasndaki kat aç (dΩ) içinedü³erken; saçlan her elektron φ ve φ+ dφ arasndaki kat aç(dΩ′ = 2π sinφdφ) içine dü³er. Her durumda saçlan foton veelektron says e³it olaca§ndan, ³öyle bir ili³ki ortaya çkar.

dσedΩ 2π sin θdθ = dσe

dΩ′ 2π sinφdφ yani dσedΩ′ = dσedΩ

sin θdθsinφdφ

Buradanda θ açsyla saçlan fotonun ve φ açsyla saçlanelektronun açsal da§lmna ula³labilir.

Fotonunki: dσedθ = σe

dΩ2π sin θ iken, elektronunki:dσedφ = σe

dΩ′ 2π sinφ olur.



D.1


Bu saçlmadaki açsal ili³ki ³öyle verilmektedir:

cotφ = (1 + α)1−cos θsin θ = (1 + α) tan θ

2 ve α =Eγmec2

.

Bu ili³kidende,

dΩdΩ′ = sin θdθ

sinφdφ = −4(1+α)2 cotφ csc3 φ[(1+α)2+cot2 φ]2

= −11+α

(1+cos θ) sin θ

sin3 φbulunur.



D.1


Yukardaki dσedΩ formülü a³a§da çizilmi³tir.



D.1




D.1


dσedθ = dσe

dΩ 2π sin θ



D.1


dσedφ = dσe

dΩ′ 2π sinφ



D.1


Çift Olu³um: Bu i³lemde foton elektron-pozitron çifti üretir vekendisi yok olur. Enerjinin korumumu bize Eγ = T+ +mc2 + T− +mc2

ifadesini verirken; ayn fotoelektrik olaydaki gibi momentumun korunumuiçin a§r bir atomun varl§na ihtiyaç duyulur. Fakat, atoma verilen tepmeenerjisi ihmal edilebilir. Çift olu³um için 2mc2'lik minimal enerji olan1.022MeV enerjisi öncelikle a³lmaldr. A³a§daki gürde çift olu³umun5MeV üstü foton enerjilerinde baskn hale geçti§i görülmektedir. Tesirkesiti κ ∝ Z2f(Eγ , Z) ile orantldr. 1.022MeV threshold enerjisi sonrasf(Eγ , Z) devaml enerji ile artar.



D.1




D.1


Bir foton bir hedefe çarpt§nda yukardada belirtilen yollarlaya yok olur yada saçlmaya u§rar. Bunlarn d³nda kalan fotonlarancak sisteme ula³r. Bir fotonun yok olmas için birim uzunlukba³na toplam olaslk, toplam lineer inceltme katsays (µT )adn alr. Bu de§er, fotoelektrik so§urma (τ), Comptonsaçlmas(σ), çift olu³um (κ) ve Rayleigh (elastik) saçlmas (σRS)olaslklarnn toplamn te³kil eder. So§rulma katsaylar ve tesirkesitleri toplam ³eklinde ³öyle yazlr:

µT = µτ +µσ +µκ +µσRS ve µTρ = (NAA )(τ + σ+ κ+ σRS)



D.1


Lineer Compton so§urma tesir kesiti σ ∝ f(Eγ) ikenf(Eγ) ∝ 1

Eγle orantldr. Buradan µcs = constant×σ× f(Eγ) ile

ifade edilir. Buradaki sabit terim çekirde§in AZ∼= 2 oranndan gelir.

τ ∝ Zn

Emγ(n,m 3-5 arasndadr.) orantsna göre a§r atomlar

daha iyi gamma emicidir ve detektör yapmnda tercih edilirler.

Rayleigh saçlmas enerji emiliminde rol almad§ için toplamso§urma katsays hesabna katlmaz. Bu formül bir sonraki slayttagösterilmi³tir.



