Embed Size (px)
Citation preview
SZAKDOLGOZAT
Variancia derivatıvak
Solymosi Erno
Biztosıtasi es Penzugyi Matematika MSc
Temavezeto:
Dr. Molnar-Saska Gabor
Morgan StanleyExecutive Director
Eotvos Lorand Tudomanyegyetem
Termeszettudomanyi Kar
2016
Tartalomjegyzek
Bevezetes 3
Modellek 4
1. Variancia swap 6
1.1. Variancia swap replikalasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1. A kifizetesi fuggveny dekompozıcioja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2. A log-kontraktus vegaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Replikacio diszkret kotesi arfolyamok mellett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Numerikus eredmenyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Volatilitas swap 15
2.1. Approximacio sorfejtessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1. Linearis kozelıtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2. Konvexitasi hiba a Heston modellben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Arazas differencialegyenlettel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3. A volatilitas swap replikalasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1. Korrelacio-immunitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2. Exponencialis kifizetesek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.3. A replikalo portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4. Szimulaciok a replikaciora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3. Variancia opcio 25
3.1. Arazas differencialegyenlettel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Replikacio variancia opciokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Parameterillesztes 29
Osszefoglalas 30
Irodalomjegyzek 33
2
Bevezetes
A reszvenyek aralakulasaban levo bizonytalansag alapveto meroszama a volatilitas. Egy resz-
venyre szolo derivatıva kiırojanak termeszetes celja, hogy az ugyletbol szarmazo kockazatot egyeb
kereskedesekkel fedezze. Az alaptermek armozgasabol szarmazo kockazat kikuszobolheto, ha a de-
rivatıva mellet megfelelo szamu reszvenyt is tartunk, ami ıgy ellensulyozza a derivatıva ertekenek
valtozasat. Ezt a kockazatkezelesi modszert nevezik delta-hedgenek. Ezzel az eljarassal azonban
nem eliminalhato az osszes kockazat, ugyanis a derivatıvak erteke jellemzoen a volatilitastol is
fugg, ıgy annak – a reszvenyarfolyamtol fuggetlen alakulasa – tovabbi fedezetlen kitettseget jelent.
A volatilitasbol szarmazo kockazatnak a kezelese nehezen megvalosıthato, ugyanis a delta-hedge
esetevel szemben a volatilitas onmagaban nem kereskedett termek. Ha a befekteto a kezeben tudna
tartani egy olyan termeket, aminek az erteke a volatilitast koveti, azzal eros eszkoze lenne a volati-
litas-kockazat kezelesere. Az opciokat gyakran hasznaljak ilyen cellal, azonban ennek ket hatulutoje
is van. Egyreszt ezen termekek vegaja fugg a reszveny spot arfolyamatol, ıgy nem biztosıtanak tisz-
ta kitettseget a volatilitasra, masreszt az opciok tartasaval nem kıvanatos delta-kitettseg is jar,
amit szinten fedezni kell. A volatilitassal valo kereskedesre tehat van igeny. A variancia derivatıvak
ehhez nyujtanak megfelelo eszkozt, rajtuk keresztul a befektetok tiszta kitettseget szerezhetnek
a volatilitasra. Ezen termekekkel valo kereskedes az 1990-es evekben kezdodott el es piaca azota
folyamatos novekedest mutat. A tema napjainkban is aktıvan kutatott.
A dolgozat celja, hogy bemutasson nehany alapveto variancia derivatıvat. Harom termeket
fogunk vizsgalni. Az elso fejezetben a variancia swapok, a masodikban pedig a volatilitas swapok
arazasat es replikalasat tekintjuk at. A harmadik fejezetben a variancia opciok arazasara alkalmas
differencialegyenlet mutatunk be, a dolgozat vegen pedig a szimulaciokhoz hasznalt Heston-modell
kalibraciojat ismertetjuk.
3
Modellek
Jelen fejezetben rogzıtjuk a dolgozat alatt hasznalt modelleket es tisztazzuk, mit tekintunk a varian-
cia derivatıvak alaptermekenek. A derivatıvak arazasa a kockazatsemleges mertek alatt tortenik, a
kovetkezokben megadott dinamikak es a dolgozat soran minden varhato ertek is a kockazatsemleges
mertek szerint ertendo. Feltesszuk, hogy a kockazatmentes termek minden esetben egy konstans r
kamatlab mellett fejlodo betet.
A Heston-modell szeles korben hasznalt sztochasztikus volatilitas modell. A Black-Scholes vilaggal
ellentetben a variancia nem konstans, fejlodese egy CIR folyamatot kovet. Nepszeruseget annak is
koszonheti, hogy a modellen belul az opcioarak expliciten, parameteresen megadhatok.
dSt = rSt dt+√vtSt dW
(1)t (HM)
dvt = α(β − vt)dt+ η√vtdW
(2)t
Cov(dW(1)t ,dW
(2)t ) = ρdt
Itt vt a pillanatnyi varianciat jeloli, a volatilitas pedig√vt. A dolgozat soran be fogjuk mutatni, ho-
gyan lehet a vizsgalt termekeket opciokkal replikalni. Ekkor a reszveny volatilitasanak dinamikajat
nem kell ismerni, az arazas es a replikalas is a piacon megfigyelt reszvenyopciokkal tortenik. Az
Altalanos-modellben (AM) a volatilitast a σt folyamat ırja le, melyrol feltesszuk, hogy adaptalt
egy W(2)t Wiener-folyamat termeszetes filtraciojahoz, tovabba negyzetes integralja korlatos, vagyis∫ T
0σ2t dt <∞.
dSt = rSt dt+ σtSt dW(1)t (AM)
Cov(dW(1)t ,dW
(2)t ) = ρdt
A variancia, mint alaptermek
A variancia derivatıvak olyan penzugyi termekek, melyek az ugylet lejartakor az esedekes idoszak
alatti variancia valamilyen fuggvenyet fizetik ki. Az St folyamat [0, T ] idoszak alatti integralt
varianciaja
V AR0,T =
∫ T
0
σ2t dt (1)
A σt folyamat nyilvan nem figyelheto meg a valosagban, ıgy felvetodik a kerdes, hogy a gyakorlatban
hogyan allapıtjak meg egy reszveny vagy reszvenyindex adott idoszak alatti varianciajat. Legyen
4
a 0 = t0, . . . , tn = T a [0, T ] intervallum egy felosztasa. Az ehhez tartozo tapasztalati variancia
a loghozamok negyzeteibol szamolhato. A T -vel valo leosztassal a varianciat annualizaljuk.
V AR′
0,T =1
T
n−1∑i=0
log2
(Sti+1
Sti
)(2)
Piaci gyakorlat, hogy a tapasztalati varianciat a napi loghozamokbol szamoljak es ezt tekin-
tik a variancia derivatıvak alaptermekenek. Egy volatilitas swap szerzodesi felteteleinek mintaja
– a kifizetes definialasaval – megtekintheto [12]-ben. A tapasztalati varianciaval valo szamolas
korulmenyes, jelen dolgozatban a variancia derivatıvak alaptermekenek (1)-et fogjuk tekinteni. Az
integral alak mellett a variancia karakterizalasara St log-folyamatanak kvadratikus variaciojat is
fogjuk hasznalni. Alkalmazzuk az Xt = log(St/S0) folyamaton az Ito-lemmat:
dXt =1
StdSt −
1
2
1
S2t
S2t σ
2t dt = (r − 1
2σ2t ) dt+ σt dWt
Innen Xt kvadratikus variacioja T -ben
〈X〉T =
∫ T
0
σ2t dt = V AR0,T ,
vagyis St (1) szerinti varianciaja felırhato, mint a log-folyamat kvadratikus variacioja. A dolgozat
soran Xt vegig a log-folyamatot fogja jelolni, a varianciara az integralis alak mellett, mint 〈X〉T -re
is fogunk hivatkozni.
5
1. fejezet
Variancia swap
A legalapvetobb varianciara szolo derivatıva a variancia swap. A variancia swap tulajdonkepp egy
forward ugylet, amiben egy rogzıtett T idopontban egy a szerzodeskoteskor meghatarozott Kvar
strike erteket cserelunk el a 0-T idoszak alatti 〈X〉T varianciara. A kifizetesi fuggveny tehat
〈X〉T −Kvar
A fair kotesi ar a forward arhoz hasonloan az a K, melyre a variancia swap szerzodeskoteskori
erteke nulla, vagyis e−rTE0(〈X〉T −K) = 0. Ebbol kovetkezik, hogy
Kvar = E0〈X〉T
HM-ben σ2t CIR folyamatot kovet, melynek varhato erteke ismert. Az integral es a varhato ertek
felcserelesevel a fair kotesi ar megadhato zart alakban.
Kvar = E0
∫ T
0
σ2t dt =
∫ T
0
E0σ2t dt
=
∫ T
0
σ20e−αt + β(1− eat) dt =
e−αT (β − σ20)
α+ βT
A kotesi arfolyamban tehat – varakozasainknak megfeleloen – az egyre tavolabbi lejaratok eseten a
variancia atlaga fog dominalni, a kezdeti ertekenek hatasa csak rovidebb lejaratok eseten erzekelheto.
