Nekompresibilna strujanja

Ante Dabo – Seminarski rad Nekompresibilna strujanja

Modeliranje u hidrotehnici

Nekompresibilna strujanja

U mehanici fluida nekompresibilna strujanja odnose se na strujanja u kojima je

gustoća konstantna unutar promatranog volumena koji se giba brzinom fluida.

U fizici Navier - Stokesove jednadžbe, nazvane po Claude – Louis Navieru i George

Gabriel Stokesu, opisuju gibanja čestica fluida tako da definiraju odnose tlaka i brzine

u promatranoj točki. Ove jednadžbe proizlaze iz korištenja drugog Newtonovog zakona

kod gibanja fluida, zajedno s pretpostavkom da je naprezanje fluida zbroj izraza za

viskoznost i tlaka.

___________________________________________________________________________________________________________Građevinski fakultet Sveučilišta u Rijeci str. | 1


1.1 Navier – Stokesove jednadžbe za nekompresibilan fluid

Fenomen nekompresibilnih viskoznih strujanja javlja se u mnogim područjima

znanosti. U mehanici fluida ili općenitije u mehanici kontinuuma nekompresibilna

strujanja se odnose na tok u kojem je gustoća materijala konstantna unutar

promatranog volumena (infinitezimalnog volumena koji se kreće brzinom tekućine).

Matematički uvjet koji podrazumijeva nekompresibilnost fluida je da divergenija brzine

tog fluida mora biti nula(1.1).

Nekompresibilno strujanje odnosno protok fluida ne znači i da je i sam fluid nestišljiv.

Kod nekompresibilnih strujanja matematički nema očitog načina na koji bi povezali

brzinu i tlak. Kako bi povezali ove dvije veličine potrebno je uzeti divergenciju

momentne jednadžbe i koristeći kontinuitet doći do Poissonove jednadžbe za tlak koja

će nam dati vezu između tlaka i brzine.

Prisjetimo se Navier – Stokesove jednadžbe za nekompresibilni fluid, odnosno fluid koji

ne smanjuje volumen povećanjem pritiska. Postoje dvije jednadžbe: jednadžba koja

predstavlja kontinuitet za fluid konstantne gustoće (1.1);

∇⋅v⃗=0 (1.1)

i jednadžbu održanja količine gibanja (1.2).

∂u∂ t

+( u⃗⋅∇ ) u⃗=−1ρ

∇ p+υ∇ 2 u⃗ (1.2)



gdje je:

∇ -nabla (gradijent)

∇={∂

∂ x1

∂∂ x2

∂∂ x3

}u⃗ - vektor brzina

u⃗=ui={uvw }={u1

u2

u3} [m/s]

t - vrijeme [s]

ρ - gustoća fluida [M/L3]

p - tlak [Pa]

υ - koeficijent viskoziteta [Pa s]

Način na koji su napisane jednadžbe (1.1) i (1.2) predstavlja i problem pošto nema

očitog načina za povezati brzinu i tlak. Ovo je osobit problem u slučaju

nekompresibilnih fluida. Dok u slučaju kompresibilnih fluida ovo ne predstavlja

problem zbog toga što je poznata veza između gustoće i tlaka dana jednadžbom

stanja. Jedna od takvih jednadžbi stanja je i jednadžba stanja idealnog plina u

ovisnosti od temperature i tlaka(1.3.).

ρ= pR specificT

(1.3)

Gdje je:

ρ - gustoća plina [M/L3]

p - apsolutni tlak [Pa]



R specific - specifična plinska konstanta [R=8.314472 J/mol K]

T - apsolutna temperatura [K]

Nekompresibilni fluidi su oni čiji se volumen ne mijenja povećanjem tlaka, dok su

kompresibilni fluidi oni čiji se volumen smanjuje povećanjem tlaka. Znači u slučaju

kompresibilnih fluida postoji jednadžba stanja koja nam daje vezu između gustoće i

tlaka, dok u slučaju nekompresibilnih fluida ta veza ne postoji. Kako bi pronašli tu vezu

nužno je krenuti od jednadžbe očuvanje mase to jest jednadžbe kontinuiteta (1.4) te

dvije jednadžbe očuvanja momenata (1.5) i (1.6).