D.1


µTρ ifadesi (1/cm)/(g/cm3) = cm2/g birimini verir. Bu

inceltme katsays, belirli enerjideki gamma ³nnn belirli birmateryaldeki etkile³im olasl§n vermektedir. Toplam so§urmakatsays, etkile³imdeki enerji aktarlan materyal elektronununenerjisinin, gelen fotonun enerjisine oran olan ve 'f' ile gösterilenkatsaylarda hesaba katmaldr.

µTρ = (NAA )[(τ × fτ ) + (σ × fσ) + (κ× fκ)]

Rayleigh saçlmasnn burada enerji so§urulmasna bir katks yoktur.Daha detayl i³lemlerde bremsstrahlung ve uorescence olaylarylakaybedilen enerjilerde göz önünde bulundurulmaldr. (Hubell'in1982 deki tabolarna baklabilir.)



D.1




D.1


ekil 1000 olay için çizilmi³tir.

Egamma(MeV)3−10 2−10 1−10 1 10 210 310

/g)

2 (c

mρ

/ µ

3−10

2−10

1−10

1

10

210

Photon Mass Attenuation CoefficientCoherent ScatteringIncoherent ScatteringPhotoelectric AbsorbtionPair Production in NucleusPair Production Electron FieldTotal Attenuation coherentTotal Attenuation incoherent



D.1




D.1


Hedef materyalin herhangi bir dx kalnl§n geçen radyasyon³iddetindeki azalma ise dI

I = −µdx iken t (veya x) kalnl§n geçenradyasyon için I = Ioe

−µt bulunur.



D.1


E§er çift olu³um olaynn olu³mas için gereken enerjidenfazla enerji gelir ve yok olma olay gerçekle³irse (elektron vepozitronun birle³mesi), olu³an bu ekstra gamma ³n detekte edilendoza katkda bulunur. Buna build-up yani üste ekleme olay denir.Bu durumda:I = Ioe

−µt ×B, burada 'B' build-up faktörüdür.



D.1


Tpta lineer hzlandrc çal³ma prensibi : izlemek için tklaynz.


https://www.youtube.com/watch?v=jSgnWfbEx1A


D.1

Detektörler ve Detektör çindeki Etkile³imler

1)-Enerji Ölçümleri ve Detektör çindeki Etkile³imler2)-Detektör türleri:

1 Gazl Sayaçlar2 Sintilasyon Detektörleri3 Yar-iletken Detektörler4 Manyetik Spektrometreler5 Sayaç Teleskoplar6 Çok Telli Orantl Sayaçlar7 Kutuplayclar (Polarimetreler)

3)- Sayma statisti§i ve Enerji Ölçümleri4)- Yar Ömür Ölçümleri



D.1


Detektörle Enerji Ölçümleri:



D.1


Çok büyük bir detektör içindeki etkile³imler:



D.1


Gamma Spektroskopisinde Pratik Noktalar

Büyük detektörlerin gamma yakalama olaslklar fazladr. Buyüzden, spektrumlarnda büyük fotopik alan verirlerken, dahaküçük Compton süreklilik alan gözlenir. Yani, pik/Comptonsüreklilik oran fazladr.



D.1


Çok küçük bir detektör içindeki etkile³imler:



D.1


Gerçek bir detektör içindeki etkile³imler:



D.1


Detektör içindeki etkile³imlerin özeti:



D.1


Detektör zrhlamas içinde olan etkile³imler



D.1



Yukardaki gürde, fotopikin sa§nda kalan ve normaldegözlenmemesi gereken bölge, sadece üst-üste gelme (pile up)durumlarnda gerçekle³ir ve yapay bir sinyaldir. Yani gamma ³nnmaddeyle etkile³mesiyle olu³an ve önceden listeledi§imiz do§alolaylardan biri de§ildir. Sadece detektöre iki gamma ³nnn aynanda gelerek toplamlar kadar bir sinyal olu³turmasyla gerçekle³ir.Bu tamamen istatistiksel bir olaydr. Bunda, ³ma yapan çekirde§inyapt§ ³malar, kaynak ve detektör geometrisi ve detektörüçevreleyen ortamdaki di§er materyallerde rol oynar.