A variancia swap t idopontbeli ertekenek meghatarozasahoz a kifizetes Ft-szerinti varhato erteket
kell venni. Ehhez az integralt t-nel elvagva ket reszre bontjuk. A t-ig felkumulalodott variancia,
valamint a Kvar konstans kifizetes merheto Ft-re, ıgy azok kiemelhetoek a varhato ertekbol, ıgy
Vt = e−rτEt
[∫ T
0
σ2s ds−Kvar
]= e−rτEt
[∫ t
0
σ2s ds+
∫ T
t
σ2s ds−Kvar
]
= e−rτ 〈X〉t + e−rτT
∫ T
t
Etσ2s ds− e−rτKvar
= e−rτ(〈X〉t +
e−ατ (β − σ2t )
α+ Tβ −Kvar
)
6
1.1. Variancia swap replikalasa
Az elobb meghatarozott kotesi arfolyamok csak specialisan, a HM-ben ervenyesek. A kovetkezokben
donto reszben Emanuel Derman [1] es Fabrice Douglas Rouah [7] munkassagaira tamaszkodva
bemutatjuk, hogyan replikalhato a varianci swap AM-ben reszvenyopciok segıtsegevel. Idezzuk fel
Xt = log(ST /S0) dinamikajat:
dXt =1
StdSt −
1
2σ2t dt
Az egyenloseg mindket oldalat integralva kapjuk, hogy
logSTS0
=
∫ T
0
1
StdSt +
1
2
∫ T
0
σ2t dt (1.1)
A varianciara rendezve kapjuk, hogy
〈X〉T =
∫ T
0
2
StdSt − 2 log
STS0
(1.2)
Ez azt sugallja, hogy a variancia replikalhato egy dinamikus portfolioval, valamint egy log-kont-
raktussal, ami definıcio szerint egy lejaratkor log(ST /S0) penzt fizeto derivatıva. A dinamikus
replikalas koltsegeit a delta-hedgehez hasonloan kolcsonbol fizetjuk, a hozamait betetbe tesszuk,
melyek r kamatlab mellett kamatoznak. Peter Carr es Roger Lee [2] cikke alapjan a replikalo
portfolio felallıtasahoz a t idopontban az alabbi termekeket kell tartanunk:
−2 log − kontraktus
2e−rτ1
Streszveny
e−rτ(〈X〉t + 2 log
StS0erT
)betet
(1.3)
A gyakorlatban ilyen formaban a replikacio nem valosıthato meg, ugyanis a log-kontraktus nem
kereskedett termek. A kovetkezokben Emanuel Derman [10] alapjan megmutatjuk, hogy hogyan
lehet a log-kontraktus statikusan, opciokkal, reszvennyel es betettel eloallıtani.
1.1.1. A kifizetesi fuggveny dekompozıcioja
A log-kontraktust Anthony Neuberger vezette be [4] cikkeben, ahol bemutatta, hogyan lehet vele
volatilitas-kitettseget fedezni. A mi celunk ebben a reszben az, hogy a log-kontraktust kereske-
dett termekekbol replikaljuk. Breeden-Litzenberger formula alapjan [14] ha a T lejaratra min-
den K kotesi arfolyamon elerhetok a call opciok arai, akkor ezekbol kiolvashato az alaptermek
kockazatsemleges mertek szerinti aralakulasa, azaz annak a valoszınusege, hogy a reszveny erteke
a T idopontban K lesz, felteve, hogy t-ben S.
p(S, t,K, T ) = er(T−t)∂2
∂K2C(S, t,K, T ) (1.4)
C a call opcio arat jeloli. 1.4 igaz marad akkor is, ha call opciok helyett putokkal ırjuk fel. A
formula segıtsegevel az f kifizetesi fuggvenyu europai derivatıva erteke t-ben kockazatsemleges
mertek szerinti varhato ertek jelenertek szerint
V (S, t) = e−r(T−t)∫ ∞
0
f(K)p(S, t,K, T ) dK =
7
Az integralt egy tetszoleges S∗ vagasi pontnal kettevalasztjuk es alkalmazzuk 1.4-et, az elso in-
tegralban call opciokkal, a masodikban putokkal.
=
∫ S∗
0
f(K)∂2
∂K2C(S, t,K, T ) dK +
∫ ∞S∗f(K)
∂2
∂K2P (S, t,K, T ) dK =
Innen az S, t es T ertekeket rogzıtettnek vesszuk es nem ırjuk ki oket. Ketszer parcialisan integralva
kapjuk, hogy
=
[f(K)
∂
∂KC(K)− f ′(K)C(K)
]K=S∗
K=0
+
[f(K)
∂
∂KP (K)− f ′(K)P (K)
]K=∞
K=S∗
+
∫ S∗
0
f ′′(K)C(K) dK +
∫ ∞S∗f ′′(K)P (K) dK
Az elso ket tagban a peremertekek a kovetkezok
0 = C(0) = P (∞) =∂C
∂K(K)
∣∣∣∣K=0
=∂P
∂K(K)
∣∣∣∣K=∞
P (S∗)− C(S∗) = S − e−r(T−t)S∗
∂
∂K[P (K)− C(K)]
∣∣∣∣K=S∗
= e−r(T−t)
Ezt kihasznalva megkaptuk a derivatıva t idopontbeli arat
Vt = e−r(T−t)f(S∗) + f ′(S∗)(S − e−r(T−t)S∗) +
∫ S∗
0
f ′′(K)C(K) dK +
∫ ∞S∗f ′′(K)P (K) dK
Az elso tag egy kotveny, a masodik egy forward ugylet t idopontbeli ara, az integralok pedig egy
putokbol es callokbol allo opcios csomag erteke. Ezek szerint az f kifizetesu derivatıva statikusan
replikalhato ezen termekek felhasznalasaval. A kifizetesi fuggveny felbontasa ıgy
f(ST ) = f(S∗) + f ′(S∗)(ST − S∗) +
∫ S∗
0
f ′′(K)(ST −K)+ dK +
∫ ∞S∗f ′′(K)(K − ST )+ dK
(1.5)
Tekintsuk a log-kontraktus f(ST ) = log(ST ) kifizetesi fuggvenyet. Alkalmazva ra 1.5-ot a kifizetesi
fuggveny felbontasa kotvenyre, forwardra es opciokra
logST = logS∗ +1
S∗(S − S∗)−
∫ S∗
0
1
K2(ST −K)+ dK −
∫ ∞S∗
1
K2(K − ST )+ dK (1.6)
A Breeden-Litzenberger formulat fogjuk meg hasznalni a volatilitas swap replikalasanal is. Szeleskoru
hasznalhatosagat mutatja, hogy a 30 napos implicit volatilitast jelzo VIX-index [6] szamıtasa is
opciokbol, a Breeden-Litzenberger formula alapjan tortenik.
1.1.2. A log-kontraktus vegaja
Ebben a reszben bemutatjuk a log-kontraktus egy erdekes es a volatilitas replikalas szempontjabol
nelkulozhetetlen tulajdonsagat, megpedig azt, hogy a variancia-vegaja fuggetlen a spot arfolyamtol.
Az elozoek alapjan tehat a log-kontraktus replikalhato egy olyan portfolioval, mely kotvenyt, for-
wardot es opciokat tartalmaz. Mivel a kotveny es a forward vegaja zerus, a log-kontraktus vegaja
8
megegyezik a repilkalo portfolio opcios csomagjanak vegajaval. A call es put opciok variancia-vegaja
a Black-Scholes modellben
∂
∂σ2C =
∂
∂σ2P =
S√τ
2σ√
2πexp(−d2
1/2) = νo
d1 =ln (S/K) + (r + σ2/2)τ
σ√τ
Mivel a call es a put opciok vegaja azonos, a derivalast kovetoen a ket integral egy kozos integralla
alakul.
∂
∂σ2
[∫ S∗
0
1
K2C(K)dK +
∫ ∞S∗
1
K2P (K)dK
]=
∫ ∞0
1
K2νo(K)dK
=
∫ ∞0
S
K2
√τ
2σ√
2πexp
−1
2
(ln(S/K) + (r + σ/2)τ
σ2τ
)2
dK =
x = S/K helyettesıtessel integralunk, dx = −S/K2dK, az integralhatarok pedig megcserelodnek.
Nemi atalakıtast kovetoen az integralban egy µ′ = (−r − σ2/2)τ es σ′ = σ√τ parameteru log-
normalis eloszlas varhato erteket ismerhetjuk fel.
= −τ2
∫ 0
∞
1
σ√τ√
2πexp
− (lnx− (−r − σ/2)τ)2
2σ2τ
dx =
τ
2exp(µ′ + σ′2/2) =
e−rττ
2
Szembetuno, hogy a vega nem fugg a spot artol. Ez azt jelenti, hogy a log-kontraktus a spot
erteketol fuggetlenul ugyanolyan erzekeny a varianciara. A 1.1 abra jol szemlelteti hogy simul ki
az opcios csomag vegaja egyre tobb opcio hasznalata mellett. A kotesi arfolyamok 50 es 150 kozott
mozogtak, a baloldali abra a 25-os lepeskoz, a jobboldali a surubb, 10-es lepeskoz mellett mutatja
a vegat.
0 50 100 150 2000
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
dK=25
Spot
Veg
a
0 50 100 150 2000
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1dK=10
Spot
Veg
a
1.1. abra. Az opcios portfolio vegaja
9
Visszaterve 1.3-hoz, a log-kontraktus tetszoleges S∗ szeparator menten torteno felbontasaval a
replikalo portfolio a kovetkezokepp nez ki:
2dK
K2put, ha K < S∗, call, ha K > S∗
e−rτ2
St− 2
S∗reszveny
e−rτ(〈X〉t + 2 log
StS∗
+ 2rτ
)betet
(1.7)
A replikalo portfolio nulla idopontbeli erteke megadja a variancia swap arat. Ez alapjan a kotesi
arfolyam a kovetkezokepp szamolhato
Kvar = 2
[rT − logS∗ − erTS0 − S∗
S∗+ erT
∫ S∗
0
1
K2C(K) dK + erT
∫ ∞S∗
1
K2P (K) dK + logS0
]
Itt S∗ tetszolegesen megvalaszthato. Ha a vagasi helynek az F = erTS0 forward arat valasztjuk az
elozo keplet tovabb egyszerusodik.
