Néhány feladat a ferde helyzetű kéttámaszú tartók témaköréből Egy korábbi dolgozatunkban – melynek címe: A ferde tartó megoszló terheléseiről – már jeleztük, hogy a témával kapcsolatban vannak még teendők; most ezt az adósságot pótoljuk, részben. A fő témakör: az igénybevételi ábrák, illetve függvények előállítása. Ezzel kapcsolatban fontos tudni, hogy ezek alapján akár döntések is születhetnek a szá -mítási modellválasztást illetően. Erre láthatunk példát [ 1 ] - ben, a szarufák statikai számításaival kapcsolatban. A választott feladatok tipikusak és viszonylag egyszerűek; tanulmányozásukhoz csak elemi matematikai és mechanikai ismeretek szükségesek. Ellenben ritkán láthatóak. A szakirodalmat nézegetve az alábbi kérdés merült fel: jó, megoldjuk a feladatot; ám mi hasznát vehetjük egy kipreparált statikai feladatnak a valós szerkezetszámításaink során? A válasz: ~ összefoglalják a fontosabb tudnivalókat; ~ követhető példát mutatnak; ~ segíthetnek a későbbiekben adódó statikai modellválasztási kérdések tisztázásában. 1. feladat: Egyenes tengelyű ferde tartó, középen függőleges hatásvonalú koncentrált

erővel terhelve

1. ábra

Adott az 1. ábra szerinti kéttámaszú tartó. Állítsuk elő az igénybevételi függvényeket, ill. ábrákat!

Megoldás:

Szimmetria - alapon vagy egyensúlyi egyenletekkel a reakciók:

FA B .2

( 1 )

Az igénybevételi függvényeket itt külön nem írjuk fel, hanem rögtön az igénybevételi ábrákat rajzoljuk meg, azok egyszerűsége miatt. Ennek érdekében a tartóra ható külső erőket ( aktív + reakció - erők ) felbontjuk az egyenes tartótengelyre merőleges és azzal

2

párhuzamos összetevőkre – 2. ábra.

2. ábra

Megjegyzések: M1. Az 1. és 2. ábrák alapján belátható, hogy ebben az esetben lényegtelen, hogy az A vagy a B támasz - e a fix támasz. M2. A nyíróerő és a normálerő abszolút maximuma:

max

F F cosV ;2 2

( 2 )

max

F F sinN .2 2

( 3 )

A hajlítónyomaték legnagyobb értéke:

maxF l / 2 F cos l / 2 F lM ;2 cos 2 cos 4

( 4 )

3

ez megegyezik az l támaszközű vízszintes helyzetű kéttámaszú tartó esetében adódó legnagyobb hajlítónyomaték - értékkel. M3. A ( 2 ) képlet szerint a ferde tartó maximális nyíróereje kisebb, mint a vízszintes tartóé, mivel a ferde tartóra cosα < 1. Azonban a ( 3 ) képlet szerint a ferde elhelyezés normálerőt ébreszt a vízszintes elhe -lyezéshez képest, mivel a ferde tartóra sinα > 0. M4. Látjuk, hogy ferde elhelyezés esetén már igen egyszerű terhelés mellett is egy összetettebb igénybevételi állapot lép fel a tartóban, mint vízszintes elhelyezésnél. Ez adott esetben lényegesen nehezebbé teheti a tartó pontosabb vizsgálatát. M5. Ha a függőleges koncentrált erő nem a tartó felében hat, akkor az igénybevételi ábrák is módosulnak – ld. pl.: [ 2 ]!

Kiegészítések: Érdekes fejlemények adódhatnak, ha a feladatot a szuperpozíció elvével oldjuk meg, azaz ha az F erő 2. ábra szerinti felbontásának megfelelően:

1.) meghatározzuk az F tehernek megfelelő igénybevételi ábrákat,

2.) meghatározzuk az F tehernek megfelelő igénybevételi ábrákat, 3.) összegezzük azokat.

3. ábra A 3. ábrán a rész - reakciók szerkesztéses meghatározását és összegzését szemléltetjük. Ez képezi az alapját az igénybevételi ábrák meghatározásának.