D.1



Bir önceki gürdede gözlemlendi§i gibi zrh içindekietkile³meleri ³öyle sralayabiliriz :

1 Fotoelektrik etkile³me2 Compton Saçlmas3 Çift olu³um4 Bremsstrahlung5 Pile up (yada random coincidence summing) veya gerçek

e³zamanl toplam (true coincidence summing)6 Gamma ³n so§urulmas



D.1


Detektör zrhlamas içinde olan fotoelektrik olay



D.1



Figür 2.13'te gösterilen, zrhlama içinde gerçekle³en fotoelektrikolay srasnda olu³abilecek muhtemel X ³n olu³umu ve zrhlamadankaç³, gür 2.14'te kurulan kademeli zrh yöntemiyle dü³ük enerjiligamma spektrumu analizinde, sorun olmaktan çkarlabilir.

Figür 2.14'te kadmium (Cd) zrh, kur³un zrhtan gelen X ³nlarnemer. Bu olay, ikinci sradaki kadmium zrhta oresans X ³nlar(ourescent X-rays) olu³umuna sebep olabilir. Bu ikincil X ³nlarsonrasnda bakr (Cu) zrh tarafndan emilir. Bakr zrhta olas bir X ³nolu³umu problem olu³turmaktan uzaktr, zira bu X ³nlarnn enerji aral§8-9 keV civarnda oldukça dü³ük enerjilerdedir.

Bir di§er çözüm, kaln zrhlama kullanmak ve bunlardetektör-radyoaktif kaynak ikilisinden uzak tutmak olacaktr. Böylece,hem zrha ula³an gamma ³n ³iddeti azaltlr hemde detektöreyeti³ebilecek X ³n miktar azaltlm³ olur. Bu ikincil çözümün maliyetiarttraca§ unutulmamaldr. Bu yüzden, kademeli zrhlama tercihedilmektedir.



D.1





D.1


Detektör zrhlamas içinde olan Compton saçlmas

Geri saçlan fotonun enerji aral§nn, gelen fotonun enerjisindenba§msz oldu§u görülür. Kaln zrhlama ile problem çözülebilir.



D.1


Detektör zrhlamas içinde olan çift olu³um

Zrh içinde olu³an çift olu³um ve onu takip eden yok olma olaylarsrasnda birbirinin 180o ztt giden 0.511 MeV'lik iki gamma ³n olu³ur.Fakat, sadece detektör istikametine giden yakalanabilece§i için, gammaspektrumunda tek bir 0.511 MeV'lik gamma görünür. Figür 2.12bincelenebilir. Figür 2.12a 1.022MeV çift olu³um e³ik de§erinin üstündegamma ³n yaynlamad§ndan, 0.511 MeV'lik yok olma pikidegözlenmez.



D.1


Detektör zrhlamas içinde olan çift olu³um

Unutulmamaldrki, üç farkl 0.511 MeV'lik gamma pikiolu³um nedeni olabilir. Özellikle 22Na, 65Zn ve 64Cuçekirdekirdeklerindeki pozitron yaylmnda gözlenebilir. Nedenler:

1 çekiirdeklerdeki pozitron salnm,2 kaynaktan gelen yüksek enerjili gamma ³nlarnn zrhta

olu³turdu§u çift olu³um,3 yüksek enerjili kozmik ³nlarn zrhta olu³turdu§u çift olu³um

olarak sralanabilir.



D.1


Detektör zrhlamas içinde olan Bremsstrahlung



D.1


Detektör zrhlamas içinde olan Bremsstrahlung

Beta parçac§ yayan herhangi bir kaynak, gammaspektrumunda dominant Bremsstrahlung spektrum bölgesiiçerecektir. Pratikte, bu olay sadece 1MeV üssü beta enerjileri içinönemlidir. Tpk, gür 2.12b'deki 2.8 MeV enerjili beta parçac§yayan 28Al oldu§u gibi. Bu radyasyonun varl§, dü³üük enerjilerdepik background bölgesindeki saym saysnda istenmeyen bir art³aneden olur ve ölçümün kesinli§ini azaltr. Figür 2.17 incelenebilir.