Kvar = 2erT
[∫ F
0
1
K2C(K)dK +
∫ ∞F
1
K2P (K)dK
]
1.2. Replikacio diszkret kotesi arfolyamok mellett
A 1.7-ben megadott replikacio megvalosıtasa soran ket problemaval kell szembeneznunk. Az egyik,
hogy a hedge dinamikus, a reszvenyekbol tartando mennyiseg folyamatos kiigazıtast igenyel. A
masik, hogy a log-kontraktus felbontasa az opciok minden kotesi arfolyamon valo kereskedhetoseget
feltetelezi. Ezek mind hibat okoznak a tokeletes hedge-hez kepest. Az elso problemat a portfolio
gyakori ujrasulyozasaval kezelhetjuk. Jelen fejezetben a log-kontraktus veges sok kotesi arfolyamu
opciokra bontasabol fakado hibat fogjuk vizsgalni. (1.6)-ot tekintve (S∗ = F valasztas mellett) ha
az opciokat egy oldalra rendezzuk, akkor az opcios csomag lejaratkori erteke a kovetkezo kifizetessel
lesz egyenlo
f(ST ) =ST − FF
− logSTF
(1.8)
f(ST ) =
∫ F
0
1
K2(K − ST )+dK +
∫ ∞F
1
K2(ST −K)+dK (1.9)
Praktikus a log-kifizetes helyett f replikasaval foglalkozni, mivel f felbontasa soran a kotveny es
forward tagok eltunnek es ıgy eloallıthato tisztan opciok kifizetesebol. Tegyuk fel, hogy a piacon a
call opciok K0 < K1c < K2c < . . . kotesi arfolyamon kereskedettek, a putok pedig K0 > K1p >
K2p > . . . strike-ok mellett erhetok el. Legyen Kput = K0,K1p, . . . , Kcall = K0,K1c, . . . ,
K = Kput ∪ Kcall. Jelolje ωK a K kotesi arfolyamu opciobol tartando mennyiseget. Adott ωK
sulyok mellett a replikalo portfolio f kifizetesi fuggvenye a kovetkezokepp nez ki:
f(ST ) =∑
K∈Kput
ωK(K − ST )+ +∑
K∈Kcall
ωK(ST −K)+ (1.10)
A fenti fuggveny szakaszonkent konstans, a torespontok az S ∈ K helyeken vannak. f meg-
hatarozasa oly modon tortenik, hogy a kozelıto fuggveny az S ∈ Kput ∪Kcall pontokban egyezzen
10
meg f -fel. Ekkor [1] alapjan az ω sulyok a kovetkezok
ωKnc =f(Kn+1,c)− f(Kn,c)
Kn+1,c −Kn,c−n−1∑i=0
ωKic (1.11)
ωKnp =f(Kn+1,p)− f(Kn,p)
Kn,p −Kn+1,p−n−1∑i=0
ωKip (1.12)
Az ıgy sulyozott opcios csomag kifizeteset az 1.2 abra mutatja. A sulyok megvalasztasa szemleletes.
A tort peldaul callok eseten Kn+1,c > S > Kn,c mellett f(S) meredekseget adja meg, amihez az
osszes Ki,c, i < n suly hozzajarul – gondoljunk a callok kifizetesi fuggvenyere –, ıgy ωn,c-vel csak a
fennmarado reszt kell biztosıtani.
50 100 150 200 250 3000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ST
Kifi
zeté
s
f kifizetéseopciós csomag kifizetése
1.2. abra. Az f kifizetes es opciokkal torteno kozelıtese
Most bemutatunk egy masik modszert is az opcios sulyok meghatarozasara. f -tol azt koveteljuk
meg, hogy a kifizetesi fuggvenye minel kozelebb legyen f -ehez, tovabba az eltereseket aszerint
buntetjuk, hogy milyen valoszınuseggel realizalodik az adott helyen ST . Az ω sulyokat tehat ugy
keressuk, hogy a ∫ ∞0
[(f(S)− fΩ(S))P (S)
]2dS (1.13)
integral minimalis legyen, ahol a P fuggveny ST surusegfuggvenye. Specialisan ST -rol feltesszuk,
hogy a BS-vilagnak megfeleloen lognormalis eloszlast kovet. Ω arra utal, hogy f kifizetese fugg
az ω sulyoktol. A meghatarozasuk szimulaciok segıtsegevel fog tortenni. Ehhez generalni fogunk
tobb T idopontbeli reszvenyarat (szcenariot), majd ezekhez ugy valasztjuk meg az ωi sulyokat,
hogy a replikacio es a replikalando kifizetes szcenarionkenti negyzetes elterese minimalis legyen.
A reszvenyarak generalasa a P surusegfuggvenynek megfeleloen fog tortenni, ıgy ahol P (S) erteke
nagy es ezaltal 1.13-ban a hiba erosen buntetett, ott a szimulacio soran gyakoribbak lesznek a
realizalodasok. Az egyes reszvenyarfolyamokat az S = S1, . . . , Sm halmaz jeloli (tehat most Si
eseten az also indexben levo i nem idopontot jelol). A reszvenyarfolyamokat P -nek megfeleloen
11
BS-modellben szimulaljuk. Jelolje Ci,j az i. szcenario eseteben a Kj kotesi arfolyamu, Kj ≤ K0
eseten put, Kj ≥ K0 eseten pedig call opcio kifizeteset. A K = K0 esetben call es put opciot is
tartunk, kulonbozo sulyokkal. Tehat
Ci,j =
(Kj − Si)+, ha Kj ≤ K0
(Si −Kj)+, ha Kj ≥ K0
Az egyes szcenariok alatt realizalodott opciokifizeteseket az A matrixba rendezzuk:
A =
C1,1 C1,2 . . . C1,n
C2,1 C2,2 . . . C2,n
......
. . ....
Cm,1 Cm,2 . . . Cm,n
A Ki kotesi arfolyamu opciobol ωi darabot kell tartani, ezen sulyokat az ω oszlopvektorban gyujtjuk
ossze, ω = [ω1, . . . , ωn]T , a replikalando kifizeteseket pedig a v = [f(S1), . . . , f(Sm)]T vektor tar-
talmazza. Az i. szcenarioban az opcios csomag erteke∑nj=1 ωjCi,j , ennek kell az f(Si) kifizetest
eloallıtania. A replikacio megadasahoz tehat az alabbi optimalizacios feladatot kell megoldani:
minω||A ∗ ω − v||2
Eloszor megvizsgaljuk, hogy a diszkret modell eredmenyei konzisztensek-e a folytonossal. Ha K
surun tartalmazza a kotesi arfolyamokat, azt varjuk, hogy a modell visszaadja az (1.9) szerinti
1/K2-es eloszlast.
50 100 150 200 250 300−2
−1
0
1
2
3
4x 10
−4
Kötési árfoylam
ωK
folytonos replikáció súlyaidiszkrét replikáció súlyai
1.3. abra. Opcios sulyok a diszkret modellben
A legtobb kotesi arfolyam eseteben jol illeszkednek a folytonos modell josolta gorbere a szi-
mulaciobol szarmazo eredmenyek, azonban ket helyen, a forward arfolyam korul valamint a szeleken
is elterest tapasztalunk. Kerdes, hogy a modell eredmenyei mennyire megbızhatoak. A szimulaciot
ujrafuttatva az egyes ωK ertekere tobb realizaciot is kapunk. A kotesi arfolyam fuggvenyeben
12
50 100 150 200 250 3000
2
4
6
8x 10
−3
Kötési árfolyam
ωK s
zórá
sa
1.4. abra. Opcios sulyok szorasa
abrazolva az ωK sulyok empirikus szorasat (lasd 1.4) megfigyelheto, hogy a szimulacio eredmenyei
a szeleken eleg instabilak, azonban a forward arfolyam koruli elterest a szimulacio stabilan pro-
dukalja. A forwardtol tavoli kotesi arfolyamoknal tapasztalt bizonytalan eredmeny annak koszonheto,
hogy ebben a tartomanyban mar viszonylag ritkak a realizalodott ST ertekek. Ha peldaul egy nagy
Ki > F eseten a (Ki,Ki+1) intervallumba egyetlen S ∈ S reszvenyarfolyam esik, akkor ωKi ugy lesz
megvalasztva, hogy az opcios csomag ezen S melletti erteke pontosan megegyezzen a replikalando
kifizetessel. Ez anelkul teheto meg, hogy az S′ < S szcenariok kifizeteset befolyasolna, mivel a Ki
kotesi arfolyamu call opcio kifizetese S′ < Ki eseten zerus. Ugyanez a helyzet a forward arnal joval
alacsonyabb kotesi arfolyamok esetenel is, ugyanis ezen strike-okra a portfolioban put opciokat
tartunk, melyek kifizetese a strike folotti reszvenyarfolyam eseten tunik el, vagyis az ωK sulyok
K << F eseten a minta donto reszere szinten nem lesznek hatassal. A jelenseg a mintaelemszam
novelesevel nem tuntetheto el, hatasara az csak a forward artol tavolabb tolodik.
1.3. Numerikus eredmenyek
f iment bemutatott replikaciojanak megfelelo ωK-kat kulonbozo surusegu kotesi arfolyamok mel-
lett is meghataroztam. A legkisebb strike-ot, ami mellett kereskedheto az opcio 100-nak vettem,
a legnagyobbat 400-nak. A forward arfolyam 200 volt. A kotesi arfolyamok lepeskozet dK =
10, 25, 50, 100-nak valasztottam. Peldakent a dK = 50 eset mellett kapott sulyokat az 1.1 tablazat
mutatja. A K = 200 kotesi arfolyam ketszer szerepel, mert a vagasi pontnal megengedjuk, hogy
putot es callt is tartsunk.
K 100 150 200 200 250 300 350 400
ωK 0.0051 0.0023 0.0005 0.0004 0.001 0.0004 0.0005 0.0002
1.1. tablazat. Opcios sulyok dK = 50 esetben
13
A varakozasunk az, hogy a felosztas surusodesevel javul a replikacio pontossaga. Ennek ellenorzesehez
a meghatarozott ω sulyokat az illesztes soran hasznalt S-tol fuggetlen, ujra generalt adathal-
mazon teszteltem. Mind a negy dK mellett kiszamoltam az f(S) − f(S) elteresek szorasat. Az
eredmenyeket a 1.2 tablazat osszegzi. Az egyes szcenariok alatt tapasztalt elteresekrol keszult
hisztogramok a 1.5 kepen lathatok. Viszonyıtaskent kiszamoltuk a replikalando f kifizetesek ab-
szolut atlagat is, melyre m = 0, 0198 ertek adodott. Az aranyosıtott elteresek vizsgalata instabil
eredmenyhez vezet, mert a nullahoz kozeli kifizetesek eseten a szazalekos hibak nagyon magasak.
dK 10 25 50 100
opciok szama 32 14 8 5
szoras 0,00015 0,00084 0,0035 0,0101
1.2. tablazat. opciok szama es a replikalas szorasa kulonbozo dK-k eseten
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
x 10−3
0
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
4
dK=10
−6 −4 −2 0 2
x 10−3
0
2000
4000
6000
8000
10000
dK=25
−0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.020
5000
10000
15000
dK=50
−0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.040
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
4
dK=100
1.5. abra. Replikacios hibak hisztogramjai kulonbozo dK-k eseten
A variancia swap kulonbozo modszerekkel szamolt kotesi arfolyamat az 1.3 tabla mutatja. Az arazas
Heston modellben tortent, a kalibraciot a ”modellillsztes” fejezetben foglaltam ossze.