4

A 3. ábráról közvetlenül leolvasható, hogy a második összeadandónál: A F F sin . ( 5 ) Az első összeadandó szimmetria - viszonyai alapján a rész - reakciókra: A B . ( 6 ) A nagyságuk meghatározása vetületi egyenlettel: 2 A cos F , ( 7 ) innen

F F cos FA .2 cos 2 cos 2

( 8 )

Most ( 6 ) és ( 8 ) - cal a rész - reakcióerők nagysága:

FA B .2 ( 9 )

Ezek rúdtengely - irányú és tengelyre merőleges vetületei, az igénybevételi ábrákhoz:

t t

n n

FA B sin ,2FA B cos .2

( 10 )

A két részterhelési esethez tartozó igénybevételi ábrák és azok összege a 4. ábrán látható. Ahol az egyik összeadandó zérus volt, ott az összeget nem rajzoltuk meg újra. A 2. és a 4. ábra összevetésével megállapítható azok egyezése. A korábban említett, érdekesnek is mondható fejlemények: ~ a merőleges teher rész - esete mindjárt kiadja a görgős támasz teljes reakcióerejét, míg a fix támaszreakciónak csak az egyik részét; ~ a párhuzamos teher rész - esetében a görgős támasz terheletlen, mivel itt a tartót súly -talannak tekintjük. Javasoljuk, hogy az Olvasó végezze el a fenti összegzést arra az esetre is, ha felcseréljük a fíx és a görgős támaszok helyét!

5

4. ábra

2. feladat: Egyenes tengelyű ferde tartó, a tartó ferde hossza mentén q intenzitású egyenletesen megoszló függőleges erőrendszerrel terhelve

Adott az 5. ábra szerinti kéttámaszú tartó. Állítsuk elő az igénybevételi függvényeket, ill. ábrákat!

5. ábra

6

Megoldás:

Először ismét tudatosítjuk, hogy az adott kialakítású és terhelésű tartó esetében az A és B támasz szerepe felcserélhető. Ezután meghatározzuk a reakciókat; a szimmetria alapján:

QA B ,2

( 11 )

ahol

1Q q l , ( 12 ) és az l1 ferde hosszra:

1ll .

cos

( 13 )

Az igénybevételi ábrákat a 6. ábrán mutatjuk meg.

6. ábra

Az igénybevételi függvények kifejezései az alábbiak.

7

A függőleges terhelést felbontjuk két összetevőre; egy a tartó tengelyére merőleges és egy a tartó tengelyével párhuzamos összetevőre:

. q q q ( 14 ) A részteher - intenzitások nagysága a 6. ábra alapján: q q cos ,q q sin .

( 15 )

A megoszló rész - erőrendszerek eredőinek nagysága: Q Q cos ,Q Q sin .

( 16 )

Most ( 12 ), ( 15 ) és ( 16 ) szerint:

1 1

1 1

Q q l cos q l ,Q q l sin q l .

( 17 )

A felbontásnak megfelelő rész - reakciók nagysága, ( 11 ) - gyel is:

QA B ,2

QA B .

2

( 18 )

A hajlítónyomaték függvénye:

2 21

21

Q q q l qxM(x) A x q x x x x x2 2 2 2 2

q l x x ,2

tehát:

21

qM(x) l x x .2 ( 19 )

A nyíróerő függvénye:

11

Q q l qV(x) A q x q x q x l 2 x ,2 2 2

tehát:

8

1qV(x) l 2 x .2 ( 20 )

A hajlítónyomaték maximumához a V( x0 ) = 0 feltételből:

10

lx ,2

( 21 )

így ( 19 ) és ( 21 ) szerint:

2 2 2

2 1 1 1 1max 0 1 0 0 1

q q l l q l q lM M(x ) l x x l ,2 2 2 4 2 4 8

tehát:

21

maxq lM .