D.1


Detektör zrhlamas dizayn

Detektör zrhlarnn amac, background (arka plan)kaynaklarndan detektöre gelen radyasyonun miktarn azaltmaktr.Bu background saymlar, çevresel kaynakl olabilirken, do§alPotasyum (40K) veya Uranyum (235U , 238U) ve Thoryum (232Th)bozunma zinciri ürünleri olabilece§i gibi kozmik ³n kaynakl daolabilir.

Bir sonraki tablo 2.1 deki gibi kur³una (Pb) kyasla ayndüzeyde so§urulma sa§lamak için daha kaln miktarlarda demir (Fe)ve bakr (Cu) zrhlar kullanlmaldr. Fakat, modern demir ço§u kez60Co içerdi§i için ya eskitilmi³ demir yada farkl bir zrh maddesikullanlmas daha iyi olacaktr.



D.1



Bir di§er detay ise önceden gösterdi§imiz ³ekil 7.8'dekibölgesel olarak dominantl§ farklla³an olay türleridir. Örne§in,zrhn atom numaras (Z) arttkça Compton saçlmasnn önemifotoelektrik olaya kyasla azalmaktadr. Dolaysyla kur³un demirekyasla daha az gamma ³nnn Compton saçlmas yapmasnaneden olur. Buda zrh geçecek daha az saçlan gamma ³n veyadaha az geri saçlam (backscattered) gamma ³n anlamna gelir.

Genel olarak 100-150mm kur³un optimum olarak kabuledilir. Kur³un zrhtan detektöre gelen gamma ³nlar gammaspektrumunda kur³un oresans X-³n pikleri görülmesine nedenolaca§ndan, analiz srasnda kar³la³lacak bu problem zrhndetektörden en azndan 10cm uza§a yerle³tirilmesiyle azaltlabilir.



D.1



Zrhlamada kullanlan elementler atom numarasna göre:26Fe, 29Cu, 48Cd ve 50Sn.



D.1



Kullanlan elementler atom numarasna göre: 29Cu, 48Cd,50Sn ve 56Fe.



D.1



Yukardaki tablo dikkatli incelendi§inde 0.7mm Cu veya3.1mm Sn veya 2.9mm Cd'un ancak X-³n ³iddetini 1000 kezazaltmaya yetece§ini görürüz. Hepsi ayn i³i farkl kalnlklardayapabilmektedir. Floresans X-³n zrh içine haf elementlerinkar³trlmasyla kolaylkla durdurulabilir.

Zrh metaryali kyaslarken hem yat hemde kullanlabilirli§idikkate alnmaldr. Kadmium (Cd) yapca sa§lamken, bakr (Cu)veya kalay (Sn) yumu³ak ve bükülüp krlabilir maddelerdir. Buyüzden bütün özellikler kyaslanmaldr.

Dü³ük atom numaral maddelerin, saçlan Comptonradyasyonu saysn arttraca§ ve dü³ük enerjilerde Comptonsüreklilik e§risini arttraca§ hatrlanmaldr.



D.1



Kadmiyum (Cd) ayrca termal nötron yakalama tesirkesitinin fazla olmas sebebiyle nötron yakalama reaksiyonlarnda558 keV enerjili gamma ³n yayabilmektedir. Bu yüzden kadmiyumkullanm bu gibi deneylerde saknlmaldr. Onun yerine dü³üknötron yakalama tesir kesitli kalay (Sn) kullanlabilir.

Kadmiyumun (Cd) yüksek maliyeti tekrar tekrar kullanmnte³vik ederken, nükleerle u§ra³lan alanlarda buna dikkat edilmelidir.Bu gibi alanlarda Cd zrh olarak kullanlr. Sa§lk zi§inde ve atkolarak kararl olarak kabul edilen Cd çekirde§i, 443 günlük yarömürlü 109

48 Cd çekirde§i olarak 88.03 keV lik gammayaynlayabilmektedir.



D.1



Toxik bir madde olan kadmiyum (Cd) ile u§ra³lrken gereklitedbirler alnmaldr. Kadmium hiçbir ko³ulda gerekli havalandrmasa§lanmadan ate³le kesilmemeli veya lehimlenmemelidir. Gerekli³ekil verilen kadmiumu cilalamak temasla gelebilecek zararlarazaltr.