HM-ben MC-szimulacio opcios arakbol
1.5191% 1.5915% 1.5232%
1.3. tablazat. Kvar meghatarozasa HM-beli analitikus keplettel, Monte-Carlo szimulacioval es op-
cios arakbol
14
2. fejezet
Volatilitas swap
Ebben a fejezetben a volatilitas swapokat fogjuk vizsgalni. Az arazasi modszerek attekintese mellett
bemutatjuk Peter Carr es Roger Lee [3] cikkuk alapjan a volatilitas swapok reszvenyopciokkal
torteno replikalasat is. Latni fogjuk, hogy a variancia swapokkal ellentetben az arazas es a replikalas
is sokkal bonyolultabb feladat. A volatilitas swap lejaratkori kifizetese az esedekes idoszak alatt
megfigyelt volatilitas mınusz egy, az ugyletkoteskor meghatarozott osszeg, vagyis:√〈X〉T −Kvol
A fair kotesi arfolyam a variancia swap esetehez hasonloan az a K kotesi arfolyam, melyre a
volatilitas swap kezdeti erteke nulla, tehat Kvol = E0
√〈X〉T . Altalaban egy kifizetes gyoket nem
trivialis arazni, replikalni, raadasul jelen esetben maga az alaptermek is osszetett. Mielott raternenk
a variancia swap replikalasara es a kotesi arfolyam pontos meghatarozasara, [7] alapjan bemutatunk
egy, a gyokfuggveny sorfejtesen alapulo kozelıto modszert.
2.1. Approximacio sorfejtessel
Ha az arazas soran a varhato ertek felcserelheto lenne a gyokvonassal, akkor a kotesi arfolyam
meghatarozasa egyszeruen vissza lenne vezetve a varianca swap arazasanak problemajara, amit
mar az elozo fejezetben megoldottunk. Ez azonban nem telesul,
Kvol = E0
√〈X〉T ≤
√E0〈X〉T =
√Kvar (2.1)
A kotesi arfolyamok kozotti egyenlotlenseg a Jensen-egyenlotlensegbol kovetkezik, a gyokfuggveny
konkavitasa reven. Az imenti becsles javıthato, ha tekintjuk a√x fuggveny Taylor-sorat, es abbol
tovabbi tagokat is figyelembe veszunk.
√x =√a+
x− a2√a− (x− a)2
8a3/2+O(x3) (2.2)
2.1.1. Linearis kozelıtes
Ha 2.2-ben a x = 〈X〉T es a = Kvar helyettesıtesekkel elunk, az elso ket tag a volatilitas swap
kifizetesenek egy linearis kozelıteset adjak. A masodik tag kifizetese megfelelo mennyisegu varianca
15
swap kifizetesevel egyenlo, ıgy a modszer nem csak arazasra hasznalhato, egy nem tul pontos, de
egyszeru replikaciot is biztosıt.√〈X〉T ≈
√Kvar +
1
2√Kvar
(〈X〉T −Kvar) (2.3)
Varhato erteket veve az E0(〈X〉T−Kvar) tag eltunik – mivel Kvar-t pont ugy hataroztuk meg, hogy
a variancia swap nulla idopontbeli erteke zerus legyen – es Kvol ertekenek egyszeruen a√Kvar
kozelıtes adodik. Ez megegyezik azzal, mintha 2.1-ben egyenlotlenseg helyett egyenloseg allna,
osszhangban azzal, hogy a varhato ertek atmegy a linearis fuggvenyeken. Ahogy 〈X〉T realizalodott
erteke eltavolodik Kvar-tol, a kozelıtes egyre pontatlanabb lesz, lasd 2.1.
0 5 10 15 20 25 30 35 400
1
2
3
4
5
6
7
Realizálódott variancia %
Kifi
zeté
s
volatilitás swapcash+variancia swap
Kvar1/2
Kvar
2.1. abra. A volatilitas swap kifizetese es variancia swappal valo kozelıtese
2.1.2. Konvexitasi hiba a Heston modellben
Az elobb a masodrendu tagot elhagyva a volatilitas swap egy kozelıto replikaciojat kaptuk. A
negyzetes tag elhanyagolasara azert volt szukseg, mert a (〈X〉T −Kvar)2 kifizetes eloallıtasa bo-
nyolult, de ha csak a kotesi arfolyam meghatarozasa a cel, akkor HM-ben a Kvol ≈√Kvar becsles
tovabb javıthato. Itt megjegyezzuk, hogy Carr-Lee [3] cikkukben megadjak a 〈X〉nT alaku kifizetesek
opciokkal torteno replikalasat. Velhetoleg jarhato ut lenne a sorba fejtett gyokfuggveny kelloen
sok tagjat replikalni a [3]-ban bemutatott modszer alapjan, ezzel allıtva elo a volatilitas swapot.
Visszaterve 2.2-hez, varhato erteket veve az E0(〈X〉T − Kvar)2 tag eppen 〈X〉T szorasnegyzete,
ıgy
Kvol ≈√Kvar −
D20〈X〉T
8K3/2var
(2.4)
Csereljuk meg a szorasnegyzetet az integrallal.
D20〈X〉T = D2
0
∫ T
0
vt dt =
∫ T
0
∫ T
0
Cov0(vs, vt) dsdt (2.5)
16
A hibatag meghatarozasahoz tehat a variancia kovarianciastrukturajat kell kiszamolnunk. HM-
ben vt CIR folyamatot kovet, melyet az ot leıro dvt dinamikaval definialtunk. [15] alapjan 2.6
megoldasa a 2.7-ben kozolt vt folyamat.
dvt = α(β − vt)dt+ η√vtdWt (2.6)
vt = β + (v0 − β)e−αt + ηe−αt∫ t
0
eαu√vu dWu (2.7)
E0vt = β + (v0 − β)e−αt (2.8)
A hivatkozott konyvben vt hibasan volt megadva, a β tag nem szerepelt a jobb oldalon. Konnyen
ellenorizheto, hogy a fenti 2.7 folyamat valoban kielegıti a CIR folyamatot definialo sztochasztikus
differencialegyenletet. A kovetkezokben legyen s < t. A kovarianciat definıcio szerint felırva,
Cov0(vs, vt) = E0(vs −E0vs)(vt −E0vt) (2.9)
= E0
(ηe−αs
∫ s
0
eαu√vu dWu
)(ηe−αt
∫ t
0
eαu√vu dWu
)(2.10)
= η2e−α(s+t)
[E0
(∫ s
0
eαu√vu dWu
)2
+ E0
(∫ s
0
eαu√vu dWu
)(∫ t
s
eαu√vu dWu
)](2.11)
(2.11)-ben a t-ig tarto integralt s-nel kettevalasztottuk. A masodik tagban a ket sztochasztikus
integralt jelolje Ys es Yt. Ys merheto Fs-re, ıgy a toronyszabaly ertelmeben, valamint kihasznalva,
hogy a Wiener-folyamat szerinti integral varhato erteke 0:
E0(YsYt) = E0(Es(YsYt)) = E0(YsEsYt) = 0
Tehat (2.11)-ben a masodik tag eltunik. Az elso tagra alkalmazva az Ito-izometriat, majd a varhato
erteket az integral moge vıve kapjuk, hogy
Cov0(vs, vt) = η2e−α(s+t)E0
(∫ s
0
eαu√vu dWu
)2
= η2e−α(s+t)E0
∫ s
0
e2αuvu du
= η2e−α(s+t)
∫ s
0
e2αuE0vu du
= η2e−α(s+t)
∫ s
0
e2αu(β + (v0 − β)e−αu)du
=v0η
2
α
(e−αt − e−α(s+t)
)+η2β
2α
(e−α(t−s) + e−α(t+s) − 2e−αt
)Ellenorzeskepp kiszamoltuk a kovarianciat s = 0 es s = t ertekekre, mely specialis esetekben rendre
nullat es vt szorasnegyzetet kell kapnunk. Az eredmenyek ezzel konzisztensek. Visszaterve (2.5)-re
a kovariancia szimmetriajat es az iment levezetett alakjat kihasznalva:
D20〈X〉T = 2
∫ T
0
∫ t
0
Cov0(vs, vt) dsdt (2.12)
= η2−5β + 2αβT + e−2αT (β − 2v0) + 2v0 + 4e−αT (β + αβT − αTv0)
2α3(2.13)
Az integralt a Wolfram Mathematica program segıtsegevel szamoltam ki.
17
2.2. Arazas differencialegyenlettel
Az elozo reszben attekintett eljarasok csak kozelıto eredmenyeket biztosıtottak, a most kovetkezo
modszerrel azonban lehetoseg nyılik a volatilitas swapok pontos arazasara is. Mark Broadie es
Ashis Jain [5]-ben leırt eredmenyeit kovetve HM-ben le fogunk vezetni egy differencialegyenletet,
melynek megoldasaval – a varianciat leıro CIR folyamat rogzıtett parameterei mellett – tetszoleges
kezdeti volatilitas mellett megkaphato a volatilitas swap fair ara. A differencialegyenlet megoldasa
nem resze a dolgozatnak, mint lehetseges arazasi modszer mutatjuk be. Emlekeztetoul a CIR-
folyamatot leıro SDE:
dvt = α(β − vt)dt+ η√vtdWt
Legyen Yt a volatilitas swap forward arfolyamata, vagyis
Yt = Et
√〈XT 〉
A T idopontig felkumulalodott varianciat a t pontban ket reszre vagjuk.