8 ( 22 )

A nyíróerő maximuma ( 20 ) szerint x = 0 - nál lép fel, nagysága pedig

1max

q lV .2

( 23 )

A normálerő függvénye:

11 1 1

1 11 1

Q q lN(x) B q l x q l x q l x

2 2q l q l q

q l q x q x l 2 x ,2 2 2

tehát:

1

qN(x) l 2 x .

2

( 24 )

A normálerő abszolút maximuma x1 = 0 - nál és x1 = l1 - nél lép fel, nagysága:

1max

q lN .

2

( 25 )

Most a ( 15 ), ( 19 ), ( 20 ), ( 24 ) képletekkel:

9

21

1

1

q cosM(x) l x x ;2

q cosV(x) l 2 x ;2

q sinN(x) l 2 x .2

( 26 )

Megjegyzések:

M1. Egy ajánlás: ha jót akarunk, akkor egyszerűen csak ragaszkodjunk az igénybevételi ábrák ferde helyzetben való ábrázolásához, ahogyan azt pl. a 6. ábra esetében is tettük. Ugyanis nem ritkán találkozni a szakkönyvekben azzal a törekvéssel, hogy a ferde tartó esetét vezessék vissza a vízszintes tartó esetére. Nézzük meg ezt feladatunkban! Ehhez tekintsük a 7. ábrát is, az alkalmazott koordináták közti összefüggés bemutatásához!

7. ábra Az ábra szerint:

x *x ,cos

( 27 )

valamint fennáll ( 13 ) is. Most ( 13 ), ( 26 / 1 ) és ( 27 ) szerint:

22

2

2 2

q cos l x * x * q cosM(x*) l x * x *2 cos cos cos 2 cos

q q* l x * x * l x * x * ,2 cos 2

tehát:

10

2q *M(x*) l x * x * ,2

( 28 )

ahol bevezettük a

qq*cos

( 29 )

képlettel definiált redukált teherintenzitást. Ennek értelmezéséhez tekintsük a 8. ábrát is!

8. ábra Ha a ferde tartó tényleges hossza menti teherintenzitását át akarjuk számítani a ferde tartó vízszintes vetületi hossza mentén megoszlóra, akkor a Q Q* ( 30 ) feltételből:

1q l q * l , innen ( 13 ) - mal is:

1l qq* q ,l cos

( * )

ami ( 29 ) - et adja. Ezek szerint: ha a hajlítónyomatékok szempontjából akarjuk megfe -leltetni a ferde és a vízszintes tartót egymásnak, akkor a ferde hossz mentén megoszló terhelést ( 29 ) szerint redukálni kell az alaprajzi vetületi hossz mentén megoszlóra. A maximális hajlítónyomaték ( 22 ) szerint:

22 2 2 21

max 2

q l q cos l q cos l q l lM q * ,8 8 cos 8 cos cos 8 8

( 31 ) ahogyan vízszintes tartóra annak lennie kell. Ezzel tehát nincs sok gond.

11

Most nézzük meg a nyíróerő - függvény átírását! ( 13 ), ( 26 / 2 ) és ( 27 ) szerint:

q cos l x * q cos qV(x*) 2 l 2 x * l 2 x * ,2 cos cos 2 cos 2

tehát:

qV(x*) l 2 x * .2

( 32 )

Itt már van némi kavarodás: a vetületben mért hossz, ill. koordináta együtt szerepel a ferde hossz mentén megoszló teher intenzitásával. Ennek elkerülésére:

q cos l x * q cos q* cosV(x*) 2 l 2 x * l 2 x * ,2 cos cos 2 cos 2

tehát:

q * cosV(x*) l 2 x * .2

( 33 )

Ez a kifejezés szerkezetében ugyanolyan alakú, mint ( 26 / 2 ). Majd nézzük a normálerő kifejezését! ( 13 ), ( 26 / 3 ) és ( 27 ) szerint:

q sin l x * q sin q tgN(x*) 2 l 2 x * l 2 x * ,2 cos cos 2 cos 2

tehát:

q tgN(x*) l 2 x * ;2

( 34 )

ha nem akarunk kavarodást, akkor:

q sin l x * q sin q * sinN(x*) 2 l 2 x * l 2 x * ,2 cos cos 2 cos 2

tehát:

q * sinN(x*) l 2 x * .2

( 35 )