Çelik veya zrhlar içinde olabilecek 60Co gibi safszlksa§layan kar³mlara ilaveten detektör sistemi etrafndaki yapmalzemeleri (çimento gibi) ayrca bir background saymna nedenolabilmektedir. Bu özellikle dü³ük aktiviteli saymlarda önem arzeder.



D.1



Gamma ³nlar madde ile elastik (Rayleigh) veya elastikolmayan etkile³imler yapar. Enerji emilimine (kayd) sadece inelastiksaçlmalar neden olurken; her iki saçlma türüde gamma ³iddetiso§rulmasna katk sa§lar. Gamma enerjisi, maddeye enerjikelektron veya pozitronlar vastasyla aktarlr. Bu parçacklarnkinetik enerjileri ikincil elektronlarca sisteme da§tlrki; bu ikincilelektronlar detektör sinyalini olu³turur.

Tipik bir gamma spektroskopisinde optimum bir zrhlama,100mm kur³undan (Pb), 3mm kadmium (Cd) veya kalaydan (Sn)yada 0.7mm bakrdan (Cu) fazlasna ihtiyaç duymaz. Açk geometrikullanlan durumlarda, build-up (takviye) faktörü B,I = Ioe

−µx ×B ³eklinde gamma demeti ³iddetindeki de§i³imigösteren formüle entegre edilmelidir.



D.1



nelastik saçlmalar ³öyle sralanr:1 Fotoelektrik Olay (ve X-³n kaç³ pikleri, ourescent ³n

nedeniyle)2 Compton Saçlmas (Compton edge ve continuum olu³turur)3 Çift Olu³um (Pair production). Bu olayda, tek veya çift kaç³

pikleri spektrumda görülebilir.Detektör zrhlamasyla gamma ³nlar etkile³mesi sonucu

gözlenebilecek olaylar:1 Flourescent X-³nlar (genellikle Pb'den), fotoelektrik olay2 Geri saçlma piki (Backscatter peak-511 keV), Yüksek açyla

yaplan Compton saçlmalar 200 keV'de geni³ bir da§lm verir.3 511 keV yok olma piki (Annihilation peak), detektör etrafndaki

maddelerde çift olu³um gözlenir ve bu piklerden biridetektörden kaçabilir. Birçok nötron eksi§i (protona kyasla)olan çekirdek pozitron yayabilir ve yok olma piki olu³turabilir.



D.1

2-A§r Yüklü Parçacklarn Madde ile Etkile³imi

Sis odas (Cloud Chamber) çal³ma prensibi :izlemek için tklaynz.

Hans Bethe 1930 tarafndan bulunan durdurma gücü:

dEdx = ( e2

4πεo)2( z2

β2c2)(4πZNoρ

meA)[ln(2mec2β2

I )− ln(1− β2)− β2]

Burada β = ϑc ve ϑ parçac§n hzdr. z parçac§n atom

numaras, Z, A, ρ ise srasyla durdurucu materyalin atom numaras,atom a§rl§ ve yo§unlu§udur. No ise Avogadro saysdr. I de§eriise atom elektronlarnn ortalama uyarlma enerjisini temsil eder.Havada bu de§er 86eV iken, Alüminyum için 163eV olur.


https://www.youtube.com/watch?v=pewTySxfTQk


D.1

3-Elektronlarn Madde ile Etkile³imi

dEdx = (dEdx )c + (dEdx )r Burada c ve r hareri elektronun hemçarp³malar ile hemde Bremsstrahlung denilen yani ³ma ilemadde içinde kaybetti§i enerjiyi temsil eder.