It =
∫ t
0
vsds
Ez alapjan a volatilitas swap forward arfolyamata
Yt = Et
√It +
∫ T
t
vsds = F (t, vt, It)
Yt valoban leırhato a fenti harom mennyiseg fuggvenyekent, t es It mellett a lejaratig hatralevo
variancia becslesehez vt minden informaciot tartalmaz – a folyamat Markov-tulajdonsagabol ki-
folyolag. Alkalmazzuk az Ito-formulat F -re. Mivel dIt = vtdt, It kvadratikus variacioja zerus, ıgy
a masodrendu derivaltakbol csak a v szerinti nem tunik el.
dF =∂F
∂tdt+
∂F
∂vdv +
∂F
∂IdI +
1
2
∂2F
∂v2d〈v〉
Kihasznalva, hogy vt es It dinamikaja ismert, azokat visszahelyettesıtve a fenti differencialegyenlet
az alabbi format olti
dF =
[∂F
∂t+∂F
∂vα(β − vt) +
∂F
∂Ivt +
1
2
∂2F
∂v2ηvt
]dt+
∂F
∂vησtdWt (2.14)
F a volatilitas forward arfolyamatat ırja le, melynek a kockazatsemleges mertek szerinti driftje
zerus, mi szerint F -nek ki kell elegıtenie az alabbi parcialis differencialegyenletet
∂F
∂t+∂F
∂vα(β − vt) +
∂F
∂Ivt +
1
2
∂2F
∂v2ηvt = 0
A volatilitas swap kifizetesi fuggvenye alapjan F T -beli ertekei ismertek,
F (T, vT , IT ) =√IT
Ahhoz, hogy a PDE-t meg tudjuk oldani, az I es v valtozok menten is meg kell adni a pe-
remertekeket. Ezeken a helyeken F pontos ertekeinek megadasa helyett azzal a feltevessel elunk,
hogy a masodrendu derivaltak eltunnek, vagyis
∂2F
∂I2
∣∣∣∣I=Imin,Imax
= 0∂2F
∂v2
∣∣∣∣v=vmin,vmax
= 0 (2.15)
18
2.3. A volatilitas swap replikalasa
A kovetkezokben [3] alapjan bemutatjuk Carr es Lee modszeret a volatilitas replikalasara. AM-
ben fogunk dolgozni, feltesszuk, hogy r = 0. Mielott nekilatnank a levezetesnek roviden vazoljuk
annak fontosabb lepeseit. Mint ahogy [9]-ban Klaus Schurger is hasznalja, az√q kifizetes atırhato
a kovetkezo alakra:
√q =
1
2π
∫ ∞0
1− e−zq
z3/2dz (2.16)
Ekkor varhato erteket veve es azt az integrallal felcserelve az Etezq exponencialis kifizetes rep-
likalasat kell megadnunk, es ezekbol mar fel lehet epıteni a√q kifizetest. Latni fogjuk, hogy az ex-
ponencialisok replikalasa csak a variancia es a reszvenyarfolyam fuggetlensege mellett lesz tokeletes,
a ρ 6= 0 eset hibat fog eredmenyezni. Ennek kezelesere Carr es Lee bevezetik a korrelacio-immunitas
fogalmat, amivel a ρ 6= 0 esetben csak O(ρ2) nagysagrendu hibaval kell szamolnunk. Az exponen-
cialisok korrelacio-immunis eloallıtasat kihasznalva vegul megadjuk a volatilitas swap replikaciojat.
A kovetkezokben tehat harom ponton keresztul vesszuk at a volatilitas swap replikalasat:
• A korrelacio-immunitas fogalmanak bevezetese
• Az exponencialis kifizetesek replikalasa
• Az exponencialisok hasznalataval a volatilitas swap replikalasa
2.3.1. Korrelacio-immunitas
A variancia swap replikalasa soran az St es σt folyamatok korrelacioja nem befolyasolta az eredmenyt,
az (1.7)-ben megadott replikalas a korrelacio minden erteke mellett tokeletes volt. A volatilitas swa-
pok eseteben ez nincs ıgy, de Carr es Lee modszere eszkozt ad arra, hogy az arazas korrelaciora
valo erzekenyseget bizonyos ertelemben csokkentsuk. AM-ben a variancia swapokhoz hasonloan op-
cioarakbol fogjuk meghatarozni a volatilitas swap kotesi arfolyamat. Legyen G a kiindulasi opcios
portfolio kifizetesi fuggvenye. Ekkor az arazas a kovetkezokepp nez ki:
E0
√〈X〉T = E0G(ST ) (2.17)
Latni fogjuk, hogy vegtelen sok alkalmas G fuggveny letezik, ha S es σ fuggetlenek. Az arazas
ρ 6= 0 feltetel melletti pontatlansagat a kovetkezokepp erzekeltethetjuk: a szokasos modon ırjuk
at S dinamikajat AM-ben – ρ-hoz megfelelo sulyozassal – ugy, hogy a reszveny es a volatilitas
fejlodeset hajto ket Winener-folyamat fuggetlen legyen.
dSt =√
1− ρ2σtStdW(1)t + ρσtStdW
(2)t (2.18)
ahol W(1)t es dW
(2)t fuggetlen Wiener-folyamatok es σt fuggetlen W
(1)t -tol. Ha ρ-t 0-nak valasztjuk,
akkor a ket folyamat fuggetlen es 2.17-ben az egyenloseg fennall. ρ ertekenek valtoztatasara a σ
folyamat erzeketlen, ıgy 2.17 bal oldala minden ρ eseten azonos, azonban S dinamikaja – es ezzel
egyutt E0G(ST ) is – ρ-val egyutt valtozik. Olyan G fuggvenyt szeretnenk valasztani, mely minel
19
kevesbe erzekeny ρ ertekere. A kovetkezokben definialni fogjuk mit ertunk egy kifizetes korrelacio-
immunitasa alatt. Ehhez bevezetjuk a kifizetesek Black-Scholes arat.
Egy F (ST ) kifizetes σ szoras melletti Black-Scholes ara alatt az
FBS(St, σ) =
∫ ∞0
F (ySt)1√
2πσye−
(y+σ2/2)2
2σ2 dy (2.19)
erteket ertjuk, ahol y egy µ = 0 varhato erteku es σ szorasu lognormalis eloszlas erteke. BS-ben
a kockazatsemleges merteke szerint ST = ySt, vagyis a fenti keplet tulajdonkeppen az F kifizetes
BS modellbeli kockazatsemleges mertek szerinti varhatoerteke. r = 0 miatt nem kell diszkontalni.
W (1) es W (2) Ft-BM, σ es W (2) adaptaltak egy Ht ⊂ Ft filtraciohoz ami fuggetlen FW (1)
t -tol.
Ekkor S dinamikaja a kovetkezokepp alakul:
dSt =√
1− ρ2σtStdW(1)t + ρσtStdW
(2)t (2.20)
Itt a σ es S folyamatok W (2)-n keresztul osszefugghet. Ezen modellben egy f(ST ) kifizetes t-beli
erteke a kovetkezokepp adhato meg Black-Scholes arral:
EtF (ST ) = EtFBS(StMt,T (ρ), σt,T
√1− ρ2), (2.21)
ahol
Mt,T (ρ) = exp
(−ρ
2
2
∫ T
t
σ2u du+ ρ
∫ T
t
σu dW (2)u
)
σt,T =
(∫σ2udu
)1/2
Ahhoz, hogy ezt belassuk, tekintsuk az 2.20-ben felırt reszvenyarfolyamnak megfelelo Xt = logSt
folyamatot. Az Ito-formula alapjan
dXt =√
1− ρ2σtdW(1)t + ρσtdW
(2)t − 1
2σ2t dt
= −ρ2
2σ2t dt+ ρσtdW
(2)t − 1− ρ2
2σ2t dt+
√1− ρ2σtdW
(1)t ,
tehat
XT −Xt =
∫ T
t
dXs = log(Mt,T (ρ))− σ2t,T
1− ρ2
2+√
1− ρ2
∫ T
t
σs dW (1)s
Ekkor HT ∨ Ft-re feltetelezve
XT −Xt ∼ N(
log(Mt,T (ρ))− σ2t,T
1− ρ2
2, σt,T
√1− ρ2
)Mivel ST = Ste
XT−Xt es a lognormalis eloszlas varhato erteke alapjan E(eXT−Xt |HT ∨ Ft) =
Mt,T (ρ), a toronyszabalyt alkalmazva megkapjuk 2.21-et
Etf(ST ) = Et
[E(f(Ste
XT−Xt |HT ∨ Ft)]
= EtfBS(StMt,T (ρ), σt,T
√1− ρ2),
A Black-Scholes arak segıtsegevel definialhatjuk, hogy mit ertunk korrelacio-immunis kifizetesnek.
Tekintsuk az F kifizetes BS-aranak ρ szerinti Taylor sorat a ρ = 0 pont korul.
EtF (ST ) = EtFBS(StMt,T (ρ), σt,T
√1− ρ2)
≈ EtFBS(St, σt,T ) + ρStEt
[∂FBS
∂s(St, σt,T )
∫ T
t
σudW (2)u
]+O(ρ2)
20
Mivel σt,T nem merheto Ft-re nezve, ∂FBS/∂s nem emelheto ki a varhatoertekbol. Azonban ha
∂FBS/∂s) nem fugg a masodik argumentumatol, akkor a varhato ertekbol kihozva a linearis tag
eltunik, mivel az∫ TtσudWu sztochasztikus integral varhato erteke zerus. Ebben az esetben tehat
az F kifizetes erteke
EtF (ST ) ≈ EtFBS(St, σt,T ) +O(ρ2)
Ha 2.17-ben a G kifizetes rendelkezik a fenti tulajdonsaggal, akkor a korrelacio csak egy negyzetes
hibat eredmenyez az arazas soran. Ezek alapjan azt mondjuk, hogy egy t < T idopontban az F
kifizetes korrelacio-immunis, ha letezik egy Ft-merheto c, amire minden σ eseten
∂FBS
∂s(St, σ) = c (2.22)
2.3.2. Exponencialis kifizetesek
A korrelacio-immunitas tisztazasat kovetoen atterunk az exponencialis kifizetesek arazasara. Ahogy
2.16-ben lattuk, a variancia swapot vegetlen sok exponencialis kifizetesbol fogjuk osszerakni, ıgy
ezen fejezet kulcsfontossagu a swap arazasa es replikalasa szempontjabol. λ ∈ C eseten a Eteλ〈X〉T
felteteles varhato erteken belul, a t idopontbol nezve a variancian keresztul van veletlenseg. Celunk
a varhato ertek atalakıtas ugy, hogy a veletlen a variancia helyett az ST reszvenyarfolyam ertekebol
szarmazzon, es ıgy a kifizetes a Breeden-Litzenberger formula alapjan reszvenyopciok felhasznalasaval
arazhato – es replikalhato legyen. Ehhez tekintsuk az XT −Xt eloszlasat az Ft∪FσT feltetel mellett.