∂u1

∂ x1

+∂u2

∂ x2

=0 (1.4)

∂u1

∂ t+u1

∂ u1

∂ x1

+u2

∂ u1

∂ x2

=−1ρ

∂ p∂ x1

+υ (∂2u1

∂ x12

+∂2u1

∂ x22

) (1.5)

∂u2

∂ t+u1

∂ u2

∂ x1

+u2

∂ u2

∂ x2

=−1ρ

∂ p∂ x2

+υ (∂2u2

∂ x12

+∂2u2

∂ x22

) (1.6)

1.2. Naivna diskretizacija Navier – Stokesovih jednadžbi

S osnovnim znanjem o numeričkom riješavanju parcijalnih diferencijalnih jednadžbi

Navier-Stokesove jednadžbe bi smatrali tipom toplinskih jednadžbi i pokušali ih riješiti

najjednostavnijom shemom u vremenu, odnosno „eksplicitnim korakom naprijed“

(1.7).



un+1−un

Δt+un⋅∇ un=−1

ρ∇ pn+ν∇ 2un+gn (1.7)

Gdje je Δt vremenski korak, a superskipt n označuje vremenski korak, dok u

predstavlja brzinu. Ova jednadžba može biti trivjalno riješena za un+1

.

un+1=(−un⋅∇ un− 1ρ

∇ pn+ν∇2un+gn)Δt+un (1.8)

No fundametalni problem ovog pristupa je da nova brzina un+1

uglavnom ne

zadovoljava jednadžbu kontinuiteta ∇⋅un+1≠0 . Štoviše ne postoji prirodni izračun za

polje tlaka pn+1

.

Mogući „lijek“ ovog problema je uvođenje tlaka pn+1

u izraz (1.8) što nam ostavlja dvije

nepoznanice un+1

i pn+1

i stoga zahtijeva simultano riješenje 2 sljedeće jednadžbe (1.9

i 1.10).

un+1+ Δtρ

∇ pn+1=un−Δtun⋅∇ un+Δtν∇ 2unl+Δtgn (1.9)

∇ un+1=0 (1.10)

Možemo eliminirati ∇ un+1

tako da uzmemo divergenciju izraza (1.9) čime ćemo dobiti

Poissonovu jednadžbu za tlak (1.11).

∇2 pn+1= ρΔt

∇⋅(un−Δtun⋅∇ un+Δtν ∇2un+Δtgn ) (1.11)

Međutim nema prirodnih rubnih uvjeta za polje tlaka pn+1

stoga riješavanje jednadžbe

(1.11) i trivijalno pronalaženje un+1

nije dovoljno za doći do riješenja.



1.3. Poissonova jednadžba za tlak

Kako bi dobili Poissonovu jednadžbu koja nam daje vezu između tlaka i brzine

potrebno je uzeti divergenciju momentnih jednadžbi (1.5) i (1.6) tako da se prva

jednadžba derivira po x1, a druga jednadžba po x2 te se ove dvije jednadžbe zbroje.

Nužno je napomenuti da se cijelo vrijeme pretpostavlja konstantna gustoća.

∂u1

∂ t+u1

∂ u1

∂ x1

+u2

∂ u1

∂ x2

=−1ρ

∂ p∂ x1

+υ (∂2u1

∂ x12

+∂2u1

∂ x22

)/ ∂∂ x1

∂u2

∂ t+u1

∂ u2

∂ x1

+u2

∂ u2

∂ x2

=−1ρ

∂ p∂ x2

+υ (∂2u2

∂ x12

+∂2u2

∂ x22

)/ ∂∂ x2

Slijedi:

∂∂ t ( ∂u1

∂ x1)+ ∂u1

∂ x1

∂ u1

∂ x1

+u1

∂2u1

∂ x12

+∂ u2

∂ x1

∂u1

∂ x2

+u2

∂2u1

∂ x2⋅∂ x1

=−1ρ

∂2 p∂ x

12

+υ ∂∂ x1

(∇2u1 )(1.12

)