(dE

dx)c = (

e2

4πεo)2 2πNoZρ

mec2β2A[ln(

T (T +mec2)2β2

2I2mec2)

+ (1− β2)− (2√

1− β2 − 1 + β2)ln2 +1

8(1−

√1− β2)2]

(30)

(dE

dx)r = (

e2

4πεo)2Z

2No(T +mec2)ρ

137m2ec

4A[4ln

2(T +mec2)

mec2−4

3] (31)

I³ma kayplar sadece göreceli enerjilerde geçerlidir. 1MeV altnda

³mayla olan kayplar ihmal edilebilinir.Yrd. Doç. Dr. lker Can Çelik Nükleer Fizik 1 Ders Notlar


D.1

Detektör Türleri

Gazl Sayaçlar



D.1

Detektör Türleri

Gazl Sayaçlar

Geiger Müller sayacnn çal³ma prensibi : izlemek için tklaynz.

Radyasyonun iyonla³trc özelli§i: izlemek için tklaynz.


https://www.youtube.com/watch?v=bcjMOr-qiwA

https://www.youtube.com/watch?v=TxoY6rQ9Dsk


D.1

Detektör Türleri

Gazl Sayaçlar

Silndirik Gaiger Müller tüpü için ise, E(r) = Vr.ln(b/a) , burada

b katodun iç yarçap iken, a anotun d³ yarçapdr.



D.1

Detektör Türleri

Sintilasyon Detektörleri



D.1

Detektör Türleri

Organik Sintilasyon Detektörleri



D.1

Detektör Türleri




D.1

Detektör Türleri




D.1

Detektör Türleri

Yariletken Detektörler



D.1

Detektör Türleri

Yariletken Detektörler



D.1

Detektör Türleri

Detektörler Kar³la³trmalar



D.1

Detektör Türleri

Detektörler Kar³la³trmalar



D.1

Detektör Türleri

Ge Detektörlerinin Üretim A³amalar



D.1

Detektör Türleri

Tipik bir Germenyum Detektörü



D.1

Detektör Türleri

Tipik bir Germenyum Detektörü



D.1

Detektör Türleri

Gamma Spektroskpisinde Sayma statisti§i



D.1

Detektör Türleri

Germenyum Detektöründe Çözünürlük Hesab



D.1

Detektör Türleri

Germenyum Detektöründe Çözünürlük Hesab



D.1

Detektör Türleri

Gamma Spektrumunda Pik Analizi



D.1

Detektör Türleri

Gamma Spektrumunda Pik Analizi



E.1

Nükleer Reaksiyonlar Snandrlmas

Nükleer bozunmalar (Nuclear Decays) : Kendili§inden olurlar.

Elektromanyetik ³lemler (Electro-magnetic Process) :1 ç dönü³üm (nternal Conversion)2 Auger etkisi (Auger eect)3 Çift Olu³um (Pair production)

Beta Bozunmas (Beta Decay)Nükleon Yaylm (Nucleon Emission) :

Nükleer Reaksiyonlar (Nuclear Reactions):Direkt Reaksiyonlar

1 Transfer Reaksiyonlar (Stripping ve Pick-up Reaksiyonlar)2 Nükleer Saçlmalar (Elastik ve inelastik)3 Knock-out Reaksiyonlar

ndirekt Reaksiyonlar1 Coulex Reaksiyonlar2 Fusion Evaporation Reaksiyonlar3 Derin (Deep) nelastik Saçlma4 Bile³ik Çekirdek Nükleer Reaksiyonlar5 Fisyon Reaksiyonlar



E.1

Nükleer Reaksiyonlar Snandrlmas

Bu son slayttr.

Herhangi bir soru varsa alabilirim.

Dinledi§iniz için te³ekkürler.

1


Documents

Nükleer Fizik 1 Ders Notlar - web.harran.edu.trweb.harran.edu.tr/assets/uploads/sites/61/files/nukleerfizik1dersnotlari-02062016.pdf · Nükleer Fizik 1 Ders Notlar B.1 Nükleer