Ez a kifejezés szerkezetében ugyanolyan alakú, mint ( 26 / 3 ). Ez utóbbival persze egy szemléletbeli „bakugrás” is jár, hiszen a vízszintes tartóban a függőleges teherre nem ébred normálerő, statikailag határozott megtámasztás és elegen -dően nagy merevség esetén. Látjuk, hogy ferde tartó vízszintes tartó megfeleltetés problémás, így az jó szívvel nem ajánlható. M2. A gyakorlati méretezési feladatokban néha csak a hajlítónyomatékot veszik figye -lembe, a nyíróerő és a normálerő hatását elhanyagolják. Ekkor a megfeleltetés viszony -lag egyszerűen működhet. Azonban nem felejthető el, hogy a többi igénybevételi kom -ponens esetében már könnyen elvéthető a lépés.

12

M3. További probléma, hogy a szakirodalomban nem ritkán találni olyan feladat - megoldást, hogy nem tesznek élesen különbséget az itteni q és q* között. Ilyennel talál -kozhatunk az általunk is kedvelt [ 2 ] - ben is. Ez abból is adódhat, hogy eleve csak egyfajta – pl. alaprajzi vetületre vonatkoztatott – megoszló terheléssel dolgoznak, de a statikai vázlatrajzon a terhelést a ferde hosszra rajzolják rá. Ez félreértés, ill. elvi hiba forrása lehet. Érdekes, hogy a kiváló [ 3 ] műben is találtunk egy hasonló „bibit”. Szerencsére a [ 2 ] és [ 3 ] munkákban a szövegben közli a szerző, hogy a terhelés alap -rajzi vetületben értendő.

3. feladat: Egyenes tengelyű ferde tartó, a tartó ferde hossza mentén egyenletesen

megoszló, a tartóra merőleges q intenzitású erőrendszerrel terhelve Ehhez tekintsük a 9. ábrát!

9. ábra

Itt két eltérő megtámasztási esetet tüntettünk fel. Látjuk, hogy az 1. és a 2. eset csak a támaszok elhelyezésében tér el egymástól. Hamarosan belátjuk, hogy megkülönbözteté -sük fontos. A feladat: az igénybevételi ábrák / függvények előállítása.

Megoldás: Először előállítjuk a reakcióerőket, majd felbontjuk azokat rúdtengelyre merőleges és rúdtengellyel párhuzamos összetevőkre. A megoldás menete a 10. ábrán követhető. Látható, hogy ~ az 1. esetben a tartó igénybevétele: húzás + nyírás + hajlítás, ~ a 2. esetben a tartó igénybevétele: nyomás + nyírás + hajlítás. Ez bizony jelentős különbség! Ez rögtön arra is figyelmeztet minket, hogy

Csak óvatosan a statikai modell megválasztásával! A reakcióerők nagysága mindkét esetre:

1 1 2 2 2

Q q l / cos q lA B A B .2 cos 2 cos 2 cos

( 36 )

13

10. ábra A reakciók összetevői:

1 1 2 2Q Q q lA B A B cos ;

2 cos 2 2 cos

( 37 )

1 1 2

Q Q q l q l sinA B sin tg tg ,2 cos 2 2 cos 2 cos

( 38 )

2 2 2

q l sinA B .2 cos

( 39 )

Az 1. és 2. eset igénybevételi ábráit a 11. ábra együtt mutatja. Az igénybevételi függvények az alábbiak. A hajlítónyomaték függvénye ( mindkét esetre ):

2 2 2q q l q q lM(x) A x x x x x x ,2 2 cos 2 2 cos

tehát:

14

11. ábra

2q lM(x) x x .2 cos ( 40 )

A nyíróerő függvénye ( mindkét esetre ):

q l q lV(x) A q x q x 2 x ,2 cos 2 cos

tehát: q lV(x) 2 x .2 cos

( 41 )

A nyomatéki maximum helye a V( x0 ) = 0 feltételből, ( 41 ) - gyel:

0lx .