∂∂ t ( ∂u2

∂ x2)+ ∂u1

∂ x2

∂ u2

∂ x1

+u1

∂2u2

∂ x1∂ x2

+∂ u2

∂ x2

∂u2

∂ x2

+u2

∂2u2

∂ x22

=−1ρ

∂2 p∂ x

22

+υ ∂∂ x2

(∇ 2u2 )(1.13

)

1.4. Zbrajanje članova lijeve strane



Zbog jednostavnosti numeričkog zapisa odvojiti će se lijeva i desna strana jednadžbe

koje ćemo spojiti nakon što ih pojednostavimo. Ako se dva gornja izraza (1.12 i 1.13)

zbroje tako da se prvi član prvog izraza zbroji s prvim članom drugog izraza, isto tako i

svi ostali članovi na lijevoj strani novonastale jednadžbe imat ćemo izraz (1.14).

∂∂ t (∂u1

∂ x1

+∂ u2

∂ x2)+(∂u1

∂ x1)2∂u1

∂ x2

∂ u2

∂ x1

+u1

∂2u1

∂ x1

2⏟+u1

∂2u2

∂ x1∂ x2⏟+∂u2

∂ x1

∂ u1

∂ x2

+(∂u2

∂ x2)2

+

+u2

∂2u1

∂ x1∂ x2⏟+u2

∂2u2

∂ x2

2⏟

(1.14)

Gore navedeni izraz može se puno lijepše napisati ako se uoči povezanost između

njena 4 člana. To su 5., 6., 9., i 10. član gornje jednadžbe odnosno:

u1

∂2u1

∂ x12

+u1

∂2u2

∂ x1∂ x2

+u2

∂2u1

∂ x1∂ x2

+u2

∂2u2

∂ x22

(1.15)

Prva dva izdvojena člana imaju zajedničko u1 ispred razlomka te ∂ x1 u nazivniku pa se

njihov zbroj može pisati (1.16):

u1∂

∂ x1

(∂u1

∂ x1

+∂u2

∂ x2

) (1.16)

Za druga dva člana po istom principu vrijedi (1.17):



u2∂

∂ x2

(∂u1

∂ x1

+∂u2

∂ x2

) (1.17)

U oba dva slučaja smo u zagradama dobili iznos (1.18) koji je naveden u jednadžbi

očuvanja mase (1.4) i jedak je nuli ako je strujanje kompesibilno.

(∂ u1

∂ x1

+∂u2

∂ x2)=0 (1.18)

Kada ovo primjenimo na lijevu stranu zbrojene jednadžbe (1.14) ona poprima oblik

(1.19):

∂∂ t ( ∂u1

∂ x1

+∂ u2

∂ x2)⏟

0

+( ∂u1

∂ x1)2 ∂u1

∂ x2

∂ u2

∂ x1

+∂u2

∂ x1

∂ u1

∂ x2

+(∂u2

∂ x2)2

(1.19)

U prvom članu gornjeg izraza također se se nalazi izraz (1.13) koji je jednak

nuli. Kada ovaj član poništimo te zbrojimo treći i četvrti član, na lijevoj strani

izraza nam ostaje (1.20):

(∂ u1

∂ x1)2

+2∂u2

∂ x1

⋅∂u1

∂ x2

+(∂u2

∂ x2)

2

(1.20)



1.5. Zbrajanje članova desne strane

Sada je potrebno srediti desnu stranu jednadžbe. Desna strana jednadžbe nakon

zbrajanja glasi (1.21):

−1ρ ( ∂2 p

∂ x12

+ ∂2 p∂ x

22 )+υ[ ∂∂ x1 (∂

2u1

∂ x12

+∂2u1

∂ x22 )+ ∂

∂ x2 (∂2u2

∂ x12

+∂2u2

∂ x22 )] (1.21)

Ako raspišemo dio izraza (1.21) u uglatim zagradama imamo (1.22):

∂3u1

∂ x13

+∂3u1

∂ x1∂ y2+

∂3u2

∂ x2 ∂ x12

+∂3u1

∂ x23

(1.22)

Sada kombiniranjem prvog i trećeg člana gornjeg izraza (1.22) te drugog i četvrtog

dobivamo (1.23):

∂2

∂ x12

( ∂u1

∂ x1

+∂ u2

∂ x2)⏟

=0

+ ∂2

∂ x22

(∂ u1

∂ x1

+∂u2

∂ x2)⏟

=0

(1.23)