XT −Xt =
∫ T
t
dXs =
∫ T
t
1
SsdSs −
1
2
∫ T
t
σ2s ds =
∫ T
t
σs dWs −〈X〉T − 〈X〉t
2
〈X〉T merheto FσT -re nezve, ıgy az eloszlas szempontjabol konstanskent viselkedik, azonban az
integralban a reszvenyarfolyamot meghajto Wiener-folyamat az integrator, mely feltetelezesunk
szerint fuggetlen FσT -tol, es ıgy ezen tagon keresztul marad XT − Xt-ben veletlen. Az integral
normalis eloszlast kovet, ıgy
XT −Xt ∼ N(−〈X〉T − 〈X〉t
2, 〈X〉T − 〈X〉t
)(2.23)
Legyen p ∈ C. A toronyszabalyt alkalmazva
Etep(XT−Xt) = Et
[E(ep(XT−Xt)|Ft ∪ FσT
)]A belso felteteles varhato ertekben XT −Xt 2.23 alapjan normalis eloszlast kovet, ıgy a varhato
ertek egyenlo a megfelelo parameteru normalis eloszlas generatorfuggvenyevel, ami alapjan
Etep(XT−Xt) = Et
[e(−p/2+p2/2)(〈X〉T−〈X〉t)
]= Ete
λ(〈X〉T−〈X〉t),
ahol λ = p2/2 − p/2 helyettesıtessel eltunk, ami alapjan p = 1/2 ±√
1/4 + 2λ. A jobb oldalon
e−λ〈X〉t kiemelheto a varhato ertekbol, amivel atszorozva, valamint figyelembe veve, hogy Xt =
log(ST /St) az exponencialis arara a kovetkezokepp alakul:
Eteλ〈X〉T = eλ〈X〉tEt(ST /St)
1/2±√
1/4+λ (2.24)
21
Az imenti eredmeny csak ρ = 0 mellett pontos. A kovetkezokben a fenti fuggvenyt ugy modosıtjuk,
hogy – az exponencialis kifizetes helyes arazasa mellett – korrelacio-immunis legyen. Ehhez fel
fogjuk hasznalni Carr es Lee [13]-ben kozolt eredmenyet, mely szerint σt es St fuggetlensege mellett
tetszoleges f kifizetesi fuggvenyre
Etf
(STSt
)= Et
[STStf
(StST
)](2.25)
Ezt felhasznalva tovabbi, a variancia exponencialis kifizeteset szinten helyesen replikalo fuggvenyeket
alkothatunk, melyek kozott talalni fogunk olyat, ami teljesıti a korrelacio-immunitas feltetelet.
Eteλ〈X〉T = eλ〈X〉tEt
(STSt
)1/2±√
1/4+λ
+ f
(STSt
)− STStf
(StST
)Az f fuggveny tetszoleges megvalasztasa mellett a fenti kifizetes helyesen arazza az exponencialist.
Valasszuk meg f -et f(ST /St) = θ(ST /St)1/2−√
1/4+2λ-nak, ahol θ tetszoleges Ft merheto. Igy
Eteλ〈X〉T = eλ〈X〉tEt
[(1− θ)(ST /St)1/2+
√1/4+2λ + θ(ST /St)
1/2−√
1/4+2λ],
ahol θ tetszoleges. Ugy szeretnenk megvalasztani, hogy a kifizetes teljesıtse a korrelacio-immunitas
feltetelet. Ehhez legyen
θ±(λ) =1
2∓ 1
2
1√1 + 8λ
p±(λ) = 1/2± 1
2
√1 + 8λ (2.26)
Az exponencialis erteke ıgy
Eteλ〈X〉T = eλ〈X〉t [θ+(ST /St)
p+ + θ−(ST /St)p− ] (2.27)
Leellenorizheto, hogy ez a kifizetes valoban korrelacio-immunis, de az exponencialisokat onma-
gukban nem fogjuk hasznalni, ıgy a korrelacio-immunitast csak a volatilitas-swap eseteben fogjuk
belatni.
2.3.3. A replikalo portfolio
Az exponencialisok replikalasanak ismereteben reszvenyopciokbol es betetbol elo tudjuk allıtani a
volatilitas swapot. Ehhez a√〈X〉T kifizetest fel fogjuk ırni exponencialisok integraljakent. 2.16
alapjan, = 〈X〉T helyettesıtessel elve
Et
√〈X〉T =
1
2πEt
∫ ∞0
1− e−z〈X〉Tz2/3
dz (2.28)
=1
2π
∫ ∞0
(θ+ + θ−)1−Ete
−z〈X〉T
z2/3dz (2.29)
=1
2π
∫ ∞0
(θ+ + θ−)1− e−z〈X〉tEt(ST /St)
p±
z2/3dz (2.30)
=1
2πEt
∫ ∞0
θ+1− e−z〈X〉t(ST /St)p+
z2/3+ θ−
1− e−z〈X〉t(ST /St)p−z2/3
dz (2.31)
1.14-ben kihasznaltuk, hogy θ+ + θ− = 1, valamint alkalmaztuk a Fubini-tetelt. (2.24) szerint az
exponencialis replikalasa p+ es P− valasztas mellett is helyes. θ±-szal beszorozva ennek megfeleloen
22
valasztjuk meg p-t, vegul (2.31)-ben a varhato ertek es az integral felcserelesekor ismet hasznaltuk
a Fubini-tetelt. Ezek alapjan a volatlitas swap szintetikus volatilitas swappal (SVS) torteno arazasa
a kovetkezokepp tortenik:
Et
√〈X〉T = EtGSVS(ST , St, 〈X〉t) (2.32)
GSVS(ST , St, 〈X〉t) =1
2π
∫ ∞0
θ+1− e−z〈X〉t(ST /St)p+
z2/3+ θ−
1− e−z〈X〉t(ST /St)p−z2/3
dz, (2.33)
ahol p es θ ertekei (2.25)-nek megfeleloek. A ket kifizetes kozott nagyon fontos kulonbseg, hogy√〈X〉T -ben a veletlen a variancian keresztul van jelen, mıg a GSVS(ST , St, 〈X〉t) kifizetesben a
reszvenyarfolyam a bizonytalansag forrasa. 〈X〉t es St a t idopontban ismert, ıgy azokra, mint a
GSVS kifizetes parametereire tekintunk. SVS azon tul, hogy replikalja a volatilitas swapot, kor-
relacio-immunis is. Ehhez (2.22) definıcio szerint tekintsuk a GSVS-nek megfelelo BS-kifizetest.
∂GBSSVS
∂ST
∣∣∣∣ST=St
=∂
∂ST
(∫ ∞0
GSVS(yST )φ(y)dy
) ∣∣∣∣ST=St
(2.34)
=
∫ ∞0
∂
∂STGSVS(yST )
∣∣∣∣ST=St
φ(y)dy (2.35)
=1
2√
2π
∫ ∞0
∫ ∞0
−e−z〈X〉t(θ+p+yp+ + θ−p−y
p−)
Stz3/2φ(y) dy dz (2.36)
=1
2√
2π
∫ ∞0
−e−z〈X〉t(θ+p+
∫∞0yp+φ(y) dy + θ−p−
∫∞0yp−φ(y) dy)
Stz3/2dz (2.37)
A Wolfram Mathematica szamıtasai alapjan az yp+φ(y) es yp−φ(y) integraljaik megegyeznek, ıgy
kihasznalva, hogy θ+p+ + θ−p− = 0 a z szerinti integrandus eltunik, ıgy teljesul a korrelacio-
immunitas feltetele. GSVS-en a Breeden-Litzenberger formulat hasznalva megkapjuk a volatilitas
swap reszvenyopciokkal, forwarddal es betettel torteno replikalasat. A variancia swap eseteben
az opcios portfolio statikus volt, jelen esetben azonban (2.33)-ban GSVS masodik es harmadik
valtozojan keresztul az ido mulasaval folyamatosan valtozik, ıgy az opcios csomag folyamatos
kiigazıtast fog igenyelni. Az r = 0 feltetel mellett a forward ar megegyezik a spot arral, ıgy a
vagasi pont minden t-re St lesz. Ebbol kovetkezik, hogy a replikacioban a forward ugylet erteke
mindig zerus. Betetbol GSVS(St, St, 〈X〉t)-t kell tartanunk, ami
GSVS(St, St, 〈X〉t) =1
2π
∫ ∞0
θ+1− e−z〈X〉t
z2/3+ θ−
1− e−z〈X〉tz2/3
dz,=√〈X〉t,
mivel θ+ + θ− = 1. Az opcios sulyokat a kifizetesi fuggveny masodik derivaltja hatarozza meg.
GSVS-t ketszer derivalva kapjuk, hogy
∂2
∂S2T
GSVS(ST , St, 〈X〉t)∣∣∣∣ST=K
=1√π
∫ ∞0
e−z〈X〉t
K2z1/2[θ+(K/St)
p+ + θ−(K/St)p− ] dz (2.38)
A vagasi pontnak megfeleloen a t idopontban K < St eseten put, K > St eseten pedig call opciot
tartunk. A replikacio tehat a t idopontban a kovetkezo termekekbol all:
dK√π
∫ ∞0
e−z〈X〉t
K2z1/2[θ+(K/St)
p+ + θ−(K/St)p− ] dz put, ha K < St, call, ha K > St√〈X〉t betet
23
A t idopontbeli opcios csomagnak nulla a kifizetese, ha lejaratkor a reszvenyarfolyam megegyezik
a vagasi ponttal, vagyis St-vel. A lejarathoz kozeledve ST -nek egyre kevesebb ideje lesz elmozdulni
St-tol, ıgy az opcios csomag kifizetese T -hez tartva eltunik, es az egyuttes kifizeteset csak a√〈X〉T
erteku betet fogja adni, vagyis a portfolio replikalja a volatilitas swapot. Carr es Lee [3] cikkukben
a portfolio onfinanszırozosagat is belatjak.