2 cos

( 42 )

15

A nyomatéki maximum értéke ( 40 ) és ( 42 ) - vel: 2

2max 0 0 0 2

22

2 2

q ql l l lM M(x ) x x2 cos 2 cos 2 cos 4 cos

q q ll ,2 4 cos 8 cos

tehát:

2

max 2

q lM .8 cos

( 43 )

A nyíróerő abszolút maximuma x1 = 0 - nál és x1 = l1 = l / cosα - nál lép fel; nagysága:

max

q lV .2 cos

( 44 )

A normálerő függvénye:

1,2 1 2

q l sinN(x) A ,2 cos

tehát:

1,2 2

q l sinN(x) .2 cos

( 45 )

Itt a ( + ) előjel az 1. esetre, a ( – ) előjel a 2. esetre vonatkozik. A normálerőnek nincs helyi szélső értéke.

Megjegyzés:

Itt is elmondhatjuk, hogy az 1. és a 2. megtámasztási eset közötti különbségtétel csak akkor válik fontossá, ha a tartó méretezése során a normálerők hatását is figyelembe kívánják venni. Ez bizonyos esetekben elkerülhetetlen – ld.: szabványok!

Kiegészítés: A [ 2 ] munkában a következőket olvashatjuk a szelemeneken nyugvó szarufa statikai helyzetéről – 12. ábra – : „ Ebben az esetben a tartó terhelési módja teljesen azonos a vízszintes helyzetű, függőleges erőkkel terhelt tartóéval. Az A és B támaszerők irányát a tartó tengelyére merőlegesnek vehetjük fel, mert feltételezhetjük, hogy az alátámasztások valamelyike a tartótengely irányában elmozdulhat.”

16

12. ábra – forrása: [ 2 ] Ezek szerint a szelemeneken nyugvó, a tengelyére merőleges egyenletesen megoszló erőrendszerrel terhelt szarufa statikai modellje a 13. ábra szerinti.

13. ábra Ekkor a hajlítónyomaték és a nyíróerő függvénye az előző szerinti, a normálerő függvé -nye pedig azonosan zérus. Olyan ez, mint egy „salamoni döntés”. Azonban az a baj vele, hogy ugyanazon statikai modellt kell alkalmazni, többféle terhe -lés megléte esetén is. Másképpen mondva: nem válthatunk statikai modellt ugyanazon szerkezet más terhelésére. Vagy igen? Látjuk, nagyon gondosan kell mérlegelni a statikai modell megválasztását. Persze lehet, hogy ezt mások már elvégezték, majd tankönyvek -ben, szakkönyvekben, szabványokban közölték velünk. Ettől azonban nem lettünk sok -kal jobban, mert tudjuk, hogy a valóság és a modell eléggé felemás kapcsolatban állnak.

4. feladat: Egyenes tengelyű ferde tartó, a tartó ferde hossza mentén egyenletesen megoszló, a tartóval párhuzamos q intenzitású erőrendszerrel terhelve

Ehhez tekintsük a 14. ábrát! Itt is a korábbi két megtámasztási esetet tüntettük fel. A feladat: az igénybevételi ábrák és függvények előállítása.

17

14. ábra

Megoldás: Ehhez tekintsük a 15. ábrát is!

15. ábra A hajlítónyomaték függvénye ( mindkét esetre ): M(x) 0 . ( 46 ) A nyíróerő függvénye ( mindkét esetre ): V(x) 0 . ( 47 ) A normálerő függvénye: 1. eset: A reakcióerők:

lA q ;cos

B 0 .

( 48 )

18

A normálerő: lN(x) q x .

cos ( 49 )

2. eset: A reakcióerők: A 0 ;

lB q .cos

( 50 )

A normálerő: N(x) q x . ( 51 )

Minden esetre fennáll, hogy

l0 x .cos

( 52 )

Ezzel a feladatot megoldottuk.

Megjegyzés:

Látjuk, hogy az 1. megtámasztási esetben a tartó igénybevétele nyomás, míg a 2. esetben húzás. A két megtámasztás teljesen más viselkedést vált ki a tartóból.