Zbog jednadžbe kontinuiteta (1.4) je i cijeli gornji izraz (1.23) jednak nuli. Tako da

cijela desna strana zbrojene jednadžbe glasi (1.24):



−1ρ ( ∂2 p

∂ x1

2

+ ∂2 p∂ x

22 ) (1.24)

1.6. Jednakost zbrojenih članova

Sada cijelu zbrojenu jednadžbu sastavljenu od skraćene desne i lijeve strane

prikazane u prethodna dva poglavlja možemo pisati (1.20):

−1ρ ( ∂2 p

∂ x12

+ ∂2 p∂ x

22)⏟

Zbroj članova desne strane

=(∂u1

∂ x1)

2

+2∂u2

∂ x1

∂u1

∂ x2

+(∂ u2

∂ x2)⏟

Zbroj članova lijeve strane2

(1.25)

Ovo je jednadžba tipa (1.26) odnosno Poissonova jednadžba. Poissonova jednadžba je

parcijalna diferencijalna jednadžba eliptičnog tipa sa širokom primjenom na brojnim

poljima znanosti. Nazvana je po francuskom matematičaru i fizičaru Simeon-Denis

Poissonu. Poissonova jednadžba najjednostavnija je i najpoznatija parcijalna

diferencijalna jednadžba. Na lijevoj strani jednadžbe nalazi se kvadrat divergencije,

odnosno Laplaceov operator neke funkcije (u našem slučaju tlaka), dok se na desnoj

strani nalazi neka funkcija, na primjer funkcija opterećenja dana u dvodimenzionalnoj

ili trodimenzionalnoj domeni.

∇2⋅p=−f (1.26)

Dobivena je Poissonova jednadžba za tlak koja osigurava to da je kontinuitet

zadovoljen i daje vezu između tlaka i brzine koju možemo koristiti kako bi povezali



početne dvije jednadžbe u Navier – Stokesovu jednadžbu. U problemu kontinuuma

moramo krenuti diskretnim pristupom te ovu jednadžbu koristimo u nešto drugačijem

obliku.

1.7. Metodologija numeričke integracije

U ovom dijelu koristiti će se diskretizacija u vremenu kako bi od kontinuiranih

jednadžbi dobili diskretne, pa nam je potrebna vremenska indeksacija, tako ćemo za

promatrano (odnosno trenutno) vrijeme koristiti superskript n, odnosno promatranu

trenutnu komponentu brzine u x smjeru označit ćemo sa u⃗1n, dok ćemo komponentu

brzine za sljedeći vremenski korak označiti sa u⃗1n+1 .

Navier – Stokesova jednadžba u vektorskoj notaciji ima oblik (1.27):

∂ u⃗∂ t

+ u⃗⋅∇ u⃗=−1ρ

∇ p+υ∇ 2 u⃗ (1.27)

Potrebna nam je diskretna aproksimacija ove jednadžbe, pošto nema direktnog načina

kojim bi povezali tlak s brzinom tako da je kontinuitet zadovoljen. S dobivanjem

Poissonove jednadžbe za numeričko rješenje potrebno je učiniti sljedeće: prvo

diskretizirati u vremenu; zbog jednostavnosti koristi se samo prva diskretizacija u

vremenu kojom dobivamo izraz (1.28).

u⃗n+1= u⃗n+Δt {−u⃗n⋅∇ u⃗n−1ρ

∇ pn+υ∇ 2 u⃗n} (1.28)



Ovaj izraz nam daje vrijednost za komponentu brzine u x-smjeru za sljedeće

promatrano stanje odnosno za sljedeći korak, primjećujemo da je tlak u poznatom

vremenu n.

Sada je potrebno isto kao i prije uzeti divergenciju momentne jednadžbe, ali u

vektorskoj formi bez pisanja svih komponenti (1.

29).

∇⋅⃗un+1=∇⋅⃗un+Δt {−∇ ( u⃗n⋅∇ u⃗n)−1ρ

∇ 2 pn+1+υ∇ 2 (∇⋅⃗un )} (1.29)

U gornjem izrazu tlak je u vremenu n+1, to je tlak iz Poissonove jedandžbe.