2.4. Szimulaciok a replikaciora
A replikaciot a kovetkezokepp interpretaljuk: legyen [0,∆t, 2∆t, . . . , n∆t = T ] a [0, T ] idointervallum
felosztasa. Ezeken az idopontokon fogjuk a portfoliot kiigazıtani. Ismert, hogy az i. periodusban
a K kotesi arfolyamu opciobol ωi,K darabot kell tartanunk. Jelolje Ci,K az i. periodusbol nezve a
T -ben lejaro opcio arat. Ekkor az opcios csomag erteke
Πi =∑K
ωi,KCi,K
A kovetkezo idoperiodusra lepve az opciok aranak valtozasabol Π erteke a kovetkezokepp modosul
∆Πi =∑K
ωi,K(Ci+1,K − Ci,K)
Ebbol a penzbol fedezzuk az atsulyozast, aminek a koltsege∑K(ωi+1,K −ωi,K)Ci+1,K , a maradek
penzt pedig betetbe helyezzuk. Az opcios csomag erteke T -hez kozeledve nullahoz tart, a kereskedes
eredmenye a betetben kumulalodik fel, melynek T -beli erteke eloallıtja√〈X〉T -t. A kereskedesi
strategiat megprobaltam Matlabban implementalni. Az eredmenyt a 2.2 abra mutatja
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Idõ
opciós csomag értékebetétvolatilitás
2.2. abra. Variancia swap replikalasa
A megvalosıtas egyenlore nem tokeletes. Az opcios csomag erteke a varakozasnak megfeleloen
folyamatosan csokken, lejaratkor pedig eltunik, a betet azonban nem koveti√〈X〉t-t.
24
3. fejezet
Variancia opcio
Ebben a fejezetben a variancia opciokkal fogunk foglalkozni.K kotesi arfolyam mellett a varianciara
szolo call opcio kifizetesi fuggvenye:
f(〈X〉T ) = (〈X〉T −K)+
A variancia opciokat csak HM-ben fogjuk vizsgalni. Bemutatjuk a termek arazasahoz hasznalhato
parcialis differencialegyenlet levezeteset Mark Broadie es Ashish Jain [5] cikket kovetve.
3.1. Arazas differencialegyenlettel
A PDE levezetese a BS-egyenlet levezetesehez hasonloan fog tortenni. Felallıtunk egy dinami-
kus portfoliot, melyben az opcio mellett megfelelo szamu variancia swapot is tartva eliminaljuk
belole a kockazatot, es ıgy a portfolio hozamanak – kihasznalva a piac arbitrazsmentesseget – a
kockazatsemleges eszkoz hozamaval kell megegyezzen. Legyen a variancia call ertekfolyamata
Ct = erτEt(Xt −K)+
A portfolio alljon egy variancia opciobol es γ darab Kvar kotesi arfolyamu variancia swapbol. Ekkor
a portfolio t-beli erteke
Πt = γtEt(XT −Kvar) + Ct
A volatilitas swap esetehez hasonloan, ha a lejaratig kumulalodo varianciat a t pontban ket reszre
bontjuk, akkor az opcio t-beli ara felırhato t, az addig felkumulalodott variancia, It es a pillanatnyi
variancia, vt fuggvenyekent. Legyen tehat
Ct = G(t, vt, It)
Az Ito-formulat alkalmazva G dinamikaja
dG =∂G
∂tdt+
∂G
∂vdvt +
∂G
∂IdIt +
1
2
∂2G
∂v2d〈v〉t (3.1)
=
[∂G
∂t+∂G
∂vα(β − vt) +
∂G
∂Ivt +
1
2
∂2G
∂v2ηvt
]dt+
∂G
∂vηvtdWt (3.2)
25
Tekintsuk a portfolio ertekenek megvaltozasat egy rovid ∆t ido alatt. A variancia swap forward
aranak dinamikaja 2.14 alapjan ismert, ıgy (3.2)-t is felhasznalva, a folyamatok diszkretizalasat
kovetoen kapjuk, hogy
∆Π = α∆dF + ∆dG (3.3)
= γt
(∂F
∂vη√vt∆Wt
)+
[∂G
∂t+∂G
∂vα(β − vt) +
∂G
∂Ivt +
1
2
∂2G
∂v2ηvt
]∆t+
∂G
∂vηvt∆Wt (3.4)
Ahhoz, hogy a veletlent eliminaljuk a portfoliobol, legyen γ = −∂G∂v /∂F∂v . Az ıgy megvalasztott γ-t
visszahelyettesıtve lathato, hogy a portfolio kockazatat generalo Wiener-folyamatok kiesnek, es ıgy
Π megvaltozasa
∆Πt =
[∂G
∂t+∂G
∂vα(β − vt) +
∂G
∂Ivt +
1
2
∂2G
∂v2ηvt
]∆t
Az arbitrazsmentesseg feltetele miatt a kockazat eliminalasat kovetoen a befektetes hozama meg
kell egyezzen a kockazatsemleges termek hozamaval, ıgy[∂G
∂t+∂G
∂vα(β − vt) +
∂G
∂Ivt +
1
2
∂2G
∂v2ηvt
]∆t = rG∆t
∆t-vel valo egyszerusıtes utan kapjuk, hogy
∂G
∂t+∂G
∂vα(β − vt) +
∂G
∂Ivt +
1
2
∂2G
∂v2ηvt − rG = 0 (3.5)
A variancia call kifizetesi fuggvenye adja a lejaratkori peremfeltetelt, vagyis
G(T, vT , IT ) = (IT −K)+
A masik ket valtozohoz tartozo peremfelteteleket 2.15-vel megegyezoen valasztjuk, tehat
∂2F
∂I2
∣∣∣∣I=Imin,Imax
= 0∂2F
∂v2
∣∣∣∣v=vmin,vmax
= 0
3.2. Replikacio variancia opciokkal
Az eddigiek soran a Breeden-Lizenberger formulat arra hasznaltuk, hogy reszvenyopciokkal rep-
likaljunk reszveny alaptermeku europai tıpusu kifizeteseket. A dekompozıcio azonban nem feltetelez
semmit az alaptermekrol, csupan a kifizetesi fuggvenyt ırja fel kereskedett termekek – kotveny, for-
ward es opcio – kifizetesi fuggvenyeinek megfelelo kombinaciojakent. Ez lehetoseget ad arra, hogy
tetszoleges variancia derivatıva kifizetesi fuggvenyere alkalmazva a Breeden-Lizenberger formulat,
azt betettel, variancia swappal es variancia opciokkal replikaljuk. 〈X〉T alaptermekkel felırva, sze-
paratornak κ-t valasztva 1.5 szerint az f kifizetes dekompozıcioja
f(〈X〉T ) = f(κ) + f ′(κ)(〈X〉T − κ) +
∫ κ
0
f ′′(K)(K − 〈X〉T )+ dK +
∫ ∞κ
f ′′(K)(〈X〉T −K)+ dK
(3.6)
A reszveny alaptermeku szarmaztatott termek dekompozıciojahoz hasonloan az elso tag itt is egy
egyszeru betet. A masodik tagban egy variancia swap kifizeteset ismerhetjuk fel, az integralok pedig
egy variancia opciokbol allo csomag kifizetesenek felelnek meg. 3.6 ugyan tenyleges replikalasra nem
26
hasznalhato, mivel a variancia opciok sokkal kevesbe kereskedett termekek, es az elerheto kotesi
arfolyamok is sokkal ritkabbak, mint peldaul az SnP500 indexopciok eseteben, arazasra azonban
megis hasznalhato 3.6, felteve, hogy a variancia opciok ara hatekonyan szamolhato. A volatilitas
swap 3.6 szerinti dekompozıcioja κ = Kvar valasztas mellett a kovetkezokepp nez ki
√〈X〉T =
√Kvar +
〈X〉T −Kvar
2√Kvar
− 1
4
[∫ Kvar
0
1
K3/2(K − 〈X〉T )+ dK +
∫ ∞Kvar
1
K3/2(〈X〉T −K)+ dK
]
Varhato erteket veve a masodik tag eltunik, mivel a Kvar kotesi arfolyam mellett a varianca swap
szerzodeskoteskori erteke zerus. A volatilitas swap fair kotesi arfolyama – a variancia put es call
arait Pvar(K) es Cvar(K)-val jelolve
Kvol =√Kvar −
1
4
[∫ Kvar
0
1
K3/2Pvar(K) dK +
∫ ∞Kvar
1
K3/2Cvar(K) dK
](3.7)
Az imenti eredmenyt erdemes osszehasonlıtani (2.4)-gyel. Kvol-t mindket esetben√Kvar kiigazı-
tasaval hatarozzuk meg, fontos azonban megjegyezni, hogy 3.7-ben az opcios csomag ertekenek
levonasaval pontos eredmenyt kapunk, mıg (2.4) egyreszt a masodrendunel magasabb tagok el-
hagyasabol kifolyolag tovabbra is csak kozelıto ertekkel szolgal, masreszt (2.4) meghatarozasakor
kihasznaltuk, hogy a variancia CIR-folyamatot kovet.
A kovetkezokben Monte-Carlo szimulacioval bearazzuk a variancia opciot kulonbozo kotesi arfo-
lyamok mellett. Az ıgy kapott opcioarakkal 3.7 alapjan megadjuk a variancia swap fair kotesi
arfolyamat. A szimulaciot HM-ben vegeztem, a 3.2-ben lathato parameterek mellett. A kapott
opcioarak call eseten a 3.1 abran lathatok, a 3.7 alapjan torteno arazas eredmenyeit pedig a 3.1
tablazat mutatja.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
0.005
0.01
0.015
Kötési árfolyam
Cal
l ára
3.1. abra. Variancia call ara kulonbozo kotesi arfolyamok mellett
27
Kvol Kvol variancia opciokkal
12.2047 % 12.2041 %
3.1. tablazat. Volatilitas swap kotesi arfolyama variancia opciokkal
A ket arazasi modszer megegyezo eredmenyre vezetett. Szimulaciobol szamıtott opcioarakkal persze
nincs ertelme a variancia derivatıvakat arazni, a szimulacios populaciobol egyenesen a derivatıva ara
is szamolhato lenne. A 3.1 tablazat eredmenyei inkabb csak az arazasi modszerek konzisztenciajat
igazoljak.