Kiegészítés:

Most vegyük úgy, hogy a 3. és a 4. feladatban szereplő teherintenzitásokra fennáll ( 15 ), azaz: q q cos ,q q sin .

( 53 )

Ekkor a 2. feladat megfelelő igénybevételi ábrái, ill. függvényei a szuperpozíció / az egymásra halmozás elve alapján is előállíthatók. Most nézzük meg ezt, a két esetre külön - külön!

19

A 3. feladat hajlítónyomaték - függvénye az 1. és a 2. esetre: 2q lM(x) x x .

2 cos

( M / 3 – 1, 2 )

A 3. feladat nyíróerő - függvénye az 1. és a 2. esetre:

q lV(x) 2 x .2 cos ( V / 3 – 1, 2 )

A 3. feladat normálerő - függvénye az 1. és a 2. esetre:

1 2

2 2

q l sinN(x) ;2 cos

q l sinN(x) .2 cos

( N / 3 – 1, 2 )

A 4. feladat hajlítónyomaték - függvénye az 1. és 2. esetre: M(x) 0 . ( M / 4 – 1, 2 ) A 4. feladat nyíróerő - függvénye az 1. és 2. esetre: V(x) 0 . ( V / 4 – 1, 2 ) A 4. feladat normálerő - függvénye az 1. és a 2. esetre:

1

2

lN(x) q x ;cos

N(x) q x .

( N / 4 – 1, 2 )

Most érvényesítve ( 53 ) - at is, a 3. feladat eredményei:

2

1 2

2 2

q cos lM(x) x x ;2 cos

q cos lV(x) 2 x ;2 cosq cos l sinN(x) ;

2 cosq cos l sinN(x) .

2 cos

( M; V; N / 3 – 1, 2 )

20

Hasonlóan a 4. feladat eredményeire:

1

2

M(x) 0 ;V(x) 0 ;

lN(x) q sin x ;cos

N(x) q sin x .

( M; V; N/ 4 – 1, 2 )

Most a két utóbbi képletcsoport tagonkénti összegzésével:

22.feladat 3.feladat 4.feladat

2

q cos lM(x) M(x) M(x) x x 02 cos

q cos l x x ,2 cos

tehát:

22.feladat

q cos lM(x) x x .2 cos

( 54 )

Az ( 54 ) kifejezés megegyezik ( 19 ) - cel, a jelölésektől eltekintve. Folytatva:

2.feladat 3.feladat 4.feladat

q cos lV(x) V(x) V(x) 2 x 02 cos

q cos l 2 x ,2 cos

tehát:

2.feladat

q cos lV(x) 2 x .2 cos

( 55 )

Az ( 55 ) kifejezés megegyezik ( 20 ) - szal, a jelölésektől eltekintve. Folytatva:

21

1.eset ,3.feladat 1.eset,4.feladat 22.feladat

q cos l sin lN(x) N(x) N(x) q sin x2 cos cos

l l l q sin x q sin x2 cos cos 2 cos

q sin l 2 x ,2 cos

tehát:

2.feladat

q sin lN(x) 2 x ,2 cos

( 56 / 1 )

ami a jelölésektől eltekintve megegyezik ( 24 ) - gyel. Hasonlóképpen a 2. eset N - képleteivel is:

2.eset,3.feladat 2.eset ,4.feladat 22.feladat

q cos l sinN(x) N(x) N(x) q sin x2 cos

q sin l 2 x ,2 cos

tehát:

2.feladat

q sin lN(x) 2 x ,2 cos

( 56 / 2 )

mint előbb. Megjegyezzük, hogy nem teljesen felesleges egy feladat kétféle úton való megoldása, mint ahogyan itt is tettük, a 2. feladat esetében; ugyanis a hibák ( tévesztések, elírások ) kiszűrésének ez egy jól bevált módja: a befektetett többletmunka többszörösen megtérül.

22

5. feladat: Egyenes tengelyű ferde tartó, többféle egyenletesen megoszló erőrendszerrel terhelve

Ehhez tekintsük a 16. ábrát is!