Sada je potrebno riješiti Poissonovu jednadžbu za tlak isto kao što smo

napravili i prije i uvidjeti će se da sve što smo prije napravili je bilo u

kontinuumu. U svijetu kontinuuma može se koristiti jednadžba kontinuiteta te

svaki puta kada divergencija brzine ispadne jednaka nuli možemo izostaviti taj

član iz jednadžbe.

Sada promatramo sve u diskretnom svijetu i krećemo se korak po korak. U

numeričkoj shemi želimo da divergencija sljedećeg koraka bude jednaka nuli

(1.30). No može se dogoditi zbog numeričkih greški da je je ovaj izraz različit od



nule (1.31). Stoga ove članove ne smijemo odbaciti jer ne znamo dali su

jednaki nuli.

(∇⋅u⃗n+1 )=0 (1.30)

(∇⋅u⃗n+1 )≠0 (1.31)

1.6.1 Fractional step method

Sada ćemo Poissonovu jednadžbu staviti u „diskretni svijet“ i izolirati tlak, a sve ostalo

staviti s druge strane jednadžbe.

Ovaj numerički pristup se zove frakcionalni korak (fractional step method) jer riješava

dvije jednadžbe: momentnu jednadžbu i Poissonovu jednadžbu za tlak koje se

mijenjaju za svaki vremenski korak.

Fractional step method je metoda koja zanemaruje nelinearnost uzimajući vrlo mali

vremenski korak pri riješavanju Navier – Stokesove jednadžbe. Tipična derivacija

fractional step metode za nestabilne nekompresibilne Navier – Sokesove jednadžbe

može se odviti na 2 različita načina. U jednu ruku vremenska diskretizacija može se

odviti prva, a nakon nje prostorna diskretizacija. Ako usvojimo ovaj pristup kontroverza

nastaje oko toga koji će rubni uvjeti biti nametnuti pri svakom koraku tako da su



centralni poludiskretni problemi dobro postavljeni. Konkretno u većini projekcijskih

metoda samo je normalna komponenta rubnog uvjeta brzine nametnuta u

nekompresibilnom koraku. U drugu ruku kada je prostorna diskretizacija provedena

prije vremenske rubni uvjeti novonastalog sustava diferencijalnih jednadžbi korigiraju

se od samog početka. No korištenjem ovog postupka gubi se općenitost problema.

U našem slučaju prvo riješavamo brzinu koristeći tlak iz prethodnog koraka, onda u

istom vremenskom intervalu računamo novo polje tlaka, odnosno koristimo

vremensku pa prostornu diskretizaciju.

Stoga kada se riješi momentna jednadžba numerički, divergencija brzine ne mora biti

nula, pa je potrebno riješiti i Poissonovu jednadžbu da bi se „prisililo“ da divergencija

bude nula. Tako se brzina korigira Poissonovom jednadžbom.

No u biti kada se riješi Navier – Stokesova jednadžba to je kao kada se gibamo pola

koraka u vremenu i ispravljamo s tlakom kako bi održali u odnosno brzinu sljedećeg

vremenskog koraka (n+1) koji zadovoljava obje Navier – Stokesove jednadžbe i

jednadžbu održanja mase.

Poissonova jednadžba za tlak za vremenski korak n+1 glasi (1.32):

∇2⋅pn+1= ρ ∇⋅⃗un

Δt+ {−ρ∇⋅(u⃗n⋅∇ u⃗n)+μ∇2 (∇⋅u⃗n)} (1.32)

U ovoj jednadžbi vrijednost υ koja predstavlja viskoznost fluida i koju smo koristili u

prethodnim jednadžbama mijenjamo sa vrijednošću μ koja predstavlja dinamičku

viskoznost fluida.



Brzina dobivena Navier – Stokesovom jednadžbom nije u potpunosti slobodna od

divergencije, stoga ovu brzinu smatramo kao međukorak un+ 1

2 a divergencija ovog

koraka ne može biti jednaka nuli (1.33).

∇ un+ 1

2≠0 (1.33)

Stoga je potrebno izračunati tlak pn+1

tako da kontinuitet bude zadovoljen.


Documents

Nekompresibilna strujanja