28
Parameterillesztes
Ebben a fejezetben bemutatjuk a szimulaciokhoz hasznalt Heston modell kalibraciojat. A modellil-
lesztes a [8]-ban ırtak alapjan tortenik, a Matlab implementaciohoz hasznalt kodok is onnan valok.
Ismetelten felırjuk a modell kockazatsemleges mertek szerinti dinamikajat:
dSt = rSt dt+√vtSt dW
(1)t
dvt = α(β − vt)dt+ ησtdW(2)t
Cov(dW(1)t ,dW
(2)t ) = ρdt
A modell felallıtasahoz az Ω = v0, α, β, η, ρ parametereket kell meghataroznunk. A modell-
ben az opciok arai fuggnek ezen parameterek ertekeitol. Ugy fogjuk megvalasztani a szabad pa-
rametereket, hogy az ıgy adodott opcioarak minel kisebb hibaval ırjak le a piacon megfigyelt, valos
arakat. Az opciok arazasa a kockazatsemleges mertek szerint tortenik, ıgy a megfigyelt arakbol a
kockazatsemleges mertek alatti parameterekre tudunk kovetkeztetni. Jelolje a Ki kotesi arfolyamu
es Ti lejaratu call opcio Ω parameterek melletti arat CΩi (Ki, Ti), a piacon megfigyelt arat pedig
CPiacii (Ki, Ti). Az Ω parameterek illeszkedesenek pontossagat a becsult es valos arak hibajanak
negyzetosszegevel merjuk, celunk tehat a kovetkezo fuggveny ertekenek minimalizalasa:
G(Ω) =
N∑i=1
1
N
[CΩi (Ki, Ti)− CPiacii (Ki, Ti)
]2Az optimalizacio gyors lefutasahoz elengedhetetlen az opcioarak hatekony szamıtasa. A karakte-
risztikus fuggvenyek modszerevel – amennyiben ismert logST karakterisztikus fuggvenye – a vanilla
opciok arai gyorsan szamıthatok. Legyen logST karakterisztikus fuggvenye Ψ(w). Ekkor a K kotesi
arfolyamu call opcio ara
C0 = S0Π1 − erTKΠ2,
ahol
Π1 =1
2+
1
π
∫ ∞0
Re
[e−iw logKΨ(w − i)
iwΨ(−i)
]dw
Π2 =1
2+
1
π
∫ ∞0
Re
[e−iw logKΨ(w)
iw
]dw
29
A Heston modellben logST karakterisztikus fuggvenye
Ψ(w) = expβC(T,w) + σ0D(T,w) + iwlog(S0erT )
C(t, w) = α
[r1t−
2
η2log
(1− ge−ht
1− g
)]D(t, w) = r1
1− e−ht
1− ge−ht
r1,2 =b± hη2
h =√b2 − 4aγ g =
r2
r1
a = −w2
2− iw
2b = α− ρηiw γ =
η2
2
A modellilleszteshez hasznalt SnP500 call opciok adatait a Bloomberg program segıtsegevel nyer-
tem. Az SnP500 opciok idealisak a kalibraciohoz, mert egyreszt likvidek, ıgy a bent levo opcioarak
jol reprezentaljak a piaci varakozasokat, masreszt ezen opciok suru kotesi arfolyamok mellett
erhetok el. A modellilleszteshez szukseges meg tudni a spot arfolyamot valamint a kockazatmentes
hozamot, mely feltetelezesunk szerint minden lejaratra azonos. Az SnP500 spot arfolyama S0 =
1057, 14, diszkont kamatlabnak pedig az 1 eves USD LIBOR-t tekintettem, melynek erteke r =
1, 22%. A parameterillesztes eredmenyeit a 3.2 tablazat mutatja, a kalibracio soran hasznalt opciok
adatait es az illesztett modell szerinti arak hibait a 3.3 es 3.4 tablazatok foglaljak ossze. A lejaratok
evben ertendok.
v0 α β η ρ
2.27% 4.79 3.01% 53.64% -0.99
3.2. tablazat. A kalibracio eredmenyei
Az illesztesi hibakat tartalmazo 3.4 tablazatban az atlagos negyzetes eltereseket lejaratonkent
es kotesi arfolyamonkent is feltuntettuk. Ebbol lathato, hogy az illeszkedes a kozepes lejaratok
eseten pontos, a kozelebbi es tavolabbi lejaratok mellett a hibak novekedest mutatnak. A kotesi
arfolyamok menten hasonlo jelenseg nem figyelheto meg. Az elteresek az opciok araihoz viszonyıtva
csupan nehany szazalekosak, eltekintve a melyen out of the money opcioktol, melyek eseteben azok
alacsony ara miatt a relatıv hiba megnovekszik.
Az illesztett Heston modellbol a Monte-Carlo szimulaciohoz 1000 mintat tartalmazo populaciot ge-
neraltam. A kalibralas soran [8]-ban ırtak szerint az illesztett parameterektol megkoveteltuk, hogy
teljesıtsek a variancia folyamat nem-negativitasat biztosıto 2αβ > η2 Feller-feltetelt. A szcenariok
generalasa soran ennek ellenere – a diszkertizaciobol adodoan – megjelentek negatıv varianciak.
Ezen szcenariokat kiszurtuk a populaciobol, es ujakat generaltunk helyettuk.
30
Strike\Lejarat 0.10 0.22 0.35 0.60 1.11
1800 260.20 266.95 272.60 286.40 309.60
1900 164.40 177.00 187.10 206.20 236.05
1950 119.05 135.10 147.50 168.95 201.90
2000 77.50 96.40 110.80 134.20 169.55
2025 58.55 78.70 93.85 117.90 154.30
2050 41.50 62.10 77.70 102.25 139.45
2075 26.95 47.10 62.75 87.75 125.35
2100 15.45 33.75 49.15 74.00 111.80
2150 3.05 13.85 26.95 50.00 86.95
2200 0.63 4.00 12.15 30.90 65.20
2300 0.13 0.38 1.82 8.80 32.55
3.3. tablazat. A kalibraciohoz hasznalt opciok
Strike\Lejarat 0.10 0.22 0.35 0.60 1.11 err2
1800 3.31 4.75 0.31 0.31 3.30 1.55
1900 3.23 3.43 0.06 0.60 0.00 1.21
1950 0.03 3.78 0.10 1.19 0.28 1.04
2000 0.02 0.34 0.19 1.07 0.26 0.61
2025 0.58 0.35 0.04 0.87 0.23 0.64
2050 4.49 0.31 0.04 0.46 0.04 1.03
2075 9.54 0.04 0.11 0.42 0.00 1.42
2100 7.51 0.34 0.11 0.11 0.17 1.28
2150 0.09 0.14 0.09 0.00 1.27 0.57
2200 0.15 2.44 0.30 0.00 3.27 1.11
2300 0.53 0.06 2.54 2.35 3.10 1.31
err2 1.64 1.21 0.60 0.82 1.04 1.12
3.4. tablazat. A tenyleges es a modellbeli arak abszolut elterese
31
Osszefoglalas
A dolgozatban tobb varianciara szolo derivatıv termek arazasat es replikalasat is attekintettem.
Az elso fejezetben a log-kifizetesek eloallıtasara bemutattam egy szimulalt adathalmazon torteno
kalibracios modszert. A folytonos modelltol valo aprobb elteres okanak felderıtese tovabbi vizsgalatokat
igenyel. A masodik fejezetben a kozelıto modszerek bemutatasa soran Heston modellben meg-
hataroztam a masodrendu hibatagot. Reszletesen bemutattuk Peter Carr es Roger Lee modszeret
a variancia swap replikalasara. Eredmenyuk szamıtogepes reprodukalasa nem volt teljesen sikeres,
a hiba kijavıtasan meg dolgoznom kell. A dolgozat soran lathattuk, hogy a Breeden-Litzenberger
formula jol hasznalhato eszkozt biztosıt a derivatıv termekek replikalasahoz.
32
Irodalomjegyzek
[1] Demeteri K., Derman E., Kamal M., Zou J., More Than You Ever Wanted to Know About
Volatility Swaps. Goldman Sachs quanititative research notes (1999)
[2] Peter Carr, Roger Lee, Realized Volatility and Variance: Options via Swaps. Asia Risk June
(2007), .64-71
[3] Peter Carr, Roger Lee, Robust Replication of Volatility Derivatives. Mathematics in Finance
Working Paper Series (2008).
[4] Anthony Neuberger, The log contract. Journal of Portfolio Management; Winter 1994; 20, 2;
ABI/INFORM Global pg. 74
[5] Mark Broadie, Ashis Jain, Pricin and Hedging Volatility Derivatives. (2008)
https://www0.gsb.columbia.edu/mygsb/faculty/research/ pubfiles/3967/pricing hedging.pdf
[6] The CBOE Volatility Index - VIX, https://www.cboe.com/micro/vix/vixwhite.pdf
[7] Fabrice Douglas Rouah, Variance swaps. Mathematical Finance Working paper,
http://www.frouah.com/finance%20notes/Variance%20Swap.pdf
[8] Ricardo Crisostomo, An Analysis of the Heston Stochastic Volatility Model: Implementation
and Calibration using Matlab. https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1502/1502.02963.pdf
[9] Klaus Schurger, Laplace transforms and suprema of stochastic processes. University of Bonn
(2002)
[10] Emanuel Derman Static Hedgeing and Implied Distribution. Lecture note,
http://www.emanuelderman.com/media/smile-lecture5.pdf
[11] Peter Carr, Dilip Madan Towards a Theory of Volatility Trading. (2002)
http://www.math.nyu.edu/research/carrp/papers/pdf/twrdsfig.pdf
[12] Sebastien Bossu, Eva Strasser, Regis Guichard, Just What You Need to Know About Variance
Swaps. JPMorgan, working paper (2005)
[13] Peter Carr, Roger Lee, Put-Call Symmetry: Extensions and Applications.
33
[14] Douglas T. Breeden, Robert H. Litzenberger, prices of state contingent claims implicit in
option prices. The Journal of Business, Vol. 51, No.4 (1978), 621-651
[15] Stefano M. Iacus Simulation and Inference for Stochastic Differential Equations: With R
Examples, e-ISBN: 978-0-387-75839-8, 48
34