16. ábra Adott a 16. ábra szerinti tartó az ( l , α ) geometriai és a ( q , w , s ) teher - adatokkal. Utóbbiak jelentése: ~ q: önsúlyteher, a tartó ferde hosszára vonatkoztatva; ~ w: szélteher, a tartó ferde hosszára vonatkoztatva; ~ s: hóteher: a tartó vízszintes vetületi hosszára vonatkoztatva. A feladat: az igénybevételi függvények felírása.

Megoldás: A megoldás lényege: a szuperpozíció elvének alkalmazása. Ehhez a meglévő terhelése -ket egy q és egy q megoszló erőrendszerbe foglaljuk, majd alkalmazzuk az előző feladatok eredményeit. A függőleges terhek összefoglalása:

1q q s cos . ( 57 ) A második tag a ( 30 ) utáni ( * ) képletből adódik. A megoszló erőrendszerek intenzi -tásai ( 15 ) - höz hasonlóan:

21q w q cos w q cos s cos ; ( 58 )

1q q sin q sin s sin cos . ( 59 )

23

Az igénybevételi függvények részekre bontása a szuperpozíciónak megfelelően:

q q

q q

q q

M(x) M(x) M(x) ;

V(x) V(x) V(x) ;

N(x) N(x) N(x) .

( 60 )

De tudjuk, hogy az elsőrendű elmélet keretében maradva:

q

q

q

M(x) 0 ,

V(x) 0 ,

N(x) 0 ,

( 61 )

ezért ( 60 ) és ( 61 ) szerint:

q

q

q

M(x) M(x) ;

V(x) V(x) ;

N(x) N(x) .

( 62 )

Most a 9., a 15. és a 16. ábra összevetéséből adódik, hogy az 1. terhelési esettel van dolgunk, így a q terheléshez tartozó igénybevételi függvényeket a 3. feladatból, a q terheléshez tartozót pedig a 4. feladat 1. esetéből vesszük át. A ( 40 ) és ( 62 / 1 ) képletek szerint:

2q

q lM(x) x x .2 cos

( 63 )

A ( 41 ) és ( 62 / 2 ) képletek szerint:

qq lV(x) 2 x .2 cos

( 64 )

A ( 49 ) és ( 62 / 3 ) képletek szerint:

qlN(x) q x .

cos ( 65 )

Most érvényesítve ( 58 ) és ( 59 ) - et a ( 63 ), ( 64 ), ( 65 ) képletekben:

24

22

q

2

q

q

w q cos s cos lM(x) x x ,2 cos

w q cos s cos lV(x) 2 x ,2 cos

lN(x) q sin s sin cos x .cos

( 66 )

A ( 66 ) képletek már a kitűzött feladat megoldását adják.

Megjegyzések:

M1. Javasoljuk, hogy az Olvasó önállóan végezze el a 2. megtámasztási esetre is a megfelelő képletek felírását, a fentiek alapján! M2. Egyenes tengelyű, ferde helyzetű tartóval kapcsolatos további feladatokat talál az érdeklődő a [ 4 ] munkában is. M3. Ha a statikai modell megválasztásával kapcsolatban erős kétségek merülnek fel, gondoljunk arra, hogy a kérdés eldöntéséhez vezető jó út lehet kísérletek végzése is. A Szilárdságtan kísérleti módszerei ma már kellően fejlettek ahhoz, hogy pl. nyúlásmé -rések elemzésének eredményeiből – visszafelé haladva – következtessünk a szerkezet számítása során alkalmazandó statikai / erőtani modellre. Irodalom: [ 1 ] – Szerk. Palotás László: A fa mint építőanyag Benne Tobiás László: Faszerkezetek a magasépítésben A Budapesti Építőmesterek Ipartestülete, Budapest, 1949. [ 2 ] – Tobiás Loránd ~ Visy Zoltán: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1962. [ 3 ] – Rudolf Saliger: Praktische Statik 6. Auflage, Franz Deuticke, Wien, 1949. [ 4 ] – Csonka Pál: Statikai példatár Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1972.

Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2011. szeptember 5.